Ступінь суми багаточленів. Багаточлен, його стандартний вид, ступінь та коефіцієнти членів

ОБІЙ ВЖЕ ЦІ ГРАБЛІ! 🙂

Множення та розподіл дробів.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно не дуже. »
І для тих, хто дуже навіть. »)

Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:

Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільного знаменника! Не треба його тут…

Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб і їх перемножити, тобто:

Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику - і вперед! Наприклад:

У старших класах часто доводиться мати справу з триповерховими (або навіть чотириповерховими!) дробами. Наприклад:

Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:

Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:

У першому випадку (вираз зліва):

У другому (вираз праворуч):

Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!

А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рисок, типу:

то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!

І ще дуже простий і важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:

Дріб перекинувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.

Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Візьміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!

1. Найголовніше при роботі з дрібними виразами - акуратність і уважність! Це не загальні слова, Не благі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячіть при розрахунку в умі.

2. У прикладах з різними видамидробів - переходимо до звичайних дробів.

3. Усі дроби скорочуємо до упору.

4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).

Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки.

Пам'ятайте - правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.

Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все — перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимося відповіді.

Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити. Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчисленняз дробами - не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні.

Значить у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але. Це розв'язувані проблеми.

У Особливому розділі 555 «Дроби» розібрано всі ці (і не лише!) приклади. З докладними поясненнями, що, навіщо і як. Такий розбір чудово допомагає при нестачі знань та навичок!

Та й з другої проблеми там є дещо.) Цілком практична порада, як стати уважніше. Так Так! Порада, яка може застосувати кожен.

Крім знань та уважності для успіху потрібен певний автоматизм. Де його взяти? Чую важке зітхання ... Так, тільки в практиці, більше ніде.

Можете для тренування зайти на веб-сайт 321start.ru. Там у опції «Спробувати» є 10 прикладів для всіх бажаючих. З миттєвою перевіркою. Для зареєстрованих користувачів – 34 приклади від простих до суворих. Це лише з дробів.

Якщо вам подобається цей сайт.

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Ось тут можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

А ось тут можна познайомитися з функціями та похідними.

Правило 1.

Щоб помножити дріб на натуральне число, треба його чисельник помножити на число, а знаменник залишити без зміни.

Правило 2

Щоб помножити дріб на дріб, треба:

1. знайти добуток чисельників та добуток знаменників цих дробів

2. перший твір записати чисельнику, а другий - знаменником.

Правило 3

Для того, щоб виконати множення змішаних чисел, треба їх записати як неправильних дробів, та був скористатися правилом множення дробів.

Правило 4

Щоб розділити один дріб в інший, треба ділене помножити число, зворотне дільнику.

приклад 1.

Обчисліть

приклад 2.

Обчисліть

приклад 3.

Обчисліть

приклад 4.

Обчисліть

Математика. Інші матеріали

Зведення числа до раціонального ступеня. (

Зведення числа до натурального ступеня. (

Узагальнений метод інтервалів під час вирішення алгебраїчних нерівностей (Автор Колчанов А.В.)

Метод заміни множників під час вирішення алгебраїчних нерівностей (Автор Колчанов А.В.)

Ознаки ділимості (Лунгу Альона)

Перевір себе на тему 'Умноження і розподіл звичайних дробів'

Розмноження дробів

Розмноження звичайних дробів розглянемо у кількох можливих варіантах.

Розмноження звичайного дробу на дріб

Це найпростіший випадок, у якому потрібно скористатися наступними правилами множення дробів.

Щоб помножити дріб на дріб, Треба:

Перш ніж перемножувати чисельники та знаменники перевірте, чи не можна скоротити дроби. Скорочення дробів при розрахунках значно полегшить ваші обчислення.

Розмноження дробу на натуральне число

Щоб дріб помножити на натуральне числотреба чисельник дробу помножити цього числа, а знаменник дробу залишити без зміни.

Якщо в результаті множення вийшла неправильний дріб, не забудьте перетворити її на змішане число, тобто виділити цілу частину.

Розмноження змішаних чисел

Щоб перемножити змішані числа, треба спочатку перетворити їх на неправильні дроби і після цього помножити за правилом множення звичайних дробів.

Інший спосіб множення дробу на натуральне число

Іноді при розрахунках зручніше скористатися іншим способом множення звичайного дробу на число.

Щоб помножити дріб на натуральне число, потрібно знаменник дробу розділити на це число, а чисельник залишити тим самим.

Як бачимо з прикладу, цим варіантом правила зручніше користуватися, якщо знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Розподіл дробу на число

Як розділити дріб на число найшвидше? Розберемо теорію, зробимо висновок і на прикладах подивимося, як поділ дробу на число можна виконувати за новим коротким правилом.

Зазвичай розподіл дробу на число виконують за правилом розподілу дробів. Перше число (дріб) множимо на число, зворотне другому. Оскільки друге число ціле, зворотне до нього число - дріб, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник - даному числу. Схематично розподіл дробу на натуральне число виглядає так:

Звідси робимо висновок:

щоб розділити дріб на число, треба знаменник помножити на це число, а чисельник залишити тим самим. Правило можна сформулювати ще коротше:

при розподілі дробу на число йде в знаменник.

Виконати розподіл дробу на число:

Щоб розділити дріб на число, чисельник перепишемо без змін, а знаменник помножимо на це число. Скорочуємо 6 та 3 на 3.

При розподілі дробу на число чисельник переписуємо, а знаменник множимо цього числа. Скорочуємо 16 та 24 на 8.

При розподілі дробу на число йде в знаменник, тому чисельник залишаємо таким же, а знаменник множимо на дільник. Скорочуємо 21 та 35 на 7.

Множення та поділ дробів

У Минулого разуми навчилися складати і віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільному знаменнику.

Тепер настав час розібратися з множенням та поділом. Хороша новинаполягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Для початку розглянемо найпростіший випадок, коли є дві позитивні дробибез виділеної цілої частини.

Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.

Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.

З визначення випливає, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, досить поміняти місцями чисельник та знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.

В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших спільних кратних.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

За визначенням маємо:

Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів

Якщо у дробах присутній ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.

Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробівколи потрібно було позбутися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:

3. Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. У крайньому випадкуодин мінус може вижити - той, якому не знайшлося пари;
4. Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.

Усі дроби переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:

Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеною цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не лише до його цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).

Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужки. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис більш обережним.

Скорочення дробів «на льоту»

Множення - дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:

У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.

Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які, власне кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.

Однак у жодному разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:

Так робити не можна!

Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості мова йдесаме про множення чисел.

Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне рішенняпопереднього завдання виглядає так:

Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.

Розподіл дробів.

Розподіл дробу на натуральне число.

Приклади поділу дробу на натуральне число

Розподіл натурального числа на дріб.

Приклади поділу натурального числа на дріб

Розподіл звичайних дробів.

Приклади поділу звичайних дробів

Розподіл змішаних чисел.

Щоб поділити одне змішане число на інше, треба:
• перетворити змішані дроби на неправильні;
• помножити перший дріб на дріб, зворотний другий;
• скоротити отриманий дріб;
• якщо вийшов неправильний дріб перетворити неправильний дріб на змішану.

Приклади поділу змішаних чисел

1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!

Ласкаво просимо в OnlineMSchool.
Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник та автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправита калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Дроби. Множення та розподіл дробів.

Розмноження звичайного дробу на дріб.

Щоб перемножити звичайні дроби, необхідно помножити чисельник на чисельник (отримаємо чисельник твору) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).

Формула множення дробів:





Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу. Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше далі робити розрахунки.

Зверніть увагу! Тут не потрібно шукати спільний знаменник!

Розподіл звичайного дробу на дріб.

Розподіл звичайного дробу на дріб відбувається так: перевертаєте другий дріб (тобто змінюєте чисельник і знаменник місцями) і після цього дроби перемножуються.

Формула поділу звичайних дробів:





Розмноження дробу на натуральне число.

Зверніть увагу!При множенні дробу на натуральне число чисельник дробу множиться на наше натуральне число, а знаменник дробу залишаємо тим самим. Якщо результатом твору виявився неправильний дріб, то обов'язково виділіть цілу частину, перетворивши неправильний дріб на змішаний.



Розподіл дробів за участю натурального числа.

Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:



Розмноження змішаних дробів.

Правила множення дробів (змішаних):

• перетворюємо змішані дроби на неправильні;
• перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
• скорочуємо дріб;
• якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.

Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно, спершу, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.



Другий спосіб множення дробу на натуральне число.

Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.

Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.



З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Багатоповерхові дроби.

У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:

Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:



Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.

Зверніть увагу, наприклад:

При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:

Практичні поради при множенні та розподілі дробів:

1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядківу чернетці, чим заплутатися у розрахунках в умі.

2. У завданнях із різними видами дробів — переходьте до виду звичайних дробів.

3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.

4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.

• Недо- і не до- Перероблена пісня "Весняне танго" (Приходить час - птахи з півдня прилітають) - муз. Валерій Міляєв Недочув, недозрозумів, недогнав, у сенсі тому, що я не здогадався, всі дієслова не роздільно написав, про приставку недоя не знав. Буває так, […]
• Сторінка не знайдена У третьому остаточному читанні було прийнято пакет документів Уряду, які передбачають створення спеціальних адміністративних районів(САР). Внаслідок виходу з Євросоюзу, Великобританія не буде включена до Європейську зонуПДВ та […]
• Об'єднаний слідчий комітетз'явиться вже восени Об'єднаний слідчий комітет з'явиться вже восени Слідство всіх силових структурзберуть під одним дахом із четвертої спроби Вже восени 2014-го, за даними «Известий», президент Володимир Путін […]
• Патент на алгоритм Як патент на алгоритм виглядає Як патент на алгоритм готується Підготовка технічних описівспособів зберігання, обробки, передачі, сигналів та/або даних саме для цілей патентування особливих складнощів зазвичай не представляє, і […]
• ЩО ВАЖЛИВО ЗНАТИ ПРО НОВИЙ ЗАКОНОПРОЕКТ ПРО ПЕНСІЇ 12 грудня 1993 року КОНСТИТУЦІЯ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ (з урахуванням поправок, внесених ЗаконамиРосійської Федерації про поправки до Конституції Російської Федерації від 30.12.2008 N 6-ФКЗ, від 30.12.2008 N 7-ФКЗ, від […]
• Частинки про пенсію жінці прикольні для ювіляра чоловіки для ювіляра чоловіки - хором для ювіляра жінки - посвята у пенсіонери жінки жартівливе Будуть цікаві конкурси для пенсіонерів Ведучий: Дорогі друзі! Хвилинку уваги! Сенсація! Тільки […]

В курсі середньої та старшої школиучні проходили тему «Дроби». Однак це поняття набагато ширше, ніж дається у процесі навчання. Сьогодні поняття дробу зустрічається досить часто, і не кожен може провести обчислення якогось виразу, наприклад, множення дробів.

Що таке дріб?

Так історично склалося, що дробові числа виникли через необхідність вимірювати. Як показує практика, часто зустрічаються приклади визначення довжини відрізка, обсягу прямокутного прямокутника.

Спочатку учні знайомляться з таким поняттям як частка. Наприклад, якщо розділити кавун на 8 частин, то кожному дістанеться по одній восьмій кавуна. Ось ця одна частина з восьми і називається часткою.

Частка, що дорівнює ½ від будь-якої величини, називається половиною; ⅓ - третю; ¼ – чвертю. Записи виду 5/8, 4/5, 2/4 називають звичайними дробами. Звичайний дріб поділяється на чисельник та знаменник. Між ними знаходиться межа дробу, або дробова характеристика. Дробну межу можна намалювати у вигляді як горизонтальної, так і похилої лінії. У даному випадкувона означає знак розподілу.

Знаменник представляє, скільки однакових часток поділяють величину, предмет; а чисельник - скільки однакових часток взято. Чисельник пишеться над дробовою рисою, знаменник - під нею.

Найзручніше показати звичайні дроби на координатному промені. Якщо одиничний відрізок розділити на 4 рівні частки, позначити кожну частку латинською літерою, то в результаті можна отримати відмінне наочний посібник. Так, точка А показує частку, що дорівнює 1/4 від усього одиничного відрізка, а точка відзначає 2 / 8 від даного відрізка.

Різновиди дробів

Дроби бувають прості, десяткові, і навіть змішані числа. Крім того, дроби можна розділити на правильні та неправильні. Ця класифікація найбільше підходить для звичайних дробів.

Під правильним дробомрозуміють число, у якого чисельник менше знаменника. Відповідно, неправильний дріб - число, у якого чисельник більший за знаменник. Другий вигляд зазвичай записують як змішаного числа. Такий вираз складається з цілої та дробової частини. Наприклад, 1½. 1 – ціла частина, ½ – дробова. Однак якщо потрібно провести якісь маніпуляції з виразом (розподіл чи множення дробів, їх скорочення чи перетворення), змішане число перетворюється на неправильний дріб.

Правильне дробовий вираззавжди менше одиниці, а неправильне - більше чи одно 1.

Що стосується то під цим виразом розуміють запис, в якому представлено будь-яке число, знаменник дробового виразу якого можна виразити через одиницю з кількома нулями. Якщо дріб правильний, то ціла частина в десяткового записудорівнюватиме нулю.

Щоб записати десятковий дріб, потрібно спочатку написати цілу частину, відокремити її від дробової за допомогою коми і потім уже записати дробовий вираз. Необхідно пам'ятати, що після коми чисельник повинен містити стільки ж цифрових символів, скільки нулів у знаменнику.

приклад. Подати дріб 7 21 / 1000 у десятковому записі.

Алгоритм переведення неправильного дробу в змішане число і навпаки

Записувати у відповіді завдання неправильний дріб некоректно, тому його потрібно перевести в змішане число:

• розділити чисельник на наявний знаменник;
• в конкретному прикладінеповне приватне – ціле;
• і залишок - чисельник дрібної частини, причому знаменник залишається незмінним.

приклад. Перевести неправильний дріб у змішане число: 47/5 .

Рішення. 47: 5. Неповне приватне дорівнює 9, залишок = 2. Значить, 47/5 = 9 2/5.

Іноді потрібно уявити змішане число як неправильний дроб. Тоді потрібно скористатися наступним алгоритмом:

• ціла частина множиться на знаменник дрібного виразу;
• отриманий твір додається до чисельника;
• Результат записується в чисельнику, знаменник залишається незмінним.

приклад. Подати число у змішаному вигляді як неправильний дроб: 9 8 / 10 .

Рішення. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 – чисельник.

Відповідь: 98 / 10.

Розмноження дробів звичайних

Над звичайними дробами можна здійснювати різні операції алгебри. Щоб перемножити два числа, потрібно чисельник перемножити з чисельником, а знаменник із знаменником. Причому множення дробів з різними знаменниками не відрізняється від добутку дробових чисел з однаковими знаменниками.

Трапляється, що після знаходження результату потрібно скоротити дріб. У обов'язковому порядкупотрібно максимально спростити вираз, що вийшов. Звичайно, не можна сказати, що неправильний дріб у відповіді - це помилка, але й назвати правильною відповіддю її теж важко.

приклад. Знайти добуток двох звичайних дробів: ½ і 20/18.

Як видно з прикладу, після знаходження твору вийшла скоротлива дробовий запис. І чисельник, і знаменник у разі ділиться на 4, і результатом виступає відповідь 5 / 9 .

Розмноження дробів десяткових

Добуток десяткових дробів досить сильно відрізняється від твору звичайних за своїм принципом. Отже, множення дробів полягає в наступному:

• два десяткові дроби потрібно записати один під одним так, щоб крайні праві цифри опинилися одна під одною;
• потрібно перемножити записані числа, незважаючи на коми, тобто як натуральні;
• підрахувати кількість цифр після знака комою у кожному із чисел;
• в отриманому після перемноження результаті потрібно відрахувати праворуч стільки цифрових символів, скільки міститься в сумі в обох множниках після коми, і поставити знак, що відокремлює;
• якщо цифр у творі виявилося менше, тоді перед ними потрібно написати стільки нулів, щоб покрити цю кількість, поставити кому і приписати цілу частину, що дорівнює нулю.

приклад. Обчислити добуток двох десяткових дробів: 2,25 та 3,6.

Рішення.

Розмноження змішаних дробів

Щоб вирахувати твір двох змішаних дробів, потрібно використовувати правило множення дробів:

• перевести числа у змішаному вигляді у неправильні дроби;
• знайти добуток чисельників;
• знайти твір знаменників;
• записати результат, що вийшов;
• максимально спростити вираз.

приклад. Знайти добуток 4½ та 6 2/5.

Розмноження числа на дріб (дроби на число)

Крім знаходження добутку двох дробів, змішаних чисел, зустрічаються завдання, де потрібно помножити на дріб.

Отже, щоб знайти твір десяткового дробута натурального числа, потрібно:

• записати число під дробом так, щоб крайні праві цифри опинилися одна над одною;
• знайти твір, незважаючи на кому;
• в отриманому результаті відокремити цілу частину від дробової за допомогою коми, відрахувавши праворуч кількість знаків, яка знаходиться після коми в дробі.

Щоб помножити звичайний дрібна число, слід знайти добуток чисельника та натурального множника. Якщо у відповіді виходить скоротитий дріб, його слід перетворити.

приклад. Обчислити добуток 5/8 та 12.

Рішення. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Відповідь: 7 1 / 2.

Як видно з попереднього прикладу, необхідно було скоротити результат і перетворити неправильне дробове вираз у змішане число.

Також множення дробів стосується і знаходження добутку числа у змішаному вигляді та натурального множника. Щоб перемножити ці два числа, слід цілу частину змішаного множника помножити на число, чисельник помножити на це значення, а знаменник залишити незмінним. Якщо потрібно, потрібно максимально спростити результат, що вийшов.

приклад. Знайти твір 9 5/6 та 9.

Рішення. 9 5/6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Відповідь: 88 1 / 2.

множення на множники 10, 100, 1000 або 0,1; 0,01; 0,001

З попереднього пункту випливає наступне правило. Для множення дробу десяткового на 10, 100, 1000, 10000 і т. д. потрібно пересунути кому вправо на стільки символів цифр, скільки нулів у множнику після одиниці.

Приклад 1. Знайти добуток 0,065 та 1000.

Рішення. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Відповідь: 65.

Приклад 2. Знайти добуток 3,9 та 1000.

Рішення. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Відповідь: 3900.

Якщо потрібно перемножити натуральне число та 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 і т. д., слід пересунути вліво кому в творі на стільки символів цифр, скільки нулів знаходиться до одиниці. Якщо необхідно, перед натуральним числомзаписуються нулі у достатній кількості.

Приклад 1. Знайти добуток 56 та 0,01.

Рішення. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Відповідь: 0,56.

Приклад 2. Знайти твір 4 та 0,001.

Рішення. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Відповідь: 0,004.

Отже, знаходження твору різних дробів повинно викликати труднощів, хіба що підрахунок результату; у такому разі без калькулятора просто не обійтись.

Після вивчення одночленів переходимо до багаточленів. Ця стаття розповість про всі необхідні відомості, необхідні виконання дій над ними. Ми визначимо багаточлен із супутніми визначеннями члена багаточлена, тобто вільний і подібний, розглянемо багаточлен стандартного виду, введемо ступінь та навчимося його знаходити, попрацюємо з його коефіцієнтами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

Визначення многочлена треба було ще в 7 клас після вивчення одночленів. Розглянемо повне визначення.

Визначення 1

Багаточленомвважається сума одночленів, причому сам одночлен – це окремий випадокбагаточлена.

З визначення випливає, що приклади багаточленів можуть бути різними: 5 , 0 , − 1 , x, 5 · a · b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z і так далі. З визначення маємо, що 1+x, a 2 + b 2 і вираз x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5, 2 · y · x є многочленами.

Розглянемо ще визначення.

Визначення 2

Членами багаточленуназиваються його складові одночлени.

Розглянемо такий приклад, де маємо багаточлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , що складається з 4 членів: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 та − y 3. Такий одночлен вважатимуться многочленом, що з одного члена.

Визначення 3

Багаточлени, які мають у своєму складі 2 , 3 тричлени мають відповідну назву – двочлені тричлен.

Звідси випливає, що вираз виду x + y– є двочленом, а вираз 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – тричленом.

за шкільній програміпрацювали з лінійним двочленом виду a · x + b , де а та b є деякими числами, а х – змінною. Розглянемо приклади лінійних двочленів виду: x + 1, x · 7, 2 - 4 з прикладами квадратних тричленів x 2 + 3 · x − 5 та 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Для перетворення та рішення необхідно знаходити та наводити подібні доданки. Наприклад, багаточлен виду 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x має подібні доданки 1 і - 3, 5 х та 2 х. Їх поділяють у особливу групупід назвою таких членів багаточлена.

Визначення 4

Подібні члени багаточлену– це подібні доданки, що перебувають у багаточлені.

У наведеному вище прикладі маємо, що 1 і - 3 , 5 х і 2 х є подібними членами многочлена або подібними доданками. Для того, щоб спростити вираз, застосовують знаходження та приведення подібних доданків.

Багаточлен стандартного вигляду

У всіх одночленів і багаточленів є певні назви.

Визначення 5

Багаточлен стандартного видуназивають багаточлен, у якого кожен член, що входить до нього, має одночлен стандартного вигляду і не містить подібних членів.

З визначення видно, що можливе приведення багаточленів стандартного виду, наприклад, 3 · x 2 - x · y + 1 та __formula__, причому запис у стандартному вигляді. Вирази 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z та 5 + 3 · x 2 - x 2 + 2 · x · z багаточленами стандартного виду не є, тому що перший з них має подібні доданки у вигляді 3 · x 2 та − x 2, а другий містить одночлен виду x · y 3 · x · z 2 відрізняється від стандартного многочлена.

Якщо цього вимагають обставини, іноді многочлен наводиться до стандартного виду. Багаточлен стандартного виду вважається і поняття вільного члена многочлена.

Визначення 6

Вільним членом багаточленає багаточлен стандартного вигляду, що не має буквеної частини.

Інакше висловлюючись, коли запис многочлена у стандартному вигляді має число, його називають вільним членом. Тоді число 5 є вільним членом многочлена x 2 · z + 5 а багаточлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 вільного члена не має.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Визначення самого ступеня багаточлена базується на визначенні багаточлена стандартного виду та на ступенях одночленів, які є його складовими.

Визначення 7

Ступенем багаточлена стандартного виглядуназивають найбільший зі ступенів, що входять до його запису.

Розглянемо з прикладу. Ступінь многочлена 5 · x 3 - 4 дорівнює 3 тому, як одночлени, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0, а більше з них 3 відповідно. Визначення ступеня із многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x дорівнює найбільшому з чисел, тобто 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 і 1, отже 5 .

Слід з'ясувати, як знаходиться сама ступінь.

Визначення 8

Ступінь багаточлена довільного числа - це ступінь відповідного багаточлена в стандартному вигляді.

Коли многочлен записаний над стандартному вигляді, але потрібно знайти його ступінь, необхідно приведення до стандартного, після чого шукати ступінь.

Приклад 1

Знайти ступінь багаточлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 - 2 · a 12 − a 12.

Рішення

Для початку представимо багаточлен у стандартному вигляді. Отримаємо вираз виду:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = (3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При отриманні многочлена стандартного виду отримуємо, що чітко виділяються два з них - 2 · a 2 · b 2 · c 2 та y 2 · z 2 . Для знаходження ступенів порахуємо та отримаємо, що 2 + 2 + 2 = 6 та 2 + 2 = 4 . Видно, що найбільша їх дорівнює 6 . З визначення випливає, що саме 6 є ступенем многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , отже вихідного значення.

Відповідь: 6 .

Коефіцієнти членів багаточлену

Коли всі члени багаточлена є одночленами стандартного виду, то у такому випадку вони мають назву коефіцієнтів членів багаточлену.Інакше висловлюючись, їх можна називати коефіцієнтами многочлена.

При розгляді прикладу видно, що багаточлен виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 має у своєму складі 4 багаточлени: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x та 7 з відповідними коефіцієнтами 2 , − 0 , 5 , 3 і 7 . Значить, 2 , − 0 , 5 , 3 та 7 вважаються коефіцієнтами членів заданого багаточлена виду 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При перетворенні важливо звертати увагу на коефіцієнти, що стоять перед змінними.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Згідно з визначенням, багаточлен це алгебраїчний виразявляє собою суму одночленів.

Наприклад: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 - многочлени, а вираз z/(x - x*y^2 + 4) перестав бути многочленом оскільки вона перестав бути сумою одночленів. Багаточлен ще іноді називають поліномом, а одночлени, які входять до складу багаточлена членами багаточлена або мономами.

Комплексне поняття багаточлена

Якщо многочлен складається з двох доданків, його називають двочлен, якщо з трьох - трехчлен. Назви чотиричленів, п'ятичленів та інші не використовуються, а в таких випадках говорять просто, багаточлени. Такі назви, залежно від кількості доданків, ставлять усі на свої місця.

І термін одночлен стає інтуїтивно зрозумілим. З погляду математики, одночлен є окремим випадком многочлена. Одночлен це багаточлен, що складається з одного доданку.

Так само як і в одночлена, багаточлен має свій стандартний вигляд. Стандартним видом багаточлена називається такий запис багаточлена, при якому всі одночлени, що входять до нього як складові, записані в стандартному вигляді і наведені подібні члени.

Стандартний вид багаточлену

Процедура приведення багаточлена до стандартного виду полягає в тому, щоб привести кожен із одночленів до стандартного вигляду, а потім усі подібні одночлени між собою скласти. Додавання подібних членів багаточлена називають приведенням подібних.
Наприклад, наведемо подібні доданки в багаточлені 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Подібними тут є доданки 4*a*b^2*c^3 та 6*a*b^2*c^3. Сумою цих доданків буде одночлен 10*a*b^2*c^3. Отже, вихідний багаточлен 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b можна переписати у вигляді 10*a*b^2*c^3 - a*b . Цей запис і буде стандартним видом багаточлена.

З того, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду, випливає також і той факт, що будь-який багаточлен можна привести до стандартного вигляду.

Коли багаточлен приведено до стандартного вигляду, можна говорити про таке поняття, як ступінь багаточлена. Ступенем багаточлена називається найбільший ступіньодночлена, що входить до цього багаточлена.
Так, наприклад, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 - багаточлен п'ятого ступеня, оскільки максимальний ступіньодночлена що входить у многочлен (5*x^3*y^2) п'ята.

- багаточленами. У цій статті ми викладемо всі початкові та необхідні відомостіпро багаточлени. До них, по-перше, відноситься визначення багаточлена з супутніми визначеннями членів багаточлена, зокрема вільного члена та подібних членів. По-друге, зупинимося на багаточленах стандартного виду, дамо відповідне визначення та наведемо їх приклади. Нарешті, введемо визначення ступеня многочлена, розберемося, як його визначити, і скажемо про коефіцієнти членів многочлена.

Навігація на сторінці.

Багаточлен та його члени – визначення та приклади

У 7 класі багаточлени вивчаються відразу після одночленів, це і зрозуміло, оскільки визначення багаточленадається через одночлени. Дамо це визначення, що пояснює, що таке багаточлен.

Визначення.

Багаточлен- Це сума одночленів; одночлен вважається окремим випадком многочлена.

Записане визначення дозволяє навести скільки завгодно прикладів багаточленів. Будь-який з одночленів 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , і т.п. є багаточлен. Також за визначенням 1+x , a 2 +b 2 і це багаточлени.

Для зручності опису многочленів запроваджується визначення члена многочлена.

Визначення.

Члени багаточлена– це складові багаточленів одночлени.

Наприклад, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 складається з чотирьох членів: 3·x 4 , −2·x·y , 3 та −y 3 . Одночлен вважається багаточленом, що складається з одного члена.

Визначення.

Багаточлени, які складаються з двох та трьох членів, мають спеціальні назви – двочлені тричленвідповідно.

Так x + y - це двочлен, а 2 · x 3 · q-q · x · x +7 · b - тричлен.

У школі найчастіше доводиться працювати з лінійним двочленом a x + b , де a і b – деякі числа, а x – змінна, а також з квадратним тричленом a x 2 + b x x c , де a , b і c - деякі числа, а x - змінна. Ось приклади лінійних двочленів: x+1 , x·7,2−4 , а приклади квадратних тричленів: x 2 +3·x−5 і .

Багаточлени у своєму записі можуть мати подібні доданки. Наприклад, в многочлені 1+5·x−3+y+2·x подібними доданками є 1 та −3 , а також 5x і 2x. Вони мають свою особливу назву – такі члени багаточлена.

Визначення.

Подібними членами багаточленуназиваються подібні доданки в многочлен.

У попередньому прикладі 1 і -3, як і пара 5 x і 2 x, є подібними членами многочлена. У багаточленах, які мають подібні члени, можна спрощення їх виду виконувати приведення подібних членів .

Багаточлен стандартного вигляду

Для многочленів, як й у одночленів, існує так званий стандартний вид. Озвучимо відповідне визначення.

Виходячи з даного визначення, можна навести приклади багаточленів стандартного вигляду. Так багаточлени 3·x 2 −x·y+1 та записані у стандартному вигляді. А вирази 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z та x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не є багаточленами стандартного виду, так як у першому з них містяться подібні члени 3· x 2 і −x 2 , а у другому – одночлен x y 3 x z 2 , вид якого відмінний від стандартного.

Зауважимо, що за потреби завжди можна привести багаточлен до стандартного вигляду.

До многочленів стандартного виду належить ще одне поняття – поняття вільного члена многочлена.

Визначення.

Вільним членом багаточленаназивають членом багаточлена стандартного вигляду без буквеної частини.

Інакше кажучи, якщо запису многочлена стандартного виду є число, його називають вільним членом. Наприклад, 5 – це вільний член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 немає вільного члена.

Ступінь багаточлена - як її знайти?

Ще одним важливим супутнім визначеннямє визначення ступеня багаточлена. Спочатку визначимо ступінь багаточлена стандартного виду, це визначення базується на ступенях одночленів, що у його складі.

Визначення.

Ступінь багаточлена стандартного вигляду– це найбільший із ступенів одночленів, що входять до його запису.

Наведемо приклади. Ступінь многочлена 5·x 3 −4 дорівнює 3 , оскільки одночлени 5·x 3 і −4, що входять до його складу, мають ступеня 3 і 0 відповідно, найбільше з цих чисел є 3 , воно і є ступенем многочлена за визначенням. А ступінь багаточлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·xдорівнює найбільшому з чисел 2+3=5 , 4+1=5 та 1 , тобто 5 .

Тепер з'ясуємо, як знайти рівень багаточлена довільного вигляду.

Визначення.

Ступенем багаточлена довільного виглядуназивають ступінь відповідного йому багаточлен стандартного виду.

Отже, якщо багаточлен записаний над стандартному вигляді, і потрібно знайти його ступінь, потрібно привести вихідний многочлен до стандартного вигляду, і знайти ступінь отриманого многочлена – вона й буде шуканою. Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть ступінь багаточлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12.

Рішення.

Спочатку потрібно подати багаточлен у стандартному вигляді:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2.

В отриманий многочлен стандартного виду входять два одночлени −2·a 2 ·b 2 ·c 2 та y 2 ·z 2 . Знайдемо їх ступеня: 2+2+2=6 та 2+2=4 . Очевидно, найбільша з цих ступенів дорівнює 6 вона за визначенням є ступенем багаточлена стандартного виду −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2, Отже, і ступенем вихідного многочлена., 3 x і 7 многочлена 2 x -0,5 x x y +3 x +7 .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебраі почала математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.