Н.Нікітін Геометрія. Навчально-методичний посібник «Техніка виконання геометричних побудов» для виконання графічних робіт
Контури всіх зображень утворені різними лініями. Основними лініями служать пряма, коло та ряд кривих. При кресленні контурів зображень застосовують геометричні побудови та сполучення.
При вивченні дисципліни «Нарисна геометрія та інженерна графіка» студенти повинні засвоїти правила та послідовність виконання геометричних побудов та сполучення.
У цьому плані найкращим способом придбання навичок побудови є завдання з креслення контурів складних деталей.
Перш ніж приступити до виконання контрольного завдання, потрібно вивчити техніку виконання геометричних побудов та сполучення методичного посібника.
1. Розподіл відрізків та кутів
1.1. Розподіл відрізка навпіл
Розділити заданий відрізок АВ навпіл.
З кінців відрізка АВ, як із центрів, проведемо дуги кіл радіусом R, розмір якого має бути дещо більшим, ніж половина відрізка АВ (Рис. 1). Ці дуги перетнуться в точках M і N, знайдемо точку С, в якій перетинаються прямі АВ та MN. Точка З розділить відрізок АВ на дві рівні частини.
Примітка. Усі необхідні побудови повинні і можуть виконуватися лише за допомогою циркуля та лінійки (без поділів).
1.2. Розподіл відрізка на n рівних частин
Розділити заданий відрізок на n рівних частин.
З кінця відрізка – точки А проведемо допоміжний промінь під довільним кутом α.(рис.2 а) На цьому промені відкладемо 4 рівні відрізки довільної довжини (рис.2б). Кінець останнього, четвертого, відрізка (точку 4) з'єднаємо з точкою В. Далі з усіх попередніх точок 1…3 проведемо відрізки, паралельні відрізку В4 до перетину з відрізком АВ у точках1", 2", 3". Отримані таким чином точки розділили відрізок на рівні чотири відрізки
|
|
|
|
1.3. Розподіл кута навпіл
Розділити заданий кут ВАС навпіл.
З вершини кута А довільним радіусом проводимо дугу до перетину зі сторонами кута в точках і С (рис.3 а). Потім з точок В і С проводимо дві дуги радіусом, більшим за половину відстані ВС, до їх перетину в точці D (рис.3 б). З'єднавши точки А і D прямий, отримуємо бісектрису кута, яка ділить заданий кут навпіл (рис.3 в)
а) б) с)
2. Розподіл кола на рівні частини та побудова правильних багатокутників
2.1. Розподіл кола на три рівні частини
З кінця діаметра, наприклад, точки А (рис.4) проводять дугу радіусом R, рівним радіусу заданого кола. Отримують перший і другий поділ - точки 1 і 2. Третій поділ точка 3, знаходиться на протилежному кінці того ж діаметра. З'єднавши точки 1,2,3 хордами, одержують правильний вписаний трикутник.
|
|
|
2.2. Розподіл кола на шість рівних частин
З кінців якогось діаметра, наприклад АВ (рис.5), описують дуги радіусом R кола. Точки А, 1,3,В,4,2 ділять коло на шість рівних частин. З'єднавши їх хордами, одержують правильний вписаний шестикутник.
Примітка. Допоміжні дуги проводити повністю не слід, достатньо зробити засічки на колі.
2.3. Розподіл кола на п'ять рівних частин
- Проводять два взаємно перпендикулярні діаметри АВ і CD (рис.6). Радіус ОС у точці Про 1 ділять навпіл.
- З точки О1, як із центру, проводять дугу радіусом О1А до перетину її з діаметром CD у точці Е.
- Відрізок АЕ дорівнює стороні правильного вписаного п'ятикутника, а відрізок ОЕ – стороні правильного вписаного десятикутника.
- Прийнявши точку А за центр, дугою радіуса R1 = АЕ на колі відзначають точки 1 і 4. З точок 1 і 4, як із центрів, дугами того ж радіуса R1 відзначають точки 3 і 2. Точки А, 1, 2, 3, 4 ділятокружність на п'ять рівних частин.
2.4. Розподіл кола на сім рівних частин
З кінця діаметра, наприклад, точки А проводять дугу радіуса R, що дорівнює радіусу кола (рис.7). Хорда CD дорівнює стороні правильного вписаного трикутника. Половина хорди CD із достатнім наближенням дорівнює боці правильного вписаного семикутника, тобто. ділить коло на сім рівних частин.
Мал. 7
Література
- Боголюбов С.К. Інженерна графіка: Підручник для спеціальних середніх навчальних закладів. - 3-тє вид., Випр. І дод. - М: Машинобудування, 2006. - с.392: іл.
- Купріков М.Ю. Інженерна графіка: підручник для ССНУ – М.: Дрофа, 2010 – 495 с.: іл.
- Федоренко В.А., Шошин О.І. Довідник з машинобудівного креслення Л.: Машинобудування. 1976. 336 с.
Знаючи; що трикутники рівні з двох сторін і куту між ними, ми можемо за допомогою циркуля та лінійки ділити цей відрізок на дві рівні частини.
Якщо, наприклад, потрібно розділити навпіл відрізок А В(чорт. 69), то поміщають вістря циркуля в крапки А я В іописують навколо них, як біля центрів, однаковим радіусом дві дуги, що перетинаються (чорт. 70). Точки їх перетину Зі Dз'єднують пряму, яка і АВнавпіл: АТ= ОВ.
Щоб переконатися, що відрізки АТі ОВповинні бути рівні, з'єднаємо точки Cі Dз кінцями Аі Увідрізка (чорт. 71). Вийдуть два трикутники ACDі BCD, У яких три сторони відповідно рівні: АС= НД; AD = BD; CD –загальна, тобто належить обом трикутникам. Звідси випливає повну рівність зазначених трикутників, отже й рівність всіх кутів. Отже, між іншим, рівні кути ACDі BCD. Порівнюючи тепер трикутники АСОі ВСОбачимо, що у них сторона ОС –загальна, AC = СB, а кут між ними АСО =уг. ВСО. По двох сторонах і кутку між ними трикутники рівні; отже, рівні сторони АТі ОВ, тобто точка Проє середина відрізка АВ.
Як побудувати трикутник по стороні та двом кутам
Розглянемо, нарешті, завдання, розв'язання якого призводить до побудови трикутника з обох боків і двох кутів:
На іншому березі річки (чорт. 72) видно віху A. Потрібно, не переправляючись річкою, дізнатися відстань до неї від віхи Уна цьому березі.
Вчинимо так. Відміряємо від крапки Упо прямій лінії якась відстань НДі в кінці його Уі Звиміряємо кути 1 і 2 (чорт. 73). Якщо тепер на зручній місцевості відміряти відстань DE,рівне НД, і побудувати біля його кінців кути аі b(чорт. 74), рівні кутам 1 і 2, то в точці перетину їх сторін отримаємо третю вершину Fтрикутника DEF.Легко переконатися, що трикутник DEFдорівнює трикутнику АВС; дійсно, якщо уявімо, що трикутник DEFнакладений на ABCтак, що сторона DEзбіглася з рівною їй стороною НД, то уг. азбігається з кутом 1, кут b –з кутом 2, та сторона DFпіде осторонь ВA, а сторона EFзбоку СА.Так як дві прямі можуть перетнутися тільки в одній точці, то і вершина Fповинна збігтися з вершиною A. Отже, відстань DFдорівнює шуканій відстані ВА.
Завдання, як бачимо, має тільки рішення. Взагалі по стороні і двом кутам, прилеглим до цієї сторони, можна побудувати т о л к о д і н трикутник; інших трикутників з такою ж стороною і такими ж двома кутами, що прилягають до неї в тих же місцях, не може бути. Усі трикутники, що мають по одній однаковій стороні та по два однакові кути, прилеглих до неї в тих же місцях, можуть бути накладенням приведені в повний збіг. Отже, це ознака, яким можна встановити повну рівність трикутників.
Разом із раніше встановленими ознаками рівності трикутників, ми знаємо тепер такі три:
Т р е в го л ь н і к і р а в н ы:
п о т р е м з т о р о н а м;
під д в у м с т о р о н а м і у г л у м е д у н і м і;
по с т о р о н е і д в у м у глам.
Ці три випадки рівності трикутників ми будемо надалі позначати заради стислості так:
по трьох сторонах: ССС;
з обох боків і кутку між ними: СУС;
осторонь і двома кутами: УСУ.
Застосування
14. Щоб дізнатися відстань до точки Aна іншому березі річки від точки Уна цьому березі (чорт. 5), відміряють по прямій лінії якусь лінію НД,потім при точці Убудують кут, рівний AВС, по інший бік НД, а при точці З– так само кут, рівний АСВ.Відстань точки Dперетину сторін обох сторін кутів до точки Удорівнює шуканій відстані АВ. Чому?
Розв'язання. Трикутники ABCі ВDСрівні по одній стороні ( НД) та двом кутам (уг. DCB= уг. АСВ; уг. DBC= уг. ABC.) Отже, АВ= ВD,як сторони, що лежать у рівних трикутниках проти рівних кутів.
Паралелограми
Від трикутників перейдемо до чотирикутників, тобто до фігур, обмежених чотирма сторонами. Прикладом чотирикутника може служити квадрат - такий чотирикутник, всі сторони якого рівні, а всі кути-прямі (чорт. 76). Інший вид чотирикутника, що теж часто зустрічається, - пря м о го л ь н і к:
так називається кожен чотирикутник з чотирма прямими кутами (чорт. 77 і 78). Квадрат теж прямокутник, але з рівними сторонами.
Особливість прямокутника (і квадрата) та, що обидві пари його протилежних сторін паралельні. У прямокутнику ABCD,наприклад (чорт. 78), АВпаралельно DC, a ADпаралельно НД.Це випливає з того, що обидві протилежні сторони перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, а ми знаємо, що два перпендикуляри до однієї прямої паралельні між собою (§ 16).
Інша властивість кожного прямокутника те, що його протилежні сторони рівні між собою. У цьому вся можна переконатися, якщо з'єднати протилежні вершини прямокутника прямою лінією, т. е. провести у ньому діагональ. З'єднавши Аз З(чорт. 79) ми отримаємо два трикутники АВСі ADC.Легко показати, що трикутники рівні один одному: сторона АС –загальна, уг. 1 = уг. 2, тому що це перехресні кути при паралельних АВі CDз такої ж причини дорівнюють кути 3 і 4. По стороні ж і двом кутам трикутники ABCі ACDрівні; отже, сторона АВ= боці DС,і сторона AD= боці НД.
Такі чотирикутники, у яких, як у прямокутників, протилежні сторони паралельні, називаються паралело грамами. На біса. 80 зображено приклад паралелограма: АВпаралельно DС,а ADпаралельно BС.Чорт.80
Прямокутник - один із паралелограмів, а саме такий, у якого всі кути прямі. Легко переконатися, що кожен паралелограм має такі властивості:
П р о т і в о п о л о ж н ие ку ти па р а л е л о г р а м а р а в н ы; п р о т і в о п о л о ж н е с т р о н ы
па р а л е л о г р а м а р а в н ы.
Щоб переконатися в цьому, проведемо у паралелограмі ABCD(чорт. 81) пряму ВD(діагональ) і порівняємо трикутники ABDі ВDC.Ці трикутники рівні (випадок УСУ): BD- загальна сторона; уг. 1 = уг. 2, уг. 3 = уг. 4 (чому?). Звідси випливають перелічені раніше властивості.
Паралелограм з чотирма рівними сторонами називається ромбом.
Повторювальні питання
Яка постать називається квадратом? Прямокутником? - Що називається діагоналлю? – Яка постать називається паралелограмом? Ромб? – Вкажіть властивості кутів та сторін будь-якого паралелограма. - Який прямокутник називається квадратом? - Який паралелограм називається прямокутником? – У чому схожість та різниця між квадратом та ромбом.
Застосування
15. Квадрат креслять так: відклавши одну сторону проводять до неї на кінцях перпендикуляри, відкладають на них такі ж довжини і з'єднують кінці прямою лінією (рис. 82). Як переконатися, що четверта сторона, накресленого чотирикутника, дорівнює трьом іншим і що всі кути його прямі?
Рішення. Якщо побудова велася так, що до сторони АВу точках Аі Убули проведені перпендикуляри, на яких відкладено: АС = АВі DВ= AB, то залишається довести, що кути Зі Dпрямі та що CDодно АВ.Для цього проведемо (рис. 83) діагональ AD.Уг. CAD = ADB,як відповідні (за яких паралельних?); АС= DB, а тому трикутники CADі BADрівні (за ознакою СУС).Звідси виводимо, що CD = ABта уг. З =прямому куту У. Як довести, що четвертий кут CDBтеж прямий?
16. Як накреслити прямокутник? Чому накреслена фігура може бути названа прямокутником? (Показати, що всі кути накресленої фігури прямі).
Розв'язання подібно до вирішення попередньої задачі.
17. Доведіть, що обидві діагоналі прямокутника рівні.
Рішення (рис. 84) випливає з рівності трикутників АВСі АВD(за ознакою СУС).
18. Доведіть, що діагоналі паралелограма ділять один одного навпіл.
Рішення. Порівнюючи (чорт. 85) трикутники АВОі DСО,переконуємось, що вони рівні (за ознакою УСУ).Звідси АТ= ОС, 0В= ОD.
19. Довжина загального перпендикуляра між двома паралельними прямими називається відстанню між ними. Доведіть, що відстань між паралельними скрізь однакова.
У к а з а н і е: Яку фігуру утворюють паралельні лінії з двома перпендикулярами між ними?
IV. ВИМІР ПЛОЩЕЙ
Квадратні заходи. Палетка
У фігурах часто доводиться вимірювати не тільки довжин ліній і кути між ними, але і величину тієї ділянки, яку вони охоплюють, - тобто їх площа. У яких заходах вимірюється площа? За міру довжини прийнята певна довжина (метр, сантиметр), за міру кутів – певний кут (1°); заміру ж площ ей прийнято певну площу, а саме, площу квадрата зі стороною в 1 метр, в 1 см і т. д. Такий квадрат називається «квадратним метром», «квадратним сантиметром» і т. д. Виміряти площу, значить дізнатися, скільки в ній квадратних одиниць міри.
Якщо площа, що вимірюється, не велика (вміщується на аркуші паперу), її можна виміряти наступним чином. Прозорий папір розграфлюють на сантиметрові квадрати і накладають на фігуру, що вимірюється. Тоді неважко прямо порахувати, скільки квадратних сантиметрів міститься у межах фігури. При цьому неповні квадрати біля кордону приймають (на око) за півквадрату, за чверть квадрата тощо, або подумки з'єднують їх по кілька в цілі квадрати. Розграфлений так прозорий папір називається польотом. Цим способом часто використовують для вимірювання площ неправильних ділянок на плані.
Але не завжди буває можливо і зручно накладати мережу квадратів на фігуру, що вимірюється. Не можна, наприклад, вимірювати таким чином площу підлоги чи земельної ділянки. У таких випадках, замість прямого вимірювання площі, вдаються до неприємного, що полягає в тому, що вимірюють тільки довжину деяких ліній фігури і роблять над отриманими числами певні дії. Надалі ми покажемо, як це робиться.
Повторювальні питання
У яких заходах визначають площу фігур? - Що таке палетка і як нею користуються?
Площа прямокутника
Нехай потрібно визначити площу якогось прямокутника, наприклад, ABDC(чорт. 86). Вимірюють лінійною одиницею, напр. метром, довжину цієї ділянки. Припустимо, що метр укладається у довжині 5 разів. Розділимо ділянку на поперечні смужки шириною в метр, як показано на рис. 87. Таких смуг вийде, зрозуміло, 5. Далі виміряємо метром ширину ділянки; нехай вона дорівнює 3 метрам. Розділимо ділянку на поздовжні смуги в 1 метр ширини, як показано на рис. 88; їх вийде, звичайно, 3. Кожна з п'яти поперечних смуг розсічеться при цьому на 3 квадратні метри, а вся ділянка буде розділена на 5 3 = 15 квадратів зі стороною в 1 метр: ми дізналися, що ділянка містить у собі 15 кв. метрів. Але ми могли отримати те ж число 15, не розграфляючи ділянки, а лише перемноживши його довжину його ширину. Отже, щоб дізнатися скільки квадратних метрів у прямокутнику, потрібно виміряти його довжину, його ширину і перемножити обидва числа.
У розглянутому випадку одиниця довжини - метр - вкладалася в обох сторонах прямокутника ціле число разів. У докладних підручниках математики доводиться, що встановлене сьогодні правило вірно і тоді, коли сторони прямокутника не містять цілого числа одиниць довжини. У всіх випадках:
П ло ща д ь п я м о в го л ь н і к а р а в н а
п р о й з в е д е н н я й д л е н і н а ш і р і н у,
і л і, як г о во рят у г е о м е т р і, – е г о
«Основування» на його «ви с т у».
Якщо довжина основи прямокутника позначена літерою а, а довжина висоти – буквою b,то площа його Sдорівнює
S = a? b,
або просто S = abтому що знак множення між літерами не ставиться.
Легко збагнути, що з визначення площі до в д р а т а треба помножити довжину його боку себе, т. е. «підняти у квадрат». Іншими словами:
П ло ща д ь к о в д е д е р о в н а к в од д а т у е г о с т о р о н і. Якщо довжина сторони квадрата а,то площа його Sдорівнює
S = a? a = a 2.
Знаючи це, можна встановити співвідношення між різними квадратними одиницями. Наприклад, у квадратному метрі міститься квадратних дециметрів 10×10, тобто 100, а квадратних сантиметрів 100×100, тобто 10 000, – тому що лінійний сантиметр укладається осторонь квадратного дециметра 10 разів, а квадратного метра-10 разів.
Для вимірювання земельних ділянок вживається особлива міра – гектар, що містить 10 000 квадратних метрів. Квадратна ділянка зі стороною 100 метрів має площу 1 гектар; прямокутна ділянка з основою 200 метрів і висотою 150 метрів має площу 200 ч 150, тобто в 30 000 кв. м або 3 гектари. Великі площі – наприклад, округи та райони, – вимірюються
к в а д р а т н і м і к і л о м е т р а м і.
Скорочене позначення квадратних заходів таке:
Квадри. метр………………………………. кв. м або м2
Квадри. дециметр…………………………. кв. дм або дм2
Квадри. сантиметр………………………… кв. см або см2
Квадри. міліметр……………………….. кв. мм або мм2
гектар…………………………………….. га
Повторювальні питання
Як обчислюється площа прямокутника? Квадрати? – Скільки кв. см у кв. м? Скільки кв. мм у кв. м? – Що таке гектар? – Скільки гектарів у кв. км? Як скорочено позначають квадратні заходи?
Застосування
20. Потрібно пофарбувати іол кімнати, зображений на рис. 6. Розміри, позначені в метрах. Скільки знадобиться для цього матеріалів та робочої сили, якщо відомо, що для фарбування одного кв. метра дерев'яних підлог із замазкою щілин і сучків за раніше забарвленим, за два, потрібно (за Урочним Положенням):
Маляров…………………………………….. 0,044
Оліфи, кілограмів…………………….… 0,18
Охри світлої, кг…………………………… 0;099
Замазки, кг…………………………………0,00225
Пемзи, кг………………………………….. 0,0009.
Розв'язання. Площа підлоги дорівнює 8? 12 = 96 кв. м.
Витрата матеріалів та робочої сили такий
Маляров........ 0,044? 96 = 4,2
Оліфи........ 0,18? 96 = 17 кг
Охри ......... 0,099? 96 – 9,9 кг
Замазки........ 0.00225? 96 = 0,22 кг
Пемзи......... 0,0009? 96 = 0,09 кг.
21. Складіть відомість витрати робочої сили та матеріалів для обклеювання шпалерами кімнати попередньо. завдання. На обклеювання стін простими шпалерами з бордюрами потрібно (за Уроч. Положення) на кв. метр:
Малярів або шпалерників………………………… 0,044
Шпалери (шир. 44 см) шматків……………………… 0,264
Бордюр (з розрахунку)
Крохмалю грамів………………………………. 90.
Рішення – за зразком, вказаним у попередній задачі. Зауважимо лише, що при підрахунку необхідної кількості шпалер на практиці отвори стін з їхньої площі не віднімають (оскільки при підгонці фігур у суміжних полотнищах частина шпалер втрачається).
Площа трикутника
Розглянемо спочатку, як обчислюється площа прямого кутового трикутника. Нехай потрібно визначити площу трикутника ABC(чорт. 89), у якому кут У- Прямий. Проведемо через вершини Аі Зпрямі, паралельні протилежним сторонам. Отримаємо (чорт. 90) прямокутник ABCD(чому ця фігура – прямокутник?), що ділиться діагоналлю АСна два рівні трикутники (чому?). Площа цього прямокутника дорівнює ah;площа ж нашого трикутника становить половину площі прямокутника, тобто дорівнює 1/2 ah.Отже, площа будь-якого прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його сторін, що укладають прямий кут.
Нехай тепер потрібно визначити площу трикутника косокутного (тобто прямокутного), – напр. ABC(чорт. 91). Проводимо через одну з його вершин перпендикуляр до протилежної сторони; такий перпендикуляр називається висотою цього трикутника, а сторона, до якої він проведений - основу трикутника. Позначимо висоту через h, а відрізки, на які вона ділить основу, через pі q. Площа прямокутного трикутника ABD,як ми вже знаємо, дорівнює 1/2 ph; площа ВDC = 1/2 qh. Площа Sтрикутника ABCдорівнює сумі цих площ: S = 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 h (р+ q). Але р+ q = а; отже S = 1/2 ah.
Розмір це не можна прямо застосувати до трикутника з тупим кутом (чорт. 92), тому що перпендикуляр CD зустрічає не основу АВ, А його продовження. І тут доводиться міркувати інакше. Позначимо відрізок ADчерез p, BD– через, q, так що основа атрикутника дорівнює p – q. Площа нашого трикутника АВСдорівнює різності площ двох трикутників ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 h (p – q) = 1/2 ah.
Отже, у всіх випадках площа трикутника дорівнює половині добутку будь-якої його основи на відповідну висоту.
Звідси випливає, що трикутники з рівними основами та висотами мають однакові площі, або, як то кажуть,
рів н о в е л і к і.
Рівновеликими взагалі називаються постаті, мають рівні площі, хоча самі фігури були рівні (тобто. не збігалися при накладенні).
Повторювальні питання
Що називається висотою трикутника? Підставою трикутника? – Скільки висот можна провести в одному трикутнику? – Накресліть трикутник із тупим кутом і проведіть у ньому всі висоти. - Як обчислюється площа трикутника? Як виразити це правило формулою? - Які фігури називаються рівновеликими?
Застосування
22. Город має форму трикутника з основою 13,4 м та високою 37,2 м… Скільки (за вагою) потрібно насіння, щоб засадити його капустою, якщо на кв. м йде 0,5 г насіння?
Рішення. Площа городу дорівнює 13,4? 37,2 = 498 кв. м.
Насіння знадобиться 250 г.
23. Паралелограм розбивається діагоналями на 4 трикутні частини. Яка з них має найбільшу площу?
Розв'язання. Всі 4 трикутники рівновеликі, тому що мають рівні основи і висоти.
Площа паралелограма
Правило обчислення площі паралелограма встановлюється дуже просто, якщо розбити його діагоналлю на два трикутники. Наприклад, площа паралелограма ABCD(чорт. 93) дорівнює подвоєної пощади кожного з двох рівних трикутників, на які він розбивається діагоналлю АС.Позначивши основу трикутника ADCчерез а, а висоту через h, отримуємо площу Sпаралелограма
Перпендикуляр hназивається «висотою паралелограма», а сторона а,до якої він проведений, - «підставою паралелограма». Тому встановлене зараз правило можна висловити так:
П ло ща д ь п а р а л е л о г р а м а р а в н а п о і з в е д е н ю ю лю б я б л ь е г о с н о в а н і я н а с от вет в у ю щ ю ю ви с т у.
Повторювальні питання
Що називається основою та висотою паралелограма? Як обчислюється площа паралелограма? – Виразіть це правило формулою. – У скільки разів площа паралелограма більша за площу трикутника, що має однакову з ним основу та висоту? – При рівних висотах та основах яка фігура має велику площу: прямокутник чи паралелограм?
Застосування
24. Квадрат зі стороною 12,4 см рівновеликий паралелограму з висотою 8,8 см. Знайти основу паралелограма.
Розв'язання. Площа цього квадрата, а отже і паралелограма дорівнює 12,42 = 154 кв. см. Шукана основа дорівнює 154: 8,8 = 18 см.
Площа трапеції
Крім паралелограмів, розглянемо ще один вид чотирикутників - саме ті, які мають тільки одну пару паралельних сторін (чорт. 94). Такі фігури називаються трапеціями. Паралельні сторони трапеції називаються її основами, а непаралельні – боками.
Чорт. 94 Чорт. 95
Встановимо правило обчислення погано трапеції. Нехай потрібно обчислити погано трапеції ABCD(чорт. 95), довжина підстав якої aі b. Проведемо діагональ АС,яка розрізає трапецію на два трикутники ACDі ABC. Ми знаємо, що
площ. ACD = 1/2 ah
площ. ABC = 1/2 bh.
площ. ABCD= 1/2 ah+ 1/2 bh= 1/2 (a+ b) h.
Оскільки відстань hміж основами трапеції називається її висотою, то правило обчислення площі трапеції можна висловити так:
Площад ь т р а п е ц і і р а в н а наполовину у м е о с н о в а н і й, у м н о ж о н о й н а висоту.
Повторювальні питання
Яка постать називається трапецією? Що називається підставами трапеції, її боками та висотою? - Як обчислюється площа трапеції?
Застосування
25. Ділянка вулиці має форму трапеції з основами 180 м та 170 м та висотою 8,5 м. Скільки дерев'яних шашок потрібно для його настилання, якщо на кв. м йде 48 шашок?
Розв'язання. Площа ділянки дорівнює 8,5 Ч = (180 + 170) / 2 = 1490 кв. м. Число шашок = 72 000.
26. Схил даху має форму трапеції, основи якої 23,6 м і 19,8 м, а висота 8,2 м. Скільки матеріалу та робочої сили потрібно на його покриття, якщо на кв. м потрібно:
Залізних листів...... 1,23
Цвяхів покрівельних кг.... 0,032
Оліфи кг..........0,036
Покрівельників....... 0,45.
Розв'язання. Площа ската дорівнює 8,2? (23,6 + 19,8) / 2 = 178 кв. м. Залишається помножити на 178 усі числа таблички.
Розподіл відрізка навпіл
Розподіл відрізка навпіл виконується в такий спосіб. На відрізку AB необхідно з точки А відкласти дугу більшу половину цього відрізка. Далі, не змінюючи значення циркуля, з точки У побудуємо засічки, що перетинають нашу дугу. Перетин дуги і засічок утворюють точки E і D, потім проводимо пряму через ці точки, яка і поділить наш відрізок АВ рівно на дві частини. Якщо продовжити розподіл отриманих частин навпіл можна у такий самий спосіб розділити відрізок на 4, 8, 16 тощо, тобто. на число кратне 2.
Доведення:
З'єднаємо точки Е та D з кінцями відрізка AB. За побудовою AD = AE = DB = EB. Тому рівнобедрені трикутники DAE та DBE рівні по трьох сторонах. Звідси випливає рівність кутів ADO і BDO. У рівнобедреному трикутнику ABD, DO-бісектриса, проведена до основи, отже, вона медіана та висота. Звідси AO = OB і точка O - середина відрізка AB.
Розподіл відрізка прямої на пропорційні частини
Існує теорема Фалеса, яка звучить наступним чином: "якщо на одній із двох прямих відкласти послідовно кілька рівних відрізків і через їх кінці провести паралельні прямі, що перетинають другу пряму, то вони відсічуть на другій прямі рівні між собою відрізки". Використовуючи цю теорему ми можемо зробити поділ відрізка прямої на пропорційні частини. Розберемо як виконується цей поділ.
Щоб розділити відрізок АВ у співвідношенні наприклад 3:2 (відраховуючи від точки А), необхідно під довільним кутом з точки А провести допоміжну пряму. Потім на цій прямій відкласти 5 довільних, але рівних між собою відрізків. Далі з'єднати прямий точки і 5 і з точки 3 паралельно прямий В5 провести пряму до перетину її з відрізком АВ, отримана точка перетину D розділить відрізок АВ у співвідношенні 3:2. Ми отримаємо відношення AD:DB = 3:2
Доведення:
Розглянемо трикутники АСВ та AEB. Дані трикутники подібні до двох кутів (?A- загальний, ?ACD=?AEB-відповідні). Отже, відносини сторін трикутників рівні. За побудовою =, отже, і =. Значить, відрізок АВ поділений у заданому відношенні.
Розподіл відрізка у крайньому та середньому відношенні
На малюнку відрізок АТ розділений так, що відношення відрізка АТ до відрізка АК дорівнює відношенню відрізка АК до відрізка КО (АТ: АК = АК: КО). Такий поділ відомий під назвою золотий перетин або золоте відношення. Правило золотого перерізу набуло популярності завдяки своїм застосуванням у живописі та, особливо, в архітектурі, а також виявленню цієї пропорції (і тісно пов'язаних з нею чисел Фібоначчі) у живій природі.
Графічне побудова золотого перерізу виконується так: відрізок АТ ділимо на дві рівні частини (точка З); у точці Про будуємо перпендикуляр до відрізка АТ, на перпендикулярі відкладаємо відрізок ОМ, який дорівнює відрізку ОС; точки А та М з'єднують прямий. Далі на цій прямій від точки М відкладають відрізок MN = ОМ і на відрізку АТ від точки А відкладають відрізок АК з точки N. Точка До і буде результуючою точкою яка ділить відрізок АТ у крайньому та середньому відношенні.
Знання основних геометричних побудов дає можливість правильно та швидко креслити, вибираючи для кожного випадку найбільш раціональні прийоми.
2.1. Розподіл відрізка на рівні частини
Розділити відрізок навпіл можна за допомогою циркуля, збудувавши серединний перпендикуляр (рис. 18, а). Для цього беремо радіус розміром більше половини довжини відрізка і з його кінців по обидва боки проводимо дуги кіл до їхнього взаємного перетину. Через точки перетину дуг проводимо серединний перпендикуляр.
Для поділу на будь-яке число рівних частин використовуємо теорему Фа-
ліси: якщо на одній стороні кута відкласти рівні між собою відрізки і через їх кінці провести паралельні прямі, то з іншого боку кута відкладуться також рівні між собою відрізки (рис. 18, б). Під про-
довільним кутом до відрізка АВ проводимо допоміжний промінь АС, на якому відкладаємо відрізок довільної довжини стільки разів, на скільки частин потрібно розділити даний відрізок. Кінець останнього відрізка з'єднуємо з точкою В і через кінці інших відрізків проводимо прямі, паралельні ВС.
2.2. Розподіл кола на довільне число рівних частин
Уміння ділити коло на рівні частини необхідне побудови правильних багатокутників. Розглянемо спочатку приватні прийоми поділу кола.
Поділ на три частини (рис. 19)
Ставимо ніжку циркуля в один із кінців взаємно перпендикулярних діаметрів кола. Розчином циркуля, рівним радіусу кола, робимо засічки на ньому по обидва боки від кінця діаметра. Отримуємо дві вершини правильного трикутника. Третьою вершиною є протилежний кінець діаметра.
Розподіл на чотири частини (рис. 20)
Два взаємно перпендикулярні діаметри ділять коло на чотири рівні частини. Якщо через центр кола провести прямі під кутом 45? до осей, то вони також розділять коло на чотири рівні частини. Сторони вписаного квадрата будуть паралельні осям кола. Разом ці два квадрати розділили коло на вісім рівних частин.
Розподіл на п'ять частин (рис. 21)
● 1). Розчином циркуля, що дорівнює радіусу, робимо засічку на колі. Отримуємо точку2.
● З точки 2 опускаємо перпендикуляр на той діаметр, з кінця якого було зроблено засічення. Отримуємо точку3.
● Ставимо ніжку циркуля в крапку 3 . Беремо радіус, що дорівнює відстані від точки 3 до кінця вертикального діаметра (точка 4), і проводимо дугу до перетину з горизонтальним діаметром. Отримуємо точку5.
● З'єднуємо точки 4 та 5 . Хорда 4 –5 становитиме 1/5 частину кола.
● Заміряємо циркулем довжину хорди 4 -5 і починаємо відкладати її від одного з кінців діаметра (залежно від того, як має бути орієнтований п'ятикутник щодо осей). Той діаметр, від кінця якого починаємо відкладати відрізок, буде віссю симетрії фігури.
Відрізки рекомендується відкладати з двох сторін. Відрізок, що залишився, повинен виявитися перпендикулярним осі симетрії. Якщо його довжина не дорівнюватиме довжині інших відрізків, то, значить, неточно виконана побудова або неточно виміряна хорда 4 –5 . Слід внести коригування довжини відрізка і повторити розподіл кола ще раз.
Розподіл на шість частин (рис. 22)
Розчином циркуля, рівним радіусу кола, робимо засічки з обох кінців одного і того ж діаметра в обидва боки від них. Отримуємо чотири вершини правильного шестикутника. Двома іншими вершинами є кінці діаметра, з яких зроблено засічки.
Розподіл на сім частин (рис. 23)
● Ставимо ніжку циркуля в один із кінців діаметра (точка 1). Розчином циркуля, що дорівнює радіусу кола, робимо на ньому засічку. Отримуємо точку2.
● З точки 2 опускаємо перпендикуляр на той діаметр, з кінця якого було зроблено засічення. Отримуємо точку3. Відрізок 2 -3 становить 1/7 частина кола.
● Заміряємоциркулемдовжинувідрізка 2 -3 і послідовно відкладаємо його від будь-якого кінця діаметра відразу з двох сторін. Останній відрізок має бути перпендикулярним діаметру, від кінця якого почали відкладати відрізки. Цей діаметр буде осью симетрії вписаного семикутника.
Розподіл на десять частин (рис. 24)
● Ділимо коло на 5 частин, як показано на рис. 21. Отримуємо правильний п'ятикутник.
● З кожної вершини п'ятикутника опускаємо перпендикуляри на протилежні сторони. Всі вони пройдуть через центр кола і розділять бік і дугу, що стягує її, навпіл. Отримаємо ще 5 вершин.
Поділ на дванадцять частин (рис. 25)
Розчином циркуля, що дорівнює радіусу кола, робимо засічки з кінців обох діаметрів по обидва боки від них.
Існує і загальний прийом розподілу кола на будь-яку кількість елементів. Розглянемо його з прикладу побудови правильного дев'ятикутника (рис. 27).
● Проводимо два взаємно перпендикулярні діаметри (горизонтальний та вертикальний).
● Той діаметр, який хочемо зробити віссю симетрії фігури, ділимо на стільки частин, скільки потрібно розділити окружність. На рис. 27 діаметрАВ поділено на 9 частин. Отримані точки розподілу нумеруємо.
● Ставимо ніжку циркуля в крапкуА й радіусом, рівним діаметру кола, проводимо дугу до перетину з продовженням вертикального діаметра. Отримуємо точку С .
● Точку С з'єднуємо через одну з точками розподілу діаметра і продовжуємо до перетину з протилежним дугою кола в точках I, II, III, IV. Якщо однією з вершин дев'ятикутника має бути точка А, то промені проводимо через усі парні поділки діаметра (рис. 27, а). Якщо ж однією з вершин має стати точка, то промені слід проводити через всі непарні поділки діаметра (рис. 27, б).
● Симетрично відображаємо побудовані точки щодо горизонтального діаметра. Отримуємо решту вершин фігури.
2.2.1. Завдання №4. Поділ кола
Мета: вивчити прийоми поділу кола на рівні частини.
На форматі А3 у першому ряду викреслити правильні багатокутники (три-, чотири-, п'яти-, шести-, семи- та дев'ятикутник), вписані в колі діаметром 60 мм. Кола як допоміжні лінії повинні бути тонкими. Багатокутники обвести товстими лініями.
