Як знайти сторони прямокутного трикутника? Основи геометрії. Калькулятор онлайн.Рішення трикутників

Трикутник - це примітивний багатокутник, обмежений на площині трьома точками і трьома відрізками, що попарно з'єднують ці точки. Кути в трикутнику бувають гострими, тупими та прямими. Сума кутів у трикутнику величина безперервна і дорівнює 180 градусів.

Вам знадобиться

Базові пізнання в геометрії та тригонометрії.

Інструкція

1. Позначимо довжини сторін трикутника a=2, b=3, c=4, яке кути u, v, w, кожен із яких лежить навпаки однієї сторін. По теоремі косинусів квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів довжин 2-х інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Тобто a 2 = b 2 + c 2 - 2bc * cos (u). Підставимо в цей вираз довжини сторін і отримаємо: 4 = 9 + 16 - 24cos (u).

2. Виразимо з отриманої рівності cos(u). Отримаємо таке: cos(u) = 7/8. Далі знайдемо власне кут u. Для цього порахуємо arccos(7/8). Тобто кут u = arccos (7/8).

3. Аналогічним чином, висловлюючи інші сторони через інші, знайдемо кути, що залишилися.

Зверніть увагу!
Значення одного кута не може перевищувати 180 градусів. Під знаком arccos() неспроможна стояти число більше 1 і менше -1.

Корисна порада
Для того, щоб виявити всі три кути необов'язково висловлювати всі три сторони, можна виявити лише два кути, а третій отримати шляхом віднімання з 180 градусів значення інших двох. Це випливає з того, що сума всіх кутів трикутника величина безперервна і дорівнює 180 градусів.

Управління та логістики промисловості є особливим важливим значенням для Latvian economy since they have steady GDP зростає і забезпечує послуги для віртуальних всіх інших галузей національної економіки. Ще рік він є сприятливим, що цей сектор повинен бути виявлений як пріоритети і розширений його вдосконалення, як, представники транспорту і логістичних секторів, що спрямовані на більш конкретні і тривалі рішення.

9.1% цін на Added до GDP Latvia

Усунення політичних і економічних змін в останньому десятилітті, influence of transport and logistics industry on the economy of our countries remains high: in 2016 сфера збільшила значення завищили GDP за 9.1%. Більше того, скорочення величезної гірської заборгованості залишається ще більшою в інших галузях - в 2016 році в інших галузях економіки він становив 859 євро, де в окупації і транспортування сектора за межами транспортного засобу є приблизно 870 євро (1,5 euros - Air Transport, 1059 euros in storage and auxiliary transport activities, etc.).

Special economic area as an additional support Rolands petersons privatbank

Позитивні приклади логістики промисловості є порти, які мають розвинену структуру хорошого. Riga і Ventspils порти функція як безкоштовні порти, і порт Liepaja включає в Liepaja Спеціальний економічний зон (SEZ). Компанії, що працюють у вільних портах і SEZ можуть отримати не тільки 0 tax rate for customs, excise, and value-added tax but also a discount of up to 80% of company"s income and up to 100% of real estate tax Rolands petersons privatbank The port є активно реалізовуючи різні investment projects related to the construction and development of industrial and distribution parks. Це необхідна для того, щоб зайняти невеликі роботи - SKULTE, Mersrags, SALACGRiVA, Pavilosta, Roja, Jurmala, і Engure, які поточно працюють в строгій позиції в регіональній економіці і мають більшу якість.

Port of Liepaja, буде надалі Rotterdam.
Rolands petersons privatbank
Існує також величезна кількість можливостей для зростання, і кількість дій, які можуть бути виконані за допомогою програмованих targets. Це є сильна необхідність для послуг з високою зниженою величиною, збільшенням processed volumes of cargo by atraction new freight flows, high-quality passenger service and introduction of modern technology and information systems in the area of transit and logistics. Liepaja port has all the chances to become the second Rotterdam in the foreseeable future. Rolands petersons privatbank

Latvia як distribution center for cargos from Asia and the Far East. Rolands petersons privatbank

Один з найбільш важливих питань для подальшого зросту порту і спеціального економічного регіону є розробка логістики і розповсюдження центрів, головним чином фокусуючи на прихильності покупок від Asia і Far East. Latvia може служити як розповсюдження центру для торгових марок в Baltic і Scandinavian countries for Asia and Far East (f.e. China, Korea). Здійснення tax regime of Liepaja Special Economic Zone in accordance with the law "On Taxation in Free Ports and Special Economic Zones" on December 31, 2035. вони реалізують договірний рівень допомоги від investments made. Сприяючи рівню benefits, передбачених цим статусом, це необхідно для розгляду можливого розширення терміну.

Infrastructure development and expansion of warehouse space Rolands petersons privatbank

Наше повноваження ведеться в факті, що це не тільки стратегічне geografical position, але й розвиненою infrastructure, що включає глибоке-водяні berths, аркуші terminals, pipelines і територій вільні від торгу terminal. Apart from this, we can add a good structure of pre-industrial zone, distribution park, multi-purpose technical equipment, as well as high level of security not only in terms of delivery but also in terms of storage and handling of goods . У майбутньому, це повинно бути причетне до того, щоб більше уваги до access roads (railways and highways), збільшення обсягу виробничих можливостей, а збільшення числа послуг забезпечених портами. Посередництво в міжнародній індустрії екскурсій і конференцій буде робити це можливо для залучення додаткових іноземних інвестицій і буде спричинити вдосконалення міжнародного зображення.

Перші - це відрізки, які прилягають до прямого кута, а гіпотенуза є найдовшою частиною фігури і знаходиться навпроти кута 90 о. Піфагоровим трикутником називається той, сторони якого дорівнюють натуральним числам; їх довжини у разі мають назву «піфагорова трійка».

Єгипетський трикутник

Для того, щоб нинішнє покоління дізналося геометрію у тому вигляді, в якому її викладають у школі зараз, вона розвивалася кілька століть. Основним моментом вважається теорема Піфагора. Сторони прямокутного відома на весь світ) становлять 3, 4, 5.

Мало хто не знайомий із фразою «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проте насправді теорема звучить так: c2 (квадрат гіпотенузи) = a2+b2 (сума квадратів катетів).

Серед математиків трикутник із сторонами 3, 4, 5 (див, м і т. д.) називається "єгипетським". Цікаво те, що яка вписана у фігуру, дорівнює одиниці. Назва виникла приблизно в V столітті до н.е., коли філософи Греції їздили до Єгипту.

При побудові пірамід архітектори та землеміри користувалися співвідношенням 3:4:5. Такі споруди виходили пропорційними, приємними на вигляд і просторими, а також рідко руйнувалися.

Для того, щоб побудувати прямий кут, будівельники використовували мотузку, на якій було зав'язано 12 вузлів. У такому разі ймовірність побудови прямокутного трикутника підвищувалася до 95%.

Ознаки рівності фігур

Гострий кут у прямокутному трикутнику та велика сторона, які рівні тим самим елементам у другому трикутнику, - безперечна ознака рівності фігур. Зважаючи на суму кутів, легко довести, що другі гострі кути також рівні. Таким чином, трикутники однакові за другою ознакою.
При накладенні двох постатей одна на одну повернемо їх таким чином, щоб вони, поєднавшись, стали одним рівнобедреним трикутником. За його властивістю сторони, а точніше, гіпотенузи рівні, так само як і кути при підставі, а значить, ці фігури однакові.

За першою ознакою дуже просто довести те, що трикутники дійсно рівні, головне щоб дві менші сторони (тобто катети) були рівними між собою.

Трикутники будуть однаковими за II ознакою, суть якої полягає в рівності катета та гострого кута.

Властивості трикутника з прямим кутом

Висота, яку опустили з прямого кута, розбиває фігуру на рівні частини.

Сторони прямокутного трикутника та його медіани легко впізнати за правилом: медіана, яка опущена на гіпотенузу, дорівнює її половині. можна знайти як за формулою Герона, так і за твердженням, що вона дорівнює половині твору катетів.

У прямокутному трикутнику діють властивості кутів 30 про, 45 про і 60 про.

При куті, який дорівнює 30 про, слід пам'ятати, що протилежний катет дорівнюватиме 1/2 найбільшої сторони.
Якщо кут 45 про, отже, другий гострий кут також 45 про. Це говорить про те, що трикутник рівнобедрений, та його катети однакові.
Властивість кута 60 про полягає в тому, що третій кут має градусну міру в 30 о.

Площу легко впізнати за однією з трьох формул:

через висоту та бік, на яку вона опускається;
за формулою Герона;
по сторонах та кутку між ними.

Сторони прямокутного трикутника, а точніше катети, сходяться із двома висотами. Для того щоб знайти третю, необхідно розглядати трикутник, що утворився, і тоді за теоремою Піфагора обчислити необхідну довжину. Крім цієї формули, існує також співвідношення подвоєної площі і довжини гіпотенузи. Найбільш поширеним виразом серед учнів є перше, оскільки потребує менше розрахунків.

Теореми, що застосовуються до прямокутного трикутника

Геометрія прямокутного трикутника включає використання таких теорем, як:

Калькулятор онлайн.
Рішення трикутників.

Рішенням трикутника називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) за якимось трьома даними елементами, що визначають трикутник.

Ця математична програма знаходить сторони $b, c $, і кут $\alpha $ по заданим користувачем стороні $a $ і двом прилеглим до неї кутам $\beta $ і $\gamma $

Програма не тільки дає відповідь на завдання, а й відображає процес знаходження рішення.

Цей калькулятор онлайн може бути корисним учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення чисел, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Правила введення чисел

Числа можна задати не лише цілі, а й дробові.
Ціла і дрібна частина в десяткових дробах може розділятися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так 2.5 або 2,5

Введіть сторону $a $ і два кути, що до неї прилягають $\beta $ і $\gamma $ Вирішити трикутник

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Теорема синусів

Теорема

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Теорема косінусів

Теорема
Нехай у трикутнику ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тоді
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін, помножений на косинус кута між ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Рішення трикутників

Рішенням трикутника називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) за якими-небудь трьома елементами, що визначають трикутник.

Розглянемо три завдання вирішення трикутника. При цьому будемо використовувати такі позначення для сторін трикутника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Розв'язання трикутника по обидва боки і кут між ними

Дано: (a, b, angle C). Знайти $c, \angle A, \angle B $

Рішення
1. За теоремою косінусів знаходимо $c$:

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Користуючись теоремою косінусів, маємо:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. $\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C $

Розв'язання трикутника по стороні і кутів, що прилягають до неї.

Дано: (a, \angle B, \angle C \). Знайти $\angle A, b, c $

Рішення
1. $\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C $

2. За допомогою теореми синусів обчислюємо b і c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Рішення трикутника по трьох сторонах

Дано: (a, b, c). Знайти $\angle A, \angle B, \angle C $

Рішення
1. По теоремі косінусів отримуємо:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

За $\cos A$ знаходимо $\angle A$ за допомогою мікрокалькулятора або за таблицею.

2. Аналогічно знаходимо кут B.
3. $\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B $

Розв'язання трикутника з двох сторін і куту навпроти відомої сторони

Дано: (a, b, angle A). Знайти (c, \angle B, \angle C \)

Рішення
1. За теоремою синусів знаходимо $\sin B $ отримуємо:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Введемо позначення: $D = \frac(b)(a) \cdot \sin A $. Залежно від числа D можливі випадки:
Якщо D > 1, такого трикутника немає, т.к. $\sin B $ більше 1 бути не може
Якщо D = 1, існує єдиний $\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ $
Якщо D Якщо D 2. $\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B $

3. За допомогою теореми синусів обчислюємо сторону c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Книги (підручники) Реферати ЄДІ та ОДЕ тести онлайн Ігри, головоломки Побудова графіків функцій Орфографічний словник російської мови Словник молодіжного сленгу

Прямокутний трикутник зустрічається насправді на кожному кутку. Знання про властивості даної фігури, а також вміння обчислювати її площу, безперечно, стане вам у нагоді не тільки для вирішення задач з геометрії, але і в життєвих ситуаціях.

Геометрія трикутника

В елементарній геометрії прямокутний трикутник - це фігура, яка складається з трьох з'єднаних відрізків, що формують три кути (два гострі і один прямий). Прямокутний трикутник - оригінальна фігура, що характеризується рядом важливих властивостей, що становлять фундамент тригонометрії. На відміну від звичайного трикутника, сторони прямокутної фігури мають власні назви:

Гіпотенуза - найдовша сторона трикутника, що лежить навпроти прямого кута.
Катети - відрізки, що утворюють прямий кут. Залежно від кута, що розглядається, катет може бути прилеглим до нього (утворює цей кут з гіпотенузою) або протилежним (що лежить навпроти кута). Для непрямокутних трикутників катетів немає.

Саме співвідношення катетів та гіпотенузи становить основу тригонометрії: синуси, тангенси та секанси визначаються як відношення сторін прямокутного трикутника.

Прямокутний трикутник насправді

Ця фігура набула широкого поширення насправді. Трикутники знаходять застосування у проектуванні та техніці, тому розрахунок площі фігури доводиться виконувати інженерам, архітекторам та проектувальникам. Форму трикутника мають підстави тетраедрів або призм – тривимірних фігур, які легко зустріти у повсякденності. Крім того, косинець – найпростіше уявлення «плоського» прямокутного трикутника в реальності. Кутник - це слюсарний, креслярський, будівельний та столярний інструмент, який використовується для побудови кутів як школярами, так і інженерами.

Площа трикутника

Площа геометричної фігури – це кількісна оцінка того, яка частина площини обмежена сторонами трикутника. Площа звичайного трикутника можна знайти п'ятьма способами, використовуючи формулу Герона або оперуючи при розрахунках такими змінними, як основа, сторона, кут і радіус вписаного або описаного кола. Найпростіша формула площі виражається як:

де a – сторона трикутника, h – його висота.

Формула для обчислення площі прямокутного трикутника ще простіше:

де a та b – катети.

Працюючи з нашим онлайн-калькулятор, ви можете обчислити площу трикутника, використовуючи три пари параметрів:

два катети;
катет та прилеглий кут;
катет та протилежний кут.

У завданнях чи побутових ситуаціях вам будуть дані різні комбінації змінних, тому така форма калькулятора дозволяє обчислити площу трикутника кількома способами. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади із реального життя

Керамічна плитка

Допустимо, ви хочете виконати облицювання стін кухні керамічною плиткою, яка має форму прямокутного трикутника. Для того щоб визначити витрату плитки ви повинні дізнатися площу одного елемента облицювання та загальну площу оброблюваної поверхні. Нехай вам потрібно обробити 7 квадратних метрів. Довжина катетів одного елемента становить по 19 см, тоді площа плитки дорівнюватиме:

Це означає, що площа одного елемента становить 24,5 квадратних сантиметрів або 0,01805 квадратних метрів. Знаючи ці параметри, можна підрахувати, що для обробки 7 квадратних метрів стіни вам знадобиться 7/0,01805 = 387 елементів облицювальної плитки.

Шкільне завдання

Нехай у шкільній задачі з геометрії потрібно знайти площу прямокутного трикутника, знаючи тільки те, що сторона одного катета дорівнює 5 см, а величина протилежного кута становить 30 градусів. Наш онлайн-калькулятор супроводжується ілюстрацією, на якій вказані сторони та кути прямокутного трикутника. Якщо сторона a = 5 см, її протилежний кут - це кут альфа, рівний 30 градусів. Введіть ці дані у форму калькулятора та отримайте результат:

Отже, калькулятор як обчислює площу заданого трикутника, а й визначає довжину прилеглого катета і гіпотенузи, і навіть величину другого кута.

Висновок

Прямокутні трикутники зустрічаються у нашому житті буквально на кожному розі. Визначення площі таких фігур стане вам у нагоді не тільки при вирішенні шкільних завдань з геометрії, але і повсякденної та професійної діяльності.

\(a=\)
\(\beta=\)	(у градусах)
\(\gamma=\)	(у градусах)