Яка подія називається імовірною. Основи теорії ймовірностей для актуаріїв

Щоб кількісно порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, очевидно, потрібно з кожною подією пов'язати певне число, яке тим більше, чим можливіша подія. Таку кількість ми назвемо ймовірністю події. Таким чином, ймовірність подіїє чисельний захід ступеня об'єктивної можливості цієї події.

Першим за часом визначенням ймовірності слід вважати класичне, що виникло з аналізу азартних ігор і спочатку застосовувалося інтуїтивно.

Класичний спосіб визначення ймовірності заснований на понятті рівноможливих та несумісних подій, які є наслідками даного досвіду і утворюють повну групу несумісних подій.

Найбільш простим прикладом рівноможливих і несумісних подій, що утворюють повну групу, є поява тієї чи іншої кулі з урни, що містить кілька однакових за розміром, вагою та іншим відчутним ознаками куль, що відрізняються лише кольором, ретельно перемішаних перед вилученням.

Тому про випробування, результати якого утворюють повну групу несумісних і рівноможливих подій, говорять, що воно зводиться до схеми урн, або схеми випадків, або укладається в класичну схему.

Рівноможливі та несумісні події, що становлять повну групу, називатимемо просто випадками чи шансами. При цьому в кожному досвіді поряд з випадками можуть відбуватися складніші події.

Приклад : При підкиданні гральної кістки поряд з випадками А i - випадання i-окулярів на верхній грані можна розглядати такі події, як В - випадання парних очок, С - випадання числа очок, кратних трьом …

По відношенню до кожної події, яка може статися при здійсненні експерименту, випадки поділяються на сприятливі, у яких ця подія відбувається, і несприятливі, у яких подія немає. У попередньому прикладі, події В сприяють випадки А2, А4, А6; події С - випадки А3, А6.

Класичною ймовірністюПоява деякої події називається відношення числа випадків, що сприяють появі цієї події, до загального числа випадків рівноможливих, несумісних, що становлять повну групу в даному досвіді:

де Р(А)- ймовірність появи події А; m- Число випадків, що сприяють події А; n- загальна кількість випадків.

Приклади:

1) (дивись приклад вище) Р(В)= , Р(С) =.

2) У урні знаходяться 9 червоних та 6 синіх куль. Знайти ймовірність того, що вийняті навмання одна, дві кулі виявляться червоними.

А- Вийнята навмання куля червона:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- вийняті навмання дві кулі червоні:

З класичного визначення ймовірності випливають такі властивості (показати самостійно):

1) Імовірність неможливої ​​події дорівнює 0;

2) Імовірність достовірної події дорівнює 1;

3) Імовірність будь-якої події укладена між 0 та 1;

4) Імовірність події, протилежної події А,

Класичне визначення ймовірності передбачає, що кількість результатів випробування є звичайною. Насправді ж часто зустрічаються випробування, число можливих випадків яких нескінченно. Крім того, слабка сторона класичного визначення полягає в тому, що дуже часто неможливо уявити результат випробування як сукупність елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні наслідки випробування рівноможливими. Зазвичай про рівноможливість елементарних результатів випробування укладають з міркувань симетрії. Проте такі завдання практично зустрічаються дуже рідко. З цих причин поруч із класичним визначенням ймовірності користуються та інші визначення ймовірності.

Статистичною ймовірністюподії А називається відносна частота появи цієї події у проведених випробуваннях:

де – ймовірність появи події А;

Відносна частота появи події А;

Число випробувань, у яких з'явилася подія А;

Загальна кількість випробувань.

На відміну від класичної ймовірності, статистична ймовірність є характеристикою досвідченої, експериментальної.

Приклад : Для контролю якості виробів з партії вибрано 100 виробів, серед яких 3 вироби виявилися бракованими. Визначити можливість шлюбу.

Статистичний спосіб визначення ймовірності застосуємо лише до тих подій, які мають такі властивості:

Події, що розглядаються, повинні бути результатами тільки тих випробувань, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів при одному і тому ж комплексі умов.

Події повинні мати статистичну стійкість (або стійкість відносних частот). Це означає, що у різних серіях випробувань відносна частота події змінюється незначно.

Число випробувань, у яких з'являється подія А, має бути досить велике.

Легко перевірити, що властивості ймовірності, які з класичного визначення, зберігаються і за статистичному визначенні ймовірності.

При оцінці ймовірності настання якоїсь випадкової події дуже важливо попередньо добре уявляти, чи залежить ймовірність (ймовірність події) настання події, що цікавить нас, від того, як розвиваються інші події. У разі класичної схеми, коли всі результати рівноймовірні, ми вже можемо оцінити значення ймовірності цікавої для нас окремої події самостійно. Ми можемо зробити це навіть у тому випадку, якщо подія є складною сукупністю кількох елементарних результатів. А якщо кілька випадкових подій відбувається одночасно чи послідовно? Як це впливає на ймовірність реалізації цікавої для нас події? Якщо я кілька разів кидаю гральну кістку, і хочу, щоб випала "шістка", а мені весь час не щастить, чи це означає, що треба збільшувати ставку, тому що, згідно з теорією ймовірностей, мені ось-ось має пощастити? На жаль, теорія ймовірності не стверджує нічого подібного. Ні кістки, ні карти, ні монети не вміють запам'ятовувати, що вони продемонстрували нам минулого разу. Їм зовсім не важливо, вперше чи вдесяте сьогодні я відчуваю свою долю. Щоразу, коли повторюю кидок, я знаю лише одне: і цього разу ймовірність випадання "шістки" знову дорівнює одній шостій. Звичайно, це не означає, що мені потрібна цифра не випаде ніколи. Це означає лише те, що мій програш після першого кидка та після будь-якого іншого кидка – незалежні події. Події А та В називаються незалежними, якщо реалізація одного з них ніяк не впливає на ймовірність іншої події. Наприклад, ймовірності поразки мети першим з двох знарядь не залежать від того, чи вразило ціль інше знаряддя, тому події "перше знаряддя вразило ціль" і "друге знаряддя вразило ціль" незалежні. Якщо дві події А і В незалежні, і ймовірність кожного з них відома, то ймовірність одночасного настання і події А, і події (позначається АВ) можна порахувати, скориставшись наступною теоремою.

Теорема множення ймовірностей для незалежних подій

P(AB) = P(A)*P(B) ймовірність одночасного наступу двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Приклад 1. Імовірності влучення в ціль при стрільбі першої та другої знарядь відповідно дорівнюють: р 1 = 0,7; р2 = 0,8. Знайти ймовірність влучення при одному залпі обома гарматами одночасно.

як ми бачили події А (попадання першої зброї) і У (попадання другого зброї) незалежні, тобто. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56. Що станеться з нашими оцінками, якщо вихідні події не є незалежними? Давайте трохи змінимо попередній приклад.

приклад 2.Два стрільці на змаганнях стріляють по мішеням, причому, якщо один з них стріляє влучно, то суперник починає нервувати, і його результати погіршуються. Як перетворити цю життєву ситуацію на математичне завдання та намітити шляхи її вирішення? Інтуїтивно зрозуміло, що треба якимось чином розділити два варіанти розвитку подій, скласти по суті два сценарії, два різні завдання. У першому випадку, якщо суперник схибив, сценарій буде сприятливий для нервового спортсмена і його влучність буде вищою. У другому випадку, якщо суперник пристойно реалізував свій шанс, ймовірність вразити мету другого спортсмена знижується. Для поділу можливих сценаріїв (їх часто називають гіпотезами) розвитку подій ми часто використовуватимемо схему "дерева ймовірностей". Ця схема схожа на дерево рішень, з яким Вам, напевно, вже доводилося мати справу. Кожна гілка є окремим сценарієм розвитку подій, тільки тепер вона має власне значення так званої умовної ймовірності (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Ця схема дуже зручна для аналізу випадкових послідовних подій. Залишається з'ясувати ще одне важливе питання: звідки беруться вихідні значення ймовірностей у реальних ситуаціях? Адже не з одними ж монетами та гральними кістками працює теорія ймовірностей? Зазвичай ці оцінки беруться зі статистики, а коли статистичних відомостей немає, ми проводимо власне дослідження. І починати його нам часто доводиться не зі збору даних, а з питання, які відомості нам взагалі потрібні.

приклад 3.Припустимо, нам треба оцінити в місті з населенням у сто тисяч жителів обсяг ринку для нового товару, який не є предметом першої необхідності, наприклад, для бальзаму для догляду за фарбованим волоссям. Розглянемо схему "дерева ймовірностей". При цьому значення ймовірності на кожній "гілці" нам треба приблизно оцінити. Отже, наші оцінки ємності ринку:

1) із усіх жителів міста жінок 50%,

2) зі всіх жінок тільки 30% фарбують волосся часто,

3) з них тільки 10% користуються бальзамами для фарбованого волосся,

4) з них лише 10% можуть набратися сміливості спробувати новий товар,

5) із них 70% зазвичай купує все не у нас, а у наших конкурентів.

За законом перемноження ймовірностей, визначаємо ймовірність події, що цікавить нас А = (житель міста купує у нас цей новий бальзам) = 0,00045. Помножимо це значення ймовірності на кількість жителів міста. В результаті маємо всього 45 потенційних покупниць, а якщо врахувати, що однієї бульбашки цього кошту вистачає на кілька місяців, не надто жвава виходить торгівля. І все ж таки користь від наших оцінок є. По-перше, ми можемо порівнювати прогнози різних бізнес-ідей, на схемах у них будуть різні "розвилки", і, звичайно, значення ймовірності також будуть різні. По-друге, як ми вже казали, випадкова величина не тому називається випадковою, що вона ні від чого не залежить. Просто її точне значення наперед не відоме. Ми знаємо, що середня кількість покупців може бути збільшена (наприклад, за допомогою реклами нового товару). Отже, має сенс зосередити зусилля на тих "розвилках", де розподіл ймовірностей нас особливо не влаштовує, на тих факторах, на які ми можемо вплинути. Розглянемо ще один кількісний приклад дослідження купівельної поведінки.

приклад 3.За день продовольчий ринок відвідує у середньому 10 000 чоловік. Імовірність того, що відвідувач ринку заходить до павільйону молочних продуктів, дорівнює 1/2. Відомо, що в цьому павільйоні в середньому продається на день 500 кг різних продуктів. Чи можна стверджувати, що середня покупка в павільйоні важить лише 100 г?

Обговорення.

Звісно, ​​не можна. Зрозуміло, що не кожен, хто заходив до павільйону, внаслідок чогось там купив.

Як показано на схемі, щоб відповісти на питання про середню вагу покупки, ми повинні знайти відповідь на питання, яка ймовірність того, що людина, яка зайшла в павільйон, щось там купить. Якщо таких даних у нашому розпорядженні немає, а нам вони потрібні, доведеться їх отримати самим, спостерігаючи деякий час за відвідувачами павільйону. Допустимо, наші спостереження показали, що лише п'ята частина відвідувачів павільйону щось купує. Як тільки ці оцінки отримані, завдання стає вже простим. З 10000 чоловік, що прийшли на ринок, 5000 зайдуть у павільйон молочних продуктів, покупок буде лише 1000. Середня вага покупки дорівнює 500 грам. Цікаво відзначити, що для побудови повної картини того, що відбувається, логіка умовних "розгалужень" має бути визначена на кожному етапі нашого міркування так само чітко, якби ми працювали з "конкретною" ситуацією, а не з ймовірностями.

Завдання для самоперевірки.

1. Нехай є електричний ланцюг, що складається з n послідовно з'єднаних елементів, кожен із яких працює незалежно від інших. Відома ймовірність p невиходу з ладу кожного елемента. Визначте ймовірність справної роботи всієї ділянки ланцюга (подія А).

2. Студент знає 20 із 25 екзаменаційних питань. Знайдіть ймовірність того, що студент знає запропоновані йому екзаменатором три запитання.

3. Виробництво складається з чотирьох послідовних етапів, на кожному з яких працює обладнання, для якого ймовірності виходу з ладу протягом найближчого місяця рівні відповідно р1, р2, р3 і р4. Знайдіть ймовірність того, що за місяць не станеться жодної зупинки виробництва через несправність обладнання.

Коли кидається монета, можна сказати, що вона впаде орлом нагору, або ймовірність цього становить 1/2. Звичайно, це не означає, що якщо монета підкидається 10 разів, вона обов'язково впаде вгору орлом 5 разів. Якщо монета є "чесною" і якщо вона підкидається багато разів, то орел випаде дуже близько половини випадків. Таким чином, існує два види ймовірностей: експериментальна і теоретична .

Експериментальна та теоретична ймовірність

Якщо кинути монетку багато разів - скажімо, 1000 - і порахувати, скільки разів випаде орел, ми можемо визначити ймовірність того, що випаде орел. Якщо орел випаде 503 рази, ми можемо вважати ймовірність його випадання:
503/1000, або 0,503.

Це експериментальне визначення ймовірності. Таке визначення ймовірності випливає із спостереження та вивчення даних і є досить поширеним та дуже корисним. Ось, наприклад, деякі ймовірності, які були визначені експериментально:

1. Імовірність того, що у жінки розвинеться рак молочної залози становить 1/11.

2. Якщо ви цілуєтеся, з кимось, хто хворий на застуду, то ймовірність того, що ви теж захворієте на застуду, становить 0,07.

3. Людина, яка щойно була звільнена з в'язниці, має 80% ймовірності повернення назад до в'язниці.

Якщо ми розглядаємо кидання монети і враховуючи те, що так само ймовірно, що випаде орел або решка, ми можемо обчислити ймовірність випадання орла: 1/2. Це теоретичне визначення ймовірності. Ось деякі інші ймовірності, які були визначені теоретично за допомогою математики:

1. Якщо знаходиться 30 осіб у кімнаті, ймовірність того, що двоє мають однаковий день народження (виключаючи рік), становить 0,706.

2. Під час поїздки, Ви зустрічаєте когось і протягом розмови виявляєте, що у вас є спільний знайомий. Типова реакція: "Цього не може бути!" Насправді ця фраза не підходить, тому що ймовірність такої події досить висока – трохи більше ніж 22%.

Таким чином, експериментальна ймовірність визначаються шляхом спостереження та збору даних. Теоретичні ймовірності визначаються шляхом математичних міркувань. Приклади експериментальних і теоретичних ймовірностей, як, наприклад, розглянутих вище, і особливо тих, які ми не очікуємо, призводять нас до ваеності вивчення ймовірності. Ви можете запитати: "Що таке вірогідність?" Насправді такої немає. Експериментально можна визначити ймовірність у певних межах. Вони можуть збігатися або не збігатися з ймовірностями, які ми маємо теоретично. Є ситуації, у яких набагато легше визначити один із типів ймовірності, ніж інший. Наприклад, було б досить знайти можливість застудитися, використовуючи теоретичну можливість.

Обчислення експериментальних ймовірностей

Розглянемо спочатку експериментальне визначення ймовірності. Основний принцип, який ми використовуємо для обчислення таких ймовірностей, є таким.

Принцип P (експериментальний)

Якщо досвіді, у якому проводиться n спостережень, ситуація чи подія Е відбувається m разів за n спостережень, то кажуть, що експериментальна ймовірність події дорівнює P (E) = m/n.

Приклад 1 Соціологічне опитування. Було проведено експериментальне дослідження, щоб визначити кількість шульг, правшів та людей, у яких обидві руки розвинені однаково. Результати показані на графіку.

a) Визначте ймовірність того, що людина – правша.

b) Визначте ймовірність того, що людина – шульга.

c) Визначте можливість, що людина однаково вільно володіє обома руками.

d) У більшості турнірів, що проводяться Професійною Асоціацією Боулінгу, беруть участь 120 гравців. На підставі даних цього експерименту, скільки гравців можуть бути лівшою?

Рішення

a)Кількість людей, які є правшами, становить 82, кількість шульг становить 17, а число тих, хто однаково вільно володіє двома руками - 1. Загальна кількість спостережень - 100. Таким чином, ймовірність того, що людина правша, є Р
P = 82/100, чи 0,82, чи 82%.

b) Імовірність того, що людина шульга є Р, де
P = 17/100, чи 0,17, чи 17%.

c) Імовірність того, що людина однаково вільно володіє двома руками складає P де
P = 1/100, або 0,01 або 1%.

d) 120 гравців у боулінг, і з (b) ми можемо очікувати, що 17% - шульги. Звідси
17% від 120 = 0,17.120 = 20,4,
тобто ми можемо очікувати, що близько 20 гравців є шульгами.

Приклад 2 Контроль якості . Для виробника дуже важливо тримати якість своєї продукції на найвищому рівні. Насправді компанії наймають інспекторів контролю якості для забезпечення цього процесу. Метою є випуск мінімально можливої ​​кількості дефектних виробів. Але оскільки компанія виробляє тисячі виробів щодня, вона може дозволити собі перевіряти кожен виріб, щоб визначити, браковане воно чи ні. Щоб з'ясувати, який відсоток продукції дефектний, компанія перевіряє набагато менше виробів.
Міністерство сільського господарства США вимагає, щоб 80% насіння, яке продають виробники, проростало. Для визначення якості насіння, яке виробляє сільгоспкомпанія, висаджується 500 насіння з тих, що були вироблені. Після цього підрахували, що 417 насінин проросло.

a) Яка ймовірність того, що насіння проросте?

b) Чи відповідає насіння державним стандартам?

Рішення a) Ми знаємо, що з 500 насіння, яке було висаджено, 417 проросли. Імовірність проростання насіння Р, та
P = 417/500 = 0,834, чи 83.4%.

b) Оскільки відсоток пророслого насіння перевищив 80% на вимогу, насіння відповідає державним стандартам.

Приклад 3 Телевізійні рейтинги Відповідно до статистичних даних, у Сполучених Штатах 105,5 млн домогосподарств з телевізорами. Щотижня, інформація про перегляд передач збирається та обробляється. Протягом одного тижня 7815 000 домогосподарств були налаштовані на популярний комедійний серіал "Всі люблять Реймонда" на CBS і 8302 000 домогосподарств були налаштовані на популярний серіал "Закон і порядок" на NBC (Джерело: Nielsen Media Research). Яка ймовірність того, що телевізор одного будинку налаштований на Everybody Loves Raymond протягом цього тижня? на Закон і порядок?

РішенняnІмовірність того, що телевізор в одному домогосподарстві налаштований на "Всі люблять Реймонда" дорівнює Р, та
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Можливість, що телевізор домогосподарства був налаштований на «Закон і порядок» складає P, та
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ці відсотки називають рейтингами.

Теоретична ймовірність

Припустимо, що ми проводимо експеримент, такі як кидання монетки чи дротиків, витягування карти з колоди, або перевірка виробів на якість на складальній лінії. Кожен можливий результат такого експерименту називається результат . Безліч всіх можливих наслідків називається простором наслідків . Подія це безліч наслідків, тобто підмножина простору наслідків.

Приклад 4 Кидання дротиків. Припустимо, що у експерименті «метання дротиків» дротик потрапляє у мета. Знайдіть кожне з наступних:

b) Простір результатів

Рішення
a) Виходи це: потрапляння до чорного (Ч), потрапляння до червоного (К) та потрапляння до білого (Б).

b) Простір результатів є (попадання у чорне, попадання у червоне, попадання у біле), яке може бути записане просто як (Ч, К, Б).

Приклад 5 Кидання гральних кісток. Гральна кістка це куб із шістьма гранями, на кожній з яких намальовано від однієї до шести крапок.


Припустимо, що ми кидаємо гральну кістку. Знайдіть
a) Виходи
b) Простір результатів

Рішення
a) Виходи: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Простір результатів (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Ми позначаємо ймовірність того, що подія Е трапляється як Р(Е). Наприклад, "монета впаде решкою" можна позначати H. Тоді Р (Н) є ймовірністю того, монета впаде решкою. Коли всі результати експерименту мають однакову ймовірність появи, кажуть, що вони є рівноймовірними. Щоб побачити різницю між подіями, які є рівноймовірними, і нерівноймовірними подіями, розглянемо мету, зображену нижче.

Для мішені A, події потрапляння до чорного, червоного та білого рівноймовірні, оскільки чорні, червоні та білі сектори – однакові. Однак, для мішені B зони з цими квітами не однакові, тобто попадання в них не є рівноймовірним.

Принцип P (теоретичний)

Якщо подія E може статися m шляхами з n можливих рівноймовірних наслідків з простору наслідків S, тоді теоретична ймовірність події, P(E) складає
P(E) = m/n.

Приклад 6Яка можливість викинути 3, кинувши гральний кубик?

РішенняНа гральному кубику 6 рівноймовірних результатів існує лише одна можливість викидання цифри 3. Тоді ймовірність P складе P(3) = 1/6.

Приклад 7Яка можливість викидання парної цифри на гральному кубику?

РішенняПодія – це викидання парної цифри. Це може статися 3 способами (якщо випаде 2, 4 чи 6). Число рівноймовірних результатів дорівнює 6. Тоді ймовірність P(парне) = 3/6, або 1/2.

Ми будемо використовувати низку прикладів, пов'язаних зі стандартною колодою із 52 карт. Така колода складається з карток, показаних на малюнку нижче.

Приклад 8Яка можливість витягнути туза з добре перемішаної колоди карт?

РішенняІснує 52 результати (кількість карт у колоді), вони рівноймовірні (якщо колода добре перемішана), і є 4 способи витягнути туза, тому згідно з принципом P, ймовірність
P(витягування туза) = 4/52, або 1/13.

Приклад 9Припустимо, що ми вибираємо не дивлячись, одну кульку з мішка з трьома червоними кульками і чотирма зеленими кульками. Яка ймовірність вибору червоної кульки?

РішенняІснує 7 рівноймовірних результатів дістати будь-яку кульку, і так як число способів витягнути червону кульку дорівнює 3, отримаємо
P(вибору червоної кульки) = 3/7.

Наступні твердження – це результати з принципу P.

Властивості ймовірності

a) Якщо подія E може статися, тоді P(E) = 0.
b) Якщо подія E станеться неодмінно тоді P(E) = 1.
c) Імовірність того, що подія Е станеться від 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Наприклад, у киданні монети подія, коли монета впаде на ребро має нульову ймовірність. Можливість того, що монета або на орел або решку має можливість 1.

Приклад 10Припустимо, що витягуються 2 карти з колоди з 52 картами. Яка ймовірність того, що обидві піки?

РішенняЧисло шляхів n витягування 2 карт із добре перемішаної колоди з 52 картами є 52 C 2 . Так як 13 з 52 карт є піками, число способів m витягування 2 пік є 13 C 2 . Тоді,
P(витягування 2-х пік) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Приклад 11Припустимо, що 3 людини вибираються випадково з групи, що складається з 6 чоловіків і 4 жінок. Яка ймовірність того, що будуть обрані 1 чоловік та 2 жінки?

РішенняЧисло способів вибору трьох осіб із групи 10 осіб 10 C 3 . Один чоловік може бути обраний 6 C 1 способами, і 2 жінки можуть бути обрані 4 C 2 способами. Згідно з фундаментальним принципом підрахунку, число способів вибору 1-го чоловіка та 2-х жінок 6 C 1 . 4 C 2 . Тоді, ймовірність що буде обрано 1-го чоловіка та 2-х жінок є
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Приклад 12 Кидання гральних кубиків. Яка ймовірність викидання у сумі 8 на двох гральних кубиках?

РішенняНа кожному гральному кубику є 6 можливих наслідків. Виходи подвоюються, тобто існує 6.6 або 36 можливих способів, в якому можуть випасти цифри на двох кубиках. (Краще, якщо кубики різні, скажімо один червоний, а другий блакитний - це допоможе візуалізувати результат.)

Пари цифр, у сумі 8, показані на малюнку внизу. Є 5 можливих способів отримання суми, що дорівнює 8, звідси ймовірність дорівнює 5/36.

Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності випадкових подій. Імовірнісним експериментом (випробуванням, спостереженням) називається експеримент, результат якого не можна передбачити заздалегідь. У цьому експерименті будь-який його результат (вихід) є подією.

Подія може бути достовірним(Завжди відбувається в результаті випробування); неможливим(Свідомо не відбувається при випробуванні); випадковим(може статися чи не відбутися за умов даного експерименту).

Подія, яку не можна розбити на простіші події, називається елементарним.Подія, подана у вигляді сукупності кількох елементарних подій, називається складним(Фірма не зазнала збитків - прибуток може бути позитивною або рівною нулю).

Дві події, які не можуть відбуватися одночасно (збільшення податків – зростання наявного доходу; збільшення обсягу інвестицій – зниження рівня ризику), називаються несумісними.

Інакше кажучи, дві події несумісні, якщо поява однієї з них виключає появу іншого. В іншому випадку вони є спільними(Збільшення обсягу продажів – збільшення прибутку). Події називаються протилежними,якщо одне з них відбувається тоді і лише тоді, коли не відбувається інше (товар реалізовано – товар не реалізовано).

Імовірність події –це чисельна міра, яка вводиться порівняння подій за рівнем можливості їх появи.

Класичне визначення імовірності.Ймовірністю Р(А) події Аназивається відношення числа mрівноможливих елементарних подій (виходів), які сприяють появі події Адо загального числа nвсіх можливих елементарних результатів цього експерименту:

З вищевикладеного випливають такі основні властивості ймовірності:

1. 0 £ Р(А) £ 1.

2. Імовірність достовірної події Адорівнює 1: Р(А) = 1.

3. Імовірність неможливої ​​події А дорівнює 0: Р(А) = 0.

4. Якщо події Аі Унесумісні, то Р(А + У) = Р(А) + Р(У); якщо ж події Аі Успільні, то Р(А + У) = Р(А) + Р(У) - Р(А . B).(Р(А . B)- Імовірність спільної появи цих подій).

5. Якщо Аі протилежні події, то Р() = 1 - Р(А).

Якщо ймовірність здійснення однієї події не змінює ймовірності появи іншої, такі події називаються незалежними.

При безпосередньому обчисленні ймовірностей подій, що характеризуються великою кількістю наслідків, слід користуватися формулами комбінаторики. Для дослідження групи подій (гіпотез)

застосовуються формули повної ймовірності, Бейєса та Бернуллі ( nнезалежних випробувань – повторення дослідів).

При статистичне визначення ймовірностіподії Апід nрозуміється повна кількість фактично проведених випробувань, у яких подія Азустрілося рівно mразів. У цьому випадку відношення m/nназивається відносною частотою (частиною) W n(A) появи події Ав nпроведених випробуваннях.

При визначенні ймовірності по методом експертних оцінокпід nрозуміється кількість експертів (фахівців у цій галузі), опитуваних щодо можливості здійснення події А. При цьому mз них стверджують, що подія Астанеться.

Поняття випадкової події недостатньо для опису результатів спостережень величин, що мають числове вираз. Наприклад, під час аналізу фінансового результату підприємства насамперед цікавляться його розмірами. Тому поняття випадкової події доповнюється поняттям випадкової величини.

Під випадковою величиною(СВ) розуміється величина, яка в результаті спостереження (випробування) приймає одне з можливої ​​множини своїх значень, заздалегідь невідоме і залежить від випадкових обставин. Для кожної елементарної події СВ має єдине значення.

Розрізняють дискретні та безперервні СВ. Для дискретнийСВ безліч її можливих значень звичайно або рахунково, тобто СВ приймає окремі ізольовані значення, які можуть бути перераховані заздалегідь, з певними ймовірностями. Для безперервнийСВ безліч її можливих значень нескінченно і незліченно, наприклад, усі числа цього інтервалу, тобто. можливі значення СВ не можуть бути перераховані заздалегідь і безперервно заповнюють деякий проміжок.

Приклади випадкових величин: Х- щоденна кількість покупців у супермаркеті (дискретна СВ); Y- кількість дітей, які народилися протягом доби у певному адміністративному центрі (дискретна СВ); Z- координата точки влучення артилерійського снаряда (безперервна СВ).

Багато СВ, що розглядаються в економіці, мають настільки велику кількість можливих значень, що їх зручніше представляти у вигляді безперервних СВ. Наприклад, курси валют, доход населення тощо.

Для опису СВ необхідно встановити співвідношення між усіма можливими значеннями СВ та їх ймовірностями. Таке співвідношення називатиметься законом розподілу СВ. Для дискретної СВ його можна поставити таблично, аналітично (як формули) чи графічно. Наприклад, таблично для СВ Х

Загальна постановка задачі: відомі ймовірності деяких подій, а потрібно обчислити ймовірності інших подій, які пов'язані з даними подіями. У цих завданнях виникає необхідність у таких діях над ймовірностями, як додавання та множення ймовірностей.

Наприклад, на полюванні здійснено два постріли. Подія A- попадання в качку з першого пострілу, подія B- Попадання з другого пострілу. Тоді сума подій Aі B- попадання з першого або другого пострілу або двох пострілів.

Завдання іншого типу. Дано кілька подій, наприклад, монета підкидається тричі. Потрібно знайти ймовірність того, що або всі три рази випаде герб, або те, що герб випаде хоча б один раз. Це завдання на збільшення ймовірностей.

Складання ймовірностей несумісних подій

Додавання ймовірностей використовується тоді, коли потрібно обчислити ймовірність об'єднання чи логічної суми випадкових подій.

Суму подій Aі Bпозначають A + Bабо A ∪ B. Сумою двох подій називається подія, яка настає тоді і лише тоді, коли настає хоча б одна з подій. Це означає, що A + B– подія, яка настає тоді і лише тоді, коли під час спостереження сталася подія Aабо подія B, або одночасно Aі B.

Якщо події Aі Bвзаємно несумісні та його ймовірності дані, то ймовірність те, що в результаті одного випробування відбудеться одна з цих подій, розраховують, використовуючи додавання ймовірностей.

Теорема складання ймовірностей.Імовірність того, що відбудеться одна з двох взаємно несумісних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Наприклад, на полюванні зроблено два постріли. Подія А- попадання в качку з першого пострілу, подія У- Попадання з другого пострілу, подія ( А+ У) – попадання з першого чи другого пострілу чи з двох пострілів. Отже, якщо дві події Аі У- несумісні події, то А+ У- Настання хоча б однієї з цих подій або двох подій.

приклад 1.У ящику 30 м'ячиків однакових розмірів: 10 червоних, 5 синіх та 15 білих. Обчислити ймовірність того, що не дивлячись буде взято кольоровий (не білий) м'ячик.

Рішення. Приймемо, що подія А– «взято червоний м'ячик», а подія У– «взято синій м'ячик». Тоді подія – «взято кольоровий (не білий) м'ячик». Знайдемо ймовірність події А:

та події У:

Події Аі У- Взаємно несумісні, тому що якщо взято один м'ячик, то не можна взяти м'ячики різних кольорів. Тому використовуємо складання ймовірностей:

Теорема складання ймовірностей для кількох несумісних подій.Якщо події становлять безліч подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1:

Сума ймовірностей протилежних подій також дорівнює 1:

Протилежні події утворюють безліч подій, а ймовірність повної множини подій дорівнює 1.

Імовірності протилежних подій зазвичай позначають малими літерами pі q. Зокрема,

з чого випливають такі формули ймовірності протилежних подій:

приклад 2.Ціль у тирі розділена на 3 зони. Імовірність того, що якийсь стрілець вистрілить у ціль у першій зоні дорівнює 0,15, у другій зоні – 0,23, у третій зоні – 0,17. Знайти ймовірність того, що стрілець потрапить у ціль і ймовірність того, що стрілок потрапить повз ціль.

Рішення: Знайдемо ймовірність того, що стрілок потрапить у ціль:

Знайдемо ймовірність того, що стрілець потрапить повз ціль:

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .

Складання ймовірностей взаємно спільних подій

Дві випадкові події називаються спільними, якщо наступ однієї події не виключає настання другої події в тому самому спостереженні. Наприклад, при киданні гральної кістки подією Авважається випадання числа 4, а подією У- Випадання парного числа. Оскільки число 4 є парним числом, ці дві події сумісні. У практиці зустрічаються завдання щодо розрахунку ймовірностей настання однієї з взаємно спільних подій.

Теорема складання можливостей для спільних подій.Імовірність того, що настане одна із спільних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій, з якої віднято ймовірність загального настання обох подій, тобто добуток ймовірностей. Формула ймовірностей спільних подій має такий вигляд:

Оскільки події Аі Усумісні, подія А+ Унастає, якщо настає одна з трьох можливих подій: або АВ. Відповідно до теореми складання несумісних подій, обчислюємо так:

Подія Анастане, якщо настане одна з двох несумісних подій: або АВ. Однак ймовірність настання однієї події з кількох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей усіх цих подій:

Аналогічно:

Підставляючи вирази (6) і (7) у вираз (5), отримуємо формулу ймовірності для спільних подій:

При використанні формули (8) слід враховувати, що події Аі Уможуть бути:

• взаємно незалежними;
• взаємно залежними.

Формула ймовірності для взаємно незалежних подій:

Формула ймовірності для взаємозалежних подій:

Якщо події Аі Унесумісні, їх збіг є неможливим випадком і, таким чином, P(AB) = 0. Четверта формула ймовірності для несумісних подій така:

приклад 3.На автоперегонах при заїзді на першій машині можливість перемогти, при заїзді на другій машині. Знайти:

• ймовірність того, що переможуть обидві автомашини;
• ймовірність того, що переможе хоча б одна машина;

1) Імовірність того, що переможе перша автомашина, не залежить від результату другої автомашини, тому події А(переможе перша автомашина) та У(переможе друга автомашина) – незалежні події. Знайдемо ймовірність того, що переможуть обидві машини:

2) Знайдемо ймовірність того, що переможе одна з двох автомашин:

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .

Вирішити завдання на складання ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 4.Впадають дві монети. Подія A- Випадання герба на першій монеті. Подія B- Випадання герба на другій монеті. Знайти ймовірність події C = A + B .

Розмноження ймовірностей

Множення ймовірностей використовують, коли слід обчислити ймовірність логічного добутку подій.

При цьому випадкові події мають бути незалежними. Дві події називаються взаємно незалежними, якщо настання однієї події не впливає на ймовірність настання другої події.

Теорема множення можливостей для незалежних подій.Імовірність одночасного наступу двох незалежних подій Аі Удорівнює добутку ймовірностей цих подій і обчислюється за такою формулою:

Приклад 5.Монету кидають тричі поспіль. Знайти ймовірність, що всі три рази випаде герб.

Рішення. Імовірність того, що при першому киданні монети випаде герб, вдруге, втретє. Знайдемо ймовірність того, що всі три рази випаде герб:

Вирішити завдання на множення ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 6.Є коробка з дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі, після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів грані від неграних не відрізняють. Яка ймовірність того, що після трьох ігор у коробці не залишиться неграних м'ячів?

Приклад 7. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що з літер вийде слово "кінець".

Приклад 8.З повної колоди карт (52 листи) виймаються одразу чотири карти. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

Приклад 9.Те саме завдання, що у прикладі 8, але кожна карта після виймання повертається в колоду.

Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей, а також обчислювати добуток кількох подій - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей".

Імовірність того, що відбудеться хоча б одна з взаємно незалежних подій, можна обчислити шляхом віднімання з 1 добутку ймовірностей протилежних подій, тобто за формулою.