Як визначити скільки коренів має квадратне рівняння? Розв'язання квадратних рівнянь

Нехай надано квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0.
Застосуємо до квадратного тричлену ах 2 + bх + з ті самі перетворення, які ми виконували в § 13, коли доводили теорему про те, що графік функції у = ах 2 + bх + с є парабола.
Маємо

Зазвичай вираз b 2 - 4ас позначають буквою D і називають дискримінантом квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0 (або дискримінантом квадратного тричлена ах + bх + с).

Таким чином

Значить, квадратне рівняння ах 2 + їх + с = можна переписати у вигляді

Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити на вигляд (1), зручному, як ми зараз переконаємося, для того, щоб визначати кількість коренів квадратного рівняння і знаходити це коріння.

Доведення. Якщо D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

приклад 1.Розв'язати рівняння 2x2+4х+7=0.
Рішення. Тут а = 2, b = 4, с = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Так як D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Доведення. Якщо D = 0, то рівняння (1) набуває вигляду

- Єдиний корінь рівняння.

Зауваження 1. Чи пам'ятаєте ви, що х = - абсциса вершини параболи, яка служить графіком функції у = ах 2 + їх + с? Чому саме це
значення виявилося єдиним коренем квадратного рівняння ах 2 + їх + с - 0? "Ларчик" відкривається просто: якщо D - 0, то, як ми встановили раніше,

Графіком функції є парабола з вершиною у точці (див., наприклад, рис. 98). Отже, абсцис вершини параболи і єдиний корінь квадратного рівняння при D = 0 — те саме число.

приклад 2.Розв'язати рівняння 4x2 - 20x + 25 = 0.
Рішення. Тут а = 4, b = -20, с = 25, D = b 2 - 4ас = (-20) 2 - 4 . 4 . 25 = 400 – 400 = 0.

Так як D = 0, то теорема 2 дане квадратне рівняння має один корінь. Цей корінь знаходиться за формулою

Відповідь: 2,5.

Примітка 2. Зверніть увагу, що 4х 2 – 20х +25 – повний квадрат: 4х 2 – 20х + 25 = (2х – 5) 2 .
Якби ми це помітили відразу, то вирішили б рівняння так: (2х – 5) 2 = 0, отже, 2х – 5 = 0, звідки отримуємо х = 2,5. Взагалі, якщо D = 0, то

ах 2 + bх + с = це ми відзначили раніше в зауваженні 1.
Якщо D > 0, то квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0 має два корені, які перебувають за формулами

Доведення. Перепишемо квадратне рівняння ах 2 + Ь х + с = 0 у вигляді (1)

Покладемо
За умовою, D > 0, отже, права частина рівняння позитивне число. Тоді з рівняння (2) отримуємо, що

Отже, задане квадратне рівняння має два корені:

Примітка 3. У математиці досить рідко буває так, щоб введений термін не мав, образно висловлюючись, життєвого підґрунтя. Візьмемо нове
поняття – дискримінант. Згадайте слово «дискримінація». Що воно значить? Воно означає приниження одних і підвищення інших, тобто. різне відношення-
ня до різних пюдь. Обидва слова (і дискримінант, і дискримінація) походять від латинського discriminans - "розрізняє". Дискримінант розрізняє квадратні рівняння за кількістю коренів.

приклад 3.Розв'язати рівняння Зх 2 + 8х – 11 = 0.
Рішення. Тут а = 3, b = 8, з = - 11,
D = b 2 - 4ас = 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Так як D > 0, то теорема 3 дане квадратне рівняння має два корені. Це коріння знаходиться за формулами (3)

Фактично ми з вами виробили таке правило:

Правило розв'язування рівняння
ах 2 + bх + с = 0

Це правило універсальне, воно застосовується як до повних, так і до неповних квадратних рівнянь. Однак неповні квадратні рівняння зазвичай за цим правилом не вирішують, їх зручніше вирішувати так, як ми це робили у попередньому параграфі.

приклад 4.Розв'язати рівняння:

а) х 2 + Зх – 5 = 0; б) - 9x 2 + 6х - 1 = 0; в) 2х 2-х + 3,5 = 0.

Рішення. а) Тут а = 1, b = 3, с = - 5,
D = b 2 - 4ас = З 2 - 4. 1 . (-5) = 9 + 20 = 29.

Оскільки D > 0, то це квадратне рівняння має два корені. Це коріння знаходимо за формулами (3)

Б) Як показує досвід, зручніше мати справу з квадратними рівняннями, у яких старший коефіцієнт позитивний. Тому спочатку помножимо обидві частини рівняння на -1, отримаємо

9x 2 – 6x + 1 = 0.
Тут а = 9, b = -6, с = 1, D = b 2 - 4ас = 36 - 36 = 0.
Так як D = 0, то це квадратне рівняння має один корінь. Цей корінь знаходиться за формулою х = -. Значить,

Це рівняння можна було вирішити інакше: оскільки
9х 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, то отримуємо рівняння (Зх - I) 2 = 0, звідки знаходимо Зх - 1 = 0, тобто х = .

в) Тут а = 2, b = - 1, с = 3,5, D = b 2 - 4ас = 1 - 4. 2 . 3,5 = 1 - 28 = - 27. Так як D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математики – люди практичні, економні. Навіщо, кажуть вони, користуватися таким довгим правилом розв'язання квадратного рівняння, краще одразу написати загальну формулу:

Якщо виявиться, що дискримінант D = b 2 - 4ас - від'ємне число, то записана формула не має сенсу (під знаком квадратного кореня знаходиться від'ємне число), отже, коріння немає. Якщо ж виявиться, що дискримінант дорівнює нулю, то отримуємо

Т. е. один корінь (кажуть також, що квадратне рівняння в цьому випадку має два однакові корені:

Нарешті, якщо виявиться, що b 2 - 4ас > 0, виходять два кореня х 1 і х 2 , які обчислюються за тими ж формулами (3), що вказані вище.

Саме число в цьому випадку позитивно (як кожен квадратний корінь з позитивного числа), а подвійний знак перед ним означає, що в одному випадку (при знайденні х 1) це позитивне число додається до - b, а в іншому випадку (при знайденні х 2) це позитивне число ви-
читається із числа - b.

Ви маєте свободу вибору. Бажаєте - вирішуйте квадратне рівняння докладно, використовуючи сформульоване вище правило; хочете - запишіть відразу формулу (4) і з її допомогою робіть необхідні висновки.

Приклад 5. Розв'язати рівняння:

Рішення, а) Звичайно, можна використовувати формули (4) або (3), враховуючи, що в даному випадку Але навіщо виконувати дії з дробами, коли простіше і, головне, приємніше мати справу з цілими числами? Давайте звільнимось від знаменників. І тому треба помножити обидві частини рівняння на 12, т. е. на найменший загальний знаменник дробів, службовців коефіцієнтами рівняння. Отримаємо

звідки 8х 2 + 10x – 7 = 0.

А тепер скористаємося формулою (4)

Б) Ми знову маємо рівняння з дрібними коефіцієнтами: а = 3, b = - 0,2, с = 2,77. Помножимо обидві частини рівняння на 100, тоді отримаємо рівняння з цілими коефіцієнтами:
300x 2 – 20x + 277 = 0.
Далі скористаємося формулою (4):

Проста прикидка свідчить, що дискримінант (підкорене вираз) — негативне число. Отже, рівняння немає коренів.

Приклад 6.Вирішити рівняння
Рішення. Тут, на відміну від попереднього прикладу, краще діяти за правилом, а не за скороченою формулою (4).

Маємо а = 5, b = -, с = 1, D = b 2 - 4ас = (-) 2 - 4 . 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Так як D > 0, то квадратне рівняння має два корені, які шукатимемо за формулами (3)

Приклад 7.Вирішити рівняння
х 2 - (2р + 1) x + (р 2 + р-2) = 0

Рішення. Це квадратне рівняння відрізняється від усіх розглянутих досі квадратних рівнянь тим, що ролі коефіцієнтів виступають не конкретні числа, а буквені выражения. Такі рівняння називають рівняннями з літерними коефіцієнтами чи рівняннями з параметрами. В даному випадку параметр (літера) р входить до складу другого коефіцієнта та вільного члена рівняння.
Знайдемо дискримінант:

Приклад 8. Розв'язати рівняння рx 2 + (1 – р) х – 1 = 0.
Рішення. Це також рівняння з параметром р, але на відміну від попереднього прикладу, його не можна відразу вирішувати за формулами (4) або (3). Справа в тому, що зазначені формули застосовні до квадратних рівнянь, а про задане рівняння ми цього поки що сказати не можемо. Справді, а як р = 0? Тоді
рівняння набуде вигляду 0 . x 2 + (1-0)x- 1 = 0, тобто х - 1 = 0, звідки отримуємо х = 1. Ось якщо точно відомо, що , то можна застосовувати формули коренів квадратного рівняння:

Копіївська сільська середня загальноосвітня школа

10 способів розв'язання квадратних рівнянь

Керівник: Патрікеєва Галина Анатоліївна,

вчитель математики

с.Коп'єво, 2007

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні

1.2 Як становив та вирішував Діофант квадратні рівняння

1.3 Квадратні рівняння в Індії

1.4 Квадратні рівняння у ал- Хорезмі

1.5 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII ст.

1.6 Про теорему Вієта

2. Способи розв'язання квадратних рівнянь

Висновок

Література

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні

Необхідність вирішувати рівняння як першої, а й другого ступеня ще давнини була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок і із земляними роботами військового характеру, і навіть з недостатнім розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до зв. е. вавилоняни.

Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені.

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

1.2 Як становив та вирішував Діофант квадратні рівняння.

В «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, що супроводжуються поясненнями та вирішуються за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одне з його завдань.

Завдання 11.«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір – 96»

Діофант розмірковує так: з умови завдання випливає, що шукані числа не рівні, оскільки якби вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто . 10 + х, Інше менше, тобто. 10 - х. Різниця між ними 2х .

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел одно 12 , інше 8 . Рішення х = -2для Діофанта немає, оскільки грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо ми вирішимо це завдання, вибираючи як невідоме одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до вирішення рівняння

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Зрозуміло, що, вибираючи як невідомий напіврізність шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести завдання розв'язання неповного квадратного рівняння (1).

1.3 Квадратні рівняння в Індії

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному 499 р. індійським математиком та астрономом Аріабхаттою. Інший індійський вчений, Брахмагупта (VII ст.), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ах 2+ b х = с, а > 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцієнти, крім аможуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

У Стародавній Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людина затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII ст. Бхаскар.

Завдання 13.

«Мавп швидких зграя А дванадцять по ліанах ...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи.

Їх у квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, у цій зграї?

Рішення Бхаскари свідчить про те, що він знав про двозначність коренів квадратних рівнянь (рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскар пише під виглядом:

х 2 - 64х = -768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , отримуючи потім:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратні рівняння у ал – Хорезмі

В алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так:

1) «Квадрати рівні корінням», тобто. ах 2 + с = b х.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто. ах 2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто. ах = с.

4) «Квадрати та числа рівні коріння», тобто. ах 2 + с = b х.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто. ах 2+ bx = с.

6) «Коріння і числа дорівнюють квадратам», тобто. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а чи не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал - джабр та ал - мукабала. Його рішення, звісно, ​​не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду

ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім і геометричні докази.

Завдання 14.«Квадрат і число 21 дорівнюють 10 корінням. Знайти корінь» (мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 = 10х).

Рішення автора говорить приблизно так: розділи навпіл число коренів, отримаєш 5, помножиш 5 саме на себе, від твору забери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал - Хорезмі є першою книгою, що дійшла до нас, в якій систематично викладено класифікацію квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.

1.5 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII вв

Формули розв'язання квадратних рівнянь за зразком ал - Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 р. італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Ця об'ємна праця, в якій відображено вплив математики як країн ісламу, так і Стародавньої Греції, відрізняється і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із «Книги абака» переходили майже у всі європейські підручники XVI – XVII ст. та частково XVIII.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду:

х 2 + bx = с,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b , збуло сформульовано у Європі лише 1544 р. М. Штифелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у XVI ст. Враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. Завдяки праці Жірара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

1.6 Про теорему Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та його корінням, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в 1591 наступним чином: «Якщо B + D, помножене на A - A 2 , одно BD, то Aодно Уі одно D ».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А, як і будь-яка голосна буква, означало в нього невідоме (наше х), голосні ж В, D- Коефіцієнти при невідомому. На мові сучасної алгебри вищенаведене формулювання Вієта означає: якщо має місце

(а + b ) х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Виражаючи залежність між корінням та коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Вієт встановив однаковість у прийомах розв'язання рівнянь. Проте символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і тому при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивне.

2. Способи розв'язання квадратних рівнянь

Квадратні рівняння - це фундамент, на якому лежить велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при розв'язанні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних та трансцендентних рівнянь та нерівностей. Усі ми вміємо розв'язувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вишу.

Початковий рівень

Квадратні рівняння. Вичерпний гід (2019)

У терміні "квадратне рівняння" ключовим є слово "квадратне". Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути присутня змінна (той самий ікс) у квадраті, і при цьому не повинно бути іксів у третій (і більшій) мірі.

Вирішення багатьох рівнянь зводиться до розв'язання саме квадратних рівнянь.

Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якесь інше.

приклад 1.

Позбавимося знаменника і домножимо кожен член рівняння на

Перенесемо все в ліву частину і розташуємо члени в порядку спаду ступенів ікса

Тепер можна з упевненістю сказати, що це рівняння є квадратним!

приклад 2.

Домножимо ліву та праву частину на:

Це рівняння, хоч у ньому спочатку був, не є квадратним!

приклад 3.

Домножимо все на:

Страшно? Четвертий і другий ступені... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:

приклад 4.

Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все до лівої частини:

Бачиш, скоротився – і тепер це просте лінійне рівняння!

Тепер спробуй сам визначити, які з наступних рівнянь є квадратними, а які:

Приклади:

Відповіді:

1. квадратне;
2. квадратне;
3. не квадратне;
4. не квадратне;
5. не квадратне;
6. квадратне;
7. не квадратне;
8. квадратне.

Математики умовно ділять усі квадратні рівняння на вигляд:

• Повні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як у прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені- це рівняння, у яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще й наведеним!)

• Неповні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

  Неповні вони, бо в них не вистачає якогось елемента. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс у квадраті! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.

Навіщо вигадали такий поділ? Здавалося б, є ікс у квадраті, та гаразд. Такий поділ зумовлений методами рішення. Розглянемо кожен із них докладніше.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

Для початку зупинимося на розв'язанні неповних квадратних рівнянь – вони набагато простіші!

Неповні квадратні рівняння бувають типів:

1. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
2. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.
3. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

1. в. Оскільки ми знаємо, як видобувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння

Вираз може бути як негативним, і позитивним. Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, отже: якщо, то рівняння немає рішень.

А якщо, то отримуємо два корені. Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне, ти маєш знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.

Давайте спробуємо вирішити кілька прикладів.

Приклад 5:

Розв'яжіть рівняння

Тепер залишилося витягти корінь із лівої та правої частини. Адже ти пам'ятаєш, як добувати коріння?

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Приклад 6:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 7:

Розв'яжіть рівняння

Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння!

Для таких рівнянь, в яких немає коріння, математики вигадали спеціальний значок - (порожня безліч). І відповідь можна записати так:

Відповідь:

Таким чином, це квадратне рівняння має два корені. Тут немає жодних обмежень, оскільки коріння ми не витягували.
Приклад 8:

Розв'яжіть рівняння

Винесемо загальний множник за дужки:

Таким чином,

У цього рівняння два корені.

Відповідь:

Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони всі прості, чи не так?). Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Тут обійдемося без прикладів.

Розв'язання повних квадратних рівнянь

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де

Вирішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, спершу освойте рішення за допомогою дискримінанта.

1. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта.

Рішення квадратних рівнянь у цей спосіб дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і кілька формул.

Якщо, то рівняння має кореня Потрібно особливу увагу звернути на крок. Дискримінант () вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння матиме всього корінь.
• Якщо, то ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта на кроці. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Повернемося до наших рівнянь та розглянемо кілька прикладів.

Приклад 9:

Розв'яжіть рівняння

Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

А отже рівняння має два корені.

Крок 3

Відповідь:

Приклад 10:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже, рівняння має один корінь.

Відповідь:

Приклад 11:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта. Коренів рівняння немає.

Тепер знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

Відповідь:Коренів немає

2. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

Сума коренів наведеногоквадратного рівняння дорівнює, а добуток коріння дорівнює.

Приклад 12:

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто. отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Відповідь: ; .

Приклад 13:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 14:

Розв'яжіть рівняння

Наведене рівняння, а значить:

Відповідь:

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння – це рівняння виду, де – невідоме, – деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтомквадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, а - вільним членом.

Чому? Тому що якщо рівняння відразу стане лінійним, т.к. пропаде.

При цьому і можуть дорівнювати нулю. У цьому стулче рівняння називають неповним. Якщо все складові дома, тобто, рівняння - повне.

Розв'язання різних типів квадратних рівнянь

Методи розв'язання неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи розв'язків неповних квадратних рівнянь – вони простіші.

Можна виділити тип таких рівнянь:

I. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

ІІ. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

ІІІ. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного із цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:

Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння немає рішень;

якщо, маємо навчаємо два корені

Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння із негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння.

Щоб коротко записати, що завдання немає рішень, використовуємо значок порожньої множини.

Відповідь:

Отже, це рівняння має два корені: і.

Відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, це квадратне рівняння має два корені: і.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

Відповідь:

Методи розв'язання повних квадратних рівнянь:

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій та пару формул. Запам'ятай будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанта! Навіть неповне.

Ти помітив корінь із дискримінанта у формулі для коріння? Але дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то рівняння має коріння:
• Якщо, то рівняння має однакові корені, а по суті, один корінь:

  Таке коріння називається дворазовим.

• Якщо, то корінь із дискримінанта не витягується. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Чому можлива різна кількість коренів? Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

У окремому випадку, яким є квадратне рівняння, . І це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо – то вниз.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Відповідь: .

Відповідь:

Отже, рішень немає.

Відповідь: .

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко: потрібно лише підібрати таку пару чисел, добуток яких дорівнює вільному члену рівняння, а сума - другому коефіцієнту, взятому зі зворотним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведені квадратні рівняння ().

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад №1:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. . Інші коефіцієнти: ; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, добуток яких рівний, і перевіримо, чи дорівнює їх сума:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і – коріння нашого рівняння.

Відповідь: ; .

Приклад №2:

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, а потім перевіримо, чи дорівнює їхня сума:

та: у сумі дають.

та: у сумі дають. Щоб отримати, досить просто поміняти знаки передбачуваного коріння: і твір.

Відповідь:

Приклад №3:

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, отже, і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один із коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їхня різниця дорівнює - не підходить;

та: - не підходить;

та: - не підходить;

та: - підходить. Залишається лише згадати, що одне з коренів негативне. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним має бути менший за модулем корінь: . Перевіряємо:

Відповідь:

Приклад №4:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Вільний член негативний, отже, і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння негативний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює, а потім визначимо, яке коріння має мати негативний знак:

Очевидно, що під першу умову підходять тільки коріння та:

Відповідь:

Приклад №5:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Сума коренів негативна, а це означає що, принаймні, один із коренів негативний. Але оскільки їхній твір позитивний, то значить обидва корені зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює:

Очевидно, що корінням є числа в.

Відповідь:

Погодься, це дуже зручно – вигадувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей неприємний дискримінант. Намагайся використовувати теорему Вієта якнайчастіше.

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити та прискорити знаходження коріння. Щоб тобі було вигідно її використати, ти маєш довести дії до автоматизму. А для цього вирішуй ще п'ять прикладів. Але не шахрай: дискримінант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

Розв'язання завдань для самостійної роботи:

Завдання 1. ((x)^(2))-8x+12=0

За теоремою Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, оскільки сума;

: сума - те що треба

Відповідь: ; .

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: у сумі має вийти, а твір рівний.

Але оскільки має бути не, а, міняємо знаки коріння: і (у сумі).

Відповідь: ; .

Завдання 3.

Хм… А де тут що?

Потрібно перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так стоп! Рівняння не наведене. Але теорема Вієта застосовна лише у наведених рівняннях. Тож спочатку потрібно рівняння навести. Якщо навести не виходить, кидай цю витівку і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що навести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт рівним:

Чудово. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь: ; .

Завдання 4.

Вільний член негативний. Що у цьому особливого? А те, що коріння буде різних знаків. І тепер під час підбору перевіряємо не суму коренів, а різницю їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один із них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і оскільки.

Відповідь: ; .

Завдання 5.

Що потрібно зробити насамперед? Правильно, навести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але одне з них з мінусом. Який? Їхня сума має дорівнювати, отже, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь: ; .

Підіб'ю підсумок:

1. Теорема Вієта використовується лише у наведених квадратних рівняннях.
2. Використовуючи теорему Вієта, можна знайти коріння підбором, усно.
3. Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі доданки, що містять невідоме, подати у вигляді доданків із формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

Наприклад:

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

У загальному вигляді перетворення виглядатиме так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує? Це ж дискримінант! Саме так, формулу дискримінанта так і отримали.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повне квадратне рівняння- Рівняння, в якому коефіцієнти, не дорівнюють нулю.

Наведене квадратне рівняння- Рівняння, у якому коефіцієнт, тобто: .

Неповне квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

• якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд: ,
• якщо вільний член, рівняння має вигляд:
• якщо і, рівняння має вигляд: .

1. Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Виразимо невідоме: ,

2) Перевіряємо знак виразу:

• якщо, то рівняння немає рішень,
• якщо, то рівняння має два корені.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Винесемо загальним множник за дужки: ,

2) Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два корені:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння має тільки один корінь: .

2. Алгоритм розв'язання повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанта

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду: ,

2) Обчислимо дискримінант за формулою: , який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

• якщо, то рівняння має корені, що знаходяться за формулою:
• якщо, то рівняння має корінь, що знаходиться за формулою:
• якщо, то рівняння не має коріння.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а добуток коренів дорівнює, тобто. , а.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата

Якщо квадратне рівняння виду має коріння, його можна записати як: .

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Сподіваюся, вивчивши цю статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D = b 2 - 4ас.

Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.

Якщо дискримінант є негативним числом (D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то x = (-b)/2a. Коли дискримінант позитивне число (D > 0),

тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Вирішити рівняння х 2- 4х + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 · 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Відповідь: 2.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23

Відповідь: коріння немає.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81

х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.

За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду

а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що

а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано не багаточлен стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточлен стандартного виду (на першому місці повинен стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.

приклад. Вирішити рівняння

3х 2 + 6х - 6 = 0.

Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3

Можна зауважити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k, звідки k = 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння
рівняння рисунок 3.

D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали одну й ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.