Яку швидкість називають першою космічною. Висновок формули першої космічної швидкості

Перша космічна швидкість - це мінімальна швидкість, за якої тіло, що рухається горизонтально над поверхнею планети, не впаде на неї, а рухатиметься круговою орбітою.

Розглянемо рух тіла у неінерційній системі відліку – щодо Землі.

У цьому випадку об'єкт на орбіті перебуватиме у стані спокою, тому що на нього діятимуть уже дві сили: відцентрова сила та сила тяжіння.

де m - маса об'єкта, M - маса планети, G - гравітаційна постійна (6,67259·10 −11 м?·кг −1 ·с −2),

Перша космічна швидкість, R – радіус планети. Підставляючи чисельні значення (для Землі 7,9 км/с

Першу космічну швидкість можна визначити через прискорення вільного падіння - оскільки g = GM/R?

Друга космічна швидкість - найменша швидкість, яку необхідно надати об'єкту, маса якого зневажливо мала в порівнянні з масою небесного тіла, для подолання гравітаційного тяжіння цього небесного тіла і залишення кругової орбіти навколо нього.

Запишемо закон збереження енергії

де ліворуч стоять кінетична та потенційна енергії на поверхні планети. Тут m – маса пробного тіла, M – маса планети, R – радіус планети, G – гравітаційна постійна, v 2 – друга космічна швидкість.

Між першою та другою космічними швидкостями існує просте співвідношення:

Квадрат швидкості втікання дорівнює подвоєному ньютонівському потенціалу в даній точці:

Ви також можете знайти цікаву інформацію в науковому пошуковику Otvety.Online. Скористайтеся формою пошуку:

Ще за темою 15. Висновок формул для 1-ї та 2-ї космічних швидкостей.

1. Розподіл Максвелла за швидкостями. Найімовірніша середньоквадратична швидкість руху молекули.
2. 14. Виведення третього закону Кеплера для кругового руху
3. 1. Швидкість елімінації. Константа швидкості елімінації. Час напівелімінації
4. 7.7. Формула Реле-Джинса. Гіпотеза Планка. Формула Планка
5. 13. Космічна та авіаційна геодезія. Особливості зондування у водному середовищі. Системи машинного зору ближнього радіусу дії.
6. 18. Етичний аспект культури промови. Мовний етикет та культура спілкування. Формули мовного етикету. Етикетні формули знайомства, уявлення, привітання та прощання. "Ти" і "Ви" як форми звернення в російському мовному етикеті. Національні особливості мовного етикету.

З давніх-давен людей цікавила проблема устрою світу. Ще в III столітті до нашої ери грецький філософ Аристарх Самоський висловив ідею про те, що Земля обертається навколо Сонця, і спробував обчислити відстані та розміри Сонця та Землі за становищем Місяця. Оскільки доказовий апарат Аристарха Самоського був недосконалий, більшість залишилися прихильниками піфагорійської геоцентричної системи світу.
Пройшло майже два тисячоліття, і ідеєю геліоцентричного устрою світу захопився польський астроном Микола Коперник. Він помер у 1543 році, і незабаром працю всього його життя опублікували учні. Модель і таблиці положення небесних тіл Коперника, засновані на геліоцентричну систему, набагато точніше відображали стан речей.
Через півстоліття німецький математик Йоган Кеплер, використовуючи шкірупульозні записи датського астронома Тихо Браге про спостереження небесних тіл, вивів закони руху планет, які зняли неточності моделі Коперника.
Завершення XVII століття ознаменувалося працями великого англійського вченого Ісака Ньютона. Закони механіки та всесвітнього тяжіння Ньютона розширили та дали теоретичне обґрунтування формулам, виведеним із спостережень Кеплером.
Нарешті, в 1921 Альберт Ейнштейн запропонував загальну теорію відносності, що найбільш точно описує механіку небесних тіл в даний час. Ньютонівські формули класичної механіки та теорії гравітації досі можуть застосовуватися для деяких обчислень, що не потребують великої точності, і там, де релятивістськими ефектами можна знехтувати.

Завдяки Ньютону та його попередникам ми можемо обчислити:

• яку швидкість має мати тіло для збереження заданої орбіти ( перша космічна швидкість)
• з якою швидкістю має рухатися тіло, щоб воно подолало тяжіння планети і стало супутником зірки ( друга космічна швидкість)
• мінімальну необхідну швидкість виходу за межі планетної системи ( третя космічна швидкість)

Для визначення двох характерних «космічних» швидкостей, пов'язаних із розмірами та полем тяжіння деякої планети. Планету вважатимемо однією кулею.

Мал. 5.8. Різні траєкторії руху супутників навколо Землі

Першою космічною швидкістюназивають таку горизонтально спрямовану мінімальну швидкість, коли він тіло міг би рухатися навколо Землі по кругової орбіті, тобто перетворитися на штучний супутник Землі.

Це, звичайно, ідеалізація, по-перше, планета не куля, по-друге, якщо у планети є досить щільна атмосфера, то такий супутник - навіть якщо його вдасться запустити - дуже швидко згорить. Інша справа, що, скажімо супутник Землі, що літає в іоносфері на середній висоті над поверхнею в 200 км, має радіус орбіти, що відрізняється від середнього радіуса Землі всього приблизно на 3 %.

На супутник, що рухається круговою орбітою радіусом (рис. 5.9), діє сила тяжіння Землі, що повідомляє йому нормальне прискорення

Мал. 5.9. Рух штучного супутника Землі круговою орбітою

За другим законом Ньютона маємо

Якщо супутник рухається неподалік поверхні Землі, то

Тому для Землі отримуємо

Видно, що дійсно визначається параметрами планети: її радіусом та масою.

Період звернення супутника навколо Землі дорівнює

де – радіус орбіти супутника, а – його орбітальна швидкість.

Мінімальне значення періоду звернення досягається при русі по орбіті, радіус якої дорівнює радіусу планети:

отже, першу космічну швидкість можна визначити і так: швидкість супутника на круговій орбіті з мінімальним періодом обертання навколо планети.

Період обігу зростає зі збільшенням радіусу орбіти.

Якщо період звернення супутника дорівнює періоду звернення Землі навколо своєї осі та його напрями обертання збігаються, а орбіта розташована в екваторіальній площині, такий супутник називається геостаціонарним.

Геостаціонарний супутник постійно висить над тією самою точкою поверхні Землі (рис. 5.10).

Мал. 5.10. Рух геостаціонарного супутника

Для того, щоб тіло могло вийти зі сфери земного тяжіння, тобто могло відійти на таку відстань, де тяжіння до Землі перестає відігравати істотну роль, необхідна друга космічна швидкість(Рис. 5.11).

Другою космічною швидкістюназивають найменшу швидкість, яку необхідно повідомити тілу, щоб його орбіта в полі тяжіння Землі стала параболічною, тобто щоб тіло могло перетворитися на супутник Сонця.

Мал. 5.11. Друга космічна швидкість

Для того щоб тіло (за відсутності опору середовища) могло подолати земне тяжіння і піти в космічний простір, необхідно, щоб кінетична енергія тіла на поверхні планети дорівнювала (або перевершувала) роботу, що чиниться проти сил земного тяжіння. Напишемо закон збереження механічної енергії Етакого тіла. На поверхні планети, конкретно - Землі

Швидкість вийде мінімальної, якщо на нескінченному віддаленні від планети тіло буде спочивати

Прирівнюючи ці два вирази, отримуємо

звідки для другої космічної швидкості маємо

Для повідомлення об'єкту необхідної швидкості (першої чи другої космічної) вигідно використовувати лінійну швидкість обертання Землі, тобто запускати його якомога ближче до екватора, де ця швидкість становить, як ми бачили, 463 м/с (точніше 465,10 м/с ). У цьому напрям запуску має збігатися з напрямом обертання Землі - із заходу Схід. Легко підрахувати, що у такий спосіб можна виграти кілька відсотків в енергетичних витратах.

Залежно від початкової швидкості, що повідомляється тілу в точці кидання Ана поверхні Землі, можливі такі види руху (рис. 5.8 та 5.12):

Мал. 5.12. Форми траєкторії частинки в залежності від швидкості кидання

Абсолютно аналогічно розраховується рух у гравітаційному полі будь-якого іншого космічного тіла, наприклад, Сонця. Щоб подолати силу тяжіння світила і залишити Сонячну систему, об'єкту, що спокоїться щодо Сонця і знаходиться від нього на відстані, що дорівнює радіусу земної орбіти (див. вище), необхідно повідомити мінімальну швидкість, що визначається з рівності

де, нагадаємо, це радіус земної орбіти, а - маса Сонця.

Звідси випливає формула, аналогічна виразу для другої космічної швидкості, де треба замінити масу Землі на масу Сонця та радіус Землі на радіус земної орбіти:

Підкреслимо, що це мінімальна швидкість, яку треба надати нерухомому тілу, що знаходиться на земній орбіті, щоб воно подолало тяжіння Сонця.

Відзначимо також зв'язок

з орбітальною швидкістю Землі. Цей зв'язок, як і має бути - Земля супутник Сонця, така сама, як і між першою і другою космічними швидкостями і .

Насправді ми запускаємо ракету із Землі, отже вона свідомо бере участь у орбітальному русі навколо Сонця. Як було показано вище, Земля рухається навколо Сонця з лінійною швидкістю

Ракету доцільно запускати у бік руху Землі навколо Сонця.

Швидкість, яку необхідно повідомити тілу на Землі, щоб воно назавжди залишило межі Сонячної системи, називається третьою космічною швидкістю .

Швидкість залежить від цього, у напрямі космічний корабель виходить із зони дії земного тяжіння. При оптимальному запуску ця швидкість становить приблизно 6,6 км/с.

Зрозуміти походження цього числа можна також із енергетичних міркувань. Здавалося б, достатньо ракеті повідомити про Землю швидкість

у напрямку руху Землі навколо Сонця, і вона залишить межі Сонячної системи. Але це було б правильно, якби Земля не мала свого поля тяжіння. Таку швидкість тіло повинне мати, вже відійшовши зі сфери земного тяжіння. Тому підрахунок третьої космічної швидкості дуже схожий на обчислення другої космічної швидкості, але з додатковою умовою - тіло на великій відстані від Землі має все ще мати швидкість:

У цьому рівнянні ми можемо виразити потенційну енергію тіла на поверхні Землі (другий доданок у лівій частині рівняння) через другу космічну швидкість відповідно до отриманої формули для другої космічної швидкості

Звідси знаходимо

додаткова інформація

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сівухін Д.В. Загальний курс фізики, том 1, Механіка Вид. Наука 1979 р. - стор. 325–332 (§61, 62): виведено формули для всіх космічних швидкостей (включаючи третю), вирішено завдання про рух космічних апаратів, закони Кеплера виведені із закону всесвітнього тяжіння.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал "Квант" - політ космічного апарату до Сонця (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - зіркова динаміка (О.Чернін).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрєлков С.П. Механіка Вид. Наука 1971 р. - стор. 138–143 (§§ 40, 41): в'язке тертя, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал "Квант" - гравітаційна машина (А. Самбелашвілі).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета – Земля». Наука 1983, гл. 1, пункт 3, стор. 23–26 - наводиться схема положення сонячної системи в нашій галактиці, напрями та швидкості руху Сонця та Галактики щодо реліктового випромінювання.

«Рівномірний та нерівномірний рух» - t 2. Нерівномірний рух. Яблунівка. L 1. Рівномірне в. L2. t 1. L3. Чистоозерне. t 3. Рівномірний рух. =.

«Криволінійний рух» - Центрошвидке прискорення. РІВНОМІРНИЙ РУХ ТІЛА ПО ОКОЛІ Розрізняють: - криволінійний рух з постійною за модулем швидкістю; - Рух із прискоренням, т.к. швидкість змінює напрямок. Напрямок відцентрового прискорення та швидкості. Рух точки по колу. Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю.

"Рух тіл по площині" - Оцінити отримані значення невідомих величин. Підставити числові дані на рішення загального виду, провести обчислення. Виконати малюнок, зобразивши на ньому ті тіла, що взаємодіють. Виконати аналіз взаємодії тел. Fтр. Рух тіла по похилій площині без сили тертя. Вивчення руху тіла за похилою площиною.

"Опора і рух" - До нас швидка допомога привезла хворого. Стрункий, сутулий, сильний, міцний, товстий, незграбний, спритний, блідий. Ігрова ситуація "Консиліум лікарів". Спати на твердому ліжку з невисокою подушкою. «Опора тіла та рух. Правила підтримки правильної постави. Правильна поза в положенні стоячи. Кістки дітей м'які, еластичні.

"Космічна швидкість" - V1. СРСР. Тож. 12 квітня 1961р. Послання до позаземних цивілізацій. Третя космічна швидкість. На борту "Вояджер-2" диск із науковою інформацією. Розрахунок першої космічної швидкості біля Землі. Перший політ людини у космос. Траєкторія руху Вояджер-1. Траєкторія руху тіл, що рухаються з малою швидкістю.

«Динаміка тіла» - Що є основою динаміки? Динаміка-розділ механіки, що розглядає причини руху тіл (матеріальних точок). Закони Ньютона можна застосовувати лише для інерційних систем відліку. Системи відліку, у яких виконується перший закон Ньютона, називаються інерційними. Динаміка. У яких системах відліку застосовуються закони Ньютона?

Всього у темі 20 презентацій

02.12.2014

Урок 22 (10 клас)

Тема. Штучні супутники Землі. Розвиток космонавтики.

Про рух тіл, що кидаються

У 1638 р. у Лейдені вийшла книга Галілея «Бесіди та математичні докази, що стосуються двох нових галузей науки». Четвертий розділ цієї книги називався «Про рух тіл, що кидаються». Не легко вдалося йому переконати людей у ​​тому, що в безповітряному просторі «крупинка свинцю повинна падати з такою ж швидкістю, як гарматне ядро». Але коли Галілей розповів світу про те, що ядро, що вилетіло з гармати в горизонтальному напрямку, знаходиться в польоті стільки ж часу, що і ядро, яке просто випало з її жерла на землю, йому не повірили. Тим часом це справді так: тіло, кинуте з деякою висоти в горизонтальному напрямку, рухається до землі протягом того самого часу, якби воно просто впало з тієї ж висоти вертикально вниз.
Щоб переконатися в цьому, скористаємось приладом, принцип дії якого ілюструє рисунок 104 а. Після удару молоточком Мпо пружній пластині Пкульки починають падати і, незважаючи на відмінність у траєкторіях, одночасно досягають землі. На малюнку 104 б зображена стробоскопічна фотографія падаючих кульок. Для отримання цієї фотографії досвід проводили у темряві, а кульки через рівні інтервали часу освітлювали яскравим спалахом світла. При цьому затвор фотоапарата був відкритий доти, доки кульки не впали на землю. Ми бачимо, що в ті самі моменти часу, коли відбувалися спалахи світла, обидві кульки знаходилися на одній і тій же висоті і так само одночасно вони досягли землі.

Час вільного падіння з висоти h(поблизу поверхні Землі) може бути знайдено за відомою з механіки формулою s=аt2/2. Замінюючи тут sна hі ана g, перепишемо цю формулу у вигляді

звідки отримаємо після нескладних перетворень

Такий же час перебуватиме в польоті і тіло, кинуте з тієї ж висоти горизонтально. У цьому випадку, згідно з Галілеєм, «до рівномірного безперешкодного руху приєднується інше, що викликається силою тяжіння, завдяки чому виникає складний рух, що складається з рівномірного горизонтального та природно прискореного рухів».
За час, що визначається виразом (44.1), рухаючись у горизонтальному напрямку зі швидкістю v0(Тобто з тією швидкістю, з якою воно було кинуто), тіло переміститься по горизонталі на відстань

З цієї формули випливає, що дальність польоту тіла, кинутого у горизонтальному напрямі, пропорційна початкової швидкості тіла, і зростає зі збільшенням висоти кидання.
Щоб з'ясувати, якою траєкторією рухається в цьому випадку тіло, звернемося до досвіду. Приєднаємо до водопровідного крана гумову трубку, з наконечником, і направимо струмінь води в горизонтальному напрямку. Частинки води при цьому рухатимуться так само, як і кинуте в тому ж напрямку тіло. Відвертаючи або, навпаки, загортаючи кран, можна змінити початкову швидкість струменя і тим самим дальність польоту частинок води (мал. 105), однак у всіх випадках струмінь води матиме форму параболи. Щоб переконатися в цьому, за струменем слід поставити екран із заздалегідь накресленими на ньому параболами. Струмінь води точно відповідатиме зображеним на екрані лініям.

Отже, тіло, що вільно падає, початкова швидкість якого горизонтальна, рухається по параболічній траєкторії.
за параболібуде рухатися тіло й у тому випадку, коли воно кинуто під деяким гострим кутом до горизонту. Дальність польоту в цьому випадку залежатиме не тільки від початкової швидкості, а й від кута, під яким вона була спрямована. Проводячи досліди зі струменем води, можна встановити, що найбільша дальність польоту досягається тоді, коли початкова швидкість становить з горизонтом кут 45° (рис. 106).

При більших швидкостях руху тіл слід враховувати опір повітря. Тому дальність польоту куль і снарядів у реальних умовах виявляється не такою, як це випливає із формул, справедливих для руху в безповітряному просторі. Так, наприклад, при початковій швидкості кулі 870 м/с і вугіллі 45° відсутність опору повітря дальність польоту склала б приблизно 77 км, тим часом як насправді вона не перевищує 3,5 км.

Перша космічна швидкість

Обчислимо швидкість, яку треба повідомити штучному супутнику Землі, щоб він рухався круговою орбітою на висоті hнад землею.
На великих висотах повітря сильно розріджене і чинить незначний опір тілам, що рухаються в ньому. Тому можна вважати, що на супутник діє лише гравітаційна сила, спрямована до центру Землі. рис.4.4).

За другим законом Ньютона.
Центрошвидке прискорення супутника визначається формулою , де h- Висота супутника над поверхнею Землі. Сила ж, що діє на супутник, згідно із законом всесвітнього тяжіння визначається формулою , де M- Маса Землі.
Підставивши значення Fі aдо рівняння для другого закону Ньютона, отримаємо

З отриманої формули випливає, що швидкість супутника залежить від його відстані від поверхні Землі: чим більша ця відстань, тим з меншою швидкістю він рухатиметься круговою орбітою. Примітно, що ця швидкість не залежить від маси супутника. Отже, супутником Землі може бути будь-яке тіло, якщо йому повідомити певну швидкість. Зокрема, при h=2000 км=2 10 6 м швидкість v≈ 6900 м/с.
Мінімальна швидкість, яку треба повідомити тілу на поверхні Землі, щоб воно стало супутником Землі, що рухається круговою орбітою, називається першою космічною швидкістю.
Першу космічну швидкість можна знайти за формулою (4.7), якщо прийняти h=0:

Підставивши у формулу (4.8) значення Gта значення величин Mі Rдля Землі, можна обчислити першу космічну швидкість для супутника Землі:

Якщо таку швидкість повідомити тілу в горизонтальному напрямку на поверхні Землі, то за відсутності атмосфери воно стане штучним супутником Землі, що обертається навколо неї по круговій орбіті.
Таку швидкість супутникам здатні повідомляти лише досить потужні космічні ракети. Нині навколо Землі звертаються тисячі штучних супутників.
Будь-яке тіло може стати штучним супутником іншого тіла (планети), якщо повідомити необхідну швидкість.

Рух штучних супутників

У роботах Ньютона можна знайти чудовий малюнок, що показує, як можна здійснити перехід від простого падіння тіла параболем до орбітального руху тіла навколо Землі (рис. 107). «Покинутий на землю камінь,- писав Ньютон,- відхилиться під впливом тяжкості від прямолінійного шляху і, описавши криву траєкторію, впаде нарешті Землю. Якщо його кинути з більшою швидкістю, він впаде далі». Продовжуючи ці міркування, неважко дійти висновку, що коли кинути камінь з високої гори з досить великою швидкістю, його траєкторія могла б стати такою, що він взагалі ніколи не впав би на Землю, перетворившись на її штучний супутник.

Мінімальна швидкість, яку необхідно повідомити тілу біля поверхні Землі, щоб перетворити його на штучний супутник, називається першою космічною швидкістю.
Для запуску штучних супутників застосовують ракети, що піднімають супутник на задану висоту і повідомляють йому горизонтальному напрямку необхідну швидкість. Після цього супутник відокремлюється від ракети-носія та продовжує подальший рух лише під дією гравітаційного поля Землі. (Вплив Місяця, Сонця та інших планет ми тут нехтуємо.) Прискорення, що повідомляється цим полем супутнику, є прискорення вільного падіння g. З іншого боку, оскільки супутник рухається по круговій орбіті, це прискорення є доцентровим і тому дорівнює відношенню квадрата швидкості супутника до радіусу його орбіти. Таким чином,

Звідки

Підставляючи сюди вираз (43.1), отримуємо

Ми отримали формулу кругової швидкості супутника такої швидкості, яку має супутник, рухаючись по круговій орбіті радіусом. rна висоті hвід Землі.
Щоб знайти першу космічну швидкість v1слід врахувати, що вона визначається як швидкість супутника поблизу поверхні Землі, тобто коли h<і r≈R3. Враховуючи це у формулі (45.1), отримуємо