Чому рух маятника можна назвати коливальним. Коливальний рух

Тема цього уроку: «Коливальне рух. Вільні вагання. Коливальні системи». Спочатку дамо визначення нового виду руху, який ми починаємо вивчати - коливального руху. Розглянемо як приклад коливання пружинного маятника та визначимо поняття вільних коливань. Також вивчимо, що таке коливальні системи та обговоримо умови, необхідні для існування коливань.

Коливання -це періодична зміна будь-якої фізичної величини: коливання температури, коливання кольору світлофора тощо (рис. 1).

Мал. 1. Приклади коливань

Коливання - найпоширеніший вид руху на природі. Якщо торкатися питань, що з механічним рухом, це найпоширеніший вид механічного руху. Зазвичай говорять так: рух, який з часом повністю або частково повторюється, називається ваганням. Механічні коливання- це періодичні зміни фізичних величин, що характеризують механічний рух: положення тіла, швидкість, прискорення.

Приклади коливань: коливання гойдалок, ворушіння листя і хитання дерев під впливом вітру, маятник у годиннику, рух людського тіла.

Мал. 2. Приклади коливань

Найбільш поширеними механічними коливальними системами є:

• Вантажівка, закріплена на пружині - пружинний маятник. Повідомляючи маятнику початкову швидкість, його виводять із стану рівноваги. Маятник здійснює коливання вгору-вниз. Для здійснення коливань у пружинному маятнику має значення кількість пружин та їх жорсткість.

Мал. 3. Пружинний маятник

• Математичний маятник - тверде тіло, підвішене на довгій нитці, що коливається в полі тяжіння Землі.

Мал. 4. Математичний маятник

Умови існування коливань

• Наявність коливальної системи. Коливальна система- Це система, в якій можуть існувати коливання.

Мал. 5. Приклади коливальних систем

• Крапка стійкої рівноваги. Саме довкола цієї точки і відбуваються коливання.

Мал. 6. Точка рівноваги

Існує три типи положень рівноваги: ​​стійке, нестійке та байдуже. Стійке: коли система прагне повернутися в початкове становище за малого зовнішнього впливу. Саме наявність стійкої рівноваги є важливою умовою того, що у системі можуть відбуватися коливання.

• Запаси енергії, що призводять до того, що відбуваються коливання. Адже коливання самі по собі не можуть відбуватися, ми повинні вивести систему з рівноваги, щоб ці коливання відбувалися. Тобто повідомити енергію цій системі, щоб потім коливальна енергія перетворювалася на той рух, який ми розглядаємо.

Мал. 7 Запаси енергії

• Мале значення сил тертя. Якщо ці сили будуть більшими, то про коливання мови не може йти.

Вирішення головного завдання механіки у разі коливань

Механічні коливання – це один із видів механічного руху. Головне завдання механіки- Це визначення положення тіла у будь-який момент часу. Отримаємо закон залежності для механічних коливань.

Закон, який потрібно знайти, ми намагатимемося вгадати, а не вивести математично, тому що рівня знань дев'ятого класу недостатньо для суворих математичних викладок. У фізиці часто-густо користуються таким методом. Спочатку намагаються передбачити справедливе рішення, а потім його доводять.

Коливання – це періодичний чи майже періодичний процес. Це означає, що закон – періодична функція. У математиці періодичними функціями є .

Закон не буде рішенням головного завдання механіки, оскільки – безрозмірна величина, а одиниці виміру – метри. Удосконалимо формулу, додавши перед синусом множник, що відповідає максимальному відхиленню положення рівноваги - амплітудне значення: . Зауважте, що одиницями вимірювання часу є секунди. Подумайте, що означає, наприклад, ? Цей вираз не має сенсу. Вираз під синусом має вимірюватися у градусах чи радіанах. У радіанах вимірюється така фізична величина, як фаза коливання - добуток циклічної частоти та часу.

Вільні гармонійні коливання визначає закон:

Використовуючи це рівняння, можна знайти положення тіла, що коливається, в будь-який момент часу.

Енергія та рівновага

Досліджуючи механічні коливання, особливий інтерес слід приділяти поняттю становища рівноваги - необхідної умови наявності коливань.

Існує три типи положень рівноваги: ​​стійке, нестійке та байдуже.

На малюнку 8 зображено кульку, яка знаходиться у сферичному жолобі. Якщо вивести кульку з положення рівноваги, на неї діятимуть наступні сили: сила тяжіння, спрямована вертикально вниз, сила реакції опори, спрямована перпендикулярно дотичної по радіусу. Векторна сума цих двох сил буде рівнодією, яка спрямована назад до положення рівноваги. Тобто кулька буде прагнути повернутися в положення рівноваги. Таке положення рівноваги називається стійким.

Мал. 8. Стійка рівновага

Покладемо кульку на опуклий сферичний жолоб і трохи виведемо його з положення рівноваги (рис. 9). Сила тяжіння, як і раніше, спрямована вертикально вниз, сила реакції опори, як і раніше, перпендикулярна дотичній. Але тепер рівнодіюча сила спрямована у бік, протилежний початковому положенню тіла. Кулька буде прагнути скотитися вниз. Таке положення рівноваги називається нестійким.

Мал. 9. Нестійка рівновага

На малюнку 10 кулька знаходиться на горизонтальній площині. Равнодіюча двох сил у будь-якій точці на площині буде однаковою. Таке положення рівноваги називається байдужим.

Мал. 10. Байдужна рівновага

При стійкому і нестійкому рівновазі кулька прагне зайняти таке становище, в якому його потенційна енергія буде мінімальною.

Будь-яка механічна система прагне мимоволі зайняти таке становище, у якому її потенційна енергія буде мінімальною. Наприклад, нам комфортніше лежати, аніж стояти.

Отже, необхідно доповнити умову існування коливань тим, що рівновага обов'язково має бути стійкою.

Якщо даному маятнику, коливальній системі повідомили енергію, то коливання, що відбуваються в результаті такої дії, будуть називатися вільними. Найбільш поширене визначення: вільними називають коливання, які відбуваються лише під впливом внутрішніх сил системи.

Вільні коливання ще називають власними коливаннями цієї коливальної системи, даного маятника. Вільні коливання є загасаючими. Вони рано чи пізно згасають, оскільки діє сила тертя. У разі вона хоч і мала величина, але з нульова. Якщо жодна додаткова сила не змушує рухатись тіло, коливання припиняються.

Рівняння залежності швидкості та прискорення від часу

Щоб зрозуміти, чи змінюються швидкість і прискорення при коливаннях, звернемося до математичного маятника.

Маятник вивели зі становища рівноваги, і він починає робити коливання. У крайніх точках коливання швидкість змінює свій напрямок, причому у точці рівноваги швидкість максимальна. Якщо змінюється швидкість, значить у тіла є прискорення. Чи буде такий рух рівноприскореним? Звичайно, ні, так у міру збільшення (зменшення) швидкості змінюється її напрям. Це означає, що прискорення також змінюватиметься. Наше завдання – отримати закони, за якими змінюватимуться проекція швидкості та проекція прискорення з часом.

Координата згодом змінюється за гармонійним законом, законом синуса чи косинуса. Логічно припустити, що швидкість та прискорення також змінюватимуться за гармонійним законом.

Закон зміни координати:

Закон, за яким змінюватиметься проекція швидкості з часом:

Цей закон також є гармонійним, але якщо координата змінюється з часом за законом синуса, то проекція швидкості - за законом косинуса. Координата в положенні рівноваги дорівнює нулю, швидкість у положенні рівноваги максимальна. І навпаки, там, де координата максимальна, швидкість дорівнює нулю.

Закон, за яким змінюватиметься проекція прискорення з часом:

Знак мінус з'являється, оскільки при збільшенні координати сила, що повертає, спрямована в протилежну сторону. За другим законом Ньютона, прискорення спрямоване туди, куди і результуюча сила. Отже, якщо координата зростає, прискорення зростає за модулем, але протилежно за напрямом, і навпаки, про що й каже знак мінус у рівнянні.

Список літератури

1. Кікоїн А.К. Про закон коливального руху // Квант. – 1983. – № 9. – С. 30-31.
2. Кікоїн І.К., Кікоїн А.К. Фізика: навч. для 9 кл. середовищ. шк. - М: Просвітництво, 1992. - 191 с.
3. Чорноуцан О.І. Гармонічні коливання - звичайні та дивовижні // Квант. – 1991. – № 9. – С. 36-38.
4. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Фізика: довідник із прикладами розв'язання задач. - 2-ге видання, переділ. – X.: Веста: видавництво «Ранок», 2005. – 464 с.

1. Інтернет-портал «youtube.com» ()
2. Інтернет-портал «eduspb.com» ()
3. Інтернет-портал «physics.ru» ()
4. Інтернет-портал «its-physics.org» ()

Домашнє завдання

1. Що таке вільні вагання? Наведіть кілька прикладів таких вагань.
2. Обчисліть частоту вільних коливань маятника, якщо довжина його нитки 2 м. Визначте, скільки часу триватимуть 5 коливань такого маятника.
3. Чому дорівнює період вільних коливань пружинного маятника, якщо жорсткість пружини 50 Н/м, а маса вантажу 100 г?

З одним із видів нерівномірного руху – рівноприскореним – ви вже знайомі.

Розглянемо ще один вид нерівномірного руху – коливальний.

Коливальні рухи широко поширені в навколишньому житті. Прикладами коливань можуть бути: рух голки швейної машини, гойдалок, маятника годинника, вагона на ресорах та багатьох інших тіл.

На малюнку 52 зображені тіла, які можуть здійснювати коливальні рухи, якщо їх вивести із положення рівноваги (тобто відхилити або змістити від лінії ГО").

Мал. 52. Приклади тіл, що здійснюють коливальні рухи

У русі цих тіл можна знайти багато відмінностей. Наприклад, кулька на нитці (рис. 52, а) рухається криволінійно, а циліндр на гумовому шнурі (рис. 52 б) - прямолінійно; верхній кінець лінійки (рис. 52 в) коливається з більшим розмахом, ніж середня точка струни (рис. 52, г). За те саме час одні тіла можуть здійснювати більше коливань, ніж інші.

Але при всій різноманітності цих рухів вони мають важливу загальну рису: через певний проміжок часу рух будь-якого тіла повторюється.

Дійсно, якщо кульку відвести від положення рівноваги і відпустити, то вона, пройшовши через положення рівноваги, відхилиться в протилежний бік, зупиниться, а потім повернеться до місця початку руху. За цим коливанням піде друге, третє і т. д., схожі на перше.

Повторяються і рухи інших тіл, зображених малюнку 52.

Проміжок часу, через який рух повторюється, називається періодом вагань. Тому кажуть, що коливальний рух періодичний.

У русі тіл, зображених малюнку 52, крім періодичності є ще одна загальна риса: за проміжок часу, рівний періоду коливань, будь-яке тіло двічі проходить через положення рівноваги (рухаючись у протилежних напрямах).

• Повторювані через рівні проміжки часу руху, за яких тіло багаторазово і в різних напрямках проходить положення рівноваги, називаються механічними коливаннями

Саме такі коливання будуть предметом нашого вивчення.

На малюнку 53 зображена кулька з отвором, одягнена на гладку сталеву струну і прикріплена до пружини (інший кінець якої прикріплена до вертикальної стійки). Кулька може вільно ковзати по струні, тобто сили тертя настільки малі, що не мають істотного впливу на його рух. Коли кулька знаходиться в точці О (рис. 53 а), пружина не деформована (не розтягнута і не стиснута), тому ніякі сили в горизонтальному напрямку на неї не діють. Точка О - положення рівноваги кульки.

Мал. 53. Динаміка вільних коливань горизонтального пружинного маятника

Перемістимо кульку в точку (рис. 53, б). Пружина при цьому розтягнеться, і в ній виникне сила пружності Fпр. Ця сила пропорційна усунення (тобто відхилення кульки від положення рівноваги) і спрямована протилежно йому. Значить, при зміщенні кульки вправо діюча на нього сила спрямована вліво, положення рівноваги.

Якщо відпустити кульку, то під дією сили пружності він почне прискорено переміщатися вліво, до точки О. Напрямок сили пружності та викликаного нею прискорення співпадатиме з напрямом швидкості кульки, тому в міру наближення кульки до точки Про його швидкість весь час зростатиме. При цьому сила пружності із зменшенням деформації пружини зменшуватиметься (рис. 53, в).

Нагадаємо, що будь-яке тіло має властивість зберігати свою швидкість, якщо на нього не діють сили або якщо рівнодіюча сил дорівнює нулю. Тому, дійшовши до положення рівноваги (рис. 53, г), де сила пружності дорівнюватиме нулю, кулька не зупиниться, а продовжуватиме рухатися вліво.

При його русі від точки О до точки А пружина стискатиметься. У ній знову виникне сила пружності, яка й у цьому випадку буде спрямована до положення рівноваги (рис. 53, д, е). Оскільки сила пружності спрямована проти швидкості руху кульки, вона гальмує його рух. В результаті в точці А кулька зупиниться. Сила пружності, спрямована до точки О, продовжуватиме діяти, тому кулька знову почне рухатися і на ділянці АТ його швидкість зростатиме (рис. 53, е, ж, з).

Рух кульки від точки Про до точки знову призведе до розтягування пружини, внаслідок чого знову виникне сила пружності, спрямована до положення рівноваги і сповільнює рух кульки до повної його зупинки (рис. 53, з, і, к). Таким чином, кулька зробить одне повне коливання. При цьому в кожній точці траєкторії (крім точки О) на нього діятиме сила пружності пружини, спрямована до положення рівноваги.

Під дією сили, що повертає тіло в положення рівноваги, тіло може коливати як би саме по собі. Спочатку ця сила виникла завдяки тому, що ми зробили роботу з розтягування пружини, повідомивши їй про деякий запас енергії. За рахунок цієї енергії й відбувалися вагання.

• Коливання, що відбуваються лише завдяки початковому запасу енергії, називаються вільними коливаннями

Тіло, що вільно вагається, завжди взаємодіють з іншими тілами і разом з ними утворюють систему тіл, яка отримала назву коливальної системи. У розглянутому прикладі коливальну систему входять кулька, пружина і вертикальна стійка, до якої прикріплений лівий кінець пружини. Внаслідок взаємодії цих тіл і виникає сила, що повертає кульку до положення рівноваги.

На малюнку 54 зображено коливальну систему, що складається з кульки, нитки, штатива і Землі (Земля на малюнку не показана). В даному випадку кулька здійснює вільні коливання під дією двох сил: сили тяжіння та сили пружності нитки. Їх рівнодіюча спрямована до положення рівноваги.

Мал. 54. Нитяний маятник

• Системи тіл, які здатні здійснювати вільні коливання, називаються коливальними системами

Одна з основних загальних властивостей усіх коливальних систем полягає у виникненні в них сили, що повертає систему до положення стійкої рівноваги.

Коливальні системи - досить широке поняття, яке застосовується до різноманітних явищ.

Розглянуті коливальні системи називаються маятниками. Існує кілька типів маятників: ниткові (див. рис. 54), пружинні (див. рис. 53, 55) тощо.

Мал. 55. Пружинний маятник

У загальному випадку

• маятником називається тверде тіло, що здійснює під дією прикладених сил коливання біля нерухомої точки або навколо осі

Коливальний рух вивчатимемо на прикладі пружинного та ниткового маятників.

Запитання

1. Наведіть приклади коливальних рухів.
2. Як ви розумієте твердження про те, що коливальний рух періодичний?
3. Що називається механічними коливаннями?
4. Користуючись малюнком 53, поясніть, чому з наближенням кульки до точки О з будь-якої сторони його швидкість збільшується, а в міру віддалення від точки О в будь-який бік швидкість кульки зменшується.
5. Чому кулька не зупиняється, дійшовши до положення рівноваги?
6. Які коливання називаються вільними?
7. Які системи називаються коливальними? Наведіть приклади.

Вправа 23

Поряд з поступальним і обертальним рухом коливальний рух відіграє велику роль у макро- та мікросвіті.

Розрізняють хаотичні та періодичні коливання. Періодичні коливання характеризуються тим, що через певні рівні проміжки часу коливається система проходить одні й самі положення. Як приклад можна навести кардіограму людини, що є записом коливань електричних сигналів серця (рис. 2.1). На кардіограмі можна виділити період коливань,тобто. час Тодного повного коливання. Але періодичність не є винятковою особливістю коливань, нею має також і обертальний рух. Наявність положення рівноваги є особливістю механічного коливального руху, тоді як обертання характеризується так званою байдужою рівновагою (добре збалансоване колесо або гральна рулетка, розкрученими, зупиняється в будь-якому положенні рівноймовірно). При механічних коливаннях у будь-якому положенні, крім положення рівноваги, існує сила, що прагне повернути систему, що коливається, в початкове положення тобто. повертаюча сила,завжди спрямована до положення рівноваги. Наявність всіх трьох ознак відрізняє механічне коливання інших видів руху.

Мал. 2.1.

Розглянемо конкретні приклади механічних вагань.

Затиснемо в лещата один кінець сталевої лінійки, а інший, вільний, відведемо вбік і відпустимо. Під дією сил пружності лінійка повертатиметься у вихідне положення, яке є положенням рівноваги. Проходячи через це положення (яке є положенням рівноваги), всі точки лінійки (крім затиснутої частини) матимуть певну швидкість та певний запас кінетичної енергії. За інерцією частина лінійки, що коливається, пройде положення рівноваги і буде здійснювати роботу проти внутрішніх сил пружності за рахунок убутку кінетичної енергії. Це спричинить зростання потенційної енергії системи. Коли кінетична енергія повністю вичерпається, потенційна енергія досягне максимуму. Сила пружності, що діє на кожну точку, що коливається, також досягне максимуму і буде спрямована до положення рівноваги. Це описано у підрозділах 1.2.5 (співвідношення (1.58)), 1.4.1, а також у 1.4.4 (див. рис. 1.31) мовою потенційних кривих. Так буде повторюватися доти, доки повна механічна енергія системи не перейде у внутрішню енергію (енергію коливань частинок твердого тіла) і не розсіється в навколишній простір (нагадаємо, що сили опору відносяться до дисипативних сил).

Таким чином, у розглянутому русі є повторюваність станів і є сили (сили пружності), які прагнуть повернути систему в положення рівноваги. Отже, лінійка здійснюватиме коливальний рух.

Інший відомий усім приклад – коливання маятника. Положення рівноваги маятника відповідає нижчому положенню його центру тяжіння (у цьому становищі потенційна енергія, обумовлена ​​силами тяжіння, мінімальна). У відхиленому положенні на маятник діятиме момент сили щодо осі обертання, що прагне повернути маятник у положення рівноваги. У цьому випадку також є всі ознаки коливального руху. Зрозуміло, що у відсутності сили тяжкості (у стані невагомості) не будуть виконані обумовлені вище умови: у стані невагомості відсутня сила тяжкості і момент цієї сили, що повертає. І тут маятник, отримавши поштовх, рухатиметься по колу, тобто не коливальний, а обертальний рух.

Коливання можуть бути не лише механічними. Так, наприклад, можна говорити про коливання заряду на пластинах конденсатора, з'єднаного паралельно з котушкою індуктивності (у коливальному контурі), або напруженості електричного поля в конденсаторі. Їх зміна з часом описується рівнянням, подібним до того, що визначає механічне зміщення від положення рівноваги маятника. Зважаючи на те, що однаковими рівняннями можна описувати коливання різних фізичних величин, виявляється дуже зручним розгляд коливань безвідносно до того, яка фізична величина коливається. Це породжує систему аналогій, зокрема електромеханічну аналогію. Для певності поки що розглядатимемо механічні коливання. Розгляду підлягають лише періодичні коливання, у яких значення змінних у процесі коливань фізичних величин повторюються через рівні проміжки часу.

Величина, обернена до періоду Тколивань (як і часу одного повного обороту при обертанні), виражає кількість повних коливань, що здійснюються в одиницю часу, і називається частотою(Це просто частота, вона вимірюється в герцах або з -1)

(При коливаннях так само, як при обертальному русі).

Кутова швидкість зв'язується із введеною співвідношенням (2.1) частотою v формулою

вимірюється в рад/с або з -1.

Природно розпочати аналіз коливальних процесів з найпростіших випадків коливальних систем з одним ступенем свободи. Число ступенів свободи- це число незалежних змінних, необхідні повного визначення становища у просторі всіх елементів цієї системи . Якщо, наприклад, коливання маятника (вантаж на нитки та ін.) обмежені площиною, в якій тільки і може переміщатися маятник, і якщо нитка маятника нерозтяжна, то достатньо задати лише один кут відхилення нитки від вертикалі або тільки величину зміщення положення рівноваги - для вантажу, що вагається вздовж одного напрямку на пружині, щоб повністю визначити його положення. У цьому випадку ми говоримо, що розглянута система має один ступінь свободи. Той же маятник, якщо він може займати будь-яке положення на поверхні сфери, на якій лежить траєкторія його руху, має два ступені свободи. Можливі тривимірні коливання, як це має місце, наприклад, при теплових коливаннях атомів кристалічної решітки (див. підрозділ 10.3). Для аналізу процесу у реальної фізичної системі ми вибираємо його модель, заздалегідь обмеживши дослідження рядом умов.

• Тут і далі період коливань позначатиметься тією ж літерою, що й кінетична енергія - Т (не плутати!).
• У розділі 4 "Молекулярна фізика" буде дано й інше визначення числа ступенів свободи.

Лабораторна робота №3

"Визначення коефіцієнта пружності пружини за допомогою пружинного маятника"

УДК 531.13(07)

Розглядаються закони коливального руху з прикладу пружинного маятника. Надано методичні вказівки до виконання лабораторної роботи з визначення коефіцієнта жорсткостіпружини динамічними методами. Дано розбір типових завдань на тему «Гармонічні коливання. Складання гармонійних коливань.

Теоретичне введення

Коливальний рух є одним із найпоширеніших рухів у природі. З ним пов'язані звукові явища, змінний струм, електромагнітні хвилі. Коливання здійснюють окремі частини найрізноманітніших машин і приладів, атоми та молекули у твердих тілах, рідинах та газах, серцеві м'язи у людини та тварин тощо.

Коливанням називають фізичний процес, що характеризується повторюваністю у часі фізичних величин, пов'язаних із цим процесом. Рух маятника чи гойдалок, скорочення серцевого м'яза, змінний струм - усе це приклади систем, котрі здійснюють коливання.

Коливання вважають періодичними, якщо значення фізичних величин повторюються через рівні проміжки часу періодомТ. Число повних коливань, що здійснюються системою за одиницю часу, називають частотоюν. Вочевидь, що Т = 1/ν. Частота вимірюється у герцах (Гц). При частоті 1 герц система здійснює 1 коливання за секунду.

Найпростішим видом коливального руху є вільні гармонійні коливання. Вільними, або власниминазиваються коливання, що відбуваються в системі після того, як вона була виведена із положення рівноваги зовнішніми силами, які надалі участі в русі системи не беруть. Наявність зовнішніх сил, що періодично змінюються, викликає в системі вимушені коливання.

Гармонічниминазивають вільні коливання, що відбуваються під впливом пружної сили за відсутності тертя. Згідно із законом Гука, при малих деформаціях сила пружності прямо пропорційна зсуву тіла х від положення рівноваги та спрямована до положення рівноваги: ​​F упр. = - κх, де κ - коефіцієнт пружності, що вимірюється в Н/м, а x - зміщення тіла з положення рівноваги.

Сили, не пружні за своєю природою, але аналогічні за залежністю від усунення, називають квазіпружними(Лат. Quasi - нібито). Такі сили викликають гармонійні коливання. Наприклад, квазіпружні сили діють на електрони в коливальному контурі, викликаючи гармонійні електромагнітні коливання. Прикладом квазіпружної сили може бути складова сили тяжіння математичного маятника при малих кутах відхилення його від вертикалі.

Рівняння гармонійних коливань. Нехай тіло масою mприкріплено до кінця пружини, маса якої мала проти масою тіла. Тіло, що вагається, називають осцилятором (лат. oscillum- коливання). Нехай осцилятор може вільно і без тертя ковзати вздовж горизонтальної напрямної, якою направимо вісь координат ОХ (рис. 1). Початок координат помістимо у точці, що відповідає рівноважному положенню тіла (рис. 1, а). Прикладемо до тіла горизонтальну силу Fі змістимо його із положення рівноваги вправо в точку з координатою х. Розтяг пружини зовнішньою силою викликає появу в ній силу пружності F ynp. , спрямованої на положення рівноваги (рис. 1, б). Якщо тепер прибрати зовнішню силу F, то під дією сили пружності тіло набуває прискорення а, Рухається до положення рівноваги, а сила пружності зменшується, стаючи рівною нулю в положенні рівноваги. Досягши положення рівноваги, тіло, проте, у ньому не зупиняється і рухається вліво рахунок своєї кінетичної енергії. Пружина знову стискається, виникає сила пружності, спрямовану праворуч. Коли кінетична енергія тіла перейде в потенційну енергію стиснутої пружини, вантаж зупиниться, потім почне рухатися праворуч, і процес повторюється.

Таким чином, якщо при неперіодичному русі кожну точку траєкторії тіло проходить лише один раз, рухаючись в одному напрямку, то при коливальному русі за одне повне коливання в кожній точці траєкторії, крім крайніх, тіло буває двічі: один раз рухаючись у прямому напрямку, інший раз-у зворотному.

Напишемо другий закон Ньютона для осцилятора: ma= F ynp. , де

F упр = -κ x (1)

Знак «–» у формулі вказує на те, що зміщення та сила мають протилежні напрямки, іншими словами, сила, що діє на прикріплений до пружини вантаж, пропорційна зміщенню його із положення рівноваги і спрямована завжди до положення рівноваги. Коефіцієнт пропорційності "κ" носить назву коефіцієнта пружності. Чисельно він дорівнює силі, що викликає деформацію пружини, коли її довжина змінюється на одиницю. Іноді його називають коефіцієнтом жорсткості.

Так як прискорення є другою похідною від зміщення тіла, то це рівняння можна переписати у вигляді

, або
(2)

Рівняння (2) може бути записане у вигляді:

, (3)

де обидві частини рівняння поділені на масу mта введено позначення:

(4)

Легко перевірити підстановкою, що це рівняння задовольняє рішення:

х = А 0 cos (ω 0 t + φ 0) , (5)

де А 0 - амплітуда або максимальне зміщення вантажу від положення рівноваги, 0 - кутова або циклічна частота, яка може бути виражена через період Твласних коливань формулою
(див. нижче).

Величину φ = φ 0 + ω 0 t (6), що стоїть під знаком косинуса і вимірюється в радіанах, називають фазою коливанняу момент часу tа φ 0 - початкова фаза. Фаза являє собою число, що визначає величину і напрям зміщення точки, що коливається в даний момент часу. З (6) видно, що

. (7)

Таким чином, величина ω 0 визначає швидкість зміни фази і називається циклічною частотою. Зі звичайною чистотою її пов'язує формула

Якщо фаза змінюється на 2π радіан, то, як відомо з тригонометрії, косинус набуває вихідного значення, а отже, вихідне значення набуває і зміщення х. Але так як час при цьому змінюється на один період, то виходить, що

ω 0 ( t + T) + φ 0 = (ω 0 t + φ 0) + 2π

Розкриваючи дужки та скорочуючи подібні члени, отримаємо ω 0 T= 2π або
. Але оскільки з (4)
, то отримаємо:
. (9)

Таким чином, період коливання тіла, підвішеного на пружині, як це випливає з формули (8), не залежить від амплітуди коливань, але залежить від маси тіла та від коефіцієнта пружності(або жорсткості) пружини.

Диференціальне рівняннягармонійних коливань:
,

Власна кругова частотаколивань, що визначається природою і параметрами системи, що коливається:

–
-для матеріальної точки масою m, що коливається під дією квазіпружної сили, що характеризується коефіцієнтом пружності (жорсткості) k;

–
-для математичного маятника, що має довжину l;

–
-для електромагнітних коливань у контурі з ємністю Зта індуктивністю L.

ВАЖЛИВЕ ЗАУВАЖЕННЯ

Ці формули правильні при малих відхиленнях від положення рівноваги.

Швидкістьпри гармонійному коливанні:

.

Прискоренняпри гармонійному коливанні:

Повна енергіягармонійного коливання:

.

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ЧАСТИНА

Завдання 1

Визначення залежності періоду своїх коливань пружинного маятника від маси вантажу

1. Підвісьте до однієї з пружин вантаж і виведіть маятник із положення рівноваги приблизно на 1-2 см.

2. Надавши вантажу вільно вагатися, виміряйте секундоміром проміжок часу t, протягом якого маятник здійснить n (n = 15 - 25) повних коливань
. Знайдіть період коливання маятника, розділивши виміряний проміжок часу на кількість коливань. Для більшої точності проведіть вимірювання щонайменше 3 разів та обчисліть середнє значення періоду коливання.

Примітка: Слідкуйте за тим, щоб бічні коливання вантажу були відсутні, тобто коливання маятника були строго вертикальними.

3. Повторіть вимірювання з іншими вантажами. Результати вимірів запишіть у таблицю.

4. Побудуйте залежність періоду коливань маятника від вантажу. Графік буде простішим (пряма лінія), якщо на горизонтальній осі відкладати значення маси вантажів, а на вертикальній осі - значення квадрата періоду.

Завдання 2

Визначення коефіцієнта пружності пружини динамічним методом

1. Підвісьте до однієї з пружин вантаж масою 100 г, виведіть його з положення рівноваги на 1 - 2 см і, вимірявши час 15 - 20 повних коливань, визначте період коливання маятника з вибраним вантажем за формулою
. З формули
обчисліть коефіцієнт пружності пружини.

2. Виконайте аналогічні вимірювання з вантажами від 150 г до 800 г (залежно від обладнання), визначте для кожного випадку коефіцієнт пружності та підрахуйте середнє значення коефіцієнта пружності пружини. Результати вимірів запишіть у таблицю.

Завдання 3. За результатами лабораторної роботи (завдання 1 – 3):

- Знайдіть значення циклічної частоти маятника ω 0 .

– дайте відповідь на запитання: чи залежить амплітуда коливань маятника від маси вантажу.

Візьміть на графіку, отриманому під час виконання завдання 1, довільну точку та проведіть з неї перпендикуляри до перетину з осями Omі OT 2 . Визначте для цієї точки значення mі T 2 і за формулою
обчисліть величину коефіцієнта пружності пружини.

додаток

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ЗА ДОДАТКОМ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ

Амплітуда Арезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами і амплітудами А 1 і А 2 , що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою

де 0, 1, 0, 2 - початкові фази.

Початкова фазаφ 0 результуючого коливання може бути знайдена за формулою

tg
.

Биття, що виникають при додаванні двох коливань x 1 =A cos2π ν 1 t, що відбуваються по одній прямій з різними, але близькими за значенням частотами ν 1 та ν 2 , описуються формулою

x= x 1 + x 2 + 2A cos π (ν 1 – ν 2) t cosπ(ν 1 +ν 2) t.

Рівняння траєкторіїточки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти з амплітудами А 1 та А 2 і початковими фазами 0, 1 і 0, 2:

Якщо початкові фази φ 0, 1 і φ 0, 2 складових коливань однакові, то рівняння траєкторії набуває вигляду
. Якщо ж початкові фази відрізняються на π, то рівняння траєкторії має вигляд
. Це рівняння прямих ліній, що проходять через початок координат, іншими словами, у цих випадках точка рухається прямою. В інших випадках рух відбувається за еліпсом. При різниці фаз
осі цього еліпса розташовані по осях ПроXі ПроYі рівняння траєкторії набуває вигляду
. Такі коливання називаються еліптичними. За A 1 =A 2 =A x 2 +y 2 =A 2 . Це рівняння кола, і коливання називають круговими. При інших значеннях частот і різниць фаз траєкторії точки, що коливається, утворює химерної форми криві, звані фігурами Лісажу.

РОЗБІР ДЕЯКИХ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ

ЗА Вказаною темою

Завдання 1. З графіка коливань матеріальної точки випливає, що модуль швидкості в момент часу t = 1/3 дорівнює...

Період гармонійного коливання, зображеного малюнку, дорівнює 2 секундам. Амплітуда цього коливання 18 см. Тому залежність x(t) можна записати у вигляді x(t) = 18sin π t. Швидкість дорівнює похідній функції х(t) по часу v(t) = 18π cos π t. Підставивши t = (1/3) с, отримаємо v(1/3) = 9π (см/с).

Правильнимє відповідь: 9 ? см/с.

Складаються два гармонійні коливання одного напрямку з однаковими періодами та рівними амплітудами A 0 . При різниці
амплітуда результуючого коливання дорівнює...

Рішення суттєво спрощується, якщо використовувати векторний метод визначення амплітуди та фази результуючого коливання. Для цього одне з коливань, що складаються, представимо у вигляді горизонтального вектора з амплітудою А 1 . З кінця цього вектора збудуємо другий вектор з амплітудою А 2 так, щоб він утворив кут
з першим вектором. Тоді довжина вектора, проведеного з початку першого вектора в кінець останнього, дорівнюватиме амплітуді результуючого коливання, а кут, утворений результуючим вектором з першим вектором, визначатиме різниця їх фаз. Векторна діаграма, яка відповідає умові завдання, наведена на малюнку. Звідси відразу видно, що амплітуда результуючого коливання в
разів більше амплітуди кожного з коливань, що складаються.

Правильнимє відповідь:
.

ТочкаМ одночасно коливається за гармонічним законом уздовж осей координат ОХі OYіз різними амплітудами, але однаковими частотами. При різниці фаз π/2 траєкторія точки Ммає вигляд:

При заданій умові різниці фаз рівнянням траєкторії є рівняння еліпса, наведеного до координатним осям, причому півосі еліпса рівні відповідним амплітудам коливань (див. теоретичні відомості).

Правильнимє відповідь: 1.

Два однаково спрямовані гармонійні коливання одного періоду з амплітудами A 1 =10 см і А 2 =6 см складаються в одне коливання з амплітудою А рез =14 см. Різниця фаз
коливань, що складаються, дорівнює...

У цьому випадку зручно скористатися формулою. Підставивши до неї дані з умови завдання, отримаємо:
.

Цьому значенню косинуса відповідає
.

Правильною є відповідь: .

Контрольні питання

1. Які коливання називаються гармонійними? 2. Який вид має графік незагасних гармонійних коливань? 3. Якими величинами характеризується гармонійний коливальний процес? 4. Наведіть приклади коливальних рухів із біології та ветеринарії. 5. Напишіть рівняння гармонійних коливань. 6. Як отримати вираз для періоду коливального руху пружинного маятника?

ЛІТЕРАТУРА

Грабовський Р. І. Курс фізики. - М: Вища школа, 2008, ч. I, § 27-30.

Основи фізики та біофізики. Журавльов А. І., Бєлановський А. С., Новіков В. Е., Олешкевич А. А. та ін - М., Світ, 2008, гл. 2.

Трофімова Т. І. Курс фізики: Підручник для студ. вишів. - М: МГАВМіБ, 2008. - гол. 18.

Трофімова Т. І. Фізика в таблицях та формулах: Навч. посібник для студентів вищих навчальних закладів. - 2-ге вид., Випр. – М.: Дрофа, 2004. – 432 с.

Характеристика коливань

Фазавизначає стан системи, саме координату, швидкість, прискорення, енергію та інших.

Циклічна частотахарактеризує швидкість зміни фази коливань.

Початковий стан коливальної системи характеризує початкова фаза

Амплітуда коливань A- це найбільше усунення з положення рівноваги

Період T- це період часу, протягом якого точка виконує одне повне коливання.

Частота коливань- Це кількість повних коливань в одиницю часу t.

Частота, циклічна частота та період коливань співвідносяться як

Види коливань

Коливання, що відбуваються у замкнутих системах, називаються вільнимиабо власнимиколиваннями. Коливання, що відбуваються під дією зовнішніх сил, називають вимушеними. Зустрічаються також автоколивання(Вимуджуються автоматично).

Якщо розглядати коливання відповідно до змінних характеристик (амплітуда, частота, період та ін.), їх можна розділити на гармонійні, загасаючі, наростаючі(А також пилкоподібні, прямокутні, складні).

За вільних коливань у реальних системах завжди відбуваються втрати енергії. Механічна енергія витрачається, наприклад, на виконання роботи з подолання сил опору повітря. Під впливом сили тертя відбувається зменшення амплітуди коливань і через деякий час коливання припиняються. Очевидно, що чим більше сили опору руху, тим швидше припиняються коливання.

Вимушені коливання. Резонанс

Вимушені коливання незатухають. Тому необхідно поповнювати втрати енергії за кожний період коливань. Для цього необхідно впливати на тіло, що коливається, періодично змінюється силою. Вимушені коливання відбуваються із частотою, що дорівнює частоті зміни зовнішньої сили.

Вимушені коливання

Амплітуда вимушених механічних коливань досягає найбільшого значення в тому випадку, якщо частота сили, що змушує, збігається з частотою коливальної системи. Це явище називається резонансом.

Наприклад, якщо періодично смикати шнур у такт його власним коливанням, ми помітимо збільшення амплітуди його коливань.

Якщо вологий палець рухатиме по краю келиха, то келих буде видавати звуки, що дзвінять. Хоча це і непомітно, палець рухається уривчасто і передає енергію склу короткими порціями, змушуючи келих вібрувати

Стінки келиха також починають вібрувати, якщо на нього спрямувати звукову хвилю з частотою, що дорівнює його власній. Якщо амплітуда стане дуже великою, то келих може навіть розбитися. Через резонанс при співі Ф.І.Шаляпіна тремтіли (резонували) кришталеві підвіски люстр. Виникнення резонансу можна простежити у ванній кімнаті. Якщо ви неголосно співатиме звуки різної частоти, то на одній із частот виникне резонанс.

У музичних інструментах роль резонаторів виконують частини корпусів. Людина також має власний резонатор - це порожнина рота, що посилює звуки, що видаються.

Явище резонансу необхідно враховувати практично. У одних явищах може бути корисний, за іншими - шкідливий. Резонансні явища можуть викликати незворотні руйнування у різних механічних системах, наприклад, неправильно спроектованих мостах. Так, у 1905 році впав Єгипетський міст у Санкт-Петербурзі, коли по ньому проходив кінний ескадрон, а в 1940 - зруйнувався Такомський міст у США.

Явище резонансу використовується, коли за допомогою невеликої сили необхідно отримати велике збільшення амплітуди коливань. Наприклад, важкий язик великого дзвону можна розкачати, діючи порівняно невеликою силою з частотою, що дорівнює власної частоти коливань дзвона.