Од лінійної функції. Основні властивості функцій

Поняття числової функції. Способи завдання функції. Властивості функцій.

Числова функція - функція, що діє з одного числового простору (множини) до іншого числового простору (множина).

Три основні методи завдання функції: аналітичний, табличний і графічний.

1. Аналітичний.

Спосіб завдання функції за допомогою формули називається аналітичним. Цей спосіб є основним у мат. аналізі, але практично не зручний.

2. Табличний метод завдання функції.

Функцію можна встановити за допомогою таблиці, що містить значення аргументу і відповідні їм значення функції.

3. Графічний метод завдання функції.

Функція у=f(х) називається заданою графічно, якщо побудовано її графік. Такий спосіб завдання функції дає можливість визначати значення функції лише приблизно, оскільки побудова графіка та знаходження на ньому значень функції пов'язане з похибками.

Властивості функції, які необхідно враховувати під час побудови її графіка:

1) Область визначення функції.

Область визначення функції,тобто ті значення, які може набувати аргументу х функції F = y (x).

2) Проміжки зростання та зменшення функції.

Функція називається зростаючоюна аналізованому проміжку, якщо більшого значення аргументу відповідає більше значення функції у(х). Це означає, що з проміжку взяті два довільних аргументи х 1 і х 2 , причому х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).

Функція називається спадноюна аналізованому проміжку, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції у(х). Це означає, що якщо з проміжку, що розглядається, взяті два довільні аргументи х 1 і х 2 , причому х 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Нулі функції.

Точки, у яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять, якщо розв'язати рівняння у (х) = 0) і називаються нулями функції.

4)Парність та непарність функції.

Функція називається парною,якщо для всіх значень аргументу в галузі визначення

у(-х) = у(х).

Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Функція називається непарною, якщо для всіх значень аргументу в області визначення

у(-х) = -у(х).

Графік парної функції симетричний щодо початку координат.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

5) Періодичність функції.

Функція називається періодичною,якщо існує така кількість Р, що для всіх значень аргументу з області визначення

у(х + Р) = у(х).

Лінійна функція, її властивості та графік.

Лінійною функцією називається функція виду y = kx + b, Задана на безлічі всіх дійсних чисел.

k- Кутовий коефіцієнт (дійсне число)

b– вільний член (дійсне число)

x- Незалежна змінна.

· В окремому випадку, якщо k = 0, отримаємо постійну функцію y = b, графік якої є пряма, паралельна осі Ox, що проходить через точку з координатами (0; b).

· Якщо b = 0, то отримаємо функцію y = kx, яка є прямою пропорційністю.

o Геометричний сенс коефіцієнта b – довжина відрізка, який відсікає пряма по осі Oy, рахуючи від початку координат.

o Геометричний сенс коефіцієнта k – кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі Ox вважається проти годинникової стрілки.

Властивості лінійної функції:

1) Область визначення лінійної функції є вся речова вісь;

2) Якщо k ≠ 0, то область значень лінійної функції є вся речова вісь.

Якщо k = 0, то область значень лінійної функції складається з b;

3) парність і непарність лінійної функції залежить від значень коефіцієнтів k і b.

a) b ≠ 0, k = 0, отже, y = b – парна;

b) b = 0, k ≠ 0, отже y = kx – непарна;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, отже y = kx + b – функція загального виду;

d) b = 0, k = 0, отже y = 0 як парна, так і непарна функція.

4) Властивістю періодичності лінійна функція не має;

5) Точки перетину з осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, отже (-b/k; 0) - точка перетину з віссю абсцис.

Oy: y = 0k + b = b, отже (0; b) - точка перетину з віссю ординат.

Зауваження. Якщо b = 0 і k = 0, то функція y = 0 звертається в нуль за будь-якого значення змінної х. Якщо b ≠ 0 і k = 0, то функція y = b не звертається в нуль за жодних значень змінної х.

6) Проміжки знаковості залежать від коефіцієнта k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – позитивна при x з (-b/k; +∞),

y = kx + b – негативна при x із (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – позитивна при x з (-∞; -b/k),

y = kx + b – негативна при x із (-b/k; +∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + b позитивна по всій області визначення,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Проміжки монотонності лінійної функції залежить від коефіцієнта k.

k > 0, отже y = kx + b зростає по всій області визначення,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функція у = ах 2 + bх + с, її властивості та графік.

Функція у = ах 2 + bх + с (а, b, с – постійні величини, а ≠ 0) називається квадратичні.У найпростішому випадку у = ах 2 (b = с = 0) графік є кривою лінією, що проходить через початок координат. Крива, що служить графіком функції у = ах 2 є парабола. Кожна парабола має вісь симетрії, яка називається віссю параболи.Крапка Про перетин параболи з її віссю називається вершиною параболи.

Графік можна будувати за такою схемою: 1) Знаходимо координати вершини параболи х0 = -b/2a; у 0 = у (x 0). 2) Будуємо ще кілька точок, що належать параболі, при побудові можна використовувати симетрії параболи щодо прямої х = -b/2a. 3) З'єднуємо позначені точки плавною лінією. приклад. Побудувати графік функції = х 2 + 2х - 3.Рішення. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Абсцис вершини параболи х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, її ординати y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Отже, вершина параболи – точка (-1; -4). Складемо таблицю значень для кількох точок, розміщених праворуч від осі симетрії параболи - прямий х = -1. Властивості функції.

Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, яка називається в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи представлений на малюнку нижче. (На графіці представлена ​​функція y дорівнює k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці.)

Видно, що графік складається із двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить в одному з напрямків дедалі ближче до осей координат. Осі координат у разі називають асимптотами.

Взагалі будь-які прямі лінії, яких нескінченно наближається графік функції, але з досягає їх, називаються асимптотами. У гіперболи, як і параболи, є осі симетрії. Для гіперболи, представленої малюнку вище, це пряма y=x.

Тепер розберемося із двома спільними випадками гіпербол. Графіком функції y = k/x при k ≠0 буде гіпербола, гілки якої розташовані або в першому і третьому координатних кутах, при k>0, або в другому і четвертому координатних кутах, при k<0.

Основні властивості функції y = k/x при k>0

Графік функції y = k/x при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функція зменшується як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).

10. Область значень функції двох відкритих проміжків (-∞;0) та (0;+∞).

Основні властивості функції y = k/x при k<0

Графік функції y = k/x при k<0

1. Крапка (0; 0) центр симетрії гіперболи.

2. Осі координат – асимптоти гіперболи.

4. Область визначення функції всіх х, крім х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функція зростає як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).

7. Функція не обмежена ні знизу, ні згори.

8. Функція не має ні найбільшого, ні найменшого значень.

9. Функція безперервна на проміжку (-∞;0) та на проміжку (0;+∞). Має розрив у точці х = 0.

Інструкція

Якщо графіком є ​​пряма лінія, яка проходить через початок координат і утворює з віссю ОX кут α (кут нахилу прямої до позитивної півосі ОХ). Функція, що описує цю пряму, матиме вигляд y = kx. Коефіцієнт пропорційності k дорівнює tgα. Якщо пряма проходить через 2-у та 4-у координатні чверті, то k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 і функція зростає. Нехай являє собою пряму лінію, що розташовується по-різному щодо осей координат. Це лінійна функція, і вона має вигляд y = kx + b, де змінні x і y стоять у першому ступені, а k і b можуть набувати як позитивних, так і негативних значень або дорівнюють нулю. Пряма паралельна прямий y = kx і відсікає на осі | b | одиниць. Якщо пряма паралельна осі абсцис, то k = 0, якщо осі ординат, то рівняння має вигляд x = const.

Крива, що складається з двох гілок, що розташовуються в різних чвертях та симетричних щодо початку координат, гіперболою. Цей графік зворотну залежність змінної y від x описується рівнянням y = k/x. Тут k ≠ 0 – коефіцієнт пропорційності. У цьому якщо k > 0, функція зменшується; якщо ж k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Квадратична функція має вигляд y = ax2 + bx + с, де a, b і c – величини постійні і a  0. При виконанні умови b = с = 0, рівняння функції виглядає як y = ax2 (найпростіший випадок), а її графік є параболою, яка проходить через початок координат. Графік функції y = ax2 + bx + с має ту саму форму, що і найпростіший випадок функції, проте її вершина (точка перетину з віссю OY) лежить не на початку координат.

Параболою є також графік статечної функції, вираженої рівнянням y = xⁿ, якщо n – будь-яке парне число. Якщо n - будь-яке непарне число, графік такої статечної функції матиме вигляд кубічної параболи.
Якщо n – будь-яке , рівняння функції набуває вигляду. Графіком функції при непарному n буде гіпербола, а при парному n їх гілки будуть симетричні щодо осі ОУ.

Ще у шкільні роки докладно вивчаються функції та будуються їхні графіки. Але, на жаль, читати графік функції та знаходити її тип за представленим кресленням практично не вчать. Насправді, це досить просто, якщо пам'ятати основні види функцій.

Інструкція

Якщо представленим графіком є ​​, яка через початок координат і з віссю ОX кут ? При цьому коефіцієнт пропорційності k дорівнює тангенсу кута.

Якщо задана пряма проходить через другу та четверту координатні чверті, то k дорівнює 0, і функція зростає. Нехай представлений графік є прямою лінією, яка розташовується будь-яким чином щодо осей координат. Тоді такою функцією графікабуде лінійна, яка представлена ​​видом y = kx + b, де змінні y і х стоять у першій , а b і k можуть набувати як негативних, так і позитивних значень або .

Якщо пряма паралельна прямий із графіком y = kx і відсікає на осі ординат b одиниць, тоді рівняння має вигляд x = const, якщо графік паралельний осі абсцис, то k = 0.

Крива лінія, яка складається з двох гілок, симетричних щодо початку координат і розташовуються в різних чвертях гіперболою. Такий графік показує зворотну залежність змінної y від змінної x і описується рівнянням виду y = k/x, де k не повинен дорівнювати нулю, так як є коефіцієнтом зворотної пропорційності. При цьому, якщо значення k більше за нуль, функція зменшується; якщо ж k менше за нуль – зростає.

Якщо запропонованим графіком є ​​парабола, що проходить через початок координат, її функція при виконанні умови, що b = с = 0, матиме вигляд y = ax2. Це найпростіший випадок квадратичної функції. Графік функції виду y = ax2 + bx + с матиме такий самий вигляд, як і найпростіший випадок, проте вершина (точка, де графік перетинається з віссю ординат) перебуватиме на початку координат. У квадратичній функції, представленій видом y = ax2 + bx + с, значення величин a, b і c - постійні, при цьому a не дорівнює нулю.

Параболою може бути графік статечної функції, вираженої рівнянням виду y = xⁿ, тільки якщо n є будь-яким парним числом. Якщо значення n - непарне число, такий графік статечної функції буде представлений кубічною параболою. У разі, якщо змінна n є будь-яким негативним числом, рівняння функції набуває вигляду .

Відео на тему

Координата абсолютно будь-якої точки на площині визначається двома її величинами: по осі абсцис та осі ординат. Сукупність безлічі таких точок і є графіком функції. По ньому ви бачите, як змінюється значення Y в залежності від зміни значення Х. Також ви можете визначити, на якій ділянці (проміжку) функція зростає, а на якій зменшується.

Інструкція

Що можна сказати про функцію, якщо її графік є прямою лінією? Подивіться, чи проходить ця пряма через точку початку відліку координат (тобто ту, де величини Х і Y дорівнюють 0). Якщо проходить, така функція описується рівнянням y = kx. Легко зрозуміти, що чим більше значення k, тим ближче до осі ординат буде розташовуватися ця пряма. А сама вісь Y фактично відповідає нескінченно великому значенню k.

>>Математика: Лінійна функція та її графік

Лінійна функція та її графік

Алгоритм побудови графіка рівняння ах + by + с = 0, який ми сформулювали в § 28, за всієї його чіткості та визначеності математикам не дуже подобається. Зазвичай вони висувають претензії до перших двох кроків алгоритму. Навіщо, кажуть вони, двічі розв'язувати рівняння щодо змінної у: спочатку ах1 + Ьу + с = О, потім ахг + Ьу + с = О? Чи не краще відразу виразити з рівняння ах + by + с = 0, тоді легше буде проводити обчислення (і, головне, швидше)? Давайте перевіримо. Розглянемо спочатку рівняння 3x - 2у + 6 = 0 (див. приклад 2 § 28).

Надаючи х конкретні значення, легко обчислити відповідні значення у. Наприклад, за х = 0 отримуємо у = 3; при х = -2 маємо у = 0; при х = 2 маємо у = 6; при х = 4 одержуємо: у = 9.

Бачите, як легко і швидко знайдені точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6) та (4; 9), які були виділені в прикладі 2 з § 28.

Так само рівняння Ьх - 2у = 0 (див. приклад 4 з § 28) можна було перетворити на вигляд 2у = 16 -3x. далі у = 2,5 x; неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), які задовольняють цьому рівнянню.

Нарешті, рівняння 3x + 2у - 16 = 0 з того ж прикладу можна перетворити на вигляд 2y = 16 -3x і далі неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), які йому задовольняють.

Розглянемо тепер зазначені перетворення у загальному вигляді.

Таким чином, лінійне рівняння (1) з двома змінними х і у завжди можна перетворити на вигляд
y = kx + m,(2) де k,m - числа (коефіцієнти), причому .

Цей окремий вид лінійного рівняння називатимемо лінійною функцією.

За допомогою рівності (2) легко, вказавши конкретне значення х, обчислити відповідне значення у. Нехай, наприклад,

у = 2х + 3. Тоді:
якщо х = 0, то у = 3;
якщо х = 1, то у = 5;
якщо х = -1, то у = 1;
якщо х = 3, то у = 9 тощо.

Зазвичай ці результати оформляють як таблиці:

Значення у другого рядка таблиці називають значеннями лінійної функції у = 2х + 3, відповідно, в точках х = 0, х = 1, х = -1, х = -3.

У рівнянні (1) змінні хну рівноправні, а рівнянні (2) - немає: конкретні значення ми надаємо однієї з них - змінної х, тоді як значення змінної у залежить від обраного значення змінної х. Тому зазвичай кажуть, що х – незалежна змінна (або аргумент), у – залежна змінна.

Зверніть увагу: лінійна функція – це спеціальний вид лінійного рівняння із двома змінними. Графіком рівнянняу - kx + т, як і будь-якого лінійного рівняння з двома змінними, є пряма - її називають також графком лінійної функції y = kx + тп. Отже, справедлива наступна теорема.

приклад 1.Побудувати графік лінійної функції у = 2х+3.

Рішення. Складемо таблицю:

У другій ситуації незалежна змінна х, що позначає, як і в першій ситуації, число днів, може набувати лише значень 1, 2, 3, ..., 16. Дійсно, якщо х = 16, то за формулою у = 500 - З0x знаходимо : у = 500 - 30 16 = 20. Отже, вже на 17-й день вивезти зі складу 30 т вугілля не вдасться, оскільки на складі до цього дня залишиться всього 20 т і процес вивезення вугілля доведеться припинити. Отже, уточнена математична модель другої ситуації виглядає так:

у = 500 - ЗОд: де х = 1, 2, 3, .... 16.

У третій ситуації незалежна зміннах теоретично може прийняти будь-яке невід'ємне значення (напр., значення х = 0, значення х = 2, значення х = 3,5 і т. д.), але практично турист не може крокувати з постійною швидкістю без сну та відпочинку скільки завгодно часу . Отже, нам потрібно було зробити розумні обмеження на х, скажімо, 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Нагадаємо, що геометричною моделлю нестрогої подвійної нерівності 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Умовимося замість фрази «х належить множині X» писати (читають: «елемент х належить множині X», е – знак приналежності). Як бачите, наше знайомство з математичною мовою постійно продовжується.

Якщо лінійну функцію у = kx + m треба розглядати не за всіх значень х, а лише для значень х з деякого числового проміжку X, то пишуть:

Приклад 2. Побудувати графік лінійної функції:

Рішення, а) Складемо таблицю для лінійної функції y = 2x + 1

Побудуємо на координатній площині хОу точки (-3; 7) та (2; -3) і проведемо через них пряму лінію. Це графік рівняння у = -2x: + 1. Далі, виділимо відрізок, що з'єднує побудовані точки (рис. 38). Цей відрізок є графік лінійної функції у = -2х+1, дехе [-3, 2].

Зазвичай кажуть так: ми збудували графік лінійної функції у = - 2х + 1 на відрізку [- 3, 2].

б) Чим відрізняється цей приклад від попереднього? Лінійна функція та сама (у = -2х + 1), отже, і її графіком служить та ж пряма. Але – будьте уважні! - цього разу х е (-3, 2), тобто значення х = -3 і х = 2 не розглядаються, вони не належать інтервалу (- 3, 2). Як ми відзначали кінці інтервалу на координатній прямій? Світлими кружальцями (рис. 39), про це ми говорили в § 26. Так само і точки (-3; 7) і B; - 3) доведеться відзначити на кресленні світлими кружальцями. Це буде нагадувати нам про те, що беруться лише ті точки прямої у = - 2х + 1, які лежать між точками, позначеними кружальцями (рис. 40). Втім, іноді у таких випадках використовують не світлі кружечки, а стрілки (рис. 41). Це неважливо, головне, розуміти, про що йдеться.

приклад 3.Знайти найбільше та найменше значення лінійної функції на відрізку.
Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції

Побудуємо на координатній площині хОу точки (0; 4) та (6; 7) і проведемо через них пряму - графік лінійної х функції (рис. 42).

Нам потрібно розглянути цю лінійну функцію не повністю, а на відрізку, тобто для хе.

Відповідний відрізок графіка виділено на кресленні. Помічаємо, що найбільша ордината у точок, що належать виділеній частині, дорівнює 7 - і є найбільше значення лінійної функції на відрізку . Зазвичай використовують такий запис: у най =7.

Зазначаємо, що найменша ордината у точок, що належать виділеній малюнку 42 частини прямої, дорівнює 4 - це і є найменше значення лінійної функції на відрізку .
Зазвичай використовують такий запис: y найм. = 4.

приклад 4.Знайти у наиб і y найм. для лінійної функції y = -1,5x + 3,5

а) на відрізку; б) на інтервалі (1,5);
в) на напівінтервалі.

Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = -l,5x + 3,5:

Побудуємо на координатній площині хОу точки (1; 2) та (5; - 4) і проведемо через них пряму (рис. 43-47). Виділимо на побудованій прямій частину, що відповідає значенням х із відрізка (рис. 43), з інтервалу A, 5) (рис. 44), з напівінтервалу (рис. 47).

а) За допомогою малюнка 43 неважко дійти невтішного висновку, що у наиб = 2 (цього значення лінійна функція досягає при х = 1), а у найм. = - 4 (цього значення лінійна функція досягає при х = 5).

б) Використовуючи малюнок 44, робимо висновок: ні найбільшого, ні найменшого значень на заданому інтервалі даної лінійної функції немає. Чому? Справа в тому, що, на відміну від попереднього випадку, обидва кінці відрізка, в яких і досягалися найбільше і найменше значення, з розгляду виключені.

в) За допомогою малюнка 45 укладаємо, що y наб. = 2 (як і першому випадку), а найменшого значення лінійної функції немає (як і другий випадок).

г) Використовуючи малюнок 46, робимо висновок: у най = 3,5 (цього значення лінійна функція досягає при х = 0), а у найм. не існує.

д) За допомогою малюнка 47 робимо висновок: y най = -1 (цього значення лінійна функція досягає при х = 3), а у наиб., не існує.

Приклад 5. Побудувати графік лінійної функції

у = 2х - 6. За допомогою графіка відповісти на такі питання:

а) за якого значення х буде у = 0?
б) за яких значень х буде у > 0?
в) при яких значеннях х буде у< 0?

Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = 2х-6:

Через точки (0; - 6) та (3; 0) проведемо пряму - графік функції у = 2х - 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. Графік перетинає вісь х у точці х = 3, і є точка з ординатою у = 0.
б) у > 0 при х > 3. Справді якщо х > 3, то пряма розташована вище за осі ж, отже, ординати відповідних точок прямої позитивні.

в) у< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Зауважте, що в цьому прикладі ми за допомогою графіка вирішили:

а) рівняння 2х – 6 = 0 (отримали х = 3);
б) нерівність 2х - 6> 0 (отримали х> 3);
в) нерівність 2x – 6< 0 (получили х < 3).

Зауваження. У російській мові часто той самий об'єкт називають по-різному, наприклад: «будинок», «будівля», «споруди», «котедж», «особняк», «барак», «хибара», «хатинка». У математичній мові ситуація приблизно та сама. Скажімо, рівність із двома змінними у = кх + m, де до, m - конкретні числа, можна назвати лінійною функцією, можна назвати лінійним рівнянням із двома змінними х і у (або з двома невідомими х і у), можна назвати формулою, можна назвати співвідношенням, що зв'язує х і у, можна назвати залежністю між х і у. Це неважливо, головне, розуміти, що у всіх випадках йдеться про математичну модель у = кх + m

.

Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, а. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно збільшуються, ми хіба що «піднімаємося в гору». У разі математики вживають термін зростання і кажуть так: якщо k>0, то лінійна функція у = kx + m зростає.

Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, б. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно зменшуються, ми хіба що «спускаємося з гірки». У таких випадках математики вживають термін спадання і говорять так: якщо k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Лінійна функція у житті

А тепер давайте підіб'ємо підсумок цієї теми. Ми з вами вже познайомилися з таким поняттям, як лінійна функція, знаємо її властивості та навчилися будувати графіки. Так само, ви розглядали окремі випадки лінійної функції і дізналися від чого залежить взаємне розташування графіків лінійних функцій. Але, виявляється, у нашому повсякденному житті ми також постійно перетинаємось із цією математичною моделлю.

Давайте ми з вами подумаємо, які справжні життєві ситуації пов'язані з таким поняттям, як лінійні функції? А також між якими величинами чи життєвими ситуаціями, можливо, встановлювати лінійну залежність?

Багато хто з вас, напевно, не зовсім уявляє, навіщо їм потрібно вивчати лінійні функції, адже це навряд чи стане в нагоді в подальшому житті. Але тут ви глибоко помиляєтеся, тому що з функціями ми стикаємося постійно та всюди. Оскільки навіть звичайна щомісячна квартплата також є функцією, яка залежить від багатьох змінних. А до цих змінних належать метраж площі, кількість мешканців, тарифів, використання електроенергії тощо.

Звичайно, найпоширенішими прикладами функцій лінійної залежності, з якими ми з вами стикалися – це уроки математики.

Ми з вами вирішували завдання, де знаходили відстані, які проїжджали машини, поїзди або проходили пішоходи за певної швидкості руху. Це і є лінійні функції часу руху. Але ці приклади можна застосувати не тільки в математиці, вони присутні в нашому повсякденному житті.

Калорійність молочних продуктів залежить від жирності, а така залежність, як правило, є лінійною функцією. Так, наприклад, зі збільшенням сметані відсотка жирності, збільшується і калорійність продукту.

Тепер давайте зробимо підрахунки та знайдемо значення k і b, розв'язавши систему рівнянь:

Тепер давайте виведемо формулу залежності:

У результаті ми отримали лінійну залежність.

Щоб знати швидкість розповсюдження звуку в залежності від температури, можливо, дізнатися, застосувавши формулу: v = 331 +0,6t де v - швидкість (в м / с), t - температура. Якщо ми накреслимо графік цієї залежності, побачимо, що він буде лінійним, тобто представляти пряму лінію.

І таких практичних використань знань у застосуванні лінійної функціональної залежності можна перераховувати довго. Починаючи від плати за телефон, довжини та зростання волосся і навіть прислів'їв у літературі. І цей список можна продовжувати до нескінченності.

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Завдання на характеристики і графіки квадратичної функції викликають, як показує практика, серйозні труднощі. Це досить дивно, бо квадратичну функцію проходять у 8 класі, а потім усю першу чверть 9-го класу "вимучують" властивості параболи та будують її графіки для різних параметрів.

Це з тим, що змушуючи учнів будувати параболи, мало приділяють часу на " читання " графіків, тобто практикують осмислення інформації, отриманої з картинки. Очевидно, передбачається, що, побудувавши зо два десятки графіків, кмітливий школяр сам виявить і сформулює зв'язок коефіцієнтів у формулі і зовнішній вигляд графіка. На практиці так не виходить. Для такого узагальнення необхідний серйозний досвід математичних міні досліджень, яким більшість дев'ятикласників, звичайно, не має. А тим часом, у ДПА пропонують саме за графіком визначити знаки коефіцієнтів.

Не вимагатимемо від школярів неможливого і просто запропонуємо один із алгоритмів вирішення подібних завдань.

Отже, функція виду y = ax 2 + bx + cназивається квадратичною, графіком її є парабола. Як випливає з назви, головним доданком є ax 2. Тобто ане повинно дорівнювати нулю, інші коефіцієнти ( bі з) нулю дорівнювати можуть.

Подивимося, як впливають зовнішній вигляд параболи знаки її коефіцієнтів.

Найпростіша залежність для коефіцієнта а. Більшість школярів впевнено відповідає: а> 0, то гілки параболи спрямовані вгору, і якщо а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В даному випадку а = 0,5

А тепер для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В даному випадку а = - 0,5

Вплив коефіцієнта зтеж досить просто простежити. Уявімо, що ми хочемо знайти значення функції у точці х= 0. Підставимо нуль у формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Виходить що у = с. Тобто з- це ордината точки перетину параболи з віссю. Як правило, цю точку легко знайти на графіку. І визначити вище за нуль вона лежить або нижче. Тобто з> 0 або з < 0.

з > 0:

y = x 2 + 4x + 3

з < 0

y = x 2 + 4x - 3

Відповідно, якщо з= 0, то парабола обов'язково проходитиме через початок координат:

y = x 2 + 4x

Складніше з параметром b. Точка, за якою ми його знаходитимемо, залежить не тільки від bале й від а. Це вершина параболи. Її абсцисса (координата з осі х) знаходиться за формулою х в = - b/(2а). Таким чином, b = - 2ах. Тобто, діємо наступним чином: на графіку знаходимо вершину параболи, визначаємо знак її абсциси, тобто дивимося правіше за нуль ( х в> 0) або лівіше ( х в < 0) она лежит.

Однак, це не все. Потрібно ще звернути увагу на знак коефіцієнта а. Тобто подивитися, куди спрямовані гілки параболи. І лише після цього за формулою b = - 2ахвизначити знак b.

Розглянемо приклад:

Гілки спрямовані вгору, отже а> 0, парабола перетинає вісь унижче за нуль, значить з < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в> 0. Значить b = - 2ах = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, з < 0.