Нечітка множина називається нормальним якщо. Розділ Fuzzy Logic Toolbox

В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков

Нечіткі множини в системах управління

Під редакцією
доктора технічних наук, професора Ю.М. Золотухіна

Передмова. 3

ВСТУП.. 4

1. Нечіткі множини. 5

Приклади запису нечіткої множини. 5

Основні характеристики нечітких множин. 5

Приклади нечітких множин. 6

Про методи побудови функцій приналежності нечітких множин. 7

Операції над нечіткими множинами. 8

Наочне уявлення операцій над нечіткими множинами. 9

Властивості операцій І та Ç. 9

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами. 10

Відстань між нечіткими множинами, індекси нечіткості. 13

Принцип узагальнення. 16

2. Нечіткі відносини. 17

Операції над нечіткими стосунками. 18

Композиція двох нечітких стосунків. 21

Умовні нечіткі підмножини. 23

3. нечітка і лінгвістична змінні. 27

Нечіткі числа. 28

Операції над нечіткими числами. 28

Нечіткі числа (L-R)-типу. 29

4. нечіткі висловлювання і нечіткі моделі систем... 32

Правила перетворень нечітких висловлювань. 33

Способи визначення нечіткої імплікації. 33

Логіко-лінгвістичний опис систем, нечіткі моделі. 35

Модель управління паровим котлом.. 36

Повнота та несуперечність правил управління. 39

Література 40

Передмова

Мабуть, найбільш вражаючою властивістю людського інтелекту є здатність приймати правильні рішення щодо неповної та нечіткої інформації. Побудова моделей наближених міркувань людини та використання в комп'ютерних системах майбутніх поколінь представляє сьогодні одну з найважливіших проблем науки.

Значний поступ у цьому напрямі зроблено 30 років тому професором Каліфорнійського університету (Берклі) Лотфі А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Його робота "Fuzzy Sets", що з'явилася в 1965 році в журналі Information and Control, ╬ 8, заклала основи моделювання інтелектуальної діяльності людини і стала початковим поштовхом до розвитку нової математичної теорії.

Що ж запропонував Заді? По-перше, він розширив класичне канторське поняття безлічі, Допустивши, що характеристична функція (функція приналежності елемента безлічі) може набувати будь-яких значень в інтервалі (0; 1), а не тільки значення 0 або 1. Такі множини були названі їм нечіткими (fuzzy). Л.Заде визначив також низку операцій над нечіткими множинами та запропонував узагальнення відомих методів логічного висновку modus ponens та modus tollens.

Ввівши потім поняття лінгвістичної змінноїі припустивши, що як її значень (термів) виступають нечіткі множини, Л. Заде створив апарат для опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість та невизначеність виразів.

Подальші роботи професора Л.Заде та його послідовників заклали міцний фундамент нової теорії та створили передумови для впровадження методів нечіткого управління в інженерну практику.

В останні 5-7 років почалося використання нових методів та моделей у промисловості. І хоча перші застосування нечітких систем управління відбулися у Європі, найінтенсивніше впроваджуються такі системи у Японії. Спектр додатків їх широкий: від управління процесом відправлення та зупинки поїзда метрополітену, управління вантажними ліфтами та доменною піччю до пральних машин, пилососів та НВЧ-печей. При цьому нечіткі системи дозволяють підвищити якість продукції при зменшенні ресурсів і енерговитрат і забезпечують більш високу стійкість до впливу факторів, що заважають, порівняно з традиційними системами автоматичного управління.

Іншими словами, нові підходи дозволяють розширити сферу застосування систем автоматизації за межі застосування класичної теорії. У цьому плані цікава точка зору Л.Заде: "Я вважаю, що зайве прагнення до точності стало надавати дію, що зводить нанівець теорію управління і теорію систем, оскільки воно призводить до того, що дослідження в цій галузі зосереджуються на тих і лише тих проблеми, які піддаються точному рішенню.В результаті багато класів важливих проблем, в яких дані, цілі та обмеження є надто складними або погано визначеними для того, щоб допустити точний математичний аналіз, залишалися і залишаються осторонь з тієї причини, що вони не піддаються математичній трактування. Для того, щоб сказати щось суттєве для проблем подібного роду, ми повинні відмовитися від наших вимог точності та допустити результати, які є дещо розмитими або невизначеними".

Зміщення центру досліджень нечітких систем у бік практичних додатків призвело до постановки цілої низки таких проблем, як нові архітектури комп'ютерів для нечітких обчислень, елементна база нечітких комп'ютерів і контролерів, інструментальні засоби розробки, інженерні методи розрахунку та розробки нечітких систем управління та багато іншого.

Основна мета запропонованої уваги читачів навчального посібника – привернути увагу студентів, аспірантів та молодих наукових співробітників до нечіткої проблематики та дати доступне введення до однієї з найцікавіших областей сучасної науки.

професор Ю.Н.Золотухін

ВСТУП

Математична теорія нечітких множин, запропонована Л.Задебільше чверті століття тому, дозволяє описувати нечіткі поняття та знання, оперувати цими знаннями та робити нечіткі висновки. Засновані на цій теорії методи побудови комп'ютерних нечітких систем суттєво розширюють сфери застосування комп'ютерів. Останнім часом нечітке управління є однією з найактивніших і найрезультативніших областей досліджень застосування теорії нечітких множин. Нечітке управління виявляється особливо корисним, коли технологічні процеси надто складні для аналізу за допомогою загальноприйнятих кількісних методів, або коли доступні джерела інформації інтерпретуються якісно, ​​неточно або невизначено. Експериментально показано, що нечітке управління дає кращі результати, порівняно з одержуваними за загальноприйнятих алгоритмів управління. Нечіткі методи допомагають керувати домівкою та прокатним станом, автомобілем і поїздом, розпізнавати мову та зображення, проектувати роботів, які мають дотик і зір. Нечітка логіка, на якій засноване нечітке управління, ближче за духом до людського мислення та природних мов, ніж традиційні логічні системи. Нечітка логіка переважно забезпечує ефективні засоби відображення невизначеностей і неточностей реального світу. Наявність математичних засобів відображення нечіткості вихідної інформації дозволяє побудувати модель адекватну реальності.

1. Нечіткі множини

Нехай E- Універсальна безліч, x - Елемент E, а R- деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина Aуніверсальної множини E, елементи якого задовольняють властивості R, визначається як безліч упорядкованих пар A = ( m A ( х)/х } , де

m A ( х) - характеристична функція, Що приймає значення 1 , якщо x задовольняє властивості R,і 0 - в іншому випадку.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тим, що для елементів x з Eнемає однозначної відповіді "та ні"щодо властивості R. У зв'язку з цим, нечітка підмножина Aуніверсальної множини Eвизначається як безліч упорядкованих пар A = ( m A ( х)/х } , де

m A ( х) - характеристична функція власності(або просто функція приналежності), що приймає значення в деякій цілком упорядкованій множині M(наприклад, M =). Функція приладдя вказує ступінь(або рівень) приналежності елемента x підмножиною A. Безліч Mназивають безліччю приладдя. Якщо M = (0,1), то нечітка підмножина Aможе розглядатися як звичайна чи чітка множина.

Нечітка безліч - це безліч пар де x приймає деяке інформативне значення, а m(x) відображає x в одиничний відрізок, приймаючи значення від 0 до 1. При цьому m(x) являє собою ступінь приналежності x до чогось (0 - не належить, 1 - належить на всі 100%).

Так, наприклад, можна задати для числа 7 безліч:

<0/1>,<0.4/3>,<1/7>Це безліч говорить про те, що 7 – це на 0% одиниця, на 40% трійка та на 100% сімка.

Нечітка змінна визначається як .

A - найменування змінної,

X=(x) - область визначення змінної, набір можливих значень x,

Ca=( ) - нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної A (семантику).

Приклад:<"Семь",{1,3,7},{<0/1>,<0.4/3>,<1/7>)>. Цим записом ми визначили відповідність між словом та деякими цифрами. Причому як у назві змінної, так і в значеннях x можна було використовувати будь-які записи, що несуть будь-яку інформацію.

Лінгвістична змінна визначається як .

B – найменування змінної.

T - безліч її значень (базове терм-множина), складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є безліч X.

G - синтаксична процедура (граматика), що дозволяє оперувати елементами терм-множини T, зокрема - генерувати нові осмислені терми. T`=TUG(T) задає розширену терм-множину (U - знак об'єднання).

M - семантична процедура, що дозволяє приписати кожному новому значенню лінгвістичної змінної нечітку семантику, шляхом формування нової нечіткої множини.

Нечітке безліч (або нечітке число), описує деякі поняття в функціональному вигляді, тобто такі поняття як "приблизно рівно 5", "швидкість трохи більше 300 км/год" і т. д., як видно ці поняття неможливо уявити одним числом, хоча в реальності люди дуже часто користуються ними.

Нечітка перемінна це теж саме, що і нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формується поняття описуване цим числом.

Лінгвістична перемінна це безліч нечітких змінних, вона використовується для того щоб дати словесний опис деякому нечіткому числу, отриманому в результаті деяких операцій. Т. е. Шляхом деяких операцій підбирається найближче за значенням з лінгвістичної перемінної.

Хочу дати кілька порад для твоєї проги. Нечіткі числа краще зберігати як відсортований безліч пар (згортається по носіях), за рахунок цього можна прискорити виконання всіх логічних і математичних операцій. Коли реалізуєш арифметичні операції, то потрібно враховувати похибку обчислень, тобто 2/4<>1/2 для комп'ютера, коли я з цим зіткнувся, мені довелося дещо ускладнити порівняння пар, а порівнянь доводиться робити багато. Носії в нечітких числах повинні бути короткими будь-якому числу, інакше результати ариф. операцій буде "некрасивими", т. Е. Результат буде неточним, особливо це видно при множенні.

За рахунок зберігання нечітких чисел у відсортованому вигляді, я домігся того що арифметичні операції у мене виконуються за майже лінійною залежністю (у часі), тобто при збільшенні кількості пари, швидкість обчислень падала лінійно. Я придумав і реалізував точні ариф. операції при яких не має значення кількість і кроткість носіїв, результат завжди буде точним і "гарним", тобто якщо початкові числа були схожі на перевернену параболу, то і результат буде схожим, а при звичайних опекують. Я так само ввів поняття "зворотні нечіткі числа" (хоча не до кінця реалізував), для чого вони потрібні? Як ти знаєш при відніманні або розподілі число з якого віднімається інше повинно бути ширше, а це велика проблема при вирішенні складних рівнянь, ось "зворотні нечіткі числа" дозволяють це робити.

Базові операції над нечіткими множинами.

ОБ'ЄДНАННЯ: створюється нове безліч елементів вихідних множин, причому для однакових елементів належність береться максимальною.

A U B = ( ) Maub(x) = max (Ma(x), Mb(x)) ПЕРЕКЛАД: створюється нова множина з однакових елементів вихідних множин, належність яких береться мінімальною. A П B = ( ) Maпb(x) = min (Ma(x), Mb(x)) ДОДАТОК: інвертується належність кожного елемента. C = ~A = ( ) Mc(x) = 1-Ma(x) СТУПЕНЬ: належність кожного елемента зводиться у ступінь. CON - концентрація, ступінь = 2 (зменшує ступінь нечіткості) DIN - розтягування, ступінь = 1/2 (збільшує ступінь нечіткості) РІЗНІСТЬ: нова множина складається з однакових елементів вихідних множин. A - B = ( ) Ma-b(x) = Ma(x)-Mb(a), якщо Ma(x)>Mb(x) інакше 0 НОСІЙ: складається з елементів вихідної множини, приналежності яких більше нуля. Supp(A) = (x|x?X /\ Ma(x)>0) ПРИМНОЖЕННЯ НА ЧИСЛО: приналежності елементів примножуються на число. q*A = ( ) СУПРЕМУМ: Sup - точна верхня грань (максимальне значення приналежності, що є у множині).

НОРМАЛІЗАЦІЯ: нечітка множина нормально якщо супремум множини дорівнює одиниці. Для нормалізації перечитують приналежність елементів:

M"a(x) = Ma(x)/(Sup Ma(x)) АЛЬФА-ЗРЕЗ: безліч альфа рівня - ті елементи вихідної множини, приналежність яких вище або дорівнює заданому порогу. Поріг, рівний 1/2, називають точкою переходу Aq = (x|x?X /\ Ma(x)>q) нечітке включення: ступінь включення нечіткої множини V(A1,A2) = (Ma1(x0)->Ma2(x0))&(Ma1(x1) ->Ma2(x1))&.. За Лукасевичем: Ma1(x)->Ma2(x) = 1&(1-Ma1(x)+Ma2(x)) По Заду: Ma1(x)->Ma2(x ) = (1-Ma1(x)) \/ Ma2(x) нечітка РІВНІСТЬ: ступінь нечіткої рівності R(A1,A2) = V(A1,A2) & V(A2,A1)

Словник

АДАПТАЦІЯ - Будь-яка зміна у структурі чи функції організму, яка дозволяє йому виживати у зовнішньому середовищі.

АЛЕЛІ - Можливі значення генів.

ГА – генетичний алгоритм. Інтелектуальне дослідження довільного пошуку. . Представлений Holland 1975 року.

ГА МОДЕЛЬ ОСТРОВА (IMGA) - Населення ГА поділено на кілька підсукупностей, кожна з яких безладно ініціалізована і виконує незалежний послідовний ГА на власній підпопуляції. Іноді придатні гілки рішень мігрують між підсукупності. [Наприклад. Levine 1994].

ГЕНИ - Змінні у хромосомі.

ГЕНЕТИЧНИЙ ДРЕЙФ - Члени популяції сходяться до певної позначки простору рішення поза оптимом через накопичення стохастичних помилок.

ГЕНОТИП – фактична структура. Кодована хромосома.

ГП – генетичне програмування. Прикладні програми, що використовують принципи еволюційної адаптації до конструкції процедурного коду.

ДИПЛОЇД - У кожній ділянці хромосоми є пара генів. Це дозволяє зберігатися довгостроковій пам'яті.

КГА – Компактний ГА (CGA). У CGA дві або більше сукупності ген постійно взаємодіють і взаємно розвиваються.

Кросинговер - Обмін відрізками хромосом батьків. У діапазоні від 75 до 95% з'являються найкращі особини.

ЛОКУС - Позиція гена у хромосомі.

МУТАЦІЯ – Довільна модифікація хромосоми.

Синапс - Вхід нейрона.

СХЕМА (Шемма) - Підмножина подібних до хромосом, що містять модель значень гена.

СХОДНІСТЬ - Прогресія до однорідності, що збільшується. Ген, як вважають, сходиться, коли 95% популяції має те саме значення.

УНС - Уніфікована нейронна мережа.

ФІТНЕС-ФУНКЦІЯ - Значення, що є цільовим функціональним значенням рішення. Воно також називається функцією оцінки чи функцією мети у проблемах оптимізації.

Фенотип - Фізичний вираз структури. Декодований набір генів.

ХРОМОСОМА - Складовий вектор, рядок або рішення.

• Д.-Е. Бестенс, В. .М. Ван Ден Берг, Д. Вуд. .Hейронні мережі та фінансові ринки.., Москва, наукове видавництво.ТВП., 1997.
• Галушкін А. І. .Hейрокомп'ютери та їх застосування. Книга 1. Теорія нейронних мереж.. Москва, Видавниче підприємство редакції журналу. Радіотехніка., 2000.
• Тейво Кохонен, Гвідо Дебок. Аналіз фінансових даних за допомогою самоорганізованих карт., Москва, видавничий дім. Альпіна., 2001.
• Ф. Уоссерман. . Hейрокомп'ютерна техніка., Москва, видавництво. Мир., 1992.
• Шумський C. A. .Hейрокомпьютинг та його застосування в економіці та бізнесі., Москва, видавництво МІФІ, 1998.
• А. І. Змітрович Інтелектуальні інформаційні системи. - Мінськ.: ТОВ "Тетра Системс", 1997. - 368с.
• В. В. Корнєєв, А. Ф. Гарєв, С. В. Васютін, В. В. Райх Бази даних. Інтелектуальне опрацювання інформації. - М.: "Hолідж", 2000. - 352с.

Нечітка безліч- Ключове поняття нечіткої логіки. Нехай Е- Універсальна безліч, х- Елемент Е, a R - деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина Ауніверсальної множини Е,елементи якого задовольняють властивості R, визначається як безліч упорядкованих пар

А = (μA(x) / x},

де μ А (х) -Характеристична функція,приймаюча значення 1, якщо хзадовольняє властивості R, і 0 - інакше.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тим, що для елементів хз Енемає однозначної відповіді «так-ні» щодо властивості R. У зв'язку з цим нечітке підмножина Ауніверсальної множини Евизначається як безліч упорядкованих пар

А = (μA(x) / x},

де μ А (х) — характеристична функція власності(або просто функція власності), Що приймає значення в деякому цілком упорядкованому множині М(наприклад, М = ).

Функція приладдя вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента хпідмножиною А.Безліч Мназивають безліччю приладдя. Якщо М= (0, 1), то нечітка підмножина Аможе розглядатися як звичайна чи чітка множина.

Приклади запису нечіткої множини

Нехай Е = {x 1 , x 2 , х з,x 4 , x 5), М = ; А— нечітка множина, для якої μ A ( x 1 )= 0,3; μ A ( х 2)= 0; μ A ( х 3) = 1; μ A (x 4) = 0,5; μ A ( х 5)= 0,9.

Тоді Аможна уявити у вигляді

А ={0,3/x 1 ; 0/х 2 ; 1/х 3 ; 0,5/х 4 ; 0,9/х 5 } ,

або

А={0,3/x 1 +0/х 2 +1/х 3 +0,5/х 4 +0,9/х 5 },

або

Зауваження. Тут знак «+» перестав бути позначенням операції складання, а має сенс об'єднання.

Основні характеристики нечітких множин

Нехай М= і А- нечітка множина з елементами з універсальної множини Еі безліччю приладдя М.

Величина називається заввишкинечіткої множини А.Нечітка безліч А нормально,якщо його висота дорівнює 1, тобто. верхня межа функції приналежності дорівнює 1 (= 1). При< 1нечеткое множество называется субнормальним.

Нечітка безліч порожньо,якщо ∀ xϵ E μ A ( x) = 0. Непусте субнормальне безліч можна нормалізувати за формулою

Нечітка безліч унімодально,якщо μ A ( x) = 1 тільки на одному хз е.

. Носіємнечіткої множини Ає звичайна під-множина з властивістю μ A ( x)>0, тобто. носій А = {x/x ϵ E, μ A ( x)>0}.

Елементи xϵ E, для яких μ A ( x) = 0,5 , називаються точками переходубезлічі А.

Приклади нечітких множин

1. Нехай Е = {0, 1, 2, . . ., 10}, М =. Нечітка безліч«Декілька» можна визначити наступним чином:

"Кілька" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; його характеристики:висота = 1, носій = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки переходу — {3, 8}.

2. Нехай Е = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Нечітку безліч «Малий» можна визначити:

3. Нехай Е= (1, 2, 3, . . ., 100) і відповідає поняттю «Вік», тоді нечітка множина «Молодий» може бути визначена за допомогою

Нечітка безліч «Молодий» на універсальній множині Е"= (ІВАНІВ, ПЕТРІВ, СИДОРІВ,...) задається за допомогою функції приналежності μ Молодий ( x) на Е =(1, 2, 3, . . ., 100) (вік), званої по відношенню до Е"функцією сумісності, при цьому:

де х- Вік СИДОРОВА.

4. Нехай Е= (ЗАПОРІЖЕЦЬ, ЖИГУЛІ, МЕРСЕДЕС,… ) - безліч марок автомобілів, а Е"= - Універсальна безліч «Вартість», тоді на Е"ми можемо визначити нечіткі множини типу:

Мал. 1.1. Приклади функцій приладдя

«Для бідних», «Для середнього класу», «Престижні», з функціями приналежності виду рис. 1.1.

Маючи ці функції та знаючи вартості автомобілів з Ев даний момент часу ми тим самим визначимо на Е"нечіткі множини з цими ж назвами.

Так, наприклад, нечітка множина «Для бідних», задана на універсальній множині Е =(ЗАПОРІЖЕЦЬ, ЖИГУЛІ, МЕРСЕДЕС,...), виглядає так, як показано на рис. 1.2.

Мал. 1.2. Приклад завдання нечіткої множини

Аналогічно можна визначити нечітку множину «Швидкісні», «Середні», «Тихохідні» тощо.

5. Нехай Е- безліч цілих чисел:

Е= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Тоді нечітке підмножина чисел, за абсолютною величиною близьких до нуля, можна визначити, наприклад, так:

А ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Про методи побудови функцій приналежності нечітких множин

У наведених вище прикладах використано пряміспособи, коли експерт чи легко ставить кожному за х ϵ Езначення μ А (х),чи визначає функцію сумісності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, час, відстань, тиск, температура і т.д., або коли виділяються полярні значення.

У багатьох завданнях при характеристиці об'єкта можна виділити набір ознак і кожного з них визначити полярні значення, відповідні значенням функції власності, 0 чи 1.

Наприклад, завдання розпізнавання осіб можна назвати шкали, наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1. Шкали в задачі розпізнавання облич

Для конкретної особиАексперт, виходячи з наведеної шкали, задаєμ A(х) ϵ, формуючи векторну функцію приналежності (μ A(х 1) , μ A(х 2),…, μ A(х 9)}.

При прямих методах використовуються також групові прямі методи, коли, наприклад, групі експертів пред'являють конкретна особа і кожен повинен дати одну з двох відповідей: «ця людина лиса» або «ця людина не лиса», тоді кількість ствердних відповідей, ділена на загальну кількість експертів, що дає значення μ лисий (даної особи). (У цьому прикладі можна діяти через функцію сумісності, але тоді доведеться вважати число волосин на голові у кожного з пред'явлених експерту осіб.)

Непряміметоди визначення значень функції приналежності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей, через які визначається цікава для нас нечітка безліч. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були нам відомі, наприклад, μ A(х-i) = ω i , i= 1, 2, ..., nто попарні порівняння можна представити матрицею відносин А= (a ij), де a ij= ω i/ ω j(Операція поділу).

Насправді експерт сам формує матрицю А, У цьому передбачається, що діагональні елементи рівні 1, а елементів симетричних щодо діагоналі a ij = 1/a ij , тобто. якщо один елемент оцінюється в α раз сильніше, ніж інший, цей останній має бути в 1/α раз сильніше, ніж перший. Загалом завдання зводиться до пошуку вектора ω, що задовольняє рівняння виду Aw= λ max w, де λ max - найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця Апозитивна по побудові, розв'язання цієї задачі існує і є позитивним.

Можна відзначити ще два підходи:

• використання типових формкривих для завдання функцій належності (у формі (L-R)-Типу - див. нижче) з уточненням їх параметрів відповідно до даних експерименту;
• використання відносних частотза даними експерименту як значень приналежності.

Лекція 4. Моделювання та прийняття рішень у ГІС.

1. Нечіткі множини

2. Методи оптимізації

Нечіткі множини

Найбільш разючою властивістю людського інтелекту є здатність приймати правильні рішення в обстановці неповної та нечіткої інформації. Побудова моделей наближених міркувань людини та використання їх у комп'ютерних системах представляє сьогодні одне з важливих завдань розвитку ГІС, особливо застосування їх у різних сферах управління.

Значне просування у цьому напрямі зроблено 30 років тому про- ром Каліфорнійського університету (Берклі) Лотфі А. Заде. Його робота «Fuzzy Sets», що у 1965 р. у журналі Information and Control, №8, заклала основи моделювання інтелектуальної діяльності і стала початковим поштовхом до розвитку нової математичної теорії.

Що ж запропонував Заді? По-перше, він розширив класичне канторівське поняття множини, припустивши, що характеристична функція (функція приналежності елемента множині) може приймати будь-які значення в інтервалі (0,1)), а не як у класичній теорії тільки значення 0 або 1. Такі множини були названі нечіткими (Fuzzy).

Їм було також визначено операції над нечіткими множинами та запропоновано узагальнення відомих методів логічного висновку.

Розглянемо деякі основні положення теорії нечітких множин.

Нехай Е - універсальна множина, х -елемент Е,а До- деяка властивість. Звичайне (чітке) підмножина Ауніверсальної множини Е,елементи якого задовольняють властивості R, визначається як безліч упорядкованих пар , де - характеристична функція, Що приймає значення 1 , якщо хзадовольняє властивості R, і 0 - в іншому випадку.

Нечітка підмножина відрізняється від звичайного тим, що для елементів хз Енемає однозначної відповіді "та ні"щодо властивості R. У зв'язку з цим нечітка підмножина Ауніверсальної множини Евизначається як безліч упорядкованих пар , де - характеристична функція власності(або просто функція приналежності), що приймає значення в деякій цілком упорядкованій множині М(Наприклад, М = ). Функція приладдя вказує ступінь (або рівень) приналежності елемента хпідмножиною А. Безліч Мназивають безліччю приладдя. Якщо М = (0,1), то нечітка підмножина Аможе розглядатися як звичайна чи чітка множина.

Нехай М =і А- нечітка множина з елементами з універсальної множини Еі безліччю приладдя М.

Величина називається заввишкинечіткої множини А. Нечітка безліч А нормальноякщо його висота дорівнює 1 , Т. е. верхня межа його функції приналежності дорівнює 1 ( =1 ). При< 1 нечеткое множест­во называется субнормальным.

Нечітка безліч порожньо, якщо Непорожня субнормальна множина можна нормалізувати за формулою

У наведених вище прикладах використано пряміМетоди, коли експерт або просто задає для кожного значення або визначає функцію сумісності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, час, відстань, тиск, температура і т. д. або коли виділяються полярні значення.

НепряміМетоди визначення значень функції належності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей, через які визначається цікава для нас нечітка множина. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були нам відомі, наприклад, то попарні порівняння можна представити матрицею відносин , де(Операція поділу).

Насправді експерт сам формує матрицю А, у своїй передбачається, що діагональні елементи рівні 1, а елементів, симетричних щодо діагоналі, =1/ , т. е. якщо один елемент оцінюється в раз вище ніж інший, цей останній може бути в 1/ раз сильніше. У загальному випадку завдання зводиться до пошуку вектора, що задовольняє рівняння виду, де найбільше власне значення матриці А.

Введення поняття лінгвістичної змінної, і припущення, що як її значень (термів) виступають нечіткі множини, фактично дозволяє створити апарат опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість та невизначеність виразів.

Оскільки матриця Апозитивно-визначена за побудовою, розв'язання цієї задачі існує при прийнятому значенні () і є позитивним. С(Т), де С(Т) - безліч згенерованих термів, називається розширеною терм-множиною лінгвістичної змінної;

М - семантична процедура, що дозволяє перетворити кожне нове значення лінгвістичної змінної, що утворюється процедурою С, на нечітку змінну, тобто сформувати відповідну нечітку множину.

Ввівши поняття лінгвістичної змінної і припускаючи, що як її значень (термів) виступають нечіткі множини, фактично дозволяє створити апарат опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість та невизначеність виразів.

1.1 Основні терміни та визначення

Поняття нечіткої множини - це спроба математичної формалізації нечіткої інформації для побудови математичних моделей. В основі цього поняття лежить уявлення про те, що складові дана безліч елементи, що володіють загальним властивістю, можуть мати цю властивість у різному ступені і, отже, належати до даної множини з різним ступенем. При такому підході висловлювання типу “якийсь елемент належить даній множині” втрачають сенс, оскільки необхідно вказати “наскільки сильно” або з яким ступенем конкретний елемент задовольняє властивостями цієї множини.

Визначення 1. Нечіткою безліччю (Fuzzy set)на універсальній множині U називається сукупність пар (), де - ступінь приналежності елемента до нечіткої множини. Ступінь приналежності – це число з діапазону. Чим вище ступінь належності, тим більшою мірою елемент універсальної множини відповідає властивостям нечіткої множини.

Визначення 2. Функцією приладдя(Membership function)називається функція, яка дозволяє обчислити ступінь належності довільного елемента універсальної множини до нечіткої множини.

Якщо універсальна множина складається з кінцевої кількості елементів, тоді нечітка множина записується у вигляді. У разі безперервної множини U використовують таке позначення

Примітка: знаки й у формулах означають сукупність пар і u.

Приклад 1. Уявити як нечіткого безлічі поняття “чоловік середнього зростання”.

Рішення: = 0/155+0.1/160+0.3/165+0.8/170+1/175+1/180+0.5/185+0/180.

Визначення 3. Лінгвістичної змінної(Lingustic variable) називається змінна, значеннями якої можуть бути слова або словосполучення деякої природної або штучної мови.

Визначення 4. Терм-множиною (term set)називається безліч всіх можливих значень лінгвістичної змінної.

Визначення 5. Термом (терм)називається будь-який елемент терм-множини. Теоретично нечітких множин терм формалізується нечітким безліччю з допомогою функції власності.

приклад 2. Розглянемо змінну “ швидкість автомобіля”, що оцінюється за шкалою “ низька", "середня", "висока” та “ дуже висока".

У цьому прикладі лінгвістичної змінної є “ швидкість автомобіля”, термами – лінгвістичні оцінки “ низька", "середня", "висока” та “ дуже висока”, які й становлять терм-множина.

Визначення 6. Дефаззифікація (defuzzification)називається процедура перетворення нечіткої множини в чітке число.

Теоретично нечітких множин процедура дефазифікації аналогічна знаходження характеристик становища (математичного очікування, моди, медіани) випадкових величин теоретично ймовірності. Найпростішим способом виконання процедури дефазифікації є вибір чіткого числа, що відповідає максимуму функції належності. Однак придатність цього обмежується лише одноекстремальними функціями власності. Для багатоекстремальних функцій приналежності Fuzzy Logic Toolbox запрограмовані такі методи дефазифікації:

Centroid – центр тяжкості;

Bisector – медіана;

LOM (Largest Of Maximums) – найбільший з максимумів;

SOM (Smallest Of Maximums)- найменший із максимумів;

Mom (Mean Of Maximums)- Центр максимумів.

Визначення 7. Дефаззифікаціянечіткої множини за методом центру важкостіздійснюється за формулою.

Фізичним аналогом цієї формули є знаходження центру тяжкості плоскої фігури, обмеженої осями координат та графіком функції належності нечіткої множини. У разі дискретної універсальної множини дефаззифікація нечіткої множини за методом центру тяжіння здійснюється за формулою.

Визначення 8. Дефаззифікаціянечіткої множини за методом медіаниполягає у знаходженні такого числа a, що .

Геометричною інтерпретацією методу медіани є знаходження такої точки на осі абцис, що перпендикуляр, відновлений у цій точці, ділить площу під кривою функції приналежності на дві рівні частини. У разі дискретної універсальної множини дефаззифікація нечіткої множини за методом медіани здійснюється за формулою.

Визначення 9. Дефаззифікаціянечіткої множини за методом центру максимумівздійснюється за формулою:

де G - безліч всіх елементів з інтервалу, що мають максимальний ступінь належності нечіткої множини.

У методі центру максимумів знаходиться середнє арифметичне елементів універсальної множини, що мають максимальні ступені приладдя. Якщо безліч таких елементів звичайно, то формула визначення 9 спрощується до наступного виду:

де - потужність множини G.

У дискретному випадку дефаззифікація за методаминайбільшого з максимумів і найменшого з максимумів здійснюється за формулами і відповідно. З останніх трьох формули видно, що й функція власності має лише один максимум, його координата і є чітким аналогом нечіткого множини.

Приклад 3. Провести дефаззифікацію нечіткої множини “чоловік середнього зросту” з прикладу 1 методом центру тяжкості.

Рішення: Застосовуючи формулу визначення 7, отримуємо:

Визначення 10. Нечіткою базою знань (fuzzy knowledge base)про вплив чинників значення параметра y називається сукупність логічних висловлювань типу:

ТО, для всіх,

де - нечіткий терм, яким оцінюється змінна у рядку з номером jp();

Кількість рядків-кон'юнкцій, у яких вихід y оцінюється нечітким термом ;

Кількість термів, які використовуються для лінгвістичної оцінки вихідного параметра y.

За допомогою операцій (АБО) та (І) нечітку базу знань з визначення 10 перепишемо в більш компактному вигляді:

Визначення 11. Нечітким логічним висновком (fuzzy logic inference)називається аппроксимація залежності за допомогою нечіткої бази знань та операцій над нечіткими множинами.

Нехай - функція приналежності входу нечіткому терму,,,,, т. Е.; - функція приналежності виходу y нечіткого терму,, тобто. Тоді ступінь належності конкретного вхідного вектора нечітким терм із бази знань (1) визначається наступною системою нечітких логічних рівнянь:

де - Операція максимуму (мінімуму).

Нечітка множина , що відповідає вхідному вектору , визначається наступним чином:

де - Операція об'єднання нечітких множин.

Чітке значення виходу y відповідне вхідному вектору визначається в результаті дефазифікації нечіткого .

1.2. Властивості нечітких множин

Визначення 12.Висотоюнечіткої множини називається верхня межа його функції власності: . Для дискретної універсальної множини супремум стає максимумом, а значить висотою нечіткої множини буде максимум ступенів приналежності його елементів

Визначення 13. нормальним,якщо його висота дорівнює одиниці. Нечіткі множини не є нормальними називаються субнормальними. Нормалізація ‑перетворення субнормального нечіткого множини на нормальне визначається так: . Як приклад на рис. 1 показана нормалізація нечіткої множини з функцією належності.

Малюнок 1 - Нормалізація нечіткої множини

Визначення 14.Носіємнечіткої множини називається чітке підмножина універсальної множини, елементи якого мають ненульові ступеня приналежності: .

Визначення 15.Нечітка множина називається порожнімякщо його носій є порожнім безліччю.

Визначення 16.Ядромнечіткої множини називається чітке підмножина універсальної множини , елементи якого мають ступеня приналежності рівні одиниці: . Ядро субнормальної нечіткої множини порожнє.

Визначення 17. - перетином (або безліччю-рівня)нечіткої множини називається чітке підмножина універсальної множини, елементи якої мають ступеня приналежності великі або рівні: , . Значення називають -рівнем. Носій (ядро) можна розглядати як переріз нечіткої множини на нульовому (одиничному) рівні.

Мал. 2 ілюструє визначення носія, ядра, - перерізу та - рівня нечіткої множини.

Малюнок 2 - Ядро, носій та - переріз нечіткої множини

Визначення 18.Нечітка множина називається опуклимякщо: , , . Альтернативне визначення: нечітка множина буде опуклимякщо всі його - перерізи - опуклі множини. На рис. 3 наведені приклади опуклого та непуклого нечітких множин.

Малюнок 3 - До визначення опуклої нечіткої множини

Визначення 19.Нечіткі множини і рівні() якщо .

1.3. Операції над нечіткими множинами

Визначення нечітких теоретико-множинних операцій об'єднання, перетину та доповнення можуть бути узагальнені із звичайної теорії множин. На відміну від звичайних множин, теоретично нечітких множин ступінь належності не обмежена лише бінарною значеннями 0 і 1 - вона може набувати значення з інтервалу . Тому нечіткі теоретико-множинні операції можуть бути визначені по-різному. Зрозуміло, що виконання нечітких операцій об'єднання, перетину та доповнення над нечіткими множинами має дати такі ж результати, як і при використанні звичайних канторівських теоретико-множинних операцій. Нижче наведено визначення нечітких теоретико-множинних операцій, запропонованих Л. Заде.

Визначення 20. Доповненням нечіткої множинизаданого на називається нечітка множина з функцією приналежності всім . На рис. 4 наведено приклад виконання операції нечіткого доповнення.

Малюнок 4 - Доповнення нечіткої множини

Визначення 21. Перетином нечітких множині заданих на називається нечітка множина з функцією приналежності всім . Операція перебування мінімуму також позначається знаком, тобто. .

Визначення 22. Об'єднанням нечітких множині заданих на називається нечітка множина з функцією приналежності всім . Операція перебування максимуму також позначається знаком, тобто. .

Узагальнені визначення операцій нечіткого перетину та об'єднання - трикутної норми (t-норми) та трикутної конорми (t-конорми або s-норми) наведені нижче.

Визначення 23. Трикутною нормою (t-нормою)

Найчастіше використовуються такі t-норми: перетин по Заді -; ймовірнісний перетин -; перетин по Лукасевичу ‑ . Приклади виконання перетину нечітких множин з використанням цих t-норм показано на рис. 5.

Малюнок 5 - Перетин нечітких множин з використанням різних t-норм

Визначення 25. Трикутною конормою (s-нормою)називається бінарна операція на одиничному інтервалі, що задовольняє наступним аксіомам для будь-яких:

Найчастіше використовуються такі s-норми: об'єднання по Заді -; ймовірнісне об'єднання -; об'єднання по Лукасевичу -. Приклади виконання об'єднання нечітких множин із використанням цих s-норм показано на рис. 6.

Найбільш відомі трикутні норми наведено у табл. 1.

Малюнок 6 - Поєднання нечітких множин з використанням різних s-норм

Таблиця 1 – Приклади трикутних норм

1.4. Нечітка арифметика

У цьому розділі розглядаються способи розрахунку значень чітких функцій алгебри від нечітких аргументів. Матеріал ґрунтується на поняттях нечіткого числа та принципу нечіткого узагальнення. Наприкінці розділу наводяться правила виконання арифметичних операцій над нечіткими числами.

Визначення 25. Нечітким числомназивається випукла нормальна нечітка множина зі шматково-безперервною функцією приналежності, задана на безлічі дійсних чисел. Наприклад, нечітке число "близько 10" можна встановити наступною функцією приналежності: .

Визначення 26. Нечітка кількістьназивається позитивним (негативним)якщо , ().

Визначення 27. Принцип узагальнення Заді.Якщо ‑ функція від n незалежних змінних і аргументи задані нечіткими числами , відповідно, значенням функції називається нечітке число з функцією приналежності:

Принцип узагальнення дозволяє визначити функцію належності нечіткого числа, відповідного значення чіткої функції від нечітких аргументів. Комп'ютерно-орієнтована реалізація принципу нечіткого узагальнення здійснюється за таким алгоритмом:

Крок 1.Зафіксувати значення.

Крок 2Знайти всі n-ки , , які відповідають умовам і , .

Крок 3Ступінь приналежності елемента нечіткому числу обчислити за такою формулою: .

Крок 4.Перевірити умову "Взято всі елементи y?". Якщо так, то перейти до кроку 5. Інакше зафіксувати нове значення і перейти до кроку 2.

Крок 5.Кінець.

Наведений алгоритм грунтується на поданні нечіткого числа дискретному універсальному множині, тобто. . Зазвичай вихідні дані , задаються шматково-безперервними функціями власності: . Для обчислення значень функції аргументи дискретизують, тобто. представляють у вигляді. Число точок вибирають так, щоб забезпечити необхідну точність обчислень. На виході цього алгоритму виходить нечітка множина, також задана на універсальній дискретній множині. Результуючу шматково-безперервну функцію приналежності нечіткого числа одержують як верхню обгинальну точок .

приклад 4.Нечіткі числа та задані наступними трапецієподібними функціями приналежності:

Необхідно знайти нечітке число з використанням принципу узагальнення визначення 27.

Задамо нечіткі аргументи на чотирьох точках (дискретах): (1, 2, 3 4) для та (2, 3, 4 8) для . Тоді: і . Процес виконання множення над нечіткими числами зведено у табл. 2. Кожен стовпець таблиці відповідає одній ітерації алгоритму нечіткого узагальнення. Результуюча нечітка множина задано першим і останнім рядками таблиці. У першому рядку записані елементи універсальної множини, а в останньому рядку - ступеня їхньої приналежності до значення виразу . Через війну отримуємо: . Припустимо, що тип функція приналежності буде таким же, як і аргументів і, тобто трапецієподібної. І тут функція власності задається выражением: . На рис. 7 показані результати виконання операції з поданням нечітких множників на 4 дискретах. Червоними зірочками показані елементи нечіткої множини з табл. 2, а тонкою червоною лінією - трапецієподібна функція приналежності.

Досліджуємо, як змінитися результат нечіткого узагальнення зі збільшенням числа дискрет, у яких задаються аргументи. Нечітке число при заданні аргументів та на 30 дискретах наведено на рис. 7. Синіми точками показані елементи нечіткої множини, знайдені за принципом узагальнення, а зеленою лінією - верхня точка, що обгинає цих точок - функція приналежності. Функція приналежності результату має форму криволінійної трапеції, трохи вигнутої вліво.

Таблиця 2 - Наприклад 4