Правило розподілу дробів. Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Множення та розподіл дробів.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:

Наприклад:

Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільного знаменника! Не треба його тут…

Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб і їх перемножити, тобто:

Наприклад:

Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику – і вперед! Наприклад:

У старших класах часто доводиться мати справу з триповерховими (або навіть чотириповерховими!) дробами. Наприклад:

Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:

Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:

У першому випадку (вираз зліва):

У другому (вираз праворуч):

Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!

А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рисок, типу:

то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!

І ще дуже простий та важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:

Дріб перекинувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.

Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Візьміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!

Практичні поради:

1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, не добрі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячіть при розрахунку в умі.

2. У прикладах з різними видами дробів – переходимо до звичайних дробів.

3. Усі дроби скорочуємо до упору.

4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки...

Пам'ятайте - правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.

Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все – перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимося відповіді.

Обчислити:

Вирішили?

Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити... Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчислення з дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні...

Значить у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але це розв'язувані проблеми.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).

Формула множення дробів:

Наприклад:

Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше далі робити розрахунки.

Розподіл звичайного дробу на дріб.

Розподіл дробів за участю натурального числа.

Це не так страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:

Розмноження змішаних дробів.

Правила множення дробів (змішаних):

• перетворюємо змішані дроби на неправильні;
• перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
• скорочуємо дріб;
• якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.

Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дріб на інший змішаний дріб, потрібно, спершу, привести їх до виду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.

Другий спосіб множення дробу на натуральне число.

Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.

Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне число необхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.

З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.

Багатоповерхові дроби.

У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:

Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:

Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.

Зверніть увагу, наприклад:

При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:

Практичні поради при множенні та розподілі дробів:

1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися у розрахунках в умі.

2. У завданнях з різними видами дробів – переходьте до виду звичайних дробів.

3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.

4. Багатоповерхові дробові вирази наводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

Т іп уроку:ОНЗ (відкриття нових знань – за технологією діяльнісного методу навчання).

Головні цілі:

1. Вивести прийоми розподілу дробу на натуральне число;
2. Сформувати здатність до виконання поділу дробу на натуральне число;
3. Повторити та закріпити поділ дробів;
4. Тренувати здатність до скорочення дробів, аналізу та вирішення завдань.

Устаткування демонстраційний матеріал:

1. Завдання для актуалізації знань:

Порівняйте вирази:

Еталон:

2. Пробне (індивідуальне) завдання.

1. Виконайте поділ:

2. Виконайте поділ, не виконуючи весь ланцюжок обчислень: .

Еталони:

• При розподілі дробу на натуральне число можна помножити це число знаменник, а чисельник залишити колишнім.

• Якщо чисельник ділиться на натуральне число, то при розподілі дробу це число можна чисельник розділити на число, а знаменник залишити колишнім.

Хід уроку

I. Мотивація (самовизначення) до навчальної діяльності.

Мета етапу:

1. Організувати актуалізацію вимог до учня з боку навчальної діяльності («треба»);
2. Організувати діяльність учнів із встановлення тематичних рамок («могу»);
3. Створити умови для виникнення у учня внутрішньої потреби включення до навчальної діяльності («хочу»).

Організація процесу на етапі I.

Вітаю! Я рада вас бачити на уроці математики. Сподіваюся, це взаємно.

Хлопці, які нові знання ви набули на минулому уроці? (Ділити дроби).

Правильно. Що вам допомагає виконувати поділ дробів? (Правило, властивості).

Де ці знання нам потрібні? (У прикладах, рівняннях, задачах).

Молодці! Ви добре впоралися із завданнями на минулому уроці. Бажаєте і сьогодні відкрити самі нові знання? (Так).

Тоді – у дорогу! А девізом уроку візьмемо вислів «Математику не можна вивчати, спостерігаючи, як це робить сусід!».

ІІ. Актуалізація знань та фіксація індивідуальної скрути в пробній дії.

Мета етапу:

1. Організувати актуалізацію вивчених способів дій, достатніх побудови нового знання. Зафіксувати ці способи вербально (у мовленні) та знаково (еталон) та узагальнити їх;
2. Організувати актуалізацію розумових операцій та пізнавальних процесів, достатніх для побудови нового знання;
3. Мотивувати до пробної дії та її самостійного виконання та обґрунтування;
4. Пред'явити індивідуальне завдання для пробної дії та проаналізувати його з метою виявлення нового навчального змісту;
5. Організувати фіксацію освітньої мети та теми уроку;
6. Організувати виконання пробної дії та фіксацію утруднення;
7. Організувати аналіз отриманих відповідей та зафіксувати індивідуальні труднощі у виконанні пробної дії або її обґрунтування.

Організація навчального процесу на етапі ІІ.

Фронтально з використанням планшетів (індивідуальних дощок).

1. Порівняйте вирази:

(Ці вирази рівні)

Що цікавого ви помітили? (Чисник і знаменник ділимого, чисельник і знаменник дільника в кожному виразі збільшилися в одне і те ж число разів.

Знайдіть значення виразу та запишіть на планшеті. (2)

Як записати це число у вигляді дробу?

Як ви здійснили дію поділу? (Діти промовляють правило, вчитель вивішує на дошку літерні позначення)

2. Обчисліть та запишіть тільки результати:

3. Складіть отримані результати та запишіть відповідь. (2)

Як називається число, одержане у завданні 3? (Натуральне)

Як ви вважаєте, чи зможете дріб розділити на натуральне число? (Так, постараємось)

Спробуйте це зробити.

4. Індивідуальне (пробне) завдання.

Виконайте поділ: (тільки приклад а)

За яким правилом ви виконали поділ? (За правилом розподілу дробу на дріб)

А тепер розділіть дріб на натуральне число більш простим способом, не виконуючи весь ланцюжок обчислень: (Приклад б). Даю вам це 3 секунди.

У кого не вдалося виконати завдання за 3 секунди?

У кого вийшло? (Немає таких)

Чому? (Не знаємо способу)

Що одержали? (Труднощі)

А як ви думаєте, чим ми займатимемося на уроці? (Ділити дроби на натуральні числа)

Правильно, відкрийте зошити та запишіть тему уроку «Поділ дробу на натуральне число».

Чому ця тема звучить як нова, адже ви вмієте ділити дроби? (Потрібен новий спосіб)

Правильно. Сьогодні встановимо прийом, що спрощує розподіл дробу на натуральне число.

ІІІ. Виявлення місця та причини утруднення.

Мета етапу:

1. Організувати відновлення виконаних операцій та зафіксувати (вербальну та знакову) місце – кроку, операції, де виникла скрута;
2. Організувати співвідношення дій учнів із використовуваним способом (алгоритмом) і фіксування у зовнішній промови причини утруднення – тих конкретних знань, умінь чи здібностей, яких бракує вирішення вихідного завдання такого типу.

Організація навчального процесу на етапі ІІІ.

Яке завдання ви мали виконати? (Розділити дріб на натуральне число, не роблячи весь ланцюжок обчислень)

Що викликало у вас скруту? (Не змогли вирішити за короткий час швидким способом)

Яку мету ми ставимо собі на уроці? (Знайти швидкий спосіб поділу дробу на натуральне число)

Що допоможе вам? (Вже відоме правило поділу дробів)

IV. Побудова проекту виходу із скрути.

Мета етапу:

1. уточнення мети проекту;
2. Вибір методу (уточнення);
3. Визначення коштів (алгоритм);
4. Побудова плану досягнення мети.

Організація навчального процесу на етапі ІV.

Повернемося до пробного завдання. Ви сказали, що ділили за правилом розподілу дробів? (Так)

Для цього замінили натуральну кількість дробом? (Так)

Який крок (чи кроки), на вашу думку, можна пропустити?

(На дошці відкрито ланцюжок рішення:

Проаналізуйте та зробіть висновок. (Крок 1)

Якщо немає відповіді, то підводимо через запитання:

Куди потрапив натуральний дільник? (У знаменник)

Чисельник змінився у своїй? (Ні)

То який крок можна «опустити»? (Крок 1)

План дій:

• Помножити знаменник дробу на натуральне число.
• Чисельник не змінюємо.
• Отримуємо новий дріб.

V. Реалізація побудованого проекту.

Мета етапу:

1. Організувати комунікативну взаємодію з метою реалізації побудованого проекту, спрямованого на придбання знань;
2. Організувати фіксацію побудованого способу дії у мові та знаків (за допомогою еталона);
3. Організувати вирішення вихідного завдання та зафіксувати подолання утруднення;
4. Організувати уточнення загального характеру знання.

Організація процесу на етапі V.

А тепер виконайте пробний приклад у новий спосіб швидко.

Тепер ви змогли виконати завдання швидко? (Так)

Поясніть, як це ви зробили? (Діти промовляють)

Отже, ми здобули нове знання: правило поділу дробу на натуральне число.

Молодці! Проговоріть його в парах.

Потім один учень промовляє до класу. Фіксуємо правило-алгоритм словесно та у вигляді еталона на дошці.

Введіть тепер літерні позначення та запишіть формулу для нашого правила.

Учень записує на дошці, промовляючи правило: при розподілі дробу на натуральне число можна помножити це число знаменник, а чисельник залишити колишнім.

(Всі пишуть формулу у зошитах).

А тепер ще раз проаналізуйте ланцюжок вирішення пробного завдання, звернувши особливу увагу на відповідь. Що вчинили? (Чисник дробу 15 розділили (скоротили) на число 3)

Що за число? (Натуральне, дільник)

То як ще можна розділити дріб на натуральне число? (Перевірити: якщо чисельник дробу ділиться на це натуральне число, то можна чисельник розділити на це число, результат записати в чисельник нового дробу, а знаменник залишити тим самим)

Запишіть цей спосіб як формули. (Учень записує на дошці промовляючи правило. Усі записують формулу у зошитах.)

Повернемося до першого способу. Чи можна ним користуватися у разі, якщо a:n? (Так, це загальний спосіб)

А коли другий спосіб зручно застосовувати? (Коли чисельник дробу ділиться на натуральне число без залишку)

VI. Первинне закріплення з промовлянням у зовнішній промові.

Мета етапу:

1. Організувати засвоєння дітьми нового способу дій під час вирішення типових завдань зі своїми проговорюванням у зовнішній промови (фронтально, у парах чи групах).

Організація процесу на етапі VI.

Обчисли новим способом:

• №363 (а; г) - виконують біля дошки, промовляючи правило.
• №363 (д; е) – у парах із перевіркою за зразком.

VII. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком.

Мета етапу:

1. Організувати самостійне виконання учнями завдання новий спосіб дії;
2. Організувати самоперевірку з урахуванням зіставлення з стандартом;
3. За наслідками виконання самостійної роботи організувати рефлексію засвоєння нового способу дії.

Організація навчального процесу на етапі VІІ.

Обчисли новим способом:

• №363 (б; в)

Учні перевіряють за зразком, відзначають правильність виконання. Аналізуються причини помилок та помилки виправляються.

Вчитель запитує тих учнів, хто припустився помилки, у чому причина?

На цьому етапі важливо, щоб кожен учень самостійно перевірив свою роботу.

VIII. Включення до системи знань та повторення.

Мета етапу:

1. Організувати виявлення меж застосування нового знання;
2. Організувати повторення навчального змісту, який буде необхідний забезпечення змістовної безперервності.

Організація навчального процесу на етапі VІІІ.

Організація навчального процесу на етапі ІХ.

1. Діалог:

Хлопці, яке нове знання сьогодні ви відкрили? (Навчилися ділити дріб на натуральне число простим способом)

Сформулюйте загальний метод. (Кажуть)

Яким способом і в яких випадках можна користуватися ще? (Кажуть)

У чому перевага нового способу?

Чи ми досягли поставленої нами мети уроку? (Так)

Які знання ви використовували задля досягнення мети? (Кажуть)

Чи все у вас вийшло?

У чому були труднощі?

2. Домашнє завдання:п.3.2.4.; №365(л, н, про, п); №370.

3. Вчитель:я рада, що сьогодні всі були активні, зуміли знайти вихід із скрути. А найголовніше, не були сусідами під час відкриття нового та його закріплення. Дякую вам за урок, діти!

З дробами можна виконувати всі дії, у тому числі і поділ. Ця стаття показує розподіл звичайних дробів. Будуть дані визначення, розглянуті приклади. Детально зупинимося на розподілі дробів на натуральні числа і навпаки. Буде розглянуто поділ звичайного дробу на змішане число.

Розподіл звичайних дробів

Поділ є зворотним множенню. При розподілі невідомий множник перебуває при відомому творі та іншого множника, де й зберігається його сенс з звичайними дробами.

Якщо потрібно зробити розподіл звичайного дробу a b на c d , тоді визначення такого числа необхідно зробити множення на дільник c d , це дасть у результаті ділене a b . Отримаємо число і запишемо його a b · d c де d c є оберненим c d числу. Рівності можна записати за допомогою властивостей множення, а саме: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , де вираз a b · d c є приватним від поділу a b на c d .

Звідси отримаємо та сформулюємо правило поділу звичайних дробів:

Визначення 1

Щоб розділити звичайний дріб a b на c d , необхідно поділити ділимо на число, зворотне дільнику.

Запишемо правило у вигляді виразу: a b: c d = a b · d c

Правила поділу зводяться до множення. Щоб дотримуватися його, потрібно добре розумітися на виконанні множення звичайних дробів.

Перейдемо до розгляду поділу звичайних дробів.

Приклад 1

Виконати поділ 9 7 на 5 3 . Результат записати як дробу.

Рішення

Число 5 3 – це зворотний дріб 3 5 . Необхідно використовувати правило поділу звичайних дробів. Цей вираз запишемо так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .

Відповідь: 9 7: 5 3 = 27 35 .

При скороченні дробів слід виділяти цілу частину, якщо чисельник більший за знаменник.

Приклад 2

Розділити 8 15: 24 65 . Відповідь записати у вигляді дробу.

Рішення

Для вирішення потрібно перейти від поділу до множення. Запишемо це в такій формі: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Необхідно зробити скорочення, а це виконується наступним чином: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Виділяємо цілу частину та отримуємо 13 9 = 1 4 9 .

Відповідь: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Розподіл незвичайного дробу на натуральне число

Використовуємо правило розподілу дробу на натуральне число: щоб розділити a b на натуральне число n, необхідно помножити лише знаменник на n. Звідси отримаємо вираз: a b: n = a b · n.

Правило розподілу є наслідком правила множення. Тому подання натурального числа у вигляді дробу дасть рівність такого типу: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .

Розглянемо цей поділ дробу на число.

Приклад 3

Здійснити поділ дробу 16 45 на число 12 .

Рішення

Застосуємо правило поділу дробу на число. Отримаємо вираз виду 1645: 12 = 1645 · 12 .

Зробимо скорочення дробу. Отримаємо 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 ​​· 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .

Відповідь: 16 45: 12 = 4 135 .

Поділ натурального числа на звичайний дріб

Правило поділу аналогічне проправилу поділу натурального числа на звичайний дріб: щоб розділити натуральне число n на звичайний a b необхідно провести множення числа n на зворотне дроби a b .

Виходячи з правила, маємо n: a b = n · b a , а завдяки правилу множення натурального числа на звичайний дріб, отримаємо вираз у вигляді n: a b = n · b a . Необхідно розглянути цей поділ на прикладі.

Приклад 4

Ділити 25 на 15 28 .

Рішення

Нам необхідно переходити від поділу до множення. Запишемо у вигляді виразу 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Скоротимо дріб і отримаємо результат у вигляді дробу 46 2 3 .

Відповідь: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Розподіл звичайного дробу на змішане число

При розподілі звичайного дробу на змішане число легко можна світити до поділу звичайних дробів. Потрібно перевести змішане число в неправильний дріб.

Приклад 5

Розділити дріб 35 16 на 3 1 8 .

Рішення

Так як 318 - змішане число, представимо його у вигляді неправильного дробу. Тоді отримаємо 318 = 3 · 8 + 18 = 258. Тепер зробимо поділ дробів. Отримаємо 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10

Відповідь: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Розподіл змішаного числа виробляється так само, як і звичайних.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дроб - це одна або більше часток цілого, за яке зазвичай приймається одиниця (1). Як і з натуральними числами, з дробами можна виконувати всі основні арифметичні дії (додавання, віднімання, розподіл, множення), для цього потрібно знати особливості роботи з дробами та розрізняти їх види. Існує кілька видів дробів: десяткові та звичайні, або прості. Своя специфіка є у кожного виду дробів, але, докладно розібравшись один раз, як з ними поводитися, ви зможете вирішувати будь-які приклади з дробами, оскільки знатимете основні принципи виконання арифметичних обчислень з дробами. Розглянемо на прикладах, як розділити дріб на ціле число, використовуючи різні види дробів.

Як поділити десятковий дріб на ціле число?
Десятковий дріб - це такий дріб, який виходить внаслідок розподілу одиниці на десять, тисячу і так далі частин. Арифметичні дії з десятковими дробами виконуються досить легко.

Розглянемо з прикладу як розділити дріб на ціле число. Допустимо, нам потрібно поділити десятковий дріб 0,925 на натуральне число 5.

• для поділу десяткового дробу на натуральне число застосовують розподіл у стовпчик;
  
• кома ставиться у приватному тоді, коли закінчено поділ цілої частини поділеного.