Піфагорові штани на всі боки рівні. Теорема Піфагора: історія питання, докази, приклади практичного застосування

Потенціал до творчості зазвичай приписують гуманітарним дисциплінам, природно науковим залишаючи аналіз, практичний підхід та суху мову формул та цифр. Математику до гуманітарних предметів не віднесеш. Але без творчості в «цариці всіх наук» далеко не поїдеш – про це людям відомо з давніх-давен. З часів Піфагора, наприклад.

Шкільні підручники, на жаль, зазвичай не пояснюють, що в математиці важливо не лише зубрити теореми, аксіоми та формули. Важливо розуміти та відчувати її фундаментальні принципи. І при цьому спробувати звільнити свій розум від штампів та абеткових істин – лише в таких умовах народжуються всі великі відкриття.

До таких відкриттів можна віднести і те, що сьогодні ми знаємо як теорему Піфагора. З його допомогою ми спробуємо показати, що математика не тільки може, а й має бути цікавою. І що ця пригода підходить не тільки ботанікам у товстих окулярах, а всім, хто міцний розумом і сильним духом.

З історії питання

Строго кажучи, хоч теорема і називається «теорема Піфагора», сам Піфагор її не відкривав. Прямокутний трикутник та його особливі властивості вивчалися задовго до нього. Є дві полярні погляди на це питання. За однією версією Піфагор першим знайшов повноцінний доказ теореми. За іншим доказом не належить авторству Піфагора.

Сьогодні вже не перевіриш, хто має рацію, а хто помиляється. Відомо лише, що докази Піфагора, якщо вона будь-коли існувало, не збереглося. Втім, висловлюються припущення, що знаменитий доказ із «Початків» Евкліда може належати Піфагору, і Евклід його тільки зафіксував.

Також сьогодні відомо, що завдання про прямокутний трикутник зустрічаються в єгипетських джерелах часів фараона Аменемхета I, на вавилонських глиняних табличках періоду правління царя Хаммурапі, в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» та давньокитайському творі «Чжоубі-сунь».

Як бачите, теорема Піфагора займала уми математиків з найдавніших часів. Підтвердженням є і близько 367 різноманітних доказів, які існують сьогодні. У цьому з нею не може тягатися жодна інша теорема. Серед знаменитих авторів доказів можна згадати Леонардо да Вінчі та двадцятого президента США Джеймса Гарфілда. Все це говорить про надзвичайну важливість цієї теореми для математики: з неї виводиться або так чи інакше з нею пов'язана більшість теорем геометрії.

Докази теореми Піфагора

У шкільних підручниках переважно наводять алгебраїчні докази. Але суть теореми в геометрії, тож давайте розглянемо насамперед ті докази знаменитої теореми, які спираються на цю науку.

Доказ 1

Для найпростішого доказу теореми Піфагора для прямокутного трикутника потрібно встановити ідеальні умови: нехай трикутник буде не тільки прямокутним, але й рівнобедреним. Є підстави вважати, що саме такий трикутник спочатку розглядали математику давнини.

Твердження "квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах"можна проілюструвати наступним кресленням:

Подивіться на рівнобедрений прямокутний трикутник ABC: На гіпотенузі АС можна побудувати квадрат, що складається з чотирьох трикутників, що дорівнює вихідному АВС. А на катетах АВ і ПС побудовано по квадрату, кожен з яких містить по два аналогічні трикутники.

До речі, це креслення лягло основою численних анекдотів і карикатур, присвячених теоремі Піфагора. Найзнаменитіший, мабуть, це «Піфагорові штани на всі боки рівні»:

Доказ 2

Цей метод поєднує в собі алгебру та геометрію і може розглядатися як варіант давньоіндійського доказу математика Бхаскарі.

Побудуйте прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c(Рис.1). Потім збудуйте два квадрати зі сторонами, рівними сумі довжин двох катетів, – (a+b). У кожному із квадратів виконайте побудови, як на рисунках 2 та 3.

У першому квадраті збудуйте чотири таких трикутники, як на малюнку 1. У результаті виходить два квадрати: один зі стороною a, другий зі стороною b.

У другому квадраті чотири побудовані аналогічні трикутники утворюють квадрат зі стороною, що дорівнює гіпотенузі. c.

Сума площ збудованих квадратів на рис.2 дорівнює площі збудованого нами квадрата зі стороною з на рис.3. Це легко перевірити, вирахувавши площі квадратів на рис. 2 за формулою. А площа вписаного квадрата на малюнку 3. шляхом віднімання площ чотирьох рівних між собою вписаних у квадрат прямокутних трикутників із площі великого квадрата зі стороною (a+b).

Записавши все це, маємо: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Розкрийте дужки, проведіть усі необхідні алгебраїчні обчислення та отримайте, що a 2 +b 2 = a 2 +b 2. У цьому площа вписаного на рис.3. квадрата можна обчислити і за традиційною формулою S=c 2. Тобто. a 2 +b 2 =c 2- Ви довели теорему Піфагора.

Доказ 3

Сам же давньоіндійський доказ описаний у XII столітті в трактаті «Вінець знання» («Сіддханта широмані») і як головний аргумент автор використовує заклик, звернений до математичних талантів та спостережливості учнів та послідовників: «Дивись!».

Але ми розберемо цей доказ більш докладно:

Усередині квадрата побудуйте чотири прямокутні трикутники так, як це позначено на кресленні. Сторону великого квадрата, вона ж гіпотенуза, позначимо з. Катети трикутника назвемо аі b. Відповідно до креслення сторона внутрішнього квадрата це (a-b).

Використовуйте формулу площі квадрата S=c 2, щоб обчислити площу зовнішнього квадрата. І одночасно вирахуйте ту ж величину, склавши площу внутрішнього квадрата і площі всіх чотирьох прямокутних трикутників: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ви можете використовувати обидва варіанти обчислення площі квадрата, щоб переконатися, що вони дадуть однаковий результат. І це дає вам право записати, що c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В результаті рішення ви отримаєте формулу теореми Піфагора c 2 =a 2 +b 2. Теорему доведено.

Доказ 4

Цей цікавий давньокитайський доказ отримав назву «Стілець нареченої» - через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов:

У ньому використовується креслення, яке ми вже бачили на рис.3 у другому доказі. А внутрішній квадрат зі стороною з побудований так само, як у давньоіндійському доказі, наведеному вище.

Якщо подумки відрізати від креслення на рис.1 два зелені прямокутні трикутники, перенести їх до протилежних сторін квадрата зі стороною з і гіпотенузами прикласти до гіпотенуз бузкових трикутників, вийде фігура під назвою «стілець нареченої» (рис.2). Для наочності можна те саме зробити з паперовими квадратами і трикутниками. Ви переконаєтеся, що «стілець нареченої» утворюють два квадрати: маленькі зі стороною bі великий зі стороною a.

Ці побудови дозволили давньокитайським математикам і нам слідом за ними дійти висновку, що c 2 =a 2 +b 2.

Доказ 5

Це ще один спосіб знайти рішення для теореми Піфагора, спираючись на геометрію. Називається він "Метод Гарфілда".

Побудуйте прямокутний трикутник АВС. Нам треба довести, що НД 2 =АС 2 +АВ 2.

Для цього продовжіть катет АСта побудуйте відрізок CD, який дорівнює катету АВ. Опустіть перпендикулярний ADвідрізок ED. Відрізки EDі АСрівні. З'єднайте точки Еі У, а також Еі Зі отримайте креслення, як на малюнку нижче:

Щоб довести терему, ми знову вдається до вже випробуваного нами способу: знайдемо площу фігури, що вийшла, двома способами і прирівняємо вирази один до одного.

Знайти площу багатокутника ABEDможна, склавши площу трьох трикутників, які її утворюють. Причому один із них, ЄСВ, не тільки прямокутним, а й рівнобедреним. Не забуваємо також, що АВ = CD, АС = EDі ВС = РЄ– це дозволить нам спростити запис та не перевантажувати його. Отже, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

При цьому очевидно, що ABED- Це трапеція. Тому обчислюємо її площу за формулою: S ABED = (DE + AB) * 1/2AD. Для наших обчислень зручніше та наочніше уявити відрізок ADяк суму відрізків АСі CD.

Запишемо обидва способи обчислити площу фігури, поставивши між ними знак рівності: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Використовуємо вже відому нам і описану вище рівність відрізків, щоб спростити праву частину запису: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2. А тепер розкриємо дужки і перетворюємо рівність: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2. Закінчивши всі перетворення, отримаємо саме те, що нам треба: НД 2 =АС 2 +АВ 2. Ми довели теорему.

Звісно, цей список доказів далеко не повний. Теорему Піфагора також можна довести за допомогою векторів, комплексних чисел, диференціальних рівнянь, стереометрії тощо. І навіть фізики: якщо, наприклад, в аналогічних представлених на кресленнях квадратні та трикутні обсяги залити рідину. Переливаючи рідину, можна довести рівність площ і саму теорему у результаті.

Пару слів про Піфагорові трійки

Це питання мало чи взагалі не вивчається у шкільній програмі. А тим часом він дуже цікавий і має велике значення в геометрії. Піфагорові трійки застосовуються на вирішення багатьох математичних завдань. Уявлення про них може стати вам у нагоді в подальшій освіті.

Так що ж таке Піфагорові трійки? Так називають натуральні числа, зібрані по три, сума квадратів двох з яких дорівнює третьому числу в квадраті.

Піфагорові трійки можуть бути:

примітивними (всі три числа – взаємно прості);
не примітивними (якщо кожне число трійки помножити на те саме число, вийде нова трійка, яка не є примітивною).

Ще до нашої ери стародавніх єгиптян заворожувала манія чисел Піфагорових трійок: у завданнях вони розглядали прямокутний трикутник із сторонами 3,4 та 5 одиниць. До речі, будь-який трикутник, сторони якого дорівнюють числам з піфагорової трійки, за замовчуванням є прямокутним.

Приклади Піфагорових трійок: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 48, 50), (30, 40, 50) і т.д.

Практичне застосування теореми

Теорема Піфагора знаходить застосування у математиці, а й у архітектурі та будівництві, астрономії і навіть літературі.

Спочатку про будівництво: теорема Піфагора знаходить у ньому широке застосування у завданнях різного рівня складності. Наприклад, подивіться на вікно у романському стилі:

Позначимо ширину вікна як bтоді радіус великого півкола можна позначити як Rі виразити через b: R=b/2. Радіус менших півкола також виразимо через b: r=b/4. У цьому завдання нас цікавить радіус внутрішнього кола вікна (назвемо його p).

Теорема Піфагора якраз і стане в нагоді, щоб обчислити р. Для цього використовуємо прямокутний трикутник, що на малюнку позначений пунктиром. Гіпотенуза трикутника складається із двох радіусів: b/4+p. Один катет є радіусом. b/4, інший b/2-p. Використовуючи теорему Піфагора, запишемо: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Далі розкриємо дужки та отримаємо b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Перетворимо цей вираз на bp/2=b 2 /4-bp. А потім розділимо всі члени на b, наведемо подібні, щоб отримати 3/2*p=b/4. І в результаті знайдемо, що p=b/6- Що нам і потрібно.

За допомогою теореми можна обчислити довжину крокви для двосхилого даху. Визначити, якої висоти вежа мобільного зв'язку потрібна, щоб сигнал досягав певного населеного пункту. І навіть стійко встановити новорічну ялинку на міському майдані. Як бачите, ця теорема живе не тільки на сторінках підручників, а й часто буває корисною у реальному житті.

Щодо літератури, то теорема Піфагора надихала письменників з часів античності і продовжує це робити у наш час. Наприклад, німецького письменника ХІХ століття Адельберта фон Шаміссо вона надихнула на написання сонета:

Світло істини розсіється не скоро,
Але, засяявши, розсіється навряд
І, як тисячоліття тому,
Не викликає сумнівів і суперечки.

Наймудріші, коли торкнеться погляду
Світло істини, богів дякують;
І сто биків, заколоті, лежать.
Дар у відповідь Пифагора.

З того часу бики відчайдушно ревуть:
Навіки сполошило бичаче плем'я
Подія, згадана тут.

Їм здається: ось-ось настане час,
І знову їх у жертву принесуть
Якийсь великій теоремі.

(Переклад Віктора Топорова)

А в ХХ столітті радянський письменник Євген Велтистов у книзі «Пригоди Електроніка» доказам теореми Піфагора відвів цілий розділ. І ще півголови розповіді про двомірному світі, який міг би існувати, якби теорема Піфагора стала основним законом і навіть релігією окремо взятого світу. Жити в ньому було б набагато простіше, але й набагато нудніше: наприклад, там ніхто не розуміє значення слів «круглий» та «пухнастий».

А ще у книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара каже: «Головне у математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора - не дарма у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного і на знайомі речі подивитися по-новому.

Висновок

Ця стаття створена, щоб ви могли заглянути за межі шкільної програми з математики та дізнатися не лише про те докази теореми Піфагора, які наведені в підручниках «Геометрія 7-9» (Л.С. Атанасян, В.М. Руденко) та «Геометрія 7 -11» (А.В. Погорєлов), але й інші цікаві способи довести знамениту теорему. А також побачити приклади, як теорема Піфагора може застосовуватись у звичайному житті.

По-перше, ця інформація дозволить вам претендувати на вищі бали на уроках математики – відомості з предмета з додаткових джерел завжди високо оцінюються.

По-друге, нам хотілося допомогти вам відчути, наскільки математика є цікавою наукою. Переконатися на конкретних прикладах, що завжди є місце творчості. Ми сподіваємося, що теорема Піфагора та ця стаття надихнуть вас на самостійні пошуки та хвилюючі відкриття в математиці та інших науках.

Розкажіть нам у коментарях, чи здалися вам наведені у статті докази цікавими. Чи знадобилися вам ці відомості у навчанні. Напишіть нам, що думаєте про теорему Піфагора та цю статтю – нам буде приємно обговорити все це з вами.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

ПІФАГОРОВІ ШТАНИ НА ВСІ СТОРОНИ РІВНІ

Це уїдливе зауваження (яке в повному вигляді має продовження: щоб це довести, треба зняти і показати), придумане кимось, мабуть, враженим внутрішнім змістом однієї важливої теореми евклідової геометрії, як не можна точно розкриває відправну точку, з якої ланцюг зовсім нескладних роздумів швидко призводить до доказу теореми, а також ще значніших результатів. Теорема ця, що приписується давньогрецькому математику Піфагору Самоському (6 століття до нашої ери), відома чи не кожному школяру і звучить так: квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Мабуть, багато хто погодиться, що геометрична фігура, покликана шифруванням "піфагорові штани на всі боки рівні", називається квадратом. Та й з усмішкою на обличчі додамо невинного жарту заради, що йшлося про продовженні шифрованого сарказму. Отже, "щоб це довести, треба зняти та показати". Ясно, що "це" - під займенником малася на увазі безпосередньо теорема, "зняти" - це отримати в руки, взяти названу фігуру, "показати" - мало на увазі слово "покасати", привести дотик якісь частини фігури. Взагалі "піфагоровими штанами" охрестили графічну конструкцію, що нагадувала на вигляд штани, що виходила на кресленні Евкліда при дуже складному доказі їм теореми Піфагора. Коли знайшлося доказ простіше, можливо, якийсь рифмоплет склав цю скоромовку-підказку, щоб не забути початок підходу до доказу, а народна чутка вже рознесла її світом як порожню приказку. Так от якщо взяти квадрат, і всередину нього помістити менший квадрат так, щоб центри їх збігалися, і повернути притому менший квадрат до дотику його кутів зі сторонами більшого квадрата, то на більшій фігурі виділяться сторонами меншого квадрата 4 однакових прямокутних трикутник Звідси вже лежить прямий шлях до підтвердження відомої теореми. Нехай сторону меншого квадрата позначимо через с. Сторона більшого квадрата дорівнює a+b, і тоді його площа дорівнює (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Ту ж площу можна визначити як суму площі меншого квадрата та площ 4 однакових прямокутних трикутників, тобто як 4· ab/2+c 2 =2ab+c 2. Поставимо знак рівності між двома обчисленнями однієї і тієї ж площі: a 2 +2ab+b 2 =2ab+c 2. Після скорочення членів 2ab отримуємо висновок: квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів, тобто a 2 + b 2 = c 2. Відразу не кожен зрозуміє, яке користь від цієї теореми. З практичної точки зору її цінність полягає у служінні базисом для багатьох геометричних обчислень, як, наприклад, визначення відстані між точками координатної площини. З теореми виводяться деякі цінні формули, її узагальнення ведуть до нових теорем, що перекидають місток від обчислень на площині до обчислень у просторі. Наслідки теореми проникають у теорію чисел, відкриваючи окремі подробиці структури низки чисел. І багато іншого, всього не перелічиш. Погляд з погляду пустої цікавості демонструє піднесення теореми цікавих завдань, формулованих до крайності зрозуміло, але є часом міцними горішками. У приклад досить навести найпростішу з них, так зване питання про піфагорові числа, що задається в побутовому викладі таким чином: чи можна побудувати кімнату, довжина, ширина і діагональ на підлозі якої одночасно вимірювалися б цілими величинами, скажімо кроками? Лише найменша зміна цього питання здатна зробити завдання надзвичайно складним. І відповідно, знайдуться охочі суто з наукового запалу випробувати себе в розколюванні чергового математичного ребуса. Інша зміна питання – і ще одна головоломка. Часто в ході пошуку відповідей на подібні проблеми математика еволюціонує, набуває свіжих поглядів на старі поняття, обзаводиться новими системними підходами і так далі, а значить теорема Піфагора, втім, як і будь-яке інше вчення, що стоїть, з цієї точки зору має не меншу користь. Математика часів Піфагора не визнавала інших чисел, крім раціональних (натуральних чисел чи дробів із натуральним чисельником та знаменником). Все вимірювалося цілими величинами чи частинами цілих. Тому так зрозуміло прагнення виконувати геометричні обчислення, вирішувати рівняння дедалі більше в натуральних числах. Пристрасть до них відкриває шлях у неймовірний світ таїнства чисел, ряд яких у геометричній інтерпретації спочатку вимальовується як пряма лінія з безліччю міток. Іноді залежність між якимись числами ряду, " лінійною відстанню " з-поміж них, пропорцією відразу впадає у вічі, інколи ж найскладніші розумові конструкції неможливо встановити, яким закономірностям підпорядкований розподіл тих чи інших чисел. З'ясовується, що і в новому світі, у цій "одномірній геометрії", старі завдання зберігають силу, змінюється лише їхня постановка. Як наприклад, варіант завдання про піфагорові числа: "Від будинку батько робить x кроків по x сантиметрів кожен, а потім йде ще у кроків по y сантиметрів. За ним крокує син z кроків по z сантиметрів кожен. Якими повинні бути розміри їхніх кроків, щоб на z-тому кроці дитина вступила в слід батька?" Заради справедливості потрібно відзначити деяку складність для математика-початківця піфагорійської методики розвитку думки. Це особливого роду стиль математичного мислення, до нього потрібно звикати. Цікавий один момент. Математики вавилонської держави (вона виникла задовго до народження Піфагора, майже півтори тисячі років до неї) теж, мабуть, знали якісь методи пошуку чисел, які згодом стали називатися піфагоровими, були знайдені клинописні таблички, де вавилонські мудреці записали виявлені ними Деякі трійки складалися з надто великих чисел, у зв'язку з чим наші сучасники стали припускати наявність у вавилонян недурних, і ймовірно навіть нехитрих, способів їх обчислення, на жаль, ні про самі способи, ні про існування нічого не відомо.

1 із 8

Презентація на тему:Піфагорові штани на всі боки рівні

№ слайду 1

Опис слайду:

№ слайду 2

Опис слайду:

№ слайду 3

Опис слайду:

Мабуть, багато хто погодиться, що геометрична фігура, покликана шифруванням "піфагорові штани на всі боки рівні", називається квадратом. Та й з усмішкою на обличчі додамо невинного жарту заради, що йшлося про продовженні шифрованого сарказму. Отже, "щоб це довести, треба зняти та показати". Ясно, що "це" - під займенником малася на увазі безпосередньо теорема, "зняти" - це отримати в руки, взяти названу фігуру, "показати" - мало на увазі слово "покасати", привести дотик якісь частини фігури. Взагалі "піфагоровими штанами" охрестили графічну конструкцію, що нагадувала на вигляд штани, що виходила на кресленні Евкліда при дуже складному доказі їм теореми Піфагора. Коли знайшлося доказ простіше, можливо, якийсь рифмоплет склав цю скоромовку-підказку, щоб не забути початок підходу до доказу, а народна чутка вже рознесла її світом як порожню приказку.

№ слайда 4

Опис слайду:

Так от якщо взяти квадрат, і всередину нього помістити менший квадрат так, щоб центри їх збігалися, і повернути притому менший квадрат до дотику його кутів зі сторонами більшого квадрата, то на більшій фігурі виділяться сторонами меншого квадрата 4 однакових прямокутних трикутник Звідси вже лежить прямий шлях до підтвердження відомої теореми. Нехай сторону меншого квадрата позначимо через с. Сторона більшого квадрата дорівнює a+b, і тоді його площа дорівнює (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Ту ж площу можна визначити як суму площі меншого квадрата та площ 4 однакових прямокутних трикутників, тобто як 4· ab/2+c 2 =2ab+c 2. Поставимо знак рівності між двома обчисленнями однієї і тієї ж площі: a 2 +2ab+b 2 =2ab+c 2. Після скорочення членів 2ab отримуємо висновок: квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів, тобто a2 + b2 = c2.

№ слайду 5

Опис слайду:

Відразу не кожен зрозуміє, яка користь від цієї теореми. З практичної точки зору її цінність полягає у служінні базисом для багатьох геометричних обчислень, як, наприклад, визначення відстані між точками координатної площини. З теореми виводяться деякі цінні формули, її узагальнення ведуть до нових теорем, що перекидають місток від обчислень на площині до обчислень у просторі. Наслідки теореми проникають у теорію чисел, відкриваючи окремі подробиці структури низки чисел. І багато іншого, всього не перелічиш.

№ слайду 6

Опис слайду:

Погляд з погляду пустої цікавості демонструє піднесення теореми цікавих завдань, формулованих до крайності зрозуміло, але є часом міцними горішками. У приклад досить навести найпростішу з них, так зване питання про піфагорові числа, що задається в побутовому викладі таким чином: чи можна побудувати кімнату, довжина, ширина і діагональ на підлозі якої одночасно вимірювалися б цілими величинами, скажімо кроками? Лише найменша зміна цього питання здатна зробити завдання надзвичайно складним. І відповідно, знайдуться охочі суто з наукового запалу випробувати себе в розколюванні чергового математичного ребуса. Інша зміна питання – і ще одна головоломка. Часто в ході пошуку відповідей на подібні проблеми математика еволюціонує, набуває свіжих поглядів на старі поняття, обзаводиться новими системними підходами і так далі, а значить теорема Піфагора, втім, як і будь-яке інше вчення, що стоїть, з цієї точки зору має не меншу користь.

№ слайду 7

Опис слайду:

Математика часів Піфагора не визнавала інших чисел, крім раціональних (натуральних чисел чи дробів із натуральним чисельником та знаменником). Все вимірювалося цілими величинами чи частинами цілих. Тому так зрозуміло прагнення виконувати геометричні обчислення, вирішувати рівняння дедалі більше в натуральних числах. Пристрасть до них відкриває шлях у неймовірний світ таїнства чисел, ряд яких у геометричній інтерпретації спочатку вимальовується як пряма лінія з безліччю міток. Іноді залежність між якимись числами ряду, " лінійною відстанню " з-поміж них, пропорцією відразу впадає у вічі, інколи ж найскладніші розумові конструкції неможливо встановити, яким закономірностям підпорядкований розподіл тих чи інших чисел. З'ясовується, що і в новому світі, у цій "одномірній геометрії", старі завдання зберігають силу, змінюється лише їхня постановка. Як наприклад, варіант завдання про піфагорові числа: "Від будинку батько робить x кроків по x сантиметрів кожен, а потім йде ще біля кроків по y сантиметрів. За ним крокує син z кроків по z сантиметрів кожен. Якими мають бути розміри їх кроків, щоб на z-тому кроці дитина вступила в слід батька?

№ слайду 8

Опис слайду:

Заради справедливості слід відзначити деяку складність для математика-початківця піфагорійської методики розвитку думки. Це особливий стиль математичного мислення, до нього потрібно звикати. Цікавим є один момент. Математики вавілонської держави (вона виникла задовго до народження Піфагора, майже півтори тисячі років до неї) теж, мабуть, знали якісь методи пошуку чисел, які згодом стали називатися піфагоровими. Було знайдено клинописні таблички, де вавилонські мудреці записали виявлені ними трійки таких чисел. Деякі трійки складалися з надто великих чисел, у зв'язку з чим наші сучасники стали припускати наявність у вавилонян недурних, і ймовірно навіть нехитрих способів їх обчислення. На жаль, ні про самі способи, ні про їхнє існування нічого не відомо.

Теорема Піфагора всім відома зі шкільної доби. Видатний математик довів велику гіпотезу, якою нині користуються багато людей. Звучить правило так: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. За багато десятиліть жоден математик не зумів переперечити це правило. Адже Піфагор довго йшов до своєї мети, щоб у результаті креслення мали місце у повсякденному житті.

Невеликий вірш до цієї теореми, який вигадали невдовзі після доказу, безпосередньо доводить властивості гіпотези: «Піфагорові штани на всі боки рівні». Це двострочко відклалося у пам'яті у багатьох – до цього дня вірш згадують при обчисленнях.
Ця теорема отримала назву «Піфагорові штани» внаслідок того, що при кресленні посередині виходив прямокутний трикутник, з боків якого розташовувалися квадрати. На вигляд це креслення нагадувало штани - звідси і назва гіпотези.
Піфагор пишався розробленою теоремою, адже ця гіпотеза відрізняється від нею подібних до максимальної кількості доказів. Важливо: рівняння було занесено до книги рекордів Гіннеса внаслідок 370 правдивих доказів.
Гіпотезу доводило безліч математиків і професорів з різних країн багатьма способами. Англійський математик Джонс невдовзі оголошення гіпотези довів її за допомогою диференціального рівняння.
Нині нікому невідомий доказ теореми самим Піфагором. Факти про докази математики сьогодні не відомі нікому. Вважається, що доказ креслень Евклідом - це є доказ Піфагора. Однак деякі вчені сперечаються з цим твердженням: багато хто вважає, що Евклід самостійно довів теорему, без допомоги творця гіпотези.
Нинішні вчені виявили, що великий математик був не першим, хто відкрив цю гіпотезу.. Рівняння було відоме ще задовго до відкриття Піфагором. Цей математик зумів лише поєднати гіпотезу.
Піфагор не давав рівнянню назву «Теорема Піфагора». Ця назва закріпилася після «гучного дворядчя». Математик лише хотів, щоб його старання та відкриття дізнався весь світ та користувався ними.
Моріц Кантор - великий найбільший математик знайшов і розглянув на стародавньому папірусі записи з кресленнями. Незабаром після цього Кантор зрозумів, що ця теорема була відома єгиптянам ще 2300 років до нашої ери. Тільки тоді нею ніхто не скористався і не намагався довести.
Нинішні вчені вважають, що гіпотеза була відома ще у 8 столітті до нашої ери. Індійські вчені на той час виявили приблизне обчислення гіпотенузи трикутника, наділеного прямими кутами. Щоправда на той час ніхто не зміг довести напевно рівняння за приблизними обчисленнями.
Великий математик Бартель Ван дер Варден після доказу гіпотези уклав важливий висновок: «Заслуга грецького математика вважається не відкриттям напрямку та геометрії, а лише її обґрунтуванням У руках Піфагора були обчислювальні формули, які ґрунтувалися на припущеннях, неточних обчисленнях та невиразних уявленнях. Однак видатному вченому вдалося перетворити на точну науку».
Відомий поет сказав, що у день відкриття свого креслення він спорудив бикам славну жертву. Саме після відкриття гіпотези пішли чутки, що жертвопринесення ста бугаїв «пішло мандрувати сторінками книг і видань». Дотепники досі жартують, що з того часу всі бики бояться нового відкриття.
Доказ того, що не Піфагор придумав вірш про штани, щоб довести висунуті їм креслення: за часів великого математика штанів ще не було. Вони були придумані за кілька десятиліть.
Роздуми Піфагора про власне правило: секрет сущого землі криється в цифрах. Адже математик, спираючись на свою гіпотезу, вивчив властивості чисел, виявив парність і непарність, створив пропорції.

Деякі дискусії мене розважають безмірно...

Привіт що робиш?
-Та ось, завдання вирішую з журналу.
-Ну ти даєш! Не чекав від тебе.
-Чого не очікував?
-Що ти опустишся до завдань. Начебто розумний, а віриш у всяку дурницю.
-Вибач не розумію. Що ти називаєш дурницями?
-Та всю цю вашу математику. Адже очевидно, що фігня повна.
-Як ти можеш так казати? Математика - цариця наук...
-От тільки давай без цього пафосу, так? Математика - взагалі не наука, а одне суцільне нагромадження безглуздих законів та правил.
-Що?!
-Ой, ну не роби такі великі очі, ти ж сам знаєш, що я правий. Ні, я не сперечаюся, таблиця множення – велика річ, вона відіграла чималу роль у становленні культури та історії людства. Але тепер це все вже неактуально! І потім, навіщо все було ускладнювати? У природі немає ніяких інтегралів чи логарифмів, це все вигадки математиків.
-Стривай. Математики нічого не вигадували, вони відкривали нові закони взаємодії чисел, користуючись перевіреним інструментарієм.
-Ну так звичайно! І ти цьому віриш? Ти що, сам не бачиш, яку нісенітницю вони постійно несуть? Тобі навести приклад?
-Та вже, будь добрий.
-Так будь ласка! Теорема Піфагора.
-Ну І що в ній не так?
-Та все не так! "Піфагорові штани на всі боки рівні", чи розумієте. А ти знаєш, що греки за часів Піфагора не носили штанів? Як Піфагор міг взагалі міркувати у тому, що не мав жодного поняття?
-Стривай. До чого тут штани?
-Ну вони ж начебто Піфагорові? Чи ні? Ти визнаєш, що Піфагор не мав штанів?
-Ну, взагалі-то, звичайно, не було...
-Ага, значить, вже у самій назві теореми явна невідповідність! Як після цього можна ставитись серйозно до того, що там говориться?
-Хвилинку. Піфагор нічого не говорив про штани.
-Ти це визнаєш, так?
-Так ... Так от, можна я продовжу? Піфагор нічого не говорив про штани, і не треба йому приписувати чужі дурниці.
-Ага, ти сам згоден, що це все дурниці!
-Та не казав я такого!
-Тільки що сказав. Ти сам собі суперечиш.
-Так. Стоп. Що йдеться у теоремі Піфагора?
-Що всі штани рівні.
-Блін, та ти взагалі читав цю теорему?!
-Я знаю.
-Звідки?
-Я читав.
-Що Ти читав?!
-Лобачовського.
*пауза*
-Пробач, а яке відношення має Лобачевський до Піфагора?
-Ну, Лобачевський теж математик, і він начебто навіть більш крутий авторитет, ніж Піфагор, скажеш ні?
*зітхання*
-Ну і що ж сказав Лобачевський про теорему Піфагора?
-Що штани рівні. Але це ж нісенітниця! Як такі штани взагалі можна носити? До того ж, Піфагор взагалі не носив штанів!
-Лобачевський так сказав?!
* секундна пауза, з упевненістю *
-Так!
-Покажи мені, де це написано.
-Ні, ну там це не написано так прямо...
-Як називається книга?
-Та це не книга, це стаття у газеті. Про те, що Лобачевський насправді був агентом німецької розвідки... ну, це до справи не стосується. Все одно він напевно так говорив. Він теж математик, отже вони з Піфагором заодно.
-Піфагор нічого не говорив про штани.
-Ну так! Про те й мова. Фігня це все.
-Давай по порядку. Звідки ти особисто знаєш, про що йдеться у теоремі Піфагора?
-Ой, ну кинь! Це все знають. Будь-кого запитай, тобі одразу дадуть відповідь.
-Піфагорові штани - це не штани.
-А, Ну звичайно! Це алегорія! Знаєш, скільки разів я таке чув?
-Теорема Піфагора свідчить, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. І ВСЕ!
-А Де штани?
-Так Не було у Піфагора ніяких штанів!
-Ну ось бачиш, я тобі про те й тлумачу. Фігня вся ваша математика.
-А От і не фігня! Дивись сам. Ось трикутник. Ось гіпотенуза. Ось катети...
-А чому раптом саме це катети, а це гіпотенуза? Може навпаки?
-Ні. Катетами називаються дві сторони, що утворюють прямий кут.
-Ну Ось тобі ще один прямий кут.
-Він не прямий.
-А який же він, кривий?
-Ні, він гострий.
-Так і цей теж гострий.
-Він не гострий, він прямий.
-Знаєш, не мороч мені голову! Ти просто називаєш речі як тобі зручно, аби підігнати результат під бажаний.
-Дві короткі сторони прямокутного трикутника – це катети. Довга сторона – гіпотенуза.
-А, хто коротший – той катет? І гіпотенуза, отже, вже не котить? Ти сам послухай себе з боку, яке ти марення несеш. Надворі 21 століття, розквіт демократії, а в тебе середньовіччя якесь. Сторони в нього, бач, нерівні...
-Прямокутного трикутника з рівними сторонами не існує.
-А ти впевнений? Давай я тобі намалюю. Ось дивись. Прямокутний? Прямокутний. І всі боки рівні!
-Ти намалював квадрат.
-Ну і що?
-Квадрат – не трикутник.
-А, Ну звичайно! Як тільки він нас не влаштовує, одразу "не трикутник"! Не мороч мені голову. Вважай сам: один кут, два кути, три кути.
-Чотири.
-Ну і що?
-Це квадрат.
-А Квадрат що, не трикутник? Він гірший, так? Тільки тому, що я намалював його? Три кути є? Є, і навіть один запасний. Ну і нефіг тут, розумієш...
-Добре, залишимо цю тему.
-Ага, вже здаєшся? Нема чого заперечити? Ти визнаєш, що математика – фігня?
-Ні, не визнаю.
-Ну Ось, знову знову-здорово! Я ж тобі щойно детально довів! Якщо в основі всієї вашої геометрії лежить вчення Піфагора, а воно, перепрошую, повна нісенітниця... то про що взагалі можна далі міркувати?
-Вчення Піфагора - не нісенітниця ...
-Ну як же! А то я не чув про школу піфагорійців! Вони, якщо хочеш знати, вдавалися до оргій!
-До чого тут...
-А Піфагор взагалі був педик! Він сам сказав, що Платон йому друг.
-Піфагор?!
-А Ти не знав? Та вони взагалі усі педики були. І на голову трихнуті. Один у бочці спав, інший голяка по місту бігав...
-У бочці спав Діоген, але він був філософ, а не математик.
-А, Ну звичайно! Якщо хтось у діжку поліз, то вже й не математик! Навіщо нам зайва ганьба? Знаємо, знаємо, проходили. А ось ти поясни мені, чому всякі педики, які жили три тисячі років тому і бігали без штанів, мають бути для мене авторитетом? З якого дива я повинен приймати їхню точку зору?
-Добре, залиш...
-Та ні, ти послухай! Я тебе теж слухав. Ось ці ваші обчислення, підрахунки... Вважати ви все вмієте! А спитай у вас що-небудь по суті, відразу відразу: "це приватне, це змінна, а це два невідомих". А ти мені в о-о-о-загальному скажи, без частковостей! І без жодних там невідомих, непізнаних, екзистенційних... Мене від цього нудить, розумієш?
-Розумію.
-Ну ось поясни мені, чому двічі дві завжди чотири? Хто це вигадав? І чому я зобов'язаний сприймати це як даність і не маю права сумніватися?
-Та сумнівайся скільки хочеш ...
-Ні, Ти мені поясни! Тільки без цих ваших штучок, а нормально, по-людськи щоб зрозуміло було.
-Двічі два одно чотири, тому що двічі по два буде чотири.
-Олія олійна. Що ти сказав мені нового?
-Двічі два – це два, помножене на два. Візьми два і два і склади їх...
-Так скласти чи помножити?
-Це одне і теж...
-Обидва на! Виходить, якщо я складу і помножу сім і вісім, теж вийде одне й те саме?
-Ні.
-А чому?
-Бо сім плюс вісім не дорівнює...
-А якщо я дев'ять помножу на два, вийде чотири?
-Ні.
-А чому? Два множив – вийшло, а з дев'яткою раптом облом?
-Так. Двічі дев'ять – вісімнадцять.
-А двічі сім?
-Чотирнадцять.
-А Двічі п'ять?
-Десять.
- Тобто чотири виходить тільки в одному окремому випадку?
-Саме так.
-А тепер подумай сам. Ти кажеш, що існують якісь жорсткі закони та правила множення. Про які закони тут взагалі може йтися, якщо у кожному конкретному випадку виходить інший результат?!
-Це не зовсім так. Іноді результат може збігатися. Наприклад, двічі шість дорівнює дванадцятій. І чотири рази три – теж...
-Ще гірше! Два, шість, три чотири – взагалі нічого спільного! Ти сам бачиш, що результат не залежить від вихідних даних. Приймається одне й те саме рішення у двох кардинально різних ситуаціях! І це при тому, що та сама двійка, яку ми беремо постійно і ні на що не міняємо, з усіма числами завжди дає різну відповідь. Де, питається, логіка?
-Але це ж саме логічно!
-Для тебе - може бути. Ви, математики, завжди вірите у будь-яку позамежну хрень. А мене ці ваші викладки не переконують. І знаєш чому?
-Чому?
-Тому що я знаюнавіщо потрібна насправді ваша математика. Адже вона вся до чого зводиться? "У Каті в кишені одне яблуко, а у Михайла п'ять. Скільки яблук повинен віддати Михайло Каті, щоб яблук у них стало порівну?" І знаєш, що я скажу? Мишко нікому нічого не виненвіддавати! У Каті одне яблуко є – і вистачить. Мало їй? Нехай іде працювати, і сама собі чесно заробить хоч на яблука, хоч на груші, хоч на ананаси в шампанському. А якщо хтось хоче не працювати, а лише завдання вирішувати - нехай сидить зі своїм одним яблуком і не випендрюється!