Mn середня лінія трикутника АВС якщо. Трапеція, середня лінія трапеції, трикутник

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Сьогодні ми почнемо вивчати алгоритми, пов'язані із геометрією. Справа в тому що олімпіадних завданьз інформатики, пов'язаних з обчислювальною геометрією, досить багато і вирішення таких завдань часто викликають труднощі.

За кілька уроків ми розглянемо ряд елементарних підзавдань, куди спирається вирішення більшості завдань обчислювальної геометрії.

На цьому уроці ми складемо програму для знаходження рівняння прямої, що проходить через задані дві точки. Для вирішення геометричних завданьнам знадобляться деякі знання з обчислювальної геометрії. Частину уроку ми присвятимо знайомству з ними.

Відомості з обчислювальної геометрії

Обчислювальна геометрія – це розділ інформатики, що вивчає алгоритми розв'язання геометричних завдань.

Вихідними даними для таких завдань можуть бути безліч точок на площині, набір відрізків, багатокутник (заданий, наприклад, списком своїх вершин у порядку руху за годинниковою стрілкою) і т.п.

Результатом може бути або відповідь на якесь питання (типу належить точка відрізка, чи перетинаються два відрізки, …), або якийсь геометричний об'єкт (наприклад, найменший опуклий багатокутник, що з'єднує задані точки, площа багатокутника, тощо).

Ми розглядатимемо завдання обчислювальної геометрії тільки на площині і тільки в декартовій системі координат.

Вектори та координати

Щоб застосовувати методи обчислювальної геометрії, необхідно геометричні образи перекласти мовою чисел. Вважатимемо, що на площині задана декартова системакоординат, у якій напрямок повороту проти годинникової стрілки називається позитивним.

Тепер геометричні об'єкти набувають аналітичного виразу. Так, щоб задати точку, досить зазначити її координати: пару чисел (x; y). Відрізок можна задати, вказавши координати його кінців, можна задати пряму, вказавши координати пари її точок.

Але основним інструментом у вирішенні завдань у нас будуть вектори. Нагадаю тому деякі відомості про них.

Відрізок АВ, у якого точку Авважають початком (точкою програми), а точку У– кінцем, називають вектором АВі позначають або , або жирною малою літерою, наприклад а .

Для позначення довжини вектора (тобто довжини відповідного відрізка) користуватимемося символом модуля (наприклад, ).

Довільний вектор матиме координати, рівні різницівідповідних координат його кінця та початку:

,

тут крапки Aі B мають координати відповідно.

Для обчислень ми будемо використовувати поняття орієнтованого кута, тобто кута, що враховує взаємне розташуваннявекторів.

Орієнтований кут між векторами a і b позитивний, якщо поворот від вектора a до вектору b відбувається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) і негативний - в іншому випадку. Див рис.1а, рис.1б. Говорять також, що пара векторів a і b позитивно (негативно) орієнтована.

Таким чином, величина орієнтованого кута залежить від порядку перерахування векторів і може набувати значення в інтервалі .

Багато завдань обчислювальної геометрії використовують поняття векторного (косого чи псевдоскалярного) творів векторів.

Векторним твором векторів a і b називатимемо добуток довжин цих векторів на синус кута між ними:

.

Векторний добуток векторів у координатах:

Вираз праворуч – визначник другого порядку:

На відміну від визначення, яке дається в аналітичної геометріїце скаляр.

Знак векторного творувизначає положення векторів один щодо одного:

a і b позитивно орієнтована.

Якщо величина, то пара векторів a і b негативно орієнтована.

Векторний добуток ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні ( ). Це означає, що вони лежать на одній прямій або паралельних прямих.

Розглянемо кілька найпростіших завдань, необхідні під час вирішення складніших.

Визначимо рівняння прямої за координатами двох точок.

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки, Задані своїми координатами.

Нехай на прямій задані дві точки, що не збігаються: з координатами (x1; y1) і з координатами (x2; y2). Відповідно вектор з початком у точці та кінцем у точці має координати (x2-x1, y2-y1). Якщо P(x, y) – довільна точка нашої прямої, то координати вектора рівні (x-x1, y – y1).

За допомогою векторного твору умову колінеарності векторів можна записати так:

Тобто. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Останнє рівняння перепишемо так:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Отже, пряму можна встановити рівнянням виду (1).

Завдання 1. Задано координати двох точок. Знайти її уявлення як ax + by + c = 0.

На цьому уроці ми познайомились із деякими відомостями з обчислювальної геометрії. Вирішили завдання щодо знаходження рівняння лінії за координатами двох точок.

на наступному уроціскладемо програму знаходження точки перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.

Рівняння параболиє квадратичною функцією. Існує кілька варіантів складання цього рівняння. Все залежить від того, які параметри представлені за умови завдання.

Інструкція

Парабола є кривою, яка за своєю формою нагадує дугу і є графіком статечної функції. Незалежно від того, характеристики має парабола, ця є парною. Парною називається така функція, при всіх значеннях аргументу з визначення при зміні знака аргументу значення не змінюється: f (-x) = f (x) Почніть з самої просту функції: y=x^2. З її виду можна зробити висновок, що вона як при позитивних, так і при негативних значенняхаргументу x. Точка, в якій x = 0, і при цьому y = 0 вважається точкою .

Нижче наведено всі основні варіанти побудови цієї функції та її. Як перший приклад нижче розглянута функція виду: f (x) = x ^ 2 + a, де a - ціле число Для того, щоб побудувати графік цієї функції, необхідно зрушити графік функції f (x) на одиниць. Прикладом може бути функція y=x^2+3, де вздовж осі y зсувають функцію на дві одиниці. Якщо дана функція з протилежним знаком, Наприклад y=x^2-3, її графік зрушують вниз по осі y.

Ще один вид функції, якою може бути задана парабола – f(x)=(x +a)^2. У разі графік, навпаки, зсувається вздовж осі абсцис (осі x) на a одиниць. Наприклад можна розглянути функції: y=(x +4)^2 і y=(x-4)^2. У першому випадку, де є функція зі знаком плюс, графік зсувають по осі x вліво, а в другому - праворуч. Всі ці випадки показані малюнку.

Ця стаття продовжує тему рівняння прямої на площині: розглянемо такий вид рівняння, як загальне рівнянняпрямий. Задамо теорему та наведемо її доказ; Розберемося, що таке неповне загальне рівняння прямої і як здійснювати переходи від загального рівняння до інших типів рівнянь прямої. Усю теорію закріпимо ілюстраціями та вирішенням практичних завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нехай на площині задано прямокутну систему координат O x y .

Теорема 1

Будь-яке рівняння першого ступеня, що має вигляд A x + B y + C = 0 де А, В, С - деякі дійсні числа(А і В не дорівнюють одночасно нулю) визначає пряму лінію в прямокутної системикоординат на площині. У свою чергу, будь-яка пряма у прямокутній системі координат на площині визначається рівнянням, що має вигляд A x + B y + C = 0 при деякому наборі значень А, В, С.

Доведення

зазначена теорема і двох пунктів, доведемо кожен із них.

1. Доведемо, що рівняння A x + B y + C = 0 визначає на площині пряму.

Нехай існує деяка точка М 0 (x 0 , y 0) координати якої відповідають рівнянню A x + B y + C = 0 . Отже: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Віднімемо з лівої та правої частин рівнянь A x + B y + C = 0 ліву та праву частини рівняння A x 0 + B y 0 + C = 0 отримаємо нове рівняння, що має вигляд A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Воно еквівалентне A x + B y + C = 0.

Отримане рівняння A(x – x 0) + B (y – y 0) = 0 є необхідним та достатньою умовоюперпендикулярності векторів n → = (A , B) та M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) . Таким чином, безліч точок M (x , y) задає у прямокутній системі координат пряму лінію, перпендикулярну до напрямку вектора n → = (A , B) . Можемо припустити, що це не так, але тоді вектори n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) не були б перпендикулярними, і рівність A (x - x 0 ) + B(y - y 0) = 0 не було б вірним.

Отже, рівняння A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 визначає деяку пряму у прямокутній системі координат на площині, а отже, і еквівалентне йому рівняння A x + B y + C = 0 визначає ту саму пряму. Так ми довели першу частину теореми.

1. Наведемо доказ, що будь-яку пряму в прямокутній системі координат на площині можна встановити рівнянням першого ступеня A x + B y + C = 0 .

Задамо в прямокутній системі координат на прямій площині a ; точку M 0 (x 0 , y 0) , якою проходить ця пряма, і навіть нормальний вектор цієї прямої n → = (A , B) .

Нехай також існує деяка точка M (x, y) - плаваюча точка пряма. У такому разі вектори n → = (A , B) і M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) є перпендикулярний другдругові, та їх скалярний добутокє нуль:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Перепишемо рівняння A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, визначимо C: C = - A x 0 - B y 0 і в кінцевому результатіотримаємо рівняння A x + B y + C = 0.

Так ми довели і другу частину теореми, і довели всю теорему в цілому.

Визначення 1

Рівняння, що має вигляд A x + B y + C = 0 – це загальне рівняння прямоїна площині у прямокутній системі координатO x y.

Спираючись на доведену теорему, ми можемо зробити висновок, що задані на площині фіксованої прямокутної системи координат пряма лінія та її загальне рівняння нерозривно пов'язані. Інакше висловлюючись, вихідної прямої відповідає її загальне рівняння; загальному рівнянню прямої відповідає задана пряма.

З доказу теореми також випливає, що коефіцієнти А і В при змінних x та y є координатами нормального вектора прямої, яка задана загальним рівнянням прямої A x + B y + C = 0 .

Розглянемо конкретний прикладзагального рівняння прямої.

Нехай встановлено рівняння 2 x + 3 y - 2 = 0 , якому відповідає пряма лінія в заданій прямокутній системі координат. Нормальний вектор цієї прямої – це вектор n → = (2, 3) . Зобразимо задану пряму лінію на кресленні.

Також можна стверджувати і таке: пряма, яку ми бачимо на кресленні, визначається загальним рівнянням 2 x + 3 y - 2 = 0 оскільки координати всіх точок заданої прямої відповідають цьому рівнянню.

Ми можемо отримати рівняння λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , помноживши обидві частини загального рівняння прямої на число λ рівне нулю. Отримане рівняння є еквівалентом вихідного загального рівняння, отже, описуватиме ту ж пряму на площині.

Повне загальне рівняння прямої– таке загальне рівняння прямої A x + B y + C = 0 , в якому числа А, В, відмінні від нуля. В іншому випадку рівняння є неповним.

Розберемо всі варіації неповного загального рівняння прямої.

1. Коли А = 0 , ≠ 0 , С ≠ 0 , загальне рівняння набуває вигляду B y + C = 0 . Таке неповне загальне рівняння задає у прямокутній системі координат O x y пряму, яка паралельна осі O x , оскільки за будь-якого дійсному значенні x змінна y набуде значення -C B. Інакше кажучи, загальне рівняння прямої A x + B y + C = 0 , коли А = 0 , В ≠ 0 задає геометричне місце точок (x , y) , координати яких рівні одному й тому ж числу -C B.
2. Якщо А = 0, В ≠ 0, С = 0, загальне рівняння набуває вигляду y = 0. Таке неповне рівняннявизначає вісь абсцис O x.
3. Коли А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 отримуємо неповне загальне рівняння A x + С = 0 , що задає пряму, паралельну осі ординат.
4. Нехай А ≠ 0, В = 0, С = 0, тоді неповне загальне рівняння набуде вигляду x = 0, і це є рівняння координатної прямої O y.
5. Нарешті, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неповне загальне рівняння набуває вигляду A x + B y = 0 . І це рівняння визначає пряму, яка проходить через початок координат. Справді, пара чисел (0 , 0) відповідає рівності A x + B y = 0, оскільки А 0 + 0 = 0 .

Графічно проілюструємо всі вищезгадані види неповного загального рівняння прямої.

Приклад 1

Відомо, що задана пряма паралельна осі ординат і проходить через точку 2 7 - 11 . Необхідно записати загальне рівняння заданої прямої.

Рішення

Пряма, паралельна осіординат, визначається рівнянням виду A x + C = 0 , в якому А ≠ 0 . Також умовою задані координати точки, якою проходить пряма, і координати цієї точки відповідають умовам неповного загального рівняння A x + C = 0 , тобто. вірна рівність:

A · 2 7 + C = 0

З нього можна визначити C , якщо надати A якесь ненульове значення, наприклад, A = 7 . У такому разі отримаємо: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 . Нам відомі обидва коефіцієнти A і C, підставимо їх у рівняння A x + C = 0 і отримаємо необхідне рівняння прямої: 7 x - 2 = 0

Відповідь: 7 x - 2 = 0

Приклад 2

На кресленні зображено пряму, необхідно записати її рівняння.

Рішення

Наведене креслення дозволяє нам легко взяти вихідні дані для вирішення задачі. Ми бачимо на кресленні, що задана пряма паралельна осі O x проходить через точку (0 , 3) ​​.

Пряму, яка паралельна очи абсцис, визначає неповне загальне рівняння B y + С = 0 . Знайдемо значення B та C . Координати точки (0 , 3) ​​, оскільки через неї проходить задана пряма, будуть задовольняти рівняння прямої B y + С = 0 тоді справедливою є рівність: · 3 + С = 0 . Задамо для якогось значення, відмінне від нуля. Припустимо, У = 1 , у разі з рівності · 3 + З = 0 можемо знайти З: З = - 3 . Використовуємо відомі значенняВ і С отримуємо необхідне рівняння прямої: y - 3 = 0 .

Відповідь: y - 3 = 0.

Загальне рівняння прямої, що проходить через задану точку площини

Нехай задана пряма проходить через точку М 0 (x 0 , y 0) тоді її координати відповідають загальному рівнянню прямий, тобто. Правильність рівності: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Віднімемо ліву та праву частини цього рівняння від лівої та правої частини загального повного рівнянняпрямий. Отримаємо: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0 це рівняння еквівалентно вихідному загальному, проходить через точку М 0 (x 0 , y 0) і має нормальний вектор n → = (A , B).

Результат, який ми отримали, дає можливість записувати загальне рівняння прямої при відомих координатахнормального вектора прямої та координатах певної точки цієї прямої.

Приклад 3

Дано точку М 0 (- 3 , 4) , через яку проходить пряма, і нормальний вектор цієї прямої n → = (1, - 2) . Необхідно записати рівняння заданої прямої.

Рішення

Вихідні умови дозволяють отримати необхідні дані для складання рівняння: А = 1 , В = - 2 , x 0 = - 3 , y 0 = 4 . Тоді:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 · (x - (- 3)) - 2 · y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Завдання можна було вирішити інакше. Загальне рівняння прямої має вигляд A x + B y + C = 0. Заданий нормальний вектор дозволяє отримати значення коефіцієнтів A і B тоді:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x - 2 · y + C = 0 ⇔ x - 2 · y + C = 0

Тепер знайдемо значення С, використовуючи задану умовоюЗавдання точку М 0 (- 3 , 4) , Через яку проходить пряма. Координати цієї точки відповідають рівнянню x - 2 · y + C = 0, тобто. - 3 - 2 · 4 + С = 0. Звідси З = 11. Необхідне рівняння прямої набуває вигляду: x - 2 · y + 11 = 0 .

Відповідь: x - 2 · y + 11 = 0.

Приклад 4

Задано пряму 2 3 x - y - 1 2 = 0 і точку М 0 , що лежить на цій прямій. Відома лише абсцис цієї точки, і вона дорівнює - 3 . Необхідно визначити ординату заданої точки.

Рішення

Задамо позначення координат точки М0 як x0 та y0. У вихідних даних зазначено, що x0 = -3. Оскільки точка належить заданої прямої, то її координати відповідають загальному рівнянню цієї прямої. Тоді вірною буде рівність:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Визначаємо y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Відповідь: - 5 2

Перехід від загального рівняння прямої до інших видів рівнянь прямої та назад

Як ми знаємо, існує кілька видів рівняння однієї і тієї ж прямої на площині. Вибір виду рівняння залежить від умов задачі; можна вибирати той, який більш зручний для її вирішення. Тут дуже знадобиться навичка перетворення рівняння одного виду на рівняння іншого виду.

Спочатку розглянемо перехід від загального рівняння виду A x + B y + C = 0 до канонічного рівняння x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Якщо А ≠ 0 тоді переносимо доданок B y в праву частинузагального рівняння. У лівій частині виносимо A за дужки. У результаті отримуємо: A x + C A = - B y.

Цю рівність можна записати як пропорцію: x + C A - B = y A .

У разі, якщо В ≠ 0 залишаємо в лівій частині загального рівняння тільки доданок A x , інші переносимо в праву частину, отримуємо: A x = - B y - C . Виносимо – за дужки, тоді: A x = - B y + C B .

Перепишемо рівність як пропорції: x - B = y + C B A .

Звичайно, заучувати отримані формули немає потреби. Достатньо знати алгоритм дій під час переходу від загального рівняння до канонічного.

Приклад 5

Встановлено загальне рівняння прямої 3 y - 4 = 0 . Необхідно перетворити їх у канонічне рівняння.

Рішення

Запишемо вихідне рівняння як 3 y - 4 = 0. Далі діємо за алгоритмом: у лівій частині залишається доданок 0 x; а у правій частині виносимо – 3 за дужки; отримуємо: 0 x = - 3 y - 43.

Запишемо отриману рівність як пропорцію: x - 3 = y - 430. Так ми отримали рівняння канонічного виду.

Відповідь: x - 3 = y - 4 3 0.

Щоб перетворити загальне рівняння прямої на параметричні, спочатку здійснюють перехід до канонічному вигляду, а потім перехід від канонічного рівнянняпрямий до параметричних рівнянь.

Приклад 6

Пряма задана рівнянням 2 x – 5 y – 1 = 0 . Запишіть параметричні рівняння цієї прямої.

Рішення

Здійснимо перехід від загального рівняння до канонічного:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Тепер приймемо обидві частини отриманого канонічного рівняння рівними λ тоді:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Відповідь:x = 5 · λ y = - 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Загальне рівняння можна перетворити на рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = k · x + b , але тільки тоді, коли ≠ 0 . Для переходу в лівій частині залишаємо доданок B y інші переносяться в праву. Отримаємо: B y = - A x - C. Розділимо обидві частини отриманого рівність на B відмінне від нуля: y = - A B x - C B .

Приклад 7

Встановлено загальне рівняння прямої: 2 x + 7 y = 0 . Необхідно перетворити те рівняння на рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Рішення

Виробимо потрібні діїза алгоритмом:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Відповідь: y = - 2 7 x.

Із загального рівняння прямої досить просто отримати рівняння у відрізках виду x a + y b = 1 . Щоб здійснити такий перехід, перенесемо число C у праву частину рівності, розділимо обидві частини одержаної рівності на – С і, нарешті, перенесемо у знаменники коефіцієнти при змінних x та y:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Приклад 8

Необхідно перетворити загальне рівняння прямої x - 7 y + 1 2 = 0 рівняння прямої у відрізках.

Рішення

Перенесемо 1 2 до правої частини: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Розділимо на -1/2 обидві частини рівності: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Відповідь: x-1 2 + y 1 14 = 1 .

Загалом, нескладно проводиться і зворотний перехід: від інших рівнянь до загального.

Рівняння прямої у відрізках і рівняння з кутовим коефіцієнтом легко перетворити на загальне, просто зібравши всі складові в лівій частині рівності:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Канонічне рівняння перетворюється на загальне за такою схемою:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для переходу від параметричних спочатку здійснюється перехід до канонічного, а потім до загального:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Приклад 9

Задані параметричні рівняння прямої x = - 1 + 2 · y = 4 . Необхідно записати загальне рівняння цієї прямої.

Рішення

Здійснимо перехід від параметричних рівняньдо канонічного:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Перейдемо від канонічного до загального:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Відповідь: y - 4 = 0

Приклад 10

Задано рівняння прямої у відрізках x 3 + y 1 2 = 1 . Необхідно здійснити перехід до загального виглядурівняння.

Рішення:

Просто перепишемо рівняння у необхідному вигляді:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Відповідь: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Складання загального рівняння прямої

Вище ми говорили про те, що загальне рівняння можна записати при відомих координатах нормального вектора та координатах точки, через яку проходить пряма. Така пряма визначається рівнянням A(x – x 0) + B (y – y 0) = 0 . Там ми розібрали відповідний приклад.

Зараз розглянемо більше складні приклади, у яких спочатку необхідно визначити координати нормального вектора.

Приклад 11

Задано пряму, паралельну прямій 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Також відома точка M 0 (4 , 1) через яку проходить задана пряма. Необхідно записати рівняння заданої прямої.

Рішення

Вихідні умови говорять нам про те, що прямі паралельні, тоді як нормальний вектор прямий, рівняння якої потрібно записати, візьмемо напрямний вектор прямий n → = (2 , - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Тепер нам відомі всі необхідні дані, щоб скласти загальне рівняння прямої:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Відповідь: 2 x - 3 y - 5 = 0.

Приклад 12

Задана пряма проходить через початок координат перпендикулярно до прямої x - 2 3 = y + 4 5 . Необхідно скласти загальне рівняння заданої прямої.

Рішення

Нормальний вектор заданої прямої буде напрямний вектор прямий x - 2 3 = y + 4 5 .

Тоді n → = (3, 5) . Пряма проходить через початок координат, тобто. через точку О (0 , 0). Складемо загальне рівняння заданої прямої:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Відповідь: 3 x + 5 y = 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Чотирьохкутник, у якого тільки дві сторони паралельні називаються трапецією.

Паралельні сторони трапеції називаються її підставами, а ті сторони, які не паралельні, називаються бічними сторонами. Якщо бічні сторони рівні, така трапеція є рівнобедренной. Відстань між основами називається висотою трапеції.

Середня Лінія Трапеції

Середня лінія – це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції. Середня лінія трапеції паралельна до її підстав.

Теорема:

Якщо пряма, що перетинає середину одного боку, паралельна підставам трапеції, вона ділить навпіл другу бічну сторонутрапеції.

Теорема:

Довжина середньої лінії дорівнює середньому арифметичному довжин її основ

MN середня лінія, AB та CD - основи, AD та BC - бічні сторони

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Довжина середньої лінії трапеції дорівнює середньому арифметичному довжин її основ.

Основна задача: Довести, що середня лінія трапеції ділить навпіл відрізок, кінці якого лежать у середині основ трапеції

Середня лінія трикутника

Відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією трикутника. Вона паралельна третій стороні та її довжина дорівнює половині довжини третьої сторони.
Теорема: Якщо пряма, що перетинає середину однієї сторони трикутника, паралельна іншій стороні трикутника, то вона ділить третю сторону навпіл.

AM = MC та BN = NC =>

Застосування властивостей середньої лінії трикутника та трапеції

Розподіл відрізка на певну кількість рівних частин.
Завдання: Розділити відрізок AB на 5 рівних частин.
Рішення:
Нехай p це випадковий промінь, у якого почало це точка А, який не лежить на прямій AB. Ми послідовно відкладаємо 5 рівних сегментів на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Ми з'єднуємо A 5 з B і проводимо такі прямі через A 4 , A 3 , A 2 і A 1 , які є паралельними A 5 B. Вони перетинають AB відповідно в точках B 4 , B 3 , B 2 і B 1 . Ці точки поділяють відрізок AB на 5 рівних частин. Справді, з трапеції BB 3 A 3 A 5 бачимо, що BB 4 = B 4 B 3 . Таким же чином, з трапеції B 4 B 2 A 2 A 4 отримуємо B 4 B 3 = B 3 B 2

У той час як з трапеції B3B1A1A3, B3B2 = B2B1.
Тоді з B 2 AA 2 випливає, що B 2 B 1 = B 1 A. Наприкінці отримуємо:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, що для поділу відрізка AB на іншу кількість рівних частин, нам потрібно проектувати ту саму кількість рівних сегментів на промінь p. І далі продовжувати вищеописаним способом.

Середня лінія трикутника. Привіт, друзі! Сьогодні теоретичний матеріал, Пов'язаний він з трикутником. У складі іспиту є група завдань, у яких використовується властивість середньої лінії. Причому у завданнях із трикутниками, а й з трапеціями. Була , в якій ці факти я пропонував просто запам'ятати, тепер докладніше.

Що таке середня лінія трикутника та які її властивості?

Визначення.Середня лінія трикутника – це відрізок, що сполучає середини сторін трикутника.

Зрозуміло, що середніх ліній у трикутнику три. Покажемо їх:

Без жодних доказів ви вже, напевно, помітили, що всі чотири утворені трикутникарівні. Це так, але докладніше про це поговоримо далі.

Теорема. Середня лінія трикутника, що з'єднує середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

Доведення:

1. Давайте розглянемо трикутники BMN та BAC. За умовою у нас є BM=MA, BN=NC. Можемо записати:

Отже, трикутники подібні по двох пропорційних сторонах і кутку між ними (друга ознака подібності). Що з цього випливає? А те що:

За ознакою паралельності прямих MN||AC.

2. Також з подоби трикутників випливає, що

Тобто MN вдвічі менше. Доведено!

Вирішимо типове завдання.

У трикутнику ABC точки M, N, K – середини сторін AB, BC, AC. Знайти периметр трикутника ABCякщо MN=12, MK=10, KN=8.

Рішення. Звісно, ​​передусім слід перевірити існування трикутника MNK (отже існування трикутника АВС). Сума двох менших сторін має бути більшою за третю сторону, записуємо 10+8>12. Виконаються, отже трикутник існує.

Побудуємо ескіз:

Таким чином периметр трикутника АВС дорівнює 24+20+16=60.

*Тепер докладніше про трикутники отримані при побудові всіх трьох середніх ліній. Їхня рівність легко доводиться. Подивіться:

Рівні вони з трьох боків. Звичайно, й інші ознаки тут можна застосувати. Отримуємо, що

Як ця властивість використовується у завданнях, включених до складу іспиту? Особливо хочеться звернути увагу на завдання по стереометрії. Є такі типи, у яких мова йдепро трикутну призму.

Наприклад, сказано, що площина проходить через середини сторін основи і вона паралельна третьому ребру основи. Порушуються питання про зміну площі поверхні призми, її обсягу та інші.

Так ось. Знаючи та розуміючи інформацію, викладену вище, ви одразу ж визначите, що ця площина відсікає від заснування зазначеної призми одну четверту частину і завдання вирішите усно. Ось із такими завданнями.

На цьому все! Всього найкращого!

Завантажити матеріал статті

З повагою Олександр Крутицьких.