Математика. Алгебра та аналітична геометрія

Тема 8. Відносини та відповідності

Поняття бінарного відношення між елементами множини

У звичайному житті ми постійно говоримо про стосунки між двома об'єктами. Наприклад, х працює йод керівництву, х є батькові, х і у друзі – це стосунки між людьми. Числах більше чисел, числах ділиться на у, числах і у при розподілі на 3 дають однаковий залишок - це відносини між числами.

Будь-яка математична теорія має справу з безліччю будь-яких об'єктів чи елементів. Щоб побудувати математичну теорію потрібні як самі елементи, а й відносини з-поміж них. Для чисел має сенс поняття відносин: a = b , або a > b, або a< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Усі ці стосунки стосуються двох об'єктів. Тому вони називаються бінарними стосунками.

Коли ми розглядаємо ті чи інші відносини, ми завжди маємо справу з упорядкованими парами, утвореними з елементів цієї множини. Наприклад, для відношення «число x більше на 4, ніж числоy», яке розглядається на множині X = (2, 6, 10, 14), це будуть упорядковані пари (6,2), (10, 6), (14, 10) ). Вони - підмножина декартового твору XX.

Визначення. Бінарним ставленням між елементами множини X або ставленням на множині X називається всяке підмножина декартового твору X X.

Бінарні відносини зазвичай позначають великими літерами латинського алфавіту: Р, Т, S, R, Q тощо. Отже, якщо P - відношення на множині X, то X X. Множина всіх перших елементів пар з називається областю визначення відносин Р. Безліч значень відносинР називається безліч всіх інших елементів пар зР.

У багатьох випадках зручно використати графічне зображення бінарного відношення.

Елементи множини X зображують точками, а стрілками з'єднують відповідні елементи так, що якщо має місце (х, у) Р (хРу), то стрілку проводять з крапок в точку. Отриманий креслення називають графом відносиниР, а точки, що зображують елементи множиниX,

вершинами графа.

Наприклад, граф відношення Р: «числах - дільник числа у», заданого на множині X = (5, 10, 20, 30,40), зображений на рис. 54.

Стрілки графа, у яких початком і кінцем є та сама точка, називаються петлями. Якщо на графі відносини Р змінити напрямки всіх стрілок на

протилежні, то вийде нове ставлення, яке називають оберненим для Р. Його позначають Р-1. Зазначимо, щоРу уР -1 х.

Способи завдання бінарних відносин, їх властивості

Оскільки відношення R між елементами множини - це безліч, елементами якого є впорядковані пари, то його можна задати тими ж способами, що і будь-яка безліч.

Найчастіше відношення R на множині X задають за допомогою характеристичного властивості пар елементів, що знаходяться у відношенні R. Цю властивість формулюють у вигляді речення з двома змінними. Наприклад, серед відносин на безлічі Х = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) можна розглядати такі: «числах менше числа у в 2 рази», «числах - дільник числау» та ін .

Відношення R на безлічі X можна задати і шляхом перерахування всіх пар елементів, взятих з безлічі X і пов'язаних відношенням R.

Наприклад, якщо записати безліч пар (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,

Це саме відношення R можна задати і за допомогою графа (рис). Виділимо найважливіші властивості бінарних відносин.

Визначення 1. Відношення R на множині X називається рефлексивним, якщо кожен елемент із множини X сам із собою знаходиться в цьому відношенні.

Коротше дане визначення можна записати так: R рефлексивно наХ хRх для будь-яких X.

Очевидно, що якщо відношення R на множині X є рефлексивним, то в кожній вершині графа відношення є петля. Справедливим є зворотне твердження.

Прикладами рефлексивних відносин є відносини: «бути рівними на багатьох трикутників площині», «x ≤ y».

Зазначимо, що є відносини, які мають властивістю рефлексивності, наприклад, ставлення перпендикулярності прямих.

Визначення 2. Відношення R на множині X називається симетричним, якщо для будь-яких елементів, у Х виконується умова: якщо і у знаходяться у відношенні R, то у них теж знаходяться в цьому відношенні.

Коротше: R симетрично X xRy yRx.

Граф симетричного відношення має властивість: якщо є стрілка, що з'єднує пару елементів, то обов'язково є друга, яка з'єднує ці ж елементи, але йде в протилежному напрямку. Правильне і зворотне твердження.

Прикладами симетричних відносин є відносини: «бути взаємно перпендикулярними до множини всіх прямих площині», «бути подібними до множини всіх прямокутників площини».

Визначення 3 . Якщо ні для яких елементів і у з множиниX не може статися, що одночасно іxRy, іyRx, то відношенняR на множиніX називається асиметричним. Приклад асиметричного відношення: «бути батьком» (якщо - батькові, тоу не може бути батьком).

Визначення 4. Відношення R на множині X називається антисим-

Наприклад, відношення «менше» на безлічі цілих чисел є антисиметричним.

Граф антисиметричного відношення має особливість: якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка лише одна. Справедливим є зворотне твердження. Властивість асиметричності є сукупністю властивості антисиметричності та відсутності рефлексивності.

Визначення 5. Відношення R на множині X називається транзитивним, якщо для будь-яких елементів x, y, z X виконується умова: якщо знаходиться у відношенні R су іу знаходиться у відношенні R с z, то елементах знаходиться у відношенні R з елементом z.

Коротше: R транзитивно на X xRy та yRz xRz.

Наприклад, відношення «пряма х паралельна прямій», задане на безлічі прямих площин, є транзитивним.

Граф транзитивного відношення має особливість: з кожною парою стрілок, що йдуть від х ку і оту кz, він містить і стрілку, що йде відх кz. Правильне і зворотне твердження.

Зауважимо, що є відносини, які мають властивістю транзитивності. Наприклад, ставлення "стояти поруч на полиці" не транзитивне.

Відношення еквівалентності

Нехай Х – безліч людей. На цій множині поставимо бінарне ставлення R за допомогою закону: aRb, якщо а і b народилися в той самий рік.

Легко переконатися в тому, що відношення R має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності. Кажуть, що ставлення R – відношення еквівалентності.

Визначення 1. Бінарне відношення R на множині X називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне та транзитивне.

Знову повернемося до відношення R, заданого на безлічі людей законом: aRb, якщо а і b народилися в один і той самий рік.

Разом з кожною людиною розглянемо безліч людей, які народилися в один рік. Два множиниК а іК b або не мають загальних елементів, або збігаються повністю.

Сукупність множин Ка являє собою розбиття безлічі всіх людей на класи, оскільки з її побудови випливає, що виконуються дві умови: кожна людина входить в якийсь клас і кожна людина входить тільки в один клас. Зауважимо, що кожен клас складається з людей, що народилися в один рік.

Таким чином, відношення еквівалентності R породжує розбиття множини X на класи (класи еквівалентності). Правильне і зворотне.

Теорема. Кожному відношенню еквівалентності на множині X відповідає розбиття множини X на класи (класи еквівалентності). Кожному розбиттю множин відповідає відповідність еквівалентності на множиніX.

Цю теорему приймемо без підтвердження.

З теореми випливає, що кожен клас, отриманий в результаті розбиття множини на класи, визначається будь-яким (одним) своїм представником, що дає можливість замість вивчення всіх елементів даної множини вивчати лише сукупність окремих представників кожного класу.

Відношення порядку

Відносинами порядку ми постійно користуємось у повсякденному житті. Визначення 1. Будь-яке антисиметричне та транзитивне відношення R на

деякій множині X називається ставленням порядку.

Безліч X, на якому встановлено ставлення порядку, називається впорядкованим.

Візьмемо безліч Х = (2, 4, 10, 24). Його впорядковує відношення «х більшу» (рис. 63).

Розглянемо тепер на ньому інше відношення порядку «х ділить

у» (рис. 64).

Результат розгляду може бути дивним. Відносини «x більшy» і «х деліту» впорядковують безліч X по-різному. Ставлення «х більшу» дозволяє порівнювати будь-які два числа з

множини X. Що стосується відношення «х деліту», то воно такою властивістю не має. Так пара чисел 10 та 24 цим ставленням не пов'язана.

Визначення 2. Відношення порядку R на деякій множині X називається ставленням лінійного порядку, якщо воно має наступну властивість: для будь-яких елементів

множини Х або xRy, або у Rx.

Безліч X, на якому задано ставлення лінійного порядку, називається лінійно впорядкованим.

Лінійно впорядковані множини мають ряд властивостей. Нехай а, b, с - елементи множини X, на якому задано відношення лінійного порядку R. Якщо aRb і bRc, то кажуть, що елемент b лежить між елементами a іс .

Лінійно впорядкована множина X називається дискретним, якщо між будь-якими двома його елементами лежить лише кінцева множина елементів.

Якщо для будь-яких двох різних елементів лінійно впорядкованої множини X існує елемент множини, що лежить між ними, то множина X називається щільною.

Поняття відповідності між множинами. Способи задання відповідностей

Нехай задані двома множинами X і Y. Якщо для кожного елемента X вказаний елемент Y, з яким зіставляється, то кажуть, що між множинами X і Y встановлено відповідність.

Інакше кажучи, відповідністю між елементами множин X і Y називається будь-яке підмножина декартового твору X і Y цих множин: G X Y .

Оскільки відповідність - це безліч, то його можна задати тими самими способами, що і будь-яка безліч: перерахування всіх пар (х, у), де

Коли множини X і Y кінцеві, то відповідність між елементами можна задати таблицею, де в лівому стовпці записують елементи множини X, а у верхньому рядку - елементи множини Y. Пари елементів, що знаходяться у відповідності з G, будуть знаходитися на перетині відповідних стовпців та рядків.

Відповідність між двома кінцевими множинами можна показати і за допомогою графа. Множини X і Y показують овалами, елементи множин X і Y позначають точками, а стрілками з'єднують відповідні елементи так, що якщо має місце (x, у) G, то стрілку проводять з крапок в точку.

Наприклад, граф, зображений на рис. 16, задає відповідність «Письменник х написав твір».

Коли множин і Y числові, то можна побудувати графік відповідності G на координатній площині.

Відповідність, протилежна цьому. Взаємно однозначні відповідності

Нехай R - відповідність «Число в п'ять разів менше числа у» між елементами множин X = (1, 2, 4, 5, 6) і

Y = (10, 5, 20, 13, 25).

Граф цієї відповідності буде таким, як на рис. 23. Якщо змінити напрямок стрілок цього графа на

зворотне, то отримаємо граф (рис. 22) нової відповідності «Число у вп'ятеро більше числа х», що розглядається

між множинами Y і X.

Ця відповідність називається відповідністю, зворотною

координатних кутів

Уявимо ситуацію: у залі для глядачів на кожному місці сидить глядач і для кожного глядача знайшлося місце. У цьому випадку кажуть, що між безліччю

місць у залі для глядачів і безліччю глядачів встановлено взаємно однозначну відповідність.

Визначення. Нехай дані дві множини X і Y. Відповідність між елементами множин X і Y, при якому кожному елементу множини X відповідає єдиний елемент множини У, і кожен елемент множини Y відповідає тільки одному елементу з множини X, називається взаємно однозначним.

Розглянемо приклади взаємно однозначних відповідностей. Приклад 1. У кожній школі кожному класу

відповідає класний журнал. Ця відповідність є взаємно однозначною.

Приклад 2. Дано трикутник ABC (рис. 25). А 1 С 1 середня лінія трикутника. Нехай Х - безліч точок на відрізку А 1 З 1 Y - безліч точок на АС.

Довільну точку х відрізка А 1 З 1 з'єднаємо з вершиною трикутника відрізком прямої лінії і

продовжимо його до перетину з АС у точці. Поставимо у відповідність точках точку, побудовану таким чином. При цьому між множинами X і Y буде встановлено взаємно однозначну відповідність.

Визначення. Множини X і Y називаються еквівалентними, або рівносильними, якщо між ними у будь-який спосіб можна встановити взаємно однозначну відповідність. Еквівалентність двох множин позначається так: Х ~ Y.

Поняття потужності є узагальненням поняття кількості. Це поширення поняття кількості на нескінченні множини.

Тіснота зв'язку елементів у системі визначається фізичними, а точніше, природними відносинами з-поміж них, чи іншими основними властивостями системи, наприклад, економічними, соціальними, що характеризують розвиток людського суспільства.

Глибина таких зв'язків залежить від рівня системи в ієрархії систем, що належать до предметної галузі існування складного об'єкта, що вивчається. До зв'язків відносяться як загальні відносини між складовими систему елементами природи та суспільства, так і приватні, що стосуються певного обмеженого кола її елементів. У зв'язку зі сказаним ці зв'язки називаються або загальними законамиприроди (фундаментальними),або приватними, що належать до обмеженого набору явищ (Емпіричними законами)або до тенденцій, що виявляються у вигляді якихось повторень у масових явищах та іменованих закономірностями.

Фундаментальні зв'язки називаються законами. Закон - це філософська категорія, що має властивості загальності по відношенню до всіх природних предметів, явищ, подій. У зв'язку з цим визначення закону звучить так: закон – це суттєве, стійке, повторюване ставлення між будь-якими явищами.

Закон виражає певний зв'язок між самими системами, складовими елементами об'єднань предметів та явищ, а також усередині самих предметів та явищ.

Не всякий зв'язок є законом. Вона може бути необхідною та випадковою, Закон – необхідний зв'язок. Він висловлює істотний зв'язок між співіснуючими у просторі речами (матеріальними утвореннями, у сенсі).

Все, що сказано вище, відноситься до законам функціонування(існування природного середовища або штучно створеного людиною). Існують і закони розвитку, що виражають тенденцію, спрямованість чи порядок прямування подій у часі. Усі природні закони - нерукотворні, вони у світі об'єктивно і висловлюють відносини речей, і навіть відбиваються у свідомості людини.

Як мовилося раніше, закони діляться за рівнем спільності. Загальними законами є філософські закони. Фундаментальні закони природи за своєю спільнотою теж поділяються на два великі класи. Найбільш загальні, досліджувані поруч, або навіть абсолютним безліччю наук (до них ставляться, наприклад, закони збереження енергії та інформації та інших.). І менш загальні закони, що поширюються на обмежені галузі, що вивчаються конкретними науками (фізикою, хімією, біологією).

Емпіричні закони вивчаються приватними науками, до яких належать усі технічні науки. Як приклад можна взяти таку дисципліну, як опір матеріалів. В ній вивчаються предмети і системи, в яких діють всі фундаментальні закони та закони емпіричні, засновані на досвідчених даних, що відносять до предметів дисципліни тільки ті механічні тіла, які підпорядковуються закону Гука: деформація тіла прямо пропорційна силі, що діє на тіло (і навпаки).

У технічних науках є розділи, що ґрунтуються на більш приватних емпіричних зв'язках, прийнятих як аксіом.

Одні закони виражають сувору кількісну залежність і фіксуються математичними формулами, інші поки що не піддаються формалізації, вказуючи обов'язковість одного виду події з допомогою появи іншого, наприклад.

Одні закони - детерміновані,тобто встановлюють на підставі причинно-наслідкових зв'язків точні кількісні співвідношення, інші - статистичні, що встановлюють ймовірність появи будь-якої події за певних умов.

У природі закони діють як стихійна сила. Однак, знаючи закони, їх можна використовувати цілеспрямовано у практичній діяльності (як силу тиску пари в парових машинах, як силу стисненого газу в двигунах внутрішнього згоряння).

Суспільно – історичні закони мало чим від законів природи, але діють вони між мислячими людьми. Пізнання цих законів сприяє кращій організації економіки та суспільства.

Таким чином, вивчення законів природи та суспільства є найпершим завданням людства. Тільки знання законів і розробка заходів щодо правильного їх використання може забезпечити людство, що розвивається і зростає за чисельністю продуктами харчування і середовищем штучно створених умов, в якому може воно існувати.

Швидкість вирішення нових завдань залежить від того, який запас наукових знань люди накопичили на даний момент і як його опрацювали, осмислили. Осмислення наукових знань призводить до формулювання наукової проблеми, Вирішення якої може призвести до завершення теорії з цього кола питань і використання суворіших висновків у практичних справах. Наукова проблема– як філософська категорія в описаному плані, а й практична, від якої залежить як теоретична наука, і її практичне втілення у життя людей.

З цієї роз'яснювальної частини значущості наукової проблеми для завершеності теорії випливає і її визначення: наукова проблема – це суперечлива ситуація, яка виступає у вигляді протилежних позицій у поясненні якихось явищ, об'єктів, процесів і потребує адекватної єдиної теорії для її вирішення.

Важливою передумовою її успішного рішення є її правильна постановка. Побачити протиріччя в емпіричних знаннях, звернути на них увагу і поставити питання про усунення цієї суперечності, отже, започаткувати вирішення наукової проблеми і просування науки в бік прогресу. Недарма, у науці людей, здатних формулювати проблеми, шанують навіть більше дослідників, які безпосередньо вирішили сформульовану проблему. Формулювання невірних проблем призводить до великого застою у науці.

З категорією «наукова проблема» безпосередньо пов'язана і категорія "Гіпотеза".Гіпотези насамперед використовують для теоретичного усунення протиріч наукової проблеми. Такі гіпотези (припущення) у разі успіху перетворюються навіть на фундаментальні теорії (припущення Ньютона про силу тяжіння між двома фізичними тілами).

Гіпотези використовуються і в технічних науках, де вони мають приватний характер і представляють опис способу взаємодії факторів, що визначають поведінку об'єкта, що вивчається, його елементів. У такому разі гіпотеза називається робочою гіпотезою, яка, як у науковій проблемі, може бути доведена чи відкинута з урахуванням досвідчених даних.

Тому гіпотеза - це припущення про ймовірну (можливу) закономірність зміни явища, об'єкта, події, яке не доведено, але здається ймовірним.

Корисність гіпотези полягає в тому, що вона мобілізує дослідників формулювати завдання дослідних робіт з метою доказу вірності висловленої гіпотези. І якщо виходить інший результат, то накопичений матеріал дозволить відкоригувати гіпотезу та спланувати подальшу науково-дослідну роботу.

У більш загальному формулюванні моделювання як метод методології науки полягає в переході від неформально змістовних уявлень про об'єкт, що вивчається, до використання математичних моделей.

Теоретичний рівень моделей, отриманих з урахуванням аксіом, правил виведення теорем, правил відповідності підвищується надалі з урахуванням гипотико - дедуктивних положень з формулюванням наслідків, отриманих аналізом висунутих гіпотез. Математичний апарат, використовуваний у своїй, - це лише засіб отримання нового знання і не кінцева мета методологічного аналізу.

За складанням математичної моделі слід її використання, метою якого є отримання інформації, яка була до її створення, тобто. отримана модель має бути евристичною. Саме ця дія перетворює методологію на експериментальну науку, що допускає верифікацію її висновків на практиці.

Модель та її властивості.

Формалізація існуючих знань про досліджувану систему (упорядником моделі) створює модель, щоб отримати потрібні властивості системи: несуперечність; повноту; незалежність системи аксіом; змістовність. Хорошим прикладом виконання цих властивостей є теорії неевклідових геометрій Лобачевського, Гауса, Больяї у 19 столітті. Італієць Бельтрамі показав, що є реальні тіла, на поверхні яких виконуються закони геометрії Лобачевського.

На зорі теоретичного осмислення знань людства розвиток теорій завжди йшло від окремих випадків до загального. Нині виникли методики моделювання об'єктів вже з урахуванням структурування математичної моделі. Ланцюжок розвитку такого знання йде у зворотному порядку. Спочатку з'являється аксіоматичний математичний опис досліджуваної події (об'єкта), а вже на його основі формулюється концептуальна модель – парадигма. Разом з цим змінюються принципи відповідності природних процесів і теоретичних схем (моделей). Замість простого збігу результатів рахунку за моделлю з експериментальними даними дослідів розглядаються порівняльні характеристики їх математичних алгоритмів досягнення результатів за іншими (непрямими) параметрами. До таких принципів належать, наприклад, принципи простоти та краси наукових теорій. У цьому модель у разі вводиться з новим математичним апаратом разом із інтерпретацією, тобто. вихідним у ній є математичний формалізм, здатний мовою математики пояснити деяку сутність, що у досвіді. Саме цей крок ускладнює емпіричну перевірку, оскільки досвідом має перевірятися як рівняння описи, а й його інтерпретація.

Введений математичний апарат у разі містить неконструктивні елементи, здатні надалі призвести до неузгодженості теорії з досвідом. Слід зазначити, що у цьому полягає якраз специфіка сучасного наукового дослідження. З іншого боку, ця особливість сучасного наукового дослідження загрожує можливістю відкинути запропонований перспективний апарат. Щоб цього не сталося, потрібно окремо зайнятися цією стороною справи - ліквідацією проблем з урахуванням експерименту (прикладом може бути квантова фізика і електродинаміка).

Стара система класичної фізики інтерпретації наукових фактів перетворилася при цьому на покрокове «створення» наближеної математично сформованої теорії реального процесу до вихідної моделі. Виникає питання, що штовхає дослідників до такого алгоритму дій, тобто. які ж позиви до такого способу формування теоретичної картини? На це методологія науки дає цілком певну відповідь: самоцінність істини; цінність новизни.

Досягається сказане використанням наступних принципів дослідження: а) заборона на плагіат; б) допустимість критичного перегляду основ наукового пошуку; в) рівність всіх (геніїв у тому числі) перед істиною; г) заборона на фальсифікацію та підтасовування

Приклад цього у зв'язці Ейнштейн - Лоренц. Перший за існуючим тоді негласним рейтингом був на той час менш авторитетним, але його елементи теорії відносності перетворилися на фундаментальну теорію. .

Незважаючи на численність робіт з математичного моделювання, виявилася деяка складність у формулюванні точного поняття математичного моделювання. Занадто різноманітні вони (моделі) та їх зміст. В цілому ясно, що від моделі потрібно щось більше, ніж зіставлення з реальною дійсністю: модель обов'язково повинна давати інформацію про властивості об'єктів, що моделюються, і явищ. Тому прийнятним визначенням моделі має бути визначення, яке не включає приватних невизначеностей. Наприклад: моделлю даного об'єкта називається інший об'єкт, який зіставляється вихідному, моделюється і певні властивості якого заданим чином відображають (зберігають) обрані властивості об'єкта.

Модель повинна відображати все відоме (іноді деякі відомі характеристики) про об'єкт і передбачати чи формувати нову інформацію про нього в будь-яких нових умовах існування. Мета моделювання, таким чином, - функція подання (опису) у разі пояснення явищ, що розглядаються моделлю. Саме в цьому випадку модель виступає як теорія. І, незважаючи на це, різке протиставлення математичної (формальної) та змістовної сторін моделі в цілому неспроможне. Враховуючи специфічну сторону формування моделі можна резюмувати, що математика при цьому постає як найважливіший засіб вироблення змістовних уявлень про явище, що вивчається, протягом усього дослідження.

Концепція відповідності. Способи задання відповідностей

Спочатку алгеброю називали вчення про розв'язання рівнянь. За багато століть свого розвитку алгебра перетворилася на науку, яка вивчає операції та відносини на різних множинах. Тому не випадково вже в початковій школі діти знайомляться з такими алгебраїчними поняттями, як вираз (числове та зі змінними), числова рівність, числова нерівність, рівняння. Вони вивчають різні властивості арифметичних процесів над числами, які дозволяють раціонально виконувати обчислення. І, звичайно, у початковому курсі математики відбувається їхнє знайомство з різними залежностями, відносинами, але щоб використовувати їх з метою розвитку мисленнєвої діяльності дітей, вчитель повинен опанувати деякими загальними поняттями сучасної алгебри - поняттям відповідності, відносини, алгебраїчної операції та ін. засвоюючи математичну мову, що використовується в алгебрі, вчитель зможе глибше зрозуміти сутність математичного моделювання реальних явищ та процесів.

Вивчаючи навколишній світ, математика розглядає як його об'єкти, а й переважно зв'язок між ними. Ці зв'язки називають залежностями, відповідністю, відносинами, функціями. Наприклад, при обчисленні довжин предметів встановлюються відповідності між предметами та числами, які є значеннями їх довжин; при вирішенні завдань на рух встановлюється залежність між пройденою відстанню та часом, якщо швидкість руху постійна.

Конкретні залежності, відповідності, відносини між об'єктами математики вивчалися з її виникнення. Але питання про те, що загальне мають різні відповідності, яка сутність будь-якої відповідності, було поставлено в кінці XIX - початку XX століття, і відповідь на нього була знайдена в рамках теорії множин.

У початковому курсі математики вивчаються різні взаємозв'язки між елементами одного, двох та більше множин. Тому вчителю треба розуміти їхню суть, що допоможе йому забезпечити єдність у методиці вивчення цих взаємозв'язків.

Розглянемо три приклади відповідностей, вивчених у початковому курсі математики.

У першому випадку ми встановлюємо відповідність між заданими виразами та їх числовими значеннями. У другому з'ясовуємо, скільки відповідає кожної з цих фігур, характеризуючи її площу. У третьому шукаємо число, яке є розв'язком рівняння.

Що спільне мають ці відповідності?

Бачимо, що у всіх випадках ми маємо дві множини: у першому - це безліч із трьох числових виразів і безліч N натуральних чисел (йому належать значення даних виразів), у другому - це безліч із трьох геометричних фігур та безліч N натуральних чисел; у третьому - це безліч із трьох рівнянь та безліч N натуральних чисел.

Виконуючи запропоновані завдання, ми встановлюємо зв'язок між елементами цих множин. Її можна уявити, за допомогою графів (рис. 1).

Можна задати ці відповідності, перерахувавши всі пари елементів, що знаходяться в заданій відповідності:

I. ((у 1, 4), (у 3, 20));

ІІ. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

ІІІ. ((у 1, 4), (у 2, 11), (у 3, 4)).

Отримані множини показують, що будь-яку відповідність між двома множинами X і Y можна розглядати як безліч упорядкованих пар , утворених з їх елементів. Оскільки впорядковані пари - це елементи декартового твори, то приходимо до наступного визначення загального поняття відповідності.

Визначення. Відповідністю між елементами безліч X і Y називається всяке підмножина декартового твору цих множин.

Відповідності прийнято позначати літерами Р, S, T, R та ін Якщо S - відповідність між елементами множин X і Y, то, згідно з визначенням, S Х х Y.

З'ясуємо тепер, як задають відповідності між двома множинами. Оскільки відповідність - це підмножина, його можна ставити як будь-яка безліч, тобто. або перерахувавши всі пари елементів, що у заданій відповідності, або вказавши характеристичне властивість елементів цього підмножини. Так, відповідність між множинами X = (1, 2, 4, 6) та Y = (3, 5) можна задати:

1) за допомогою пропозиції з двома змінними: а< b при условии, что а X, b Y;

2) перерахувавши пари чисел, що належать підмножині декартового твору XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). До цього способу завдання відносять також завдання відповідності за допомогою графа (рис. 2) та графіка (рис. 3)

Мал. 2 Мал. 3

Нерідко, вивчаючи відповідності між елементами множин X і Y, доводиться розглядати і відповідність йому зворотне. Нехай, наприклад,

S - відповідність «більше на 2» між елементами множин

Х = (4,5,8, 10) та Y= (2,3,6). Тоді S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) та його граф буде таким, як на малюнку 4а.

Відповідність, протилежна цьому, - це відповідність «менше на 2». Воно розглядається між елементами множин Y і X, і щоб його уявити, достатньо на графі відношення S напрямок стрілок поміняти на протилежний (рис. 4б). Якщо відповідність «менше на 2» позначити S -1, то S -1 = ((2,4), (3,5), (6,8)).

Умовимося пропозиція «елемент х знаходиться відповідно до елемента у» записувати коротко так: xSy. Запис xSy можна як узагальнення записів конкретних відповідностей: х = 2у; х > 3у+1 та ін.

Скористаємося введеним записом визначення поняття відповідності, зворотного даному.

Визначення. Нехай S - відповідність між елементами множин X і Y. Відповідність S -1 між елементами множин Y і X називається зворотним даному, якщо yS -x тоді і тільки тоді, коли xSy .

Відповідності S та S -1 називають взаємно зворотними. З'ясуємо особливості їхніх графіків.

Побудуємо графік відповідності S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (рис. 5а). При побудові графіка відповідності S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)) ми повинні першу компоненту вибирати з множини Y = (2, 3, 6), а другу - з множини = (4, 5, 8, 10). В результаті графік відповідності S -1 збігається з графіком відповідності S. Щоб розрізняти графіки відповідності S і S -1 ,

домовилися першу компоненту пари відповідності S-1 вважати абсцисою, а другу - ординатою. Наприклад, якщо (5, 3) S, (3, 5) S -1 . Крапки з координатами (5, 3) і (3, 5), а в загальному випадку (х, у) і (у, х) симетричні щодо бісектриси 1-го та 3-го координатних кутів. Отже, графіки взаємно зворотних відповідностей S і S -1 симетричні щодо бісектриси 1-го та 3-го координатних кутів.

Щоб побудувати графік відповідності S -1 досить зобразити на координатній площині точки, симетричні точкам графіка S щодо бісектриси 1-го і 3-го координатних кутів.

1. Ранг матриці

3
5
2
4

2. Алгебраїчне доповнення елемента

А 23 = 12
А 23 = -34
А 23 = 34
А 23 = -12

3. Добуток матриць

- Правильно

4. Якщо всі елементи одного рядка прямокутної матриці А розмірності n x m помножити на два, то ранг матриці А …
збільшиться на 2
не зміниться
збільшиться вдвічі

5. Вірне співвідношення

- Правильно

6. Значення визначника

2
4
5
3

7. Взаємне розташування прямих 4x - 2y - 6 = 0 і 8x - 4y - 2 = 0 на площині - прямі …
паралельні
перетинаються
перпендикулярні
збігаються

8. Нехай х і рішення системи

4
7
5
6

9. Серед наведених нижче рівнянь вказати рівняння еліпса

10. Нехай пряма задана нормальним рівнянням x sinα + y sinα – p = 0. Вірне твердження
Якщо ОА – перпендикуляр, відновлений з початку координат до прямої, то α – кут утворений перпендикуляром ОА з віссю Ох
Якщо ОА – перпендикуляр, відновлено з початку координат до прямої, то α – довжина цього перпендикуляра
р - величина відрізка, що відсікається прямою на осі Ох
α - кут нахилу прямої до позитивного напрямку осі Ох

11. Дана лінійна система

система має безліч рішень
система не має рішень
система має єдине рішення
про наявність рішень нічого сказати не можна (система може мати так і не мати рішення)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y - 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Знайти скалярний добуток векторів

Слово «відповідність» у російській мові вживається досить часто, воно означає співвідношення між чимось, що виражає узгодженість, рівність у будь-якому відношенні (тлумачний словник Ожегова).

У житті часто доводиться чути: «Цей підручник відповідає цій програмі, а цей підручник не відповідає (але може відповідати іншій програмі); це яблуко відповідає найвищому сорту, а це лише першому». Ми говоримо, що цій відповіді на іспиті відповідає оцінка «відмінно», цій – «добре». Ми говоримо, що цій людині відповідає (себто підходить) одяг 46 розміру. Відповідно до інструкції слід чинити так, а не інакше. Спостерігається відповідність між кількістю сонячних днів у році та врожайністю культури.

Якщо спробувати проаналізувати ці приклади, можна помітити, що у всіх випадках мова йде про два класи об'єктів, причому між об'єктами з одного класу встановлюється за певними правилами якийсь зв'язок з об'єктами іншого класу. Наприклад, у разі відповідності одягу певного розміру, один клас об'єктів – це люди, а інший клас об'єктів – це деякі натуральні числа, які відіграють роль розмірів одягу. Правило, яким встановлюється відповідність, можемо поставити, наприклад, з допомогою природного алгоритму – примірки конкретного костюма чи визначення «на око» його придатності.

Ми розглядатимемо відповідності, для яких класи об'єктів, між якими встановлюється відповідність і правило встановлення відповідності, цілком визначені. Численні приклади таких відповідностей вивчалися у школі. Насамперед, це, звичайно, функції. Будь-яка функція є прикладом відповідності. Справді, розглянемо, наприклад, функцію у = х+ 3. Якщо не говориться спеціально про область визначення функції, то вважають, що кожному числовому значенню аргументу хвідповідає числове значення у, що знаходиться за правилом: до хпотрібно додати 3. У цьому випадку відповідність встановлюється між множинами R і R дійсних чисел.

Зауважимо, що встановлення зв'язків між двома множинами Xі Yпов'язано з розглядом пар об'єктів, утворених з елементів множини Xта відповідних елементів множини Y.

Визначення. Відповідністюміж множинами Xі Yназивають всяку непусту підмножину декартового твору X ´ Y.

Безліч Xназивається областю відправленнявідповідності, безліч Y – областю прибуттявідповідності.

Відповідності між множинами прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту, наприклад, R, S, Т. Якщо R- деяка відповідність між множинами Xі Y, то, згідно з визначенням, відповідності, RÍ Х´ Yі R≠ Æ. Раз відповідність між множинами Xі Yє всяке підмножина декартового твору Х ´ Y, тобто. є безліччю впорядкованих пар, то способи завдання відповідності по суті такі самі, як і способи завдання множин. Отже, відповідність Rміж множинами Xі Yможна задати:

а) перерахуванням усіх пар елементів ( х, y) Î R;

б) зазначенням характеристичної властивості, яким володіють усі пари ( х, у) множини Rі не має жодна пара, яка не є його елементом.

Приміри.

1) Відповідність Rміж множинами X= (20, 25) та Y= (4, 5, 6) задано вказівкою характеристичного властивості: « хкратно у»,
х Î Х, у Î Y. Тоді безліч R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Відповідність Rміж множинами X= (2, 4, 6, 8) та

Y= (1, 3, 5) задано безліччю пар R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Якщо R- Відповідність між двома числовими множинами Xі Y, то, зобразивши всі пари чисел, що знаходяться у відповідності Rна координатній площині, отримаємо фігуру, яка називається графіком відповідності R. Назад, будь-яке підмножина точок координатної площини вважають графіком деякої відповідності між числовими множинами Xі Y.

Граф відповідності

Для наочного зображення відповідності між кінцевими множинами крім графіка застосовуються графи. (Від грецького слова "графо" - пишу, порівняйте: графік, телеграф).

Для побудови графа відповідності між множинами Xі Yелементи кожної з множин зображують точками на площині, після проводять стрілки від х Î Хдо у Î Yякщо пара ( х, у) належить цій відповідності. Виходить креслення, що складається з точок та стрілок.

П р і м е р. Відповідність Rміж множинами X= (2, 3, 4, 5) та Y= (4, 9) задано перерахуванням пар R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Так само можна записати 4 R 4, 3R 9. І взагалі, якщо пара
(х, y) Î R, то кажуть, що елементу х Î Хвідповідає елемент у Î Yта записують хRу. Елемент 2 Î Хназивається прообразом елемента
4 Î Yвідповідно Rі позначається 4 R-1 2. Аналогічно можна записати 4 R -1 4, 9R -1 3.