Визначити відстань між двома паралельними. Як знайти відстань від точки до прямої у просторі? Устаткування, технічні умови

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , а з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цього найпростішого завдання суворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і дуже раціональний спосіб рішення. Найкоротший шлях – наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам зі шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосіб полягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типового та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевірка рішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наша захоплююча подорож продовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатому папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Проблеми тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати прості дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннями у загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найпильнішу увагу звернемо на знаменник – це точно скалярний добутокнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функції легко знайти сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

План-конспект уроку

Теорема про суму кутів трикутника

1. ПІБ: Сайфетдінова Гульнара Василівна

2. Місце роботи: Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа «Князівська середня загальноосвітня школа» Тукаївського району РТ

3. Посада: вчитель математики

4. Предмет: геометрія

5. Клас: 7 клас

6. Тема урока: Відстань від точки до прямої. Відстань між паралельними прямими.

7. Базовий підручник: Геометрія.7-9 класи: підручник для загальноосвітніх установ/авт. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

С.Б. Кадомцев та ін.,2010

8.Цілі:

Діяльнісна мета:створити умови для самостійного формулювання та доказу властивості похилих та перпедикуляра, опущених з точки на пряму, теореми про рівновіддаленість точок на паралельних прямих; організувати діяльність учнів зі сприйняття, осмислення та первинного закріплення нових знань та способів діяльності.

Освітня мета:

Предметні:

застосовувати поняття відстані від точки до прямої, відстані між прямими під час вирішення завдань

Метапредметні:

Регулятивні УУД:

Пізнавальні УУД:

Комунікативні УУД:

Особистісні УУД:

10. Методи навчання: проблемний, дослідницький.
11.Форми організації навчальної діяльності: фронтальна, групова, парна, індивідуальна, навчальні структури

12. Обладнання, технічні умови:

Комп'ютер, проектор, екран, інтернет, програмне забезпечення: Microsoft Power Point, розсадка в класі - по 4 особи за столом.

13. Тривалість уроку: 45 хв

14. План уроку

I . Організаційний момент.

II . Актуалізація знань.

III . Постановка мети уроку . Запровадження нового матеріалу.

VI. Підбиття підсумків. Рефлексія.

I . Організаційний момент.

Ціль: підготовка учнів до роботи, активізація уваги швидкого включення у діяльність.

Вчитель : Доброго дня, Хлопці? Як у вас настрій? А давайте ми його ще піднімемо та почнемо урок з посмішки! Усміхнемося партнерові по обличчю! Усміхнемося партнеру по плечу!

II . Актуалізація знань.

Вчитель : Ви вже як півроку вивчаєте новий предмет геометрії і напевно знаєте, що таке теорема Які засоби доказу знаєте?

Можливі відповіді учнів: Метод від протилежного, конструктивний метод, метод доказу виходячи з аксіом і раніше доведених теорем (слайд №2).

Вчитель: Хлопці, які у вас асоціації зі словом – відстань?

Можливі відповіді учнів: Відстань між містами, відстань між стовпами, відстань від чогось до чогось (Слайд №3).

Вчитель: Що називається відстанню між двома точками?

Можливі відповіді учнів: Довжина відрізка (Слайд №4).

Вчитель: Зробіть запис у технологічній карті у п.1

Вчитель: Зверніть увагу, що в геометрії під відстань розуміється найкоротша відстань. Зробіть запис у технологічній карті у п.2

Вчитель: Що можна сказати про взаємне розташування прямої АН та прямої а?

Вчитель: Як називаються ці прямі?

Вчитель: А як називається відрізок АН?

Вчитель: Запам'ятайте: Перпендикуляр – це відрізок. Зробіть запис у технологічній карті у п.3.

III. Постановка мети уроку.Запровадження нового матеріалу.

Вчитель: Практичне завдання:

Ми знаходимося на полі, через поле проходить дорога. Зобразіть математичну модель ситуації. Нам треба вийти на дорогу. Зобразіть траєкторію (слайд №6).

Вчитель: А як можна визначити математичною мовою цю траєкторію? Можливі відповіді учнів: Перпендикуляр

Вчитель: А чому не так? -

Спробуйте дати йому назву (Слайд №7).

Можливі відповіді учнів: Похила.

Вчитель: А скільки похилих можна провести із цієї точки?

Можливі відповіді учнів: Безліч.

(Слайд №7).

Вчитель: Ви вважаєте, що найкоротший шлях – це перпендикуляр? Доведіть.

Вчитель: Тепер доведіть, що будь-яка похила більша за перпендикуляр.

Що бачимо малюнку?

Можливі відповіді учнів: прямокутний трикутник (слайд №8).

Вчитель: Як у цьому трикутнику називаються перпендикуляр та похила? Можливі відповіді учнів: катет та гіпотенуза.

Вчитель: Чому гіпотенуза більша за катет?

Можливі відповіді учнів: Навпроти більшого кута лежить велика сторона. Найбільший кут у прямокутному трикутнику – прямий. Навпроти нього лежить гіпотенуза.

Вчитель. А як ще можна назвати відрізок АС. А якщо повернутись до змісту завдання?

Можливі відповіді учнів: Відстань від точки до прямої .

Вчитель: Сформулюйте визначення: «Відстань від точки до прямої – це…(довжина перпендикуляра опущеного із цієї точки прямо)» (слайд №9). Зробіть запис у технологічній карті у п.4.

Вчитель: Практичне завдання.

Знайдіть відстань від точки В до прямих А D іDC за допомогою креслярського трикутника та лінійки (Слайд №10).технологічна карта п.6

Вчитель: Практичне завдання. Побудуйте дві паралельні прямі a та b . На прямій а відзначте точку А. Опустіть перпендикуляр з точки А на пряму b . Поставте основу перпендикуляра точку У.

Що можна сказати про відрізок АВ? (Слайд №11).

Він є перпендикуляром і до прямої а і до прямої b .

Вчитель: Тому його називають загальним перпендикуляром (слайд №13). Зробіть запис у технологічній карті у п.5

Вчитель: Зробіть запис у технологічній карті у п.6

Вчитель:Завдання. Потрібно постелити лінолеум у довгому коридорі на підлогу. Відомо, що дві протилежні стіни – паралельні. На одному кінці коридору накреслили загальний перпендикуляр, і його довжина дорівнювала 4 м. Чи варто перевіряти ще раз довжини загальних перпендикулярів в інших місцях коридору? (Слайд №14).

Можливі відповіді учнів: Не потрібно їх довжини теж дорівнюватимуть 4.

Вчитель: Доведіть. Але для початку зобразіть математичну модель цієї ситуації. Щоб довести виділіть, що відомо, що потрібно довести.

Як у геометрії зазвичай доводиться рівність відрізків та кутів?

Можливі відповіді учнів: Через рівність трикутників, що містять ці відрізки та кути. Придумайте конструкцію, яка б нам довести рівність цих трикутників.

Структура SingleRoundRobin:

2.Чотири учні у команді відповідають по одному разу.

Вчитель: Доведіть рівність відрізків АВ та СD через рівність трикутників . На сигнальній дошці запишіть три умови ознаки рівності трикутників.

1.Учитель ставить питання і дає час подумати

Учні виконують додаткові побудови, доводять рівність трикутників, роблять висновок про рівність відрізків АВ та СD (слайд № 15-17).

Вчитель: ВідрізкиАВ та СD рівні. Що можна сказати про точку А і С щодо прямої BD?

Можливі відповіді учнів: Вони знаходяться на рівній відстані. Вони рівновіддалені (Слайд №18).

Вчитель: Чи для будь-яких точок виконується така властивість?

Можливі відповіді учнів: Так

Вчитель: Спробуємо сформулювати цю властивість. З чого полягає твердження якості?

Можливі відповіді учнів: З умови та укладання (Слайд №19,20).

Можливі відповіді учнів: Якщо точки лежать на одній із паралельних прямих, то вони рівновіддалені від другої прямої.

Вчитель: Відредагуйте цю властивість без спілок: якщо, то (Слайд №21).

Можливі відповіді учнів: Точки, що лежать на одній з паралельних прямих, рівновіддалені від другої прямої.

Структура Think-Write-Round Robin:

1.Учитель ставить питання і дає час подумати

2.Учні думають і записують відповідь на свій листочок

3. Учні по черзі зачитують свою відповідь з листочка.

Вчитель: Яке твердження називаємо зворотним?

Можливі відповіді учнів: Якщо умову та висновок поміняти місцями.

Вчитель: Сформулюйте зворотне твердження (Слайд №22).

Можливі відповіді учнів: Якщо точки, що лежать на одній із двох прямих, рівновіддалені від другої прямої, то прямі паралельні.

Вчитель: Зробіть запис у технологічній карті п.7,8.

Вчитель: Чи можливо визначити таке поняття як відстань між паралельними прямими?

Можливі відповіді учнів: Так

Вчитель: Що можна називати відстанню між паралельними прямими

Можливі відповіді учнів: Довжина загального перпендикуляра. Зробіть запис у технологічній карті у п.5.

IV. Застосування теореми, виконання практичної роботи.

Вчитель: Практична робота. Знайдіть ширину смужки.

Яким математичним поняттям є ширина смужки?

Вчитель: Де в практичному житті застосовуються ці теореми?

VI. Підбиття підсумків. Рефлексія.

Вчитель: З якими поняттями познайомилися?

Чого навчилися на уроці?

Де в житті ми це застосовуватимемо?

(Слайд №№26-28)

Вчитель: Зробіть запис у технологічній карті у п.9

Домашнє завдання № 276,279 – підтвердження зворотної теореми.

Самоаналіз уроку

Цілі:

Діяльнісна мета:створити умови для самостійного формулювання та доказу властивості похилих і перпедикуляра опущених з точки на пряму, створити умови для доказу теореми про рівновіддаленість точок на паралельних прямих; організувати діяльність учнів зі сприйняття, осмислення та первинного закріплення нових знань та способів діяльності.

Освітня мета:виробити знання про те, що перпендикуляр менше будь-якої похилої, проведених з однієї точки до прямої, всі точки кожної з двох паралельних прямих рівновіддалені від іншої прямої.

Предметні:учень отримає можливість навчитися:

застосовувати теорему під час вирішення практичних завдань

аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки на вирішення практичних завдань.

Метапредметні:

Регулятивні УУД:

вміння самостійно ставити цілі, вибирати та створювати алгоритми для вирішення навчальних математичних проблем;

вміння планувати та здійснювати діяльність, спрямовану на вирішення завдань дослідницького характеру.

Пізнавальні УУД:

• • вміння встановлювати причинно-наслідкові зв'язки, будувати логічний міркування, висновок, висновки;

  • вміння висувати гіпотези під час вирішення навчальних завдань та розуміти необхідність їх перевірки; вміння застосовувати індуктивні та дедуктивні способи міркування, бачити різні стратегії розв'язання задач;

  • розвивати початкові уявлення про ідеї та методи математики як про універсальну мову науки, про засіб моделювання явищ та процесів;

  • вміння розуміти та використовувати малюнки та креслення для ілюстрації, інтерпретації, аргументації.

Комунікативні УУД:

• вміння організовувати навчальну співпрацю та спільну діяльність з учителем та учнями, визначати цілі, розподіляти функції та ролі учасників, загальні способи роботи;

• вміння працювати в групі: знаходити загальне рішення та вирішувати конфлікти на основі узгодження позицій та обліку інтересів, слухати партнера, формулювати, аргументувати та відстоювати свою думку.

Особистісні УУД:

• формування комунікативної компетентності у спілкуванні та співробітництві у спільній навчально-дослідній діяльності;

  розвиток уміння ясно, точно, грамотно викладати свої думки в усному та писемному мовленні, розуміти сенс поставленого завдання, вибудовувати аргументацію, наводити приклади та контприклади;

  розвиток критичності мислення, уміння розпізнавати логічно некоректні висловлювання, відрізняти гіпотезу від факту;

  розвивати креативність мислення, ініціативу, винахідливість, активність під час вирішення геометричних завдань.

Структура фрагмента уроку відповідала типу – уроку відкриття нового знання. Відповідно до поставлених цілей та змісту матеріалу урок будувався за такими етапами:

I . Організаційний момент.

II . Актуалізація знань.

III . Постановка мети уроку . Запровадження нового матеріалу.

IV. Застосування теореми, виконання практичної роботи.

VI. Підбиття підсумків.

Усі структурні елементи уроку витримали. Організація навчального процесу побудована діяльнісним методом.

Метою першого етапубуло швидко включити учнів у діловий ритм.

На другому етапі були актуалізовані знання, необхідних роботи над новим матеріалом.

На третьому етапіЗ метою визначення понять відстані від точки до прямої поняття похилої залучила дітей до практичної діяльності з елементами пошуку. Спочатку на інтуїтивному рівні учні висували гіпотезу, далі самостійно довели властивість перпендикуляра та похилої, проведених з однієї точки до прямої.

Взагалі практичні завдання використовувала протягом усього уроку, зокрема і за первинному закріпленні. Вони допомагають залучити учнів до самостійної пізнавальної діяльності, і вирішують проблеми компетентнісного підходу у навчанні.

Для формулювання та доказу теореми про рівновіддаленість точок на паралельних прямих використовувала проблемну задачу, яка сприяла висуванню гіпотези про властивості об'єктів, що розглядаються, і з подальшим пошуком доказу справедливості висунутого припущення.

Організувавши роботу над формулюванням теореми, а потім і зворотної теореми я досягала метирозвитку початкових уявлень про ідеї та методи математики як про універсальну мову науки, про засіб моделювання явищ та процесів.

Навчально-пізнавальна діяльність було організовано через фронтальну роботу, індивідуальну, групову роботу. Така організація дозволила включити кожного учня в активну діяльність із досягнення мети. Учні співпрацювали один з одним, надаючи взаємодопомогу.

Час, я вважаю, було розподілено раціонально. За невеликий проміжок вдалося ввести поняття відстані від точки до прямої, похилої відстані між паралельними прямими, сформулювати дві теореми і довести, розглянути застосування теореми на практиці.

Для наочності протягом уроку використовувала презентацію. Використовувала спеціальну програму для демонстрації для порівняння довжини похилої та перпендикуляра, в якій геометричні фігури оживають. Протягом уроку використовувала роботу учнів на сигнальній дошці, яка вирішує проблеми рівної участі учнів на уроці, контролю за засвоєнням матеріалу, і, звичайно ж, активізує учня на уроці.

Учні під час уроку були активні, мені вдалося залучити до дослідницької діяльності, творчої діяльності, за конструктивного методу доказу теореми, формулювання теореми

Наприкінці уроку учні сформулювали тему.

Рефлексія

Доведення.

Візьмемо крапку , яка лежить на прямий aтоді координати точки М1задовольняють рівняннятобто справедливо рівністьзвідки маємо .

Якщо font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> bмає виглядfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, а якщо, то нормальне рівняння прямої bмає виглядfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Тоді при font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">відстань від точкидо прямої bобчислюється за формулою, а при - за формулою

Тобто за будь-якого значення С2відстаньвід крапки до прямої bможна обчислити за формулою. А якщо врахувати рівність, яке було отримано вище, то остання формула набуде виглядуfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

2. Розв'язання задач на знаходження відстані між паралельними прямими

Приклад №1.

Знайдіть відстань між паралельними прямимиі Рішення.

Отримаємо загальні рівняння заданих паралельних прямих.

Для прямої font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">відповідає загальне рівняння прямої. Перейдемо від параметричних рівнянь прямого виглядуfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">до загального рівняння цієї прямої:

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Коефіцієнти при змінних xі yв отриманих загальних рівняннях паралельних прямих рівні, тому ми одразу можемо застосувати формулу для обчислення відстані між паралельними прямими на площині:.

Відповідь: font-size:12.0pt; line-height:115%; font-family: Verdana">Приклад №2.

На площині введено прямокутну систему координат Oxyі дано рівняння двох паралельних прямихі . Знайдіть відстань між вказаними паралельними прямими.

Рішення:

Перший спосіб розв'язання.

Канонічні рівняння прямої на площині видуfont-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">дозволяють відразу записати координати точки М1, що лежить на цій прямій:font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Відстань від цієї точки до прямоїдорівнює шуканій відстані між паралельними прямими. Рівнянняє нормальним рівнянням прямої, отже, ми можемо відразу обчислити відстань від точкидо прямої font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Другий спосіб розв'язання.

Загальне рівняння однієї із заданих паралельних прямих нам вже даноfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Наведемо канонічне рівняння прямоїдо загального рівняння прямої:. Коефіцієнти при змінній xу загальних рівняннях заданих паралельних прямих рівні (при змінній yкоефіцієнти теж рівні - вони дорівнюють нулю), тому можна застосовувати формулу, що дозволяє обчислити відстань між заданими паралельними прямими:.

Відповідь: 8

3. Домашнє завдання

Завдання для самоперевірки

1. Знайти відстань між двома паралельними прямими

4.ВИСНОВОК

Усі поставлені цілі та завдання виконані повністю. Розроблено два уроки з розділу «Взаємне розташування об'єктів на площині» на тему «Відстань від точки до прямої. Відстань між паралельними прямими» за допомогою методу координат. Матеріал підібраний на доступному для учнів рівні, що дозволить вирішувати задачі з геометрії більш простими та красивими методами.

5.СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1) , Юдіна. 7 - 9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.

2) , Позняк. Підручник для 10-11 класів середньої школи.

3) , Микільська математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.

4) , Позняк геометрія.

6.ДОДАТКИ

Довідковий матеріал

Загальне рівняння прямої:

Ах + Ву + С = 0 ,

де Аі Уне дорівнюють нулю одночасно.

Коефіцієнти Аі Ує координатами нормального вектора прямий (тобто вектора, перпендикулярного до прямої). При А = 0 пряма паралельна осі ОХ, при В = 0 пряма паралельна осі Про Y .

При У0 отримуємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом :

Рівняння прямої, що проходить через точку ( х 0 , у 0) і не паралельної осіOY, має вигляд:

у – у 0 = m (x – х 0) ,

де m – кутовий коефіцієнт , рівний тангенсу кута, утвореного даною прямою і позитивним напрямком осі ОХ .

При А font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

де a = – C / A , b = – C / B . Ця пряма проходить через точки (a, 0) та (0, b), тобто відсікає на осях координат відрізки завдовжкиaі b .

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки (х 1, у 1) та ( х 2, у 2):

Параметричне рівняння прямої , що проходить через точку ( х 0 , у 0) та паралельною напрямному вектору прямий (a, b) :

Умови паралельності прямих:

1) для прямих Ах + Ву + С = 0 таDх+Eу+F = 0: AE – BD = 0 ,

2) для прямих у = m x+ k і у= p x+ q : m = p .

Не минуло й хвилини, як я створив новий Вердовський файл і продовжив таку захоплюючу тему. Потрібно ловити моменти робочого настрою, тож ліричного вступу не буде. Буде прозова порка =)

Дві прямі простори можуть:

1) схрещуватися;

2) перетинатися в точці;

3) бути паралельними;

4) збігатися.

Випадок № 1 принципово відрізняється з інших випадків. Дві прямі схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Підніміть одну руку вгору, а іншу руку витягніть вперед - ось вам і приклад прямих, що схрещуються. У пунктах № 2-4 прямі обов'язково лежать в одній площині.

Як з'ясувати взаємне розташування прямих у просторі?

Розглянемо два прямі простори:

- Пряму, задану точкою і напрямним вектором;
- Пряму, задану точкою і напрямним вектором.

Для кращого розуміння виконаємо схематичне креслення:

На кресленні як приклад зображені прямі, що схрещуються.

Як розібратися із цими прямими?

Так як відомі точки, то легко знайти вектор.

Якщо прямі схрещуються, то вектори не компланарні(Див. урок Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів), отже, визначник, складений із їх координат, ненульовий. Або, що практично те саме, буде відмінно від нуля: .

У випадках № 2-4 наша конструкція «падає» в одну площину, при цьому вектори компланарні, а змішане твір лінійно залежних векторів дорівнює нулю: .

Розкручуємо алгоритм далі. Припустимо, що , Отже, прямі або перетинаються, або паралельні, або збігаються.

Якщо напрямні вектори колінеарні, То прямі або паралельні, або збігаються. Фінальною цвяхом пропоную наступний прийом: беремо якусь точку однієї прямої і підставляємо її координати в рівняння другої прямої; якщо координати "підійшли", то прямі збігаються, якщо "не підійшли", то прямі паралельні.

Хід алгоритму невигадливий, але практичні приклади все одно не завадять:

Приклад 11

З'ясувати взаємне розташування двох прямих

Рішення: Як і в багатьох задачах геометрії, рішення зручно оформити за пунктами:

1) Витягуємо з рівнянь точки та напрямні вектори:

2) Знайдемо вектор:

Таким чином, вектори компланарні, отже, прямі лежать в одній площині і можуть перетинатися, бути паралельними або збігатися.

4) Перевіримо напрямні вектори на колінеарність.

Складемо систему з відповідних координат даних векторів:

З кожногорівняння слід, що , отже, система спільна, відповідні координати векторів пропорційні, і колінеарні вектори.

Висновок: прямі паралельні чи збігаються.

5) З'ясуємо, чи є у прямих спільні точки. Візьмемо точку , що належить першої прямої, і підставимо її координати до рівняння прямої :

Таким чином, спільних точок у прямих немає, і їм нічого не залишається, як бути паралельними.

Відповідь:

Цікавий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 12

З'ясувати взаємне розташування прямих

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що другий прямий як параметр виступає буква . Логічно. У загальному випадку - це дві різні прямі, тому у кожної прямий свій параметр.

І знову закликаю не пропускати приклади, пороти буду запропоновані мною завдання далеко не випадкові;-)

Завдання з прямою в просторі

У заключній частині уроку я намагатимусь розглянути максимальну кількість різних завдань із просторовими прямими. При цьому буде дотримано розпочатий порядок оповіді: спочатку ми розглянемо завдання з прямими, що схрещуються, потім з прямими, що перетинаються, і в кінці поговоримо про паралельні прямі в просторі. Однак повинен сказати, що деякі завдання даного уроку можна сформулювати відразу для кількох випадків розташування прямих, і у зв'язку з цим розбиття розділу на параграфи дещо умовно. Є простіші приклади, є складніші приклади, і, сподіваюся, кожен знайде те, що потрібно.

Схрещувальні прямі

Нагадую, що прямі схрещуються, якщо не існує площини, в якій вони обидві лежали б. Коли я продумував практику, на думку прийшло завдання-монстр, і зараз радий представити вашій увазі дракона з чотирма головами:

Приклад 13

Дані прямі. Потрібно:

а) довести, що прямі схрещуються;

б) знайти рівняння прямої , що проходить через точку перпендикулярно даним прямим;

в) скласти рівняння прямої , яка містить загальний перпендикулярпрямих, що схрещуються;

г) знайти відстань між прямими.

Рішення: Дорогу здолає той, хто йде:

а) Доведемо, що прямі схрещуються. Знайдемо точки та напрямні вектори даних прямих:

Знайдемо вектор:

Обчислимо змішаний твір векторів:

Таким чином, вектори не компланарні, Отже, прямі схрещуються, що й потрібно довести.

Напевно, всі вже давно помітили, що для прямих алгоритм перевірки, що схрещуються, виходить коротше всього.

б) Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна до прямого. Виконаємо схематичне креслення:

Для різноманітності я розмістив пряму ЗАПодивіться, як вона трохи стерта в точках схрещування. Схрещування? Так, у загальному випадку пряма «де» схрещуватиметься з вихідними прямими. Хоча зараз нас поки що не цікавить, треба просто побудувати перпендикулярну пряму і все.

Що відомо про пряму «де»? Відома точка, що їй належить. Бракує напрямного вектора.

За умовою пряма має бути перпендикулярна прямим , отже, її напрямний вектор буде ортогонален направляючим векторам . Вже знайомий із Прімера № 9 мотив, знайдемо векторний твір:

Складемо рівняння прямої «де» по точці та напрямному вектору:

Готово. В принципі, можна змінити знаки у знаменниках та записати відповідь у вигляді Але потреби в цьому немає ніякої.

Для перевірки необхідно підставити координати точки в отримані рівняння прямої, потім за допомогою скалярного твору векторівпереконатися, що вектор дійсно ортогональний напрямних векторів пе один і пе два.

Як знайти рівняння прямої, що містить загальний перпендикуляр?

в) Це завдання складніше буде. Чайникам рекомендую пропустити даний пункт, не хочу охолоджувати вашу щиру симпатію до аналітичної геометрії. повинен розташовуватися тут.

Отже, потрібно знайти рівняння прямої, яка містить загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються.

– це відрізок, що з'єднує дані прямі та перпендикулярний даним прямим:

Ось наш красень: - загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються. Він єдиний. Іншого такого немає. Нам же потрібно скласти рівняння прямої, що містить цей відрізок.

Що відомо про пряму «ем»? Відомий її напрямний вектор, знайдений у попередньому пункті. Але, на жаль, ми не знаємо жодної точки, що належить прямій «ем», не знаємо і кінців перпендикуляра – точок. Де ця перпендикулярна пряма перетинає дві вихідні прямі? В Африці, в Антарктиді? З початкового огляду та аналізу умови взагалі не видно, як вирішувати завдання. Але є хитрий хід, пов'язаний із використанням параметричних рівнянь прямої.

Рішення оформимо за пунктами:

1) Перепишемо рівняння першої прямої в параметричній формі:

Розглянемо точку. Координат ми не знаємо. АЛЕ. Якщо точка належить даної прямої, її координатам відповідає , позначимо його через . Тоді координати точки запишуться у вигляді:

Життя налагоджується, одне невідоме – таки не три невідомі.

2) Така ж наруга треба здійснити над другою точкою. Перепишемо рівняння другої прямої в параметричному вигляді:

Якщо точка належить даній прямій, то при цілком конкретному значенніїї координати повинні задовольняти параметричним рівнянням:

Або:

3) Вектор, як і раніше знайдений вектор, буде напрямним вектором прямий. Як скласти вектор по двох точках, розглядалося в незапам'ятні часи на уроці Вектори для чайників. Відмінність полягає в тому, що координати векторів записані з невідомими значеннями параметрів. Ну і що? Ніхто не забороняє від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку вектора.

Є дві точки: .

Знаходимо вектор:

4) Оскільки напрямні вектори колінеарні, один вектор лінійно виражається через інший з деяким коефіцієнтом пропорційності «лямбда»:

Або покоординатно:

Вийшла сама, що ні є звичайна система лінійних рівняньз трьома невідомими , яка стандартно можна розв'язати, наприклад, методом Крамера. Але тут є можливість позбутися малої крові, з третього рівняння висловимо «лямбду» і підставимо її в перше і друге рівняння:

Таким чином: , А «лямбда» нам не буде потрібно. Те, що значення параметрів вийшли однакові – чиста випадковість.

5) Небо повністю прояснюється, підставимо знайдені значення у наші точки:

Напрямний вектор особливо не потрібен, тому що вже знайдено його колега.

Після довгого шляху завжди цікаво виконати перевірку.

:

Отримано вірні рівності.

Підставимо координати точки у рівняння :

Отримано вірні рівності.

6) Заключний акорд: складемо рівняння прямої по точці (можна взяти) і напрямному вектору:

В принципі, можна підібрати «хорошу» точку з цілими координатами, але це вже косметика.

Як знайти відстань між прямими, що схрещуються?

г) Зрубуємо четверту голову дракона.

Спосіб перший. Навіть не спосіб, а невеликий окремий випадок. Відстань між схрещуючими прямими дорівнює довжині їхнього загального перпендикуляра: .

Крайні точки загального перпендикуляра знайдені в попередньому пункті, і завдання елементарне:

Спосіб другий. Насправді найчастіше кінці загального перпендикуляра невідомі, тому використовують інший підхід. Через дві прямі, що схрещуються, можна провести паралельні площини, і відстань між даними площинами дорівнює відстані між даними прямими. Зокрема, між цими площинами і стирчить загальний перпендикуляр.

У курсі аналітичної геометрії з вищесказаних міркувань виведена формула знаходження відстані між прямими схрещуються:
(Замість наших точок «ем один, два» можна взяти довільні точки прямих).

Змішаний твір векторіввже знайдено у пункті «а»: .

Векторний твір векторівзнайдено у пункті «бе»: , обчислимо його довжину:

Таким чином:

Гордо викладемо трофеї в один ряд:

Відповідь:
а) , отже, прямі схрещуються, що потрібно було довести;
б) ;
в) ;
г)

Що ще можна розповісти про прямі, що схрещуються? Між ними визначено кут. Але універсальну формулу кута розглянемо в наступному параграфі:

Прямі простори, що перетинаються, обов'язково лежать в одній площині:

Перша думка - всіма силами навалитися на точку перетину. І відразу ж подумалося, навіщо собі відмовляти у правильних бажаннях?! Давайте навалимося на неї прямо зараз!

Як знайти точку перетину просторових прямих?

Приклад 14

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Перепишемо рівняння прямих у параметричній формі:

Це завдання докладно розглядалося в Прикладі № 7 цього уроку (див. Рівняння прямої у просторі). А самі прямі, до речі, я взяв із Прімера № 12. Брехати не буду, нові ліньки вигадувати.

Прийом рішення стандартний і вже зустрічався, коли ми вимучували рівняння загального перпендикуляра прямих, що схрещуються.

Точка перетину прямих належить прямою , тому її координати задовольняють параметричним рівнянням даної прямої, і відповідає цілком конкретне значення параметра:

Але ця ж точка належить і другий прямий, отже:

Прирівнюємо відповідні рівняння та проводимо спрощення:

Отримано систему трьох лінійних рівнянь із двома невідомими. Якщо прямі перетинаються (що доведено в Прикладі № 12), система обов'язково спільна і має єдине рішення. Її можна вирішити методом Гауса, але вже таким дитсадківським фетишизмом грішити не будемо, зробимо простіше: з першого рівняння висловимо «те нульове» і підставимо його в друге і третє рівняння:

Останні два рівняння вийшли, по суті, однаковими, і з них випливає, що . Тоді:

Підставимо знайдене значення параметра рівняння:

Відповідь:

Для перевірки підставимо знайдене значення параметра рівняння:
Отримані самі координати, що й потрібно перевірити. Скрупульозні читачі можу підставити координати точки і вихідні канонічні рівняння прямих.

До речі, можна було поступити навпаки: точку знайти через «ес нульове», а перевірити – через «те нульове».

Відома математична прикмета говорить: там, де обговорюють перетин прямих, завжди пахне перпендикулярами.

Як побудувати пряму простір, перпендикулярну даній?

(прямі перетинаються)

Приклад 15

а) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої (Прямі перетинаються).

б) Знайти відстань від точки до прямої.

Примітка : застереження «прямі перетинаються» – істотна. Через точку
можна провести нескінченно багато перпендикулярних прямих, які схрещуватимуться з прямої «ель». Єдине рішення має місце у разі, коли через цю точку проводиться пряма, перпендикулярна двомзаданим прямим (див. приклад № 13, пункт «б»).

а) Рішення: Невідому пряму позначимо через . Виконаємо схематичне креслення:

Що відомо про пряму? За умовою дана точка. Для того щоб скласти рівняння прямої, необхідно знайти напрямний вектор. Як такий вектор цілком підійде вектор, їм і займемося. Точніше, візьмемо за шкірку невідомий кінець вектора.

1) Витягнемо з рівнянь прямої «ель» її напрямний вектор, а самі рівняння перепишемо в параметричній формі:

Багато хто здогадався, зараз уже втретє за урок фокусник дістане білого лебедя з капелюха. Розглянемо точку із невідомими координатами. Оскільки точка , її координати задовольняють параметричним рівнянням прямий «ель» їм відповідає конкретне значення параметра:

Або одним рядком:

2) За умовою прямі мають бути перпендикулярні, отже, їх напрямні вектори – ортогональні. А якщо вектори ортогональні, то їх скалярний добутокодно нулю:

Що вийшло? Найпростіше лінійне рівняння з однією невідомою:

3) Значення параметра відоме, знайдемо точку:

І напрямний вектор:
.

4) Рівняння прямої складемо по точці та напрямному вектору :

Знаменники пропорції вийшли дробові, і це якраз той випадок, коли дробів доречно позбутися. Я просто помножу їх на -2:

Відповідь:

Примітка : більш строга кінцівка рішення оформляється так: складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору . Дійсно, якщо вектор є напрямним вектором прямої, то колінеарний йому вектор , природно, теж буде напрямним вектором цієї прямої.

Перевірка складається з двох етапів:

1) перевіряємо напрямні вектори прямих на ортогональність;

2) підставляємо координати точки в рівняння кожної прямої, вони мають «підходити» і там, і там.

Про типові дії йшлося дуже багато, тому я виконав перевірку на чернетці.

До речі, забув ще пунктик - побудувати точку "зю" симетричну точці "ен" щодо прямої "ель". Втім, є хороший «плоский аналог», з яким можна ознайомитись у статті Найпростіші завдання з прямою на площині. Тут же вся відмінність буде в додатковій «зетовий» координаті.

Як знайти відстань від точки до прямої у просторі?

б) Рішення: Знайдемо відстань від точки до прямої .

Спосіб перший. Ця відстань у точності дорівнює довжині перпендикуляра: . Рішення очевидне: якщо відомі точки , то:

Спосіб другий. У практичних завданнях підстава перпендикуляра часто таємниця за сімома печатками, тому раціональніше користуватися готовою формулою.

Відстань від точки до прямої виражається формулою:
, де - напрямний вектор прямий "ель", а - довільнаточка, що належить даній прямій.

1) З рівнянь прямої дістаємо напрямний вектор і найдоступнішу точку.

2) Крапка відома з умови, заточимо вектор:

3) Знайдемо векторний витвірі обчислимо його довжину:

4) Розрахуємо довжину напрямного вектора:

5) Таким чином, відстань від точки до прямої:

Цей відеоурок буде корисним для тих, хто хоче самостійно вивчити тему «Відстань від точки до прямої. Відстань між паралельними прямими». У ході уроку ви зможете дізнатись про те, як можна розрахувати відстань від точки до прямої. Потім вчитель дасть визначення відстані між паралельними прямими.

У цьому уроці ми познайомимося з поняттям «відстань»в цілому. Також ми конкретизуємо це поняття у разі обчислення відстані між двома точками, точкою та прямою, паралельними прямими

Розглянемо малюнок 1. На ньому зображені 2 точки А і В. Відстанню між двома точками А і В є відрізок, що має кінці в заданих точках, тобто відрізок АВ

Мал. 1. АВ – відстань між точками

Примітно, що відстанню не можна вважати криву або ламану лінії, що з'єднують дві точки. Відстань- це найкоротший шлях від однієї точки до іншої. Саме відрізок АВ є найменшим із усіх можливих ліній, що з'єднують точки А та В

Розглянемо рисунок 2, на якому зображена пряма а,і точка А, яка не належить даній прямий. Відстань від точкиА до прямоїбуде довжина перпендикуляра АН.

Мал. 2. АН - відстань між точкою та прямою

Важливо зауважити, що АН - найкоротша відстань, тому що в трикутнику АМН даний відрізок є катетом, а інший довільний відрізок, що з'єднує точку А і пряму а(у разі - це АМ) буде гіпотенузою. Як відомо, катет завжди менший за гіпотенузу.

Позначення відстані:

Розглянемо паралельні прямі a і b, зображені малюнку 3

Мал. 3. Паралельні прямі a та b

Зафіксуємо дві точки на прямій aі опустимо з них перпендикуляри на паралельну їй пряму b. Доведемо, що якщо ,

Проведемо відрізок АМ для зручності доказу. Розглянемо отримані трикутники АВМ та АНМ. Оскільки, а, то. Аналогічно, . У даних прямокутних трикутників () сторона АМ – загальна. Вона є гіпотенузою обох трикутниках. Кути АМН і АМВ є внутрішніми накрестлежащими при паралельних прямих АВ і НМ і АМ. За відомою властивістю, .

З усього вище викладеного випливає, що . З рівності трикутників випливає, що АН = ВМ

Отже, ми довели, що малюнку 3 відрізки АН і ВМ рівні. Це означає що відстанню між паралельними прямимиє довжина їхнього загального перпендикуляра, причому вибір перпендикуляра може бути довільним. Таким чином,

Правильне і зворотне твердження: безліч точок, які знаходяться на тій самій відстані від деякої прямої, утворюють пряму, паралельну даній

Закріпимо наші знання, вирішимо кілька завдань

Приклад 1: Завдання 272 із підручника «Геометрія 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

У рівносторонньому трикутнику АВС проведено бісектрису АD. Відстань від точки D до прямої АС дорівнює 6 см. Знайти відстань від точки А до прямої ВС

Мал. 4. Креслення до прикладу 1

Рішення:

Рівностороннім трикутником називається трикутник із трьома рівними сторонами (отже, і з трьома рівними кутами, тобто - по 60 0). Рівносторонній трикутник є окремим випадком рівнобедреного, тому всі властивості, властиві рівнобедреному трикутнику, поширюються і на рівносторонній. Тому АD - не тільки бісектриса, але ще й висота, отже AD ⊥BC

Оскільки відстань від точки D до прямої АС це довжина перпендикуляра, опущеного з точки D на пряму АС, то DH - дана відстань. Розглянемо трикутник АНD. У ньому кут Н = 90 0 так як DH - перпендикуляр до АС (за визначенням відстані від точки до прямої). Крім цього, в даному трикутнику катет DH лежить проти кута, тому AD = (см) (За якістю)

Відстань від точки А до прямої ПС - це довжина опущеного на пряму ПС перпендикуляра. За доведеним AD ⊥BC, отже, .

Відповідь: 12 см.

Приклад 2: Завдання 277 із підручника «Геометрія 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

Відстань між паралельними прямими a та b дорівнює 3 см, а відстань між паралельними прямими a та c дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між паралельними прямими b та c

Рішення:

Мал. 5. Креслення до прикладу 2 (перший випадок)

Оскільки , то = 5 – 3 = 2 (см).

Однак ця відповідь неповна. Існує й інший варіант розташування прямих на площині:

Мал. 6. Креслення до прикладу 2 (другий випадок)

В даному випадку .

1. Єдина колекція цифрових освітніх ресурсів ().
2. Репетитор з математики ().

1. № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Е. Г., Юдіна І. І. за редакцією Тихонова А. Н. Геометрія 7-9 класи. М: Просвітництво. 2010 р.
2. Сума гіпотенузи РЄ та катета СК прямокутного трикутника СКЕ дорівнює 31 см, а їх різниця дорівнює 3 см. знайдіть відстань від вершини С до прямої КЕ
3. На підставі АВ рівнобедреного трикутника АВС взято точку М, рівновіддалену від бічних сторін. Доведіть, що СМ – висота трикутника АВС
4. Доведіть, що всі точки площини, розташовані по одну сторону від даної прямої та рівновіддалені від неї, лежать на прямій, паралельній даній