Площа трикутника abc дорівнює всередині. Площа трикутника ABC дорівнює
Площа трикутника АВСдорівнює 12
. На прямий АСвзято крапку Dтак що
крапка Cє серединою відрізка AD. Крапка K– середина сторони AB,
пряма KDперетинає бік BCу точці L.
а) Доведіть, що BL: LC = 2: 1.
б) Знайдіть площу трикутника BLK.
Для початку акуратно зробимо креслення, позначаючи по ходу справи рівність відрізків.
Тепер неважко помітити, що з'єднавши точки Уі D, ми отримаємо трикутник АВD,
в якому DKі НДє медіанами за визначенням (чи пам'ятаєте Ви його?)
А медіани в точці перетину діляться щодо 2: 1
з вершини.
Справу зроблено. Напишіть, чи вмієте Ви цю властивість довести самостійно?
Знайти площу трикутника BLKможна по-різному. Нехай АЕ- третя медіана
трикутника АВD, вона пройде через точку Lперетину перших двох.
Медіана НДділить трикутник АВDна два рівновеликі трикутники.
Тому площа АВDвдвічі більше площі АВСі дорівнює 12 · 2 = 24.
Три медіани ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників.
Звідси легко знайти площу шуканого трикутника BLK. 24:6 = 4
.
Зауважу, що обидва ці твердження слід також уміти доводити.
========================================
Можна порівняти площі трикутників BLKі АВСне чіпаючи медіани.
Трикутники ці мають загальний кут Ускористаємося цим фактом.
Знайдемо тепер відношення площ:
Таким чином, площа BLKУ три рази менше площі АВС.
Площа трикутника ABCдорівнює 198. Бісектриса AL перетинає медіану BM у точці К. Знайдіть площу чотирикутника MCLK, якщо відомо, що BL:CL=7:4.
Будуємо ескіз:
Відразу побачити хід розв'язання задачі досить складно, але ми завжди можемо поставити питання: а що можна знайти, використовуючи дані в умові та відомі нам властивості?
Можемо визначити площі деяких трикутників, розглянемо:
Так як АМ = МС, значить площі трикутників дорівнюватимуть, тобто:
Розглянемо трикутники ALB та ALC. За умови сказано, що BL:CL=7:4. Введемо коефіцієнт пропорційності «х» і запишемо формули їх площ:
Ставлення площ дорівнюватиме:
Також нам відомо, що S ALB +S ALC =198. Можемо обчислити площі:
Зверніть увагу, що нам в умові не дано жодних кутів та лінійних розмірів (довжини елементів), тому не варто витрачати зусилля на обчислення кутів і довжин (сторін, медіан, бісектрис тощо). Чому?
Коли в умові дано відношення відрізків (кутів) і немає жодної конкретної величини, то швидше за все за таких даних можна побудувати безліч варіантів фігури. *Не для кожного учня це можна побачити відразу, потрібен досвід.
Тому в подібних випадках прагнете використовувати відносини - а саме: відносини елементів, площ, використовуйте подобу трикутників, якщо це можливо.
Тут ми можемо знайти відношення сторін трикутника. Виразимо площі трикутників:
Виходячи з того, що АМ=МС випливає, що
Тепер увага! Ми близькі до розв'язки. Є ще одне відношення, з якого ми можемо встановити відношення площ двох трикутників. Виразимо площі трикутників.
Нехай потрібно визначити площу трикутника АВС. Проведемо через вершини його С і В прямі, паралельні сторонамАВ та АС.
Ми отримаємо паралелограм АВDС. Площа його дорівнює добутку основи АВ на висоту СО. Паралелограм АВDС складається з двох рівних трикутниківАВС і ВСD, отже, площа трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, тобто S\(\Delta\)ABC = 1/2 АВ СО.
Звідси: площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.
S \(\Delta\) = \(\frac(a h)(2)\)
Цю формулу можна представити у такому вигляді:
S \(\Delta\) = \(\frac(a)(2)\) h, або S \(\Delta\) = a\(\frac(h)(2)\).
Формули для обчислення площі трикутника
1. З геометрії відома формула Герона:
$ $ S = \ sqrt (р (р - а) (р - b) (р - с)), $ $
(де р = ( а + b + c) / 2 -напівпериметр), що дозволяє обчислювати площу трикутника з його сторін.
2 . Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними:
S = 1/2 bc sin A.
Доведення.З геометрії відомо, що площа трикутника дорівнює половині добутку сторони трикутника на висоту, опущену на цю сторону з протилежної вершини.
S = 1/2 b · h b (1)
Якщо кут А гострий, то із трикутника АВН знайдемо ВН = h b = с sin A.
Якщо кут A тупий, то
ВН = h b = с sin (π - A) = з sin A.
Якщо кут A прямий, то sin A = 1 і
h b= АВ = з = з sin A.
Отже, у всіх випадках h b = с sin A. Підставивши в рівність (1), отримаємо формулу, що доводиться.
Так само отримаємо формули: S = 1 / 2 ab sin C= 1/2 ac sin B
3. На підставі теореми синусів:
$$ b = \frac(a sinB)(sinA); \;\; c = \frac(a sinC)(sinA) $$
Підставивши ці вирази у формулу (1), отримаємо таку формулу:
$$ S = \frac(a^2 sinB sinC)(2sinA) $$
