Як вирішити ціле рівняння та його коріння. Раціональне рівняння

Відеоурок «Ціле рівняння та його коріння» дає уявлення про ціле рівняння, види таких рівнянь, приведення рівняння до стандартного вигляду, розв'язанні подібних рівнянь Завдання даного відеоуроку - полегшити засвоєння матеріалу на цю тему, формувати вміння вирішувати завдання, у яких використовуються цілі рівняння, сприяти запам'ятовування навчального матеріалу.

Оформлення наочного матеріалуу вигляді уроку дає можливість замінити вчителі у частині подачі стандартного блоку нового матеріалу, звільнити вчителі для поглиблення індивідуальної роботи. Відеоматеріал допомагає сконцентрувати увагу учнів на освоєнні нового матеріалу, допомагає глибше зрозуміти і краще запам'ятати.

Відеоурок починається з подання теми уроку. На екрані відображається визначення цілого рівняння, що містить одну змінну, як рівняння, обидві частини якого є цілі вирази. Нижче наведено приклади таких рівнянь: (х 5 -2) 2 + х 3 = х 10 -3(х-2), х 3 (х 3 -36) = 2 (х +8)-2. Далі розглядається перетворення рівнянь, при якому всі його складові переносяться з правої частини в ліву, розкриваються дужки та наводяться подібні доданки. Після цього рівняння набуває вигляду, в якому ліва його частина є багаточленом, а правій частині - 0. Зазначається, що в ході перетворень виходить рівняння, рівносильне даному. До того ж рівняння, до якого наведено вихідне, загальному виглядіможна записати: Р(х) = 0, де Р(х) - багаточлен стандартного вигляду.

Розглянуті приклади підводять до загальному висновкупро те, що будь-яке ціле рівняння, що містить одну змінну, може бути наведено до виду Р(х)=0, де Р(х) - багаточлен, ступінь якого є ступенем даного рівняння. Тобто ступінь деякого довільного цілого рівняння може бути визначений після приведення його до рівносильному рівняннювиду Р(х)=0 і дорівнює ступеню багаточлену Р(х).

Далі розглядається рівняння першого ступеня - таке рівняння, яке наводиться до виду ах + b = 0 з однією змінною х, числами і b, при цьому а ≠0. Корінь даного рівняння знаходиться за формулою =-b/a. Наголошується, що таке рівняння має один корінь.

Також пропонується розглянути рішення рівняння другого ступеня, яке наводиться до виду ах 2 +bx+c=0, що містить змінну х, деякі числа а, b, c при цьому а ≠0. Відомий спосіб знаходження коренів цього рівняння шляхом обчислення дискримінанта. На екрані відображається формула знаходження дискримінанта рівняння другого ступеня: D=b 2 -4ac. Залежно від значення дискримінанта може бути два корені рівняння - D>0, один - для D=0, або коріння відсутні D<0. Напоминается формула для нахождения корней уравнения второй степени при положительном или нулевом дискриминанте: х=(-b+-√D)/2a.

Учням видаються також рівняння третього та четвертого ступеня, які наводяться до видів ах 3 + bx 2 + cх + d = 0 і ах 4 + bx 3 + cх 2 + dх + e = 0. У кожному з цих рівнянь є одна змінна х, коефіцієнт за старшого ступеня a≠0, інші коефіцієнти - деякі числа. Уточнюється, що рівняння третього ступеня не може мати більше трьох коренів, а рівняння четвертого ступеня має не більше чотирьох коренів. Як додаткова інформація учням повідомляється, що формули для знаходження коренів рівнянь третього та четвертого ступеня існують, але вони громіздкі та незручні у застосуванні, а для рівнянь п'ятого ступеня і вище формул для знаходження коріння не існує. Однак вирішити такі рівняння іноді вдається за допомогою спеціальних прийомів, які дозволяють спростити вираз і знайти коріння.

На прикладі демонструється один із способів, як можна знайти коріння рівняння, не застосовуючи складних формул знаходження коренів. Описується, яким чином розв'язання деяких рівнянь можна знайти за допомогою розкладання багаточлена на множники. Рівняння х3-27x2-х+27=0 розкладається на множники, вивівши за дужки загальний множник (х-27). В результаті перетворень отримаємо твір (х-27)(х-1)(х+1)=0 Отримане рівняння зводиться до знаходження рішень трьох рівнянь х-27, х-1, х+1. З цих рівнянь легко знайти коріння х 1 = 27, х 2 = 1, х 3 = -1.

Далі розглядається ще один спосіб розв'язання рівнянь високого ступеня - спосіб запровадження нової змінної. Застосування способу описується з прикладу рішення рівняння (х 2 +х-1)(х 2 +х-4)=-2. Спочатку всі члени рівняння переносяться у ліву частину, розкриваються дужки. Після цих перетворень виходить многочлен стандартного типу 4 ступеня. Однак, помітивши особливість даного рівняння - те, що у вихідному рівнянні є однакові частини х 2 + х, вводимо нову змінну позначення цього виразу: х 2 + х = у. після підстановки нової змінної рівняння, отримаємо рівняння виду (у-1)(у-4)=-2. Після приведення рівняння до стандартного виду виходить звичайне квадратне рівняння, корінням якого будуть у 1 = 2, у 2 = 3. Значення коренів у підставимо вираз визначення значення шуканих х. Знаходження коріння рівняння зводиться до розв'язання двох рівнянь х 2 +х=2 та х 2 +х=3. В результаті обчислень будуть знайдені корені даних рівнянь будуть х 1 = 1, х 2 = -2, х 3 ≈1,3, х 4 ≈-2,3. Зазначається, що даним способом нерідко вирішують рівняння четвертого ступеня виду ax 4 +bx 2 +c=0, в яких є змінною, a, b, c - деякими числами, де а≠0. На екрані дається визначення біквадратного рівняння як рівняння четвертого ступеня виду ax4+bx2+c=0са≠0.

Для закріплення отриманих знань про розв'язання рівнянь способом запровадження нових змінних пропонується розглянути рішення біквадратного рівняння 16х4-8х2+1=0. Вводиться нова змінна у = х 2 . Після її введення утворюється квадратне рівняння, що має один корінь =0,25. Після підстановки значення нової змінної у вираз її визначення можна знайти коріння рівняння х 1 =0,5 і х 2 =-0,5.

Відеоурок «Ціле рівняння та його коріння» докладно і наочно представляє учням матеріал з даної теми, тому може бути використаний вчителем не тільки на уроці в школі, але також при дистанційному навчанні, що рекомендується для самостійного освоєння теми.

У цьому уроці ми продовжуємо заглиблюватись у тему «Рівняння з однією змінною». Нагадаємо, що для того, щоб вирішити абсолютно будь-яке рівняння, необхідно знайти всі відповідні значення аргументів, які роблять рівняння правильною рівністю. Відповідне значення або значення невідомих або коріння рівняння- все це синоніми, і необхідно їх знайти або довести, що коренів в рівнянні немає.

Правда тепер варто поговорити про те, що таке ціле рівнянняі скільки коренів у нього. Тому необхідно розглянути такі два приклади.

Квадрат різниці «х» куб і «х» п'ятою мірою дорівнює «х» шостою мірою мінус два, помножене на різницю «х» і одного.

У другому рівнянні «х» в четвертому ступені мінус один, поділений на чотири, мінус «х» у квадраті плюс один, поділений на два, дорівнює три «х» квадрат.

Якщо уважно, то обидві частини цих рівнянь самостійно є цілими виразами. Це і є цілим рівнянням. Тепер варто дати чітке визначення цілого рівняння з однією змінною (це таке рівняння, де обидві частини є цілими виразами ).

Що, якщо ми спростимо приклади? У першому рівнянні для початку розкриємо дужки, а після цього перенесемо всі члени в ліву частину і наведемо такі складові. Всі зроблені перетворення дозволяють знайти значення: "х" у п'ятій мірі мінус два "х" у кубі плюс два "х" мінус один дорівнює нулю. У другому рівнянні повторюємо виконані операції з перетворення. Однак спочатку позбавляємося знаменника, помножуючи рівняння на чотири. У результаті ми отримуємо, що "х" в четвертому ступені мінус чотирнадцять "х" у квадраті мінус три дорівнює нулю. Ми зробили ряд трансформацій у першому та другому рівняннях, але вони не змінили значення, а лише призвели до рівносильних рівнянь.

Нагадаємо, що рівносильні рівняння також називають еквівалентними. Еквівалентність створює додаткові властивості рівняння: симетрія (коли перше рівняння рівносильне другому, тобто друге рівносильно першому) і транзитивність (якщо маємо три рівняння, де перше рівносильно другому, а друге рівносильно третьому, це означає, що перше в тому числі). Зручність рівносильності рівнянь у тому, що з них можна робити ряд спрощень, які допомагають зробити рішення простішим.

У результаті бачимо рівняння наступного виду: «Р» від «х» дорівнює нулю, де «Р» від «х» є многочленом стандартного виду. Абсолютно будь-яке ціле рівняння заміняться за допомогою рівносильного, де одна частина виступає багаточленом стандартного вигляду, а друга – банкрутом. Рівняння може мати формат запису, де "Р" від "х" виступають багаточленом стандартного вигляду. У цьому вигляді ступенем рівняння виступає ступінь многочлена. Якщо взяти довільне ціле рівняння, його ступенем виступає ступінь рівносильного рівняння, що має вигляд «Р» від «х» і нуль. Тут "Р" від "х" є багаточлен стандартного виду. Тобто ми отримуємо, що перше рівняння – рівняння п'ятого ступеня, а друге – рівняння четвертого ступеня.

Якщо говорити про елементарний приклад, де рівняння має одну змінну першого ступеня, воно має наступний формат: сума «ах» і «b» дорівнює нулю. Невідомою змінною виступає «х», а «а» та «b» є деякими числами. Більше того, "а" не може дорівнювати нулю, тому що є коефіцієнтом при змінній "х" і в іншому випадку змінна зникає. Коли зробимо необхідні перетворення, то бачимо, що дорівнює «х» (мінус «b», поділений на «а»). Це і є коренем рівняння або його значенням (також говорять, що корінь задовольняє даному рівнянню). Може виникнути питання: навіщо взагалі дізнаватися, скільки коренів у рівняння? Відповідь проста: так ми розумітимемо, скільки рішень воно має. Наприклад, перевагою рівняння першого ступеня у цьому, що має лише одне рішення (корінь).

До того, як ми перейдемо до складніших прикладів, необхідно згадати, які операції можна здійснити з перетворення рівнянь. Серед них:

• Розкриття дужок у будь-якій частині рівняння;
• Приведення подібних до будь-якої частини рівняння;
• Перенесення будь-якого члена в іншу частину, попередньо змінивши знак на протилежний;
• Додавання однакового виразу до обох частин рівняння;
• Віднімання однакового виразу в обох частин рівнянь;
• Множення та розподіл на число, що не є нулем, обох частин рівняння. Однак ця властивість може додати нове коріння або позбавити їх.

Провівши низку таких перетворень, ми отримуємо рівносильне рівняння.

Тепер розглянемо рівняння другого ступеня. Його можна привести до виду суми «ах» у квадраті, «bx» та «с», що дорівнює нулю. Тут ми бачимо змінну «х», а також деякі числа (особливо «а» не може бути нульовим, адже тоді рівняння другого ступеня перетворитися на рівняння першого ступеня). Щоб зрозуміти, яке число коренів має рівняння, необхідно знайти значення дискримінанта «D», формулою якого є різниця «b» у квадраті і чотирьох «ас». Коли ми знайшли дискримінант, ми розуміємо, що рівняння може мати два рішення (якщо дискримінант більший за нуль), може мати один корінь (якщо дорівнює нулю) і не мати коріння (якщо менше нуля). Рівняння другого ступеня не може мати більше двох коренів. У тих випадках, коли є два рішення, доступна формула кореня, де «х» дорівнює мінус «b» плюс корінь із дискримінанта, поділений на два «а».

Рівняння другого ступеня або квадратне рівняння має корінь, яке звертає тричлен у значення нуля або так зване тотожність. Якщо говорити про коефіцієнти, які використовують у квадратному рівнянні, то кожен має певну назву: "а" виступає старшим коефіцієнтом, "b" - коефіцієнт при "х" або другий коефіцієнт, а "с" - вільний член рівняння. Є приклади, коли старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тоді квадратне рівняння називається наведеним. Рівняння другого ступеняможе бути повним та неповним. Неповне квадратне рівняння – таке, у якому другий коефіцієнт чи вільний член дорівнює нулю. Що є графіком рівняння другого ступеня? Цілком вірно, це парабола, яка симетрична щодо осі ординат, і може мати значення функції від нуля до плюс нескінченності або від нуля до мінус нескінченності. Згадаймо за графіком, яку кількість перетинів парабола може мати, адже саме від цього залежить кількість коренів чи рішень. Коли перетин відбувається в одній точці, тобто при вершині, то отримуємо один корінь або, як кажуть, два корені, що збігаються. Коли ж парабола зустрічається з віссю абсцис двічі, то значить у нас два корені або два рішення. За низкою принципів можна визначити спрямованість параболи. Позитивність основного коефіцієнта свідчить про напрямі гілок нагору. Схожість старшого та другого коефіцієнтів говорить про те, що графік розташований у лівій напівплощині щодо осі ординат. Відмінність цих коефіцієнтів свідчить, що фігура перебуває у правій частині.

Якщо говорити про рівняння вищого ступеня, то їх можна привести до основного виду. Наприклад, рівняння третього ступеня виглядає як сума твору «а» і «х» у кубі, «b» і «х» у квадраті, «сх» і d, однаково нулю. Кубічне рівняння також має графік функцій, який декартової системі представлений у вигляді кубічної параболи. Що з приводу рівняння четвертого ступеня: сума твору «а» та «х» у четвертому ступені, «b» і «х» у кубі, «с» і «х» у квадраті, «dх» та «е». Рівняння четвертого ступеня виступає найвищим, тому що тільки до четвертого ступеня можливе рішення в радикалах або різних значеннях коефіцієнтів. У всіх випадках «а» не може дорівнювати нулю тому, що рівняння стане більш низькою мірою. Відмітимо, що рівняння з n-им ступенем не може мати більше n-ої кількості коренів. Можна вивести формули коренів для рівнянь третього та четвертого ступеня, проте вони будуть дуже складні, і запам'ятати їх буде неможливо для учня. Якщо говорити про рівняння п'ятого ступеня і вище, то навіть формули коріння не виведені. Як тоді можна вирішити рівняння третього ступеня та вище?

У разі необхідно використовувати прийоми, які допоможуть спростити рішення. Перша підказка – розкласти багаточлени на множники. Спробуємо застосувати цей прийом на практиці, вирішуючи приклад "х" куб мінус вісім "х" квадрат мінус "х" плюс вісім і нулю. Коли зробимо необхідні перетворення (винесемо «х» квадрат за дужки, далі різницю «х» і вісім винести за дужки, наостанок розкладемо формулу, що вийшла). У результаті бачимо, що різниця «х» і вісім дорівнює нулю, різниця «х» і один дорівнює нулю і добуток «х» і один дорівнює нулю. Так ми й довели, що початкове рівняння має три корені або три значення (вісім, один та мінус один).

При розв'язанні рівняння вище другого ступеня можна часом використовувати прийом введення нової змінної. Наприклад, є рівняння, де добуток «х» квадрат мінус п'ять «х» плюс чотири та «х» квадрат мінус п'ять «х» плюс шість, він дорівнює сто двадцяти. В даному прикладі для того, щоб знайти рішення, необхідно все перенести в ліву частину і розкрити дужки, зробивши необхідні перетворення. Отримуємо «х» в четвертій мірі мінус десять «х» у кубі плюс тридцять п'ять «х» у кубі мінус п'ятдесят «х» мінус дев'яносто діть і нулю. Навіть якщо ми наведемо такі, то рівняння все одно вийде дуже складне, а вирішити його буде абсолютно неможливо. Тому подивимося уважніше на формулу і побачимо, що різниця «х» у квадраті та п'ять «х» повторюється в обох дужках. Що якщо ми введемо нову змінну "у" замість цієї частини? Тоді ми отримуємо добуток суми «у» та чотири та суми «у» та шести, що дорівнює сто двадцяти. Спростивши, ми отримуємо квадратне рівняння з корінням мінус шістнадцять і шість. Тепер замість "у" ми можемо підставити різницю "х" квадрат і п'ять "х". Рівняння «х» квадрат мінус п'ять «х» і мінус шістнадцять не має коріння, тому що дискримінант негативний. А друге квадратне рівняння має дискримінант вище за нуль, тому отримуємо два корені: мінус один і шість.

Метод введення нової змінної дозволяє легко вирішити рівняння четвертого ступеня, які мають такий вигляд: твір «а» та «х» у четвертому ступені плюс добуток «b» і «х» у другому ступені плюс «с» дорівнює нулю. У разі «а» неспроможна дорівнювати нулю. Це приклад біквадратного рівняння, тому що рівняння є квадратним щодо «х» у квадраті. Застосуємо теорію практично, вирішивши рівняння дев'ять «х» четвертою мірою мінус десять «х» на другий ступеня плюс один і нулю. Замість «х» квадрат введемо нову змінну «у», тоді вийде квадратне рівняння з «у», де дискримінант вищий за нуль, тому отримуємо два корені: один дев'ятий і один. Тепер підставляємо "х" у квадраті і отримуємо чотири значення кореня "х": мінус одна третя, одна третя, мінус один і один. Виходить, що вихідне біквадратне рівняння має чотири рішення.

В результаті уроку нам вдалося узагальнити та створити систему знань у темі “Рівняння”. Тепер учні зможуть логічно вирішувати складні приклади, застосовуючи нові прийоми, та аналізую процес вирішення. Якщо залишився додатковий час, варто провести невелике опитування серед учнів. Почніть із того, щоб вам дали визначення, що таке рівняння з однією змінною. Далі попросіть розповісти про процес вирішення, і що таке корінь, скільки коренів може мати рівняння. Наступна важлива частина знань – рівносильні чи еквівалентні рівняння, тому необхідно, щоб учні розклали по поличках характерні такими рівняннями властивості.

Школа: Філія МОУ ЗОШ с. Святославка у с. Воздвиженка

Предмет математики.

Навчальний план – 5 годин на тиждень (з них 3 год. – алгебра, 2 год. – геометрія)

Тема: Ціле рівняння та його коріння. Розв'язання цілих рівнянь.

Тип уроку: вдосконалення умінь та навичок.

Цілі уроку:

дидактична : систематизація та узагальнення, розширення та поглиблення знань учнів за рішенням цілих рівнянь з однією змінною вище другого ступеня; підготовка учнів до застосування знань у нестандартній ситуації, до ЄДІ.

розвиваюча : розвиток особистості учня через самостійну творчу роботу, розвиток ініціативи учнів; забезпечити стійке мотиваційне середовище, інтерес до теми, що вивчається; розвивати вміння узагальнювати, правильно відбирати способи розв'язання рівняння;

виховна: розвиток інтересу до вивчення математики, підготовка учнів до застосування знань у нестандартній ситуації; виховувати волю та наполегливість для досягнення кінцевих результатів

(Додаток 1)

1.Організаційний момент– ставляться цілі та завдання уроку.

Хлопці! Вам належить підсумкова атестація з математики у формі ГІА та ЄДІ. Щоб успішно здати ГІА та ЄДІ, ви повинні знати математику не лише на мінімальному рівні, а й застосувати ваші знання у нестандартних ситуаціях. У частинах В та С ЄДІ часто зустрічаються рівняння вищих ступенів. Наше завдання: систематизація та узагальнення, розширення та поглиблення знань щодо вирішення цілих рівнянь з однією змінною вище другого ступеня; підготовка до застосування знань у нестандартній ситуації, до ДІА та ЄДІ.

Девізнашого уроку: «Що більше я знаю, то більше вмію.»

Епігаф:

Хто нічого не помічає,

Той нічого не вивчає.

Хто нічого не вивчає,

Той вічно пхикає і нудьгує.

(Поет Р. Сеф).

Рівняння є найпростішим і найпоширенішим математичним завданням. Ви нагромадили деякий досвід розв'язання різноманітних рівнянь і нам потрібно привести свої знання до ладу, розібратися в прийомах розв'язання нестандартних рівнянь.

Урівняння власними силами представляють інтерес вивчення. Найраніші рукописи свідчать, що у Стародавньому Вавилоні та Стародавньому Єгипті були відомі прийоми розв'язання лінійних рівнянь. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років тому до н. е. вавилоняни.

Стандартні прийоми і методи розв'язання елементарних рівнянь алгебри є складовою рішення всіх типів рівнянь.

У найпростіших випадках рішення рівняння з одним невідомим розпадається на два кроки: перетворення рівняння до стандартного та рішення стандартного рівняння. Повністю алгоритмізувати процес розв'язування рівнянь не можна, проте корисно запам'ятати найбільш уживані прийоми, загальні всім типів рівнянь. Багаторівняння при застосуванні нестандартних прийомів вирішуються набагато коротше та простіше.

На них ми й загостримо нашу увагу.

(Додаток 2)

Актуалізація знань.

На будинок вам було дано завдання повторити тему рівняння та способи їх вирішення.

Ø Що називається рівнянням? (Рівність, що містить змінну, називається рівнянням з однією змінною)

Ø Що називається коренем рівняння?(Значення змінної, при якому рівняння звертається у вірне числове

рівність.)

Ø Що означає розв'язати рівняння?(Знайти все його коріння або довести, що коріння немає.)

Я вам пропоную вирішити кілька рівнянь усно:

а) x2 = 0 е) x3 - 25x = 0

б) 3x - 6 = 0 ж) x (x - 1) (x + 2) = 0

в) x2 - 9 = 0 з) x4 - x2 = 0

г) x2 = 1/36 і) x2 - 0,01 = 0,03

д) x2 = - 25 к) 19 - c2 = 10

Скажіть, що поєднує ці рівняння?(Одна змінна, цілі рівняння і т. д.)

Ø Що називається цілим рівнянням із однією змінною? (Рівняння, в яких ліва та права частина є цілими

виразами

Ø Що називається ступенем цілого рівняння?(Ступінь рівносильного йому рівняння виду Р(х) = 0,де Р(х) -багаточлен

стандартного виду)

Ø Скільки коренів може мати ціле рівняння з однією змінною 2, 3, 4, п-ого ступеня(не більше 2, 3, 4, д)

Чи знаю я методи розв'язання цілих рівнянь?

Чи можу я застосовувати ці методи?

Чи можу я вирішувати рівняння самостійно?

Чи відчували себе комфортно на уроці?

6. На «3» - табл№1 + 1 рівняння з таблиць, що залишилися.

На «4» - табл№1 + за 1 рівнянням з двох таблиць

На «5» - Табл№1 + по 1 рівнянню з кожної, що залишилася

таблиці

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

Підбиття підсумків:

Заповнення таблиці самооцінки

Виставлення оцінок

Будинки: рівняння, що залишилися невирішеними, зі всіх таблиць дорішати.

Цілими рівняннями називаються рівняння, у яких права та ліва частини є цілими виразами. Наприклад, наступні рівняння будуть цілими:

1. 2 * (x 2 + 1) * (x - 1) = 6 * x - (x + 7);

2. (x 4 - 1) / 4 - (x 2 + 1) / 2 = 3 * x 2

Виконаємо над цими рівняннями рівносильні перетворення: розкриємо дужки, наведемо подібні доданки. Отримаємо:

1. 2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 = 6x - x - 7

2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 - 6*x + x + 7 = 0

2 * x 3 - 2 * x 2 - 3 * x + 5 = 0.

2. x 4 - 1 - 2*(x 2 + 1) = 12*x 2

x 4 - 1 - 2*x 2 - 2 = 12*x 2

x 4 - 1 - 2 * x 2 - 2 - 12 * x 2 = 0

x 4 - 14 * x 2 - 3 = 0.

В результаті отримали рівняння виду P(x) = 0, де P(x) - багаточлен у стандартному вигляді. Ступінь цього многочлена буде також ступенем рівняння.

Ступінь рівняння

Ступенем довільного рівняння називатиметься ступінь багаточлена, отриманого з рівняння шляхом проведення рівносильних перетворень. Рівняння першого ступенязавжди будуть приведені до вигляду a * x + b = 0, де х - деяка змінна, а і b - деякі числа, причому а не повинно дорівнювати нулю.

З цього рівняння отримуємо вираз для х.

Це число (-b/a) називається коренем рівняння. Рівняння першого ступеня матиме один корінь. Коренем рівняння P(x) =0 називають будь-яке значення змінної х, таке, що багаточлен P(x) перетворюється на нуль.

Рівняння другого ступенязавжди можна привести до вигляду a * x 2 + b * x + x = 0, де х - деяка незалежна змінна, а, b, c - довільні числа, причому а не дорівнює нулю. Коріння рівняння знаходиться за формулою x = (-b ± √D)/(2*a), де D = b 2 - 4*a*c.

Вираз D (b 2 - 4 * a * c) називається дискримінантом. Залежно від того, яке значення має дискримінант, квадратне рівняння матиме два або один корінь або коріння.

Якщо дискримінант більший за нуль, то рівняння має два корені: (x = (-b ± √D)/(2*a)). Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має один корінь: (x = (-b/(2*a)) Якщо дискримінант негативний, то рівняння не має коріння.

Рівняння третього ступеняможна привести до вигляду a*x3+b*x2+c*x+d=0. Рівняння четвертого ступеняможна привести до вигляду a*x4+b*x3+c*x2+d*x+e=0.

Будь-яке рівняння n-го ступеня має трохи більше n коренів. Формули для коренів рівнянь третього та четвертого ступеня відомі, але вони дуже складні. Для рівнянь великих ступенів формул коріння немає.

Тема уроку: «Ціле рівняння та його коріння».

Цілі:

освітні:

• розглянути спосіб розв'язання цілого рівняння за допомогою розкладання на множники;

розвиваючі:

виховні:

Клас: 9

Підручник:Алгебра. 9 клас: підручник для загальноосвітніх установ/[Ю.М. Макарічев, Н.Г. Міндюк, К.І. Нєшков, С.Б. Суворова]; за ред. С.А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2010

Обладнання:комп'ютер із проектором, презентація «Цілі рівняння»

Хід уроку:

Організаційний момент.

Перегляд відео «Все в твоїх руках».

Бувають моменти у житті, коли руки опускаються і здається, що нічого не вийде. Тоді згадайте слова мудреця "Всі у твоїх руках:" і нехай ці слова будуть гаслом нашого уроку.

Усна робота.

2х + 6 = 10, 14х = 7, х 2 - 16 = 0, х - 3 = 5 + 2х, х 2 = 0,

Повідомлення теми уроку, мети.

Сьогодні ми познайомимося з новим видом рівнянь – цілі рівняння. Навчимося їх вирішувати.

Запишемо в зошит число, класну роботу і тему уроку: «Ціле рівняння, його коріння».

2. Актуалізація опорних знань.

Розв'яжіть рівняння:

Відповіді: а) х = 0; б) х = 5/3; в) х = -,; г) х = 1/6; - 1/6; д) коріння немає; е) х = 0; 5; - 5; ж) 0; 1; -2; з)0; 1; - 1; і) 0,2; - 0,2; к) -3; 3.

3. Формування нових понять.

Бесіда з учнями:

Що таке рівняння? (Рівність, що містить невідоме число)

Які види рівнянь ви знаєте? (лінійні, квадратні)

3. Скільки коренів може мати лінійне рівняння?) (один, безліч і жодного кореня)

4. Скільки коренів може мати квадратне рівняння?

Чому залежить кількість коренів? (від дискримінанта)

У якому разі квадратне рівняння має 2 корені? (Д0)

У якому разі квадратне рівняння має 1 корінь? (Д=0)

У якому разі квадратне рівняння не має коріння? (Д0)

Ціле рівняння– це рівняння ліва та права частина, якого є цілим виразом. (Читають вголос).

З розглянутих лінійних і квадратних рівнянь, ми бачимо, що кількість коренів не більша за його ступінь.

Як ви вважаєте, чи можна не вирішуючи рівняння, визначити кількість його коренів? (Можливі відповіді дітей)

Познайомимося із правилом визначення ступеня цілого рівняння?

Якщо рівняння з однією змінною записано як Р(х)=0, де Р(х)- многочлен стандартного виду, то ступінь цього многочлена називають ступенем рівняння. Ступенем довільного цілого рівняння називають ступінь рівносильного йому рівняння виду Р (х) = 0, де Р (х) - багаточлен стандартного виду.

Рівнянняn ой ступеня має не більшеn коріння.

Ціле рівняння можна вирішити кількома способами:

способи розв'язання цілих рівнянь

розкладання на множники графічне введення нової

змінної

(Записують схему до зошита)

Сьогодні ми розглянемо одне із них: розкладання на множники з прикладу наступного рівняння:х 3 – 8х 2 –х +8 = 0.(на дошці пояснює вчитель, учні записують у зошит рішення рівняння)

Як називається спосіб розкладання на множники, за допомогою якого можна ліву частину рівняння розкласти на множники? (Спосіб угруповання). Розкладемо ліву частину рівняння на множники, а для цього згрупуємо доданки, що стоять у лівій частині рівняння.

Коли добуток множників дорівнює нулю? (Коли хоча б один із множників дорівнює нулю). Прирівняємо до нуля кожен множник рівняння.

Розв'яжемо отримані рівняння

Скільки коренів ми одержали? (Запис у зошити)

х 2 (х – 8) – (х – 8) = 0

(х – 8) (х 2 – 1) = 0

(х - 8) (х - 1) (х + 1) = 0

х 1 = 8, х 2 = 1, х 3 = - 1.

Відповідь: 8; 1; -1.

4.Формування умінь та навичок. Практична частина.

робота за підручником №265 (запис у зошиті)

Який ступінь рівняння і скільки коренів має кожне з рівнянь:

Відповіді: а) 5, б) 6, в) 5, г) 2, д) 1, е) 1

№ 266(а)(Рішення біля дошки з поясненням)

Розв'яжіть рівняння:

5.Підсумок уроку:

Закріплення теоретичного матеріалу:

Яке рівняння з однією змінною називається цілим? Наведіть приклад.

Як визначити ступінь цілого рівняння? Скільки коренів має рівняння з однією змінною першого, другого ступеня, n-ого ступеня?

6.Рефлексія

Оцініть свою роботу. Підніміть руку, хто…

1) зрозумів тему на відмінно

2) зрозумів тему добре

поки що відчуваю труднощі

7.Домашнє завдання:

п.12 (с.75-77 приклад 1) № 267 (а, б).

«лист контролю учня»

Лист контролю учня

Лист контролю учня

Клас______ Прізвище Ім'я ___________________

Лист контролю учня

Клас______ Прізвище Ім'я ___________________

Перегляд вмісту документа
"роздатковий матеріал"

1.Рішіть рівняння:

а) x 2 = 0 е) x 3 - 25x = 0

а) x 2 = 0 е) x 3 - 25x = 0
б) 3x - 5 = 0 ж) x (x - 1) (x + 2) = 0
в) x 2 -5 = 0 з) x 4 - x 2 = 0
г) x 2 = 1/36 і) x 2 -0,01 = 0,03
д) x 2 = - 25 к) 19 - c 2 = 10

3. Розв'яжіть рівняння:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Розв'яжіть рівняння:

I варіант II варіант III варіант

x 3 -1 = 0 x 3 - 4x = 0 x 3 -12x 2 +36x = 0

«тест»

Вітаю! Наразі Вам буде запропоновано тест з математики з 4 питань. Натискайте на кнопки на екрані під питаннями, в яких, на Вашу думку, записана відповідь. Натисніть кнопку «далі», щоб розпочати тестування. Бажаю удачі!

1. Розв'яжіть рівняння:

3х + 6 = 0

Правильного

відповіді немає

Коренів

Правильного

відповіді немає

Коренів

4. Розв'яжіть рівняння: 0 х = - 4

Коренів

Багато

коріння

Перегляд вмісту презентації
«1»

• Розв'яжіть рівняння:

• УСНА РОБОТА

Цілі:

освітні:

• узагальнити та поглибити відомості про рівняння; запровадити поняття цілого рівняння та його ступеня, його коріння; розглянути спосіб розв'язання цілого рівняння за допомогою розкладання на множники.
• узагальнити та поглибити відомості про рівняння;
• запровадити поняття цілого рівняння та його ступеня, його коріння;
• розглянути спосіб розв'язання цілого рівняння за допомогою розкладання на множники.

розвиваючі:

• розвиток математичного та загального кругозору, логічного мислення, вміння аналізувати, робити висновок;
• розвиток математичного та загального кругозору, логічного мислення, вміння аналізувати, робити висновок;

виховні:

• виховувати самостійність, чіткість та акуратність у діях.
• виховувати самостійність, чіткість та акуратність у діях.

• Психологічна установка

• Продовжуємо узагальнювати та поглиблювати відомості про рівняння;
• знайомимося з поняттям цілого рівняння,

з поняттям ступеня рівняння;

• формуємо навички розв'язання рівнянь;
• контролюємо рівень засвоєння матеріалу;
• На уроці можемо помилятися, сумніватися, консультуватись.
• Кожен учень сам собі пропонує установку.

• Які рівняння називаються цілими?
• Що називається ступенем рівняння?
• Скільки коренів має рівняння n-го ступеня?
• Методи вирішення рівнянь першого, другого та третього ступенів.

• План уроку

а) x 2 = 0 е) x 3 - 25x = 0 в) x 2 -5 = 0 з) x 4 - x 2 = 0 г) x 2 = 1/36 і) x 2 –0,01 = 0,03 д) x 2 = - 25 к) 19 - c 2 = 10

Розв'яжіть рівняння:

Наприклад:

X²=x³-2(x-1)

• Рівняння

Якщо рівняння з однією змінною

записано у вигляді

P(x) = 0, де P(x)- багаточлен стандартного виду,

то ступінь цього багаточлена називають

ступенем даного рівняння

2x³+2x-1=0 (5-й ступінь)

14x²-3=0 (4-й ступінь)

Наприклад:

Який ступінь знайомих нам рівнянь?

• а) x 2 = 0 е) x 3 - 25x = 0
• б) 3x - 5 = 0 ж) x (x - 1) (x + 2) = 0
• в) x 2 – 5 = 0 з) x 4 - x 2 = 0
• г) x 2 = 1/36 і) x 2 – 0,01 = 0,03
• д) x 2 = - 25 к) 19 - c 2 = 10

• Розв'яжіть рівняння:

• 2 ∙х + 5 =15
• 0∙х = 7

Скільки коренів може мати рівняння І ступеня?

Не більше одного!

• Розв'яжіть рівняння:

• x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x +36 = 0
• D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 немає коріння x=6.

Скільки коренів може мати рівняння І ступеня (квадратне) ?

Не більше двох!

Розв'яжіть рівняння:

• I варіант II варіант III варіант

x 3 -1 = 0 x 3 - 4x = 0 x 3 -12x 2 +36x=0

• x 3 = 1 x (x 2 - 4) = 0 x (x 2 -12x +36) = 0

x=1 x=0, x=2, x=-2 x=0, x=6

1 корінь 3 корені 2 корені

• Скільки коренів може мати рівняння І І І ступеня?

Не більше трьох!

• Як ви думаєте, скільки коренів може мати рівняння

IV, V, VI, VII, n -й ступеня?

• Не більше чотирьох, п'яти, шести, семи коренів!

Взагалі не більше n коріння!

ax²+bx+c=0

Квадратне рівняння

ax + b = 0

Лінійне рівняння

Немає коренів

Немає коренів

Один корінь

Розкладемо ліву частину рівняння

на множники:

x²(x-8)-(x-8)=0

Відповідь: = 1, = -1.

• Рівняння третього ступеня виду: ax³+bx²+cx+d=0

Шляхом розкладання на множники

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

Розкриємо дужки та наведемо

подібні доданки

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Відповідь: x=-2