Прості дроби. Арифметичні дії над десятковими дробами

Дріб- Форма представлення числа в математиці. Дробова характеристика означає операцію поділу. Чисельникомдробу називається ділене, а знаменником- Дільник. Наприклад, у дробі чисельником є ​​число 5, а знаменником - 7.

Правильноюназивається дріб, у якого модуль чисельника більший за модуль знаменника. Якщо дріб є правильним, то модуль його значення завжди менший за 1. Всі інші дроби є неправильними.

Дроб називають змішаноїякщо вона записана як ціле число і дріб. Це те саме, що і сума цього числа і дробу:

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на те саме число, то значення дробу не зміниться, тобто, наприклад,

Приведення дробів до спільного знаменника

Щоб привести два дроби до спільного знаменника, потрібно:

1. Чисельник першого дробу помножити на знаменник другого
2. Чисельник другого дробу помножити на знаменник першого
3. Знаменники обох дробів замінити їхній твір

Дії з дробами

Додавання.Щоб скласти два дроби, потрібно

1. Скласти нові чисельники обох дробів, а знаменник залишити без змін

Приклад:

Віднімання.Щоб відняти один дріб з іншого, потрібно

1. Привести дроби до спільного знаменника
2. Відняти від чисельника першого дробу чисельник другий, а знаменник залишити без змін

Приклад:

множення.Щоб помножити один дріб на інший, слід перемножити їх чисельники та знаменники:

Розподіл.Щоб розділити один дріб на інший, слід чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другого:

§ 1 Десяткові дроби

На цьому уроці ви дізнаєтеся про поняття десяткового дробу, познайомитеся з його історією, навчитеся читати та записувати десяткові дроби, перекладати звичайний дріб зі знаменником 10, 100,1000 і т.д. у десяткову та навпаки.

Отже, що таке десятковий дріб? Виявляється, це форма запису звичайного дробу, у якої у знаменнику стоїть 10, 100, 1000, 10000 тощо, тобто. 1 з кількома нулями. Спочатку пишуть цілу частину, потім чисельник дробової частини, і цілу частину від дробової відокремлюють комою.

Наприклад, 12 цілих 7 десятих записують у вигляді 12,7. Інший приклад: 8 цілих 156 тисячних дорівнює 8,156. А як бути, якщо ціла частина відсутня? Т. е. дріб правильна? Тоді цілу частину записують як 0! Наприклад, 17 сотих = 0,17.

§ 2 Переклад звичайного дробу зі знаменником 10, 100, 1000 і т.д. у десятковий дріб і навпаки

Увага! Щоб правильно записати десятковий дріб, чисельник дробової частини повинен мати стільки ж цифр, скільки нулів у знаменнику дробової частини. Таким чином, дріб

Інший приклад: як записати в десятковому записі дріб 3 мільйони?

Щоб правильно читати десяткові дроби, необхідно запам'ятати, як називається кожен розряд у дробовій частині. На першому місці після коми пишуться десяті частки, на другому – соті, далі тисячні, потім десятитисячні, потім стотисячні тощо.

Наприклад, ось це число (1234,5678) читається так: 1234 цілих 5678 десятитисячних.

Тепер ви знаєте, як переводити звичайний дріб у десятковий. А як же навпаки? Теж досить просто! Наприклад, десятковий дріб 1,5 прочитаємо, як один цілий п'ять десятих і можна записати так:

дріб 1,05 читається як один цілий п'ять сотих і записується як: 1

а дріб 1,005 читається як один цілий п'ять тисячних і запишеться як:

§ 3 Історія виникнення десяткових дробів

Виявляється, вже в стародавньому Китаї користувалися десятковою системою заходів і позначали дріб словами, використовуючи заходи довжини: чи, цуні, частки, порядкові, шерстинки, найтонші, павутинки.

Дроб виду 2,135436 виглядав так: 2 чи, 1 цунь, 3 частки, 5 порядкових, 4 шерстинки, 3 найтонших, 6 павутинок. Так записувалися дроби протягом двох століть. Потім у 15 столітті великий вчений того часу Джемшид Гіяседдін аль - Каші вперше виклав вчення про десяткові дроби, він ввів новий запис для десяткових дробів, коли ціла і дробова частини пишуться в один рядок і відокремлюються один від одного або вертикальною рисою, або чорнилом різних кольорів. . Приблизно одночасно математики Європи намагалися знайти зручний запис десяткового дробу. У книзі «Математичний канон» французький математик Франсуа Вієт у записі десяткового дробу дробову частину підкреслював і записував вище рядки цілої частини числа. У Росії перші систематичні відомості про десяткові дроби зустрічаються в "Арифметиці" Магницького. Кома ж записи дробів вперше зустрічається в 1592г., а 1617г. Шотландський математик Джон Непер запропонував відокремлювати десяткові знаки від цілого числа або комою, або крапкою. Сучасну запис десяткових Йоган Кеплердробей, тобто. відділення цілої частини від дробової коми, запропонував Йоганн Кеплер. У країнах, де розмовляють англійською і зараз замість коми пишуть крапку.

Список використаної литературы:

1. Математика 5 клас. Віленкін Н.Я., Жохов В.І. та ін. 31-е вид., Стер. - М: 2013.
2. Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автор - Попов М.А. - 2013 рік
3. Обчислюємо без помилок. Роботи із самоперевіркою з математики 5-6 класи. Автор - Мінаєва С.С. - 2014
4. Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автори: Дорофєєв Г.В., Кузнєцова Л.В. - 2010 рік
5. Контрольні та самостійні роботи з математики 5 клас. Автори – Попов М.А. - 2012 рік
6. Математика. 5 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ/І. І. Зубарєва, А. Г. Мордкович. - 9-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 270 с.: іл.

Визначення звичайного дробу

Визначення 1

Звичайні дроби використовують для опису кількості часток. Розглянемо приклад, з допомогою якого можна дати визначення звичайного дробу.

Яблуко розділили на $8$ часткою. І тут кожна частка становить одну восьму частку цілого яблука, т. е. $\frac(1)(8)$. Дві частки позначаються $\frac(2)(8)$, три частки - $\frac(3)(8)$ і т.д., а $8$ часток - $\frac(8)(8)$ . Кожен із представлених записів називається звичайним дробом.

Наведемо загальне визначення звичайного дробу.

Визначення 2

Звичайним дробомназивається запис виду $\frac(m)(n)$, де $m$ і $n$- будь-які натуральні числа.

Часто можна зустріти наступний запис звичайного дробу $m/n$.

Приклад 1

Приклади звичайних дробів:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Зауваження 1

Числа $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4) (8,3) $ є звичайними дробами, т.к. не підходять під наведене вище визначення.

Чисельник і знаменник

Звичайний дріб складається з чисельника та знаменника.

Визначення 3

Чисельникомзвичайного дробу $\frac(m)(n)$ називається натуральне число $m$, яке показує кількість взятих рівних часток з єдиного цілого.

Визначення 4

Знаменникомзвичайного дробу $\frac(m)(n)$ називається натуральне число $n$, яке показує, наскільки рівних часток поділено єдине ціле.

Малюнок 1.

Чисельник розташовується над дробовою рисою, а знаменник - під дробовою рисою. Наприклад, чисельником звичайного дробу $\frac(5)(17)$ є число $5$, а знаменником - число $17$. Знаменник показує, що предмет розділений на $17$ часток, а чисельник - що взято $5$ таких часток.

Натуральне число як дріб із знаменником 1

Знаменником звичайного дробу може бути одиниця. У разі вважають, що предмет неподільний, тобто. є єдине ціле. Чисельник такого дробу показує, скільки цілих предметів взято. Проста частина типу $\frac(m)(1)$ має сенс натурального числа $m$. Таким чином, отримуємо обґрунтовану рівність $\frac(m)(1)=m$.

Якщо переписати рівність як $m=\frac(m)(1)$, воно дасть можливість будь-яке натуральне число $m$ представити як звичайного дробу. Наприклад, число $5$ можна у вигляді дробу $\frac(5)(1)$, число $123 \ 456$ - це дріб $\frac(123\ 456)(1)$.

Таким чином, будь-яке натуральне число $m$ можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником $1$, а будь-який звичайний дріб виду $\frac(m)(1)$ можна замінити натуральним числом $m$.

Дробова риса як знак розподілу

Подання предмета як $n$ часток є розподілом на $n$ рівних частин. Після поділу предмета на часткою $n$ його можна розділити порівну між $n$ людьми - кожен отримає по одній частці.

Нехай є $ m $ однакових предметів, розділених на часткою $ n $. Ці $m$ предметів можна порівну розділити між $n$ людьми, якщо роздати кожній людині по одній частці від кожного з $m$ предметів. При цьому кожна людина отримає $ m $ часткою $ frac (1) (n) $, які дають звичайний дріб $ frac (m) (n) $. Отримуємо, що звичайна дріб $\frac(m)(n)$ може застосовуватися для позначення поділу $m$ предметів між людьми $n$.

Зв'язок між звичайними дробами і поділом виявляється у тому, що дробову межу можна як знак розподілу, тобто. $\frac(m)(n)=m:n$.

Звичайний дріб дає можливість записувати результат поділу двох натуральних чисел, для яких не виконується поділ націло.

Приклад 2

Наприклад, результат розподілу $7$ яблук на $9$ людина можна записати як $\frac(7)(9)$, тобто. кожен отримає сім дев'ятих часток яблука: $7:9=\frac(7)(9)$.

Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів

Результатом порівняння двох звичайних дробів може бути або їхня рівність, або їхня не рівність. При рівності звичайних дробів їх називають рівними, інакше звичайні дроби називають нерівними.

рівнимиякщо справедливою є рівність $a\cdot d=b\cdot c$.

Звичайні дроби $\frac(a)(b)$ і $\frac(c)(d)$ називають нерівнимиякщо рівність $a\cdot d=b\cdot c$ не виконується.

Приклад 3

З'ясувати, чи є рівними дроби $\frac(1)(3)$ і $\frac(2)(6)$.

Рівність виконується, значить, дроби $ frac (1) (3) $ і $ frac (2) (6) $ є рівними: $ frac (1) (3) = frac (2) (6) $.

Даний приклад можна розглянути на прикладі яблук: одне з двох однакових яблук поділено на три рівні частки, друге - на $6 $ часткою. При цьому видно, що дві шостих частки яблука становлять $ frac (1) (3) $ частку.

Приклад 4

Перевірити, чи рівними звичайні дроби $\frac(3)(17)$ і $\frac(4)(13)$.

Перевіримо, чи виконується рівність $a\cdot d=b\cdot c$:

\ \

Рівність не виконується, значить, дроби $\frac(3)(17)$ і $\frac(4)(13)$ не рівні: $\frac(3)(17)\ne \frac(4)(13) $.

При порівнянні двох звичайних дробів, якщо з'ясовується, що вони не рівні, можна дізнатися, який з них більший, а який менший за інший. Для цього використовують правило порівняння звичайних дробів: потрібно привести дроби до спільного знаменника, а потім порівняти їх чисельники. У якого дробу чисельник буде більшим, той дріб і буде більшим.

Дроби на координатному промені

Усі дробові числа, які відповідають звичайним дробам, можна відобразити на координатному промені.

Щоб на координатному промені відзначити точку, що відповідає дробу $\frac(m)(n)$, необхідно від початку координат у позитивному напрямку відкласти $m$ відрізків, довжина яких становить $\frac(1)(n)$ частку одиничного відрізка . Такі відрізки одержують при розподілі одиничного відрізка на $n$ рівних частин.

Щоб відобразити на координатному промені дрібне число, потрібно одиничний відрізок розділити на частини.

Малюнок 2.

Рівні дроби описуються тим самим дробовим числом, тобто. рівні дроби є координати однієї й тієї ж точки на координатному промені. Наприклад, координатами $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ описується одна і та точка на координатному промені, оскільки всі записані дроби рівні.

Якщо точка описується координатою з більшим дробом, то вона буде правіше на горизонтальному спрямованому праворуч координатному промені від точки, координатою якої є менший дріб. Наприклад, т.к. дріб $\frac(5)(6)$ більше дробу $\frac(2)(6)$, то й точка з координатою $\frac(5)(6)$ знаходиться правіше точки з координатою $\frac(2) (6) $.

Аналогічно, точка з меншою координатою лежатиме лівіше точки з більшою координатою.

Часткою одиниці і представляється у вигляді \frac(a)(b).

Чисельник дробу (a)- Число, що знаходиться над межею дробу і показує кількість часток, на які була поділена одиниця.

Знаменник дробу (b)- Число, що знаходиться під межею дробу і показує на скільки часток поділили одиницю.

Приховати Показати

Основна властивість дробу

Якщо ad = bc, то два дроби \frac(a)(b)і \frac(c)(d)вважаються рівними. Наприклад, рівними будуть дроби \frac35і \frac(9)(15), Так як 3 \ cdot 15 = 15 \ cdot 9 , \frac(12)(7)і \frac(24)(14), Так як 12 \ cdot 14 = 7 \ cdot 24 .

З визначення рівності дробів випливає, що рівними будуть дроби \frac(a)(b)і \frac(am)(bm), оскільки a(bm)=b(am) — наочний приклад застосування поєднаного та переміщувального властивостей множення натуральних чисел у дії.

Значить \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- Так виглядає основна властивість дробу.

Іншими словами, ми отримаємо дріб, рівний даній, помноживши або розділивши чисельник і знаменник вихідного дробу на те саме натуральне число.

Скорочення дробу- Це процес заміни дробу, при якому новий дріб виходить рівною вихідною, але з меншим чисельником і знаменником.

Скорочувати дроби прийнято, спираючись на основну властивість дробу.

Наприклад, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(числитель та знаменник ділиться на число 3); отриманий дріб знову можна скоротити, розділивши на 5 , тобто \frac(15)(20)=\frac 34.

Нескоротний дріб- це дріб виду \frac 34, де чисельник та знаменник є взаємно простими числами. Основна мета скорочення дробу - зробити дріб нескоротним.

Приведення дробів до спільного знаменника

Візьмемо як приклад два дроби: \frac(2)(3)і \frac(5)(8)з різними знаменниками 3 та 8 . Для того, щоб привести ці дроби до спільного знаменника і спочатку перемножимо чисельник і знаменник дробу \frac(2)(3)на 8 . Отримуємо наступний результат: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Потім множимо чисельник і знаменник дробу \frac(5)(8)на 3 . Отримуємо в результаті: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Отже, вихідні дроби наведено до спільного знаменника 24 .

Арифметичні події над звичайними дробами

Додавання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках чисельник першого дробу складають із чисельником другого дробу, залишаючи знаменник колишнім. Як видно з прикладу:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

б) При різних знаменниках дроби спочатку призводять до спільного знаменника, а потім виконують додавання чисельників за правилом а) :

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +frac(3)(12)=frac(31)(12).

Віднімання звичайних дробів

а) При однакових знаменниках з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, залишаючи знаменник тим самим:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

б) Якщо ж знаменники дробів різні, спочатку дроби призводять до спільного знаменника, та був повторюють дії як у пункті а) .

Розмноження звичайних дробів

Примноження дробів підпорядковується наступному правилу:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

тобто перемножують окремо чисельники та знаменники.

Наприклад:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Розподіл звичайних дробів

Розподіл дробів виробляють наступним способом:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

тобто дріб \frac(a)(b)множиться на дріб \frac(d)(c).

Приклад: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Взаємно зворотні числа

Якщо ab=1 , число b є зворотним числомдля числа a.

Приклад: для числа 9 оберненим є \frac(1)(9), так як 9 \cdot \frac(1)(9)=1для числа 5 - \frac(1)(5), так як 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Десяткові дроби

Десятичним дробомназивається правильний дріб, знаменник якого дорівнює 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Наприклад: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Так само пишуться неправильні зі знаменником 10^n або змішані числа.

Наприклад: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

У вигляді десяткового дробу представляється кожен звичайний дріб зі знаменником, який є дільником певної міри числа 10 .

Приклад: 5 — дільник числа 100 тому дроб \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Арифметичні дії над десятковими дробами

Додавання десяткових дробів

Для складання двох десяткових дробів, потрібно їх розташувати так, щоб один під одним виявилися однакові розряди і кома під комою, а потім виконати додавання дробів як звичайних чисел.

Віднімання десяткових дробів

Виконується аналогічно до додавання.

Розмноження десяткових дробів

При множенні десяткових чисел достатньо перемножити задані числа, не звертаючи уваги на коми (як натуральні числа), а в отриманій відповіді комою праворуч відокремлюється стільки цифр, скільки їх коштує після коми в обох множниках сумарно.

Давайте виконаємо множення 2,7 на 1,3. Маємо 27 \cdot 13 = 351. Відокремлюємо праворуч дві цифри коми (у першого та другого числа — одна цифра після коми; 1+1=2). У результаті отримуємо 2,7 1,3 = 3,51.

Якщо в отриманому результаті виходить менше цифр, ніж треба відокремити комою, то попереду пишуть нулі, що бракують, наприклад:

Для множення на 10, 100, 1000, треба в десятковому дробі перенести кому на 1, 2, 3 цифри вправо (у разі необхідності праворуч приписується певна кількість нулів).

Наприклад: 1,47 \ cdot 10 \, 000 = 14700 .

Розподіл десяткових дробів

Розподіл десяткового дробу на натуральне число роблять також, як і розподіл натурального числа на натуральне. Кома в приватному ставиться після того, як закінчено розподіл цілої частини.

Якщо ціла частина діленого менше дільника, то у відповіді виходить нуль цілих, наприклад:

Розглянемо розподіл десяткового дробу на десятковий. Нехай потрібно розділити 2,576 на 1,12. Насамперед, помножимо ділене і дільник дробу на 100 , тобто перенесемо кому вправо в ділимому і дільнику на стільки знаків, скільки їх коштує в дільнику після коми (у даному прикладі на дві). Потім потрібно виконати поділ дробу 257,6 на натуральне число 112 тобто завдання зводиться до вже розглянутого випадку:

Буває так, що не завжди виходить кінцевий десятковий дріб при розподілі одного числа на інше. В результаті виходить нескінченний десятковий дріб. У разі переходять до звичайним дробам.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac(9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac(1)(9).

Ця стаття про звичайні дроби. Тут ми познайомимося з поняттям частки цілого, яке приведе нас до визначення звичайного дробу. Далі зупинимося на прийнятих позначеннях для звичайних дробів і наведемо приклади дробів, скажімо про чисельник та знаменник дробу. Після цього дамо визначення правильних та неправильних, позитивних та негативних дробів, а також розглянемо положення дробових чисел на координатному промені. На закінчення перерахуємо основні події з дробами.

Навігація на сторінці.

Частки цілого

Спочатку введемо поняття частки.

Припустимо, що ми маємо певний предмет, складений із кількох абсолютно однакових (тобто, рівних) частин. Для наочності можна, наприклад, яблуко, розрізане кілька рівних частин, чи апельсин, що з кількох рівних часточок. Кожну з цих рівних частин, що становлять цілий предмет, називають часткою цілогоабо просто часткою.

Зауважимо, що частки бувають різні. Пояснимо це. Нехай у нас є два яблука. Розріжемо перше яблуко на дві рівні частини, а друге – на шість рівних частин. Зрозуміло, частка першого яблука відрізнятиметься від частки другого яблука.

Залежно від кількості часток, що становлять цілий предмет, ці частки мають свої назви. Розберемо назви часток. Якщо предмет становлять дві частки, кожна їх називається одна друга частка цілого предмета; якщо предмет становлять три частки, то кожна з них називається одна третя частка, і таке інше.

Одна друга частка має спеціальну назву – половина. Одна третя частка називається третю, а одна четверна частка – чвертю.

Для стислості запису було введено такі позначення часток. Одну другу частку позначають як або 1/2, одну третю частку – як або 1/3; одну четверту частку - як або 1/4 і так далі. Зазначимо, що запис із горизонтальною характеристикою використовується частіше. Для закріплення матеріалу наведемо ще один приклад: запис означає одну сто шістдесят сьому частку цілого.

Поняття частки природно поширюється з предметів на величини. Наприклад, одним із заходів вимірювання довжини є метр. Для вимірювання довжин менших за метр можна використовувати частки метра. Так можна скористатися, наприклад, половиною метра або десятою або тисячною часткою метра. Аналогічно застосовуються частки інших величин.

Звичайні дроби, визначення та приклади дробів

Для опису кількості часток використовуються звичайні дроби. Наведемо приклад, який дозволить нам підійти до визначення звичайних дробів.

Нехай апельсин складається з 12 часток. Кожна частка у разі представляє одну дванадцяту частку цілого апельсина, тобто, . Дві частки позначимо як , три частки - як , і так далі, 12 часток позначимо як . Кожен із наведених записів називають звичайним дробом.

Тепер дамо спільне визначення звичайних дробів.

Озвучене визначення звичайних дробів дозволяє навести приклади звичайних дробів: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А ось записи не підходять під озвучене визначення звичайних дробів, тобто не є звичайними дробами.

Чисельник і знаменник

Для зручності у звичайному дробі розрізняють чисельник та знаменник.

Визначення.

Чисельникзвичайного дробу (m/n) – це натуральне число m.

Визначення.

Знаменникзвичайного дробу (m/n ) – це натуральне число n .

Отже, чисельник розташований зверху над межею дробу (ліворуч від похилої межі), а знаменник – знизу під межею дробу (праворуч від похилої межі). Для прикладу наведемо звичайний дріб 17/29, чисельником цього дробу є число 17, а знаменником - число 29.

Залишилося обговорити зміст, укладений у чисельнику і знаменнику звичайного дробу. Знаменник дробу показує, з скільки частин складається один предмет, чисельник у свою чергу вказує кількість таких часток. Наприклад, знаменник 5 дробу 12/5 означає, що один предмет складається з п'яти часток, а чисельник 12 означає, що взято 12 таких часток.

Натуральне число як дріб із знаменником 1

Знаменник звичайного дробу може дорівнювати одиниці. У цьому випадку можна вважати, що предмет неподільний, іншими словами, є чимось цілим. Чисельник такого дробу вказує, скільки цілих предметів взято. Таким чином, звичайний дріб виду m/1 має сенс натурального числа m. Так ми довели справедливість рівності m/1=m .

Перепишемо останню рівність так: m=m/1. Ця рівність дає нам можливість будь-яке натуральне число m представляти у вигляді звичайного дробу. Наприклад, число 4 – це дріб 4/1, а число 103498 дорівнює дробу 103498/1.

Отже, будь-яке натуральне число m можна подати у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1 як m/1 , а будь-який звичайний дріб виду m/1 можна замінити натуральним числом m.

Чорта дробу як знак розподілу

Уявлення вихідного предмета як n часток є нічим іншим як поділ на n рівних частин. Після того, як предмет розділений на n частиною, ми можемо розділити порівну між n людьми – кожен отримає по одній частці.

Якщо ж у нас є спочатку m однакових предметів, кожен з яких розділений на n частиною, то ці m предметів ми можемо порівну поділити між n людьми, роздавши кожній людині по одній частці кожного з m предметів. При цьому у кожної людини буде m часткою 1/n, а m часткою 1/n дає звичайний дріб m/n. Таким чином, звичайний дріб m/n можна застосовувати для позначення розподілу предметів m між n людьми.

Так ми отримали явний зв'язок між звичайними дробами та поділом (дивіться загальне уявлення про розподіл натуральних чисел). Цей зв'язок виражається в наступному: рису дробу можна розуміти як знак розподілу, тобто m/n=m:n.

За допомогою звичайного дробу можна записати результат поділу двох натуральних чисел, для яких не виконується поділ націло. Наприклад, результат розподілу 5 яблук на 8 чоловік можна записати як 5/8, тобто, кожному дістанеться п'ять восьмих часток яблука: 5:8 = 5/8.

Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів

Досить природною дією є порівняння звичайних дробів, адже зрозуміло, що 1/12 апельсина відрізняється від 5/12, а 1/6 частка яблука така сама, як інша 1/6 частка цього яблука.

В результаті порівняння двох звичайних дробів виходить один із результатів: дроби або рівні, або не рівні. У першому випадку ми маємо рівні звичайні дроби, а у другому – нерівні звичайні дроби. Дамо визначення рівних та нерівних звичайних дробів.

Визначення.

рівні, якщо справедлива рівність a d = b c .

Визначення.

Два звичайні дроби a/b та c/d не рівні, якщо рівність a d = b c не виконується.

Наведемо кілька прикладів рівних дробів. Наприклад, звичайний дріб 1/2 дорівнює дробу 2/4, так як 1 · 4 = 2 · 2 (при необхідності дивіться правила та приклади множення натуральних чисел). Для наочності можна уявити два однакових яблука, перше розрізане навпіл, а друге – на 4 частки. При цьому очевидно, що дві четверті частки яблука становлять 1/2 частку. Іншими прикладами рівних звичайних дробів є дроби 4/7 і 36/63, а також пара дробів 81/50 та 1620/1000.

А прості дроби 4/13 і 5/14 не рівні, оскільки 4·14=56 , а 13·5=65 , тобто, 4·14≠13·5 . Іншим прикладом нерівних звичайних дробів є дроби 17/7 та 6/4.

Якщо при порівнянні двох звичайних дробів з'ясувалося, що вони не рівні, то можливо знадобиться дізнатися, який із цих звичайних дробів меншеінший, а яка – більше. Щоб це з'ясувати, використовується правило порівняння звичайних дробів, суть якого зводиться до приведення порівнюваних дробів до спільного знаменника та подальшого порівняння чисельників. Детальна інформація з цієї теми зібрана у статті порівняння дробів: правила, приклади, рішення.

Дробові числа

Кожен дріб є записом дробового числа. Тобто, дріб – це лише «оболонка» дробового числа, його зовнішній вигляд, а все смислове навантаження міститься саме в дробовому числі. Однак для стислості та зручності поняття дробу та дробового числа поєднують і говорять просто дріб. Тут доречно перефразувати відомий вислів: ми говоримо дріб – маємо на увазі дробове число, ми говоримо дробове число – маємо на увазі дріб.

Дроби на координатному промені

Всі дробові числа, що відповідають звичайним дробам, мають своє унікальне місце на тобто існує взаємно однозначна відповідність між дробами і точками координатного променя.

Щоб на координатному промені потрапити в точку, що відповідає дробу m/n, потрібно від початку координат у позитивному напрямку відкласти m відрізків, довжина яких становить 1/n частку одиничного відрізка. Такі відрізки можна отримати, розділивши одиничний відрізок на n рівних частин, що можна зробити з допомогою циркуля і лінійки.

Наприклад покажемо точку М на координатному промені, відповідну дробу 14/10 . Довжина відрізка з кінцями в точці O і найближчої до неї точці, позначеної маленьким штрихом, становить 1/10 частку одиничного відрізка. Крапка з координатою 14/10 віддалена від початку координат на відстань 14 таких відрізків.

Рівним дробам відповідає те саме дробове число, тобто, рівні дроби є координатами однієї й тієї ж точки на координатному промені. Наприклад, координатам 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 на координатному промені відповідає одна точка, оскільки всі записані дроби рівні (вона розташована на відстані половини одиничного відрізка, відкладеного від початку відліку в позитивному напрямку).

На горизонтальному і спрямованому праворуч координатному промені точка, координатою якої є великий дріб, розташовується правіше точки, координатою якої є менший дріб. Аналогічно, точка з меншою координатою лежить лівіше від точки з більшою координатою.

Правильні та неправильні дроби, визначення, приклади

Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні дроби. Цей поділ у своїй основі має порівняння чисельника та знаменника.

Дамо визначення правильних і неправильних звичайних дробів.

Визначення.

Правильний дріб– це звичайний дріб, чисельник якого менший за знаменник, тобто, якщо m

Визначення.

Неправильний дріб– це звичайний дріб, у якому чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто якщо m≥n , то звичайний дріб є неправильним.

Наведемо кілька прикладів правильних дробів: 1/4 , 32 765/909 003 . Дійсно, у кожному із записаних звичайних дробів чисельник менший за знаменник (за потреби дивіться статтю порівняння натуральних чисел), тому вони правильні за визначенням.

А ось приклади неправильних дробів: 9/9, 23/4,. Справді, чисельник першою із записаних звичайних дробів дорівнює знаменнику, а інших дробах чисельник більше знаменника.

Також мають місце визначення правильних та неправильних дробів, що базуються на порівнянні дробів з одиницею.

Визначення.

правильноюякщо вона менше одиниці.

Визначення.

Звичайний дріб називається неправильною, Якщо вона або дорівнює одиниці, або більше 1 .

Так звичайний дріб 7/11 – правильний, оскільки 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, а 27/27=1.

Давайте поміркуємо, чим звичайні дроби з чисельником, вищим або рівним знаменнику, заслужили таку назву - «неправильні».

Для прикладу візьмемо неправильний дріб 9/9. Цей дріб означає, що взято дев'ять часток предмета, що складається з дев'яти часток. Тобто з наявних дев'яти часток ми можемо скласти цілий предмет. Тобто, неправильний дріб 9/9 насправді дає цілий предмет, тобто, 9/9=1 . Взагалі, неправильні дроби з чисельником рівним знаменнику позначають один цілий предмет, і такий дріб може замінити натуральне число 1 .

Тепер розглянемо неправильні дроби 7/3 та 12/4. Досить очевидно, що з цих семи третіх часток ми можемо скласти два цілих предмети (один цілий предмет складають 3 частки, тоді для складання двох цілих предметів нам знадобиться 3+3=6 часток) і залишиться ще одна третя частка. Тобто неправильний дріб 7/3 по суті означає 2 предмети та ще 1/3 частку такого предмета. А з дванадцяти четвертих часток ми можемо скласти три цілих предмети (три предмети по чотири частки в кожному). Тобто, дріб 12/4 насправді означає 3 цілих предмета.

Розглянуті приклади приводять нас до наступного висновку: неправильні дроби, можуть бути замінені або натуральними числами, коли чисельник ділиться націло на знаменник (наприклад, 9/9=1 і 12/4=3 ), або сумою натурального числа та правильного дробу, коли чисельник не ділиться націло на знаменник (наприклад, 7/3=2+1/3). Можливо, саме цим і заслужили неправильні дроби таку назву - "неправильні".

Окремий інтерес викликає подання неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (7/3=2+1/3). Цей процес називається виділенням цілої частини з неправильного дробу, і заслуговує на окремий і більш уважний розгляд.

Також варто зауважити, що існує дуже тісний зв'язок між неправильними дробами та змішаними числами.

Позитивні та негативні дроби

Кожен звичайний дріб відповідає позитивному дробовому числу (дивіться статтю позитивні та негативні числа). Тобто, звичайні дроби є позитивними дробами. Наприклад, прості дроби 1/5 , 56/18 , 35/144 – позитивні дроби. Коли потрібно особливо виділити позитивність дробу, перед нею ставиться знак плюс, наприклад, +3/4 , +72/34 .

Якщо перед звичайним дробом поставити знак мінус, то цей запис відповідатиме негативному дробовому числу. У цьому випадку можна говорити про негативних дробах. Наведемо кілька прикладів негативних дробів: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Позитивний і негативний дроби m/n і −m/n є протилежними числами . Наприклад, дроби 5/7 та −5/7 – протилежні дроби.

Позитивні дроби, як і позитивні числа загалом, позначають додаток, дохід, зміна будь-якої величини у бік збільшення тощо. Негативні дроби відповідають витратам, боргу, зміні будь-якої величини у бік зменшення. Наприклад, негативний дріб −3/4 можна трактувати як борг, величина якого дорівнює 3/4 .

На горизонтальній і спрямованій праворуч негативні дроби розташовуються лівіше початку відліку. Точки координатної прямої, координатами яких є позитивний дріб m/n і негативний дріб m/n розташовані на однаковій відстані від початку координат, але по різні сторони від точки O .

Тут варто сказати про дроби виду 0/n . Ці дроби дорівнюють числу нуль, тобто, 0/n=0 .

Позитивні дроби, негативні дроби, і навіть дроби 0/n об'єднуються у раціональні числа .

Дії з дробами

Одна дія зі звичайними дробами – порівняння дробів – ми вже розглянули вище. Визначено ще чотири арифметичні дії з дробами– додавання, віднімання, множення та поділ дробів. Зупинимося кожному з них.

Загальна суть дій із дробами аналогічна суті відповідних дій із натуральними числами. Проведемо аналогію.

Розмноження дробівможна розглядати як дію, при якій знаходиться дріб від дробу. Для пояснення наведемо приклад. Нехай ми маємо 1/6 частину яблука і нам потрібно взяти 2/3 частини від неї. Потрібна нам частина є результатом множення дробів 1/6 та 2/3. Результатом множення двох звичайних дробів є звичайний дріб (який окремо дорівнює натуральному числу). Далі рекомендуємо до вивчення інформацію статті множення дробів – правила, приклади та рішення.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).