Визначати кут між прямими. Знаходження кута між прямими

Завдання 1

Знайти косинус кута між прямими $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ і $\left\(\begin(array) )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$.

Нехай у просторі задані дві прямі: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_(1) ) )(p_(1) ) $ і $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z- z_(2) )(p_(2) ) $. Виберемо у просторі довільну точку і проведемо через неї дві допоміжні прямі, паралельні даним. Кутом між даними прямими є будь-який із двох суміжних кутів, утворених допоміжними прямими. Косинус одного з кутів між прямими можна знайти за відомою формулою $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) +p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2)^(2) +n_( 2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2) ) ) $. Якщо значення $\cos \phi >0$, то отримано гострий кут між прямими, якщо $\cos \phi

Канонічні рівняння першої прямої: $ frac (x + 3) (5) = frac (y-2) (-3) = frac (z-1) (4) $.

Канонічні рівняння другої прямої можна отримати з параметричних:

\ \ \

Таким чином, канонічні рівняння даної прямої: $ frac (x + 3) (2) = frac (y-1) (-1) = frac (z-5) (3) $.

Обчислюємо:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\) left(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \approx 0,9449.\]

Завдання 2

Перша пряма проходить через задані точки $A\left(2,-4,-1right)$ і $B\left(-3,5,6right)$, друга пряма - через задані точки $C\left (1,-2,8 \ right) $ і $ D \ left (6,7, -2 \ right) $. Знайти відстань між цими прямими.

Нехай деяка пряма перпендикулярна до прямих $AB$ і $CD$ і перетинає в точках $M$ і $N$ відповідно. За таких умов довжина відрізка $MN$ дорівнює відстані між прямими $AB$ та $CD$.

Будуємо вектор $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Нехай відрізок, що зображує відстань між прямими, проходить через точку $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ на прямий $AB$.

Будуємо вектор $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

Вектори $\overline(AB)$ і $\overline(AM)$ збігаються, отже, вони колінеарні.

Відомо, що якщо вектори $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ і $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ колінеарні, то їх координати пропорційні, то є $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2))) )((\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, де $m $ - Результат поділу.

Звідси отримуємо: $ x_ (M) -2 = -5 \ cdot m $; $ y_(M) +4 = 9 \ cdot m $; $ z_ (M) +1 = 7 \ cdot m $.

Остаточно отримуємо вирази для координат точки $M$:

Будуємо вектор $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ left(-2-8right)cdot bar(k)=5cdot bar(i)+9cdotbar(j)-10cdotbar(k).

Нехай відрізок, що зображує відстань між прямими, проходить через точку $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ на прямий $CD$.

Будуємо вектор $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

Вектори $\overline(CD)$ і $\overline(CN)$ збігаються, отже, вони колінеарні. Застосовуємо умову колінеарності векторів:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, де $n $ - Результат поділу.

Звідси отримуємо: $ x_ (N) -1 = 5 \ cdot n $; $ y_ (N) +2 = 9 \ cdot n $; $ z_ (N) -8 = -10 \ cdot n $.

Остаточно отримуємо вирази для координат точки $N$:

Будуємо вектор $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]

Підставляємо вирази для координат точок $M$ і $N$:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\right)\right)\cdot \bar(k).\]

Виконавши дії, отримуємо:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Оскільки прямі $AB$ і $MN$ перпендикулярні, то скалярний добуток відповідних векторів дорівнює нулю, тобто $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot mright)+9cdot \left(2+9cdot n-9cdot mright)+7cdot \ left (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ right) = 0; \] \

Виконавши дії, отримуємо перше рівняння для визначення $m$ і $n$: $155cdot m+14cdot n=86$.

Оскільки прямі $CD$ і $MN$ перпендикулярні, то скалярний добуток відповідних векторів дорівнює нулю, тобто $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5+25cdot n+25cdot m+18+81cdot n-81cdot m-90+100cdot n+70cdot m=0.\]

Виконавши дії, отримуємо друге рівняння для визначення $m$ і $n$: $14cdot m+206cdot n=77$.

Знаходимо $m$ і $n$, вирішивши систему рівнянь $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\cdot n =77) \end(array)\right.$.

Застосовуємо метод Крамера:

Знаходимо координати точок $M$ і $N$:

\ \

Остаточно:

Остаточно записуємо вектор $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar (j) + \ left (4,618-2,6701 \ right) \ cdot \ bar (k) $ або $ \ overline (MN) = 3,3125 \ cdot \ bar (i) +0,3251 \ cdot \ bar( j) +1,9479 \ cdot \ bar (k) $.

Відстань між прямими $AB$ і $CD$ - це довжина вектора $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \approx 3,8565 $ лін. од.

Нехай у просторі задані прямі lі m. Через деяку точку А простору проведемо прямі l 1 || lі m 1 || m(Рис. 138).

Зауважимо, що точка А може бути обрана довільно, зокрема, вона може лежати на одній з даних прямих. Якщо прямі lі mперетинаються, то за А можна взяти точку перетину цих прямих ( l 1 = lі m 1 = m).

Кутом між непаралельними прямими lі mназивається величина найменшого із суміжних кутів, утворених прямими, що перетинаються. l 1 і m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Кут між паралельними прямими вважається рівним нулю.

Кут між прямими lі mпозначається $\widehat((l;m)) $. З визначення слід, що й він вимірюється у градусах, то 0° < $\widehat((l;m)) $ < 90°, а якщо в радіанах, то 0 < $\widehat((l;m)) $ < π / 2 .

Завдання.Даний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 139).

Знайти кут між прямими АВ та DС 1 .

Прямі АВ і DС 1 схрещуються. Так як пряма DC паралельна прямий АВ, то кут між прямими АВ і DС 1 згідно з визначенням дорівнює $\widehat(C_(1)DC)$.

Отже, $\widehat((AB;DC_1))$ = 45 °.

Прямі lі mназиваються перпендикулярнимиякщо $\widehat((l;m)) $ = π / 2 . Наприклад, у кубі

Обчислення кута між прямими.

Завдання обчислення кута між двома прямими у просторі вирішується так само, як і на площині. Позначимо через φ величину кута між прямими l 1 і l 2 а через ψ - величину кута між напрямними векторами а і b цих прямих.

Тоді, якщо

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (рис. 206,6), то φ = 180 ° - ψ. Вочевидь, що у обох випадках правильна рівність cos φ = |cos ψ|. За формулою (косинус кута між ненульовими векторами а і b дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їх довжин) маємо

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

отже,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Нехай прямі задані своїми канонічними рівняннями

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; та \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Тоді кут між прямими визначається за допомогою формули

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Якщо одна з прямих (або обидві) задана не канонічних рівнянь, то для обчислення кута потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих, а потім скористатися формулою (1).

Завдання 1.Обчислити кут між прямими

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;і\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Напрямні вектори прямих мають координати:

а = (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

За формулою (1) знаходимо

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Отже, кут між даними прямими дорівнює 60 °.

Завдання 2.Обчислити кут між прямими

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\x+y-3z-1=0\end(cases) та \begin(cases)4x-y+z=0\y+z+1 =0\end(cases) $$

За напрямний вектор а першої прямої візьмемо векторний добуток нормальних векторів n 1 = (3; 0; -12) та n 2 = (1; 1; -3) площин, що задають цю пряму. За формулою $=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) $ отримуємо

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Аналогічно знаходимо напрямний вектор другий прямий:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Але формулі (1) обчислюємо косинус шуканого кута:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Отже, кут між цими прямими дорівнює 90°.

Завдання 3.У трикутній піраміді МАВС ребра MA, MB та МС взаємно перпендикулярні (рис. 207);

їх довжини відповідно дорівнюють 4, 3, 6. Точка D - середина [МА]. Знайти кут φ між прямими СА та DB.

Нехай СА та DB - напрямні вектори прямих СА та DB.

Приймемо точку М за початок координат. За умовою зядачі маємо А (4; 0; 0), В (0; 0; 3), С (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Тому $\overrightarrow(CA)$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow(DB)$= (-2; 0; 3). Скористаємося формулою (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

По таблиці косінусів знаходимо, що кут між прямими СА і DB дорівнює приблизно 72 °.

а. Нехай дані дві прямі Ці прямі як було зазначено в розділі 1, утворюють різні позитивні та негативні кути, які при цьому можуть бути як гострими, так і тупими. Знаючи один із цих кутів ми легко знайдемо якийсь інший.

Між іншим, у всіх цих кутів чисельна величина тангенсу одна й та сама, відмінність може бути лише у знаку

Рівняння прямих. Числа суть проекції напрямних векторів першої та другої прямої Кут між цими векторами дорівнює одному з кутів, що утворюються прямими лініями. Тому завдання зводиться до визначення кута між векторами.

Для простоти можна умовитися під кутом між двома прямими розуміти гострий позитивний кут (як, наприклад, рис. 53).

Тоді тангенс цього кута завжди буде позитивним. Таким чином, якщо в правій частині формули (1) вийде знак мінус, ми його повинні відкинути, тобто зберегти тільки абсолютну величину.

приклад. Визначити кут між прямими

За формулою (1) маємо

с. Якщо буде зазначено, яка зі сторін кута є його початком і яка кінцем, то, відраховуючи завжди напрям кута проти годинникової стрілки, ми можемо формули (1) витягти щось більше. Як неважко переконатися із рис. 53 знак, що виходить у правій частині формули (1), буде вказувати, який саме - гострий або тупий - кут утворює друга пряма з першою.

(Дійсно, з рис, 53 ми вбачаємо, що кут між першим і другим напрямними векторами або дорівнює шуканому куту між прямими, або відрізняється від нього на ±180 °.)

d. Якщо прямі паралельні, то паралельні та їх напрямні вектори Застосовуючи умову паралельності двох векторів отримаємо!

Це умова необхідна і достатня для паралельності двох прямих.

приклад. Прямі

паралельні, оскільки

e. Якщо прямі перпендикулярні, то їх напрямні вектори теж перпендикулярні. Застосовуючи умову перпендикулярності двох векторів ми отримаємо умову перпендикулярності двох прямих, а саме

приклад. Прямі

перпендикулярні через те, що

У зв'язку з умовами паралельності та перпендикулярності вирішимо наступні два завдання.

f. Через точку провести пряму паралельно даній прямій

Рішення проводиться так. Оскільки пряма паралельна даної, то за її напрямний вектор можна взяти той же самий, що і у даної прямої, тобто вектор з проекціями А і В. А тоді рівняння шуканої прямої напишеться у формі (§ 1)

приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (1; 3) паралельно прямий

буде наступне!

g. Через точку провести пряму перпендикулярно даній прямій

Тут за напрямний вектор не годиться брати вектор з проекціями А і , а треба віяти вектор, йому перпендикулярний. Проекції цього вектора мають бути обрані таким чином, згідно з умовою перпендикулярності обох векторів, тобто згідно з умовою

Виконати ж цю умову можна незліченною безліччю способів, тому що тут одне рівняння з двома невідомими. Але найпростіше взяти йди ж. Тоді рівняння шуканої прямої напишеться у формі

приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (-7; 2) перпендикулярної прямої

буде наступне (за другою формулою)!

h. У тому випадку, коли прямі задані рівняннями виду

переписуючи ці рівняння інакше, маємо

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Так як , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих рівносильні умовам паралельності та перпендикулярності їх напрямних векторів та :

Дві прямі паралельнітоді й лише тоді, коли відповідні коефіцієнти пропорційні, тобто. l 1 паралельна l 2 і тоді, коли паралельний .

Дві прямі перпендикулярніі тоді, коли сума творів відповідних коефіцієнтів дорівнює нулю: .

У гол між прямою та площиною

Нехай пряма d- не перпендикулярна площині θ;
d′− проекція прямий dна площину θ;
Найменший із кутів між прямими dі d′ ми назвемо кутом між прямою та площиною.
Позначимо його як φ=( d,θ)
Якщо d⊥θ , то ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→ − прямокутна система координат.
Рівняння площини:

θ: Ax+By+Cz+D=0

Вважаємо, що пряма задана точкою та напрямним вектором: d[M 0,p→]
Вектор n→(A,B,C)⊥θ
Тоді залишається з'ясувати кут між векторами n→ і p→, позначимо його як γ=( n→,p→).

Якщо кут γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Якщо кут γ>π/2 , то кут, що шукається φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тоді, кут між прямою та площиноюможна вважати за формулою:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Вопрос29. Концепція квадратичні форми. Знаковизначеність квадратичних форм.

Квадратичною формою j (х 1, х 2, …, x n) n дійсних змінних х 1, х 2, …, x nназивається сума виду , (1)

де a ij - Деякі числа, звані коефіцієнтами. Не обмежуючи спільності, можна вважати, що a ij = a ji.

Квадратична форма називається дійсною,якщо a ij Î ГR. Матрицею квадратичної форминазивається матриця, складена з її коефіцієнтів. Квадратичній формі (1) відповідає єдина симетрична матриця Т. о. А Т = А. Отже, квадратична форма (1) може бути записана матричному вигляді j ( х) = х Т Ах, де х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)

І, навпаки, будь-якій симетричній матриці (2) відповідає єдина квадратична форма з точністю до позначення змінних.

Рангом квадратичної форминазивають ранг її матриці. Квадратична форма називається невиродженою,якщо невиродженою є її матриця А. (нагадаємо, що матриця Аназивається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю). Інакше квадратична форма є виродженою.

позитивно визначеною(або суворо позитивною), якщо

j ( х) > 0 для будь-якого х = (х 1 , х 2 , …, x n), крім х = (0, 0, …, 0).

Матриця Апозитивно визначеної квадратичної форми j ( х) також називається позитивно визначеною. Отже, позитивно визначеної квадратичної форми відповідає єдина позитивно визначена матриця і навпаки.

Квадратична форма (1) називається негативно визначеною(або суворо негативною), якщо

j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), крім х = (0, 0, …, 0).

Аналогічно як і вище, матриця негативно визначеної квадратичної форми також називається негативно визначеною.

Отже, позитивно (негативно) певна квадра-тична форма j ( х) досягає мінімального (максимального) значення j ( х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Зазначимо, що більшість квадратичних форм перестав бути знаковизначеними, тобто вони є ні позитивними, ні негативними. Такі квадратичні форми звертаються до 0 як початку системи координат, а й у інших точках.

Коли n> 2 потрібні спеціальні критерії перевірки знаковизначеності квадратичної форми. Розглянемо їх.

Головними мінорамиквадратичної форми називаються мінори:

тобто це мінори порядку 1, 2, …, nматриці А, розташовані у лівому верхньому куті, останній з них збігається з визначником матриці А.

Критерій позитивної визначеності (Критерій Сільвестра)

х) = х Т Ахбула позитивно визначеною, необхідно і достатньо, що всі головні мінори матриці Абули позитивні, тобто: М 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Критерій негативної визначеності Для того щоб квадратична форма j ( х) = х Т Ахбула негативно визначеною, необхідно і достатньо, щоб її головні мінори парного порядку були позитивні, а непарного – негативні, тобто: М 1 < 0, M 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)n

За допомогою цього онлайн-калькулятора можна знайти кут між прямими. Надається докладне рішення з поясненнями. Для обчислення кута між прямими задайте розмірність (2-якщо розглядається пряма на площині, 3- якщо розглядається пряма в просторі), введіть елементи рівняння в комірки і натискайте на кнопку "Вирішити". Теоретичну частину дивіться нижче.

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

1. Кут між прямими на площині

Прямі задані канонічними рівняннями

1.1. Визначення кута між прямими

Нехай у двовимірному просторі прямі L 1 та L

Таким чином, з формули (1.4) можна знайти кут між прямими L 1 та L 2 . Як видно з Рис.1 прямі, що перетинаються, утворюють суміжні кути φ і φ 1 . Якщо знайдений кут більше 90°, можна знайти мінімальний кут між прямими L 1 та L 2: φ 1 =180-φ .

З формули (1.4) можна вивести умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

Приклад 1. Визначити кут між прямими

Спростимо і вирішимо:

1.2. Умови паралельності прямих

Нехай φ =0. Тоді cosφ=1. При цьому вираз (1.4) набуде наступного вигляду:

Приклад 2. Визначити, чи прямі паралельні

Задовольняється рівність (1.9), отже прямі (1.10) та (1.11) паралельні.

Відповідь. Прямі (1.10) та (1.11) паралельні.

1.3. Умови перпендикулярності прямих

Нехай φ = 90 °. Тоді cosφ=0. При цьому вираз (1.4) набуде наступного вигляду:

Приклад 3. Визначити, чи прямі перпендикулярні

Задовольняється умова (1.13), отже прямі (1.14) та (1.15) перпендикулярні.

Відповідь. Прямі (1.14) та (1.15) перпендикулярні.

Прямі задані загальними рівняннями

1.4. Визначення кута між прямими

Нехай дві прямі L 1 та L 2 задані загальними рівняннями

З визначення скалярного твору двох векторів маємо:

Приклад 4. Знайти кут між прямими

Підставляючи значення A 1 , B 1 , A 2 , B 2 в (1.23), отримаємо:

Цей кут більший за 90°. Знайдемо мінімальний кут між прямими. Для цього віднімемо цей кут з 180:

З іншого боку умова паралельності прямих L 1 та L 2 еквівалентно умові колінеарності векторів n 1 та n 2 і можна уявити так:

Задовольняється рівність (1.24), отже прямі (1.26) та (1.27) паралельні.

Відповідь. Прямі (1.26) та (1.27) паралельні.

1.6. Умови перпендикулярності прямих

Умови перпендикулярності прямих L 1 та L 2 можна витягувати з формули (1.20), підставляючи cos(φ ) = 0. Тоді скалярний твір ( n 1 ,n 2) = 0. Звідки

Задовольняється рівність (1.28), отже прямі (1.29) та (1.30) перпендикулярні.

Відповідь. Прямі (1.29) та (1.30) перпендикулярні.

2. Кут між прямими у просторі

2.1. Визначення кута між прямими

Нехай у просторі прямі L 1 та L 2 задані канонічними рівняннями

де | q 1 | та | q 2 | модулі напрямних векторів q 1 та q 2 відповідно, φ -кут між векторами q 1 та q 2 .

З виразу (2.3) отримаємо:

Спростимо і вирішимо:

Знайдемо кут φ