Площа різних фігур.

Усі формули площі плоских фігур

Площа рівнобедреної трапеції

1. Формула площі рівнобедреної трапеції через сторони та кут

а - нижня основа

b - верхня основа

с - рівні бічні сторони

α - кут при нижній підставі

Формула площі рівнобедреної трапеції через сторони (S):

Формула площі рівнобедреної трапеції через сторони та кут, (S):

2. Формула площі рівнобедреної трапеції через радіус вписаного кола

R-радіус вписаного кола

D-діаметр вписаного кола

O-центр вписаного кола

H-висота трапеції

α, β - кути трапеції

Формула площі рівнобедреної трапеції через радіус вписаного кола, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписаного кола в рівнобедрену трапецію:

3. Формула площі рівнобедреної трапеції через діагоналі та кут між ними

d-діагональ трапеції

α,β- кути між діагоналями

Формула площі рівнобедреної трапеції через діагоналі та кут між ними, (S):

4. Формула площі рівнобедреної трапеції через середню лінію, бічну сторону та кут при підставі

c-бічна сторона

m-середня лінія трапеції

α, β - кути при основі

Формула площі рівнобедреної трапеції через середню лінію, бічну сторону та кут при підставі,

(S):

5. Формула площі рівнобедреної трапеції через основи та висоту

a - нижня основа

b - верхня основа

h - висота трапеції

Формула площі рівнобедреної трапеції через основи та висоту, (S):

Площа трикутника з обох боків і двох кутів, формула.

a, b, c-сторони трикутника

α, β, γ- протилежні кути

Площа трикутника через бік та два кути (S):

Формула площі правильного багатокутника

a - сторона багатокутника

n - кількість сторін

Площа правильного багатокутника, (S):

Формула (Герона) площі трикутника через півпериметр (S):

Площа рівностороннього трикутника дорівнює:

Формули розрахунку площі рівностороннього трикутника.

a - сторона трикутника

h – висота

Як обчислити площу рівнобедреного трикутника?

b - основа трикутника

a - рівні сторони

h – висота

3. Формула площі трапеції через чотири сторони

a - нижня основа

b - верхня основа

c, d - бічні сторони

Радіус описаного кола трапеції з боків та діагоналі

a - бічні сторони трапеції

c - нижня основа

b - верхня основа

d - діагональ

h - висота

Формула радіусу описаного кола трапеції, (R)

знайти радіус описаного кола рівнобедреного трикутника по сторонах

Знаючи сторони рівнобедреного трикутника, можна за формулою знайти, радіус описаного кола біля цього трикутника.

a, b - сторони трикутника

Радіус описаного кола рівнобедреного трикутника (R):

Радіус вписаного кола в шестикутник

a - сторона шестикутника

Радіус вписаного кола в шестикутник (r):

Радіус вписаного кола в ромб

r - радіус вписаного кола

a - сторона ромба

D, d – діагоналі

h - висота ромба

Радіус вписаного кола в рівнобічну трапецію

с - нижня основа

b - верхня основа

a - бічні сторони

h - висота

Радіус вписаного кола в прямокутний трикутник

a, b - катети трикутника

с - гіпотенуза

Радіус вписаного кола в рівнобедрений трикутник

a, b - сторони трикутника

Довести, що площа вписаного чотирикутника дорівнює

\/(р-а)(р-b) (р-с) (р-d),

де р – напівпериметр і а, b, с та d – сторони чотирикутника.

Довести, що площа вписаного в коло чотирикутника дорівнює

1/2 (ab + cb) · sin α де а, b, с і d - сторони чотирикутника і α - кут між сторонами а і b.

S = √[ a c d] sin ½ (α + β). - Читайте на FB.ru:

Площа довільного чотирикутника (рис. 1.13) можна виразити через його сторони а, b, c та суму пари протилежних кутів:

де р - Півпериметр чотирикутника.

Площа вписаного в коло чотирикутника () (рис. 1.14, а) обчислюється за формулою Брахмагупт

а описаного (рис. 1.14, б) () – за формулою

Якщо ж чотирикутник вписаний і описаний одночасно (рис. 1.14, в), то формула стає простою:

Формула Піка

Щоб оцінити площу багатокутника на папері, достатньо підрахувати, скільки клітин покриває цей багатокутник (площу клітини ми приймаємо за одиницю). Точніше, якщо S – площа багатокутника, - число клітин, які повністю лежать усередині багатокутника, і - число клітин, які мають із начинкою багатокутника хоч одну загальну точку.

Розглянемо нижче такі багатокутники, всі вершини яких лежать у вузлах картатого паперу – в таких, де перетинаються лінії сітки. Виявляється, що для таких багатокутників можна вказати таку формулу:

де - площа, r - число вузлів, що лежать строго всередині багатокутника.

Цю формулу називають "формула Піка" - на ім'я математика, що відкрив її в 1899 році.

Щоб розв'язати задачі з геометрії, треба знати формули - такі, як площа трикутника або площа паралелограма - а також прості прийоми, про які ми розповімо.

Для початку вивчимо формули площ фігур. Ми спеціально зібрали їх у зручну таблицю. Роздрукуйте, вивчіть та застосовуйте!

Звичайно, не всі формули геометрії є в нашій таблиці. Наприклад, для вирішення задач з геометрії та стереометрії у другій частині профільного ЄДІ з математики застосовуються інші формули площі трикутника. Про них ми обов'язково розповімо.

А що робити, якщо треба знайти не площу трапеції чи трикутника, а площу якоїсь складної фігури? Є універсальні методи! Покажемо їх на прикладах із банку завдань ФІПД.

1. Як знайти площу нестандартної фігури? Наприклад, довільного чотирикутника? Простий прийом - розіб'ємо цю фігуру на такі, про які ми знаємо, і знайдемо її площу - як суму площ цих постатей.

Розділимо цей чотирикутник горизонтальною лінією на два трикутники із загальною основою, що дорівнює . Висоти цих трикутників дорівнюють і . Тоді площа чотирикутника дорівнює сумі площ двох трикутників: .

Відповідь: .

2. У деяких випадках площу фігури можна представити як різницю будь-яких площ.

Не так просто порахувати, чому рівні основа і висота в цьому трикутнику! Проте ми можемо сказати, що його площа дорівнює різниці площ квадрата зі стороною і трьох прямокутних трикутників. Бачите їх на малюнку? Отримуємо: .

Відповідь: .

3. Іноді у завданні треба знайти площу не всієї фігури, а її частини. Зазвичай йдеться тут про площу сектора-частини кола. Знайдіть площу сектора кола радіусу, довжина дуги якого дорівнює.

На цьому малюнку ми бачимо частину кола. Площа всього кола дорівнює, оскільки. Залишається дізнатися, яку частину кола зображено. Оскільки довжина всього кола дорівнює (оскільки ), а довжина дуги даного сектора дорівнює , отже, довжина дуги в раз менша, ніж довжина всього кола. Кут, на який спирається ця дуга, також у раз менше, ніж повне коло (тобто градусів). Значить, і площа сектора буде в раз менше, ніж площа всього кола.

Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника по стороні та висоті
   Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
   
2. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
   
3. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
   Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
   
де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата по довжині сторони
   Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
   Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   S =	1	2
   	2

де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
   Площа паралелограма
2. Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
   Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
   

   a · b · sin α

де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
   Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
2. Формула площі ромба по довжині сторони та куту
   Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
   Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.

Формули площі трапеції

1. Формула Герону для трапеції

   Де S - Площа трапеції,
   - Довжини основ трапеції,
   - Довжини бічних сторін трапеції,