Метод алгебраїчного складання системи. Вирішення систем лінійних рівнянь

Метод алгебраїчної складання

Вирішити систему рівнянь із двома невідомими можна у різний спосіб - графічним методом або методом заміни змінної.

У цьому уроці познайомимося з ще одним способом вирішення систем, який Вам, напевно, сподобається - це спосіб алгебраїчного складання.

А звідки взагалі взялася ідея – щось складати у системах? При вирішенні систем головною проблемою є наявність двох змінних, адже вирішувати рівняння із двома змінними ми не вміємо. Отже, треба якимось законним способом виключити одну з них. І такими законними методами є математичні правила і характеристики.

Одна з таких властивостей така: сума протилежних чисел дорівнює нулю. Значить, якщо при одній зі змінних будуть протилежні коефіцієнти, то їх сума дорівнюватиме нулю і нам вдасться виключити цю змінну з рівняння. Зрозуміло, що складати лише доданки з потрібної нам змінної ми маємо право. Складати треба рівняння цілком, тобто. окремо складають подібні доданки в лівій частині, потім у правій. В результаті ми отримаємо нове рівняння, що містить лише одну змінну. Розгляньмо сказане на конкретних прикладах.

Ми, що у першому рівнянні є змінна у, тоді як у другому протилежне число -у. Отже, це рівняння можна вирішити шляхом додавання.

Одне із рівнянь залишають у тому вигляді, яким воно є. Будь-яке, яке Вам найбільше подобається.

А ось друге рівняння буде отримано додаванням цих двох рівнянь почленно. Тобто. 3х складемо з 2х, у складемо з -у, 8 складемо з 7.

Отримаємо систему рівнянь

Друге рівняння цієї системи є простим рівнянням з однією змінною. З нього знаходимо х = 3. Підставивши знайдене значення перше рівняння, знаходимо у = -1.

Відповідь: (3; - 1).

Зразок оформлення:

Розв'язати методом алгебраїчного складання систему рівнянь

У цій системі немає змінних із протилежними коефіцієнтами. Але ми знаємо, що обидві частини рівняння можна множити на те саме число. Давайте помножимо перше рівняння системи на 2.

Тоді перше рівняння набуде вигляду:

Тепер бачимо, що за змінної х є протилежні коефіцієнти. Отже, зробимо так само, як і в першому прикладі: одне з рівнянь залишимо у незмінному вигляді. Наприклад, 2у + 2х = 10. А друге отримаємо додаванням.

Тепер у нас система рівнянь:

Легко знаходимо з другого рівняння у = 1, та був із першого рівняння х = 4.

Зразок оформлення:

Давайте підіб'ємо підсумки:

Ми навчилися вирішувати системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими методом алгебраїчної складання. Таким чином, нам тепер відомі три основні методи вирішення таких систем: графічний, метод заміни змінної та метод складання. Майже будь-яку систему можна вирішити за допомогою цих методів. У складніших випадках застосовують комбінацію цих прийомів.

Список використаної литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 1, Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. – 10 – е вид., перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 2, Задачник для загальноосвітніх установ/[А.Г. Мордкович та ін.]; за редакцією А.Г. Мордковича - 10-е видання, перероблене - Москва, "Мнемозіна", 2007.
3. Є.Є. Тульчинська, Алгебра 7 клас. Бліц опитування: посібник для учнів загальноосвітніх установ, 4-те видання, виправлене та доповнене, Москва, «Мнемозина», 2008.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичні перевірочні роботи у новій формі для учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича, Москва, "Мнемозина", 2011.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостійні роботи для учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича - 6-е видання, стереотипне, Москва, "Мнемозіна", 2010.

Системою лінійних рівнянь із двома невідомими - це два або кілька лінійних рівнянь, для яких необхідно знайти всі їхні загальні рішення. Ми розглядатимемо системи з двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Загальний вид системи із двох лінійних рівнянь із двома невідомими представлений на малюнку нижче:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Тут х і у невідомі змінні, a1, a2, b1, b2, с1, с2 – деякі речові числа. Рішенням системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими називають пару чисел (x,y) таку, що якщо підставити ці числа до рівняння системи, то кожне із рівнянь системи звертається до правильної рівності. Існує кілька способів розв'язання системи лінійних рівнянь. Розглянемо одне із способів розв'язання системи лінійних рівнянь, саме спосіб складання.

Алгоритм рішення способом додавання

Алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь із двома невідомими способом додавання.

1. Якщо потрібно, шляхом рівносильних перетворень зрівняти коефіцієнти за однієї з невідомих змінних в обох рівняннях.

2. Складаючи або віднімаючи отримані рівняння отримати лінійне рівняння з одним невідомим

3. Вирішити отримане рівняння з одним невідомим та знайти одну із змінних.

4. Підставити отриманий вираз у будь-яке з двох рівнянь системи та розв'язати це рівняння, отримавши, таким чином, другу змінну.

5. Зробити перевірку рішення.

Приклад рішення способом додавання

Для більшої наочності вирішимо способом складання наступну систему лінійних рівнянь з двома невідомими:

(3 * x + 2 * y = 10;
(5 * x + 3 * y = 12;

Оскільки однакових коефіцієнтів немає в жодній із змінних, зрівняємо коефіцієнти у змінної у. Для цього помножимо перше рівняння на три, а друге рівняння на два.

(3 * x + 2 * y = 10 | * 3
(5 * x + 3 * y = 12 | * 2

Отримаємо наступну систему рівнянь:

(9 * x + 6 * y = 30;
(10 * x + 6 * y = 24;

Тепер із другого рівняння віднімаємо перше. Наводимо подібні доданки та вирішуємо отримане лінійне рівняння.

10 * x + 6 * y - (9 * x + 6 * y) = 24-30; x=-6;

Отримане значення підставляємо в перше рівняння з нашої вихідної системи і вирішуємо рівняння, що вийшло.

(3 * (-6) + 2 * y = 10;
(2 * y = 28; y = 14;

Вийшла пара чисел x=6 та y=14. Проводимо перевірку. Робимо підстановку.

(3 * x + 2 * y = 10;
(5 * x + 3 * y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Як бачите, вийшли дві вірні рівністі, отже, ми знайшли правильне рішення.

Цим відео я починаю цикл уроків, присвячених системам рівнянь. Сьогодні ми поговоримо про розв'язання систем лінійних рівнянь методом складання— це один із найпростіших способів, але водночас і один із найефективніших.

Спосіб складання складається з трьох простих кроків:

1. Подивитися на систему та вибрати змінну, у якої в кожному рівнянні стоять однакові (або протилежні) коефіцієнти;
2. Виконати алгебраїчне віднімання (для протилежних чисел - додавання) рівнянь один з одного, після чого навести подібні доданки;
3. Вирішити нове рівняння, що вийшло після другого кроку.

Якщо все зробити правильно, то на виході ми отримаємо одно-єдине рівняння з однією змінною— вирішити його не важко. Потім залишиться лише підставити знайдений корінь у вихідну систему і отримати остаточну відповідь.

Однак на практиці все не так просто. Причин тому кілька:

• Рішення рівнянь способом додавання передбачає, що у всіх рядках повинні бути присутні змінні з однаковими/протилежними коефіцієнтами. А що робити, якщо ця вимога не виконується?
• Далеко не завжди після складання/віднімання рівнянь вказаним способом ми отримаємо гарну конструкцію, яка легко вирішується. Чи можливо спростити викладки і прискорити обчислення?

Щоб отримати відповідь на ці запитання, а заразом розібратися з кількома додатковими тонкощами, на яких «завалюються» багато учнів, дивіться мій відеоурок:

Цим уроком ми розпочинаємо цикл лекцій, присвячений системам рівнянь. А почнемо ми з найпростіших із них, а саме з тих, що містять два рівняння та дві змінні. Кожна з них буде лінійною.

Системи – це матеріал 7-го класу, але цей урок також буде корисним для старшокласників, які хочуть освіжити свої знання в цій темі.

Взагалі, існує два методи вирішення таких систем:

1. Метод складання;
2. Метод вираження однієї змінної через іншу.

Сьогодні ми займемося першим методом — застосовуватимемо спосіб віднімання і складання. Але для цього потрібно розуміти наступний факт: як тільки у вас є два або більше рівнянь, ви маєте право взяти будь-які два з них і скласти один з одним. Складаються вони почленно, тобто. "ікси" складаються з "іксами" і наводяться подібні, "ігреки" з "ігреками" - знову наводяться подібні, а те, що стоїть праворуч від знака рівності, також складається один з одним, і там теж наводяться подібні.

Результатами подібних махінацій буде нове рівняння, яке, якщо й має коріння, то вони обов'язково будуть серед коренів вихідного рівняння. Тому наше завдання — зробити віднімання чи додавання таким чином, щоб або $x$, або $y$ зник.

Як цього добитися та яким інструментом для цього користуватися — про це ми зараз і поговоримо.

Вирішення легких завдань із застосуванням способу складання

Отже, вчимося застосовувати метод додавання на прикладі двох найпростіших виразів.

Завдання №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\end(align) \right.\]

Зауважимо, що $y$ коефіцієнт у першому рівнянні $-4$, а другому — $+4$. Вони взаємно протилежні, тому логічно припустити, що якщо ми їх складемо, то в отриманій сумі «Ігреки» взаємно знищаться. Складаємо та отримуємо:

Вирішуємо найпростішу конструкцію:

Чудово ми знайшли «ікс». Що тепер із ним робити? Ми маємо право підставити його на будь-яке з рівнянь. Підставимо у перше:

\ -4y = 12 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

Відповідь: $ \ left (2; -3 \ right) $.

Завдання № 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\end(align) \right.\]

Тут цілком аналогічна ситуація, лише з «іксами». Складемо їх:

Ми отримали найпростіше лінійне рівняння, давайте вирішимо його:

Тепер давайте знайдемо $x$:

Відповідь: $ \ left (-3; 3 \ right) $.

Важливі моменти

Отже, щойно ми вирішили дві найпростіші системи лінійних рівнянь шляхом складання. Ще раз ключові моменти:

1. Якщо є протилежні коефіцієнти при одній зі змінних, необхідно скласти всі змінні в рівнянні. І тут одна з них знищиться.
2. Знайдену змінну підставляємо у будь-яке із рівнянь системи, щоб знайти другу.
3. Остаточний запис відповіді можна по-різному. Наприклад, так $x=...,y=...$, або у вигляді координати точок - $\left(...;... \right)$. Другий варіант кращий. Головне пам'ятати, що першою координатою йде $x$, а другою $y$.
4. Правило записувати відповідь у вигляді координат точки застосовується не завжди. Наприклад, його не можна використовувати, коли ролі змінних виступають не $x$ і $y$, а, наприклад, $a$ і $b$.

У наступних завданнях ми розглянемо прийом віднімання, коли коефіцієнти не протилежні.

Вирішення легких завдань із застосуванням методу віднімання

Завдання №1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Зауважимо, що протилежних коефіцієнтів тут немає, проте є однакові. Тому віднімаємо з першого рівняння друге:

Тепер підставляємо значення $x$ у будь-яке рівняння системи. Давайте в перше:

Відповідь: $ \ left (2; 5 \ right) $.

Завдання № 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\end(align) \right.\]

Ми знову бачимо однаковий коефіцієнт $5$ при $x$ у першому та у другому рівнянні. Тому логічно припустити, що потрібно від першого рівняння відняти друге:

Одну змінну ми вирахували. Тепер давайте знайдемо другу, наприклад, підставивши значення $y$ у другу конструкцію:

Відповідь: $ \ left (-3; -2 \ right) $.

Нюанси рішення

Отже, що бачимо? Фактично, схема нічим не відрізняється від вирішення попередніх систем. Відмінність лише в тому, що ми рівняння не складаємо, а віднімаємо. Ми проводимо алгебраїчне віднімання.

Іншими словами, як тільки ви бачите систему, що складається з двох рівнянь із двома невідомими, перше, на що вам необхідно подивитися це на коефіцієнти. Якщо десь однакові, рівняння віднімаються, і якщо вони протилежні — застосовується метод складання. Завжди це робиться для того, щоб одна з них зникла, і в результаті рівняння, що залишилася після віднімання, залишилася б тільки одна змінна.

Зрозуміло, що це ще не все. Зараз ми розглянемо системи, у яких рівняння взагалі не узгоджені. Тобто. немає в них таких змінних, які були або однакові, або протилежні. У цьому випадку для вирішення таких систем застосовується додатковий прийом, а саме домноження кожного рівняння на спеціальний коефіцієнт. Як знайти його та як вирішувати взагалі такі системи, зараз ми про це і поговоримо.

Розв'язання задач методом збільшення на коефіцієнт

Приклад №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Ми бачимо, що ні за $x$, ні за $y$ коефіцієнти не тільки не взаємно протилежні, а й взагалі ніяк не співвідносяться з іншим рівнянням. Ці коефіцієнти ніяк не зникнуть, навіть якщо ми складемо або віднімемо рівняння один з одного. Тому необхідно застосувати домноження. Давайте спробуємо позбутися змінної $y$. Для цього ми домножимо перше рівняння на коефіцієнт при $ y $ з другого рівняння, а друге рівняння – при $ y $ з першого рівняння, при цьому не чіпаючи знак. Примножуємо та отримуємо нову систему:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Дивимося на неї: за $y$ протилежні коефіцієнти. У такій ситуації необхідно застосовувати метод складання. Складемо:

Тепер потрібно знайти $y$. Для цього підставимо $x$ у перший вираз:

\--9y = 18 \ left | :\left(-9 \right) \right.\]

Відповідь: $ \ left (4; -2 \ right) $.

Приклад №2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Знову коефіцієнти за жодної зі змінних не узгоджені. Домножимо на коефіцієнти при $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\end(align) \right.\]

Наша нова система дорівнює попередньої, проте коефіцієнти при $y$ є взаємно протилежними, і тому тут легко застосувати метод складання:

Тепер знайдемо $y$, підставивши $x$ на перше рівняння:

Відповідь: $ \ left (-2; 1 \ right) $.

Нюанси рішення

Ключове правило тут таке: завжди множимо лише на позитивні числа - це позбавить вас дурних і образливих помилок, пов'язаних зі зміною знаків. А взагалі схема рішення досить проста:

1. Дивимося на систему та аналізуємо кожне рівняння.
2. Якщо бачимо, що ні за $y$, ні за $x$ коефіцієнти не узгоджені, тобто. вони не є ні рівними, ні протилежними, то робимо таке: вибираємо змінну, якої потрібно позбутися, а потім дивимося на коефіцієнти при цих рівняннях. Якщо перше рівняння домножимо на коефіцієнт з другого, а друге, відповідне, домножимо на коефіцієнт з першого, то в результаті ми отримаємо систему, яка повністю рівнозначна попередній, і коефіцієнти $y$ будуть узгоджені. Всі наші дії чи перетворення спрямовані лише на те, щоб отримати одну змінну в одному рівнянні.
3. Знаходимо одну змінну.
4. Підставляємо знайдену змінну в одне із двох рівнянь системи та знаходимо другу.
5. Записуємо відповідь у вигляді координати точок, якщо у нас змінні $x$ та $y$.

Але навіть у такому нехитрому алгоритмі є свої тонкощі, наприклад коефіцієнти при $x$ або $y$ можуть бути дробами та іншими «некрасивими» числами. Ці випадки ми зараз розглянемо окремо, тому що в них можна діяти інакше, ніж за стандартним алгоритмом.

Розв'язання задач з дробовими числами

Приклад №1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\end(align) \right.\]

Для початку зауважимо, що у другому рівнянні присутні дроби. Але зауважимо, що можна поділити $4$ на $0,8$. Отримаємо $5$. Давайте друге рівняння домножимо на $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\end(align) \right.\]

Віднімаємо рівняння один з одного:

$n$ ми знайшли, тепер порахуємо $m$:

Відповідь: $ n = -4; m = 5 $

Приклад №2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\end(align ) \right.\]

Тут, як і в попередній системі, присутні дробові коефіцієнти, проте за жодної зі змінних коефіцієнти в ціле число разів один в одного не укладаються. Тому використовуємо стандартний алгоритм. Позбудеться $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\end(align) \right.\]

Застосовуємо метод віднімання:

Давайте знайдемо $p$, підставивши $k$ у другу конструкцію:

Відповідь: $ p = -4; k = - 2 $.

Нюанси рішення

Ось і вся оптимізація. У першому рівнянні ми не стали примножувати взагалі ні на що, а друге рівняння примножили на $5$. У результаті ми отримали узгоджене і навіть однакове рівняння за першої змінної. У другій системі ми діяли за стандартним алгоритмом.

Але як знайти числа, куди необхідно домножувати рівняння? Адже якщо примножувати на дробові числа, ми отримаємо нові дроби. Тому дроби необхідно домножити на число, яке дало б нове ціле число, а вже після цього домножувати змінні на коефіцієнти, дотримуючись стандартного алгоритму.

Насамкінець хотів би звернути вашу увагу на формат запису відповіді. Як я вже й казав, оскільки тут у нас тут не $x$ і $y$, а інші значення ми користуємося нестандартним записом виду:

Розв'язання складних систем рівнянь

Як заключний акорд до сьогоднішнього відеоуроку давайте розглянемо пару справді складних систем. Їхня складність полягатиме в тому, що в них і ліворуч, і праворуч стоятимуть змінні. Тому для їх вирішення нам доведеться застосовувати попередню обробку.

Система №1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right) )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Кожне рівняння несе у собі певну складність. Тому з кожним виразом давайте поступимо як із звичайною лінійною конструкцією.

Разом ми отримаємо остаточну систему, яка дорівнює вихідній:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\end(align) \right.\]

Подивимося на коефіцієнти при $y$: $3$ вкладається в $6$ двічі, тому домножимо перше рівняння на $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\end(align) \right.\]

Коефіцієнти при $y$ тепер рівні, тому віднімаємо з першого рівняння друге: $$

Тепер знайдемо $y$:

Відповідь: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Система №2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Перетворимо перший вираз:

Розбираємось з другим:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Отже, наша початкова система набуде такого вигляду:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\end(align) \right.\]

Подивившись на коефіцієнти при $a$, бачимо, що перше рівняння потрібно примножити на $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\end(align) \right.\]

Віднімаємо з першої конструкції другу:

Тепер знайдемо $a$:

Відповідь: $ \ left (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ right) $.

От і все. Сподіваюся, цей відеоурок допоможе вам розібратися у цій нелегкій темі, а саме у вирішенні систем простих лінійних рівнянь. Далі буде багато уроків, присвячених цій темі: ми розберемо складніші приклади, де змінних буде більше, а самі рівняння вже будуть нелінійними. До нових зустрічей!

За допомогою даної математичної програми ви можете вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома змінними методом підстановки та методом складання.

Програма як дає відповідь завдання, а й наводить докладне рішення з поясненнями кроків рішення двома способами: методом підстановки і методом складання.

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Правила введення рівнянь

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

При введенні рівнянь можна використовувати дужки. У цьому рівняння спочатку спрощуються. Рівняння після спрощень мають бути лінійними, тобто. виду ax+by+c=0 з точністю порядку прямування елементів.
Наприклад: 6x+1 = 5(x+y)+2

У рівняннях можна використовувати як цілі, а й дробові числа як десяткових і звичайних дробів.

Правила введення десяткових дробів.
Ціла і дрібна частина в десяткових дробах може розділятися як точкою так і комою.
Наприклад: 2.1n + 3,5m = 55

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.
Знаменник може бути негативним.
При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &

приклади.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Вирішення систем лінійних рівнянь. Спосіб підстановки

Послідовність дій під час вирішення системи лінійних рівнянь способом підстановки:
1) виражають із якогось рівняння системи одну змінну через іншу;
2) підставляють в інше рівняння системи замість цієї змінної отриманий вираз;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Виразимо з першого рівняння y через x: y = 7-3x. Підставивши у друге рівняння замість y вираз 7-Зx, отримаємо систему:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Неважко показати, що перша і друга системи мають одні й самі рішення. У другій системі друге рівняння містить лише одну змінну. Вирішимо це рівняння:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Підставивши рівність y=7-3x замість x число 1, знайдемо відповідне значення y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1; 4) - рішення системи

Системи рівнянь із двома змінними, що мають одні й ті самі рішення, називаються рівносильними. Системи, які мають рішень, також вважають рівносильними.

Розв'язання систем лінійних рівнянь способом складання

Розглянемо ще один спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь – спосіб складання. При розв'язанні систем цим способом, як і при вирішенні способом підстановки, ми переходимо від даної системи до іншої рівносильної їй системі, в якій одне з рівнянь містить тільки одну змінну.

Послідовність дій під час вирішення системи лінійних рівнянь способом складання:
1) помножують почленно рівняння системи, підбираючи множники так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами;
2) складають почленно ліві та праві частини рівнянь системи;
3) вирішують рівняння, що вийшло, з однією змінною;
4) знаходять відповідне значення другої змінної.

приклад. Розв'яжемо систему рівнянь:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

У рівняннях цієї системи коефіцієнти за y є протилежними числами. Склавши почленно ліві та праві частини рівнянь, отримаємо рівняння з однією змінною 3x=33. Замінимо одне з рівнянь системи, наприклад, перше, рівнянням 3x=33. Отримаємо систему
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

З рівняння 3x=33 знаходимо, що x=11. Підставивши це значення x до рівняння (x-3y = 38) отримаємо рівняння зі змінною y: (11-3y = 38). Вирішимо це рівняння:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким чином ми знайшли рішення системи рівнянь способом додавання: \(x=11; y=-9 \) або \((11; -9) \)

Скориставшись тим, що у рівняннях системи коефіцієнти при y є протилежними числами, ми звели її рішення до вирішення рівносильної системи (підсумувавши обидві частини кожного з рівнянь вихідної симтеми), в якій одне із рівнянь містить лише одну змінну.