Як знайти a1 в арифметичній прогресії. Як знайти арифметичну прогресію? Арифметична прогресія - приклади з рішенням

Для будь-якої невиродженої матриці А існує і єдина матриця A -1 така, що

A*A -1 =A -1 *A = E,

де E — одинична матриця тих самих порядків, як і А. Матриця A -1 називається зворотної до матриці A.

Якщо хтось забув, в одиничній матриці, крім діагоналі, заповненої одиницями, всі інші позиції заповнені нулями, приклад одиничної матриці:

Знаходження зворотної матриці методом приєднаної матриці

Зворотна матриця визначається формулою:

де A ij - елементів a ij.

Тобто. для обчислення зворотної матриці потрібно обчислити визначник цієї матриці. Потім знайти додатки алгебри для всіх її елементів і скласти з них нову матрицю. Далі потрібно транспортувати цю матрицю. І кожен елемент нової матриці розділити на визначник вихідної матриці.

Розглянемо кілька прикладів.

Знайти A-1 для матриці

Розв'язання. Знайдемо A -1 методом приєднаної матриці. Маємо det A = 2. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці A. У цьому випадку алгебраїчними доповненнями елементів матриці будуть відповідні елементи самої матриці, взяті зі знаком відповідно до формули

Маємо A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Утворимо приєднану матрицю

Транспортуємо матрицю A*:

Знаходимо зворотну матрицю за формулою:

Отримуємо:

Методом приєднаної матриці знайти A-1, якщо

Розв'язання. Перш за все обчислюємо визначтеся даної матриці, щоб переконатися в існуванні зворотної матриці. Маємо

Тут ми додали до елементів другого рядка елементи третього рядка, помножені попередньо (-1), а потім розкрили визначник по другому рядку. Оскільки визначитеся даної матриці відмінний від нуля, то зворотна до неї матриця існує. Для побудови приєднаної матриці знаходимо додатки алгебри елементів даної матриці. Маємо

Відповідно до формули

транспортуємо матрицю A*:

Тоді за формулою

Знаходження зворотної матриці методом елементарних перетворень

Крім методу знаходження зворотної матриці, що з формули (метод приєднаної матриці), існує метод знаходження зворотної матриці, званий методом елементарних перетворень.

Елементарні перетворення матриці

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення:

1) перестановка рядків (стовпців);

2) множення рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

3) додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.

Для знаходження матриці A -1 побудуємо прямокутну матрицю В = (А|Е) порядків (n; 2n), приписуючи до матриці А справа одиничну матрицю Е через роздільну межу:

Розглянемо приклад.

Методом елементарних перетворень знайти A -1 якщо

Рішення. Утворимо матрицю B:

Позначимо рядки матриці B через 1 , 2 , 3 . Зробимо над рядками матриці B наступні перетворення.

Що ж, друзі, якщо ви читаєте цей текст, то внутрішній кеп-очевидність підказує мені, що ви поки що не знаєте, що таке арифметична прогресія, але дуже (ні, ось так: ТОВООЧЕНЬ!) хочете дізнатися. Тому не мучитиму вас довгими вступами і відразу перейду до справи.

Для початку кілька прикладів. Розглянемо кілька наборів чисел:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Що спільного в усіх цих наборів? На перший погляд – нічого. Але насправді дещо є. А саме: кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на те саме число.

Судіть самі. Перший набір — це числа, що просто йдуть поспіль, кожне наступне на одиницю більше попереднього. У другому випадку різниця між рядом стоять числа вже дорівнює п'яти, але ця різниця все одно постійна. У третьому випадку взагалі коріння. Проте $2sqrt(2)=sqrt(2)+sqrt(2)$, а $3sqrt(2)=2sqrt(2)+sqrt(2)$, тобто. і в цьому випадку кожен наступний елемент просто зростає на $ sqrt (2) $ (і нехай вас не лякає, що це число - ірраціональне).

Так от: усі такі послідовності якраз і називаються арифметичними прогресіями. Дамо суворе визначення:

Визначення. Послідовність чисел, в якій кожне наступне відрізняється від попереднього рівно на одну й ту саму величину, називається арифметичною прогресією. Сама величина, яку відрізняються числа, називається різницею прогресії і найчастіше позначається буквою $d$.

Позначення: $\left(((a)_(n)) \right)$ - сама прогресія, $ d$ - її різницю.

І одразу парочка важливих зауважень. По-перше, прогресією вважається лише упорядкованапослідовність чисел: їх можна читати строго в тому порядку, в якому вони записані — і ніяк інакше. Переставляти та міняти місцями числа не можна.

По-друге, сама послідовність може бути як кінцевою, і нескінченної. Наприклад, набір (1; 2; 3) - це, очевидно, кінцева арифметична прогресія. Але якщо записати щось на кшталт (1; 2; 3; 4; ...) — це вже нескінченна прогресія. Три крапки після четвірки ніби натякає, що далі йде ще досить багато чисел. Безкінечно багато, наприклад.:)

Ще хотів би відзначити, що прогресії бувають зростаючими та спадаючими. Зростаючі ми вже бачили той самий набір (1; 2; 3; 4; ...). А ось приклади спадних прогресій:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Гаразд, гаразд: останній приклад може здатися надто складним. Але решта, думаю, вам зрозуміла. Тому введемо нові визначення:

Визначення. Арифметична прогресія називається:

1. зростаючою, якщо кожен наступний елемент більший за попередній;
2. спадної, якщо, навпаки, кожен наступний елемент менший за попередній.

Крім того, існують так звані «стаціонарні» послідовності — вони складаються з одного і того ж числа, що повторюється. Наприклад, (3; 3; 3; ...).

Залишається лише одне питання: як відрізнити зростаючу прогресію від спадної? На щастя, тут все залежить лише від того, яким є знак числа $d$, тобто. різниці прогресії:

1. Якщо $d \gt 0$, то прогресія зростає;
2. Якщо $d \lt 0$, то прогресія, очевидно, зменшується;
3. Нарешті, є випадок $d=0$ — у разі вся прогресія зводиться до стаціонарної послідовності однакових чисел: (1; 1; 1; 1; ...) тощо.

Спробуємо розрахувати різницю $d$ для трьох спадних прогресій, наведених вище. Для цього достатньо взяти будь-які два сусідні елементи (наприклад, перший і другий) і відняти з числа, що стоїть праворуч, число, що стоїть зліва. Виглядати це буде ось так:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Як бачимо, у всіх трьох випадках різниця справді вийшла негативною. І тепер, коли ми більш-менш розібралися з визначеннями, настав час розібратися з тим, як описуються прогресії і які у них властивості.

Члени прогресії та рекурентна формула

Оскільки елементи наших послідовностей не можна міняти місцями, їх можна пронумерувати:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right\)\]

Окремі елементи цього набору називають членами прогресії. Там так і вказують за допомогою номера: перший член, другий член і т.д.

Крім того, як ми вже знаємо, сусідні члени прогресії пов'язані формулою:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Коротше кажучи, щоб знайти $n$-й член прогресії, потрібно знати $n-1$-й член і різницю $d$. Така формула називається рекурентною, оскільки з її допомогою можна знайти будь-яке число, лише знаючи попереднє (а за фактом – усі попередні). Це дуже незручно, тому існує хитріша формула, яка зводить будь-які обчислення до першого члена та різниці:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Напевно, ви вже зустрічалися з цією формулою. Її люблять давати у всяких довідниках та решібниках. Та й у будь-якому тлумачному підручнику з математики вона йде однією з перших.

Проте пропоную трохи потренуватись.

Завдання №1. Випишіть перші три члени арифметичної прогресії $\left(((a)_(n)) \right)$, якщо $((a)_(1))=8,d=-5$.

Рішення. Отже, нам відомий перший член $((a)_(1))=8$ і різницю прогресії $d=-5$. Скористаємося щойно наведеною формулою і підставимо $n=1$, $n=2$ і $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \& ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Відповідь: (8; 3; −2)

От і все! Зверніть увагу: наша прогресія – спадна.

Звичайно, $ n = 1 $ можна було і не підставляти перший член нам і так відомий. Проте, підставивши одиницю, ми переконалися, що навіть для першого члена наша формула працює. У решті випадків все звелося до банальної арифметики.

Завдання №2. Випишіть перші три члени арифметичної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює –40, а сімнадцятий член дорівнює –50.

Рішення. Запишемо умову завдання у звичних термінах:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\\end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\\end(align) \right.\]

Знак системи я поставив тому, що ці вимоги мають виконуватися одночасно. А тепер зауважимо, якщо відняти з другого рівняння перше (ми маємо право це зробити, тому що у нас система), то отримаємо ось що:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \& ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \ & 10d=-10; \&d=-1. \\ \end(align)\]

Ось так просто ми знайшли різницю прогресії! Залишилося підставити знайдене число у будь-яке з рівнянь системи. Наприклад, у перше:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Тепер, знаючи перший член і різницю, залишилося знайти другий і третій член:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \&((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Готово! Завдання вирішено.

Відповідь: (−34; −35; −36)

Зверніть увагу на цікаву властивість прогресії, яку ми виявили: якщо взяти $n$-й і $m$-й члени і відняти їх один від одного, то ми отримаємо різницю прогресії, помножену на число $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Проста, але дуже корисна властивість, яку обов'язково треба знати — з її допомогою можна значно прискорити вирішення багатьох завдань щодо прогресу. Ось яскравий тому приклад:

Завдання №3. П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 8,4, та її десятий член дорівнює 14,4. Знайдіть п'ятнадцятий член цієї прогресії.

Рішення. Оскільки $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, а потрібно знайти $((a)_(15))$, то зауважимо наступне:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Але за умовою $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, тому $5d=6$, звідки маємо:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4 = 6; \ & ((a)_(15)) = 6 +14,4 = 20,4. \\ \end(align)\]

Відповідь: 20,4

От і все! Нам не потрібно складати якісь системи рівнянь і вважати перший член і різницю - все зважилося буквально в пару рядків.

Тепер розглянемо інший вид завдань — пошук негативних і позитивних членів прогресії. Не секрет, що й прогресія зростає, у своїй перший член у неї негативний, то рано чи пізно у ній з'являться позитивні члени. І навпаки: члени спадної прогресії рано чи пізно стануть негативними.

При цьому далеко не завжди можна намацати цей момент "в лоб", послідовно перебираючи елементи. Найчастіше завдання складено так, що без знання формул обчислення зайняли б кілька аркушів — ми б просто заснули, поки знайшли відповідь. Тому спробуємо вирішити ці завдання швидшим способом.

Завдання №4. Скільки негативних членів в арифметичній прогресії -38,5; −35,8; …?

Рішення. Отже, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, звідки відразу знаходимо різницю:

Зауважимо, що різницю позитивна, тому прогресія зростає. Перший член негативний, тому дійсно в якийсь момент ми натрапимо на позитивні числа. Питання лише у тому, коли це станеться.

Спробуємо з'ясувати: доки (тобто до якого натурального числа $n$) зберігається негативність членів:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. &-385+27cdot \left(n-1 \right) \lt 0; &-385+27n-27 \lt 0; \ & 27n \lt 412; \ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Останній рядок вимагає пояснення. Отже, відомо, що $n \lt 15\frac(7)(27)$. З іншого боку, нас влаштують лише цілі значення номера (більше того: $n\in \mathbb(N)$), тому найбільший допустимий номер - саме $n=15$, а в жодному разі не 16.

Завдання №5. В арифметичній прогресії $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Знайдіть номер першого позитивного члена цієї прогресії.

Це була б точнісінько така ж задача, як і попередня, проте нам невідомо $((a)_(1))$. Зате відомі сусідні члени: $((a)_(5))$ і $((a)_(6))$, тому ми легко знайдемо різницю прогресії:

Крім того, спробуємо висловити п'ятий член через перший і різницю за стандартною формулою:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \&((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Тепер чинимо за аналогією з попереднім завданням. З'ясовуємо, коли в нашій послідовності виникнуть позитивні числа:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; &-162+3n-3 \gt 0; \ & 3n \gt 165; \n n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Мінімальне цілечисленне розв'язання цієї нерівності - число 56.

Зверніть увагу: в останньому завданні все звелося до суворої нерівності, тому варіант $ n = 55 $ нас не влаштує.

Тепер, коли ми навчилися вирішувати прості завдання, перейдемо до складніших. Але для початку давайте вивчимо ще одну дуже корисну властивість арифметичних прогресій, яка в майбутньому заощадить нам купу часу та нерівних клітин.

Середнє арифметичне та рівні відступи

Розглянемо кілька послідовних членів зростання арифметичної прогресії $\left(((a)_(n)) \right)$. Спробуємо відзначити їх на числовій прямій:

Я спеціально відзначив довільні члени $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не якісь $((a)_(1)) ,\((a)_(2)),\((a)_(3))$ і т.д. Тому що правило, про яке я зараз розповім, однаково працює для будь-яких відрізків.

А правило дуже просте. Згадаймо рекурентну формулу і запишемо її для всіх зазначених членів:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \&((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \& ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Однак ці рівності можна переписати інакше:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \&((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \&((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \& ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \& ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \& ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Ну, і що з того? А те, що члени $((a)_(n-1))$ і $((a)_(n+1))$ лежать на тій самій відстані від $((a)_(n)) $. І ця відстань дорівнює $d$. Те саме можна сказати про члени $((a)_(n-2))$ і $((a)_(n+2))$ — вони теж віддалені від $((a)_(n))$ на однакову відстань, що дорівнює $2d$. Продовжувати можна до нескінченності, але сенс добре ілюструє картинка

Що це означає для нас? Це означає, що можна знайти $((a)_(n))$, якщо відомі числа-сусіди:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ми вивели чудове твердження: кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів! Більше того: ми можемо відступити від нашого $((a)_(n))$ ліворуч і праворуч не на один крок, а на $k$ кроків — і все одно формула буде вірною:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тобто. ми спокійно можемо знайти якесь $((a)_(150))$, якщо знаємо $((a)_(100))$ і $((a)_(200))$, тому що $(( a)_(150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На перший погляд може здатися, що цей факт не дає нам нічого корисного. Однак на практиці багато завдань спеціально «заточено» під використання середнього арифметичного. Погляньте:

Завдання №6. Знайдіть усі значення $x$, при яких числа $-6((x)^(2))$, $x+1$ і $14+4((x)^(2))$ є послідовними членами арифметичної прогресії (у вказаному порядку).

Рішення. Оскільки ці числа є членами прогресії, для них виконується умова середнього арифметичного: центральний елемент $x+1$ можна виразити через сусідні елементи:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \& x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \& x+1=7-((x)^(2)); \ \ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \end(align)\]

Вийшло класичне квадратне рівняння. Його коріння: $ x = 2 $ і $ x = -3 $ - це і є відповіді.

Відповідь: −3; 2.

Завдання №7. Знайдіть значення $$, у яких числа $-1;4-3;(()^(2))+1$ становлять арифметичну прогресію (у зазначеному порядку).

Рішення. Знову висловимо середній член через середнє арифметичне сусідніх членів:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Знову квадратне рівняння. І знову два корені: $ x = 6 $ і $ x = 1 $.

Відповідь: 1; 6.

Якщо в процесі розв'язання задачі у вас вилазять якісь звірячі числа, або ви не до кінця впевнені в правильності знайдених відповідей, то є чудовий прийом, що дозволяє перевірити: чи ми вирішили завдання?

Припустимо, у задачі №6 ми отримали відповіді −3 та 2. Як перевірити, що ці відповіді вірні? Давайте просто підставимо їх у вихідну умову та подивимося, що вийде. Нагадаю, що у нас є три числа ($-6(()^(2))$, $+1$ і $14+4(()^(2))$), які мають становити арифметичну прогресію. Підставимо $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \ & x+1=-2; \ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \end(align)\]

Отримали числа -54; −2; 50, які відрізняються на 52 — безперечно, це арифметична прогресія. Те саме відбувається і при $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \ & x + 1 = 3; \ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \end(align)\]

Знову прогресія, але з різницею 27. Отже, завдання вирішено правильно. Бажаючі можуть перевірити друге завдання самостійно, але одразу скажу: там теж все правильно.

Загалом, вирішуючи останні завдання, ми натрапили на ще один цікавий факт, який також необхідно запам'ятати:

Якщо три числа такі, що друге є середнім арифметичним першого та останнього, то ці числа утворюють арифметичну прогресію.

У майбутньому розуміння цього твердження дозволить нам буквально «конструювати» потрібні прогресії, спираючись умову завдання. Але перш ніж ми займемося подібним конструюванням, слід звернути увагу на ще один факт, який прямо випливає з вже розглянутого.

Угруповання та сума елементів

Давайте ще раз повернемося до числової осі. Зазначимо там кілька членів прогресії, між якими можливо. коштує дуже багато інших членів:

Спробуємо виразити "лівий хвіст" через $((a)_(n))$ і $d$, а "правий хвіст" через $((a)_(k))$ і $d$. Це дуже просто:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \& ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \&((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \&((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

А тепер зауважимо, що рівні такі суми:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \& ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Простіше кажучи, якщо ми розглянемо як старт два елементи прогресії, які в сумі дорівнюють якомусь числу $S$, а потім почнемо крокувати від цих елементів у протилежні сторони (назустріч один одному або навпаки на видалення), то суми елементів, на які ми натикатимемося, теж будуть рівні$S$. Найбільш наочно це можна уявити графічно:

Розуміння цього факту дозволить вирішувати завдання принципово вищого рівня складності, ніж ті, що ми розглядали вище. Наприклад, такі:

Завдання №8. Визначте різницю арифметичної прогресії, у якій перший член дорівнює 66, а твір другого та дванадцятого членів є найменшим із можливих.

Рішення. Запишемо все, що нам відомо:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \&d=? \\ ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Отже, нам невідома різниця прогресії $d$. Власне, навколо різниці і будуватиметься все рішення, оскільки добуток $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ можна переписати так:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \& ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \& ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Для тих, хто в танку: я виніс загальний множник 11 з другої дужки. Таким чином, шуканий твір є квадратичною функцією щодо змінної $d$. Тому розглянемо функцію $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - її графіком буде парабола гілками вгору, т.к. якщо розкрити дужки, ми отримаємо:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11cdot 72d+11cdot 66cdot 6 \end(align)\]

Як бачимо, коефіцієнт при старшому доданку дорівнює 11 - це позитивне число, тому дійсно маємо справу з параболою гілками вгору:

графік квадратичної функції - парабола

Зверніть увагу: мінімальне значення ця парабола набуває у своїй вершині з абсцисою $((d)_(0))$. Звичайно, ми можемо порахувати цю абсцису за стандартною схемою (є ж формула $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), але куди розумніше буде помітити, що вершина, що шукається, лежить на осі симетрії параболи, тому точка $((d)_(0))$ рівновіддалена від коренів рівняння $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \ \ & 11 \ cdot \ left (d +66 \ right) \ cdot \ left (d +6 \ right) = 0; \&((d)_(1))=-66;\quad((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Саме тому я не надто поспішав розкривати дужки: у вихідному вигляді коріння було знайти дуже і дуже просто. Отже, абсцис дорівнює середньому арифметичному чисел −66 і −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Що нам дає виявлене число? При ньому необхідний твір набуває найменшого значення (ми, до речі, так і не порахували $((y)_(\min ))$ — від нас це не потрібно). Водночас це число є різницею вихідної прогресії, тобто. ми знайшли відповідь.:)

Відповідь: −36

Завдання №9. Між числами $-\frac(1)(2)$ і $-\frac(1)(6)$ вставте три числа так, щоб вони разом з цими числами склали арифметичну прогресію.

Рішення. По суті нам потрібно скласти послідовність з п'яти чисел, причому перше і останнє число вже відомо. Позначимо недостатні числа змінними $x$, $y$ і $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Зазначимо, що число $y$ є "серединою" нашої послідовності - воно рівновіддалено і від чисел $x$ і $z$, і від чисел $-\frac(1)(2)$ і $-\frac(1)( 6) $. І якщо з чисел $x$ і $z$ ми в даний момент не можемо отримати $y$, то з кінцями прогресії справа інакша. Згадуємо про середнє арифметичне:

Тепер, знаючи $y$, ми знайдемо числа, що залишилися. Зауважимо, що $x$ лежить між числами $-\frac(1)(2)$ і щойно знайденим $y=-\frac(1)(3)$. Тому

Аналогічно розмірковуючи, знаходимо число, що залишилося:

Готово! Ми знайшли усі три числа. Запишемо їх у відповіді у тому порядку, в якому вони мають бути вставлені між вихідними числами.

Відповідь: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Завдання №10. Між числами 2 і 42 вставте кілька чисел, які разом із даними числами утворюють арифметичну прогресію, якщо відомо, що сума першого, другого та останнього із вставлених чисел дорівнює 56.

Рішення. Ще більш складне завдання, яке, однак, вирішується за тією ж схемою, що й попередні через середнє арифметичне. Проблема в тому, що нам невідомо скільки конкретно чисел треба вставити. Тому припустимо для певності, що після вставки всього буде рівно $n$ чисел, причому перше з них - це 2, а останнє - 42. У цьому випадку шукана арифметична прогресія представима у вигляді:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Зауважимо, проте, що числа $((a)_(2))$ і $((a)_(n-1))$ виходять із чисел 2 і 42, що стоять по краях, шляхом одного кроку назустріч один одному, тобто . до центру послідовності. А це означає, що

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Але тоді записане вище вираз можна переписати так:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \ & 44+((a)_(3))=56; \ & ((a)_(3)) = 56-44 = 12. \\ \end(align)\]

Знаючи $((a)_(3))$ і $((a)_(1))$, ми легко знайдемо різницю прогресії:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \& ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \end(align)\]

Залишилося лише знайти інші члени:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \ & ((a)_(2))=2+5=7; \ & ((a)_(3)) = 12; \ & ((a)_(4)) = 2 +3 \ cdot 5 = 17; \ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \ & ((a)_(8)) = 2 +7 \ cdot 5 = 37; \ & ((a)_(9)) = 2 +8 \ cdot 5 = 42; \\ \end(align)\]

Таким чином, вже на 9-му кроці ми прийдемо в лівий кінець послідовності — число 42. Усього потрібно було вставити лише 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Відповідь: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстові завдання з прогресіями

Насамкінець хотілося б розглянути парочку щодо простих завдань. Ну, як простих: для більшості учнів, які вивчають математику в школі і не читали того, що написано вище, ці завдання можуть здатися жерстю. Проте саме такі завдання трапляються в ОДЕ та ЄДІ з математики, тому рекомендую ознайомитися з ними.

Завдання №11. Бригада виготовила у січні 62 деталі, а кожного наступного місяця виготовляла на 14 деталей більше, ніж у попередній. Скільки деталей виготовила бригада у листопаді?

Рішення. Очевидно, кількість деталей, розписана по місяцях, являтиме собою зростаючу арифметичну прогресію. Причому:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Листопад - це 11-й місяць на рік, тому нам потрібно знайти $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Отже, у листопаді буде виготовлено 202 деталі.

Завдання №12. Палітурна майстерня переплела в січні 216 книг, а кожного наступного місяця вона переплітала на 4 книги більше, ніж у попередній. Скільки книг переплела майстерня у грудні?

Рішення. Все теж саме:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Грудень - це останній, 12-й місяць на рік, тому шукаємо $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Це і є відповідь – 260 книг буде переплетено у грудні.

Що ж, якщо ви дочитали до сюди, поспішаю вас привітати: «курс молодого бійця» арифметичними прогресіями ви успішно пройшли. Можна сміливо переходити до наступного уроку, де вивчимо формулу суми прогресії, а також важливі і дуже корисні наслідки з неї.

При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких належать прогресії – геометрична та арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію та приклади з рішеннями.

Що являє собою арифметична прогресія?

Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення прогресії, що розглядається, а також навести основні формули, які далі будуть використані при вирішенні завдань.

Арифметична чи алгебраїчна прогресія - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на певну постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел та різницю, можна відновити всю арифметичну прогресію.

Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде арифметичною прогресією: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А от набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важливі формули

Наведемо тепер основні формули, які знадобляться вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n член послідовності, де n - ціле число. Різницю позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:

1. Для визначення значення n-го члена підійде формула: n = (n-1) * d + a 1 .
2. Для визначення суми перших n доданків: S n = (a n +a 1) * n/2.

Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням у 9 класі, достатньо запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання типу, що розглядається. Також слід пам'ятати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = a n - a n-1 .

Приклад №1: знаходження невідомого члена

Наведемо простий приклад арифметичної прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.

Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно знайти п'ять членів.

З умови завдання вже випливає, що перші 4 доданки відомі. П'яте можна визначити двома способами:

1. Обчислимо для початку різницю. Маємо: d = 8 – 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члени, що стоять поряд один з одним. Наприклад, d = 4 – 6 = -2. Оскільки відомо, що d = a n - a n-1 тоді d = a 5 - a 4 , звідки отримуємо: a 5 = a 4 + d. Підставляємо відомі значення: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Другий спосіб вимагає знання різниці аналізованої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a 1 = 10, скористаємося формулою для числа n послідовності. Маємо: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Підставляючи останній вираз n = 5, отримуємо: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Як видно, обидва способи рішення привели до того самого результату. Зазначимо, що у цьому прикладі різниця d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються спадними, оскільки кожен наступний член менший за попередній.

Приклад №2: різниця прогресії

Тепер ускладнимо трохи завдання, наведемо приклад, як

Відомо, що деякий 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.

Скористаємося формулою визначення невідомого члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Підставимо до неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7 маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 - 6) / 6 = 2. Отже, відповіли першу частину завдання.

Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням прогресу алгебри, тобто a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d і так далі. У результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, а 7 = 18.

Приклад №3: складання прогресії

Ускладнимо ще сильніша умова завдання. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести наступний приклад: дано два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти алгебраїчну прогресію так, щоб між цими містилося ще три члени.

Перш ніж розпочинати вирішувати це завдання, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа у майбутній прогресії. Оскільки між ними будуть ще три члени, тоді a 1 = -4 і a 5 = 5. Встановивши це, переходимо до завдання, яке аналогічне попередньому. Знову для n-го члена скористаємося формулою, отримаємо: a 5 = a 1 + 4*d. Звідки: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, проте воно є раціональним числом, тому формули для прогресу алгебри залишаються тими ж самими.

Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо члени прогресії, що бракують. Отримуємо: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, що збіглося з умовою задачі.

Приклад №4: перший член прогресії

Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії із рішенням. У всіх попередніх завданнях було відоме перше число прогресу алгебри. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дані два числа, де a 15 = 50 і a 43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.

Формули, якими користувалися досі, припускають знання a 1 і d. За умови завдання про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вирази для кожного члена, про який є інформація: a 15 = a 1 + 14 * d і a 43 = a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, у яких 2 невідомі величини (a 1 та d). Це означає, що завдання зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь.

Вказану систему найпростіше вирішити, якщо виразити у кожному рівнянні a 1 , а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, звідки різниця d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).

Знаючи d, можна скористатися будь-яким із 2 наведених вище виразів для a 1 . Наприклад, першим: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов'язані з тим, що з обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.

Приклад №5: сума

Тепер розглянемо кілька прикладів із рішеннями на суму арифметичної прогресії.

Нехай дано числова прогресія наступного виду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?

Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна це завдання вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в умі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є алгебраїчною прогресією, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100)/2 = 5050.

Цікаво відзначити, що це завдання носить назву "гаусової", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще у віці всього 10 років, зміг вирішити її в умі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебраїчної прогресії, але він помітив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а оскільки цих сум буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді достатньо помножити 50 на 101.

Приклад №6: сума членів від n до m

Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дано такий чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнюватиме сума його членів з 8 по 14.

Завдання вирішується двома способами. Перший передбачає перебування невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків небагато, такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити це завдання другим методом, який є більш універсальним.

Ідея полягає в отриманні формули для суми прогресу алгебри між членами m і n, де n > m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:

1. S m = m*(a m + a 1)/2.
2. S n = n*(a n + a 1)/2.

Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає першу. Останній висновок означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (у разі взяття різниці він віднімається із суми S n), то отримаємо необхідну відповідь на завдання. Маємо: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1-m/2). У цей вираз необхідно підставити формули для a n і a m. Тоді отримаємо: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа отримаємо: S mn = 301.

Як видно з наведених рішень, всі завдання ґрунтуються на знанні виразу для n-го члена та формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якого з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і потім приступати до вирішення.

Ще одна порада полягає у прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на питання, не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, у прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m і розбити загальне завдання на окремі завдання (у разі спочатку знайти члени a n і a m).

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, це не так складно.

Способи знаходження зворотної матриці. Розглянемо квадратну матрицю

Позначимо Δ = det A.

Квадратна матриця А називається невиродженою,або неособливою, якщо її визначник відмінний від нуля, та виродженою,або особливою, якщоΔ = 0.

Квадратна матриця є для квадратної матриці А того ж порядку, якщо їх добуток А В = В А = Е, де Е - одинична матриця того ж порядку, що і матриці А і В.

Теорема . Для того щоб матриця А мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля.

Зворотна матриця матриці А позначається через А- 1 так що В = А - 1 та обчислюється за формулою

, (1)

де А i j - додатки алгебри елементів a i j матриці A..

Обчислення A -1 за формулою (1) для матриць високого порядку дуже трудомістке, тому практично зручно знаходити A -1 з допомогою методу елементарних перетворень (ЭП). Будь-яку неособливу матрицю А шляхом ЕП тільки стовпців (або лише рядків) можна привести до одиничної матриці Е. Якщо скоєні над матрицею А ЕП у тому ж порядку застосувати до одиничної матриці Е, то в результаті вийде зворотна матриця. Зручно здійснювати ЕП над матрицями А та Е одночасно, записуючи обидві матриці поряд через межу. Зазначимо вкотре, що з відшуканні канонічного виду матриці з метою знаходження можна скористатися перетвореннями рядків і стовпців. Якщо потрібно знайти зворотну матрицю, в процесі перетворення слід використовувати тільки рядки або тільки стовпці.

Приклад 1. Для матриці знайти A-1.

Рішення.Знаходимо спочатку детермінант матриці А
значить, зворотна матриця існує і ми її можемо знайти за такою формулою: , де А i j (i,j = 1,2,3) - додатки алгебри елементів а i j вихідної матриці.

Звідки .

Приклад 2. p align="justify"> Методом елементарних перетворень знайти A -1 для матриці: А = .

Рішення.Приписуємо до вихідної матриці праворуч одиничну матрицю того ж порядку: . За допомогою елементарних перетворень стовпців наведемо ліву "половину" до одиничної, здійснюючи одночасно такі перетворення над правою матрицею.
Для цього поміняємо місцями перший та другий стовпці: ~ . До третього стовпця додамо перший, а до другого - перший, помножений на -2: . З першого стовпця віднімемо подвоєний другий, та якщо з третього - помножений на 6 другий; . Додамо третій стовпець до першого та другого: . Помножимо останній стовпець на -1: . Отримана праворуч від вертикальної межі квадратна матриця є зворотною матрицею до даної матриці А. Отже,
.

Матриця А -1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е де Е - одинична матриця n -го порядку. Зворотна матриця може існувати лише для квадратних матриць.

Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти додатки алгебри , транспоновану матрицю A T , союзну матрицю і зворотну матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в онлайн) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються у звіті формату Word та у форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). див. приклад оформлення.

Інструкція. Для отримання рішення необхідно встановити розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.

також Зворотня матриця методом Жордано-Гаусса

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Знаходження транспонованої матриці A T .
2. Визначення додатків алгебри. Замінюють кожен елемент матриці його додатком алгебри.
3. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.

1. Визначають, чи квадратна матриця. Якщо ні, то зворотної матриці не існує.
2. Обчислення визначника матриці A. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше – зворотної матриці не існує.
3. Визначення додатків алгебри.
4. Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці C .
5. Складання зворотної матриці з додатків алгебри: кожен елемент приєднаної матриці C ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
6. Роблять перевірку: перемножують вихідну та отриману матриці. В результаті повинна вийти поодинока матриця.

Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:

Інший алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Знаходимо визначник цієї квадратної матриці A .
2. Знаходимо додатки алгебри до всіх елементів матриці A .
3. Записуємо додатки алгебри елементів рядків в стовпці (транспонування).
4. Ділимо кожен елемент отриманої матриці на визначник матриці A.

Особливий випадок: Зворотній, по відношенню до одиничної матриці E є одинична матриця E .