Перетин діагоналей паралелограма. Властивість діагоналей паралелограма

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

Савинська середня загальноосвітня школа

Дослідницька робота

Паралелограм та його нові властивості

Виконала: учениця 8Б класу

МБОУ Савінська ЗОШ

Кузнєцова Світлана, 14 років

Керівник: учитель математики

Тульчевська Н.А.

п. Савине

Іванівська область, Росія

2016р.

I. Вступ __________________________________________________стор 3

II. З історії паралелограма ___________________________________стор 4

III Додаткові властивості паралелограма ______________________стор 4

IV. Доказ властивостей _____________________________________ стор 5

V. Розв'язання задач з використанням додаткових властивостей __________стор 8

VI. Застосування властивостей паралелограма у житті ___________________Стор 11

VII. Висновок _________________________________________________стор 12

VIII. Література _________________________________________________стор 13

Вступ

"Серед рівних умів

при однаковості інших умов

перевершує той, хто знає геометрію.

(Блез Паскаль).

Під час вивчення теми «Паралелограм» на уроках геометрії ми розглянули дві властивості паралелограма і три ознаки, але коли ми почали вирішувати завдання, виявилося, що цього недостатньо.

У мене виникло питання, а чи має паралелограма ще властивості, і як вони допоможуть при вирішенні завдань.

І я вирішила вивчити додаткові властивості паралелограма та показати, як їх можна застосувати для вирішення завдань.

Предмет дослідження : паралелограм

Об'єкт дослідження : властивості паралелограма
Мета роботи:

формулювання та доказ додаткових властивостей паралелограма, які не вивчаються у школі;

застосування цих властивостей на вирішення завдань.

Завдання:

Вивчити історію виникнення паралелограма та історію розвитку його властивостей;

Знайти додаткову літературу з питання, що досліджується;

Вивчити додаткові властивості паралелограма та довести їх;

Показати застосування цих властивостей на вирішення завдань;

Розглянути застосування властивостей паралелограма у житті.
Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково – популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет;

Вивчення теоретичного матеріалу;

Виділення кола завдань, які можна розв'язувати з використанням додаткових властивостей паралелограма;

Спостереження, порівняння, аналіз, аналогія.

Тривалість дослідження : 3 місяці: січень-березень 2016р.

У підручнику геометрії ми читаємо таке визначення паралелограма: паралелограм – це такий чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні

Слово «паралелограм» перекладається як «паралельні лінії» (від грецьких слів Parallelos – паралельний та gramme – лінія), цей термін було введено Евклідом. У своїй книзі «Початку» Евклід довів такі властивості паралелограма: протилежні сторони та кути паралелограма рівні, а діагональ ділить його навпіл. Про точку перетину паралелограма Евклід не згадує. Тільки до кінця середньовіччя була розроблена повна теорія паралелограмів І лише в XVII столітті в підручниках з'явилися теореми про паралелограми, які доводяться за допомогою теореми Евкліда про властивості паралелограма.

III Додаткові властивості паралелограма

У підручнику з геометрії дано лише 2 властивості паралелограма:

Протилежні кути та сторони рівні

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

У різних джерелах з геометрії можна зустріти такі додаткові властивості:

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник;

Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих;

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом;

Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник;

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Якщо в паралелограмі з'єднати протилежні вершини із серединами протилежних сторін, то вийде ще один паралелограм.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

IV Доказ властивостей паралелограма

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Дано:

ABCD – паралелограм

Довести:

A +
B =

Доведення:

А й
B – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих ПС АD і січній АВ, отже,
A +
B =

Дано:АBCD - паралелограм,

АК-бісектриса
А.

Довести: АВК – рівнобедрений

Доведення:

1)
1=
3 (навхрест лежать при ВС AD і січній AK),

2)
2=
3 т. до. АК - бісектриса,

означає 1 =
2.

3) АВК - рівнобедрений т. до. 2 кута трикутника рівні

. Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник

Дано:АВСD – паралелограм,

АК - бісектриса A,

СР - бісектриса C.

Довести:АК ║ СР

Доведення:

1) 1=2 т. до. АК-бісектриса

2) 4 = 5 т.к. СР - бісектриса

3) 3=1 (навхрест лежачі кути при

НД ║ АD і АК-січній),

4) A = C (за властивістю паралелограма), значить 2 = 3 = 4 = 5.

4) З п. 3 і 4 випливає, що 1=4, а ці кути відповідні при прямих АК і СР і ВС,

означає, АК ║ СР (за ознакою паралельності прямих)

. Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом

Дано:АВСD - паралелограм,

АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D

Довести: DР АК.

Доведення:

1) 1 = 2, т.к. АК - бісектриса

Нехай, 1 = 2 = x, тоді А = 2x,

2) 3 = 4, т.к. D Р – бісектриса

Нехай, 3 = 4 = у, тоді D = 2y

3) A + D = 180 0 т.к. сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180

2) Розглянемо A ОD

1+3=90 0 тоді
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник

Дано:АВСD - паралелограм, АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D,

CM-бісектриса C,

BF-бісектриса B .

Довести: KRNS-прямокутник.

Доведення:

Виходячи з попередньої властивості 8=7=6=5=90 0

означає KRNS-прямокутник.

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Дано: ABCD-паралелограм, АС-діагональ.

ВК АС, DP AC

Довести: BК=DР

Доведення: 1)DCР=КAB, як внутрішні навхрест що лежать при АВ ║ СD і січній АС.

2) AКB= CDР (на стороні та двох прилеглих до неї кутах АВ=СD CD Р=AB К).

На рівних трикутниках відповідні сторони рівні, отже DР=BК.

Дано: ABCD-паралелограм.

Довести:ВКDР – паралелограм.

Доведення:

1) BР=КD (AD=BC, точки К та Р

ділять ці сторони навпіл)

2) ВР ║ КD (лежать на АD BC)

Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні та паралельні, значить, цей чотирикутник -паралелограм.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Дано: ABCD – паралелограм. BD та AC - діагоналі.

Довести: АС 2 +ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

Доведення: 1)АСК: AC ²=
+

2)B РD : BD 2 = B Р 2 + РD 2 (за теоремою Піфагора)

3) AC ²+ BD ²=СК²+A К²+B Р²+РD ²

4) СК = ВР = Н(висота )

5) АС 2 +УD 2 = H 2 + A До 2 + H 2 +РD 2

6) Нехай D К=A Р=хтоді C ДоD : H 2 = CD 2 - х 2 за теоремою Піфагора )

7) АС²+ВD ² = СD 2 - х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +РD 2 ,

АС²+ВD ²=2СD 2 -2х 2 + A До 2 +РD 2

8) A До=AD+ х, РD=AD- х,

АС²+ВD ² =2CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,

АС²+ УD²=2 ЗD²-2 х² +AD 2 +2AD х+ х 2 +AD 2 -2AD х+ х 2 ,
АС²+ УD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Розв'язання задач із використанням цих властивостей

Точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, належить протилежній стороні. Менша сторона паралелограма дорівнює 5 . Знайдіть його більшу сторону.

Дано: ABCD - паралелограм,

АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D, АВ=5

Знайти: НД

єшення

Рішення

Т.к. АК - бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 5

Тоді, ВС = ВК + СК = 5 + 5 = 10

Відповідь: 10

2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса одного з його кутів ділить сторону паралелограма на відрізки 7 см та 14 см.

1 випадок

Дано:
А,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти:Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. АК – бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

АВ = ВК = 14 см

Тоді Р = 2 (14 +21) = 70 (см)

випадок

Дано: ABCD - паралелограм,

D К – бісектриса
D ,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти: Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 7

Тоді, Р = 2 (21 +7) = 56 (см)

Відповідь: 70см або 56 см

3.Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 3 см. Бісектриси двох кутів, що належать до більшої сторони, ділять протилежну сторону на три відрізки. Знайдіть ці відрізки.

1 випадок:бісектриси перетинаються поза паралелограмом

Дано: ABCD – паралелограм, АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D , АВ=3 см, НД=10 см

Знайти: ВМ, МN, NC

Рішення

Т.к. АМ - бісектриса
А, то АВМ – рівнобедрений.

Т.к. DN – бісектриса
D , то DCN - рівнобедрений

DC = CN = 3

Тоді, МN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 +3) = 4 см

2 випадок:бісектриси перетинаються всередині паралелограма

Т.к. АN - бісектриса
А, то АВN – рівнобедрений.

АВ = ВN = 3 D

А розсувні грати – відсувати на необхідну відстань у дверях

Паралелограмний механізм- Чотирьохланковий механізм, ланки якого складають паралелограм. Застосовується реалізації поступального руху шарнірними механізмами.

Паралелограм із нерухомою ланкою- одна ланка нерухома, протилежне здійснює коливальний рух, залишаючись паралельним нерухомому. Два паралелограми, з'єднаних один за одним, дають кінцевій ланці два ступені свободи, залишаючи його паралельним нерухомому.

Приклади: склоочисники автобусів, навантажувачі, штативи, підвіси, автомобільні підвіски.

Паралелограм із нерухомим шарніром- використовується властивість паралелограма зберігати постійне співвідношення відстаней між трьома точками. Приклад: креслярський пантограф - прилад масштабування креслень.

Ромб- всі ланки однакової довжини, наближення (стягування) пари протилежних шарнірів призводить до розсування двох інших шарнірів. Усі ланки працюють на стиск.

Приклади – автомобільний ромбоподібний домкрат, трамвайний пантограф.

Ножичнийабо X-подібний механізм, також відомий як Нюрнберзькі ножиці- Варіант ромба - дві ланки, з'єднані посередині шарніром. Переваги механізму – компактність та простота, недолік – наявність двох пар ковзання. Два (і більше) таких механізми, з'єднані послідовно, утворюють у середині ромб(и). Застосовується у витягах, дитячих іграшках.

VII Висновок

Хто з дитячих років займається математикою,

той розвиває увагу, тренує свій мозок,

свою волю, виховує у собі наполегливість

і завзятість у досягненні мети

О. Маркушевич

У ході роботи я довела додаткові властивості паралелограма.

Я переконалася, що застосовуючи ці властивості можна вирішувати завдання швидше.

Я показала, як застосовуються ці властивості на прикладах вирішення конкретних завдань.

Я дізналася багато нового про паралелограму, чого немає в нашому підручнику геометрії

Я переконалася, що знання геометрії дуже важливі в житті на прикладах застосування властивостей паралелограма.

Мета моєї дослідницької роботи виконана.

Про те, наскільки важливими є математичні знання, говорить той факт, що була заснована премія тому, хто видасть книгу про людину, яка все життя прожила без допомоги математики. Цю премію досі не отримала жодна людина.

VIII Література

Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.

Вконтакте

Визначення паралелограма

Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.

Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.

Увага!Квадрат, ромб і прямокутник - це окремі випадки паралелограма.

Сторони та кути: особливості співвідношення

Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:

Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.

Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).

Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.

Характеристики діагоналей фігури

Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.

Доказ: нехай т. е. - Це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.

AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.

За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.

Особливості суміжних кутів

У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180 °, оскільки вони лежать по один бік паралельних ліній та січній. Для чотирикутника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Властивості бісектриси:

опущені на один бік, є перпендикулярними;
протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.

Визначення характерних рис паралелограма з теореми

Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить наступне: чотирикутник вважається паралелограмому тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.

Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.

Обчислення площі фігури

Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.

Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігури знаходиться так само, як і прямокутника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:

Інші способи знаходження площі

Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, Який вони утворюють, - другий відомий метод.

Sпр-ма – площа;

a та b - його сторони

α - кут між відрізками a та b.

Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого перебувають тригонометричними тотожностями, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.

Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.

Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.

Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:

Застосування у векторній алгебрі

Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.

Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .

Формули для обчислення параметрів паралелограма

Тотожності наведені за таких умов:

a і b, α - сторони та кут між ними;
d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;

Параметр	Формула
Знаходження сторін
по діагоналях і косинус кута між ними
по діагоналях та стороні
через висоту та протилежну вершину
Знаходження довжини діагоналей
по сторонах та величині вершини між ними

Поняття паралелограма

Визначення 1

Паралелограм- Це чотирикутник, у якому протилежні сторони паралельні між собою (рис. 1).

Малюнок 1.

Паралелограм має дві основні властивості. Розглянемо їх докази.

Властивість 1: Протилежні сторони та кути паралелограма рівні, відповідно, між собою.

Властивість 2: Діагоналі, проведені в паралелограмі, діляться навпіл їх точкою перетину.

Ознаки паралелограма

Розглянемо три ознаки паралелограма та представимо їх у вигляді теорем.

Теорема 1

Якщо дві сторони чотирикутника рівні між собою, а також паралельні, цей чотирикутник буде паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. У якому $AB||CD$ і $AB=CD$ Проведемо у ньому діагональ $AC$ (рис. 2).

Малюнок 2.

Розглянемо паралельні прямі $AB$ і $CD$ та їх січну $AC$. Тоді

\[\angle CAB=\angle DCA\]

як навхрест лежачі кути.

За $I$ ознакою рівності трикутників,

оскільки $AC$ - їх спільна сторона, а $AB=CD$ за умовою. Значить

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Розглянемо прямі $AD$ і $CB$ та його січну $AC$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $AD||CB$.) Отже, за визначенням $1$, даний чотирикутник є паралелограмом.

Теорему доведено.

Теорема 2

Якщо протилежні сторони чотирикутника рівні між собою, він є паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. У якому $AD=BC$ та $AB=CD$. Проведемо у ньому діагональ $AC$ (рис. 3).

Малюнок 3.

Оскільки $AD=BC$, $AB=CD$, а $AC$ -- загальна сторона, то за $III$ ознакою рівності трикутників,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Розглянемо прямі $AD$ і $CB$ та їх січну $AC$, з останньої рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $AD||CB$. Отже, за визначенням $1$, цей чотирикутник є паралелограмом.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Розглянемо прямі $AB$ і $CD$ та їх січну $AC$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $AB||CD$. Отже, за визначенням 1 даний чотирикутник є паралелограмом.

Теорему доведено.

Теорема 3

Якщо діагоналі, проведені в чотирикутнику, своєю точкою перетину поділяються на дві рівні частини, цей чотирикутник є паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. Проведемо в ньому діагоналі $AC$ та $BD$. Нехай вони перетинаються у точці $O$ (рис. 4).

Малюнок 4.

Оскільки, за умовою $BO=OD,\ AO=OC$, а кути $\angle COB=\angle DOA$ як вертикальні, то, за $I$ ознакою рівності трикутників,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Розглянемо прямі $BC$ і $AD$ та його січну $BD$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $BC||AD$. Також $BC=AD$. Отже, за теоремою $1$ даний чотирикутник є паралелограмом.

Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто. лежать на паралельних прямих

Властивості паралелограма:
Теорема 22. Протилежні сторони паралелограма рівні.
Доведення. У паралелограмі АВСD проведемо діагональ АС. Трикутники АСD та АСВ рівні, як мають спільну сторону АС та дві пари рівних кутів. прилеглих до неї: ∠ САВ = ∠ АСD, ∠ АСВ = ∠ DAC (як навхрест лежачі кути при паралельних прямих AD і ВС). Значить, АВ=CD та ВС=AD, як відповідні сторони рівних трикутників, ч.т.д. З рівності цих трикутників також випливає рівність відповідних кутів трикутників:
Теорема 23. Протилежні кути паралелограма рівні: ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D.
Рівність першої пари йде з рівності трикутників АВD та CBD, а другої – АВС та ACD.
Теорема 24. Сусідні кути паралелограма, тобто. кути, що прилягають до одного боку, становлять у сумі 180 градусів.
Це так, тому що вони є односторонніми внутрішніми кутами.
Теорема 25. Діагоналі паралелограма ділять один одного в точці їхнього перетину навпіл.
Доведення. Розглянемо трикутники ВОС та АОD. За першою властивістю AD=ВС ∠ ОАD=∠ ОСВ і ∠ ОDА=∠ ОВС як навхрест, що лежать при паралельних прямих AD і ВС. Тому трикутники ВОС і АОD рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Отже, ВО=ОD і АО=ОС, як відповідні сторони рівних трикутників, т.д.

Ознаки паралелограма
Теорема 26. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Доведення. Нехай у чотирикутника АВСD сторони AD і ВС, АВ та CD відповідно рівні (рис2). Проведемо діагональ АС. Трикутник АВС і ACD рівні по трьох сторонах. Тоді кути ВАС та DСА рівні і, отже, АВ паралельна CD. Паралельність сторін ЗС і AD випливає з рівності кутів CAD та АСВ.
Теорема 27. Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Нехай ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D. Т.к. ∠ А+∠ В+∠ С+∠ D=360 про, то ∠ А+∠ В=180 про сторони AD і ВС паралельні (за ознакою паралельності прямих). Також доведемо і паралельність сторін АВ і CD і зробимо висновок, що АВСD є паралелограмом за визначенням.
Теорема 28. Якщо сусідні кути чотирикутника, тобто. кути, прилеглі до однієї стороні, становлять у сумі 180 градусів, він є паралелограмом.
Якщо внутрішні односторонні кути у сумі становлять 180 градусів, то прямі пралельні. Значить АВ парал CD і НД парал AD. Чотирьохкутник виявляється паралелограмом за визначенням.
Теорема 29. Якщо діагоналі чотирикутника взаємно діляться у точці перетину навпіл, то чотирикутник – паралелограм.
Доведення. Якщо АО=ОС, ВО=ОD, то трикутники АOD і ВОС рівні, що мають рівні кути (вертикальні) при вершині О, укладені між парами рівних сторін. З рівності трикутників укладаємо, що AD і НД рівні. Також рівні сторони АВ та CD, і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 1.
Теорема 30. Якщо чотирикутник має пару рівних, паралельних між собою сторін, він є паралелограмом.
Нехай у чотирикутнику АВСD сторони АВ і CD паралельні та рівні. Проведемо діагоналі АС та ВD. З паралельності цих прямих випливає рівність навхрест лежачих кутів АВО=СDО і ВАО=ОСD. Трикутники АВО і СДО рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Тому АТ = ОС, ВО = ОD, тобто. діагоналі точкою перетину діляться навпіл і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 4.

У геометрії розглядають окремі випадки паралелограма.

Паралелограм є чотирикутником, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Це визначення вже достатньо, тому що інші властивості паралелограма випливають із нього і доводяться у вигляді теорем.

Основними властивостями паралелограма є:

паралелограм - це опуклий чотирикутник;
у паралелограма протилежні сторони попарно рівні;
у паралелограма протилежні кути попарно рівні;
діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Паралелограм - опуклий чотирикутник

Доведемо спочатку теорему про те, що паралелограм є опуклим чотирикутником. Багатокутник є опуклим тоді, коли яка б його сторона не була продовжена до прямої, решта сторін багатокутника виявляться по одну сторону від цієї прямої.

Нехай дано паралелограм ABCD, у якого AB протилежна сторона CD, а BC - протилежна AD. Тоді з визначення паралелограма випливає, що AB | CD, BC | AD.

У паралельних відрізків немає загальних точок, вони перетинаються. Це означає, що CD лежить з одного боку від AB. Оскільки відрізок BC з'єднує точку B відрізка AB з точкою C відрізка CD, а відрізок AD з'єднує інші точки AB і CD, то відрізки BC і AD також лежать з тієї ж сторони від прямої AB, де лежить CD. Таким чином, всі три сторони – CD, BC, AD – лежать по одну сторону від AB.

Аналогічно доводиться, що стосовно іншим сторонам паралелограма три інші сторони лежать з одного боку.

Протилежні сторони та кути рівні

Однією з властивостей паралелограма є те, що у паралелограмі протилежні сторони та протилежні кути попарно рівні. Наприклад, якщо дано паралелограм ABCD, то він має AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доводиться ця теорема в такий спосіб.

Паралелограм є чотирикутником. Отже, має дві діагоналі. Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то кожна з них поділяє його на два трикутники. Розглянемо в паралелограмі ABCD трикутники ABC та ADC, отримані в результаті проведення діагоналі AC.

У цих трикутників одна сторона загальна – AC. Кут BCA дорівнює куту CAD, як вертикальні при паралельних BC та AD. Кути BAC та ACD також рівні як вертикальні при паралельних AB та CD. Отже, ∆ABC = ∆ADC по двох кутах та стороні між ними.

У цих трикутниках стороні AB відповідає сторона CD, а стороні BC відповідає AD. Отже, AB = CD та BC = AD.

Куту B відповідає кут D, тобто ∠B = ∠D. Кут A паралелограма є сумою двох кутів - ∠BAC і ∠CAD. Кут C дорівнює складається з ∠BCA і ∠ACD. Оскільки пари кутів дорівнюють одна одній, то ∠A = ∠C.

Таким чином, доведено, що у паралелограмі протилежні сторони та кути рівні.

Діагоналі діляться навпіл

Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то має дві дві діагоналі, і вони перетинаються. Нехай дано паралелограм ABCD, його діагоналі AC і BD перетинаються у точці E. Розглянемо утворені ними трикутники ABE і CDE.

У цих трикутників сторони AB та CD рівні як протилежні сторони паралелограма. Кут ABE дорівнює куту CDE як навхрест, що лежать при паралельних прямих AB і CD. З цієї причини ∠BAE = ∠DCE. Отже, ∆ABE = ∆CDE по двох кутах та стороні між ними.

Також можна помітити, що кути AEB та CED вертикальні, а отже, теж рівні один одному.

Оскільки трикутники ABE і CDE дорівнюють один одному, то рівні і всі відповідні елементи. Стороні AE першого трикутника відповідає сторона другого CE, отже, AE = CE. Аналогічно BE = DE. Кожна пара рівних відрізків складає діагональ паралелограма. Таким чином доведено, що діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.