Як розв'язувати задачі B15 без похідних. Найбільше та найменше значення функції Що таке найменше значення функції

Найбільше та найменше значення функції

поняття математичного аналізу Значення, що приймається функцією в деякій точці множини, на якому ця функція задана, називається найбільшим (найменшим) на цій множині, якщо в жодній іншій точці множини функція не має більшого (меншого) значення. Н. та н. з. ф. в порівнянні з її значеннями у всіх досить близьких точках називаються екстремумами (відповідно максимумами та мінімумами) функції. Н. та н. з. ф., заданої на відрізку, можуть досягатися або у точках, де похідна дорівнює нулю, або у точках, де вона не існує, або на кінцях відрізка. Безперервна функція, задана на відрізку, обов'язково досягає на ньому найбільшого та найменшого значень; якщо ж безперервну функцію розглядати на інтервалі (тобто відрізку з виключеними кінцями), то серед її значень у цьому інтервалі може виявитися найбільшого чи найменшого. Наприклад, функція у = x, задана на відрізку , досягає найбільшого та найменшого значень відповідно при x= 1 і x= 0 (тобто на кінцях відрізка); якщо ж розглядати цю функцію на інтервалі (0; 1), то серед її значень на цьому інтервалі немає ні найбільшого, ні найменшого, тому що для кожного x 0завжди знайдеться точка цього інтервалу, що лежить правіше (ліворуч) x 0, і така, що значення функції у цій точці буде більше (відповідно менше), ніж у точці x 0. Аналогічні твердження справедливі для багатьох змінних. також Екстремум.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Найбільше та найменше значення функції" в інших словниках:

Великий Енциклопедичний словник

Поняття математичного аналізу. Значення, прийняте функцією у певній точці множини, у якому ця функція задана, називається найбільшим (найменшим) у цій множині, якщо у жодній іншій точці функція немає більшого (меншого)… … Енциклопедичний словник

Концепція матем. аналізу. Значення, що приймається функцією в пек рій точці множини, покрім ця функція задана, наз. найбільшою (найменшою) на цій множині, якщо в жодній іншій точці функція не має більшого (меншого) значення … Природознавство. Енциклопедичний словник

МАКСИМУМ І МІНІМУМ ФУНКЦІЇ- відповідно найбільше і найменше значення функції проти її значеннями переважають у всіх досить близьких точках. Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму. Велика політехнічна енциклопедія

Найбільше і відповідно найменше значення функції, що набуває дійсних значень. Точку області визначення розглянутої функції, в якій вона приймає максимум або мінімум, зв. відповідно точкою максимуму або точкою мінімуму. Математична енциклопедія

Троїчною функцією теоретично функціональних систем і троїчної логіці називають функцію типу, де троїчне безліч, а невід'ємне ціле число, яке називають арністю чи місцевістю функції. Елементи множини цифрові… … Вікіпедія

Подання булевих функцій нормальними формами (див. Булеві функції нормальні форми). найпростішими щодо певної міри складності. Зазвичай під складністю нормальної форми розуміється число літер у ній. У цьому випадку найпростіша форма зв. Математична енциклопедія

Функція, що отримує нескінченно малі збільшення при нескінченно малих збільшення аргументу. Однозначна функція f(x) називається безперервною при значенні аргументу x0, якщо для всіх значень аргументу х, які відрізняються досить мало від x0 … Велика Радянська Енциклопедія

- (Лат. maximum і minimum, буквально найбільше і найменше) (матем.), Найбільше та найменше значення функції порівняно з її значеннями в досить близьких точках. На малюнку функція у = f(х) має у точках x1 та х3 максимум, а у точці х2 … … Енциклопедичний словник

- (Від латинського maximum і minimum найбільше та найменше) (математичне), найбільше та найменше значення функції порівняно з її значеннями в досить близьких точках. Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму. Сучасна енциклопедія

У цій статті я розповім про алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значенняфункції, точок мінімуму та максимуму.

З теорії нам нагоді таблиця похіднихі правила диференціювання. Все це є в цій табличці:

Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значення.

Мені зручніше пояснювати на конкретному прикладі. Розглянемо:

Приклад:Знайдіть найбільше значення функції y=x^5+20x^3–65x на відрізку [–4;0].

Крок 1.Беремо похідну.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Крок 2Знаходимо точки екстремуму.

Крапкою екстремумуми називаємо такі точки, у яких функція сягає свого найбільшого чи найменшого значення.

Щоб знайти точки екстремуму, треба прирівняти похідну функцію до нуля (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Тепер вирішуємо це біквадратне рівняння і знайдене коріння є наші точки екстремуму.

Я розв'язую такі рівняння заміною t = x^2, тоді 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Скоротимо рівняння на 5, отримаємо: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12 ^ 2 - 4 * 1 * (-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt (196)) / 2 = (-12 + 14) / 2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Робимо зворотну заміну x^2 = t:

X_(1 та 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 і 4) = ±sqrt(-13) (виключаємо, під коренем не може бути негативних чисел, якщо звичайно не йдеться про комплексні числа)

Разом: x_(1) = 1 і x_(2) = -1 - і є наші точки екстремуму.

Крок 3Визначаємо найбільше та найменше значення.

Метод підстановки.

За умови нам було дано відрізок [b][–4;0]. Точка x=1 у цей відрізок не входить. Отже її ми не розглядаємо. Але крім точки x=-1 нам також треба розглянути ліву та праву межу нашого відрізка, тобто точки -4 та 0. Для цього підставляємо всі ці три точки у вихідну функцію. Зауважте вихідну - це ту, яка дана в умові (y=x^5+20x^3–65x), деякі починають підставляти у похідну...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Значить найбільше значення функції це [b]44 і досягається воно точки [b]-1, яка називається точкою максимуму функції на відрізку [-4; 0].

Ми вирішили та отримали відповідь, ми молодці, можна розслабитися. Але стоп! Вам не здається, що рахувати y(-4) якось надто складно? В умовах обмеженого часу краще скористатися іншим способом, я називаю його так:

Через проміжки знакостійності.

Знаходяться ці проміжки для похідної функції, тобто нашого біквадратного рівняння.

Я роблю це так. Малюю спрямований відрізок. Розставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не дивлячись на те, що 1 не входить у заданий відрізок, її все одно слід зазначити для того, щоб коректно визначити проміжки знакопостійності. Візьмемо якесь число набагато більше 1, припустимо 100, подумки підставимо їх у наше биквадратное рівняння 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Навіть нічого крім стає очевидно, що у точці 100 функція має знак плюс. А значить, і на проміжки від 1 до 100 вона має знак плюс. При переході через 1 (ми йдемо праворуч наліво) функція змінить знак на мінус. При переході через точку 0 функція збереже свій знак, оскільки це лише межа відрізка, а чи не корінь рівняння. При переході через -1 функція знову змінить знак плюс.

З теорії ми знаємо, що там, де похідна функції (а ми саме для неї це й креслили) змінює знак із плюсу на мінус (точка -1 у нашому випадку)функція досягає свого локального максимуму (y(-1)=44, як було пораховано раніше)на даному відрізку (це логічно дуже зрозуміло, функція перестала зростати, оскільки досягла свого максимуму і почала зменшуватися).

Відповідно, там де похідна функції змінює знак з мінусу на плюсдосягається локальний мінімум функції. Так, так, ми також знайшли точку локального мінімуму це 1, а y(1) – це мінімальне значення функції на відрізку, допустимо від -1 до +∞. Зверніть велику увагу, що це лише локальний мінімум, тобто мінімум на певному відрізку. Так як дійсний (глобальний) мінімум функція досягне десь там, -∞.

На погляд перший спосіб простіше теоретично, а другий простіше з погляду арифметичних дій, але набагато складніше з погляду теорії. Адже іноді бувають випадки, коли функція не змінює знак при переході через корінь рівняння, та й взагалі можна заплутатися з цими локальними, глобальними максимумами та мінімумами, хоча Вам так і так доведеться це добре освоїти, якщо ви плануєте вступати до технічного ВНЗ (а для чого інакше здавати профільне ЄДІ та вирішувати це завдання). Але практика і лише практика раз і назавжди навчить Вас вирішувати такі завдання. А тренуватись можете на нашому сайті. Ось.

Якщо виникли якісь питання, чи щось незрозуміло – обов'язково запитайте. Я з радістю Вам відповім і внесу зміни, доповнення до статті. Пам'ятайте, ми робимо цей сайт разом!

Подивимося, як дослідити функцію з допомогою графіка. Виявляється, дивлячись на графік, можна дізнатися про все, що нас цікавить, а саме:

• область визначення функції
• область значень функції
• нулі функції
• проміжки зростання та спадання
• точки максимуму та мінімуму
• найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Уточнимо термінологію:

Абсцисса- Це координата точки по горизонталі.
Ордината- Координата по вертикалі.
Ось абсцис- горизонтальна вісь, найчастіше звана вісь.
Вісь ординат- вертикальна вісь, або вісь.

Аргумент- незалежна змінна, від якої залежить значення функції. Найчастіше позначається.
Іншими словами, ми самі вибираємо , підставляємо у формулу функції та отримуємо .

Область визначенняфункції - безліч тих (і лише тих) значень аргументу, у яких функція існує.
Позначається: або .

На нашому малюнку область визначення функції - це відрізок. Саме на цьому відрізку намальовано графік функції. Тільки тут ця функція існує.

Область значень функції- це безліч значень, які набуває змінна . На нашому малюнку це відрізок - від найнижчого до самого верхнього значення.

Нулі функції- Точки, де значення функції дорівнює нулю, тобто . На малюнку це точки і .

Значення функції позитивнітам де . На малюнку це проміжки і .
Значення функції негативнітам де . У нас це проміжок (або інтервал) від до .

Найважливіші поняття - зростання та зменшення функціїна деякій множині. Як безліч можна взяти відрізок, інтервал, об'єднання проміжків або всю числову пряму.

Функція зростає

Іншими словами, чим більше, тим більше, тобто графік йде вправо та вгору.

Функція зменшуєтьсяна множині, якщо для будь-яких і, що належать множині, з нерівності випливає нерівність.

Для спадної функції більшому значенню відповідає менше значення. Графік йде вправо та вниз.

На нашому малюнку функція зростає на проміжку та зменшується на проміжках і .

Визначимо, що таке точки максимуму та мінімуму функції.

Точка максимуму- це внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній більше, ніж у всіх близьких до неї точках.
Іншими словами, точка максимуму - така точка, значення функції в якій більше, ніж у сусідніх. Це локальний горбок на графіку.

На нашому малюнку – точка максимуму.

Точка мінімуму- Внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній менше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Тобто точка мінімуму - така, що значення функції у ній менше, ніж у сусідніх. На графіку це локальна "ямка".

На нашому малюнку – точка мінімуму.

Крапка – гранична. Вона не є внутрішньою точкою області визначення і тому не підходить для визначення точки максимуму. Адже вона не має сусідів ліворуч. Так само і на нашому графіку не може бути точкою мінімуму.

Точки максимуму та мінімуму разом називаються точками екстремуму функції. У нашому випадку це і.

А що робити, якщо потрібно знайти, наприклад, мінімум функціїна відрізку? У разі відповідь: . Тому що мінімум функції- це її значення у точці мінімуму.

Аналогічно, максимум нашої функції дорівнює. Він досягається в точці.

Можна сміливо сказати, що екстремуми функції рівні і .

Іноді у завданнях потрібно знайти найбільше та найменше значення функціїна заданому відрізку. Вони не обов'язково збігаються з екстремумами.

У нашому випадку найменше значення функціїна відрізку одно і збігається з мінімумом функції. А ось найбільше її значення на цьому відрізку дорівнює. Воно досягається у лівому кінці відрізка.

У будь-якому випадку найбільше та найменше значення безперервної функції на відрізку досягаються або в точках екстремуму, або на кінцях відрізка.

Найбільшим значенням функції називається найбільше, найменшим значенням – найменше зі всіх її значень.

Функція може лише одне найбільше і лише одне найменше значення чи може мати їх зовсім. Знаходження найбільшого та найменшого значень безперервних функцій ґрунтується на наступних властивостях цих функцій:

1) Якщо в деякому інтервалі (кінцевому чи нескінченному) функція y=f(x) безперервна і має лише один екстремум і якщо це максимум (мінімум), то він буде найбільшим (найменшим) значенням функції у цьому інтервалі.

2) Якщо функція f(x) безперервна на деякому відрізку, то вона обов'язково має на цьому відрізку найбільше та найменше значення. Ці значення досягаються або в точках екстремуму, що лежать усередині відрізка, або на межах цього відрізка.

Для пошуку максимального і меншого значень на відрізку рекомендується скористатися наступною схемою:

1. Знайти похідну.

2. Знайти критичні точки функції, у яких =0 чи немає.

3. Знайти значення функції в критичних точках і кінцях відрізка і вибрати їх найбільше f наиб і найменше f наим.

При вирішенні прикладних завдань, зокрема оптимізаційних, важливе значення мають завдання на знаходження найбільшого та найменшого значень (глобального максимуму та глобального мінімуму) функції на проміжку Х. Для вирішення таких завдань слід, виходячи з умови, вибрати незалежну змінну та висловити досліджувану величину через цю змінну. Потім знайти потрібне найбільше чи найменше значення отриманої функції. При цьому інтервал зміни незалежної змінної, який може бути кінцевим або нескінченним, також визначається умовою завдання.

приклад.Резервуар, що має форму відкритого зверху прямокутного паралелепіпеда з квадратним дном, потрібно вилудити всередині оловом. Які мають бути розміри резервуара за його ємності 108 л. води, щоб витрати на його лудіння були найменшими?

Рішення.Витрати покриття резервуара оловом будуть найменшими, якщо за даної місткості його поверхню буде мінімальною. Позначимо через а дм – бік основи, b дм – висоту резервуара. Тоді площа S його поверхні дорівнює

І

Отримане співвідношення встановлює залежність між площею поверхні резервуара S (функція) та стороною основи (аргумент). Досліджуємо функцію S на екстремум. Знайдемо першу похідну, прирівняємо її до нуля і вирішимо отримане рівняння:

Звідси а = 6. (а) > 0 при а > 6, (а)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на проміжку.

Рішення: Задана функція безперервна на всій числовій осі. Похідна функції

Похідна при та при . Обчислимо значення функції у цих точках:

.

Значення функції кінцях заданого проміжку рівні . Отже, найбільше значення функції дорівнює при , найменше значення функції при .

Запитання для самоперевірки

1. Сформулюйте правило Лопіталя для розкриття невизначеності виду. Перерахуйте різні типи невизначеностей, для розкриття яких можна використовувати правило Лопіталя.

2. Сформулюйте ознаки зростання та зменшення функції.

3. Дайте визначення максимуму та мінімуму функції.

4. Сформулюйте необхідну умову існування екстремуму.

5. Які значення аргументу (які точки) називають критичними? Як знайти ці точки?

6. Якими є достатні ознаки існування екстремуму функції? Викладіть схему дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної.

7. Викладіть схему дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної.

8. Дайте визначення опуклості, увігнутості кривої.

9. Що називається точкою перегину графіка функції? Вкажіть спосіб знаходження цих точок.

10. Сформулюйте необхідну і достатню ознаку опуклості та увігнутості кривої на заданому відрізку.

11. Дайте визначення асимптоти кривої. Як знайти вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти графіка функції?

12. Викладіть загальну схему дослідження функції та побудови її графіка.

13. Сформулюйте правило знаходження найбільшого та найменшого значень функції на заданому відрізку.