Як помножити звичайний дріб на натуральне число? Розмноження дробу на число

§ 87. Додавання дробів.

Додавання дробів має багато подібності зі складанням цілих чисел. Додавання дробів є дія, що полягає в тому, що декілька даних чисел (доданків) з'єднуються в одне число (суму), що містить у собі всі одиниці та частки одиниць доданків.

Ми послідовно розглянемо три випадки:

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.
2. Додавання дробів з різними знаменниками.
3. Додавання змішаних чисел.

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо приклад: 1/5 + 2/5.

Візьмемо відрізок АВ (рис. 17), приймемо його за одиницю і розділимо на 5 рівних частин, тоді частина АС цього відрізка дорівнюватиме 1 / 5 відрізка АВ, а частина того ж відрізка CD дорівнюватиме 2 / 5 АВ.

З креслення видно, що й узяти відрізок AD, він дорівнюватиме 3 / 5 АВ; Проте відрізок AD таки є сума відрізків АС і CD. Отже, можна записати:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Розглядаючи дані доданку та отриману суму, бачимо, що чисельник суми вийшов від складання чисельників доданків, а знаменник залишився без зміни.

Звідси отримуємо таке правило: щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники та залишити той самий знаменник.

Розглянемо приклад:

2. Додавання дробів з різними знаменниками.

Складемо дроби: 3/4 + 3/8 Попередньо їх потрібно привести до найменшого спільного знаменника:

Проміжне ланка 6/8 + 3/8 можна було б і не писати; ми написали його тут для більшої ясності.

Таким чином, щоб скласти дроби з різними знаменниками, потрібно заздалегідь привести їх до найменшого спільного знаменника, скласти їх чисельники та підписати спільний знаменник.

Розглянемо приклад (додаткові множники писатимемо над відповідними дробами):

3. Додавання змішаних чисел.

Складемо числа: 2 3/8 + 3 5/6 .

Наведемо спочатку дрібні частини наших чисел до спільного знаменника і знову їх перепишемо:

Тепер складемо послідовно цілі та дробові частини:

§ 88. Віднімання дробів.

Віднімання дробів визначається так само, як і віднімання цілих чисел. Це є дію, з допомогою якого з цієї сумі двох доданків і одному їх перебуває інше доданок. Розглянемо послідовно три випадки:

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.
2. Віднімання дробів із різними знаменниками.
3. Віднімання змішаних чисел.

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо приклад:

13 / 15 - 4 / 15

Візьмемо відрізок АВ (рис. 18), приймемо його за одиницю та розділимо на 15 рівних частин; тоді частина АС цього відрізка буде 1/15 від АВ, а частина AD того ж відрізка буде відповідати 13/15 AB. Відкладемо ще відрізок ED, що дорівнює 4/15 АВ.

Нам потрібно відняти з 13/15 дріб 4/15. На кресленні це означає, що від відрізка AD потрібно відібрати відрізок ED. В результаті залишиться відрізок AЕ, який становить 9/15 відрізка АВ. Отже, ми можемо написати:

Зроблений нами приклад показує, що чисельник різниці вийшов від віднімання чисельників, а знаменник залишився той самий.

Отже, щоб зробити віднімання дробів з однаковими знаменниками, потрібно відняти чисельник віднімається з чисельника зменшуваного і залишити колишній знаменник.

2. Віднімання дробів із різними знаменниками.

приклад. 3/4 - 5/8

Попередньо приведемо ці дроби до найменшого спільного знаменника:

Проміжна ланка 6/8 - 5/8 написана тут для більшої ясності, але її можна надалі пропускати.

Таким чином, щоб відняти дріб з дробу, потрібно попередньо привести їх до найменшого спільного знаменника, потім від чисельника зменшуваного відняти чисельник віднімається і під їх різницею підписати спільний знаменник.

Розглянемо приклад:

3. Віднімання змішаних чисел.

приклад. 10 3/4-7 2/3.

Наведемо дробові частини зменшуваного і віднімається до найменшого спільного знаменника:

Ми відняли ціле з цілого та дріб із дробу. Але бувають випадки, коли дробова частина віднімається більше дробової частини зменшуваного. У разі потрібно взяти одну одиницю з цілої частини зменшуваного, роздробити їх у ті частки, у яких виражена дробова частина, і додати до дробової частини зменшуваного. А потім віднімання виконуватиметься так само, як і в попередньому прикладі:

§ 89. Множення дробів.

При вивченні множення дробів ми розглядатимемо такі питання:

1. Розмноження дробу на ціле число.
2. Знаходження дробу цього числа.
3. Множення цілого числа на дріб.
4. Розмноження дробу на дріб.
5. Збільшення змішаних чисел.
6. Поняття про відсоток.
7. Знаходження відсотків цього числа. Розглянемо їх послідовно.

1. Розмноження дробу на ціле число.

Множення дробу на ціле число має той самий сенс, що й множення цілого числа на ціле. Помножити дріб (множинне) на ціле число (множник) - означає скласти суму однакових доданків, в якій кожен доданок дорівнює множині, а число доданків дорівнює множнику.

Значить, якщо потрібно 1/9 помножити на 7, то це можна виконати так:

Ми легко отримали результат, оскільки дія звелася до додавання дробів з однаковими знаменниками. Отже,

Розгляд цієї дії показує, що множення дробу на ціле число рівносильне збільшенню цього дробу в стільки разів, скільки одиниць міститься в цілому. Оскільки збільшення дробу досягається або шляхом збільшення її чисельника

або шляхом зменшення її знаменника ,то ми можемо або помножити чисельник ціле, або розділити нею знаменник, якщо таке розподіл можливо.

Звідси отримуємо правило:

Щоб помножити дріб на ціле число, потрібно помножити на це ціле число чисельник і залишити той самий знаменник або, якщо можливо, розділити на це число знаменник, залишивши без змін чисельник.

При множенні можливі скорочення, наприклад:

2. Знаходження дробу цього числа.Існує безліч завдань, при вирішенні яких доводиться знаходити або обчислювати частину даного числа. Відмінність цих завдань від інших полягає в тому, що в них дається кількість яких-небудь предметів або одиниць виміру і потрібно знайти частину цього числа, яка тут же вказується певним дробом. Для полегшення розуміння ми спочатку наведемо приклади таких завдань, а потім познайомимо із способом їх вирішення.

Завдання 1.У мене було 60 руб.; 1/3 цих грошей я витратив на купівлю книг. Скільки коштували книжки?

Завдання 2.Поїзд має пройти відстань між містами А та В, що дорівнює 300 км. Він уже пройшов 2/3 цієї відстані. Скільки це кілометрів?

Завдання 3.У селі 400 будинків, з них 3/4 цегляних, решта дерев'яних. Скільки всього цегляних будинків?

Ось деякі з тих численних завдань на знаходження частини від цієї кількості, з якими нам доводиться зустрічатися. Їх зазвичай називають завданнями знаходження дробу даного числа.

Розв'язання задачі 1.З 60 руб. я витратив на книги 1/3; Отже, для знаходження вартості книг потрібно число 60 розділити на 3:

Розв'язання задачі 2.Сенс завдання полягає в тому, що потрібно знайти 2/3 від 300 км. Обчислимо спочатку 1/3 від 300; це досягається за допомогою розподілу 300 км на 3:

300: 3 = 100 (це 1/3 від 300).

Для знаходження двох третин від 300 потрібно отримане приватне збільшити вдвічі, тобто помножити на 2:

100 х 2 = 200 (це 2/3 від 300).

Розв'язання задачі 3.Тут потрібно визначити кількість цегляних будинків, які становлять 3/4 від 400. Знайдемо спочатку 1/4 від 400,

400: 4 = 100 (це 1/4 від 400).

Для обчислення трьох чвертей від 400 отримане приватне потрібно збільшити втричі, тобто помножити на 3:

100 х 3 = 300 (це 3/4 від 400).

З вирішення цих завдань ми можемо вивести таке правило:

Щоб знайти величину дробу від даного числа, потрібно розділити це число на знаменник дробу та отримане приватне помножити на його чисельник.

3. Множення цілого числа на дріб.

Раніше (§ 26) було встановлено, що множення цілих чисел потрібно розуміти як додавання однакових доданків (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). У цьому параграфі (пункт 1) було встановлено, що помножити дріб на ціле число - це означає знайти суму однакових доданків, що дорівнює цьому дробу.

В обох випадках множення полягало у знаходженні суми однакових доданків.

Тепер ми переходимо до множення цілого числа на дріб. Тут ми зустрінемося з таким, наприклад, множенням: 9 2/3 . Цілком очевидно, що колишнє визначення множення не підходить до цієї нагоди. Це видно з того, що ми не можемо таке множення замінити додаванням рівних між собою чисел.

Через це нам доведеться дати нове визначення множення, тобто, іншими словами, відповісти на питання, що слід розуміти під множенням на дріб, як треба розуміти цю дію.

Сенс множення цілого числа на дріб з'ясовується з наступного визначення: помножити ціле число (множинне) на дріб (множник) - значить знайти цей дріб множимого.

Саме, помножити 9 на 2/3 – значить знайти 2/3 від дев'яти одиниць. У попередньому пункті вирішувалися такі завдання; тому легко збагнути, що в нас в результаті вийде 6.

Але тепер виникає цікаве та важливе питання: чому такі на перший погляд різні дії, як знаходження суми рівних чисел і знаходження дробу числа, в арифметиці називаються одним і тим же словом «множення»?

Відбувається це тому, що колишня дія (повторення числа доданків кілька разів) та нова дія (знаходження дробу числа) дають відповідь на однорідні питання. Отже, ми виходимо з тих міркувань, що однорідні питання чи завдання вирішуються однією й тією ж дією.

Щоб це зрозуміти, розглянемо таке завдання: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 4 м такого сукна?

Це завдання вирішується множенням числа рублів (50) на число метрів (4), тобто 50 х 4 = 200 (руб.).

Візьмемо таке саме завдання, але в ній кількість сукна буде виражена дробовим числом: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 3/4 м такого сукна?

Це завдання теж потрібно вирішувати множенням числа рублів (50) на число метрів (3/4).

Можна ще кілька разів, не змінюючи сенсу завдання, змінити у ній числа, наприклад взяти 9 / 10 м або 2 3 / 10 м тощо.

Так як ці завдання мають один і той же зміст і відрізняються тільки числами, то ми називаємо дії, які застосовуються при їх вирішенні, одним і тим самим словом - множення.

Як виконується множення цілого числа на дріб?

Візьмемо числа, що зустрілися в останній задачі:

Відповідно до визначення ми повинні знайти 3/4 від 50. Знайдемо спочатку 1/4 від 50, а потім 3/4.

1/4 числа 50 становить 50/4;

3/4 числа 50 становлять.

Отже.

Розглянемо ще один приклад: 12 5/8 = ?

1/8 числа 12 складає 12/8,

5/8 числа 12 становлять.

Отже,

Звідси отримуємо правило:

Щоб помножити ціле число на дріб, треба помножити ціле число на чисельник дробу і цей твір зробити чисельником, а знаменником підписати знаменник даного дробу.

Запишемо це правило за допомогою букв:

Щоб це правило стало зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватне. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом множення числа на приватне, викладене в § 38

Необхідно пам'ятати, що перш ніж виконувати множення, слід робити (якщо можливо) скорочення, наприклад:

4. Розмноження дробу на дріб.Множення дробу на дріб має той самий сенс, що і множення цілого числа на дріб, тобто при множенні дробу на дріб потрібно від першого дробу (множини) знайти дріб, що стоїть у множнику.

Саме, помножити 3/4 на 1/2 (половину) – це означає знайти половину від 3/4.

Як виконується множення дробу на дріб?

Візьмемо приклад: 3/4 помножити на 5/7. Це означає, що потрібно знайти 5/7 від 3/4. Знайдемо спочатку 1/7 від 3/4, а потім 5/7

1/7 числа 3/4 висловиться так:

5/7 числа 3/4 виразиться так:

Таким чином,

Ще приклад: 5/8 помножити на 4/9.

1/9 числа 5/8 складає,

4/9 числа 5/8 становлять.

Таким чином,

З розгляду цих прикладів можна вивести таке правило:

Щоб помножити дріб на дріб, потрібно помножити чисельник на чисельник, а знаменник – на знаменник і перший твір зробити чисельником, а другий – знаменником твору.

Це правило у загальному вигляді можна записати так:

При множенні необхідно робити (якщо можливо) скорочення. Розглянемо приклади:

5. Збільшення змішаних чисел.Оскільки змішані числа можуть бути замінені неправильними дробами, то цією обставиною зазвичай користуються при множенні змішаних чисел. Це означає, що у випадках, коли множимое, чи множник, чи обидва сомножителя виражені змішаними числами, їх замінюють неправильними дробами. Перемножимо, наприклад, змішані числа: 2 1/2 та 3 1/5 . Звернімо кожне з них у неправильний дріб і потім перемножуватимемо отримані дроби за правилом множення дробу на дріб:

Правило.Щоб перемножити змішані числа, потрібно попередньо звернути їх у неправильні дроби і потім перемножити за правилом множення дробу на дріб.

Примітка.Якщо один із співмножників - ціле число, то множення може бути виконане на підставі розподільчого закону так:

6. Поняття про відсоток.При вирішенні завдань та при виконанні різних практичних розрахунків ми користуємось різноманітними дробами. Але треба мати на увазі, що багато величин допускають не будь-які, а природні для них підрозділи. Наприклад, можна взяти одну соту (1/100) рубля, це буде копійка, дві сотих – це 2 коп., три сотих – 3 коп. Можна взяти 1/10 рубля, це буде "10 коп., або гривеньник. Можна взяти чверть рубля, тобто 25 коп., половину рубля, тобто 50 коп. (полтинник). Але практично не беруть, наприклад 2 / 7 рубля тому, що рубль на сьомі частки не ділиться.

Одиниця виміру ваги, тобто кілограм, допускає насамперед десяткові підрозділи, наприклад 1/10 кг, або 100 г. А такі частки кілограма, як 1/6, 1/11, 1/13 невживані.

Загалом наші (метричні) заходи є десятковими та допускають десяткові підрозділи.

Однак треба зауважити, що вкрай корисно та зручно у найрізноманітніших випадках користуватися однаковим (одноманітним) способом підрозділу величин. Багаторічний досвід показав, що таким поділом, що добре виправдав себе, є «сотенний» поділ. Розглянемо кілька прикладів, що стосуються найрізноманітніших галузей людської практики.

1. Ціна на книги знизилася на 12/100 колишньої ціни.

приклад. Колишня ціна книги 10 руб. Вона знизилася на 1 карбованець. 20 коп.

2. Ощадні каси виплачують протягом року вкладникам 2/100 суми, яка покладена на заощадження.

приклад. У касу належить 500 крб., дохід із цієї суми протягом року становить 10 крб.

3. Число випускників однієї школи становило 5/100 від загальної кількості учнів.

П р і м е р. У школі навчалося всього 1200 учнів, з них закінчили школу 60 осіб.

Сота частина числа називається відсотком.

Слово «відсоток» запозичене з латинської мови та її корінь «цент» означає сто. Разом із прийменником (pro centum) це слово означає «за сотню». Сенс такого висловлювання випливає з тієї обставини, що спочатку у Стародавньому Римі відсотками називалися гроші, які платив боржник позикодавцю «за сотню». Слово «цент» чується у таких усім знайомих словах: центнер (сто кілограмів), центиметр (говориться сантиметр).

Наприклад, замість того, щоб говорити, що завод за місяць, що минув, дав шлюбу 1/100 від усієї виробленої ним продукції, ми говоритимемо так: завод за минулий місяць дав один відсоток шлюбу. Замість того, щоб говорити: завод виробив продукції на 4/100 більше встановленого плану, ми говоритимемо: завод перевиконав план на 4 відсотки.

Викладені вище приклади можна висловити інакше:

1. Ціна на книги знизилася на 12 відсотків колишньої ціни.

2. Ощадні каси виплачують вкладникам протягом року 2 відсотки із суми, покладеної заощадження.

3. Кількість випускників однієї школи становила 5 відсотків числа всіх учнів школи.

Для скорочення листа прийнято замість слова відсоток писати значок %.

Однак слід пам'ятати, що у обчисленнях значок % зазвичай не пишеться, він може бути записаний в умові завдання та в остаточному результаті. При виконанні обчислень потрібно писати дріб зі знаменником 100 замість цілого числа з цим значком.

Потрібно вміти замінювати ціле число із зазначеним значком дробом із знаменником 100:

Назад, потрібно звикнути замість дробу зі знаменником 100 писати ціле число із зазначеним значком:

7. Знаходження відсотків цього числа.

Завдання 1.Школа здобула 200 куб. м дров, причому березові дрова становили 30%. Скільки було березових дров?

Сенс цього завдання полягає в тому, що березові дрова становили лише частину тих дров, які були доставлені до школи, і ця частина виражається дробом 30/100. Отже, маємо завдання знаходження дробу від числа. Для її вирішення ми повинні 200 помножити на 30/100 (завдання на знаходження дробу числа вирішуються множенням числа на дріб.).

Отже, 30% від 200 дорівнюють 60.

Дроб 30 / 100 , що зустрічалася у цій задачі, допускає скорочення на 10. Можна було б від початку виконати це скорочення; розв'язання завдання від цього не змінилося б.

Завдання 2.У таборі було 300 дітей різного віку. Діти 11 років становили 21%, діти 12 років становили 61% та, нарешті, 13-річних дітей було 18%. Скільки було дітей кожного віку у таборі?

У цьому вся завдання потрібно виконати три обчислення, т. е. послідовно знайти число дітей 11 років, потім 12 років і, нарешті, 13 років.

Отже, тут потрібно буде тричі знайти дріб від числа. Зробимо це:

1) Скільки було дітей 11-річного віку?

2) Скільки було дітей 12-річного віку?

3) Скільки було дітей 13-річного віку?

Після розв'язання задачі корисно скласти знайдені числа; сума їх повинна становити 300:

63 + 183 + 54 = 300

Слід також звернути увагу, що сума відсотків, даних за умови завдання, становить 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Це свідчить про те, що загальна кількість дітей, які перебували у таборі, було прийнято за 100%.

3 а да ч а 3.Робітник отримав протягом місяця 1 200 крб. З них 65% він витратив на харчування, 6% - на квартиру та опалення, 4% - на газ, електрику та радіо, 10% - на культурні потреби та 15% - зберіг. Скільки грошей витрачено на потреби, що вказані в задачі?

Для вирішення цього завдання потрібно 5 разів знайти дріб від числа 1200. Зробимо це.

1) Скільки грошей витрачено на харчування? У задачі сказано, що ця витрата становить 65% від усього заробітку, тобто 65/100 від числа 1200. Зробимо обчислення:

2) Скільки грошей сплачено за квартиру з опаленням? Розмірковуючи подібно до попереднього, ми прийдемо до наступного обчислення:

3) Скільки грошей сплатили за газ, електрику та радіо?

4) Скільки грошей витрачено на культурні потреби?

5) Скільки грошей робітник зберіг?

Для перевірки корисно скласти числа, знайдені у цих 5 питаннях. Сума повинна становити 1 200 руб. Весь заробіток прийнято за 100%, що легко перевірити, склавши числа відсотків, дані за умови завдання.

Ми вирішили три завдання. Незважаючи на те, що в цих завданнях йшлося про різні речі (доставка дров для школи, кількість дітей різного віку, витрати робітника), вони вирішувалися одним і тим же способом. Це сталося тому, що у всіх завданнях потрібно було знайти кілька відсотків даних чисел.

§ 90. Розподіл дробів.

При вивченні поділу дробів ми розглядатимемо такі питання:

1. Розподіл цілого числа на ціле.
2. Розподіл дробу на ціле число
3. Розподіл цілого числа на дріб.
4. Розподіл дробу на дріб.
5. Розподіл змішаних чисел.
6. Знаходження числа з даного його дробу.
7. Знаходження числа за його відсотками.

Розглянемо їх послідовно.

1. Розподіл цілого числа на ціле.

Як було зазначено у відділі цілих чисел, розподілом називається дія, яка полягає в тому, що за даним твором двох співмножників (ділимому) та одному з цих співмножників (ділителю) знаходиться інший співмножник.

Розподіл цілого числа на ціле ми розглядали у відділі цілих чисел. Ми зустріли там два випадки поділу: поділ без залишку, або «націло» (150: 10 = 15), і поділ із залишком (100: 9 = 11 і 1 у залишку). Ми можемо, отже, сказати, що у області цілих чисел точне розподіл який завжди можливе, оскільки ділене який завжди є твором дільника ціле число. Після введення множення на дріб ми можемо всякий випадок поділу цілих чисел вважати за можливе (виключається тільки поділ на нуль).

Наприклад, розділити 7 на 12 - це означає знайти таке число, добуток якого на 12 було б 7. Таким числом є дріб 7/12 тому що 7/12 12 =7. Ще приклад: 14: 25 = 14/25, тому що 14/25 25 = 14.

Таким чином, щоб розділити ціле число на ціле, потрібно скласти дріб, чисельник якого дорівнює ділимому, а знаменник - дільнику.

2. Розподіл дробу на ціле число.

Розділити дріб 6/7 на 3. Відповідно до цього вище визначення розподілу ми маємо тут добуток (6/7) та один із співмножників (3); потрібно знайти такий другий співмножник, який від множення на 3 дав би цей твір 6/7. Очевидно, він має бути втричі меншим від цього твору. Отже, поставлене перед нами завдання полягало в тому, щоб дріб 6/7 зменшити у 3 рази.

Ми вже знаємо, що зменшення дробу можна виконати або шляхом зменшення його чисельника, або шляхом збільшення його знаменника. Тому можна написати:

В даному випадку чисельник 6 ділиться на 3 тому слід зменшити в 3 рази чисельник.

Візьмемо інший приклад: 5/8 розділити на 2. Тут чисельник 5 не ділиться націло на 2, отже, на це число доведеться помножити знаменник:

На підставі цього можна висловити правило: щоб розділити дріб на ціле число, потрібно розділити на це ціле число чисельник дробу(якщо це можливо), залишивши той же знаменник, або помножити на це число знаменник дробу, залишивши той самий чисельник.

3. Розподіл цілого числа на дріб.

Нехай потрібно розділити 5 на 1/2, тобто знайти таке число, яке після множення на 1/2 дасть твір 5. Очевидно, це число має бути більше 5, тому що 1/2 є правильний дріб, а при множенні числа на правильний дріб твір має бути меншим від множиного. Щоб це було зрозуміліше, запишемо наші дії так: 5: 1 / 2 = х , Отже, х 1 / 2 = 5.

Ми повинні знайти таке число х , яке, будучи помножено на 1/2, дало б 5. Так як помножити деяке число на 1/2 - це означає знайти 1/2 цього числа, то, отже, 1/2 невідомого числа х дорівнює 5, а все число х удвічі більше, тобто 52 = 10.

Таким чином, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Перевіримо:

Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 6 на 2/3. Спробуємо спочатку знайти потрібний результат за допомогою креслення (рис. 19).

Рис.19

Зобразимо відрізок АВ, рівний 6 якимось одиницям, і розділимо кожну одиницю на 3 рівні частини. У кожній одиниці три третини (3/3) у всьому відрізку АВ у 6 разів більше,т. е. 18/3. З'єднаємо за допомогою маленьких дужок 18 отриманих відрізків по 2; вийде лише 9 відрізків. Значить дріб 2/3 міститься в б одиницях 9 разів, або, іншими словами, дріб 2/3 у 9 разів менший за 6 цілих одиниць. Отже,

Як отримати цей результат без креслення за допомогою одних лише обчислень? Будемо міркувати так: потрібно 6 розділити на 2/3, тобто потрібно відповісти на запитання, скільки разів 2/3 містяться у 6. Дізнаємося спочатку: скільки разів 1/3 міститься у 6? У цілій одиниці - 3 третини, а у 6 одиницях - у 6 разів більше, тобто 18 третин; для знаходження цього числа ми повинні 6 помножити на 3. Значить, 1 / 3 міститься в б одиницях 18 разів, а 2 / 3 містяться в б не 18 разів, а вдвічі менше разів, тобто 18: 2 = 9. Отже , при розподілі 6 на 2/3 ми виконали такі дії:

Звідси отримуємо правило розподілу цілого числа на дріб. Щоб розділити ціле число на дріб, треба це ціле число помножити на знаменник даного дробу і, зробивши цей добуток чисельником, розділити його на чисельник цього дробу.

Запишемо правило за допомогою букв:

Щоб це правило стало зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватне. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом розподілу числа на приватне, що було викладено у § 38. Зверніть увагу на те, що там була отримана така сама формула.

При розподілі можливі скорочення, наприклад:

4. Розподіл дробу на дріб.

Нехай потрібно розділити 3/4 на 3/8. Що позначатиме число, яке вийде в результаті розподілу? Воно даватиме відповідь на запитання, скільки разів дроб 3/8 міститься в дробі 3/4. Щоб розібратися у цьому питанні, зробимо креслення (рис. 20).

Візьмемо відрізок АВ, приймемо його за одиницю, розділимо на 4 рівні частини та відзначимо 3 такі частини. Відрізок АС дорівнюватиме 3/4 відрізка АВ. Розділимо тепер кожен із чотирьох початкових відрізків навпіл, тоді відрізок АВ розділиться на 8 рівних частин і кожна така частина дорівнюватиме 1/8 відрізка АВ. З'єднаємо дугами по 3 таких відрізки, тоді кожен з відрізків AD і DC дорівнюватиме 3/8 відрізка АВ. Креслення показує, що відрізок, рівний 3 / 8 міститься у відрізку, рівному 3 / 4 , рівно 2 рази; значить, результат поділу можна записати так:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 15/16 на 3/32:

Ми можемо міркувати так: потрібно знайти таке число, яке після множення на 3/32 дасть твір, що дорівнює 15/16 . Запишемо обчислення так:

15 / 16: 3 / 32 = х

3 / 32 х = 15 / 16

3 / 32 невідомого числа х становлять 15 / 16

1/32 невідомого числа х складає ,

32 / 32 числа х складають.

Отже,

Таким чином, щоб розділити дріб на дріб, потрібно чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другий і перший добуток чисельником, а другий - знаменником.

Запишемо правило за допомогою букв:

При розподілі можливі скорочення, наприклад:

5. Розподіл змішаних чисел.

При розподілі змішаних чисел їх потрібно попередньо перетворювати на неправильні дроби, а потім робити розподіл отриманих дробів за правилами розподілу дробових чисел. Розглянемо приклад:

Обернемо змішані числа в неправильні дроби:

Тепер розділимо:

Таким чином, щоб розділити змішані числа, потрібно звернути їх до неправильних дробів і потім розділити за правилом поділу дробів.

6. Знаходження числа з даного його дробу.

Серед різних завдань на дроби іноді зустрічаються такі, в яких дається величина якогось дробу невідомого числа і потрібно знайти це число. Цього типу завдання будуть оберненими по відношенню до завдань на знаходження дробу даного числа; там давалося число і потрібно знайти деяку дріб від цього числа, тут дається дріб від числа і потрібно знайти саме це число. Ця думка стане ще зрозумілішою, якщо ми звернемося до вирішення такого типу завдань.

Завдання 1.У перший день шибки склали 50 вікон, що складає 1/3 всіх вікон збудованого будинку. Скільки всього вікон у цьому будинку?

Рішення.У задачі сказано, що засклені 50 вікон становлять 1/3 всіх вікон будинку, отже, всього вікон у 3 рази більше, тобто.

У будинку було 150 вікон.

Завдання 2.Магазин продав 1500 кг борошна, що становить 3/8 всього запасу борошна, що був у магазині. Яким був початковий запас борошна у магазині?

Рішення.З умови завдання видно, що продані 1500 кг борошна складають 3/8 всього запасу; значить, 1/8 цього запасу буде в 3 рази менше, тобто для її обчислення потрібно 1500 зменшити у 3 рази:

1500: 3 = 500 (це 1/8 запасу).

Очевидно, весь запас буде у 8 разів більшим. Отже,

500 8 = 4000 (кг).

Початковий запас борошна в магазині дорівнював 4 000 кг.

З розгляду цього завдання можна вивести таке правило.

Щоб знайти число за даною величиною його дробу, достатньо розділити цю величину на чисельник дробу і результат помножити на знаменник дробу.

Ми вирішили дві задачі на знаходження числа з даного дробу. Такі завдання, як це особливо добре видно з останньої, вирішуються двома діями: розподілом (коли знаходять одну частину) та множенням (коли знаходять все число).

Однак після того, як ми вивчили поділ дробів, зазначені вище завдання можна вирішувати однією дією, а саме: поділом на дріб.

Наприклад, остання задача може бути вирішена однією дією так:

Надалі завдання на перебування числа з його дробу ми вирішуватимемо однією дією - поділом.

7. Знаходження числа за його відсотками.

У цих завданнях потрібно буде знайти число, знаючи кілька відсотків цього числа.

Завдання 1.На початку поточного року я отримав у ощадній касі 60 руб. доходу із суми, покладеної мною на заощадження рік тому. Скільки грошей я поклав до ощадної каси? (Каси дають вкладникам 2% доходу на рік.)

Сенс завдання полягає в тому, що деяка сума грошей була покладена мною до ощадної каси і пролежала там рік. Через рік я отримав з неї 60 руб. доходу, що становить 2/100 тих грошей, які я поклав. Скільки грошей я поклав?

Отже, знаючи частину цих грошей, виражену двома способами (у рублях і дробом), ми повинні знайти всю поки що невідому суму. Це звичайне завдання на знаходження числа з даного його дробу. Вирішуються такі завдання розподілом:

Отже, в ощадну касу було покладено 3000 крб.

Завдання 2.Рибалки за два тижні виконали місячний план на 64%, заготовивши 512 т риби. Який мали план?

З умови завдання відомо, що рибалки виконали частину плану. Ця частина дорівнює 512 т, що становить 64% від плану. Скільки тонн риби потрібно заготовити за планом, нам невідомо. У знаходженні цього числа і полягатиме розв'язання задачі.

Такі завдання вирішуються поділом:

Отже, за планом потрібно заготовити 800 тонн риби.

Завдання 3.Потяг йшов із Риги до Москви. Коли він пройшов 276-й кілометр, один із пасажирів запитав кондуктора, який проходить, яку частину шляху вони вже проїхали. На це кондуктор відповів: «Проїхали вже 30% усього шляху». Яка відстань від Риги до Москви?

З умови завдання видно, що 30% шляху від Риги до Москви становлять 276 км. Нам потрібно знайти всю відстань між цими містами, тобто по цій частині знайти ціле:

§ 91. Взаємно обернені числа. Заміна поділу множенням.

Візьмемо дріб 2/3 і переставимо чисельник на місце знаменника, вийде 3/2. Ми отримали дріб, протилежний даній.

Щоб отримати дріб, зворотний даної, потрібно її чисельник поставити місце знаменника, а знаменник - місце чисельника. Цим способом ми можемо отримати дріб, зворотний до будь-якого дробу. Наприклад:

3/4, зворотна 4/3; 5/6, зворотна 6/5

Два дроби, що володіють тією властивістю, що чисельник першої є знаменником другої, а знаменник першої є чисельником другої, називаються взаємно оберненими.

Тепер подумаємо, який дріб буде зворотним для 1/2 . Очевидно, це буде 2 / 1, або просто 2. Знаходячи дріб, зворотний даної, ми отримали ціле число. І цей випадок непоодинокий; навпаки, для всіх дробів з чисельником 1 (одиниця) оберненими будуть цілі числа, наприклад:

1/3, зворотна 3; 1 / 5 , зворотна 5

Так як при відшуканні зворотних дробів ми зустрілися і з цілими числами, то надалі ми говоритимемо не про зворотні дроби, а про зворотні числа.

З'ясуємо, як написати число, обернене до цілого числа. Для дробів це вирішується просто: потрібно знаменник поставити на місце чисельника. Цим самим способом можна отримати зворотне число і для цілого числа, тому що у будь-якого цілого числа можна мати на увазі знаменник 1. Значить, число, зворотне 7, буде 1/7, тому що 7 = 7/1; для числа 10 зворотне буде 1/10, тому що 10 = 10/1

Цю думку можна висловити інакше: число, зворотне даному числу, виходить від розподілу одиниці на дане число. Таке твердження справедливе як цілих чисел, але й дробів. Справді, якщо потрібно написати число, обернене дробу 5/9, то ми можемо взяти 1 і розділити її на 5/9, тобто.

Тепер вкажемо одне властивістьвзаємно зворотних чисел, яке буде нам корисним: добуток взаємно зворотних чисел дорівнює одиниці.Справді:

Користуючись цією властивістю, ми можемо знаходити обернені числа наступним шляхом. Нехай потрібно знайти число, яке зворотне 8.

Позначимо його літерою х тоді 8 х = 1, звідси х = 1/8. Знайдемо ще число, зворотне 7 / 12 позначимо його буквою х , тоді 7 / 12 х = 1, звідси х = 1: 7 / 12 або х = 12 / 7 .

Ми ввели тут поняття про взаємно зворотні числа для того, щоб трохи доповнити відомості про поділ дробів.

Коли ми ділимо число 6 на 3/5, то ми виконуємо такі дії:

Зверніть особливу увагу на вираз і порівняйте його із заданим: .

Якщо взяти вираз окремо, без зв'язку з попереднім, то не можна вирішити питання, звідки воно виникло: від поділу 6 на 3/5 або від множення 6 на 5/3. В обох випадках виходить те саме. Тому ми можемо сказати, що розподіл одного числа інше можна замінити множенням поділеного на число, зворотне дільнику.

Приклади, що ми даємо нижче, цілком підтверджують цей висновок.

У курсі середньої та старшої школи учні проходили тему «Дроби». Однак це поняття набагато ширше, ніж дається у процесі навчання. Сьогодні поняття дробу зустрічається досить часто, і не кожен може провести обчислення якогось виразу, наприклад, множення дробів.

Що таке дріб?

Так історично склалося, що дробові числа виникли через необхідність вимірювати. Як показує практика, часто зустрічаються приклади визначення довжини відрізка, обсягу прямокутного прямокутника.

Спочатку учні знайомляться з таким поняттям як частка. Наприклад, якщо розділити кавун на 8 частин, то кожному дістанеться по одній восьмій кавуна. Ось ця одна частина з восьми і називається часткою.

Частка, що дорівнює ½ від будь-якої величини, називається половиною; ⅓ - третю; ¼ – чвертю. Записи виду 5/8, 4/5, 2/4 називають звичайними дробами. Звичайний дріб поділяється на чисельник та знаменник. Між ними знаходиться межа дробу, або дробова характеристика. Дробну межу можна намалювати у вигляді як горизонтальної, так і похилої лінії. У разі вона позначає знак поділу.

Знаменник представляє, скільки однакових часток поділяють величину, предмет; а чисельник - скільки однакових часток взято. Чисельник пишеться над дробовою рисою, знаменник - під нею.

Найзручніше показати звичайні дроби на координатному промені. Якщо одиничний відрізок розділити на 4 рівні частки, позначити кожну частку латинською літерою, то в результаті можна отримати відмінний наочний посібник. Так, точка А показує частку, що дорівнює 1 / 4 від всього одиничного відрізка, а точка відзначає 2 / 8 від даного відрізка.

Різновиди дробів

Дроби бувають прості, десяткові, і навіть змішані числа. Крім того, дроби можна розділити на правильні та неправильні. Ця класифікація найбільше підходить для звичайних дробів.

Під правильним дробом розуміють число, у якого чисельник менший за знаменник. Відповідно, неправильний дріб - число, у якого чисельник більший за знаменник. Другий вигляд зазвичай записують як змішаного числа. Такий вираз складається з цілої та дробової частини. Наприклад, 1½. 1 – ціла частина, ½ – дробова. Однак якщо потрібно провести якісь маніпуляції з виразом (розподіл чи множення дробів, їх скорочення чи перетворення), змішане число перетворюється на неправильний дріб.

Правильне дробове вираз завжди менше одиниці, а неправильне - більше чи одно 1.

Що стосується то під цим виразом розуміють запис, в якому представлено будь-яке число, знаменник дробового виразу якого можна виразити через одиницю з кількома нулями. Якщо дріб правильний, то ціла частина в десятковому записі дорівнюватиме нулю.

Щоб записати десятковий дріб, потрібно спочатку написати цілу частину, відокремити її від дробової за допомогою коми і потім уже записати дробовий вираз. Необхідно пам'ятати, що після коми чисельник повинен містити стільки ж цифрових символів, скільки нулів у знаменнику.

приклад. Подати дріб 7 21 / 1000 у десятковому записі.

Алгоритм переведення неправильного дробу в змішане число і навпаки

Записувати у відповіді завдання неправильний дріб некоректно, тому його потрібно перевести в змішане число:

• розділити чисельник на наявний знаменник;
• у конкретному прикладі неповне приватне – ціле;
• і залишок - чисельник дрібної частини, причому знаменник залишається незмінним.

приклад. Перевести неправильний дріб у змішане число: 47/5 .

Рішення. 47: 5. Неповне приватне дорівнює 9, залишок = 2. Значить, 47/5 = 9 2/5.

Іноді потрібно уявити змішане число як неправильний дроб. Тоді потрібно скористатися наступним алгоритмом:

• ціла частина множиться на знаменник дрібного виразу;
• отриманий твір додається до чисельника;
• Результат записується в чисельнику, знаменник залишається незмінним.

приклад. Подати число у змішаному вигляді як неправильний дроб: 9 8 / 10 .

Рішення. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 – чисельник.

Відповідь: 98 / 10.

Розмноження дробів звичайних

Над звичайними дробами можна здійснювати різні операції алгебри. Щоб перемножити два числа, потрібно чисельник перемножити з чисельником, а знаменник із знаменником. Причому множення дробів з різними знаменниками не відрізняється від добутку дробових чисел з однаковими знаменниками.

Трапляється, що після знаходження результату потрібно скоротити дріб. В обов'язковому порядку потрібно максимально спростити вираз, що вийшов. Звичайно, не можна сказати, що неправильний дріб у відповіді - це помилка, але й назвати правильною відповіддю її теж важко.

приклад. Знайти добуток двох звичайних дробів: ½ і 20/18.

Як видно з прикладу, після знаходження твору вийшов скоротитий дробовий запис. І чисельник, і знаменник у разі ділиться на 4, і результатом виступає відповідь 5 / 9 .

Розмноження дробів десяткових

Добуток десяткових дробів досить сильно відрізняється від твору звичайних за своїм принципом. Отже, множення дробів полягає в наступному:

• два десяткові дроби потрібно записати один під одним так, щоб крайні праві цифри опинилися одна під одною;
• потрібно перемножити записані числа, незважаючи на коми, тобто як натуральні;
• підрахувати кількість цифр після знака комою у кожному із чисел;
• в отриманому після перемноження результаті потрібно відрахувати праворуч стільки цифрових символів, скільки міститься в сумі в обох множниках після коми, і поставити знак, що відокремлює;
• якщо цифр у творі виявилося менше, тоді перед ними потрібно написати стільки нулів, щоб покрити цю кількість, поставити кому і приписати цілу частину, що дорівнює нулю.

приклад. Обчислити добуток двох десяткових дробів: 2,25 та 3,6.

Рішення.

Розмноження змішаних дробів

Щоб вирахувати добуток двох змішаних дробів, потрібно використовувати правило множення дробів:

• перевести числа у змішаному вигляді у неправильні дроби;
• знайти добуток чисельників;
• знайти твір знаменників;
• записати результат, що вийшов;
• максимально спростити вираз.

приклад. Знайти добуток 4½ та 6 2/5.

Розмноження числа на дріб (дроби на число)

Крім знаходження добутку двох дробів, змішаних чисел, зустрічаються завдання, де потрібно помножити на дріб.

Отже, щоб знайти добуток десяткового дробу та натурального числа, потрібно:

• записати число під дробом так, щоб крайні праві цифри опинилися одна над одною;
• знайти твір, незважаючи на кому;
• в отриманому результаті відокремити цілу частину від дробової за допомогою коми, відрахувавши праворуч кількість знаків, яка знаходиться після коми в дробі.

Щоб помножити звичайний дріб на число, слід знайти добуток чисельника та натурального множника. Якщо у відповіді виходить скоротитий дріб, його слід перетворити.

приклад. Обчислити добуток 5/8 та 12.

Рішення. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Відповідь: 7 1 / 2.

Як видно з попереднього прикладу, необхідно було скоротити результат і перетворити неправильне дробове вираз у змішане число.

Також множення дробів стосується і знаходження добутку числа у змішаному вигляді та натурального множника. Щоб перемножити ці два числа, слід цілу частину змішаного множника помножити на число, чисельник помножити на це значення, а знаменник залишити незмінним. Якщо потрібно, потрібно максимально спростити результат, що вийшов.

приклад. Знайти твір 9 5/6 та 9.

Рішення. 9 5/6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Відповідь: 88 1 / 2.

множення на множники 10, 100, 1000 або 0,1; 0,01; 0,001

З попереднього пункту випливає таке правило. Для множення дробу десяткового на 10, 100, 1000, 10000 і т. д. потрібно пересунути кому вправо на стільки символів цифр, скільки нулів у множнику після одиниці.

Приклад 1. Знайти добуток 0,065 та 1000.

Рішення. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Відповідь: 65.

Приклад 2. Знайти добуток 3,9 та 1000.

Рішення. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Відповідь: 3900.

Якщо потрібно перемножити натуральне число та 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 і т. д., слід пересунути вліво кому в творі на стільки символів цифр, скільки нулів знаходиться до одиниці. Якщо потрібно, перед натуральним числом записуються нулі в достатній кількості.

Приклад 1. Знайти добуток 56 та 0,01.

Рішення. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Відповідь: 0,56.

Приклад 2. Знайти твір 4 та 0,001.

Рішення. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Відповідь: 0,004.

Отже, знаходження твору різних дробів повинно викликати труднощів, хіба що підрахунок результату; у такому разі без калькулятора просто не обійтись.

Щоб правильно помножити дріб на дріб чи дріб на число, потрібно знати прості правила. Ці правила зараз розберемо докладно.

Розмноження звичайного дробу на дріб.

Щоб помножити дріб на дріб необхідно порахувати добуток чисельників та добуток знаменників цих дробів.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Розглянемо приклад:
Ми чисельник першого дробу множимо з чисельником другого дробу, також знаменник першого дробу множимо зі знаменником другого дробу.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \) times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\)

Дроб \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\) скоротили на 3.

Розмноження дробу на число.

Для початку згадаємо правило, будь-яке число можна подати у вигляді дробу \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Скористаємося цим правилом при множенні.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\)

Неправильний дріб \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\) перевели в змішаний дріб.

Іншими словами, при множенні числа на дріб число множимо на чисельник, а знаменник залишаємо без зміни.Приклад:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\)

Розмноження змішаних дробів.

Щоб перемножити змішані дроби, потрібно спочатку кожен змішаний дріб подати у вигляді неправильного дробу, а потім скористатися правилом множення. Чисельник множимо з чисельником, знаменник множимо зі знаменником.

Приклад:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\)

Множення взаємно зворотних дробів та чисел.

Дроб \(\bf \frac(a)(b)\) є зворотним для дробу \(\bf \frac(b)(a)\), за умови a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac(a)(b)\) і \(\bf \frac(b)(a)\) називаються взаємно зворотними дробами. Добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Приклад:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Питання на тему:
Як помножити дріб на дріб?
Відповідь: добуток звичайних дробів є множення чисельник з чисельником, знаменник із знаменником. Щоб отримати добуток змішаних дробів, потрібно перевести їх у неправильний дріб і перемножити за правилами.

Як виконати множення дробів із різними знаменниками?
Відповідь: не важливо однакові чи різні знаменники у дробів, множення відбувається за правилом знаходження твору чисельник із чисельником, знаменник із знаменником.

Як множити змішані дроби?
Відповідь: насамперед треба перевести змішаний дріб у неправильний дріб і далі знаходити твір за правилами множення.

Як помножити число на дріб?
Відповідь: число множимо з чисельником, а знаменник залишаємо той самий.

Приклад №1:
Обчисліть добуток: а) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) б) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13)\ )

Рішення:
а) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
б) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( red) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Приклад №2:
Обчисліть добутки числа та дробу: а) \(3 \times \frac(17)(23)\) б) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Рішення:
а) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\)
б) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Приклад №3:
Напишіть число зворотного дробу \(\frac(1)(3)\)?
Відповідь: \(\frac(3)(1) = 3\)

Приклад №4:
Обчисліть добуток двох взаємно зворотних дробів: а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Рішення:
а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Приклад №5:
Чи можуть взаємно зворотні дроби бути:
а) одночасно правильними дробами;
б) одночасно неправильними дробами;
в) одночасно натуральними числами?

Рішення:
а) щоб відповісти на перше запитання наведемо приклад. Дроб \(\frac(2)(3)\) правильний, зворотний їй дріб дорівнюватиме \(\frac(3)(2)\) – неправильний дріб. Відповідь: ні.

б) практично при всіх переборах дробів ця умова не виконується, але є деякі числа, які виконують умову бути одночасно неправильним дробом. Наприклад неправильний дріб \(\frac(3)(3)\) , зворотний їй дріб дорівнює \(\frac(3)(3)\). Отримуємо два неправильні дроби. Відповідь: який завжди за певних умов, коли чисельник і знаменник рівні.

в) натуральні числа – це числа, які ми використовуємо за рахунку, наприклад, 1, 2, 3, …. Якщо візьмемо число \(3 = \frac(3)(1)\), то зворотний їй дріб буде \(\frac(1)(3)\). Дроб \(\frac(1)(3)\) не є натуральним числом. Якщо ми переберемо всі числа, отримувати зворотне число завжди дріб, крім 1. Якщо візьмемо число 1, то зворотний дріб буде \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Число 1 натуральне число. Відповідь: можуть бути одночасно натуральними числами лише в одному випадку, якщо це число 1.

Приклад №6:
Виконайте добуток змішаних дробів: а) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) б) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\)

Рішення:
а) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\)
б) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Приклад №7:
Чи можуть два взаємно зворотні числа бути одночасно змішаними числами?

Розглянемо з прикладу. Візьмемо змішаний дріб \(1\frac(1)(2)\), знайдемо для неї зворотний дріб, для цього переведемо його в неправильний дріб \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2) \). Зворотний їй дріб дорівнюватиме \(\frac(2)(3)\) . Дроб \(\frac(2)(3)\) є правильним дробом. Відповідь: взаємно обернені два дроби одночасно змішаними числами бути не можуть.

У цій статті ми розберемо множення змішаних чисел. Спочатку озвучимо правило множення змішаних чисел і розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів. Далі поговоримо про множення змішаного числа та натурального числа. Нарешті, навчимося виконувати множення змішаного числа та звичайного дробу.

Навігація на сторінці.

Розмноження змішаних чисел.

Розмноження змішаних чиселможна звести до множення звичайних дробів. Для цього достатньо виконати переведення змішаних чисел у неправильні дроби.

Запишемо правило множення змішаних чисел:

• По-перше, множені змішані числа слід замінити неправильними дробами;
• По-друге, потрібно скористатися правилом множення дробу на дріб.

Розглянемо приклади застосування цього правила при множенні мішаного числа на мішане число.

Виконайте множення змішаних чисел та .

Спочатку представимо множені змішані числа у вигляді неправильних дробів: і . Тепер ми можемо множення змішаних чисел замінити множенням звичайних дробів: . Застосувавши правило множення дробів, отримуємо . Отримана дріб нескорима (дивіться скорочені і нескоротні дроби), але вона неправильна (дивіться правильні і неправильні дроби), тому, щоб одержати остаточної відповіді залишилося виконати виділення цілої частини з неправильного дробу: .

Запишемо рішення в один рядок: .

.

Для закріплення навичок множення змішаних чисел розглянемо рішення ще прикладу.

Виконайте множення.

Смішні числа і рівні відповідно до дробів 13/5 і 10/9. Тоді . На цьому етапі саме час згадати про скорочення дробу: замінимо всі числа у дроби їх розкладаннями на прості множники, і здійснимо скорочення однакових множників.

Примноження змішаного числа та натурального числа

Після заміни змішаного числа неправильним дробом, множення змішаного числа та натурального числаприводиться до множення звичайного дробу та натурального числа.

Виконайте множення змішаного числа та натурального числа 45 .

Змішане число дорівнює дробу, тоді . Замінимо числа отриманого дробу їх розкладаннями на прості множники, зробимо скорочення, після чого виділимо цілу часть: .

.

Множення змішаного числа та натурального числа іноді зручно проводити з використанням розподільчої властивості множення щодо додавання. У цьому випадку добуток змішаного числа та натурального числа дорівнює сумі творів цілої частини на дане натуральне число та дробової частини на дане натуральне число, тобто, .

Обчисліть твір.

Замінимо змішане число сумою цілої та дробової частини, після чого застосуємо розподільну властивість множення: .

Примноження змішаного числа та звичайного дробуНайзручніше звести до множення звичайних дробів, представивши множене змішане число у вигляді неправильного дробу.

Помножте змішане число на звичайний дріб 4/15.

Замінивши змішане число дробом, отримуємо .

www.cleverstudents.ru

Розмноження дробових чисел

§ 140. Визначення. 1) Множення дробового числа на ціле визначається так само, як і множення цілих чисел, а саме: помножити якесь число (множинне) на ціле число (множник) – означає скласти суму однакових доданків, у якій кожне доданок дорівнює множині, а кількість доданків – множнику.

Так помножити на 5 – значить знайти суму:
2) Помножити якесь число (множинне) на дріб (множник) означає знайти цей дріб множиного.

Таким чином, знаходження дробу від даного числа, розглянуте нами перед цим, ми тепер називатимемо множенням на дріб.

3) Помножити якесь число (множинне) на змішане число (множник) – значить помножити множинне спершу на ціле число множника, потім на дріб множника, і результати цих двох множень скласти між собою.

Наприклад:

Число, що отримується після множення, у всіх цих випадках називається твором, тобто так само, як і при множенні цілих чисел.

З цих визначень видно, що множення дробових чисел є дія завжди можлива і однозначна.

§ 141. Доцільність цих визначень.Щоб усвідомити доцільність введення в арифметику двох останніх визначень множення, візьмемо таке завдання:

Завдання. Поїзд, рухаючись рівномірно проходить за годину 40 км; Як дізнатися, скільки кілометрів пройде цей поїзд у цю кількість годин?

Якби ми залишилися при тому одному визначенні множення, яке вказується в арифметиці цілих чисел (додавання рівних доданків), то наше завдання мало б три різні рішення, а саме:

Якщо це число годин ціле (наприклад 5 годин), то для вирішення завдання треба 40 км помножити на це число годин.

Якщо це число годин виражається дробом (наприклад години), доведеться знайти величину цього дробу від 40 км.

Нарешті, якщо дане число годин змішане (наприклад, години), то треба буде 40 км помножити на ціле число, що полягає в змішаному числі, і до результату додати ще такий дріб від 40 км, який є в змішаному числі.

Дані визначення дозволяють на всі ці можливі випадки дати одну спільну відповідь:

треба 40 км помножити на цю кількість годин, яке б воно не було.

Таким чином, якщо завдання подати у загальному вигляді так:

Поїзд, рухаючись поступово, проходить за годину v км. Скільки кілометрів поїзд пройде о t годині?

те, які б не були числа v і t, ми можемо висловити одну відповідь: число, що шукається, виражається формулою v · t.

Примітка. Знайти якийсь дріб даного числа, за нашим визначенням, означає те саме, що помножити це число на цей дріб; тому, наприклад, знайти 5% (тобто п'ять сотих) даного числа означає те саме, що помножити дане число на або на ; Знайти 125% даного числа означає те ж, що помножити це число на або на , і т.д.

§ 142. Зауваження про те, коли від множення число збільшується та коли воно зменшується.

Від множення на правильний дріб число зменшується, а від множення на неправильний дріб число збільшується, якщо цей неправильний дріб більше одиниці, і залишається без зміни, якщо він дорівнює одиниці.
Зауваження. При множенні дробових чисел, як і і цілих, добуток приймається рівним нулю, якщо якийсь із співмножників дорівнює нулю так, .

§ 143. Виведення правил множення.

1) Розмноження дробу на ціле число. Нехай потрібно подрібнити дріб на 5. Це означає збільшити в 5 разів. Щоб збільшити дріб у 5 разів, достатньо збільшити його чисельник або зменшити його знаменник у 5 разів (§ 127).

Тому:
Правило 1-е. Щоб помножити дріб на ціле число, треба помножити на це ціле число чисельник, а знаменник залишити той самий; замість цього можна також розділити на це ціле число знаменник дробу (якщо це можливо), а чисельник залишити той самий.

Зауваження. Добуток дробу на його знаменник дорівнює його чисельнику.

Так:
Правило 2-ге. Щоб помножити ціле число на дріб, треба помножити ціле число на чисельник дробу і цей твір зробити чисельником, а знаменником підписати знаменник даного дробу.
Правило 3-тє. Щоб помножити дріб на дріб, треба помножити чисельник на чисельник та знаменник на знаменник і перший твір зробити чисельником, а другий знаменником твору.

Зауваження. Це правило можна застосовувати і до множення дробу на ціле число і цілого числа на дріб, якщо тільки ціле число розглядатимемо як дріб із знаменником одиниця. Так:

Таким чином, викладені зараз три правила полягають в одному, яке загалом можна виразити так:
4) Множення змішаних чисел.

Правило 4-те. Щоб помножити змішані числа, треба звернути їх у неправильні дроби, а потім помножити за правилами множення дробів. Наприклад:
§ 144. Скорочення при множенні. При множенні дробів, якщо це можливо, треба робити попереднє скорочення, як видно з наступних прикладів:

Таке скорочення можна робити тому, що величина дробу не зміниться, якщо чисельник і знаменник її будуть зменшені в однакове число разів.

§ 145. Зміна твору із зміною співмножників.Добуток дробових чисел при зміні співмножників зміниться так само, як і добуток цілих чисел (§ 53), а саме: якщо збільшити (або зменшити) якийсь помножувач у кілька разів, то і добуток збільшиться (або зменшиться) у стільки ж разів .

Так, якщо у прикладі:
щоб перемножити кілька дробів, треба перемножити їх чисельники між собою та знаменники між собою і перший твір зробити чисельником, а другий знаменником твору.

Зауваження. Це правило можна застосовувати і до таких творів, в яких деякі множники числа цілі або змішані, якщо тільки ціле число розглядатимемо як дріб, у якого знаменник одиниця, а змішані числа будемо звертати в неправильні дроби. Наприклад:
§ 147. Основні властивості множення.Ті властивості множення, які були вказані для цілих чисел (§ 56, 57, 59), належать і множенню дробових чисел. Вкажемо ці властивості.

1) Твір не змінюється від зміни місць співмножників.

Наприклад:

Дійсно, згідно з правилом попереднього параграфа перший твір дорівнює дробу, а друге дорівнює дробу. Але ці дроби однакові, тому що їх члени відрізняються лише порядком цілих співмножників, а добуток цілих чисел не змінюється при зміні місць співмножників.

2) Твір не зміниться, якщо якусь групу співмножників замінити їх твором.

Наприклад:

Результати виходять однаковими.

З цієї властивості множення можна вивести такий висновок:

щоб помножити якесь число на твір, можна помножити це число на перший співмножник, отримане число помножити на другий і т.д.

Наприклад:
3) Розподільний закон множення (щодо додавання). Щоб помножити суму на якесь число, можна помножити на це число кожне доданок окремо і результати скласти.

Закон цей був нами пояснений (§ 59) стосовно цілих чисел. Він залишається вірним без жодних змін і для дробових чисел.

Покажемо, насправді, що рівність

(a + b + c +.) m = am + bm + cm +.

(розподільний закон множення щодо додавання) залишається вірним і тоді, коли літери означають дробові числа. Розглянемо три випадки.

1) Припустимо спочатку, що множник m є цілим числом, наприклад m = 3 (a, b, c – які завгодно числа). Відповідно до визначення множення на ціле число можна написати (обмежуючись для простоти трьома доданками):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

На підставі сполучного закону додавання ми можемо в правій частині опустити всі дужки; застосовуючи ж переміщувальний закон додавання, а потім знову поєднаний, ми можемо, очевидно, переписати праву частину так:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Отже, розподільчий закон у разі підтверджується.

Множення та поділ дробів

Минулого разу ми навчилися складати і віднімати дроби (див. урок «Складання та віднімання дробів»). Найбільш складним моментом у тих діях було приведення дробів до спільного знаменника.

Тепер настав час розібратися з множенням та поділом. Хороша новина полягає в тому, що ці операції виконуються навіть простіше, ніж додавання та віднімання. Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли є два позитивні дроби без виділеної цілої частини.

Щоб помножити два дроби, треба окремо помножити їх чисельники та знаменники. Перше число буде чисельником нового дробу, а друге – знаменником.

Щоб розділити два дроби, треба перший дріб помножити на «перевернутий» другий.

З визначення випливає, що розподіл дробів зводиться до множення. Щоб «перевернути» дріб, досить поміняти місцями чисельник та знаменник. Тому весь урок ми розглядатимемо переважно множення.

В результаті множення може виникнути (і найчастіше дійсно виникає) скоротитий дріб - його, зрозуміло, треба скоротити. Якщо після всіх скорочень дріб виявився неправильним, у ньому слід виділити цілу частину. Але чого точно не буде при множенні, так це приведення до спільного знаменника: жодних методів «хрест-навхрест», найбільших множників та найменших спільних кратних.

За визначенням маємо:

Розмноження дробів з цілою частиною та негативних дробів

Якщо в дробах є ціла частина, їх треба перевести в неправильні - і тільки потім множити за схемами, викладеними вище.

Якщо в чисельнику дробу, у знаменнику або перед ним стоїть мінус, його можна винести за межі множення або взагалі прибрати за такими правилами:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Досі ці правила зустрічалися тільки при складанні та відніманні негативних дробів, коли потрібно було позбутися цілої частини. Для твору їх можна узагальнити, щоб спалювати відразу кілька мінусів:

1. Викреслюємо мінуси парами доти, доки вони повністю не зникнуть. У крайньому випадку, один мінус може вижити – той, якому не знайшлося пари;
2. Якщо мінусів не залишилося, операція виконана – можна приступати до множення. Якщо ж останній мінус не закреслено, оскільки йому не знайшлося пари, виносимо його за межі множення. Вийде негативний дріб.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Усі дроби переводимо в неправильні, а потім виносимо мінуси за межі множення. Те, що залишилося, множимо за звичайними правилами. Отримуємо:

Ще раз нагадаю, що мінус, який стоїть перед дробом із виділеною цілою частиною, відноситься саме до всього дробу, а не лише до його цілої частини (це стосується двох останніх прикладів).

Також зверніть увагу на негативні числа: при множенні вони полягають у дужках. Це зроблено для того, щоб відокремити мінуси від знаків множення і зробити весь запис більш обережним.

Скорочення дробів «на льоту»

Множення - дуже трудомістка операція. Числа тут виходять досить великі, і щоб спростити завдання, можна спробувати скоротити ще до множення. Адже по суті чисельники і знаменники дробів - це звичайні множники, і, отже, їх можна скорочувати, використовуючи основну властивість дробу. Погляньте на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

За визначенням маємо:

У всіх прикладах червоним кольором відзначені числа, які зазнали скорочення, і те, що від них залишилося.

Зверніть увагу: у першому випадку множники скоротилися повністю. На їхньому місці залишилися одиниці, які, власне кажучи, можна не писати. У другому прикладі повного скорочення досягти не вдалося, але сумарний обсяг обчислень все одно зменшився.

Однак у жодному разі не використовуйте цей прийом при складанні та відніманні дробів! Так, іноді там трапляються схожі числа, які так і хочеться скоротити. Ось, подивіться:

Так робити не можна!

Помилка виникає через те, що при додаванні в чисельнику дробу з'являється сума, а не добуток чисел. Отже, застосовувати основну властивість дробу не можна, оскільки в цій властивості йдеться саме про множення чисел.

Інших підстав для скорочення дробів просто не існує, тому правильне вирішення попереднього завдання виглядає так:

Як бачите, правильна відповідь виявилася не такою гарною. Загалом будьте уважні.

Розмноження дробів.

Щоб правильно помножити дріб на дріб чи дріб на число, потрібно знати прості правила. Ці правила зараз розберемо докладно.

Розмноження звичайного дробу на дріб.

Щоб помножити дріб на дріб необхідно порахувати добуток чисельників та добуток знаменників цих дробів.

Розглянемо приклад:
Ми чисельник першого дробу множимо з чисельником другого дробу, також знаменник першого дробу множимо зі знаменником другого дробу.

Розмноження дробу на число.

Для початку згадаємо правило, будь-яке число можна подати у вигляді дробу \(\bf n = \frac \).

Скористаємося цим правилом при множенні.

Неправильний дріб \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\) перевели в змішаний дріб.

Іншими словами, при множенні числа на дріб число множимо на чисельник, а знаменник залишаємо без зміни.Приклад:

Розмноження змішаних дробів.

Щоб перемножити змішані дроби, потрібно спочатку кожен змішаний дріб подати у вигляді неправильного дробу, а потім скористатися правилом множення. Чисельник множимо з чисельником, знаменник множимо зі знаменником.

Множення взаємно зворотних дробів та чисел.

Питання на тему:
Як помножити дріб на дріб?
Відповідь: добуток звичайних дробів є множення чисельник з чисельником, знаменник із знаменником. Щоб отримати добуток змішаних дробів, потрібно перевести їх у неправильний дріб і перемножити за правилами.

Як виконати множення дробів із різними знаменниками?
Відповідь: не важливо однакові чи різні знаменники у дробів, множення відбувається за правилом знаходження твору чисельник із чисельником, знаменник із знаменником.

Як множити змішані дроби?
Відповідь: насамперед треба перевести змішаний дріб у неправильний дріб і далі знаходити твір за правилами множення.

Як помножити число на дріб?
Відповідь: число множимо з чисельником, а знаменник залишаємо той самий.

Приклад №1:
Обчисліть твір: а) \(\frac \times \frac \) б) \(\frac \times \frac \)

Приклад №2:
Обчисліть добутки числа та дробу: а) \(3 \times \frac \) б) \(\frac \times 11\)

Приклад №3:
Напишіть число оберненого дробу \(\frac \)?
Відповідь: \(\frac = 3\)

Приклад №4:
Обчисліть добуток двох взаємно зворотних дробів: а) \(\frac \times \frac \)

Приклад №5:
Чи можуть взаємно зворотні дроби бути:
а) одночасно правильними дробами;
б) одночасно неправильними дробами;
в) одночасно натуральними числами?

Рішення:
а) щоб відповісти на перше запитання наведемо приклад. Дроб \(\frac \) правильний, зворотний їй дріб дорівнюватиме \(\frac \) – неправильний дріб. Відповідь: ні.

б) практично при всіх переборах дробів ця умова не виконується, але є деякі числа, які виконують умову бути одночасно неправильним дробом. Наприклад неправильний дріб \(\frac \), обернений їй дріб дорівнює \(\frac \). Отримуємо два неправильні дроби. Відповідь: який завжди за певних умов, коли чисельник і знаменник рівні.

в) натуральні числа – це числа, які ми використовуємо за рахунку, наприклад, 1, 2, 3, …. Якщо візьмемо число \(3 = \frac \), то обернений їй дріб буде \(\frac \). Дріб \(\frac \) не є натуральним числом. Якщо ми переберемо всі числа, отримувати зворотне число завжди дріб, крім 1. Якщо візьмемо число 1, то зворотний дріб буде \(\frac = \frac = 1\). Число 1 натуральне число. Відповідь: можуть бути одночасно натуральними числами лише в одному випадку, якщо це число 1.

Приклад №6:
Виконайте добуток змішаних дробів: а) \(4 \times 2\frac \) б) \(1\frac \times 3\frac \)

Рішення:
а) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\)
б) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Приклад №7:
Чи можуть два взаємно зворотні числа бути одночасно змішаними числами?

Розглянемо з прикладу. Візьмемо змішану дріб \(1\frac \), знайдемо для неї зворотний дріб, для цього переведемо її в неправильний дріб \(1\frac = \frac \) . Зворотний їй дріб дорівнюватиме \(\frac \) . Дроб \(\frac \) є правильним дробом. Відповідь: взаємно обернені два дроби одночасно змішаними числами бути не можуть.

Розмноження десяткового дробу на натуральне число

Презентація до уроку

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

• У захоплюючій формі ввести учням правило множення десяткового дробу на натуральне число, на розрядну одиницю і правило вираження десяткового дробу у відсотках. Виробити вміння застосування отриманих знань під час вирішення прикладів і завдань.
• Розвивати та активізувати логічне мислення учнів, уміння виявляти закономірності та узагальнювати їх, зміцнювати пам'ять, уміння співпрацювати, надавати допомогу, оцінювати свою роботу та роботу один одного.
• Виховувати інтерес до математики, активність, мобільність, уміння спілкуватися.

Обладнання:інтерактивна дошка, плакат із цифрограмою, плакати з висловлюваннями математиків.

1. Організаційний момент.
2. Усний рахунок – узагальнення раніше вивченого матеріалу, підготовка до вивчення нового матеріалу.
3. Пояснення нового матеріалу.
4. Завдання додому.
5. Математична фізкультхвилинка.
6. Узагальнення та систематизація отриманих знань в ігровій формі за допомогою комп'ютера.
7. Виставлення оцінок.

2. Хлопці, сьогодні у нас урок буде дещо незвичайним, тому що я проводитиму його не одна, а зі своїм другом. І друг у мене теж незвичайний, зараз ви його побачите. (На екрані з'являється комп'ютер-мультяшка). Мій друг має ім'я і він вміє розмовляти. Як тебе звуть, друже? Компоша відповідає: "Мене звуть Компоша". Ти готовий сьогодні допомагати мені? ТАК! Ну, тоді давай почнемо урок.

Мені сьогодні прийшла зашифрована цифрограма, хлопці, яку ми маємо разом вирішити та розшифрувати. (На дошці вивішується плакат з усним рахунком на додавання та віднімання десяткових дробів, в результаті рішення якого хлопці отримують наступний код 523914687. )

Розшифрувати отриманий код допомагає Компоша. В результаті розшифровки виходить слово УМНОЖЕНИЕ. Множення – це ключове слово теми сьогоднішнього уроку. На моніторі висвітлюється тема уроку: “Умноження десяткового дробу на натуральне число”

Діти, ми знаємо, як виконується множення натуральних чисел. Сьогодні ми з вами розглянемо збільшення десяткових чисел на натуральне число. Множення десяткового дробу на натуральне число можна розглядати як суму доданків, кожне з яких дорівнює цьому десятковому дробу, а кількість доданків дорівнює цьому натуральному числу. Наприклад: 5,21 · 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Значить, 5,21 · 3 = 15,63. Представивши 5,21 у вигляді звичайного дробу на натуральне число, отримаємо

І в цьому випадку отримали той самий результат 15,63. Тепер, не звертаючи уваги на кому, візьмемо замість числа 5,21 число 521 і перемножимо на це натуральне число. Тут ми повинні пам'ятати, що в одному з множників кома перенесена на два розряди праворуч. При множенні чисел 5, 21 та 3 отримаємо добуток рівний 15,63. Тепер у цьому прикладі кому перенесемо вліво на два розряди. Таким чином, скільки разів один з множників збільшили, у стільки разів зменшили твір. З подібних моментів цих методів, зробимо висновок.

Щоб помножити десятковий дріб на натуральне число, треба:
1) не звертаючи уваги на кому, виконати множення натуральних чисел;
2) в отриманому творі відокремити комою праворуч стільки знаків, скільки їх у десятковому дробі.

На моніторі висвічуються наступні приклади, які ми розуміємо разом з Компошею та хлопцями: 5,21 · 3 = 15,63 та 7,624 · 15 = 114,34. Потім показую множення на кругле число 12,6 · 50 = 630 . Далі переходжу на множення десяткового дробу на розрядну одиницю. Показую такі приклади: 7,423 · 100 = 742,3 та 5,2 · 1000 = 5200. Отже, вводжу правило множення десяткового дробу на розрядну одиницю:

Щоб помножити десятковий дріб на розрядні одиниці 10, 100, 1000 і т.д., треба в цьому дробі перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів у записі розрядної одиниці.

Закінчую пояснення виразом десяткового дробу у відсотках. Вводжу правило:

Щоб виразити десятковий дріб у відсотках, його треба помножити на 100 і приписати знак %.

Наводжу приклад на комп'ютері 0,5 · 100 = 50 або 0,5 = 50%.

4. Після закінчення пояснення даю хлопцям домашнє завдання, яке також висвічується на моніторі комп'ютера: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Щоб хлопці трохи відпочили, на закріплення теми робимо разом із Компошею математичну фізкультхвилинку. Всі встають, показую класу наведені приклади і вони повинні відповісти, правильно чи не правильно вирішений приклад. Якщо приклад вирішено правильно, то вони піднімають руки над головою і роблять бавовну долонями. Якщо ж приклад вирішено не правильно, хлопці витягають руки в сторони і розминають пальчики.

6. А тепер ви трохи відпочили, можна вирішити завдання. Відкрийте підручник на сторінці 205, № 1029. у цьому завданні треба обчислити значення виразів:

Завдання відображаються на комп'ютері. У міру їх вирішення з'являється картинка із зображенням кораблика, який при повному складанні спливає.

Вирішуючи це завдання комп'ютері, поступово складається ракета, вирішивши останній приклад, ракета відлітає. Вчитель робить невелику інформацію учням: Щороку з казахстанської землі з космодрому Байконур злітають до зірок космічні кораблі. Поруч із Байконуром Казахстан будує свій новий космодром "Байтерек".

Яка відстань пройде легкова машина за 4 години, якщо швидкість легковика 74,8 км/год.

Подарунковий сертифікат Не знаєте, що подарувати своїй другій половинці, друзям, співробітникам, родичам? Скористайтеся нашою спеціальною пропозицією: Подарунковий сертифікат Дачного готелю "Синя Осока". Сертифікат дає […]

Ще одна дія, яку можна виконувати зі звичайними дробами, – множення. Ми спробуємо роз'яснити його основні правила при вирішенні завдань, покажемо, як множиться звичайний дріб на натуральне число і як правильно виконати множення трьох звичайних дробів і більше.

Запишемо спочатку основне правило:

Визначення 1

Якщо ми помножимо один звичайний дріб, то чисельник дробу, отриманого в результаті, дорівнюватиме добутку чисельників вихідних дробів, а знаменник – добутку їх знаменників. У літерному вигляді для двох дробів a / b і c / d це можна виразити як a b · c d = a · c b · d.

Подивимося з прикладу, як правильно застосувати це правило. Припустимо, у нас є квадрат, сторона якого дорівнює одній числовій одиниці. Тоді площа фігури становитиме 1 кв. одиницю. Якщо розділити квадрат на рівні прямокутники зі сторонами, рівними 14 і 18 числової одиниці, у нас вийде, що він тепер складається з 32 прямокутників (бо 8 · 4 = 32). Відповідно, площа кожного їх дорівнюватиме 1 32 від площі всієї фігури, тобто. 1 32 кв. одиниці.

У нас вийшов зафарбований фрагмент зі сторонами, рівними 5 8 числової одиниці та 3 4 числової одиниці. Відповідно, для обчислення його площі треба помножити перший дріб на другий. Вона дорівнюватиме 5 8 · 3 4 кв. одиниць. Але ми можемо просто підрахувати, скільки прямокутників входить у фрагмент: їх 15, отже, загальна площа становить 1532 квадратних одиниць.

Оскільки 5 · 3 = 15 і 8 · 4 = 32 ми можемо записати таку рівність:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Воно є підтвердженням сформульованого нами правила множення звичайних дробів, яке виражається як a b · c d = a · c b · d. Воно діє однаково як правильних, так неправильних дробів; за його допомогою можна помножити дроби і з різними, і з однаковими знаменниками.

Розберемо розв'язання кількох завдань на множення звичайних дробів.

Приклад 1

Помножте 7 11 на 9 8 .

Рішення

Для початку підрахуємо добуток чисельників зазначених дробів, помноживши 7 на 9 . У нас вийшло 63 . Потім обчислимо добуток знаменників та отримаємо: 11 · 8 = 88 . Складемо їх двох чисел відповідь: 63 88 .

Усі рішення можна записати так:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Відповідь: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

Якщо у відповіді у нас вийшов скоротитий дріб, потрібно довести обчислення до кінця і виконати його скорочення. Якщо ж у нас вийшов неправильний дріб, з нього треба виділити цілу частину.

Приклад 2

Обчисліть добуток дробів 4 15 та 55 6 .

Рішення

Згідно з вивченим вище правилом, нам треба помножити чисельник на чисельник, а знаменник на знаменник. Запис рішення виглядатиме так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Ми отримали скоротитий дріб, тобто. таку, яка має ознаку ділимості на 10 .

Виконаємо скорочення дробу: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . У результаті у нас вийшов неправильний дріб, з якого ми виділимо цілу частину та отримаємо змішане число: 22 9 = 2 4 9 .

Відповідь: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Для зручності обчислення ми можемо скоротити і вихідні дроби перед виконанням дії множення, для чого нам треба привести дріб до виду a · c b · d. Розкладемо значення змінних на прості множники і однакові їх скоротимо.

Пояснимо, як це виглядає, використовуючи дані конкретного завдання.

Приклад 3

Обчисліть добуток 4 15 · 55 6 .

Рішення

Запишемо обчислення, з правила множення. У нас вийде:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Оскільки як 4 = 2 · 2, 55 = 5 · 11, 15 = 3 · 5 і 6 = 2 · 3, значить, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Відповідь: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Числовий вираз, в якому має місце множення звичайних дробів, має переміщувальну властивість, тобто при необхідності ми можемо змінити порядок проходження множників:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Як перемножити звичайний дріб з натуральним числом

Запишемо одразу основне правило, а потім спробуємо пояснити його на практиці.

Визначення 2

Щоб помножити звичайний дріб на натуральне число, потрібно помножити чисельник цього дробу цього числа. При цьому знаменник підсумкового дробу дорівнюватиме знаменнику вихідного звичайного дробу. Примноження деякого дробу a b на натуральне число n можна записати у вигляді формули a b · n = a · n b .

Зрозуміти цю формулу легко, якщо згадати, що будь-яке натуральне число може бути представлене у вигляді звичайного дробу зі знаменником, рівним одиниці, тобто:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Пояснимо нашу думку конкретними прикладами.

Приклад 4

Обчисліть добуток 2 27 на 5 .

Рішення

В результаті множення чисельника вихідного дробу на другий множник отримаємо 10 . У силу правила, зазначеного вище, ми отримаємо в результаті 10 27 . Усі рішення наведено у цьому записі:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Відповідь: 2 27 · 5 = 10 27

Коли ми перемножуємо натуральне число зі звичайним дробом, то часто доводиться скорочувати результат або подавати його як змішане число.

Приклад 5

Умова: обчисліть добуток 8 на 5 12 .

Рішення

За правилом вище ми множимо натуральне число на чисельник. Через війну отримуємо, що 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Підсумковий дріб має ознаки подільності на 2, тому нам потрібно виконати її скорочення:

НОК (40, 12) = 4, отже, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Тепер нам залишилося лише виділити цілу частину та записати готову відповідь: 10 3 = 3 1 3 .

У цьому записі можна бачити все рішення повністю: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Також ми могли скоротити дріб за допомогою розкладання чисельника і знаменника на прості множники, і результат вийшов би таким самим.

Відповідь: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

Числове вираз, у якому натуральне число множиться на дріб, також має властивість переміщення, тобто порядок розташування множників не впливає на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Як виконати множення трьох і більше звичайних дробів

Ми можемо поширити дію множення звичайних дробів самі властивості, які притаманні множення натуральних чисел. Це випливає з визначення даних понять.

Завдяки знанню поєднаного і переміщувального властивості можна перемножувати три прості дроби і більше. Допустимо переставляти множники місцями для більшої зручності або розставляти дужки так, як буде легше рахувати.

Покажемо з прикладу, як це робиться.

Приклад 6

Помножте чотири звичайні дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 та 5 8 .

Рішення: для початку зробимо запис твору. У нас вийде 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам треба перемножити між собою всі чисельники та всі знаменники: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Перед початком множення ми можемо трохи полегшити собі завдання і розкласти деякі числа на прості множники для подальшого скорочення. Це буде простіше, ніж скорочувати вже готовий дріб, що вийшов у результаті.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 ​​· 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9280

Відповідь: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

Приклад 7

Перемножте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Рішення

Для зручності ми можемо згрупувати дріб 7 8 з числом 8 , а число 12 з дробом 5 36 , оскільки нам будуть очевидні майбутні скорочення. У результаті в нас вийде:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Відповідь: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter