Застосування похідної для вирішення завдань ЄДІ Скоро ЄДІ! Але є ще час підготуватися.
Застосування похідної у форматі ЄДІ .
Виконали:Плачківська Катерина, Леонова Юлія 11Б клас Науковий керівник:Солуян Надія Ніколаєва, вчитель математики, "Почесний працівник загальної освіти Російської Федерації"
Вступ
Похідна це одна з найскладніших тем в математиці, за її допомогою вирішуються завдання з фізики, хімії, біології і навіть географії. Багато учнів не можуть або взагалі не вміють їх вирішувати. Вивчення похідної продиктовано ще й тим, що багато завдань ЄДІ містять застосування похідної.
Тому ми вирішили вивчити цю тему більш детально.
Мета роботи: зробити класифікацію завдань застосування похідної в матеріалах ЄДІ і розглянути способи їх вирішення.
Завдання:
- пошук історичних фактів
- збір інформації про завдання застосування похідної в матеріалах ЄДІ
- аналіз взаємозв'язку завдань із способами їх вирішення
- вивчити основні типи завдань застосування похідної
- вирішити завдання, включені до матеріалів ЄДІ
- провести статистичне дослідження.
Історія похідної
Завдання на перебування екстремуму, проведення дотичних до кривих та обчислення швидкості постійно виникали у практичній діяльності.
У давнину та в середні віки такі завдання вирішувалися геометричними та механічними способами. Пізніше було виявлено, що ці завдання можна вирішити єдиним методом, використовуючи нескінченно малі величини. Розвиток цього у працях Ньютона і Лейбніца призвело до створення математичного аналізу, поява якого широко розсунула межі застосування математики.
Теоретичні відомості
Похідної функції y=f(x)називається межа відношення збільшення функції до прирощеного аргументу, при останньому прагне до нуля.
Фізичний зміст похідної
Якщо тіло рухається прямолінійно згідно із законом y=S'(t), то миттєва швидкість ( U)є похідна шляхи за часом.
U=S'(t)
Прискорення – є похідна швидкості a=U' (t)
Геометричний зміст похідної
Тангенс кута нахилу дотичної (кутовий коефіцієнт дотичної), проведений до графіка функції y=f(x) у точці x 0 дорівнює похідній функції y=f"(x) у цій точці:
Похідна складної функції
Функція, задана у вигляді y=f(g(x))називається складною, складеною з функцій g і f . (функція, аргументом якої є функція, називається складною)
елементарна функція складна функція
аргумент
Алгоритм знаходження найменшого та найбільшого значень безперервної функції y=f(x) на відрізку
1. Знайти область визначення функції
2. Знайти похідну f'(x)
3. Знайти стаціонарні та критичні точки функції, що лежать усередині відрізка (y'=0)
4. Обчислити значення функції y=f(x) у точках, відібраних другою кроці, й у точках a і b; вибрати серед цих значень найменше (це буде у найм)
Алгоритм дослідження безперервної функції y=f(x) на монотонність та екстремуми
1. Знайти область визначення
2. Знайти похідну f'(x)
3. Знайти стаціонарні (f'(x)=0) та критичні (f'(x) не існує) точки функції y=f(x)
4. Відзначити стаціонарні і критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на проміжках, що виходять.
5. Зробити висновки про монотонність функції та про її точки екстремуму
Статистичне дослідження.
1 етап роботи:
Проаналізувавши результати опитування 11-их класів, виявила теми, що викликають найбільші труднощі в учнів:
Тригонометричні рівняння - техніка диференціювання - Завдання на фізичний та геометричний зміст похідної -Дослідження функцій за допомогою похідної - Текстові задачі - Розв'язання задач на визначення площ - Ірраціональні рівняння та вирази - Раціональні рівняння та вирази.
Висновок: Тема «Застосування похідної» міститься у перших 3-х темах, отже, вона викликає найбільшу скруту.
2 етап роботи :
вивчення основних видів завдань на тему «Застосування похідної у завданнях єдиного державного іспиту»
Застосування похідного формату в
форматі ЄДІ
Геометричний зміст
Аналітичний зміст
Фізичний зміст
Завдання застосування фізичного сенсу похідної
Завдання 1.
x(t) = (½)×t² - t – 4 . Визначте у який час t -- швидкість V = 6м/с.
Рішення.
1) (x(t))' = ((½)×t² t - 4)'
2) V(t) = (s(t))'; (s(t))' = (x(t))';
V(t) = ((½)×t² – t – 4)'
V(t) = ((½)×t²)’– (t)’– (4)’
3) V(t) = 6м/с (за умовою)
Відповідь: 7 с.
Завдання 2.
Матеріальна точка рухається згідно із законом
х(t) = 15 + 16×t – 3×t². Яким буде прискорення за 2 секунди після початку руху?
Рішення .
V(t) = 15 + 16×t – 3×t²
(V(t))’ = (15 + 16×t – 3×t²)’
Т.к (V(t)) '= a(t)
a(t) = 16 - 6×t
a(t) = 16 - 6×2
a(t) = 4
Відповідь: 4 м/с².
Завдання застосування геометричного сенсу похідної
Завдання 1
Пряма y = 5 x− 3 паралельна дотичної до графіка функції y = x 2 + 2 x− 4. Знайдіть абсцис точки торкання.
Рішення
Пряма паралельна дотичній має однаковий з нею кут нахилу до осі абсцис. Тобто, кутовий коефіцієнт дотичної (він тангенс кута нахилу) дорівнює 5, як у заданої прямої. З іншого боку, знаємо, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює похідної функції у точці дотику. Знайдемо похідну: y "(x) = (x 2 + 2 x − 4)" = 2 x+ 2. Складемо рівняння, підставивши у вираз для похідної невідому абсцису точки торкання x 0 . 2 x 0 + 2 = 5 2 x 0 = 5 − 2 = 3 x 0 = 3/2 = 1,5.
Відповідь: 1,5
Завдання 2.На малюнку 1 зображено графік функції y = f (x), визначеної на інтервалі (-10,5; 19). Визначте кількість цілих точок, де похідна функції позитивна.
Рішення
Похідна функції позитивна
тих ділянках, де функція зростає.
На малюнку видно, що це проміжки
(−10,5;−7,6), (−1;8,2) та (15,7;19). Перерах-
цілі точки всередині цих інтервалів:
"−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6",
"7", "8", "16", "17", "18". Усього 15 точок.
Відповідь: 15
Завдання 3.На малюнку зображено графік функції y = f (x), визначеної на інтервалі (-11; 23). Знайдіть суму точок екстремуму функції на відрізку. РішенняНа вказаному відрізку бачимо 2 точки екстремуму. Максимум функції досягається у точці x 1 = 4, мінімум у точці x 2 = 8. x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12. Відповідь: 12
Аналітичний спосіб вирішення
Завдання 1.
Знайдіть значення похідної функції у точці x0=2
Рішенняа) Знайдемо значення похідної функції:
б) Знайдемо значення похідної функції у точці x0:
Відповідь: 31
Завдання 2.
Знайти значення похідної функції F(x)=(3x+1)2 -3 у точці x=2/3.
Рішення.
Знайдемо похідну складної функції: F'(x)=6(x+1)=6x+6;
Знайдемо значення похідної функції у точці x=2/3:
F'(2/3)=6(2/3)+6=10
Відповідь:10
«Завдання, що призводять до поняття похідної» - Визначення похідної. Основні формули. Положення щодо. Завдання про миттєву величину струму. Миттєва швидкість. Межа відносини збільшення функції. Завдання про швидкість хімічної реакції. Пряма, що проходить через крапку. Початок відліку. Збільшення функції. Приріст аргументу. Момент часу.
Математичний аналіз - це розділ математики. Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716). Похідна та її застосування. Лейбніц мріяв про універсальну мову. Похідна визначається функції. Другим основоположником математичного аналізу був І. Ньютон. Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння. Математичний аналіз з'явився понад 300 років тому.
«Рішення завдань на похідну» - Розв'яжемо ряд завдань. Число точок екстремуму. Знайдіть суму абсцис. Дотичні до графіка. Згадаймо теоретичний матеріал. Абсциси. Застосування похідної у завданнях ЄДІ. Виконаємо завдання тесту. Найбільше значення. функція. Застосування похідної. Дотичні до графіка нахилені під кутом 45 градусів.
"Поняття похідної функції" - Основні висновки. Похідна. Інтервал. Поняття похідної функції. Ісаак Ньютон. Радіус околиці. Нове літочислення. Доданок. Повторення. Збільшення функції у точці. З іншого боку. Парабола. Значення функції. Коефіцієнт А. Масштаб. Збільшення. Конфігурація графіка. Значення аргументу. Опції.
«Похідна в ЄДІ» - геометричний зміст похідної. Гострий чи тупий кут утворює дотична до графіка функції у точці х. Поставте оцінку за самостійні роботи. Завдання. Повторити та узагальнити теоретичні знання. Властивості. Кількість точок торкання. Визначте градусний захід кута нахилу дотичної. Похідна позитивна.
"Дослідження функції за допомогою похідної" - Дослідження функцій. Знайдіть точку максимуму функції. Достатня умова екстремуму. Теорема. Правила диференціювання. Завдання для самостійного вирішення знаходження екстремуму функції. Алгоритм знаходження точок екстремуму. Точки мінімуму та максимуму – точки екстремуму. Нерівність. Завдання знаходження найбільшого і найменшого значення функції.
Геометричний зміст похідної Х У 0 дотична α k – кутовий коефіцієнт прямої (дотичної) Геометричний сенс похідної: якщо до графіку функції y = f(x) у точці з абсцисою можна провести дотичну, непаралельну осі у, то виражає кутовий коефіцієнт дотичної, т. е. Оскільки, то вірна рівність Рівняння прямої
Х у Якщо α 0. Якщо α > 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k title="х у Якщо α 0. Якщо α > 90°, то k
Х у Завдання 1. На малюнку зображено графік функції y = f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою -1. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х =
Y x x0x На малюнку зображено графік функції у = f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою х 0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х 0. Відповідь: -0,25
На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної інтервалі (-6;6). Знайдіть проміжки зростання функції f(x). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків. В = ...
