Дослідити функцію y f x. Дослідження функції методами диференціального обчислення

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Інструкція

Знайдіть область визначення функції. Наприклад, функція sin(x) визначена по всьому інтервалі від -∞ до +∞, а функція 1/x - від -∞ до +∞ за винятком точки x = 0.

Визначте області безперервності та точки розриву. Зазвичай функція безперервна в тій же області, де вона визначена. Щоб виявити розриви, потрібно обчислити при наближенні аргументу до ізольованих точок всередині області визначення. Наприклад, функція 1/x прагне нескінченності, коли x→0+, і мінус нескінченності, коли x→0-. Це означає, що у точці x = 0 вона має розрив другого роду.
Якщо межі у точці розриву кінцеві, але з рівні, це розрив першого роду. Якщо вони рівні, то функція вважається безперервною, хоча у ізольованій точці вона й не визначена.

Знайдіть вертикальні асимптоти, якщо вони є. Тут вам допоможуть обчислення попереднього кроку, оскільки вертикальна асимптота практично завжди знаходиться у точці розриву другого роду. Однак іноді з області визначення виключені не окремі точки, а цілі інтервали точок, і тоді вертикальні асимптоти можуть розташовуватись на краях цих інтервалів.

Перевірте, чи має функція особливі властивості: парність, непарність і періодичність.
Функція буде парною, якщо для будь-якого x області визначення f(x) = f(-x). Наприклад, cos(x) та x^2 - парні функції.

Періодичність - властивість, що говорить про те, що є деяке число T, яке називається періодом, що для будь-якого x f(x) = f(x + T). Наприклад, всі основні тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс) – періодичні.

Знайдіть точки. Для цього обчисліть похідну від заданої функції і знайдіть значення x, де вона звертається в нуль. Наприклад, функція f(x) = x^3 + 9x^2 -15 має похідну g(x) = 3x^2 + 18x, яка перетворюється на нуль при x = 0 і x = -6.

Щоб визначити, які точки екстремуму є максимумами, а які мінімумами, відстежте зміну похідних знаків у знайдених нулях. g(x) змінює знак із плюса в точці x = -6, а в точці x = 0 назад з мінусу на плюс. Отже, функція f(x) у першій точці має , а у другій – мінімум.

Таким чином, ви знайшли й області монотонності: f(x) монотонно зростає на проміжку -∞;-6, монотонно зменшується на -6;0 і знову зростає на 0;+∞.

Знайдіть другу похідну. Її коріння покаже, де графік заданої функції буде опуклим, а де - увігнутим. Наприклад, другий похідний від функції f(x) буде h(x) = 6x + 18. Вона звертається в нуль при x = -3 змінюючи при цьому знак з мінусу на плюс. Отже, графік f(x) до цієї точки буде опуклим, після неї - увігнутим, а ця точка буде точкою перегину.

У функції можуть бути інші асимптоти, крім вертикальних, але тільки в тому випадку, якщо в її область визначення входить . Щоб їх знайти, обчисліть межу f(x), коли x→∞ або x→-∞. Якщо він є кінцевим, то ви знайшли горизонтальну асимптоту.

Похила асимптота – пряма виду kx + b. Щоб знайти k, обчисліть межу f(x)/x за x→∞. Щоб знайти b - межа (f(x) – kx) у тому ж x→∞.

Однією з найважливіших завдань диференціального обчислення є розробка загальних прикладів вивчення поведінки функций.

Якщо функція y=f(x) безперервна на відрізку , а її похідна позитивна або дорівнює 0 на інтервалі (a,b), y=f(x) зростає на (f"(x)0). Якщо функція y=f (x) безперервна на відрізку , а її похідна негативна або дорівнює 0 на інтервалі (a,b), то y=f(x) зменшується на (f"(x)0)

Інтервали, у яких функція не зменшується чи зростає, називаються інтервалами монотонності функції. Характер монотонності функції може змінюватися лише тих точках її області визначення, у якій змінюється знак першої похідної. Точки, у яких перша похідна функції перетворюється на нуль чи терпить розрив, називаються критичними.

Теорема 1 (перша достатня умова існування екстремуму).

Нехай функція y=f(x) визначена в точці х 0 і нехай існує околиця δ>0 таке, що функція безперервна на відрізку диференціюється на інтервалі (x 0 -δ,x 0)u(x 0 , x 0 +δ) , причому її похідна зберігає постійний знак кожному з цих інтервалів. Тоді якщо на x 0 -δ, x 0) і (x 0 x 0 +δ) знаки похідної різні, то х 0 - точка екстремуму, а якщо збігаються, то х 0 - не є точкою екстремуму. При цьому якщо при переході через точку х0 похідна змінює знак з плюсу на мінус (зліва від х 0 виконується f"(x)>0, то х 0 - точка максимуму; якщо ж похідна змінює знак з мінуса на плюс (праворуч від х 0 виконується f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Точки максимуму та мінімуму називають точками екстремуму функції, а максимуми та мінімуми функції – її екстремальними значеннями.

Теорема 2 (необхідна ознака локального екстремуму).

Якщо функція y=f(x) має у струмі x=x 0 екстремум, або f'(x 0)=0, або f'(x 0) немає.
У точках екстремуму функції, що диференціюється, дотична до її графіка паралельна осі Ox.

Алгоритм дослідження функції на екстремум:

1)Знайти похідну функції.
2)Выйти критичні точки, тобто. точки, у яких функція безперервна, а похідна дорівнює нулю чи немає.
3)Розглянути околицю кожної з точок, і дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від цієї точки.
4) Визначити координати екстремальних точок, для цього значення критичних точок підставити на цю функцію. Використовуючи достатні умови екстремуму, зробити відповідні висновки.

Приклад 18. Дослідити на екстремум функцію у = х 3 -9х 2 +24х

Рішення.
1) y"=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Прирівнявши похідну нулю, знаходимо х 1 =2, х 2 =4. У разі похідна визначена всюди; отже, крім двох знайдених точок, інших критичних точок немає.
3) Знак похідної y"=3(x-2)(x-4) змінюється в залежності від проміжку так, як показано на малюнку 1. При переході через точку x=2 похідна змінює знак з плюсу на мінус, а при переході через точку x=4 - з мінусу плюс.
4) У точці x=2 функція має максимум y max =20, а точці x=4 - мінімум y min =16.

Теорема 3. (Друга достатня умова існування екстремуму).

Нехай f"(x 0) і в точці х 0 існує f""(x 0). Тоді якщо f"(x 0)>0, то х 0 - точка мінімуму, а якщо f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

На відрізку функція y=f(x) може досягати найменшого (у найм) або найбільшого (у найб) значення або в критичних точках функції, що лежать в інтервалі (а; b), або на кінцях відрізка .

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень безперервної функції y = f (x) на відрізку:

1) Знайти f "(x).
2) Знайти точки, в яких f "(x) = 0 або f" (x) - не існує, і відібрати з них ті, що лежать усередині відрізка .
3) Обчисліть значення функції y=f(x) у точках, отриманих у п.2), а як і на кінцях відрізка і вибрати їх найбільше і найменше: вони є відповідно найбільшим (у наиб) і найменшим (у наим) значеннями функції на відрізку.

Приклад 19. Знайти найбільше значення безперервної функції y=x3-3x2-45+225 на відрізку.

1) Маємо y"=3x2-6x-45 на відрізку
2) Похідна y" існує при всіх х. Знайдемо точки, в яких y"=0; отримаємо:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15 = 0
x 1 = -3; x 2 = 5
3) Обчислимо значення функції у точках x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Відрізку належить лише точка x=5. Найбільшим із знайдених значень функції є 225, а найменшим – число 50. Отже, у найб =225, у найм =50.

Дослідження функції на опуклості

На малюнку зображено графіки двох функцій. Перший звернений опуклістю вгору, другий – опуклістю вниз.

Функція y=f(x) безперервна на відрізку і диференційована в інтервалі (а;b), називається опуклою вгору (вниз) на цьому відрізку, якщо при axb її графік лежить не вище (не нижче) дотичної, проведеної в будь-якій точці M 0 (x 0 f (x 0)), де axb.

Теорема 4. Нехай функція y=f(x) має другу похідну у будь-якій внутрішній точці х відрізка і безперервна на кінцях цього відрізка. Тоді, якщо на інтервалі (а;b) виконується нерівність f""(x)0, то функція випукла вниз на відрізку ; якщо інтервалі (а;b) виконується нерівність f""(x)0, то функція опукла вгору на .

Теорема 5. Якщо функція y=f(x) має другу похідну на інтервалі (а;b) і якщо вона змінює знак при переході через точку x 0 тоді M(x 0 ;f(x 0)) є точка перегину.

Правило знаходження точок перегину:

1) Знайти точки, в яких f""(x) не існує або перетворюється на нуль.
2) Дослідити знак f""(x) ліворуч і праворуч від кожної знайденої на першому кроці точки.
3) На підставі теореми 4 дійти невтішного висновку.

Приклад 20. Знайти точки екстремуму та точки перегину графіка функції y=3x4-8x3+6x2+12.

Маємо f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Очевидно, що f"(x)=0 при x 1 =0, x 2 =1. Похідна під час переходу через точку x=0 змінює знак з мінусу на плюс, а під час переходу через точку x=1 не змінює знака. Отже, x=0 - точка мінімуму (у min =12), а точці x=1 екстремуму немає. Далі, знаходимо . Друга похідна перетворюється на нуль у точках x 1 =1, x 2 =1/3. Знаки другої похідної змінюються так: На промені (-∞;) маємо f""(x)>0, на інтервалі (;1) маємо f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Отже, x= - точка перегину графіка функції (перехід з опуклості вниз на опуклість вгору) і x=1 - як і точка перегину (перехід з опуклості вгору на опуклість вниз). Якщо x=, то y=; якщо, x=1, y=13.

Алгоритм відшукання асимптоти графіка

I. Якщо y=f(x) при x → a , то x=a є вертикальна асимптота.
ІІ. Якщо y=f(x) при x → ∞ або x → -∞ тоді у=А - горизонтальна асимптота.
ІІІ. Для знаходження похилої асимптоти використовуємо наступний алгоритм:
1) Обчислити. Якщо межа існує і дорівнює b, y = b - горизонтальна асимптота; Якщо , то перейти до другого кроку.
2) Обчислити. Якщо це межа немає, то асимптоти немає; якщо вона існує і дорівнює k, то перейти до третього кроку.
3) Обчислити. Якщо це межа немає, то асимптоти немає; якщо вона існує і дорівнює b, то перейти до четвертого кроку.
4) Записати рівняння похилої асимптоти y=kx+b.

Приклад 21: Знайти асимптоту для функції

1)
2)
3)
4) Рівняння похилої асимптоти має вигляд

Схема дослідження функції та побудова її графіка

I. Знайти область визначення функції.
ІІ. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.
ІІІ. Знайти асимптоти.
IV. Знайти точки можливого екстремуму.
V. Знайти критичні точки.
VI. За допомогою допоміжного малюнка дослідити знак першої та другої похідних. Визначити ділянки зростання та зменшення функції, знайти напрям опуклості графіка, точки екстремумів і точок перегину.
VII. Побудувати графік з огляду на дослідження, проведене в п.1-6.

Приклад 22: Побудувати за наведеною вище схемою графік функції

Рішення.
I. Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім x=1.
ІІ. Так рівняння x 2 +1=0 немає речових коренів, то графік функції немає точок перетину з віссю Ох, але перетинає вісь Оу у точці (0;-1).
ІІІ. З'ясуємо питання існування асимптот. Досліджуємо поведінку функції поблизу точки розриву x=1. Оскільки y → ∞ за х → -∞, у → +∞ за х → 1+, то пряма x=1 є вертикальною асимптотою графіка функції.
Якщо х → +∞(x → -∞), то → +∞(y → -∞); отже, горизонтальної асимптоти у графіка немає. Далі, із існування меж

Вирішуючи рівняння x 2 -2x-1=0 отримуємо дві точки можливого екстремуму:
x 1 =1-√2 та x 2 =1+√2

V. Для знаходження критичних точок обчислимо другу похідну:

Оскільки f""(x) в нуль не звертається, то критичних точок немає.
VI. Досліджуємо знак першої та другої похідних. Точки можливого екстремуму, що підлягають розгляду: x 1 =1-√2 та x 2 =1+√2, поділяють область існування функції на інтервали (-∞;1-√2),(1-√2;1+√2) та (1+√2;+∞).

У кожному з цих інтервалів похідна зберігає знак: у першому – плюс, у другому – мінус, у третьому – плюс. Послідовність знаків першої похідної запишеться так: +, -, +.
Отримуємо, що функція на (-∞;1-√2) зростає, на (1-√2;1+√2) зменшується, а на (1+√2;+∞) знову зростає. Точки екстремуму: максимум при x=1-√2, причому f(1-√2)=2-2√2 мінімум при x=1+√2, причому f(1+√2)=2+2√2. На (-∞;1) графік спрямований опуклістю вгору, але в (1;+∞) - вниз.
VII Складемо таблицю отриманих значень

VIII За отриманими даними будуємо ескіз графіка функції