Профільний рівень. Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, рішення та пояснення

Профільний рівень

Умови завдань та рішення

Інструкція з виконання роботи
Екзаменаційна робота складається з двох частин, що включають 19 завдань. Частина 1 містить 8 завдань базового рівня складності з короткою відповіддю. Частина 2 містить 4 завдання підвищеного рівня складності з короткою відповіддю та 7 завдань підвищеного та високого рівнів складності з розгорнутою відповіддю. На виконання екзаменаційної роботи з математики приділяється 3 години 55 хвилин (235 хвилин). Відповіді до завдань 1–12 записуються у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу. Числа запишіть у поля відповідей у ​​тексті роботи, а потім перенесіть їх у бланк відповідей №1.

При виконанні завдань 13–19 потрібно записати повне рішення та відповідь у бланку відповідей № 2. Усі бланки ЄДІ заповнюються яскравим чорним чорнилом. Допускається використання гелевої, або капілярної, або пір'яної ручки. Під час виконання завдань можна користуватися чернеткою. Записи в чернетці не враховуються під час оцінювання роботи. Бали, отримані Вами за виконані завдання, підсумовуються. Намагайтеся виконати якомога більше завдань і набрати найбільшу кількість балів.
Бажаємо успіху!

Частина 1

Відповіддю до завдань 1–12 є ціле число або кінцева десятковадріб. Запишіть число у полі відповіді у тексті роботи, потім перенесітьйого в БЛАНК ВІДПОВІДЕЙ № 1 праворуч від номера відповідного завдання,починаючи з першої клітини. Кожну цифру, знак «мінус» та комупишіть в окремій клітинці відповідно до наведених у бланкузразками. Одиниці вимірів писати не потрібно.

1. Поїзд вирушив із Санкт-Петербурга о 23 годині 50 хвилин (час московський) і прибув до Москви о 7 годині 50 хвилин наступної доби. Скільки годин поїзд перебував у дорозі?

2 . На малюнку крапками показана середня температура повітря Сочі за кожен місяць 1920 р. По горизонталі вказані номери місяців; по вертикалі – температура у градусах Цельсія. Для наочності точки з'єднані лінією. Скільки місяців середня температура була більшою за 18 градусів Цельсія?

3 . На папері з картатістю з розміром клітини 1 см × 1 см зображений трикутник. Знайдіть його площу. Відповідь дайте см 2 .

4 . У збірнику квитків з біології лише 25 квитків. Лише у двох квитках зустрічається питання про гриби. На іспиті школяру дістається один випадково вибраний квиток із цієї збірки. Знайдіть ймовірність того, що в цьому квитку буде питання грибів.

5 . Знайдіть корінь рівняння

6 . Трикутник ABCвписаний у коло з центром O. Кут BACдорівнює 32 °. Знайдіть кут BOC. Відповідь дайте у градусах.

7 . На малюнку зображено графік функції, що диференціюється. На осі абсцис позначено дев'ять точок: . Знайдіть усі зазначені точки, у яких похідна функції є негативною. У відповіді вкажіть кількість цих точок.

8. У першому циліндричному посудині рівень рідини досягає 16 см. Цю рідину перелили в другий циліндричний посудину, діаметр основи якого в 2 рази більше діаметра основи першого. На якій висоті буде рівень рідини в другій посудині? Відповідь висловіть у див.

Частина 2

9 . Знайдіть якщо і .

10 . Локатор батискафа, що рівномірно занурюється вертикально вниз, випускає ультразвуковий сигнал частотою 749 МГц. Приймач реєструє частоту сигналу, відбитого від дна океану. Швидкість занурення батискафа (в м/с) та частоти пов'язані співвідношенням де = 1500 м/с - швидкість звуку у воді; - частота сигналу, що випускається (в МГц); - Частота відбитого сигналу (в МГц). Знайдіть частоту відбитого сигналу (МГц), якщо батискаф занурюється зі швидкістю 2 м/с.

11 . Навесні катер йде проти течії річки у рази повільніше, ніж за течією. Влітку перебіг стає на 1 км/год повільніше. Тому влітку катер йде проти течії у рази повільніше, ніж за течією. Знайдіть швидкість течії навесні (в км/год).

12 . Знайдіть точку максимуму функції.

Для запису рішень та відповідей на завдання 13–19 використовуйте БЛАНКВІДПОВІДЕЙ № 2. Запишіть спочатку номер завдання, що виконується (13, 14і т. д.), а потім повне обґрунтоване рішення та відповідь. Відповідізаписуйте чітко та розбірливо.

13 . а) Розв'яжіть рівняння .

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать проміжку .

14 . Усі ребра правильної трикутної призми ABCA 1 B 1 C 1мають довжину 6. Крапки Mі N- середини ребер AA 1і A 1 C 1відповідно. а) Доведіть, що прямі BMі MNперпендикулярні. б) Знайдіть кут між площинами BMNі ABB 1.

15 . Розв'яжіть нерівність

16 . Два кола стосуються зовнішнім чином у точці K. Пряма ABстосується першого кола в точці A, а другий - у точці B. Пряма BKперетинає перше коло в точці Dпряма AKперетинає друге коло в точці C.
а) Доведіть, що прямі ADі BCпаралельні.
б) Знайдіть площу трикутника AKB, якщо відомо, що радіуси кіл дорівнює 4 і 1.

17 . 31 грудня 2013 р. Сергій узяв у банку 9930000 рублів у кредит під 10% річних. Схема виплати кредиту наступна: 31 грудня кожного наступного року банк нараховує відсотки на суму боргу, що залишилася (тобто збільшує борг на 10%), потім Сергій переводить до банку певну суму щорічного платежу. Якою має бути сума щорічного платежу, щоб Сергій виплатив борг трьома рівними щорічними платежами?

Середня загальна освіта

Лінія УМК Г. К. Муравіна. Алгебра та початку математичного аналізу (10-11) (поглиб.)

Лінія УМК Мерзляк. Алгебра та початки аналізу (10-11) (У)

Математика

Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, рішення та пояснення

Екзаменаційна робота профільного рівня триває 3 години 55 хвилин (235 хвилин).

Мінімальний поріг– 27 балів.

Екзаменаційна робота складається з двох частин, які різняться за змістом, складністю та кількістю завдань.

Визначальною ознакою кожної частини роботи є форма завдань:

• частина 1 містить 8 завдань (завдання 1-8) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу;
• частина 2 містить 4 завдання (завдання 9-12) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу та 7 завдань (завдання 13–19) з розгорнутою відповіддю (повний запис рішення з обґрунтуванням виконаних дій).

Панова Світлана Анатоліївна, вчитель математики вищої категорії школи, стаж роботи 20 років:

«Для того, щоб отримати шкільний атестат, випускнику необхідно скласти два обов'язкові іспити у формі ЄДІ, один з яких математика. Відповідно до Концепції розвитку математичної освіти в Російській Федерації ЄДІ з математики поділено на два рівні: базовий та профільний. Сьогодні ми розглянемо варіанти профільного рівня.

Завдання №1- перевіряє в учасників ЄДІ уміння застосовувати навички, отримані у курсі 5 - 9 класів з елементарної математики, у практичній діяльності. Учасник повинен володіти обчислювальними навичками, вміти працювати з раціональними числами, вміти округляти десяткові дроби, вміти переводити одні одиниці виміру до інших.

приклад 1.У квартирі, де мешкає Петро, ​​встановили прилад обліку витрати холодної води (лічильник). Першого травня лічильник показував витрати 172 куб. м води, а першого червня – 177 куб. м. Яку суму має заплатити Петро за холодну воду за травень, якщо ціна 1 куб. м холодної води становить 34 руб 17 коп. Відповідь дайте у рублях.

Рішення:

1) Знайдемо кількість витраченої води за місяць:

177 – 172 = 5 (куб м)

2) Знайдемо скільки грошей заплатять за витрачену воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Відповідь: 170,85.

Завдання №2-є одним із найпростіших завдань іспиту. З нею успішно справляється більшість випускників, що свідчить про володіння визначенням поняття функції. Тип завдання № 2 за кодифікатором вимог - це завдання на використання набутих знань та умінь у практичній діяльності та повсякденному житті. Завдання № 2 складається з опису за допомогою функцій різних реальних залежностей між величинами та інтерпретація їх графіків. Завдання № 2 перевіряє вміння отримувати інформацію, подану у таблицях, на діаграмах, графіках. Випускникам потрібно вміти визначати значення функції за значенням аргументу при різних способах завдання функції та описувати поведінку та властивості функції за її графіком. Також необхідно вміти знаходити за графіком функції найбільше чи найменше значення та будувати графіки вивчених функцій. Допустимі помилки носять випадковий характер у читанні умови завдання, читанні діаграми.

#ADVERTISING_INSERT#

приклад 2.На малюнку показано зміну біржової вартості однієї акції видобувної компанії у першій половині квітня 2017 року. 7 квітня бізнесмен придбав 1000 акцій цієї компанії. 10 квітня він продав три чверті куплених акцій, а 13 квітня продав всі, що залишилися. Скільки втратив бізнесмен унаслідок цих операцій?

Рішення:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акцій) - становлять 3/4 від усіх куплених акцій.

6) 247500 + 77500 = 325000 (крб) – бізнесмен отримав після продажу 1000 акцій.

7) 340000 – 325000 = 15000 (крб) - втратив підприємець у всіх операцій.

Відповідь: 15000.

Завдання №3- є завданням базового рівня першої частини, що перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами за змістом курсу «Планіметрія». У завданні 3 перевіряється вміння обчислювати площу фігури на папері, вміння обчислювати градусні заходи кутів, обчислювати периметри і т.п.

приклад 3.Знайдіть площу прямокутника, зображеного на картатому папері з розміром клітини 1 см на 1 см (див. рис.). Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Рішення:Для обчислення площі цієї фігури можна скористатися формулою Піка:

Для обчислення площі даного прямокутника скористаємося формулою Піка:

приклад 4.На колі відзначено 5 червоних та 1 синю крапку. Визначте, яких багатокутників більше: тих, у яких усі вершини червоні, або тих, у яких одна з вершин синя. У відповіді вкажіть, скільки одних більше, ніж інших.

Рішення: 1) Скористаємося формулою числа поєднань з nелементів по k:

у яких усі вершини червоні.

3) Один п'ятикутник, який має всі вершини червоні.

4) 10 + 5 + 1 = 16 багатокутників, у яких усі вершини червоні.

у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.

у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.

8) Один шестикутник, у якого вершини червоні з однією синьою вершиною.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 багатокутники, у яких усі вершини червоні або з однією синьою вершиною.

10) 42 – 16 = 26 багатокутників, у яких використовується синя точка.

11) 26 - 16 = 10 багатокутників - на скільки багатокутників, у яких одна з вершин - синя точка, більше, ніж багатокутників, у яких всі вершини тільки червоні.

Відповідь: 10.

Завдання №5- базового рівня першої частини перевіряє вміння розв'язувати найпростіші рівняння (ірраціональні, показові, тригонометричні, логарифмічні).

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2 3 + x= 0,4 · 5 3 + x .

Рішення.Розділимо обидві частини даного рівняння на 5 3 + х≠ 0, отримаємо

звідки випливає, що 3 + x = 1, x = –2.

Відповідь: –2.

Завдання №6за планіметрією на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ), моделювання реальних ситуацій мовою геометрії. Дослідження побудованих моделей з використанням геометричних понять та теорем. Джерелом труднощів є, як правило, незнання чи неправильне застосування необхідних теорем планіметрії.

Площа трикутника ABCдорівнює 129. DE- Середня лінія, паралельна стороні AB. Знайдіть площу трапеції ABED.

Рішення.Трикутник CDEподібний до трикутника CABпо двох кутах, тому що кут при вершині Cзагальний, кут СDEдорівнює куту CABяк відповідні кути при DE || ABсічучої AC. Так як DE- Середня лінія трикутника за умовою, то за якістю середньої лінії | DE = (1/2)AB. Отже, коефіцієнт подібності дорівнює 0,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тому

Отже, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Завдання №7- перевіряє застосування похідної для дослідження функції. Для успішного виконання необхідне змістовне, не формальне володіння поняттям похідної.

Приклад 7.До графіку функції y = f(x) у точці з абсцисою x 0 проведена дотична, яка перпендикулярна до прямої, що проходить через точки (4; 3) і (3; -1) цього графіка. Знайдіть f′( x 0).

Рішення. 1) Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки і знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки (4; 3) та (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, де k 1 = 4.

2) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної k 2 , яка перпендикулярна до прямої y = 4x- 13, де k 1 = 4, за формулою:

3) Кутовий коефіцієнт дотичної – похідна функції у точці дотику. Значить, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Відповідь: –0,25.

Завдання №8- перевіряє в учасників іспиту знання з елементарної стереометрії, уміння застосовувати формули знаходження площ поверхонь та обсягів фігур, двогранних кутів, порівнювати обсяги подібних фігур, вміти виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами тощо.

Об'єм куба, описаного біля сфери, дорівнює 216. Знайдіть радіус сфери.

Рішення. 1) Vкуба = a 3 (де а- Довжина ребра куба), тому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так як сфера вписана в куб, значить, довжина діаметра сфери дорівнює довжині ребра куба, тому d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Завдання №9- вимагає від випускника навичок перетворення та спрощення алгебраїчних виразів. Завдання № 9 підвищеного рівня складності із короткою відповіддю. Завдання з розділу «Обчислення та перетворення» в ЄДІ поділяються на декілька видів:

перетворення числових раціональних виразів;

перетворення алгебраїчних виразів та дробів;

перетворення числових/літерних ірраціональних виразів;

дії зі ступенями;

перетворення логарифмічних виразів;

1. перетворення числових/літерних тригонометричних виразів.

Приклад 9.Обчисліть tgα, якщо відомо, що cos2α = 0,6 та

Рішення. 1) Скористаємося формулою подвійного аргументу: cos2α = 2 cos 2 α – 1 та знайдемо

Отже, tg 2 α = ±0,5.

3) За умовою

значить, α – кут II чверті та tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Відповідь: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Завдання №10- перевіряє в учнів вміння використовувати набуті раннє знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті. Можна сказати, що це завдання з фізики, а не з математики, але всі необхідні формули та величини наведені в умові. Завдання зводяться до розв'язання лінійного чи квадратного рівняння, або лінійної чи квадратної нерівності. Тому необхідно вміти вирішувати такі рівняння та нерівності та визначати відповідь. Відповідь має вийти у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу.

Два тіла масою m= 2 кг кожне рухаються з однаковою швидкістю v= 10 м/с під кутом 2 один до одного. Енергія (у джоулях), що виділяється при їх абсолютно непружному зіткненні визначається виразом Q = mv 2 sin 2 α. Під яким найменшим кутом 2α (у градусах) повинні рухатися тіла, щоб у результаті зіткнення виділилося не менше 50 джоулів?
Рішення.Для розв'язання задачі необхідно вирішити нерівність Q ≥ 50, на інтервалі 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Оскільки α ∈ (0°; 90°), то вирішуватимемо тільки

Зобразимо розв'язання нерівності графічно:

Оскільки за умовою α ∈ (0°; 90°), значить 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Завдання №11- є типовим, але виявляється непростим учнів. Головним джерелом труднощів є побудова математичної моделі (складання рівняння). Завдання №11 перевіряє вміння вирішувати текстові завдання.

Приклад 11.На весняних канікулах 11-класник Вася мав вирішити 560 тренувальних завдань для підготовки до ЄДІ. 18 березня в останній навчальний день Вася вирішив 5 завдань. Далі щодня він вирішував на те саме кількість завдань більше у порівнянні з попереднім днем. Визначте скільки завдань Вася вирішив 2 квітня в останній день канікул.

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Відповідь: 65.

Завдання №12- перевіряють в учнів вміння виконувати події з функціями, вміти застосовувати похідну до вивчення функції.

Знайти точку максимуму функції y= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Рішення: 1) Знайдемо область визначення функції: x + 9 > 0, x> –9, тобто x ∈ (–9; ∞).

2) Знайдемо похідну функції:

4) Знайдена точка належить проміжку (–9; ∞). Визначимо знаки похідної функції та зобразимо на малюнку поведінку функції:

Шукана точка максимуму x = –8.

а) Розв'яжіть рівняння 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку .

Рішення:а) Нехай log 3 (2cos x) = tтоді 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

б) Знайдемо коріння, що лежить на відрізку.

З малюнка видно, що заданому відрізку належить коріння

Діаметр кола основи циліндра дорівнює 20, що утворює циліндра дорівнює 28. Площина перетинає його основи по хордах довжини 12 і 16. Відстань між хордами дорівнює 2√197.

а) Доведіть, що центри основ циліндра лежать по одну сторону від цієї площини.

б) Знайдіть кут між цією площиною та площиною основи циліндра.

Рішення:а) Хорда довжиною 12 знаходиться на відстані = 8 від центру кола основи, а хорда довжиною 16, аналогічно, – на відстані 6. Тому відстань між їх проекціями на площину, паралельну основам циліндрів, становить або 8 + 6 = 14, або 8 − 6 = 2.

Тоді відстань між хордами складає або

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

За умовою реалізувався другий випадок, у ньому проекції хорд лежать з одного боку від осі циліндра. Значить, вісь не перетинає цю площину в межах циліндра, тобто основи лежать по одну сторону від неї. Що потрібно було довести.

б) Позначимо центри підстав за О1 і О2. Проведемо з центру основи з хордою довжини 12 серединний перпендикуляр до цієї хорди (він має довжину 8, як зазначалося) і з центру іншого основи - до іншої хорді. Вони лежать в одній площині, перпендикулярній цим хордам. Назвемо середину меншої хорди B, більшої A та проекцію A на другу основу – H (H ∈ β). Тоді AB,AH ∈ β і означає, AB,AH перпендикулярні хорді, тобто прямий перетин основи з даною площиною.

Отже, шуканий кут дорівнює

Завдання №15- підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, перевіряє вміння вирішувати нерівності, що найбільш успішно вирішується серед завдань з розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

приклад 15.Розв'яжіть нерівність | x 2 – 3x| · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Рішення:Областю визначення цієї нерівності є інтервал (–1; +∞). Розглянь окремо три випадки:

1) Нехай x 2 – 3x= 0, тобто. х= 0 або х= 3. У цьому випадку ця нерівність перетворюється на правильну, отже, ці значення входять у розв'язання.

2) Нехай тепер x 2 – 3x> 0, тобто. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При цьому цю нерівність можна переписати у вигляді ( x 2 – 3x) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 і розділити на позитивний вираз x 2 – 3x. Отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 або x≤ -0,5. Враховуючи область визначення, маємо x ∈ (–1; –0,5].

3) Нарешті, розглянемо x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). При цьому вихідна нерівність перепишеться у вигляді (3 x – x 2) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 . Після поділу на позитивний вираз 3 x – x 2 отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Враховуючи область, маємо x ∈ (0; 1].

Об'єднуючи отримані рішення, отримуємо x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Відповідь: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Завдання №16- підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а другому пункті обчислити.

У рівнобедреному трикутнику ABC з кутом 120° при вершині A проведена бісектриса BD. У трикутник ABC вписано прямокутник DEFH так, що сторона FH лежить на відрізку BC, а вершина E – на відрізку AB. а) Доведіть, що FH = 2DH. б) Знайдіть площу прямокутника DEFH, якщо AB = 4.

Рішення:а)

1) ΔBEF – прямокутний, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тоді EF = BE за властивістю катета, що лежить проти кута 30°.

2) Нехай EF = DH = xтоді BE = 2 x, BF = x√3 за теоремою Піфагора.

3) Оскільки ΔABC рівнобедрений, значить, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – бісектриса ∠B, значить ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Розглянемо ΔDBH – прямокутний, тому що. DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3) · 2(3 – √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Відповідь: 24 – 12√3.

Приклад 17Вклад у розмірі 20 млн. рублів планується відкрити на чотири роки. Наприкінці кожного року банк збільшує внесок на 10%, порівняно з його розміром на початку року. Крім того, на початку третього та четвертого років вкладник щороку поповнює вклад на хмлн. рублів, де х - цілечисло. Знайдіть най більше значення х, при якому банк за чотири роки нарахує на вклад менше 17 млн. рублів.

Рішення:Наприкінці першого року вклад складе 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублів, а наприкінці другого - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублів. На початку третього року вклад (у млн рублів) складе (24,2+) х), а наприкінці - (24,2+ х) + (24,2 + х)· 0,1 = (26,62 + 1,1 х). На початку четвертого року вклад складе (26,62 + 2,1 х), а наприкінці - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31 х). За умовою, потрібно знайти найбільше ціле х, для якого виконано нерівність

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Найбільше вирішення цієї нерівності - число 24.

Відповідь: 24.

При яких aсистема нерівностей

має рівно два рішення?

Рішення:Цю систему можна переписати у вигляді

Якщо намалювати на площині безліч розв'язків першої нерівності, вийде начинка кола (з кордоном) радіуса 1 з центром у точці (0, а). Безліч рішень другої нерівності – частина площини, що лежить під графіком функції y = | x| – a, причому останній є графік функції
y = | x| , зрушений вниз на а. Рішення даної системи є перетинання безлічі рішень кожної з нерівностей.

Отже, два рішення дана система матиме лише у випадку, зображеному на рис. 1.

Крапки торкання кола з прямими і будуть двома рішеннями системи. Кожна пряма нахилена до осей під кутом 45°. Отже, трикутник PQR- Прямокутний рівнобедрений. Крапка Qмає координати (0, а), а точка R– координати (0, – а). Крім того, відрізки PRі PQрівні радіусу кола, що дорівнює 1. Значить,

Нехай Snсума пчленів арифметичної прогресії ( а п). Відомо що S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Вкажіть формулу п-го члена цієї прогресії

б) Знайдіть найменшу за модулем суму S n.

в) Знайдіть найменше п, при якому S nбуде квадратом цілого числа.

Рішення: а) Очевидно, що a n = S n – S n- 1 . Використовуючи цю формулу, отримуємо:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

значить, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так як S n = 2n 2 – 25n, то розглянемо функцію S(x) = | 2x 2 – 25x|. Її графік можна побачити малюнку.

Очевидно, що найменше значення досягається в цілих точках, розташованих найбільш близько до нулів функції. Очевидно, що це точки х= 1, х= 12 і х= 13. Оскільки, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 · 169 - 25 · 13 | = 13, то найменше значення дорівнює 12.

в) З попереднього пункту випливає, що Snпозитивно, починаючи з n= 13. Так як S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), то очевидний випадок, коли цей вираз є повним квадратом, реалізується при n = 2n- 25, тобто при п= 25.

Залишилось перевірити значення з 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Виходить, що при менших значеннях пПовний квадрат не досягається.

Відповідь:а) a n = 4n- 27; б) 12; в) 25.

________________

*З травня 2017 року об'єднана видавнича група «ДРОФА-ВЕНТАНА» входить до корпорації «Російський підручник». До корпорації також увійшли видавництво «Астрель» та цифрова освітня платформа «LECTA». Генеральним директором призначено Олександра Бричкина, випускника Фінансової академії при Уряді РФ, кандидата економічних наук, керівника інноваційних проектів видавництва «ДРОФА» у сфері цифрової освіти (електронні форми підручників, «Російська електронна школа», цифрова освітня платформа LECTA). До приходу у видавництво «ДРОФА» обіймав позицію віце-президента зі стратегічного розвитку та інвестицій видавничого холдингу «ЕКСМО-АСТ». Сьогодні видавнича корпорація «Російський підручник» має найбільший портфель підручників, включених до Федерального переліку - 485 найменувань (приблизно 40%, без урахування підручників для корекційної школи). Видавництвам корпорації належать найбільш затребувані російськими школами комплекти підручників з фізики, креслення, біології, хімії, технології, географії, астрономії - галузей знань, які необхідні розвитку виробничого потенціалу країни. До портфелю корпорації входять підручники та навчальні посібники для початкової школи, удостоєні Премії Президента в галузі освіти. Це підручники та посібники з предметних областей, які необхідні розвитку науково-технічного і виробничого потенціалу Росії.

Аналіз результатів ЄДІ (профільний рівень)

учнів 11 класу МБОУ «Тетюська ЗОШ №2»

за 2015-2016 навчальний рік (06.06.2016)

ЄДІ з математики профільного рівня складається з двох частин, перша частина містить завдання з короткою відповіддю, друга частина - завдання з короткою і розгорнутою відповіддю. ЄДІ профільного рівня перевіряє вміння виконувати обчислення та перетворення, вирішувати рівняння та нерівності, виконувати дії з функціями, з геометричними фігурами, будувати та досліджувати математичні моделі, до другої частини додано завдання профільного рівня (17) з економічним змістом. Екзаменаційна робота складається з двох частин, які різняться за змістом, складністю та кількістю завдань. Визначальною ознакою кожної частини роботи є форма завдань:

Частина 1 містить 8 завдань (завдання 1-8) з короткою відповіддю (що перевіряють наявність практичних математичних знань та умінь базового рівня);

Частина 2 містить 4 завдань (завдання 9-12) з короткою відповіддю підвищеного рівня та 7 завдань (завдання 13-19) з розгорнутою відповіддю (за матеріалом курсу математики середньої школи, які перевіряють рівень профільної математичної підготовки) підвищеного та високого рівня складності.

З метою більш ефективного відбору випускників для продовження освіти у вищих навчальних закладах з різними вимогами до рівня математичної підготовки випускників завдання частини 2 роботи призначені для перевірки знань на рівні вимог, які традиційно пред'являються вузами з профільним іспитом з математики. Останні два завдання частини 2 призначені для конкурсного відбору до вузів із підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів.

Результати профільного ЄДІ з математики оцінюються і можуть бути представлені абітурієнтом на конкурс для вступу до вузу.

Цього року ЄДІ з математики профільного рівня складали 14 учнів.

Було визначено мінімальний поріг – 27 балів.

Мінімальний поріг перейшли усі 14 учнів.

Від 40-50 балів: 2 уч. (45б., 50б.) - 14%

Від 51-60 балів: 4 уч. (56б) - 28,5%

Від 61-70 балів: 3 уч.(62б., 70б.)-21%

Від 71-80 балів: 5 уч.(72б., 74б., 74., 80)-36%

Максимальний бал: 80 (Тайманов Данило та Паргерєєва Аріна)

Середній бал: 64,4 бала

Поелементний аналіз

Перевірені

вимоги

(уміння)

Рівень складності

Відсоток виконання завдань

Вміти використовувати набуті знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті

93

Читання графіків та діаграм

100

Планіметрія: обчислення довжин та площ

100

Початки теорії ймовірностей

100

Найпростіші рівняння

100

Планіметрія: завдання, пов'язані з кутами

100

Похідна та первісна

36

Стереометрія

93

Обчислення та перетворення

71

Завдання з прикладним змістом

П

71

Текстові завдання

64

Найбільше та найменше значення функцій. Екстремуми функції

93

Рівняння

71

Стереометричне завдання

0

Нерівності

36

Планіметричне завдання

0

Фінансова математика

21

Завдання з параметром

0

Числа та їх властивості

43

З таблиці видно, що випускники показали відмінні результати під час виконання завдань №2, 3, 4, 5, 6 (100%)та добрі результати - №1, 8, 12 (93%).Завдання №14, 16, 18 підвищеного та високого рівня не вирішені. Але можна відзначити непогане виконання завдань №9, 10, 13 (71%) та №11 (64%). Завдання з короткою відповіддю з геометрії активно вирішувалися усіма учасниками ЄДІ. При цьому загальний рівень геометричної, і особливо стереометричної підготовки випускників, як і раніше, залишається низьким. Зокрема, є проблеми як обчислювального характеру, а й пов'язані з вадами у розвитку просторових уявлень випускників, і навіть з недостатньо сформованими вміннями правильно зображати геометричні постаті, проводити додаткові побудови, застосовувати отримані знання на вирішення практичних завдань.

Висновки:

1. Організацію підготовки до здачі ЄДІ з математики слід розпочати з виявлення цільових груп учнів (перша група – учні, які мають на меті подолати поріг базового рівня, друга – подолати поріг профільного рівня вступити до вузу).

2. У процесі навчання виробляти в учнів звички самоконтролю та самоперевірки.

3. Під час підготовки учнів до виконання другої частини екзаменаційної роботи необхідно пам'ятати про її диференційованому характері. Підбираючи завдання для тренування (наприклад, під час підсумкового повторення), їх слід співвідносити з можливостями та потребами кожного учня, і навіть із рівнем класу загалом.

4. Приділяти належну увагу геометричній підготовці.

5. Організувати у класі різнорівневе повторення на обрані теми.

6. З сильними учнями, крім тренування у вирішенні завдань базового рівня складності (у вигляді самостійних робіт), проводити розбір методів розв'язання задач підвищеного рівня складності, перевіряючи засвоєння цих методів на самостійних роботах та додаткових заняттях.

7. Для успішного складання ЄДІ необхідно систематично вивчати математику, розвивати мислення, відпрацьовувати навички розв'язання завдань різного рівня.

8. Особливу увагу у викладанні математики слід приділити регулярному виконанню вправ, що розвивають базові математичні компетенції школярів (уміння читати і правильно розуміти умову завдання, вирішувати практичні завдання, виконувати арифметичні дії, найпростіші перетворення алгебри, дії з основними функціями і т.д.).

Вчитель: /Тайманова Л.А./

Навігація:

• Математика

  Завдання 2.

  Завдання:

  Івану Кузьмичу нараховано заробітну плату 20 000 рублів. З цієї суми віднімається податок з доходів фізичних осіб у вигляді 13%. Скільки карбованців він отримає після сплати прибуткового податку?

  Рішення:

  100% - це 20 000 рублів.

  Вважаємо, скільки рублів становить один відсоток:
  20 000: 100 = 200

  Обчислюємо суму податку:

  Віднімаємо податок із зарплати:

  20 000 - 2600 = 17 400 (рублів)

  Відповідь: 17 400.

  Джерело: Демонстраційний варіант ЄДІ з математики 2016, базовий рівень.

  Завдання 4

  Завдання:

  У збірнику квитків з біології лише 25 квитків. Лише у двох квитках зустрічається питання про гриби. На іспиті школяру дістається один випадково вибраний квиток із цієї збірки. Знайдіть ймовірність того, що в цьому квитку буде питання грибів.

  Рішення:

  З 25 квитків 23 не містять питання про гриби, тому ймовірність того, що у випадково обраному на іспиті квитку школяреві дістанеться питання про гриби, дорівнює

  2 / 25 = 2*4 / 25*4 = 8 / 100 = 0,08

  Відповідь: 0,08.

  Джерело: Демонстраційний варіант ЄДІ з математики 2016, профільний рівень.

• Російська мова

  Завдання 9

  Завдання:

  Визначте ряд, в якому в обох словах пропущена та сама буква. Випишіть ці слова, вставивши пропущену літеру.

  без..цілісний, ра..кіл

  не..оглядний, з..ходив

  пр..обріл, пр..білий

  раз..скати, на..скось

  пре..стати, о..бійний

  Рішення:

  Наведемо вірне написання:

  безцільний, розкол

  необачний, заходив

  придбав, пребілий

  розшукати, навскіс

  з'явитися, відбійний.

  Відповідь:безцільний, розкол.

  Джерело: Демонстраційний варіант ЄДІ з російської мови 2016 року.

  Завдання 12

  Завдання:

  Визначте пропозицію, в якій НЕ зі словом пишеться ЗЛИТНО. Розкрийте дужки та випишіть це слово.

  Живопис І.К. Айвазовського здобула визнання глядачів (НЕ)ЗВИЧАЙНО рано: вже в юності за етюд «Повітря над морем» художнику було присуджено срібну медаль.

  Поезія А.А. Ахматової повертає речам первозданний сенс і зупиняє увагу тому, що ми у звичайному стані (НЕ)ОЦІНЮЄМО.

  сильний східний вітер, що не припинявся всю ніч, підняв великі хвилі.

  З темного неба, з кудлатих хмар, в сум'ятті тих, що давлять один одного, (НЕ) ПЕРЕСТАВА, лунають гуркіт грому.

  Рішення:

  Наведемо правильне написання.

  Живопис І. К. Айвазовського отримав визнання глядачів НЕЗВИЧАЙНО (можна замінити синонімом «дуже») рано: вже в юності за етюд «Повітря над морем» художнику було присуджено срібну медаль.

  Поезія А. А. Ахматової повертає речам первозданний сенс і зупиняє увагу тому, що ми звичайному стані НЕ ОЦІНЮЄМО (НЕ з дієсловом).

  Той, хто не припинявся (у складі причетного обороту, тому окремо), всю ніч сильний східний вітер підняв великі хвилі.

  З темного неба, з кудлатих хмар, в сум'ятті тих, що давлять один одного, НЕ ПЕРЕСТАЮЧИ (НЕ з дієприслівником), лунають гуркіт грому.

  Відповідь:надзвичайно.

  Джерело: Демонстраційний варіант ЄДІ з російської мови2016.

• Суспільствознавство

  Завдання 5

  Завдання:

  Встановіть відповідність між відмітними ознаками та типами товариств, які вони ілюструють: до кожної позиції, даної в першому стовпці, підберіть відповідну позицію другого стовпця.

  Запишіть у таблиці вибрані цифри під відповідними літерами.

  А	Б	У	Г	Д

  Рішення:

  Доіндустріальне (аграрне/традиційне):

  1. основа виробництва - земля, сільське господарство, працю;

  2. переважання ручної праці;

  3. пристосування до довкілля, злиття з природою;

  4. екстенсивний шлях розвитку.

  Індустріальне:

  1. промисловість;

  2. велика машинна промисловість;

  4. Інтенсивний шлях розвитку.

  Постіндустріальне (інформаційне):

  1. знання, інформація, високі технології;

  2. комп'ютеризація, широке застосування машинної техніки;

  3. перетворення довкілля;

  4. Інтенсивний шлях розвитку.

  Відповідь: 32311.

  Завдання 13

  Завдання:

  Виберіть правильні міркування щодо функцій політичної партії в демократичному суспільстві та запишіть цифри, під якими вони вказані.

  1) Політичні партії беруть участь в організації, підготовці та проведенні парламентських виборів.

  2) Політичні партії беруть участь у судочинстві.

  3) Політичні партії мобілізують громадян здійснення політичних дій.

  4) Політичні партії беруть участь у формуванні правоохоронних органів.

  5) Політичні партії проводять організаційні заходи серед партійного активу.

  Рішення:

  Політична партія - особлива громадська організація, яка безпосередньо ставить перед собою завдання опанувати політичну владу в державі або взяти в ній участь через своїх представників в органах державної влади та місцевого самоврядування.

  Відповідь: 135.

  Джерело: Демонстраційний варіант ЄДІ із суспільствознавства 2016.

• Історія

  Завдання 3

  Завдання:

  Нижче наведено перелік термінів. Усі вони, крім одного, ставляться до подій (явленням) ХІХ ст.

  1) вільні хлібороби;

  2) міністерства;

  4) третьочервневий переворот;

  5) світові судді;

  6) військові поселення.

  Знайдіть і запишіть порядковий номер терміну, що стосується іншого історичного періоду.

  Рішення:

  Третій червневий переворот відноситься до XX століття.

  Відповідь: 4.

  Завдання 14

  Завдання:

  Напишіть назву міста, що позначено на схемі цифрою «1».

  Рішення:

  Цифрою «1» на карті позначено столицю Володимиро-Суздальського князівства м. Володимир.

  Відповідь:Володимир.

  Джерело: Демонстраційний варіант ЄДІ з історії 2016 року.

• Біологія

  Завдання 8

  Завдання:

  Збереження ознак у гетерозисних гібридів рослин можливе лише за:

  1) статевому розмноженні;

  2) вегетативному розмноженні;

  3) віддаленої гібридизації;

  4) використання методу поліплоїдії.

  Рішення:

  Збереження ознак у гетерозисних гібридів рослин можливе лише за вегетативного розмноження.