Визначення похідних вищих порядку формула лейбніца. Старт у науці
Похідні вищих порядків
На цьому уроці ми навчимося знаходити похідні вищих порядків, а також записувати загальну формулу енної похідної. Крім того, буде розглянута формула Лейбніца такою похідною і на численні прохання - похідні вищих порядків від неявно заданої функції. Пропоную одразу ж пройти міні-тест:
Ось функція: і ось її перша похідна:
У тому випадку, якщо у вас виникли якісь труднощі/непорозуміння щодо цього прикладу, будь ласка, почніть із двох базових статей мого курсу: Як знайти похідну?і Похідна складної функції. Після освоєння елементарних похідних рекомендую ознайомитись із уроком Найпростіші завдання з похідною, на якому ми розібралися, зокрема зі другий похідний.
Неважко навіть здогадатися, що друга похідна – це похідна від 1-ї похідної:
У принципі другу похідну вже вважають похідною вищого порядку.
Аналогічно: третя похідна – це похідна від 2-ї похідної:
Четверта похідна – є похідна від 3-ї похідної:
П'ята похідна: , і очевидно, що всі похідні вищих порядків теж дорівнюватимуть нулю:
Крім римської нумерації на практиці часто використовують такі позначення:
, Похідну ж «енного» порядку позначають через . При цьому надрядковий індекс потрібно обов'язково укладати у дужки.– щоб відрізняти похідну від «гравця» у мірі.
Іноді зустрічається такий запис: - Третя, четверта, п'ята, ..., «Енна» похідні відповідно.
Вперед без страху та сумнівів:
Приклад 1
Дана функція. Знайти.
Рішення: Що тут попишеш ... - вперед за четвертою похідною :)
Чотири штрихи ставити вже не прийнято, тому переходимо на числові індекси:
Відповідь:
Добре, а тепер замислимося над таким питанням: що робити, якщо за умовою потрібно знайти не 4-ту, а, наприклад, 20-ту похідну? Якщо для похідної 3-4-5-го (максимум, 6-7-го)Порядок рішення оформляється досить швидко, то до похідних вищих порядків ми «доберемося» ой як не скоро. Не записувати ж справді 20 рядків! У подібній ситуації потрібно проаналізувати кілька знайдених похідних, побачити закономірність і скласти формулу енної похідної. Так, у Прикладі №1 легко зрозуміти, що при кожному наступному диференціюванні перед експонентою «вискакуватимуть» додаткова «трійка», причому на будь-якому кроці ступінь «трійки» дорівнює номеру похідної, отже:
Де – довільне натуральне число.
Якщо , то виходить точно 1-я похідна: якщо – то 2-а: і т.д. Таким чином, двадцята похідна визначається миттєво: – і жодних «кілометрових простирадл»!
Розігріваємось самостійно:
Приклад 2
Знайти функції. Записати похідну систему
Рішення та відповідь наприкінці уроку.
Після розминки, що бадьорить, розглянемо більш складні приклади, в яких відпрацюємо вищенаведений алгоритм рішення. Тим, хто встиг ознайомитись із уроком Межа послідовності, буде трохи легше:
Приклад 3
Знайти функції .
Рішення: щоб прояснити ситуацію знайдемо кілька похідних:
Отримані числа перемножувати не поспішаємо! ;-)
Мабуть, годі. …Навіть трохи переборщив.
На наступному кроці найкраще скласти формулу «енної» похідної. (якщо умова цього не вимагає, то можна обійтися чернеткою). Для цього дивимося на отримані результати та виявляємо закономірності, з якими виходить кожна наступна похідна.
По-перше, вони знаходять черги. Знакочередування забезпечує «мигалка», І оскільки 1-я похідна позитивна, то загальну формулу увійде наступний множник: . Підійде й еквівалентний варіант, але особисто я, як оптиміст, люблю знак «плюс» =)
По-друге, у чисельнику «накручується» факторіал, причому він «відстає» від похідної номера на одну одиницю:
І по-третє, у чисельнику зростає ступінь «двійки», яка дорівнює номеру похідної. Те саме можна сказати про ступінь знаменника. Остаточно:
З метою перевірки підставимо парочку значень «ен», наприклад, і :
Чудово, тепер припуститися помилки – просто гріх:
Відповідь:
Простіша функція для самостійного вирішення:
Приклад 4
Знайти функції.
І завдання цікавіше:
Приклад 5
Знайти функції.
Ще раз повторимо порядок дій:
1) Спочатку знаходимо кілька похідних. Щоб уловити закономірності зазвичай вистачає трьох-чотирьох.
2) Потім настійно рекомендую скласти (хоча б на чернетці)"Енну" похідну - вона гарантовано вбереже від помилок. Але можна уникнути і без , тобто. подумки прикинути і відразу записати, наприклад, двадцяту або восьму похідну. Більше того, деякі люди взагалі здатні вирішити ці завдання усно. Однак слід пам'ятати, що «швидкі» способи загрожують, і краще перестрахуватися.
3) На заключному етапі виконуємо перевірку «енної» похідної – беремо пару значень «ен» (краще за сусідні) і виконуємо підстановку. А ще надійніше – перевірити всі знайдені раніше похідні. Після чого підставляємо в потрібне значення, наприклад, і акуратно зачісуємо результат.
Коротке рішення 4 і 5 прикладів наприкінці уроку.
У деяких завданнях, щоб уникнути проблем, над функцією потрібно трохи почаклувати:
Приклад 6
Рішення: диференціювати запропоновану функцію зовсім не хочеться, оскільки вийде «поганий» дріб, який сильно ускладнить перебування наступних похідних.
У цьому доцільно виконати попередні перетворення: використовуємо формулу різниці квадратіві властивість логарифму :
Зовсім інша справа:
І старі подруги:
Думаю, все проглядається. Зверніть увагу, що другий дріб знак чергується, а перший - ні. Конструюємо похідну систему:
Контроль:
Ну і для краси винесемо факторіал за дужки:
Відповідь:
Цікаве завдання для самостійного вирішення:
Приклад 7
Записати формулу похідної порядку для функції
А зараз про непорушну кругову поруку, якою позаздрить навіть італійська мафія:
Приклад 8
Дана функція. Знайти
Вісімнадцята похідна у точці. Усього.
Рішення: спочатку, очевидно, потрібно знайти Поїхали:
З синусу починали, до синуса і прийшли. Зрозуміло, що за подальшого диференціювання цей цикл триватиме нескінченно, і виникає таке запитання: як краще «дістатись» до вісімнадцятої похідної?
Спосіб «аматорський»: швиденько записуємо праворуч у стовпчик номера наступних похідних:
Таким чином:
Але це працює, якщо порядок похідної не дуже великий. Якщо ж треба знайти, скажімо, соту похідну, слід скористатися подільністю на 4 . Сто ділиться на чотири без залишку, і легко бачити, що такі числа розташовуються в нижньому рядку, тому: .
До речі, 18 похідну теж можна визначити з аналогічних міркувань:
у другому рядку знаходяться числа, які поділяються на 4 із залишком 2.
Інший, більш академічний метод заснований на періодичності синусуі формулах наведення. Користуємося готовою формулою «енної» похідної синусу , в яку просто підставляється потрібний номер. Наприклад:
(формула приведення )
;
(формула приведення )
У нашому випадку:
(1) Оскільки синус – це періодична функція з періодом , то аргумент можна безболісно «відкрутити» 4 періоду (тобто .).
Похідну систему від виконання двох функцій можна знайти за формулою:
Зокрема:
Спеціально запам'ятовувати нічого не треба, бо чим більше формул знаєш – тим менше розумієш. Набагато корисніше ознайомитися з біномом Ньютонаоскільки формула Лейбніца дуже і дуже на нього схожа. Ну а ті везунчики, яким дістанеться похідна 7-го або вищих порядків (що, правда, малоймовірно), будуть змушені це зробити. Втім, коли черга дійде до комбінаторики– то все одно доведеться =)
Знайдемо третю похідну функції. Використовуємо формулу Лейбніца:
В даному випадку: . Похідні легко переклали усно:
Тепер акуратно та уважно виконуємо підстановку та спрощуємо результат:
Відповідь:
Аналогічне завдання для самостійного вирішення:
Приклад 11
Знайти функції
Якщо у попередньому прикладі рішення «в лоб» ще конкурувало з формулою Лейбниця, то тут воно вже буде справді неприємним. І ще неприємніше – у разі вищого порядку похідної:
Приклад 12
Знайти похідну вказаного порядку
Рішення: перше і суттєве зауваження - вирішувати ось так , напевно, не потрібно =) =)
Запишемо функції та знайдемо їх похідні до 5-го порядку включно. Припускаю, що похідні правого стовпця стали для вас усними:
У лівому ж стовпці «живі» похідні швидко «закінчилися» і це дуже добре – у формулі Лейбниця обнуляться три доданки:
Знову зупинюся на дилемі, яка фігурувала у статті про складних похідних: чи спрощувати результат? В принципі, можна залишити і так – викладачеві навіть легше перевірятиме. Але він може вимагати довести рішення до пуття. З іншого боку, спрощення за власною ініціативою загрожує помилками алгебри. Однак у нас є відповідь, отримана «первісним» способом =) (Див. посилання на початку), і я сподіваюся, він правильний:
Чудово, все зійшлося.
Відповідь:
Щасливе завдання для самостійного вирішення:
Приклад 13
Для функції:
а) визначити безпосереднім диференціюванням;
б) знайти за формулою Лейбніца;
в) обчислити.
Ні, я зовсім не садист - пункт "а" тут досить простий =)
А якщо серйозно, то «пряме» рішення послідовним диференціюванням теж має «право на життя» – у ряді випадків його складність можна порівняти зі складністю застосування формули Лейбніца. Використовуйте, якщо вважаєте за доцільне – це навряд чи буде основою незаліку завдання.
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
Щоб підняти заключний параграф, потрібно вміти диференціювати неявні функції:
Похідні вищих порядків від функцій, заданих неявно
Багато хто з нас витратив довгі години, дні та тижні життя на вивчення кіл, парабол, гіпербол– а іноді це взагалі здавалося покаранням. Тож давайте помстимось і продиференціюємо їх як слід!
Почнемо зі «шкільної» параболи до неї канонічному становищі:
Приклад 14
Дано рівняння. Знайти.
Рішення: перший крок добре знайомий:
Те, що функція та її похідна виражені неявно суті справи не змінює, друга похідна – це похідна від 1-ї похідної:
Однак свої правила гри існують: похідні 2-го та більш високих порядків прийнято висловлювати тільки через «ікс» та «ігрок». Тому в отриману 2-ю похідну підставимо:
Третя похідна – є похідна від 2-ї похідної:
Аналогічно, підставимо:
Відповідь:
«Шкільна» гіпербола в канонічному становищі– для самостійної роботи:
Приклад 15
Дано рівняння. Знайти.
Повторюю, що 2-у похідну і результат слід висловити лише через «ікс»/«ігрок»!
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
Після дитячих витівок подивимося німецьку порногр@фію розглянемо більш дорослі приклади, з яких дізнаємося ще один важливий прийом рішення:
Приклад 16
Еліпсвласною персоною.
Рішення: знайдемо 1-у похідну:
А тепер зупинимося і проаналізуємо наступний момент: зараз маємо диференціювати дріб, що зовсім не тішить. В даному випадку вона, звичайно, проста, але в реально зустрічаються завдання таких подарунків разів два і влаштувався. Чи існує спосіб уникнути знаходження громіздкої похідної? Існує! Беремо рівняння та використовуємо той самий прийом, що і при знаходженні 1-ї похідної – «навішуємо» штрихи на обидві частини:
Друга похідна повинна бути виражена тільки через і тому зараз (саме зараз)зручно позбутися 1-ї похідної. Для цього в отримане рівняння підставимо:
Щоб уникнути зайвих технічних труднощів, помножимо обидві частини на:
І лише на завершальному етапі оформляємо дріб:
Тепер дивимося на вихідне рівняння та помічаємо, що отриманий результат піддається спрощенню:
Відповідь:
Як знайти значення 2-ї похідної в будь-якій точці (яка, зрозуміло, належить еліпсу), наприклад, у точці ? Дуже легко! Цей мотив вже зустрічався на уроці про рівнянні нормалі: у вираз 2-ї похідної потрібно підставити :
Безумовно, у всіх трьох випадках можна отримати явно задані функції та диференціювати їх, але тоді морально настройте працювати з двома функціями, які містять коріння. На мою думку, рішення зручніше провести «неявним шляхом».
Заключний приклад для самостійного вирішення:
Приклад 17
Знайти неявно задану функцію
Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF
"Теж мені, біном Ньютона!»
з роману «Майстер і Маргарита»
«Трикутник Паскаля такий простий, що виписати його зможе навіть десятирічна дитина. У той самий час він таїть у собі невичерпні скарби і пов'язує докупи різні аспекти математики, які мають на перший погляд між собою нічого спільного. Такі незвичайні властивості дозволяють вважати трикутник Паскаля однією з найвитонченіших схем у всій математиці»
Мартін Гарднер.
Мета роботи:узагальнити формули скороченого множення, показати їх застосування до розв'язання задач.
Завдання:
1) вивчити та систематизувати інформацію з цього питання;
2) розібрати приклади завдань на застосування бінома Ньютона та формул суми та різниці ступенів.
Об'єкти дослідження:біном Ньютона, формули суми та різниці ступенів.
Методи дослідження:
Робота з навчальною та науково-популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет.
Розрахунки, порівняння, аналіз, аналогія.
Актуальність.Людині часто доводиться мати справу із завданнями, в яких потрібно підрахувати число всіх можливих способів розташування деяких предметів або число всіх можливих способів здійснення певної дії. Різні шляхи чи варіанти, які доводиться вибирати людині, складаються у найрізноманітніші комбінації. І цілий розділ математики, званий комбінаторикою, зайнятий пошуком відповіді питання: скільки всього є комбінацій у тому чи іншому випадку.
З комбінаторними величинами доводиться мати справу представникам багатьох спеціальностей: вченому-хіміку, біологу, конструктору, диспетчеру тощо. Посилення інтересу до комбінаторики останнім часом обумовлюється бурхливим розвитком кібернетики та обчислювальної техніки.
Вступ
Коли хочуть підкреслити, що співрозмовник перебільшує складність завдань, з якими він зіткнувся, кажуть: Теж мені біном Ньютона! Мовляв, ось біном Ньютона, це складно, а в тебе якісь проблеми! Про біном Ньютона чули навіть ті люди, інтереси яких не пов'язані з математикою.
Слово «біном» означає двочлен, тобто. суму двох доданків. Зі шкільного курсу відомі так звані формули скороченого множення:
( а+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Узагальненням цих формул є формула, яка називається формулою бінома Ньютона. Використовуються в школі та формули розкладання на множники різниці квадратів, суми та різниці кубів. Чи мають вони узагальнення для інших ступенів? Так, є такі формули, вони часто використовуються у вирішенні різних завдань: на доказ подільності, скорочення дробів, наближені обчислення.
Вивчення узагальнюючих формул розвиває дедуктивно-математичне мислення та загальні розумові здібності.
РОЗДІЛ 1. ФОРМУЛА БІНОМА НЬЮТОНА
Поєднання та їх властивості
Нехай X - множина, що складається з n елементів. Будь-яке підмножина Y множини X , що містить k елементів, називається поєднанням k елементів з n при цьому, k ≤ n .
Число різних поєднань k елементів з n позначається n k . Однією з найважливіших формул комбінаторики є наступна формула для числа n k :
Її можна записати після очевидних скорочень наступним чином:
Зокрема,
Це цілком узгоджується з тим, що у множині X є лише одне підмножина з 0 елементів - порожнє підмножина.
Числа C n k мають ряд чудових властивостей.
Справедлива формула n k = n - k n , (3)
Сенс формули (3) полягає в тому, що є взаємно-однозначна відповідність між безліччю всіх k-членних підмножин з X і безліччю всіх (n - k )-членних підмножин з X: щоб встановити цю відповідність, достатньо кожному k-членному підмножині Y зіставити його доповнення у множині X.
Справедлива формула З 0 n + З 1 n + З 2 n + … + З n n = 2 n (4)
Сума, що стоїть у лівій частині, виражає число всіх підмножин множини X (C 0 n є число 0-членних підмножин, C 1 n - число одночленних підмножин і т.д.).
За будь-якого k, 1≤ k≤ n , справедлива рівність
C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)
Цю рівність легко отримати з допомогою формули (1). Справді,
1.2. Висновок формули бінома Ньютона
Розглянемо ступені двочлена а +b .
n = 0, (а +b ) 0 = 1
n = 1, (а +b ) 1 = 1а+1b
n = 2,(а +b ) 2 = 1а 2 + 2аb +1 b 2
n = 3,(а +b ) 3 = 1 а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 +1 b 3
n = 4,(а +b ) 4 = 1а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 +4аb 3 +1 b 4
n = 5,(а +b ) 5 = 1а 5 + 5а 4 b + 10а 3 b 2 + 10а 2 b 3 + 5аb 4 + 1 b 5
Зауважимо такі закономірності:
Число членів одержуваного багаточлена на одиницю більше за показник ступеня бінома;
Показник ступеня першого доданку зменшується від n до 0, показник ступеня другого доданку зростає від 0 до n;
Ступені всіх одночленів рівні ступеня двочлена за умови;
Кожен одночлен є добутком першого та другого виразу у різних ступенях і деякого числа - біномінального коефіцієнта;
Біномінальні коефіцієнти, рівновіддалені від початку та кінця розкладання, рівні.
Узагальненням цих формул є така формула, звана формулою бінома Ньютона:
(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)
У цій формулі nможе бути будь-яким натуральним числом.
Виведемо формулу (6). Насамперед, запишемо:
(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)
де число дужок, що перемножуються, дорівнює n. Зі звичайного правила множення суми на суму випливає, що вираз (7) дорівнює сумі всіляких творів, які можна скласти наступним чином: будь-який доданок першої із сум а + bмножиться на будь-який доданок другої суми a +bна будь-який доданок третьої суми і т.д.
Зі сказаного ясно, що доданком у виразі для (a + b ) nвідповідають (взаємно-однозначно) рядки довжиною n, складені з літер а та b.Серед доданків зустрічатимуться такі члени; очевидно, що таким членам відповідають рядки, що містять однакову кількість букв а. Але число рядків, що містять рівно k разів букву а, Так само З n k . Отже, сума всіх членів, що містять букву а множником рівно k разів, дорівнює С n k a n - k b k . Оскільки k може набувати значень 0, 1, 2, …, n-1, n, то з нашого міркування випливає формула (6). Зауважимо, що (6) можна записати коротше: (8)
Хоча формулу (6) називають ім'ям Ньютона, насправді її відкрили ще до Ньютона (наприклад, її знав Паскаль). Заслуга Ньютона у тому, що знайшов узагальнення цієї формули у разі не цілих показників. Саме І. Ньютон у 1664-1665 рр. вивів формулу, що виражає ступінь двочлена для довільних дробових та негативних показників.
Числа 0 n , C 1 n , ..., C n n , що входять до формули (6), прийнято називати біноміальними коефіцієнтами, які визначаються так:
З формули (6) можна отримати низку властивостей цих коефіцієнтів. Наприклад, вважаючи а=1, b = 1, отримаємо:
2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,
тобто. формулу (4). Якщо покласти а= 1, b = -1, то матимемо:
0 = З 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n
або С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .
Це означає, що сума коефіцієнтів парних членів розкладання дорівнює сумі коефіцієнтів непарних членів розкладання; кожна їх дорівнює 2 n -1 .
Коефіцієнти членів, рівновіддалені від кінців розкладання, рівні. Це властивості випливає із співвідношення: З n k = З n n - k
Цікавий окремий випадок
(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0
або коротше (x +1) n = ∑C n k x n - k .
1.3. Поліноміальна теорема
Теорема.
Доведення.
Щоб після розкриття дужок вийшов одночлен, потрібно вибрати ті дужки, з яких береться, ті дужки, з яких береться і т.д. і ті дужки, з яких береться. Коефіцієнт при цьому одночлен після приведення подібних членів дорівнює числу способів , якими можна здійснити такий вибір. Перший крок послідовності виборів можна здійснити засобами, другий крок - , третій - і т.д., -й крок - засобами. Коефіцієнт, що шукається, дорівнює твору
РОЗДІЛ 2. Похідні вищих порядків.
Поняття похідних вищих систем.
Нехай функція диференційована у певному інтервалі. Тоді її похідна, взагалі кажучи, залежить від х, тобто є функцією від х. Отже, стосовно неї знову можна порушувати питання існування похідної.
Визначення . Похідна від першої похідної називається похідної другого порядку або другої похідної та позначається символом або, тобто
Визначення . Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку або третьою похідною і позначається або символом.
Визначення . Похіднийn -ого порядкуфункції називається перша похідна від похідної (n -1)-го порядку цієї функції і позначається символом або:
Визначення . Похідні порядку вище першого називаються найвищими похідними.
Зауваження. Аналогічно можна отримати формулу n-ой похідної функції:
Друга похідна параметрично заданої функції
Якщо функція задана параметрически рівняннями, то знаходження похідної другого порядку необхідно продиференціювати вираз її першої похідної, як складної функції незалежної змінної.
Так, то
та з урахуванням того, що,
Отримаємо, тобто.
Аналогічно можна знайти третю похідну.
Диференціал суми, твору та приватного.
Так як диференціал виходить з похідною множенням її на диференціал незалежної змінної, то, знаючи похідні основних елементарних функцій, а також правила для відшукання похідних, можна дійти аналогічних правил для відшукання диференціалів.
1 0 . Диференціал постійної дорівнює нулю.
2 0 . Диференціал суми алгебри кінцевого числа диференційованих функцій дорівнює сумі алгебри диференціалів цих функцій .
3 0 . Диференціал твору двох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів першої функції на диференціал другої і другої функції на диференціал першої .
Слідство. Постійний множник можна виносити знак диференціала.
2.3. Функції, задані параметрично, їхнє диференціювання.
Визначення . Функція називається заданою параметрично, якщо обидві змінні х і у визначаються кожна окремо як однозначні функції від однієї і тієї ж допоміжної змінної - параметраt :
деt змінюється у межах.
Зауваження . Наведемо параметричні рівняння кола та еліпса.
а) Коло з центром на початку координат та радіусом rмає параметричні рівняння:
б) Запишемо параметричні рівняння для еліпса:
Виключивши параметр tз параметричних рівнянь розглянутих ліній, можна дійти їх канонічних рівнянь.
Теорема . Якщо функція у від аргументу х задана параметрично рівняннями, де і диференційовані поt функції та, то.
2.4. Формула Лейбниця
Для знаходження похідної n-ого порядку від виконання двох функцій велике практичне значення має формула Лейбніца
Нехай uі v- Деякі функції від змінної х, що мають похідні будь-якого порядку та y = uv. Висловимо n-ую похідну через похідні функцій uі v .
Маємо послідовно
Легко помітити аналогію між виразами для другої та третьої похідних і розкладанням бінома Ньютона відповідно у другому та третьому ступенях, але замість показників ступеня стоять числа, що визначають порядок похідної, а самі функції можна розглядати як «похідні нульового порядку». Враховуючи це, отримаємо формулу Лейбніца:
Цю формулу можна довести методом математичної індукції.
РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛИ ЛЕЙБНИЦЯ.
Для обчислення похідної будь-якого порядку від виконання двох функцій, минаючи послідовне застосування формули обчислення похідної від виконання двох функцій, застосовується формула Лейбниця.
За допомогою цієї формули розглянемо приклади обчислення похідної n-го порядку від двох функцій.
приклад 1.
Знайти похідну другого порядку функції
Відповідно до визначення, друга похідна - це перша похідна від першої похідної, тобто
Тому спочатку знайдемо похідну першого порядку від заданої функції згідно правилам диференціюванняі використовуючи таблицю похідних:
Тепер знайдемо похідну від похідної першого порядку. Це буде шукана похідна другого порядку:
Відповідь:
приклад 2.
Знайти похідну-го порядку функції
Рішення.
Будемо послідовно знаходити похідні першого, другого, третього і так далі порядків заданої функції для того, щоб встановити закономірність, яку можна буде узагальнити на похідну.
Похідну першого порядку знаходимо як похідну приватного:
Тут вираз називається факторіалом числа. Факторіал числа дорівнює добутку чисел від одного до, тобто
Похідна другого порядку є першою похідною від першої похідної, тобто
Похідна третього порядку:
Четверта похідна:
Зауважимо закономірність: у чисельнику стоїть факторіал числа, яке дорівнює порядку похідної, а в знаменнику вираз у ступеню на одиницю більший, ніж порядок похідної, тобто
Відповідь.
приклад 3.
Знайти значення третьої похідної функції у точці.
Рішення.
Згідно таблиці похідних вищих порядків, маємо:
У цьому прикладі, тобто отримуємо
Зауважимо, що подібний результат можна було б отримати і за послідовного знаходження похідних.
У заданій точці третя похідна дорівнює:
Відповідь:
приклад 4.
Знайти другу похідну функції
Рішення.Для початку знайдемо першу похідну:
Для знаходження другої похідної продиференціюємо вираз для першої похідної ще раз:
Відповідь:
Приклад 5.
Знайти, якщо
Оскільки задана функція є добутком двох функцій, то знаходження похідної четвертого порядку доцільно буде застосувати формулу Лейбніца:
Знайдемо всі похідні та порахуємо коефіцієнти при доданках.
1) Порахуємо коефіцієнти при доданках:
2) Знайдемо похідні від функції:
3) Знайдемо похідні від функції:
Відповідь:
Приклад 6.
Дано функцію y=x 2 cos3x. Знайти похідну третього порядку.
Нехай u = cos3x, v = x 2 . Тоді за формулою Лейбніца знаходимо:
Похідні у цьому вираженні мають вигляд:
(cos3x)′=−3sin3x,
(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,
(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,
(x2)′=2x,
(x2)′′=2,
(x2)′′′=0.
Отже, третя похідна заданої функції дорівнює
1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.
Приклад 7.
Знайти похідну n -го порядку функції y=x 2 cosx.
Скористаємося формулою Лейбніца, вважаючиu=cosx, v=x 2 . Тоді
Інші члени ряду дорівнюють нулю, оскільки(x2)(i)=0 при i>2.
Похідна n -го порядку функції косинус:
Отже, похідна нашої функції дорівнює
ВИСНОВОК
У школі вивчаються і використовуються так звані формули скороченого множення: квадрати та куби суми та різниці двох виразів та формули розкладання на множники різниці квадратів, суми та різниці кубів двох виразів. Узагальненням цих формул є формула, звана формулою бінома Ньютона та формули розкладання на множники суми та різниці ступенів. Ці формули часто використовуються у вирішенні різних завдань: на доказ подільності, скорочення дробів, наближені обчислення. Розглянуто цікаві властивості трикутника Паскаля, тісно пов'язані з біномом Ньютона.
У роботі систематизовано інформацію на тему, наведено приклади завдань застосування бінома Ньютона і формул суми і різниці ступенів. Робота може бути використана у роботі математичного гуртка, а також для самостійного вивчення тими, хто захоплюється математикою.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1.Віленкін Н.Я. Комбінаторика.- вид. "Наука". - М., 1969 р.
2. Микільський С.М., Потапов М.К., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра та початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. організацій базовий та поглиблений рівні – М.: Просвітництво, 2014. – 431 с.
3.Рішення завдань зі статистики, комбінаторики та теорії ймовірностей. 7-9 кл. / Автор - укладач В.М. Студенецька. - Вид. 2-ге., випр. - Волгоград: Вчитель, 2009 р.
4.Савушкіна І.А., Хугаєв К.Д., Тишкін С.Б. Алгебраїчні рівняння вищих ступенів / методичний посібник слухачам міжвузівського підготовчого відділення. – Санкт-Петербург, 2001.
5. Шаригін І.Ф. Факультативний курс з математики: Розв'язання задач. Навчальний посібник для 10 кл. середньої школи. - М: Просвітництво, 1989.
6.Наука і життя, Біном Ньютона та трикутник Паскаля[Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/
Рішення прикладних завдань зводиться до обчислення інтеграла, але не завжди це можна зробити точно. Іноді потрібно знати значення певного інтеграла з певною мірою точності, наприклад, до тисячної.
Існують завдання, коли слід знайти наближене значення певного інтеграла з необхідною точністю, тоді застосовують чисельне інтегрування таке, як метод Симпосна, трапецій, прямокутників. Не всі випадки дають змогу обчислити його з певною точністю.
Ця стаття розглядає застосування формули Ньютона-Лейбніца. Це необхідно для точного обчислення певного інтегралу. Буде наведено докладні приклади, розглянуто заміни змінної у певному інтегралі та знайдемо значення певного інтеграла при інтегруванні частинами.
Формула Ньютона-Лейбніца
Визначення 1Коли функція y = y (x) є безперервною з відрізка [a; b ] ,а F (x) є однією з першорядних функцій цього відрізка, тоді формула Ньютона-Лейбніцавважається справедливою. Запишемо її так ∫ a b f(x) d x = F(b) - F(a) .
Цю формулу вважають основною формулою інтегрального обчислення.
Щоб довести цю формулу, необхідно використовувати поняття інтеграла з наявною змінною верхньою межею.
Коли функція y = f(x) безперервна з відрізка [a; b], тоді значення аргументу x ∈ a; b а інтеграл має вигляд ∫ a x f (t) d t і вважається функцією верхньої межі. Необхідно прийняти позначення функції набуде вигляду ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , вона є безперервною, причому для неї справедлива нерівність виду ∫ a x f (t) d t = Φ "(x) = f (x) .
Зафіксуємо, що прирощенні функції Φ (x) відповідає прирощенню аргументу ∆ x , необхідно скористатися п'ятою основною властивістю певного інтегралу та отримаємо
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) · x + ∆ x - x = f(c) · ∆ x
де значення c ∈ x; x + ∆ x.
Зафіксуємо рівність у вигляді Φ(x + ∆x) - Φ(x) ∆x = f(c) . За визначенням похідної функції необхідно переходити до межі при ∆ x → 0 , тоді отримуємо формулу виду Φ "(x) = f (x) . розташованої на [a;b] Інакше вираз можна записати
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C де значення C є постійною.
Зробимо обчислення F(a) з використанням першої властивості певного інтеграла. Тоді отримуємо, що
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , звідси отримуємо, що C = F (a) . Результат застосуємо при обчисленні F (b) і отримаємо:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), інакше кажучи, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( a) . Рівність доводить формулу Ньютона-Лейбніца ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a)
Приріст функції приймаємо як F x a b = F (b) - F (a) . За допомогою позначення формулу Ньютона-Лейбніца набуває вигляду ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Щоб застосувати формулу, обов'язково необхідно знати одну з первісних y = F(x) підінтегральної функції y = f(x) з відрізка [a; b ] , здійснити обчислення збільшення первісної з цього відрізка. Розглянемо кілька прикладів обчислення, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца.
Приклад 1
Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ 1 3 x 2 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.
Рішення
Розглянемо, що підінтегральна функція виду y = x2 є безперервною з відрізка [1; 3], тоді і інтегрована на цьому відрізку. По таблиці невизначених інтегралів бачимо, що функція y = x 2 має безліч першоподібних всім дійсних значень x , отже, x ∈ 1 ; 3 запишеться як F(x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необхідно взяти первісну з З = 0 тоді отримуємо, що F (x) = x 3 3 .
Скористаємося формулою Ньютона-Лейбніца і отримаємо, що обчислення певного інтеграла набуде вигляду ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
Відповідь:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Приклад 2
Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x за формулою Ньютона-Лейбніца.
Рішення
Задана функція безперервна з відрізка [-1; 2], отже, на ньому інтегрована. Необхідно знайти значення невизначеного інтеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x за допомогою методу підведення під знак диференціала, тоді отримуємо ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 e x 2+1+C.
Звідси маємо безліч первісних функцій y = x · e x 2 + 1 , які дійсні для всіх x , x ∈ - 1 ; 2 .
Необхідно взяти первісну при С = 0 і застосувати формулу Ньютона-Лейбніца. Тоді отримаємо вираз виду
∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Відповідь:∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Приклад 3
Здійснити обчислення інтегралів ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x і ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Рішення
Відрізок - 4; - 1 2 говорить про те, що функція, що знаходиться під знаком інтеграла, є безперервною, отже, вона інтегрована. Звідси знайдемо безліч первісних функцій y = 4 x 3 + 2 x 2 . Отримуємо, що
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Необхідно взяти первісну F (x) = 2 x 2 - 2 x тоді, застосувавши формулу Ньютона-Лейбніца, отримуємо інтеграл, який обчислюємо:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Проводимо перехід до обчислення другого інтегралу.
З відрізка [-1; 1 ] маємо, що підінтегральна функція вважається необмеженою, тому що lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тоді звідси випливає, що необхідною умовою інтегрованості з відрізка. Тоді F(x) = 2 x 2 - 2 x не є первісною для y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1 ] , оскільки точка O належить відрізку, але не входить до області визначення. Отже, є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1].
Відповідь: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,є певний інтеграл Рімана і Ньютона-Лейбніца для функції y = 4 x 3 + 2 x 2 з відрізка [-1; 1].
Перед використанням формули Ньютона-Лейбніца потрібно точно знати існування певного інтеграла.
Заміна змінної у певному інтегралі
Коли функція y = f(x) є певною і безперервною з відрізка [a; b], тоді наявна безліч [a; b] вважається областю значень функції x = g (z), визначеної на відрізку α; β з наявною безперервною похідною, де g (α) = a і g β = b , звідси отримуємо, що ?
Дану формулу застосовують тоді, коли потрібно обчислювати інтеграл a b f (x) d x , де невизначений інтеграл має вигляд f (x) d x , обчислюємо за допомогою методу підстановки.
Приклад 4
Здійснити обчислення певного інтеграла виду ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Рішення
Підінтегральна функція вважається безперервною на відрізку інтегрування, отже певний інтеграл має місце існування. Дамо позначення, що 2 x – 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Значення х = 9 означає, що z = 2 · 9 - 9 = 9 = 3 , а при х = 18 отримуємо, що z = 2 · 18 - 9 = 27 = 3 3 тоді g α = g (3) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При підстановці отриманих значень формулу ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z отримуємо, що
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z
За таблицею невизначених інтегралів маємо, що одна з первісних функцій 2 z 2 + 9 набуває значення 2 3 a r c t g z 3 . Тоді при застосуванні формули Ньютона-Лейбніца отримуємо, що
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3
Знаходження можна було робити, не використовуючи формулу ∫ a b f (x) d x = α β f (g (z)) · g "(z) d z .
Якщо за методу заміни використовувати інтеграл виду ∫ 1 x 2 x - 9 d x , можна дійти результату ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
Звідси зробимо обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца і обчислимо певний інтеграл. Отримуємо, що
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 - 9 3 - a r c t g 2 · 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - π 4 = π 18
Результати збіглися.
Відповідь: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Інтегрування частинами під час обчислення певного інтеграла
Якщо на відрізку [a; b ] визначені і безперервні функції u (x) і v (x) , тоді їх похідні першого порядку v "(x) · u (x) є інтегрованими, таким чином з цього відрізку для функції інтегрованої u "(x) · v ( x) рівність ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x справедливо.
Формулу можна використовувати тоді, необхідно обчислювати інтеграл a b f (x) d x , причому ∫ f (x) d x необхідно було шукати його за допомогою інтегрування частинами.
Приклад 5
Здійснити обчислення певного інтеграла ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
Рішення
Функція x · sin x 3 + π 6 інтегрована на відрізку - π 2; 3 π 2 означає вона безперервна.
Нехай u (x) = х, тоді d (v (x)) = v "(x) d x = sin x 3 + 6 d x , причому d (u (x)) = u "(x) d x = d x , а v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . З формули ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x отримаємо, що
∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Рішення прикладу можна виконати в інший спосіб.
Знайти безліч первісних функцій x · sin x 3 + π 6 за допомогою інтегрування частинами із застосуванням формули Ньютона-Лейбніца:
∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Відповідь: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter