Знайти площу трикутника по висоті та стороні. По обидва боки і кут

Щоб визначити площу трикутника, можна скористатися різними формулами. З усіх способів найлегший і найчастіше застосовуваний - це множення висоти на довжину основи з наступним розподілом отриманого результату на два. Однак цей метод далеко не єдиний. Нижче ви зможете прочитати, як знайти площу трикутника, використовуючи різні формули.

Окремо ми розглянемо способи обчислення площі специфічних видів трикутника – прямокутного, рівнобедреного та рівностороннього. Кожну формулу ми супроводжуємо коротким поясненням, яке допоможе зрозуміти її суть.

Універсальні способи знаходження площі трикутника

У наведених нижче формулах використовуються спеціальні позначення. Ми розшифруємо кожне з них:

• a, b, c – довжини трьох сторін розглянутої нами фігури;
• r – радіус кола, яке може бути вписано в наш трикутник;
• R – радіус того кола, яке може бути описано навколо нього;
• α - величина кута, утвореного сторонами b та с;
• β - величина кута між a та c;
• γ - величина кута, утвореного сторонами а та b;
• h – висота нашого трикутника, опущена з кута на сторону а;
• p – половина суми сторін a, b та с.

Логічно зрозуміло, чому можна знаходити площу трикутника цим способом. Трикутник легко добудовується до паралелограма, в якому одна сторона трикутника виконуватиме роль діагоналі. Площа паралелограма знаходиться множенням довжини однієї з сторін на значення висоти, проведеної до неї. Діагональ поділяє цей умовний паралелограм на 2 однакові трикутники. Отже, цілком очевидно, що площа нашого вихідного трикутника має дорівнювати половині площі цього допоміжного паралелограма.

S = ½ a · b · sin γ

Відповідно до цієї формули, площа трикутника знаходиться множенням довжин двох сторін, тобто а і b, на синус утвореного ними кута. Ця формула логічно виводиться із попередньої. Якщо опустити висоту з кута β на бік b, то, згідно з властивостями прямокутного трикутника, при множенні довжини сторони на синус кута γ отримуємо висоту трикутника, тобто h.

Площа розглянутої фігури знаходимо шляхом множення половини радіусу кола, яке в нього можна вписати, на його периметр. Іншими словами, знаходимо твір напівпериметра на радіус згаданого кола.

S = a · b · с/4R

Згідно з цією формулою, необхідну нам величину можна знайти шляхом поділу твору сторін фігури на 4 радіуси кола навколо неї описаної.

Ці формули універсальні, оскільки дозволяють визначити площу будь-якого трикутника (різностороннього, рівнобедреного, рівностороннього, прямокутного). Можна це зробити і за допомогою складніших обчислень, на яких ми докладно зупинятися не станемо.

Площі трикутників зі специфічними властивостями

Як знайти площу прямокутного трикутника? Особливістю цієї постаті є те, що дві її сторони одночасно є її висотами. Якщо а і b є катетами, а з стає гіпотенузою, то площу знаходимо так:

Як знайти площу рівнобедреного трикутника? У ньому дві сторони з довжиною і одна сторона з довжиною b. Отже, його площу визначити можна шляхом поділу на 2 твори квадрата сторони, а на синус кута γ.

Як знайти площу рівностороннього трикутника? У ньому довжина всіх сторін дорівнює а, а величина всіх кутів – α. Його висота дорівнює половині добутку довжини сторони на корінь квадратний з 3. Щоб знайти площу правильного трикутника, потрібно квадрат сторони а помножити на корінь квадратний з 3 і розділити на 4.

Трикутник - це одна з найпоширеніших геометричних фігур, з якою ми знайомимося вже у початковій школі. З питанням, як знайти площу трикутника, стикається кожен школяр під час уроків геометрії. Так, які ж особливості знаходження площі цієї фігури можна назвати? У цій статті ми розглянемо основні формули, необхідні виконання такого завдання, і навіть розберемо види трикутників.

Види трикутників

Знайти площу трикутника можна абсолютно різними способами, тому що в геометрії виділяється не один вид фігур, що містять три кути. До таких видів належать:

• Тупокутний.
• Рівносторонній (правильний).
• Прямокутний трикутник.
• Рівностегновий.

Розглянемо докладніше кожен із існуючих типів трикутників.

Така геометрична фігура вважається найбільш поширеною під час вирішення геометричних завдань. Коли виникає необхідність накреслити будь-який трикутник, на допомогу приходить саме цей варіант.

У гострокутному трикутнику, як відомо за назвою, всі кути гострі й у сумі становлять 180°.

Такий трикутник також дуже поширений, проте зустрічається дещо рідше гострокутного. Наприклад, при вирішенні трикутників (тобто відомо кілька його сторін і кутів і потрібно знайти елементи, що залишилися) іноді потрібно визначити, є кут тупим чи ні. Косинус – це негативне число.

У величина одного з кутів перевищує 90°, тому два кути, що залишилися, можуть приймати маленькі значення (наприклад, 15° або зовсім 3°).

Щоб знайти площу трикутника цього типу, необхідно знати деякі нюанси, про які ми поговоримо далі.

Правильний та рівнобедрений трикутники

Правильним багатокутником називається фігура, що включає n кутів, у якої всі сторони і кути рівні. Таким є правильний трикутник. Оскільки сума всіх кутів трикутника становить 180°, кожен із трьох кутів дорівнює 60°.

Правильний трикутник завдяки його властивості також називають рівносторонньою фігурою.

Варто також відзначити, що в правильний трикутник можна вписати лише одне коло і біля нього можна описати лише одне коло, причому їх центри розташовані в одній точці.

Крім рівностороннього типу, можна також виділити рівнобедрений трикутник, який несильно від нього відрізняється. У такому трикутнику дві сторони та два кути рівні між собою, а третя сторона (до якої прилягають рівні кути) є основою.

На малюнку показано рівнобедрений трикутник DEF, кути D і F якого рівні, а DF є основою.

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник названий так тому, що один із його кутів прямий, тобто дорівнює 90°. Інші два кути в сумі становлять 90°.

Найбільша сторона такого трикутника, що лежить проти кута в 90° є гіпотенузою, решта двох його сторін - це катети. Для цього типу трикутників застосовна теорема Піфагора:

Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.

На малюнку зображено прямокутний трикутник BAC з гіпотенузою AC та катетами AB та BC.

Щоб знайти площу трикутника з прямим кутом, потрібно знати числові значення його катетів.

Перейдемо до формул знаходження площі цієї фігури.

Основні формули знаходження площі

У геометрії можна виділити дві формули, які підходять для знаходження площі більшості видів трикутників, а саме для гострокутного, тупокутного, правильного та рівнобедреного трикутників. Розберемо кожну з них.

Збоку та висоті

Дана формула є універсальною для знаходження площі, яку ми розглядаємо фігури. Для цього достатньо знати довжину сторони та довжину проведеної до неї висоти. Сама формула (половина твору основи на висоту) виглядає так:

де A – сторона даного трикутника, а H – висота трикутника.

Наприклад, щоб знайти площу гострокутного трикутника ACB, потрібно помножити його сторону AB на висоту CD і розділити значення, що вийшло, на два.

Однак не завжди буває легко знайти площу трикутника у такий спосіб. Наприклад, щоб скористатися цією формулою для тупокутного трикутника необхідно продовжити одну з його сторін і тільки після цього провести до неї висоту.

Насправді ця формула застосовується частіше за інших.

По обидва боки і кут

Дана формула, як і попередня, підходить для більшості трикутників і за своїм змістом є наслідком формули знаходження площі по стороні і висоті трикутника. Тобто формулу, що розглядається, можна легко вивести з попередньої. Її формулювання виглядає так:

S = ½*sinO*A*B,

де A і B – це сторони трикутника, а O – кут між сторонами A та B.

Нагадаємо, що синус кута можна подивитися у спеціальній таблиці, названій на честь видатного радянського математика В. М. Брадіса.

А тепер перейдемо до інших формул, які підходять лише для виняткових видів трикутників.

Площа прямокутного трикутника

Крім універсальної формули, що включає необхідність проводити висоту в трикутнику, площа трикутника, що містить прямий кут, можна знайти по його катетах.

Так, площа трикутника, що містить прямий кут, - це половина твору його катетів, або:

де a та b - катети прямокутного трикутника.

Правильний трикутник

Даний вид геометричних фігур відрізняється тим, що його площу можна знайти при зазначеній величині лише однієї його сторони (оскільки всі сторони правильного трикутника рівні). Отже, зустрівшись із завданням «знайти площу трикутника, коли сторони рівні», потрібно скористатися такою формулою:

S = A 2 *√3/4,

де A – це сторона рівностороннього трикутника.

Формула Герону

Останній варіант для знаходження площі трикутника – це формула Герона. Для того, щоб нею скористатися, необхідно знати довжини трьох сторін фігури. Формула Герона виглядає так:

S = √p · (p - a) · (p - b) · (p - c),

де a, b і c – це сторони цього трикутника.

Іноді завдання дано: «площа правильного трикутника - знайти довжину його боку». В даному випадку потрібно скористатися вже відомою нам формулою знаходження площі правильного трикутника та вивести з неї значення сторони (або її квадрата):

A 2 = 4S/√3.

Екзаменаційні завдання

У завданнях ДПА з математики зустрічається безліч формул. Крім цього, досить часто необхідно знайти площу трикутника на папері.

В даному випадку найзручніше провести висоту до однієї зі сторін фігури, визначити по клітинах її довжину і скористатися універсальною формулою для знаходження площі:

Отже, після вивчення наведених у статті формул, у вас не виникнуть проблеми при знаходженні площі трикутника будь-якого виду.

Площа трикутника - формули та приклади розв'язання задач

Нижче наведено формули знаходження площі довільного трикутникаякі підійдуть для знаходження площі будь-якого трикутника, незалежно від його властивостей, кутів чи розмірів. Формули представлені у вигляді картинки, тут же наведено пояснення щодо застосування або обґрунтування їх правильності. Також на окремому малюнку вказані відповідності літерних позначень у формулах та графічних позначень на кресленні.

Примітка . Якщо трикутник має особливі властивості (рівностегновий, прямокутний, рівносторонній), можна використовувати формули, наведені нижче, а також додатково спеціальні, вірні тільки для трикутників з даними властивостями, формули:

• Формули площі рівностороннього трикутника

Формули площі трикутника

Пояснення до формул:
a, b, c- Довжини сторін трикутника, площу якого ми хочемо знайти
r- радіус вписаного в трикутник кола
R- радіус описаного навколо трикутника кола
h- Висота трикутника, опущена на бік
p- Напівпериметр трикутника, 1/2 суми його сторін (периметра)
α - Кут, що протилежить стороні a трикутника
β - Кут, що протилежить стороні b трикутника
γ - кут, що протилежить стороні з трикутника
h a, h b , h c- висота трикутника, опущена на бік a, b, c

Зверніть увагу, що наведені позначення відповідають малюнку, що знаходиться вище, щоб при вирішенні реального завдання з геометрії Вам візуально було легше підставити у потрібні місця правильні формули значення.

• Площа трикутника дорівнює половині добутку висоти трикутника на довжину сторони, на яку ця висота опущена(Формула 1). Правильність цієї формули можна зрозуміти логічно. Висота, опущена на основу, розіб'є довільний трикутник на два прямокутні. Якщо добудувати кожен з них до прямокутника з розмірами b і h, то, очевидно, площа цих трикутників дорівнюватиме рівно половині площі прямокутника (Sпр = bh)
• Площа трикутника дорівнює половині твору двох його сторін на синус кута між ними(Формула 2) (див. приклад розв'язання задачі з використанням цієї формули нижче). Незважаючи на те, що вона здається несхожою на попередню, вона легко може бути перетворена в неї. Якщо з кута B опустити висоту на бік b, виявиться, що добуток сторони a на синус кута γ за властивостями синуса в прямокутному трикутнику дорівнює проведеній нами висоті трикутника, що й дасть нам попередню формулу
• Площа довільного трикутника може бути знайдена через твірполовини радіусу вписаного в нього кола на суму довжин усіх його сторін(Формула 3), простіше кажучи, потрібно напівпериметр трикутника помножити на радіус вписаного кола (так легше запам'ятати)
• Площу довільного трикутника можна знайти, розділивши добуток усіх його сторін на 4 радіуси описаного навколо нього кола (Формула 4)
• Формула 5 є знаходження площі трикутника через довжини його сторін і його напівпериметр (половину суми всіх його сторін)
• Формула Герону(6) - це подання тієї ж формули без використання поняття напівпериметра, тільки через довжини сторін
• Площа довільного трикутника дорівнює добутку квадрата сторони трикутника на синуси кутів, що прилягають до цієї сторони, поділеного на подвійний синус протилежного цій стороні кута (Формула 7)
• Площу довільного трикутника можна знайти як добуток двох квадратів описаного навколо нього кола на синуси кожного з його кутів. (Формула 8)
• Якщо відома довжина однієї сторони і величини двох кутів, що прилягають до неї, то площа трикутника може бути знайдена як квадрат цієї сторони, поділений на подвійну суму котангенсів цих кутів (Формула 9)
• Якщо відома лише довжина кожної з висот трикутника (Формула 10), то площа такого трикутника обернено пропорційна довжинам цих висот, як за Формулою Герону
• Формула 11 дозволяє обчислити площа трикутника за координатами його вершинякі задані у вигляді значень (x; y) для кожної з вершин. Зверніть увагу, що значення, що вийшло необхідно взяти по модулю, так як координати окремих (або навіть всіх) вершин можуть знаходитися в області негативних значень

Примітка. Далі наведено приклади розв'язання задач з геометрії на знаходження площі трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, схожої на яку тут немає - пишіть про це у форумі. У рішеннях замість символу " квадратний корінь " може застосовуватися функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.Іноді для простих підкорених виразів можна використовувати символ √

Завдання. Знайти площу по обидва боки та кут між ними

Сторони трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Кут між ними становить 60 градусів. Знайдіть площу трикутника.

Рішення.

Для вирішення цього завдання використовуємо формулу номер два з теоретичної частини уроку.
Площа трикутника може бути знайдена через довжини двох сторін і синус кута між ними і дорівнюватиме
S=1/2 ab sin γ

Оскільки всі необхідні дані для вирішення (згідно з формулою) у нас є, нам залишається лише підставити значення з умови завдання до формули:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

У таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо і підставимо вираз значення синуса 60 градусів. Він дорівнюватиме кореню з трьох на два.
S = 15 √3/2

Відповідь: 7,5 √3 (залежно від вимог викладача, ймовірно, можна залишити і 15 √3/2)

Завдання. Знайти площу рівностороннього трикутника

Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 3см.

Рішення .

Площу трикутника можна знайти за формулою Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Оскільки a = b = c формула площі рівностороннього трикутника набуде вигляду:

S = √3/4*a 2

S = √3/4*3 2

Відповідь: 9 √3 / 4.

Завдання. Зміна площі при зміні довжини сторін

У скільки разів збільшиться площа трикутника, якщо сторони збільшити у 4 рази?

Рішення.

Оскільки розміри сторін трикутника нам невідомі, то для вирішення задачі вважатимемо, що довжини сторін відповідно дорівнюють довільним числам a, b, c. Тоді для того, щоб відповісти на питання задачі, знайдемо площу даного трикутника, а потім знайдемо площу трикутника, сторони якого вчетверо більше. Співвідношення площ цих трикутників дасть нам відповідь завдання.

Далі наведемо текстове пояснення розв'язання задачі кроків. Однак, в самому кінці, це саме рішення наведено в більш зручному для сприйняття графічному вигляді. Охочі можуть відразу опуститися донизу рішення.

Для вирішення використовуємо формулу Герона (див. вище в теоретичній частині уроку). Виглядає вона так:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. перший рядок малюнка внизу)

Довжини сторін довільного трикутника задані змінними a, b, c.
Якщо сторони збільшити в 4 рази, то площа нового трикутника складає:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(Див. другий рядок на малюнку внизу)

Як видно, 4 – загальний множник, який можна винести за дужки з усіх чотирьох виразів за загальними правилами математики.
Тоді

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьому рядку малюнка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертий рядок

З числа 256 чудово витягується квадратний корінь, тому винесемо його з-під кореня.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. п'ятий рядок малюнка внизу)

Щоб відповісти на запитання, задане в задачі, нам достатньо розділити площу трикутника, що вийшов, на площу початкового.
Визначимо співвідношення площ, розділивши вирази один на одного і скоротивши дроб, що вийшов.

Концепція площі

Поняття площі будь-якої геометричної фігури, зокрема трикутника, пов'язуватимемо з такою фігурою, як квадрат. За одиницю площі будь-якої геометричної фігури прийматимемо площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Для повноти згадаємо дві основні властивості для поняття площ геометричних фігур.

Властивість 1:Якщо геометричні постаті рівні, то значення їх площ також дорівнюють.

Властивість 2:Будь-яка фігура може бути розбита на кілька фігур. Причому площа первісної фігури дорівнює сумі значень площ усіх складових її постатей.

Розглянемо приклад.

Приклад 1

Очевидно, що одна із сторін трикутника є діагоналлю прямокутника , у якого одна сторона має довжину $5$ (бо $5$ клітин), а друга $6$ (оскільки $6$ клітин). Отже, площа цього трикутника дорівнюватиме половині такого прямокутника. Площа прямокутника дорівнює

Тоді площа трикутника дорівнює

Відповідь: $15$.

Далі розглянемо кілька методів для знаходження площ трикутників, а саме за допомогою висоти та основи, за допомогою формули Герона та площа рівностороннього трикутника.

Як знайти площу трикутника через висоту та основу

Теорема 1

Площу трикутника можна знайти як половину добутку довжини сторони, на висоту, проведену до цієї сторони.

Математично це виглядає так

$S=\frac(1)(2)αh$

де $a$ – довжина сторони, $h$ – висота, проведена до неї.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC=α$. До цієї сторони проведена висота $BH$, яка дорівнює $h$. Добудуємо його до квадрата $AXYC$ як малюнку 2.

Площа прямокутника $AXBH$ дорівнює $h\cdot AH$, а прямокутника $HBYC$ дорівнює $h\cdot HC$. Тоді

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Отже, потрібна площа трикутника, за якістю 2, дорівнює

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теорему доведено.

Приклад 2

Знайти площу трикутника на малюнку нижче, якщо клітина має площу, рівну одиниці

Основа цього трикутника дорівнює $9$ (бо $9$ становить $9$ клітин). Висота також дорівнює $9$. Тоді, за теоремою 1, отримаємо

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Відповідь: $ 40,5 $.

Формула Герону

Теорема 2

Якщо нам дано три сторони трикутника $α$, $β$ і $γ$, то його площу можна знайти таким чином

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

тут $ρ$ означає півпериметр цього трикутника.

Доведення.

Розглянемо наступний малюнок:

За теоремою Піфагора з трикутника $ABH$ отримаємо

З трикутника $CBH$, за теоремою Піфагора, маємо

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

З цих двох співвідношень отримуємо рівність

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Оскільки $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, отже

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

По теоремі 1, отримаємо

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$