Як навчитися рахувати десяткові дроби. Перехід від десяткових дробів до звичайних

Ця стаття про десяткові дроби. Тут ми розберемося з десятковим записом дробових чисел, введемо поняття десяткового дробу та наведемо приклади десяткових дробів. Далі поговоримо про розряди десяткових дробів, дамо назви розрядів. Після цього зупинимося на нескінченних десяткових дробах, скажімо про періодичні та неперіодичні дроби. Далі перерахуємо основні дії з десятковими дробами. На закінчення встановимо положення десяткових дробів на координатному промені.

Навігація на сторінці.

Десятковий запис дробового числа

Читання десяткових дробів

Скажемо кілька слів про правила читання десяткових дробів.

Десяткові дроби, яким відповідають правильні звичайні дроби, читаються також як і ці звичайні дроби, тільки попередньо додається «нуль цілих». Наприклад, десяткового дробу 0,12 відповідає звичайний дріб 12/100 (читається «дванадцять сотих»), тому, 0,12 читається як «нуль цілих дванадцять сотих».

Десяткові дроби, яким відповідають змішані числа, читаються також як ці змішані числа. Наприклад, десяткового дробу 56,002 відповідає змішане число , тому, десятковий дріб 56,002 читається як «п'ятдесят шість цілих дві тисячні».

Розряди у десяткових дробах

У записі десяткових дробів, як і і записи натуральних чисел, значення кожної цифри залежить від її позиції. Дійсно, цифра 3 у десятковому дробі 0,3 означає три десятих, у десятковому дробі 0,0003 – три десяти тисячних, а у десятковому дробі 30 000,152 – три десятки тисяч. Таким чином, ми можемо говорити про розрядах у десяткових дробахтак само як і про розряди в натуральних числах.

Назви розрядів у десятковому дробі до десяткової коми повністю збігаються з назвами розрядів у натуральних числах. А назви розрядів у десятковому дробі після коми видно з наступної таблиці.

Наприклад, у десятковому дробі 37,051 цифра 3 перебуває у розряді десятків, 7 – у розряді одиниць, 0 стоїть у розряді десятих, 5 – у розряді сотих, 1 – у розряді тисячних.

Розряди в десятковій дробі також різняться за старшинством. Якщо в записі десяткового дробу рухатися від цифри до цифри зліва направо, ми будемо переміщатися від старшихдо молодшим розрядам. Наприклад, розряд сотень старший за розряд десятих, а розряд мільйонних молодший за розряд сотих. У даному кінцевому десятковому дробі можна говорити про старший і молодший розряд. Наприклад, у десятковому дробі 604,9387 старшим (вищим)розрядом є розряд сотень, а молодшим (нижчим)- Розряд десятитисячних.

Для десяткових дробів має місце розкладання за розрядами. Воно аналогічне розкладу за розрядами натуральних чисел. Наприклад, розкладання по розрядах десяткового дробу 45,6072 таке: 45,6072 = 40 +5 +0,6 +0,007 +0,0002. А властивості додавання від розкладання десяткового дробу за розрядами дозволяють перейти до інших уявлень цього десяткового дробу, наприклад, 45,6072=45+0,6072 , або 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , або 45,6072= 45,0072+0,6.

Кінцеві десяткові дроби

До цього моменту ми говорили лише про десяткові дроби, в записі яких після десяткової коми знаходиться кінцева кількість цифр. Такі дроби називають кінцевими десятковими дробами.

Визначення.

Кінцеві десяткові дроби– це десяткові дроби, записах яких міститься кінцеве число символів (цифр).

Наведемо кілька прикладів кінцевих десяткових дробів: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230032,45.

Однак не будь-який звичайний дріб може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу. Наприклад, дріб 5/13 не може бути замінена рівним їй дробом з одним із знаменників 10, 100, … , отже, не може бути переведена в кінцевий десятковий дріб. Докладніше про це ми поговоримо в розділі теорії переведення звичайних дробів у десяткові дроби.

Нескінченні десяткові дроби: періодичні дроби та неперіодичні дроби

У записі десяткового дробу після коми можна припустити можливість наявності нескінченної кількості цифр. І тут ми прийдемо до розгляду про нескінченних десяткових дробів.

Визначення.

Нескінченні десяткові дроби- Це десяткові дроби, в записі яких знаходиться безліч цифр.

Зрозуміло, що нескінченні десяткові дроби ми не можемо записати в повному вигляді, тому в їх записі обмежуються лише деяким кінцевим числом цифр після коми і ставлять крапку, що вказує на послідовність цифр, що нескінченно триває. Наведемо кілька прикладів нескінченних десяткових дробів: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .

Якщо уважно подивитися на два останні нескінченні десяткові дроби, то дроби 2,111111111… добре видно нескінченно повторювана цифра 1 , а дроби 69,74152152152… , починаючи з третього знака після коми, чітко видно повторювана група цифр 1. Такі нескінченні десяткові дроби називають періодичними.

Визначення.

Періодичні десяткові дроби(або просто періодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, у запису яких, починаючи з деякого знака після коми, нескінченно повторюється якась цифра або група цифр, яку називають періодом дробу.

Наприклад, періодом періодичного дробу 2,111111111 є цифра 1 , а періодом дробу 69,74152152152 є група цифр виду 152 .

Для нескінченних періодичних десяткових дробів прийнято особливу форму запису. Для стислості умовилися період записувати один раз, укладаючи його в круглі дужки. Наприклад, періодичний дріб 2,111111111... записується як 2,(1) , а періодичний дріб 69,74152152152... записується як 69,74(152) .

Варто зазначити, що для одного і того ж періодичного десяткового дробу можна вказати різні періоди. Наприклад, періодичний десятковий дріб 0,73333 можна розглядати як дріб 0,7(3) з періодом 3 , а також як дріб 0,7(33) з періодом 33 , і так далі 0,7(333), 0,7 (3333), ... Також на періодичний дріб 0,73333 ... можна подивитися і так: 0,733 (3), або так 0,73 (333) і т.п. Тут, щоб уникнути багатозначності і різночитань, умовимося розглядати як період десяткового дробу найкоротший з усіх можливих послідовностей цифр, що повторюються, і починається з найближчої позиції до десяткової коми. Тобто, періодом десяткового дробу 0,73333 ... вважатимемо послідовність з однієї цифри 3 і періодичність починається з другої позиції після коми, тобто, 0,73333 ... = 0,7 (3) . Ще приклад: періодичний дріб 4,7412121212 ... має період 12, періодичність починається з третьої цифри після коми, тобто, 4,7412121212 ... = 4,74 (12).

Нескінченні десяткові періодичні дроби виходять під час переведення в десяткові дроби звичайних дробів, знаменники яких містять прості множники, відмінні від 2 і 5 .

Тут варто сказати про періодичні дроби з періодом 9 . Наведемо приклади таких дробів: 6,43(9), 27,(9). Ці дроби є іншим записом періодичних дробів з періодом 0 і їх прийнято замінювати періодичними дробами з періодом 0 . Для цього період 9 замінюють періодом 0 а значення наступного за старшинством розряду збільшують на одиницю. Наприклад, дріб з періодом 9 виду 7,24(9) замінюється періодичним дробом з періодом 0 виду 7,25(0) або рівним їй кінцевим десятковим дробом 7,25 . Ще приклад: 4, (9) = 5, (0) = 5 . Рівність дробу з періодом 9 і відповідного їй дробу з періодом 0 легко встановлюється після заміни цих десяткових дробів рівними їм звичайними дробами.

Нарешті, уважніше розглянемо нескінченні десяткові дроби, у запису яких відсутня послідовність цифр, що нескінченно повторюється. Їх називають неперіодичними.

Визначення.

Неперіодичні десяткові дроби(або просто неперіодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, які мають періоду.

Іноді неперіодичні дроби мають вигляд, схожий на вид періодичних дробів, наприклад, 8,02002000200002… - неперіодична дріб. У таких випадках слід бути особливо уважними, щоб помітити різницю.

Зазначимо, що неперіодичні дроби не перетворюються на звичайні дроби, нескінченні неперіодичні десяткові дроби становлять ірраціональні числа.

Дії з десятковими дробами

Однією з дій з десятковими дробами є порівняння, також визначено чотири основні арифметичні дії з десятковими дробами: додавання, віднімання, множення та поділ. Розглянемо окремо кожну з дій із десятковими дробами.

Порівняння десяткових дробівпо суті базується на порівнянні звичайних дробів, що відповідають порівнюваним десятковим дробам. Однак переведення десяткових дробів у звичайні є досить трудомісткою дією, та й нескінченні неперіодичні дроби не можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, тому зручно використовувати порозрядне порівняння десяткових дробів. Порозрядне порівняння десяткових дробів аналогічне порівнянню натуральних чисел. Для більш детальної інформації рекомендуємо вивчити матеріал статті порівняння десяткових дробів, правила, приклади, рішення .

Переходимо до наступної дії множення десяткових дробів. Множення кінцевих десяткових дробів проводиться аналогічно віднімання десяткових дробів, правила, приклади, розв'язання множення стовпчиком натуральних чисел. У разі періодичних дробів множення можна звести до множення звичайних дробів. У свою чергу, множення нескінченних неперіодичних десяткових дробів після їх округлення зводиться до множення кінцевих десяткових дробів. Рекомендуємо до подальшого вивчення статті множення десяткових дробів, правила, приклади, рішення .

Десяткові дроби на координатному промені

Між точками та десятковими дробами існує взаємно однозначна відповідність.

Розберемося, як будуються точки на координатному промені, що відповідають даному десятковому дробу.

Кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні десяткові дроби ми можемо замінити рівними ним звичайними дробами, після чого побудувати відповідні звичайні дроби на координатному промені . Наприклад, десяткового дробу 1,4 відповідає звичайний дріб 14/10 тому точка з координатою 1,4 віддалена від початку відліку в позитивному напрямку на 14 відрізків, рівних десятій частині одиничного відрізка.

Десяткові дроби можна відзначати на координатному промені, відштовхуючись від розкладання цього десяткового дробу за розрядами. Наприклад, нехай нам потрібно побудувати точку з координатою 16,3007 , так як 16,3007=16+0,3+0,0007 , то дану точку можна потрапити, послідовно відкладаючи від початку координат 16 одиничних відрізків, 3 відрізка, довжина яких дорівнює десятій частці одиничного, і 7 відрізків, довжина якого дорівнює десятитисячній частці одиничного відрізка.

Такий спосіб побудови десяткових чисел на координатному промені дозволяє як завгодно близько наблизитися до точки, що відповідає нескінченному десятковому дробу.

Іноді можна точно побудувати точку, що відповідає нескінченному десятковому дробу. Наприклад, , Тоді цього нескінченного десяткового дробу 1,41421 ... відповідає точка координатного променя, віддалена від початку координат на довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 одиничний відрізок.

Зворотний процес отримання десяткового дробу, що відповідає даній точці на координатному промені, є так званим десятковий вимір відрізка. Розберемося, як воно проводиться.

Нехай наше завдання полягає в тому, щоб потрапити з початку відліку до цієї точки координатної прямої (або нескінченно наблизитися до неї, якщо потрапити в неї не виходить). При десятковому вимірі відрізка ми можемо послідовно відкладати від початку відліку будь-яку кількість одиничних відрізків, далі відрізків, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, потім відрізків, довжина яких дорівнює сотій частині одиничного, і т.д. Записуючи кількість відкладених відрізків кожної довжини, ми отримаємо десятковий дріб, що відповідає даній точці на координатному промені.

Наприклад, щоб потрапити в точку М на наведеному вище малюнку, потрібно відкласти 1 одиничний відрізок і 4 відрізки, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного. Таким чином, точці М відповідає десятковий дріб 1,4 .

Зрозуміло, що точкам координатного променя, які неможливо потрапити у процесі десяткового виміру, відповідають нескінченні десяткові дроби.

Список літератури.

Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких у знаменнику стоїть 10, 100, 1000 - загалом, будь-який ступінь десятки. У цих дробів є спеціальна назва та форма запису.

Десятковий дріб - це будь-який числовий дріб, у знаменнику якого стоїть ступінь десятки.

Приклади десяткових дробів:

Навіщо взагалі потрібно виділяти такі дроби? Чому їм потрібна власна форма записи? На це є як мінімум три причини:

Десяткові дроби набагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробів їх потрібно відняти один від одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться за власними правилами, і після невеликого тренування ви працюватимете з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без наочності.

Більшість калькуляторів також дають відповіді саме у десяткових дробах. Інший формат запису може призвести до проблем. Наприклад, якщо вимагати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля:)

Правила запису десяткових дробів

Основна перевага десяткових дробів - зручний та наочний запис. А саме:

Десятковий запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частина відокремлюється від дробової за допомогою звичайної точки або коми. При цьому сам роздільник (точка або кома) називається десятковою точкою.

Наприклад, 0,3 (читається: "нуль цілих, 3 десятих"); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Усі приклади взято з попереднього визначення.

На листі як десяткова точка зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.

Щоб записати довільний десятковий дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:

Виписати окремо чисельник;
Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від усіх цифр;
Якщо десяткова точка зрушила, а після неї наприкінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.

Буває, що на другому кроці чисельник не вистачає цифр для завершення зсуву. У цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, ліворуч від будь-якого числа можна без шкоди здоров'ю приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.

На перший погляд, цей алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто – треба лише трохи потренуватися. Погляньте на приклади:

Завдання. Для кожного дробу вкажіть його десятковий запис:

Чисельник першого дробу: 73. Зсуваємо десяткову точку на один знак (бо в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.

Чисельник другого дробу: 9. Зсуваємо десяткову точку на два знаки (бо в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткової точки і ще один перед нею, щоб не залишати дивний запис виду «,09».

Чисельник третього дробу: 10029. Зсуваємо десяткову точку на три знаки (бо в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.

Чисельник останнього дробу: 10500. Знову зрушуємо крапку на три знаки – отримаємо 10,500. Наприкінці числа утворилися зайві нулі. Закреслюємо їх – отримуємо 10,5.

Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 та 10,5. Згідно з правилами, нулі праворуч треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак у жодному разі не можна чинити так з нулями, що стоять усередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 та 10,5, а не 1,29 та 1,5.

Отже, з визначенням та формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби до десяткових - і навпаки.

Перехід від звичайних дробів до десяткових

Розглянемо простий числовий дріб виду a/b. Можна скористатися основною властивістю дробу та помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб унизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте таке:

Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчитеся розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.

Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?

Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні лише множники 2 та 5, це число можна призвести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 – будь-що), про ступінь десятки можна забути.

Завдання. Перевірити, чи можна подати зазначені дроби у вигляді десяткових:

Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна подати у вигляді десяткового.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дроб не представима у вигляді десяткового.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядку: крім чисел 2 і 5 нічого немає. Дроб представна у вигляді десяткового.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.

Отже, зі знаменником розібралися – тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десяткових дробів:

Розкласти знаменник вихідного дробу на множники і переконатися, що він взагалі уявний у вигляді десяткового. Тобто. перевірити, щоб у розкладанні були присутні лише множники 2 та 5. Інакше алгоритм не працює;
Порахувати, скільки двійок і п'ятірок є у розкладанні (інших чисел там уже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок та п'ятірок зрівнялася.
Власне, помножити чисельник і знаменник вихідного дробу цей множник - отримаємо шукане уявлення, тобто. у знаменнику стоятиме ступінь десятки.

Зрозуміло, додатковий множник теж розкладатиметься тільки на двійки та п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник із усіх можливих.

І ще: якщо у вихідному дробі є ціла частина, обов'язково переведіть цей дріб у неправильний - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.

Завдання. Перевести ці числові дроби в десяткові:

Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Отже, дріб представний у вигляді десяткового. У розкладанні є дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 = 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. Маємо:

Тепер розберемося з другим дробом. Для цього зауважимо, що 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - у розкладанні присутня трійка, тому дріб не уявний у вигляді десяткового.

Два останні дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 відповідно - скрізь присутні лише двійки та п'ятірки. При цьому в першому випадку "для повного щастя" не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:

Перехід від десяткових дробів до звичайних

Зворотне перетворення – від десяткової форми запису до звичайної – виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десятковий дріб у класичний «двоповерховий» можна завжди.

Алгоритм перекладу наступний:

Закресліть всі нулі, що стоять у десятковому дробі зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканого дробу. Головне - не перестарайтеся та не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
Підрахуйте, скільки знаків коштує у вихідному десятковому дробі після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть праворуч стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми щойно знайшли. По можливості скоротите. Якщо у вихідному дробі була ціла частина, зараз ми отримаємо неправильний дріб, що дуже зручно для подальших обчислень.

Завдання. Перевести десяткові дроби у звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо такі числа (це будуть чисельники): 8; 3107; 225; 72008.

У першому і в другому дробах після коми стоїть по 3 знаки, у другій - 2, а в третій - цілих 4 знаки. Отримаємо знаменники: 1000; 1000; 100; 10 000.

Нарешті, об'єднаємо чисельники та знаменники у звичайні дроби:

Як видно з прикладів, отриманий дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-який десятковий дріб представний у вигляді звичайного. Зворотне перетворення можна здійснити не завжди.

Ми вже казали, що дроби бувають звичайніі десяткові. На даний момент ми трохи вивчили прості дроби. Ми дізналися, що звичайні дроби бувають правильні та неправильні. Також ми дізналися, що звичайні дроби можна скорочувати, складати, віднімати множити та ділити. І ще ми дізналися, що бувають так звані змішані числа, які складаються з цілої та дрібної частини.

Ми ще не до кінця вивчили прості дроби. Є чимало тонкощів та деталей, про які слід поговорити, але вже сьогодні ми почнемо вивчати десятковідроби, оскільки звичайні та десяткові дроби досить часто доводиться поєднувати. Тобто, при вирішенні завдань доводиться застосовувати обидва види дробів.

Цей урок, можливо, здасться складним і незрозумілим. Це цілком нормально. Такі уроки вимагають, щоб їх саме вивчали, а не переглядали поверхово.

Зміст уроку

Вираз величин у дробовому вигляді

Іноді зручно буває показати щось у дрібному вигляді. Наприклад, одна десята частина дециметра записується так:

Цей вислів означає, що один дециметр був поділений на десять частин, і від цих десяти частин було взято одну частину:

Як видно на малюнку, одна десята частина дециметра – це один сантиметр.

Розглянемо наступний приклад. Показати 6 см та ще 3 мм у сантиметрах у дробовому вигляді.

Отже, потрібно виразити 6 см та 3 мм у сантиметрах, але у дробовому вигляді. 6 цілих сантиметрів у нас вже є:

але залишилося ще 3 міліметри. Як показати ці 3 міліметри, причому у сантиметрах? На допомогу приходять дроби. 3 міліметри це третина сантиметра. А третина сантиметра записується як см

Дроб означає, що один сантиметр був розділений на десять рівних частин, і від цих десяти частин взяли три частини (три з десяти).

В результаті маємо шість цілих сантиметрів і три десяті сантиметри:

У цьому 6 показує число цілих сантиметрів, а дріб — число дробових сантиметрів. Цей дріб читається як «шість цілих і три десяті сантиметри».

Дроби, у знаменнику яких є числа 10, 100, 1000 можна записувати без знаменника. Спочатку пишуть цілу частину, а потім чисельник дробової частини. Ціла частина відокремлюється від чисельника дробової частини коми.

Наприклад, запишемо без знаменника. Для цього спочатку запишемо цілу частину. Ціла частина це число 6. Записуємо спочатку це число:

Цілу частину записано. Відразу ж після написання цілої частини ставимо кому:

І тепер записуємо чисельник дробової частини. У змішаному числі чисельник дробової частини це число 3. Записуємо після коми трійку:

Будь-яке число, яке представляється в такому вигляді, називається десятковим дробом.

Тому показати 6 см і ще 3 мм у сантиметрах можна за допомогою десяткового дробу:

6,3 см

Виглядати це буде так:

Насправді десяткові дроби це самі звичайні дроби і змішані числа. Особливість таких дробів у тому, що у знаменнику їх дробової частини стоять числа 10, 100, 1000 чи 10000.

Як і змішане число, десятковий дріб має цілу частину та дробову. Наприклад, у змішаному числі ціла частина це 6, а частина це .

У десятковому дробі 6,3 ціла частина це число 6, а дробова частина це чисельник дробу, тобто число 3.

Буває і так, що прості дроби в знаменнику яких числа 10, 100, 1000 дано без цілої частини. Наприклад, дріб дано без цілої частини. Щоб записати такий дріб як десятковий, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини. Дроб без знаменника буде записано наступним чином:

Читається як "нуль цілих п'ять десятих".

Переклад змішаних чисел у десяткові дроби

Коли записуємо змішані числа без знаменника, ми цим переводимо їх у десяткові дроби. При переведенні звичайних дробів до десяткових дробів потрібно знати кілька моментів, про які ми зараз поговоримо.

Після того, як записана ціла частина, обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини, оскільки кількість нулів дробової частини та кількість цифр після коми в десятковому дробі має бути однаковою. Що це означає? Розглянемо наступний приклад:

Спочатку

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і десятковий дріб готовий, але обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини.

Отже, вважаємо кількість нулів у дрібній частині змішаного числа . У знаменнику дробової частини один нуль. Значить у десятковому дробі після коми буде одна цифра і ця цифра буде чисельником дробової частини змішаного числа, тобто число 2

Таким чином, змішане число при переведенні в десятковий дріб перетворюється на 3,2.

Цей десятковий дріб читається так:

«Три цілих, дві десятих»

"Десятих" тому що в дробовій частині змішаного числа знаходиться число 10.

приклад 2.Перевести змішане число в десятковий дріб.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і отримати десятковий дріб 5,3 але правило каже, що після коми має бути стільки цифр скільки нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа . А ми бачимо, що у знаменнику дробової частини два нулі. Значить у нашому десятковому дробі після коми має бути дві цифри, а не одна.

У таких випадках чисельник дробової частини потрібно трохи видозмінити: додати нуль перед чисельником, тобто перед числом 3

Тепер можна перевести це змішане число в десятковий дріб. Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І записуємо чисельник дробової частини:

Десятковий дріб 5,03 читається так:

«П'ять цілих, три соті»

"Сотих" тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа знаходиться число 100.

приклад 3.Перевести змішане число в десятковий дріб.

З попередніх прикладів ми дізналися, що для успішного переведення змішаного числа в десятковий дріб, кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини має бути однаковим.

Перед переведенням змішаного числа в десятковий дріб, його дробову частину потрібно трохи видозмінити, а саме зробити так, щоб кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини була однаковою.

Насамперед дивимося на кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там три нулі:

Наше завдання організувати у чисельнику дробової частини три цифри. Одна цифра у нас вже є — це число 2. Залишилось додати ще дві цифри. Ними будуть два нулі. Додамо їх перед число 2. У результаті кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику стане однаковим:

Тепер можна зайнятися переведенням цього змішаного числа в десятковий дріб. Записуємо спочатку цілу частину і ставимо кому:

і відразу записуємо чисельник дробової частини

3,002

Бачимо, що кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа однакова.

Десятковий дріб 3,002 читається так:

«Три цілих, дві тисячні»

«Тисячні» тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа знаходиться число 1000.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Прості дроби, у яких у знаменнику числа 10, 100, 1000 або 10000, теж можна перевести в десяткові дроби. Оскільки у звичайного дробу ціла частина відсутня, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини.

Тут також кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику має бути однаковою. Тому слід бути уважним.

приклад 1.

Ціла частина відсутня, значить спочатку записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику одна цифра. Отже можна спокійно продовжити десятковий дріб, записавши після коми число 5

В отриманому десятковому дробі 0,5 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,5 читається так:

"Нуль цілих п'ять десятих"

приклад 2.Перевести звичайний дріб у десятковий дріб.

Ціла частина відсутня. Записуємо спочатку 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там два нулі. А в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість цифр та кількість нулів однаковою, додамо в чисельнику перед числом 2 один нуль. Тоді дріб набуде вигляду. Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб:

В отриманому десятковому дробі 0,02 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,02 читається так:

«Нуль цілих, дві сотих».

приклад 3.Перевести звичайний дріб у десятковий дріб.

Записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер вважаємо кількість нулів у знаменнику дробу. Бачимо, що там п'ять нулів, а в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однаковим, потрібно в чисельнику перед числом 5 дописати чотири нулі:

Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб. Записуємо після коми чисельник дробу

В отриманому десятковому дробі 0,00005 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,00005 читається так:

"Нуль цілих, п'ять стотисячних".

Переведення неправильних дробів у десятковий дріб

Неправильний дріб це дріб, у якого чисельник більший за знаменник. Зустрічаються неправильні дроби, які мають у знаменнику числа 10, 100, 1000 чи 10000. Такі дроби можна переводити в десяткові дроби. Але перед переведенням у десятковий дріб, у таких дробів необхідно виділяти цілу частину.

приклад 1.

Дріб є неправильним дробом. Щоб перевести такий дріб у десятковий дріб, потрібно насамперед виділити в нього цілу частину. Згадуємо, як виділяти цілу частину неправильних дробів. Якщо забули, радимо повернутися і вивчити його.

Отже, виділимо цілу частину в неправильному дробі. Нагадаємо, що дріб означає розподіл - в даному випадку розподіл числа 112 на число 10

Подивимося на цей малюнок і зберемо нове змішане число, подібно до дитячого конструктора. Число 11 буде цілою частиною, число 2 - чисельником дробової частини, число 10 - знаменником дробової частини.

Ми отримали змішане число. Його і переведемо в десятковий дріб. А як переводити такі числа до десяткових дробів ми вже знаємо. Спочатку записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику дробової частини одна цифра. Значить кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

В отриманому десятковому дробі 11,2 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Значить неправильний дріб при переведенні в десятковий дріб звертається до 11,2

Десятковий дріб 11,2 читається так:

"Одинадцять цілих, дві десятих".

приклад 2.Перевести неправильний дріб у десятковий дріб.

Це неправильний дріб, оскільки чисельник більший за знаменник. Але її можна перевести в десятковий дріб, оскільки в знаменнику є число 100.

Насамперед виділимо цілу частину цього дробу. Для цього розділимо 450 на 100 куточків:

Зберемо нове змішане число - отримаємо. А як переводити змішані числа до десяткових дробів ми вже знаємо.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини. Бачимо, що кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

В отриманому десятковому дробі 4,50 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Значить неправильний дріб при переведенні в десятковий дріб звертається до 4,50

При розв'язанні задач, якщо наприкінці десяткового дробу виявляються нулі, їх можна відкинути. Давайте і ми відкинемо нуль у нашій відповіді. Тоді ми отримаємо 4,5

Це одна з найцікавіших особливостей десяткових дробів. Вона полягає в тому, що нулі, які стоять в кінці дробу, не надають цьому дробу ніякої ваги. Іншими словами, десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні. Поставимо між ними знак рівності:

4,50 = 4,5

Постає питання: а чому так відбувається? Адже на вигляд 4,50 та 4,5 різні дроби. Весь секрет криється в основному властивості дробу, який ми вивчали раніше. Ми спробуємо довести, чому дорівнюють десяткові дроби 4,50 і 4,5, але після вивчення наступної теми, яка називається «переведення десяткового дробу в змішане число».

Переведення десяткового дробу в змішане число

Будь-який десятковий дріб може бути переведений назад в змішане число. Для цього достатньо вміти читати десяткові дроби. Наприклад, переведемо 6,3 у змішане число. 6,3 це шість цілих і три десятих. Записуємо спочатку шість цілих:

і поряд три десятих:

приклад 2.Перевести десятковий дріб 3,002 у змішане число

3,002 це три цілих та дві тисячних. Записуємо спочатку три цілі

і поруч записуємо дві тисячі:

приклад 3.Перевести десятковий дріб 4,50 у змішане число

4,50 це чотири цілих та п'ятдесят сотих. Записуємо чотири цілих

і поруч п'ятдесят сотих:

До речі, давайте згадаємо останній приклад із попередньої теми. Ми сказали, що десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні. Також ми сказали, що нуль можна відкинути. Спробуємо довести, що десяткові 4,50 та 4,5 рівні. Для цього переведемо обидві десяткові дроби до змішаних чисел.

Після переведення в змішане число десятковий дріб 4,50 звертається до , а десятковий дріб 4,5 звертається до

Маємо два змішані числа і . Переведемо ці змішані числа до неправильних дробів:

Тепер маємо два дроби та . Настав час згадати основну властивість дробу, яке говорить, що при множенні (чи розподілі) чисельника і знаменника дробу на те саме число значення дробу не змінюється.

Давайте розділимо перший дріб на 10

Отримали , а це другий дріб. Значить і рівні між собою і рівні тому самому значенню:

Спробуйте на калькулятор розділити спочатку 450 на 100, а потім 45 на 10. Забавна штука вийде.

Переведення десяткового дробу у звичайний дріб

Будь-який десятковий дріб може бути назад переведений у звичайний дріб. Для цього знову ж таки достатньо вміти читати десяткові дроби. Наприклад, переведемо 0,3 у звичайний дріб. 0,3 це нуль цілих та три десятих. Записуємо спочатку нуль цілих:

і поряд три десятих 0 . Нуль за традицією не записують, тому остаточна відповідь буде не 0, а просто.

приклад 2.Перевести десятковий дріб 0,02 у звичайний дріб.

0,02 це нуль цілих та дві сотих. Нуль по не записуємо, тому відразу записуємо дві сотих

приклад 3.Перекласти 0,00005 у звичайний дріб

0,00005 це нуль цілих та п'ять сто тисячних. Нуль не записуємо, тому одразу записуємо п'ять сто тисячних

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

РОЗДІЛ ІІІ.

ДЕСЯТИЧНІ ДРОБИ.

§ 31. Завдання та приклади на всі дії з десятковими дробами.

Виконати вказані дії:

767. Знайти приватне від поділу:

Виконати дії:

772. Обчислити:

Знайти х , якщо:

776. Невідоме число помножили на різницю чисел 1 та 0,57 та у творі отримали 3,44. Знайти невідоме число.

777. Суму невідомого числа та 0,9 помножили на різницю між 1 та 0,4 та у творі отримали 2,412. Знайти невідоме число.

778. За даними діаграми про виплавку чавуну в РРФСР (рис. 36) скласти завдання, на вирішення якої треба застосувати дії складання, віднімання і розподілу.

779. 1) Довжина Суецького каналу 165,8 км, довжина Панамського каналу менша за Суецький на 84,7 км, а довжина Біломорсько-Балтійського каналу на 145,9 км більша за довжину Панамського. Яка довжина Біломорсько-Балтійського каналу?

2) Московське метро (до 1959 р.) було збудовано у 5 черг. Довжина першої черги метро 11,6 км, другий -14,9 км, довжина третьої на 1,1 км менша за довжину другої черги, довжина четвертої черги на 9,6 км більша за третю чергу, а довжина п'ятої черги на 11,5 км менша четвертої. Чому дорівнює довжина Московського метро на початок 1959 р.?

780. 1) Найбільша глибина Атлантичного океану 8,5 км, найбільша глибина Тихого ркеану на 2,3 км більша за глибину Атлантичного океану, а найбільша глибина Північного Льодовитого океану в 2 рази менша від найбільшої глибини Тихого океану. Якою є найбільша глибина Північного Льодовитого океану?

2) Автомобіль "Москвич" на 100 км шляху витрачає 9 л бензину, автомобіль "Перемога" на 4,5 л більше, ніж витрачає "Москвич", а "Волга" в 1,1 рази більше "Перемоги". Скільки бензину витрачає автомобіль Волга на 1 км шляху? (Відповідь округлити з точністю до 0,01 л.)

781. 1) Учень під час канікул поїхав до дідуся. Залізницею він їхав 8,5 години, а від станції на конях 1,5 години. Усього він проїхав 440 км. З якою швидкістю учень їхав залізницею, якщо на конях він їхав зі швидкістю 10 км на годину?

2) Колгоспнику треба було бути у пункті, що знаходиться на відстані 134,7 км від його будинку. 2,4 години він їхав автобусом із середньою швидкістю 55 км на годину, а решту шляху він пройшов пішки зі швидкістю 4,5 км на годину. Скільки часу він ішов пішки?

782. 1) За літо один ховрах знищує близько 0,12 ц хліба. Піонери навесні винищили на 37,5 га 1250 ховрахів. Скільки хліба зберегли школярі для колгоспу? Скільки збереженого хліба припадає на 1 га?

2) Колгосп підрахував, що, знищивши ховрахів на площі 15 га ріллі, школярі зберегли 3,6 т зерна. Скільки ховрахів у середньому знищено на 1 га землі, якщо один ховрах за літо знищує 0,012 т зерна?

783. 1) При розмелюванні пшениці на борошно втрачається 0,1 її ваги, а при випіканні виходить припік, що дорівнює 0,4 ваги борошна. Скільки печеного хліба вийде з 2,5 т пшениці?

2) Колгосп зібрав 560 т соняшникового насіння. Скільки соняшникової олії виготовлять із зібраного зерна, якщо вага зерна становить 0,7 ваги насіння соняшника, а вага отриманої олії становить 0,25 ваги зерна?

784. 1) Вихід вершків із молока становить 0,16 ваги молока, а вихід олії із вершків становить 0,25 ваги вершків. Скільки потрібно молока (за вагою) для отримання 1 ц олії?

2) Скільки кілограмів білих грибів треба зібрати для одержання 1 кг сушених, якщо при підготовці до сушіння залишається 0,5 ваги, а при сушінні залишається 0,1 ваги обробленого гриба?

785. 1) Земля, відведена колгоспу, використана так: 55% її зайнято ріллом, 35% -лугом, а решта землі в кількості 330,2 га відведена під колгоспний сад і під садиби колгоспників. Скільки всього землі у колгоспі?

2) Колгосп засіяв 75% усієї посівної площі зерновими культурами, 20%-овочевими, а решту площі кормовими травами. Скільки посівної площі мав колгосп, якщо кормовими травами він засіяв 60 га?

786. 1) Скільки центнерів насіння потрібно для засіву поля, що має форму прямокутника завдовжки 875 м та шириною 640 м, якщо на 1 га висівати 1,5 ц насіння?

2) Скільки центнерів насіння потрібно для засіву поля, що має форму прямокутника, якщо його периметр дорівнює 1,6 км? Ширина поля 300 м. На засів 1 га потрібно 1,5 ц насіння.

787. Скільки пластинок квадратної форми зі стороною 0,2 дм поміститься у прямокутнику розміром 0,4 дм х 10 дм?

788. Читальний зал має розміри 9,6 м x 5 м x 4,5 м. На скільки місць розрахований читальний зал, якщо на кожну людину необхідно 3 куб. м повітря?

789. 1) Яку площу луки скосить трактор із причепом чотирьох косарок за 8 годин, якщо ширина захоплення кожної косарки 1,56 м та швидкість трактора 4,5 км на годину? (Час на зупинки не враховується.) (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)

2) Ширина захоплення тракторної овочевої сівалки дорівнює 2,8 м. Яку площу можна засіяти цією сівалкою за 8 год. роботи при швидкості 5 км на годину?

790. 1) Знайти вироблення трикорпусного тракторного плуга за 10 год. роботи, якщо швидкість трактора 5 км на годину, захоплення одного корпусу 35 см, а непродуктивна трата часу склала 0,1 всього витраченого часу. (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)

2) Знайти вироблення п'ятикорпусного тракторного плуга за 6 год. роботи, якщо швидкість трактора 4,5 км на годину, захоплення одного корпусу 30 см, а непродуктивна трата часу склала 0,1 всього витраченого часу. (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)

791. Витрата води на 5 км пробігу для паровоза пасажирського поїзда дорівнює 0,75 т. Водяний бак тендеру вміщує 16,5 т води. На скільки кілометрів колії вистачить води поїзду, якщо бак був наповнений на 0,9 своєї місткості?

792. На запасному шляху можуть поміститися лише 120 товарних вагонів при середній довжині вагона в 7,6 м. Скільки поміститься на цьому шляху чотириосних пасажирських вагонів завдовжки 19,2 м кожен, якщо на цьому шляху буде вміщено ще 24 товарні вагони?

793. Для міцності залізничного насипу рекомендується проводити зміцнення укосів у вигляді посіву польових трав. На кожен квадратний метр насипу потрібно 2,8 г насіння вартістю 0,25 руб. за 1кг. Скільки коштуватиме засів 1,02 га укосів, якщо вартість робіт становитиме 0,4 від вартості насіння? (Відповідь округлити з точністю до 1 руб.)

794. Цегельний завод доставив на станцію залізниці цеглу. На перевезенні цегли працювали 25 коней та 10 вантажних машин. Кожен кінь перевозив 0,7 т за одну поїздку і щодня здійснював 4 поїздки. Кожна машина перевозила за одну поїздку 2,5 т і щодня здійснювала 15 поїздок. Перевезення тривало 4 дні. Скільки штук цегли було доставлено на станцію, якщо середня вага однієї цегли 3,75 кг? (Відповідь округлити з точністю до 1 тис. штук.)

795. Запас борошна був розподілений між трьома пекарнями: перша отримала 0,4 всього запасу, друга 0,4 залишку, а третя пекарня отримала борошна на 1,6 т менше ніж перша. Скільки всього борошна було розподілено?

796. На другому курсі інституту 176 студентів, на третьому 0,875 цього числа, а на першому в півтора рази більше від того, що було на третьому курсі. Число студентів на першому, другому та третьому курсах становило 0,75 всього числа студентів цього інституту. Скільки студентів було в інституті?

797. Знайти середнє арифметичне:

1) двох чисел: 56,8 та 53,4; 705,3 та 707,5;

2) трьох чисел: 46,5; 37,8 та 36; 0,84; 0,69 та 0,81;

3) чотирьох чисел: 5,48; 1,36; 3,24 та 2,04.

798. 1) Вранці температура була 13,6 °, опівдні 25,5 °, а ввечері 15,2 °. Обчислити середню температуру цього дня.

2) Яка середня температура протягом тижня, якщо протягом тижня термометр показав: 21°; 20,3 °; 22,2 °; 23,5 °; 21,1 °; 22,1 °; 20,8 °?

799. 1) Шкільна бригада першого дня прополола 4,2 га буряків, другого дня 3,9 га, а третій 4,5 га. Визначати середній виробіток бригади за день.

2) Для встановлення норми часу виготовлення нової деталі було поставлено 3 токаря. Перший виготовив деталь за 3,2 хв, другий за 3,8 хв, а третій за 4,1 хв. Обчислити норму часу, встановленої виготовлення деталі.

800. 1) Середнє арифметичне двох чисел 36,4. Одне із цих чисел 36,8. Знайти інше.

2) Температуру повітря вимірювали тричі на день: вранці, опівдні та ввечері. Знайти температуру повітря вранці, якщо опівдні було 28,4 °, увечері 18,2 ° тепла, а середня температура дня 20,4 °.

801. 1) Автомобіль проїхав за перші дві години 98,5 км, а за наступні три години 138 км. Скільки кілометрів у середньому проїжджав автомобіль за годину?

2) Пробний улов і зважування коропів-річників показав, що з 10 коропів 4 мали вагу по 0,6 кг, 3 по 0,65 кг, 2 по 0,7 кг і 1 важив 0,8 кг. Яка в середньому вага коропа-річника?

802. 1) До 2 л сиропу вартістю 1,05 руб. за 1 л додали 8 л води. Скільки коштує 1 л одержаної води з сиропом?

2) Господиня купила банку консервованого борщу об'ємом 0,5 л за 36 коп. та прокип'ятила з 1,5 л води. У що обійшлася тарілка борщу, якщо її об'єм дорівнює 0,5 л?

803. Лабораторна робота «Вимір відстані між двома точками»,

1-й прийом. Вимірювання рулеткою (мірною стрічкою). Клас розбивається на ланки по три людини у кожному. Приладдя: 5-6 віх та 8-10 бирок.

Хід виконання роботи: 1) відзначаються точки А та Б і між ними провішують пряму (див. задачу 178); 2) укладають рулетку, вздовж провішеної прямої і щоразу відзначають биркою кінець рулетки. 2-й прийом. Вимірювання, кроками. Клас розбивається на ланки по три людини у кожному. Кожен учень проходить відстань від А до Б, рахуючи кількість своїх кроків. Помноживши середню довжину свого кроку отримане число кроків, знаходять відстань від А до Б.

3-й прийом. Вимір "на око". Кожен із учнів витягує ліву руку з піднятим великим пальцем (рис. 37) і спрямовує великий палець на віху в точку Б (на малюнку - дерево) так, щоб ліве око (точка А), великий палець і точка Б знаходилися на одній прямій. Не змінюючи положення, заплющують ліве око і дивляться правим на великий палець. Вимірюють на око отримане усунення і збільшують його в 10 разів. Це і є відстань від А до Б.

804. 1) За переписом 1959 р. населення СРСР становило 208,8 млн. чоловік, причому сільського населення було на 9,2 млн. осіб більше, ніж міського. Скільки було міського та скільки сільського населення в СРСР у 1959 р.?

2) За переписом 1913 р. населення Росії становило 159,2 млн. чоловік, причому міського населення було на 103,0 млн. осіб менше, ніж сільського. Скільки було міського і сільського населення Росії у 1913 р.?

805. 1) Довжина дроту 24,5 м. Цей дріт розрізали на дві частини так, що перша частина вийшла на 6,8 м довша, ніж друга. Скільки метрів завдовжки має кожна частина?

2) Сума двох чисел 100,05. Одне число на 97,06 більше за інше. Знайти ці цифри.

806. 1) На трьох вугільних складах 8656,2 т вугілля, на другому складі на 247,3 т вугілля більше ніж на першому, а на третьому на 50,8 т більше, ніж на другому. Скільки тонн на кожному складі?

2) Сума трьох чисел 446,73. Перше число менше другого на 73,17 та більше третього на 32,22. Знайти ці цифри.

807. 1) Катер за течією річки йшов зі швидкістю 14,5 км на годину, а проти течії зі швидкістю 9,5 км на годину. Яка швидкість катера у стоячій воді та яка швидкість течії річки?

2) Пароплав пройшов за 4 години протягом річки 85,6 км, а проти течії за 3 години 46,2 км. Яка швидкість пароплава у стоячій воді та яка швидкість течії річки?

808. 1) Два пароплави доставили 3500 т вантажу, причому один пароплав доставив в 1,5 рази вантажу більше, ніж інший. Скільки вантажу доставив кожний пароплав?

2) Площа двох кімнат 37,2 кв. м. Площа однієї кімнати в 2 рази більша за іншу. Чому дорівнює площа кожної кімнати?

809. 1) Із двох населених пунктом, відстань між якими 32,4 км одночасно виїхали назустріч один одному мотоцикліст та велосипедист. Скільки кілометрів проїде кожен із них до зустрічі, якщо швидкість мотоцикліста в 4 рази більша за швидкість велосипедиста?

2) Знайти два числа, сума яких 26,35, а частка від розподілу одного числа на інше дорівнює 7,5.

810. 1) Завод відправив три види вантажу загальною вагою в 19,2 т. Вага вантажу першого виду була втричі більша за вагу вантажу другого виду, а вага вантажу третього виду була вдвічі менша, ніж вага вантажу першого і другого видів разом. Яка вага вантажу кожного виду?

2) За три місяці бригада гірників видобула 52,5 тис. т залізняку. За березень видобуто у 1,3, за лютий у 1,2 рази більше, ніж за січень. Скільки руди добувала бригада щомісяця?

811. 1) Газопровід Саратов - Москва на 672 км довше каналу імені Москви. Знайти довжину тієї та іншої споруди, якщо довжина газопроводу в 6,25 рази більша за довжину каналу імені Москви.

2) Довжина річки Дону в 3,934 рази більша за довжину річки Москви. Знайти довжину кожної річки, якщо довжина річки Дону більша за довжину річки Москви на 1 467 км.

812. 1) Різниця двох чисел 5,2, а частка від розподілу одного числа на інше 5. Знайти ці числа.

2) Різниця двох чисел 0,96, які приватне 1,2. Знайти ці цифри.

813. 1) Одне число на 0,3 менше за інше і становить 0,75 його. Знайти ці цифри.

2) Одне число на 3,9 більше від іншого числа. Якщо менше збільшити вдвічі, воно становитиме 0,5 від більшого. Знайти ці цифри.

814. 1) Колгосп засіяв пшеницею та житом 2600 га землі. Скільки гектарів землі було засіяно пшеницею і скільки житом, якщо 0,8 площі, засіяною пшеницею, дорівнюють 0,5 площі, засіяною житом?

2) Колекція двох хлопчиків разом складає 660 марок. Зі скількох марок складається колекція кожного хлопчика, якщо 0,5 числа марок першого хлопчика дорівнюють 0,6 числа марок колекції другого хлопчика?

815. Два учні разом мали 5,4 руб. Після того, як перший витратив 0,75 своїх грошей, а другий 0,8 своїх грошей, у них залишилося порівну. Скільки грошей було у кожного учня?

816. 1) Два пароплави вийшли назустріч один одному з двох портів, відстань між якими 501,9 км. Через скільки часу вони зустрінуться, якщо швидкість першого пароплава 25,5 км за годину, а швидкість другого 22,3 км за годину?

2) Два поїзди вийшли назустріч один одному із двох пунктів, відстань між якими 382,2 км. Через скільки часу вони зустрінуться, якщо середня швидкість першого поїзда була 52,8 км за годину, а другого 56,4 км за годину?

817. 1) З двох міст, відстань між якими 462 км, одночасно виїхали два автомобілі та зустрілися через 3,5 години. Знайти швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість першого була на 12 км на годину більша за швидкість другого автомобіля.

2) З двох населених пунктів, відстань між якими 63 км, одночасно виїхали назустріч один одному мотоцикліст та велосипедист і зустрілися через 1,2 години. Знайти швидкість мотоцикліста, якщо велосипедист їхав зі швидкістю на 27,5 км/год меншої швидкості мотоцикліста.

818. Учень зауважив, що потяг, що складається з паровоза та 40 вагонів, проходив повз нього 35 сек. Визначити швидкість поїзда за годину, якщо довжина паровоза 18,5 м, а довжина вагона 6,2 м. (Відповідь дати з точністю до 1 км за годину.)

819. 1) З А до Б виїхав велосипедист із середньою швидкістю 12,4 км на годину. Через 3 години 15 хв. з Б назустріч йому виїхав інший велосипедист із середньою швидкістю 10,8 км на годину. Через скільки годин та на якій відстані від А вони зустрінуться, якщо 0,32 відстані між А та Б дорівнюють 76 км?

2) З міст А та Б, відстань між якими 164,7 км, виїхали назустріч один одному вантажна машина з міста А та легкова – з міста Б. Швидкість вантажної машини 36 км, а легкова у 1,25 рази більша. Легкова машина вийшла на 1,2 години пізніше за вантажну. Через скільки часу та на якій відстані від міста Б легкова машина зустріне вантажну?

820. Два пароплави вийшли одночасно з одного порту та йдуть в одному напрямку. Перший пароплав кожні 1,5 години проходить 37,5 км, а другий кожні 2 години проходить 45 км. Через скільки часу перший пароплав перебуватиме від другого на відстані 10 км?

821. З одного пункту спочатку вийшов пішохід, а за 1,5 години після його виходу виїхав у тому ж напрямку велосипедист. На якій відстані від пункту велосипедист наздогнав пішохода, якщо пішохід йшов зі швидкістю 4,25 км/год, а велосипедист їхав зі швидкістю 17 км/год?

822. Потяг вийшов із Москви до Ленінграда о 6 годині. 10 хв. ранку і йшов із середньою швидкістю 50 км за годину. Пізніше з Москви до Ленінграда вилетів пасажирський літак і прилетів до Ленінграда одночасно з прибуттям поїзда. Середня швидкість літака була 325 км на годину, а відстань між Москвою та Ленінградом 650 км. Коли літак вилетів із Москви?

823. Пароплав за течією річки йшов 5 годин, а проти течії 3 години і пройшов лише 165 км. Скільки кілометрів він пройшов за течією та скільки проти течії, якщо швидкість течії річки 2,5 км на годину?

824. Поїзд вийшов з А і повинен прибути до Б у певний час; пройшовши половину колії та роблячи по 0,8 км за 1 хв., поїзд був зупинений на 0,25 години; збільшивши далі швидкість на 100 м-коду в 1 млн., поїзд прибув до Б вчасно. Знайти відстань між А та Б.

825. Від колгоспу до міста 23 км. З міста до колгоспу виїхав велосипедом листоноша зі швидкістю 12,5 км на годину. Через 0,4 години після цього ІВ колгоспу до міста виїхав на коні колгоспник зі швидкістю, ранньою 0,6 швидкості листоноші. Через скільки часу після свого виїзду колгоспник зустріне листоношу?

826. З міста А до міста Б, що віддаляється від А на 234 км, виїхав автомобіль зі швидкістю 32 км на годину. Через 1,75 години після цього з міста Б виїхав назустріч першому другий автомобіль, швидкість якого в 1,225 рази більша за швидкість першого. За скільки годин після свого виїзду другий автомобіль зустріне перший?

827. 1) Одна друкарка може передрукувати рукопис за 1,6 години, а інша за 2,5 години. За скільки часу обидві друкарки передрукують цей рукопис, працюючи спільно? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 години.)

2) Басейн заповнюється двома насосами різної потужності. Перший насос, працюючи один, може заповнити басейн за 3,2 години, а другий за 4 години. За скільки часу наповниться басейн за одночасної роботи цих насосів? (Відповідь округлити з точністю до 0,1.)

828. 1) Одна бригада може виконати замовлення за 8 днів. Інший виконання цього замовлення потрібно 0,5 часу першої. Третя бригада може виконати це замовлення протягом 5 днів. За скільки днів буде виконано все замовлення при спільній роботі трьох бригад? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 дня.)

2) Перший робітник може виконати замовлення за 4 години, другий у 1,25 рази швидше, а третій за 5 год. За скільки годин буде виконано замовлення при спільній роботі трьох робітників? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 години.)

829. На прибиранні вулиці працюють дві машини. Перша з них може прибрати всю вулицю за 40 хв., Друга для цього потрібно 75% часу першої. Обидві машини розпочали роботу одночасно. Після спільної роботи протягом 0,25 години друга машина припинила роботу. О котрій годині після цього перша машина закінчила роботу з прибирання вулиці?

830. 1) Одна зі сторін трикутника 2,25 см, друга на 3,5 см більша за першу, а третя на 1,25 см менша за другу. Знайти периметр трикутника.

2) Одна зі сторін трикутника 4,5 см, друга на 1,4 см менша за першу, а третя сторона дорівнює напівсумі двох перших сторін. Чому дорівнює периметр трикутника?

831 . 1) Основа трикутника 4,5 см, а висота його на 1,5 см менша. Знайти площу трикутника.

2) Висота трикутника 4,25 см, а його основа в 3 рази більша. Знайти площу трикутника. (Відповідь округлити з точністю до 0,1.)

832. Знайти площі заштрихованих фігур (рис. 38).

833. Яка площа більша: прямокутника зі сторонами 5 см і 4 см, квадрата зі стороною 4,5 см або трикутника, основа та висота якого дорівнюють по 6 см?

834. Кімната має довжину 8,5 м, ширину 5,6 м та висоту 2,75 м. Площа вікон, дверей та печей становить 0,1 загальної площі стін кімнати. Скільки шматків шпалер знадобиться для обклеювання цієї кімнати, якщо шмат шпалер має довжину 7 м і ширину 0,75 м? (Відповідь округлити з точністю до 1 шматка.)

835. Треба зовні оштукатурити та побілити одноповерховий будинок, розміри якого: довжина 12 м, ширина 8 м та висота 4,5 м. У будинку 7 вікон розміром кожне 0,75 м х 1,2 м та 2 двері кожні розміром 0,75 м х 2,5 м. Скільки коштуватиме вся робота, якщо побілка та штукатурка 1 кв. м коштує 24 коп.? (Відповідь округлити а точністю до 1 руб.)

836. Обчисліть поверхню та об'єм вашої кімнати. Розміри кімнати знайдіть заміром.

837. Город має форму прямокутника, довжина якого 32 м, ширина 10 м. 0,05 всієї площі городу засіяно морквою, а решта городу засаджена картоплею і цибулею, причому картоплею засаджена площа в 7 разів більша, ніж цибулею. Скільки землі окремо засаджено картоплею, цибулею та морквою?

838. Город має форму прямокутника, довжина якого 30 м і ширина 12 м. 0,65 всієї площі городу засаджено картоплею, а решта - морквою та буряком, причому буряком засаджено на 84 кв. м більше, ніж морквою. Скільки землі окремо під картоплею, буряком та морквою?

839. 1) Ящик, що має форму куба, обшили з усіх боків фанерою. Скільки фанери витрачено, якщо ребро куба 8,2 дм? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 кв. Дм.)

2) Скільки фарби потрібно для фарбування куба з ребром 28 см, якщо на 1 кв. см буде витрачено 0,4 г фарби? (Відповідь, округлити з точністю до 0,1 кг.)

840. Довжина чавунної заготовки, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 24,5 см, ширина 4,2 см і висота 3,8 см. Скільки важать 200 чавунних заготовок, якщо 1 куб. дм чавуну важить 7,8 кг? (Відповідь округлити з точністю до 1 кг.)

841. 1) Довжина ящика (з кришкою), що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 62,4 см, ширина 40,5 см, висота 30 см. Скільки квадратних метрів дощок пішло на виготовлення ящика, якщо відходи дощок становлять 0,2 поверхні, яка повинна бути обшита дошками? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 кв. м)

2) Дно та бічні стінки ями, що має форму прямокутного паралелепіпеда, повинні бути обшиті дошками. Довжина ями 72,5 м, ширина 4,6 м та висота 2,2 м. Скільки квадратних метрів дощок пішло на обшивку, якщо відходи дощок становлять 0,2 поверхні, яка має бути обшита дошками? (Відповідь округлити з точністю до 1 кв. м)

842. 1) Довжина підвалу, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 20,5 м, ширина 0,6 його довжини, а висота 3,2 м. Підвал заповнили картоплею на 0,8 його об'єму. Скільки тонн картоплі помістилося у підвалі, якщо 1 куб. м картоплі важить 1,5 т? (Відповідь округлити з точністю до 1 т.)

2) Довжина бака, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 2,5 м, ширина 0,4 його довжини, а висота 1,4 м. Бак наповнений гасом на 0,6 його об'єму. Скільки тонн гасу налито в бак, якщо вага гасу обсягом 1 куб. м дорівнює 0,9 т? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 т.)

843. 1) У скільки часу можна оновити повітря в кімнаті, що має 8,5 м довжини, 6 м ширини та 3,2 м висоти, якщо через кватирку в 1 сек. проходить 0,1 куб. м повітря?

2) Зробіть підрахунок часу, необхідного для оновлення повітря у вашій кімнаті.

844. Розміри бетонного блоку для будівництва стін такі: 2,7 м х 1,4 м х 0,5 м. Порожнеча складає 30% обсягу блоку. Скільки кубометрів бетону буде потрібно на виготовлення 100 таких блоків?

845. Грейдер-елеватор (машина для копання канав) за 8 год. роботи робить канаву шириною 30 см, глибиною 34 см та завдовжки 15 км. Скільки землекопів замінює така машина, якщо один землекоп може вийняти 0,8 куб. м на годину? (Результат округлити.)

846. Засік у формі прямокутного паралелепіпеда має завдовжки 12 м і завширшки 8 ж. У цьому засіку насипане зерно до висоти 1,5 м. Щоб дізнатися, скільки важить все зерно, взяли ящик довжиною 0,5 м, шириною 0,5 м і висотою 0,4 м, наповнили його зерном і зважили. Скільки важило зерно в засіку, якщо зерно в ящику важило 80 кг?

848. 1) Використовуючи діаграму «Виплавлення сталі в РРФСР» (рис 39). дайте відповідь на наступні питання:

а) На скільки мільйонів тонн зросла виплавка сталі 1959 р. проти 1945 р.?

б) У скільки разів виплавка сталі у 1959 р. була більшою за виплавку у 1913 р.? (З точністю до 0,1.)

2) Використовуючи діаграму «Посівні площі в РРФСР» (рис. 40), дайте відповідь на такі питання:

а) На скільки мільйонів гектарів збільшилася посівна площа 1959 р. порівняно з 1945 р.?

б) У скільки разів посівна площа в 1959 р. була більшою за посівну площу в 1913 р.?

849. Побудувати лінійну діаграму зростання міського населення в СРСР, якщо в 1913 р. міського населення було 28,1 млн осіб, в 1926 р.-24,7 млн., в 1939 р.-56,1 млн. і в 1959 р-99, 8 млн. Чоловік.

850. 1) Скласти кошторис на ремонт приміщення вашого класу, якщо потрібно побілити стіни та стелю, а також пофарбувати підлогу. Дані для складання кошторису (розміри класу, вартість побілки 1 кв. м, вартість фарбування підлоги 1 кв. м) з'ясувати у завгоспу школи.

2) Для посадки у саду школа купила саджанці: 30 яблунь по 0,65 руб. за штуку, 50 вишень по 0,4 руб. за штуку, 40 кущів аґрусу по 0,2 руб. та 100 кущів малини по 0,03 руб. за кущ. Напишіть рахунок на цю покупку за зразком: