Пряма перпендикулярна площині називається 1. Перпендикулярність прямих у просторі

парасольок. Відрізок KL визначає напрямок проекцій лінії перетину двох заданих площин.

2.8 Перпендикулярність прямої та площини, двох площин

Умова перпендикулярності прямої та площини та перпендикулярності двох площин базується на теоремі про проекцію прямого кута. Адаптуючи теорему до розв'язання метричних завдань на визначення відстані від точки до площини, визначення відстані від точки до прямої лінії або на побудову площини, паралельної заданій на певній відстані, сформулюємо умову перпендикулярності прямої та площини.

Пряма l (l1 ,l2 ) перпендикулярна до площини , якщо вона перпендикулярна двом прямим рівня, що перетинається (наприклад, горизонталі і фронталі), що належать даній площині.

l 1h 1

l 2f 2

Розглянемо приклади вирішення типових метричних завдань застосування умови перпендикулярності прямої і площині.

Приклад 1. Визначити відстань від точки N до площини Q(mIIn) (рис. 2.35).

Алгоритм розв'язання задачі:

1. Провести аналіз умови завдання. (Найкоротша відстань від точки до прямої визначається перпендикуляром, опущеним з точки N на площину Q.)

2. Для того щоб виконати умову перпендикулярності прямої і площини необхідно спочатку в площині побудувати горизонтальh(h 1 , h 2 ) і фронтальf(f 1 , f 2 ), а потім побудувати лініюl(l 1 , l 2 ) перпендикулярну площині Q ( рисунок 2.35).

Рисунок 2.35 – Лінія перпендикулярна до площини

3. Знайти основу перпендикуляра, тобто. точку перетину побудованої лінії l(l 1 , l 2 ) із заданою площиною Q. Для побудови точки До укладаємо, наприклад, фронтальну проекцію лінії l 2 фронтально проецирующую площину Σ. Визначаємо проекції лінії перетину лінії l з відповідною проекцією лінії перетину двох площин (Q∩∑). Визначаємо положення проекцій точки К1 та К2.

4. Визначити натуральну величину відрізка NK як гіпотенузу прямокутного трикутника (рис. 2.36).

Рисунок 2.36 – Проекції відстані від точки до площини

Приклад 2. Визначити відстань від точки А до прямої n. Алгоритм розв'язання задачі:

1. Аналіз умов завдання. Проаналізувавши умову завдання, констатуємо, що найкоротша відстань від точки до прямої вимірюється перпендикуляром, опущеним з точки А на пряму n. Оскільки задана пряма n (n 1 , n2 ) є прямою загального становища, то вирішення завдання необхідно виконати додаткові побудови.

2. Через проекції точки А(А 1 ,А2 ) будуємо площину Σ (h ∩ f), перпендикулярну до прямої n (n1 , n2 ).

3. Визначаємо точку перетину заданої прямої n(n 1 , n2 ) з площиною Σ (h ∩ f) і знаходимо проекції відрізка прямої А1 В1 і А2 В2 як проекцій відстані від точки А до прямої n.

4. Будуємо натуральну величину відстані від точки А до прямої n (рисунок 2.37).

Рисунок 2.37 – Відстань від точки A до прямої n

Приклад 3. Побудувати площину Θ, паралельну площині Σ (ΔАВС), на відстані 25 мм від неї.

Алгоритм розв'язання задачі:

1. Аналіз умов завдання. Площина буде побудована на відстані 25 мм від площини (ΔАВС). Отже, потрібно побудувати перпендикуляр до площини.

2. Для побудови лінії, перпендикулярної до площини, в площині задаємо лінії рівня – горизонталь h(h 1 , h2 ) і фронталь f(f1 , f2 ) і будуємо лініюl(l 1 , l 2 ) , перпендикулярну до площини Σ (ΔАВС) (рисунок 2.38).

Рисунок 2.38 – Положення точки L

3. Знаходимо основу перпендикуляра, тобто. точку К(К1 ,К2 ) перетину лініїl(l 1 , l 2 ) з площиною Σ (ΔАВС).

4. Вибираємо на лінії l(l 1 , l 2 ) довільну точку N(N1 ,N2 ) і визначаємо відстань від обраної точки до площини (N1 Kº).

5. Знаходимо на прямий l(l 1 , l 2 ) положення точки L(L1 , L2 ), що має віддалення від площини 25 мм.

6. Через точку L(L 1 , L2 ) будуємо площину Θ(m∩n), паралельну заданій площині Σ (ΔАВС) (рисунок 2.39)

Малюнок 2.39 – Площина паралельна заданій на потрібній відстані

Питання для самоконтролю на тему 2:

1. Яке положення точка може займати щодо прямої лінії?

2. Коли точка належить прямої лінії?

3. Як можуть розташовуватися прямі лінії щодо один одного?

4. Які точки називаються конкуруючими?

5. Продовжте пропозицію: Прямий кут проектується на фронтальну площину проекцій без спотворення, якщо він утворений двома прямими, що перетинаються, одна з яких пряма загального положення, а друга ……..

6. Як визначити натуральну величину відрізка прямого загального стану?

7. Яка умова перпендикулярності прямої лінії та площини?

8. Яка умова перпендикулярності двох площин?

9. Коли пряма паралельна площині?

10. Коли дві площини є паралельними?

11. Яка умова належності прямої лінії площини?

12. Коли точка належить площині?

13. Який алгоритм знаходження точки перетину прямої лінії з площиною?

14. У чому полягає суть способу допоміжних площин посередників при знаходженні перетину лінії двох площин?

15. Яка площина називається проеційною?

3 ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ

3.1 Сутність та основні способи перетворення креслення

Вирішення позиційних і метричних завдань у накреслювальній геометрії значно спрощується, якщо прямі та плоскі фігури займають положення проектуючих прямих і площин, або прямих і площин рівня.

Необхідною умовою спрощення розв'язання задач є побудова нових додаткових проекцій, які дозволяють одержати або вироджені проекції окремих елементів або ці елементи в натуральну величину. Побудову додаткових проекцій називають перетворенням креслення.

Перетворення може бути виконане такими способами:

1. Переміною (заміною) площин проекцій з умовою, що об'єкт, що розглядається, або його елементи займуть одне з приватних положень щодо нової системи площин проекцій;

2. Обертанням геометричних об'єктів у просторі навколо проекуючої осі так, щоб вони займалиякесь приватне положення щодо площин проекцій.

3. Плоскопаралельним переміщенням об'єкта, при якому, спосіб обертання навколо осі, що проєкує, і переміщення об'єкта, домагаються переходу від об'єкта загального положення до об'єкта приватного положення;

4. Обертанням геометричних об'єктів у просторі навколо лінії рівня так, щоб вони займали положення або прямого рівня, або площини рівня.

3.2 Теорія та алгоритми вирішення основних позиційних та метричних завдань

Суть способу зміни площин проекцій полягає у переході від системи площин проекцій до нової. При цьому відрізки прямих і плоскі фігури зберігають своє положення, які нові проекції виходять за рахунок введення додаткових площин проекцій.

При зміні площин проекцій обов'язково зберігається взаємна перпендикулярність двох площин проекцій – нової та незамінної.

Розглянемо механізм зміни площин проекцій з прикладу перетворення з точкою (рисунок 3.1.).

Рисунок 3.1 – Механізм зміни площини проекцій П2 на П4

На епюрі це перетворення представлено малюнку 3.2. Задамо дві проекції точки А (А1, А2) у системі площин проекцій П1 і П2. Введемо положення площини П4. З незамінної проекції точки А – А1

проводимо лінію зв'язку, перпендикулярну до лінії сліду площини П4 . Оскільки висота точки не змінюється при переході від системи площин проекцій П1 – П2 до системи площин П1 – П4 , то ця висота вимірюється на полі П2 і відкладається на полі П4 лінії перетину площин у напрямку нової лінії зв'язку.

Малюнок 3.2 – Механізм переходу від системи П1 – П2 до П1 – П4 на епюрі

Заміна однієї з площин проекцій не завжди призводить до остаточного вирішення поставленої задачі, тому послідовно розглянемо механізм переходу від системи площин проекцій П1-П2 до П1-П4, а потім до П4-П5. (Рисунок 3. 3).

Для отримання проекції точки А на площині проекцій П5 необхідно виконати послідовне переведення точки спочатку в площину П4, а потім у площину П5. Для виконання побудови замінимо площину П2 на площину П4.

Малюнок 3.3 – Механізм переходу від системи П1 – П2 до П4 – П5 на епюрі

Проекція точки А4 виходить наступним чином: з незамінної проекції точки А1 проведемо лінію зв'язку, перпендикулярну до лінії перетину площин П1 – П4 і відкладемо від неї відстань, виміряну від замінної проекції точки до лінії перетину площин П1 – П2 . При переході в систему площин проекцій П4-П5 замінюється площина П1 П5. З незамінної проекції точки А4 проводимо лінію зв'язку, перпендикулярну до лінії перетину площин П4 – П5 . Від цієї лінії відкладаємо відстань, виміряну від замінної проекції точки А1 до лінії перетину площин П1 - П4. В результаті побудуємо проекцію точки А5.

Інший спосіб перетворення креслення – спосіб обертання. Він полягає в тому, що задана система площин проекцій залишається незмінною, а фігуру обертають навколо нерухомої осі доти, доки вона займе приватне положення щодо площин проекцій, зокрема стане паралельною або перпендикулярною до однієї з площин проекцій.

цій. Обертання проводять навколо осей, перпендикулярних або паралельних площин проекцій.

Зупинимося на механізмі обертання точки навколо осі, що проеціює. Нехай точка А обертається навколо осі i, що горизонтально проеціює. При цьому точка описуватиме коло з центром, що проходить через вісь обертання i (i 1 ,i 2 ). При обертанні траєкторія точки А є коло, площина якої паралельна горизонтальній площині проекцій (рисунок 3. 4).

Рисунок 3. 4 - Обертання навколо осі, що горизонтально проеціює.

На епюрі процес обертання точки зображується так. Вибирають вісь обертання i (i1, i2). На горизонтальну площину проекцій ця вісь проектується в точку i1. З центру i1 проекція точки А1 описує коло, повертаючись на будь-який кут, доки займе положень А1 " . Фронтальна проекція точки А2 у своїй переміщається горизонтальної прямої до нового положення точки А2 " .

Таким чином, при обертанні навколо горизонтально-

проєкуючої осі горизонтальна проекція точки переміщається по колу, а фронтальна – по прямій, перпендикулярній до проекції осі ворушення (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 – Алгоритм обертання навколо осі, що горизонтально проеціює.

При обертанні точки навколо осі, що фронтально проєкує, точкою описується траєкторія у вигляді кола, площина якої паралельна фронтальній площині проекцій (рисунок 3. 6).

Рисунок 3.6 – Обертання навколо осі, що фронтально проєкує.

При обертанні навколо фронтально проекції прямої фронтальна проекція точки описує коло, а горизонтальна переміщається прямою, перпендикулярною до осі обертання. Алгоритм обертання точки навколо осі, що фронтально проєкує, представлений на малюнку 3.7.

Малюнок 3.7 – Алгоритм обертання навколо осі, що фронтально проєкує.

3.3. Спосіб зміни площин проекцій. Вирішення основних завдань

Яким би способом не здійснювалися перетворення креслення, головні завдання перетворення можуть бути зведені до наступних:

1. Перетворення, у якому пряма лінія загального стану стає прямий рівня.

2. Перетворення, у якому пряма рівня стає проецирующей прямий.

3. Перетворення, у якому площина загального стану стає проецирующей площиною.

4. Перетворення, у якому проецирующая площину стає площиною рівня.

Розглянемо розв'язання основних завдань перетворення креслення способом зміни площин проекцій.

Щоб пряма загального становища виявилася прямий рівня, необхідно запровадити нову площину проекцій П4 , яка б їй паралельна. Замінимо, наприклад, площину П2 на площину П4 (рисунок 3.8).

Площина П4 розташовується паралельно незамінної проекції відрізка прямої А1 В1. Отримана проекція відрізка прямої А4 В4 є прямою рівня, отже, ця проекція є натуральна величина відрізка. Розв'язання цієї задачі дозволяє визначити кут нахилу відрізка прямої АВ до горизонтальної площини проекцій -α.

Рисунок 3.8 – Перетворення прямого загального стану на пряму рівня

Щоб пряма лінія рівня стала проецирующей (тобто. проектувалася б на якусь площину проекцій точкою), нова площина проекцій має бути їй перпендикулярна.

Перпендикулярність ж на комплексному кресленні зберігається лише до прямого рівня. Тому нову площину проекцій П4 вибирають перпендикулярною відповідної проекції лінії рівня, тобто. до натуральної величини відрізка АВ (рис. 3.9).

Малюнок 3.9 – Перетворення прямого рівня на проектуючу

Щоб площина загального стану виявилася проецирующей, необхідно, щоб нова система площин проекцій була їй перпендикулярна. Площина буде перпендикулярна до заданої площини в тому випадку, якщо вона перпендикулярна до якоїсь лінії рівня цієї площини. Тому для того щоб вибрати положення нової площини П4 необхідно визначитися яку з площин проекцій будемо замінювати. Наприклад, замінимо площину П2 на площину П4 (рисунок 3.10). У горизонтальній площині проекцій без спотворення проектується горі-

зонтальна проекція горизонталі h1 тому площину П4 вибудовуємо їй перпендикулярно.

На площині П4 трикутник АВС займає проецірующее положення.

Малюнок 3.10 – Перетворення площини загального положення на проекцію площину

Щоб задана площина виявилася площиною рівня, необхідно площину П4 розташувати їй паралельно (рисунок 3.11).

Малюнок 3.11 – Перетворення площини, що проеціює, на площину рівня

Для того щоб площину загального положення перетворити на площину рівня, необхідно виконати два перетворення: спочатку площину загального положення перетворити на проецірующую, а потім, ввівши ще одну площину П5, перетворити площину, що проеціює, в площину рівня.

3.4 Спосіб обертання навколо осі, що проеціює. Вирішення основних завдань

Завдання 1. Перетворити пряму загального становища на пряму рівнів-

Для того розв'язання задачі необхідно вибрати положення осі обертання. Виберемо в якості осі обертання, наприклад, пряму, що горизонтально проеціює. У цьому випадку поворот здійснюватиметься у горизонтальній площині проекцій. Кут повороту прямої визначається умовою задачі: пряму потрібно повернути до положення лінії рівня, в даному випадку до положення фронтальної лінії рівня (рисунок 3.12).

Рисунок 3.12 – Перетворення прямого загального стану на пряму рівня способом обертання

Завдання 2. Перетворити пряму рівня на проецирующую пряму.

Під час виконання обертання слід вибрати положення осі обертання. В даному випадку як осі обертання слід вибрати горизонтально вісь, що проеціює, і визначити кут повороту прямої. Кут повороту визначено умовою задачі (рис. 3.13).

Рисунок 3.13 – Перетворення прямого рівня на проекуючу пряму методом обертання

Завдання 3. Перетворити площину загального положення на проектую-

Розв'язання задачі починають із вибору осі обертання. В якості осі обертання виберемо, наприклад, пряму горизонтально проецирующую. У цьому випадку обертання слід виконувати у горизонтальній площині проекцій. Кут кухара площини трикутника навколо осі, що горизонтально проеціює, задаватиме горизонтальна проекція горизонталі, що лежить у заданій площині (рисунок 3.14).

Малюнок 3.14 – Перетворення площини загального положення на проеціюючу методом обертання

Завдання 4. Перетворити проекцію площину на площину рівня.

Виберемо положення осі обертання. В даному випадку слід вибрати вісь обертання, що горизонтально проеціює. Кут повороту об'єкта визначає поворот заданої площини до положення передньої площини рівня (рисунок 3.15).

Рисунок 3.15 – Перетворення проєкуючої площини на площину рівня методом обертання

3.5 Спосіб плоско паралельного переміщення

Спосіб плоскопаралельного переміщення полягає в тому, що площини проекцій залишаються незмінними, а об'єкт повертають навколо осі, що проєкує до тих пір, поки він займе приватне положення щодо площин проекцій і виробляють його переміщення. Залежно від умов завдань об'єкт слід перетворити так, щоб він розташовувався щодо площин проекцій перпендикулярно або паралельно.

Завдання 1. Перетворити площину загального становища на площину рівня.

Малюнок 3.16 – Спосіб плоскопаралельного переміщення

Питання для самоконтролю на тему 3:

1. У чому суть способу зміни площин проекцій?

2. Чи можна пряму загальну ситуацію перетворити на пряму рівня, використовуючи одне перетворення?

3. Як вибирається напрямок проектування для перетворення площини загального положення в проектуючу площину?

4. У чому відмінність способу зміни площин проекцій від способу плоскопаралельного переміщення?

5. Скільки разів пряма загального положення має змінити своє положення щодо площин проекцій П 1 , П2 , ​​щоб стати фронтально-проекційною прямою?

6. У чому суть способу обертання навколо прямої, що проектує?

4 Багатогранники

4.1 Загальні відомості про багатогранники. Завдання багатогранників на комплексному кресленні

Багатогранники, що становлять найпростіші геометричні форми, є основними при конструюванні інженерних споруд. Багатогранні форми знайшли широке застосування у конструюванні деталей машин та механізмів у техніці, а також у різних архітектурних спорудах.

Найбільший практичний інтерес представляють призми, піраміди і опуклі однорідні багатогранники, всі грані яких є правильними і рівними багатокутниками – тіла Платона (тетраедр – 4, октаедр – 8, ікосаедр – 20 правильних трикутників; гексаедр (куб – 6 правильних прямокутників); 12 правильних п'ятикутників). Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку від площини будь-якої своєї грані.

Багатогранником називається тіло, обмежене плоскими багатокутниками. Ці багатокутники називаютьсягранями (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 – Приклади багатогранників

Сукупність всіх граней багатогранника називають його поверхнею.

Грані перетинаються прямими лініями, званим ребрами. Ребра перетинаються у точках, званих вершинами.

Креслення багатогранників мають бути оборотними. Цього можна досягти, якщо дотримуються певних умов розташування ребер багатогранника в проекціях.

На кресленні багатогранники зображуються проекціями своїх вершин та ребер. На малюнку 4.2 задані пряма чотиригранна призма АВСDКLMN та тригранна піраміда SABC. Призма називається прямою, якщо її бічні грані та ребра перпендикулярні до основи. Пряма призма називається правильною, якщо її основа – правильний багатокутник.

Рисунок 4.2 – Завдання багатогранників на епюрі

4.2 Перетин багатогранників площиною та прямою лінією

Лінія перетину багатогранника площиною є плоским багатокутником (рисунок 4.3).

Рисунок 4.3 – Перетин багатогранника площиною

Лінію перерізу багатогранника площиною можна побудувати двома способами.

Перший спосіб. Знаходять вершини багатокутника, що шукається, як результат перетину ребер багатогранника з січною площиною.

Другий спосіб. Знаходять сторони багатокутника, що шукається, як результат перетину граней багатогранника з січною площиною.

У першому випадку доводиться багаторазово вирішувати задачу на побудову точки перетину прямої з площиною, у другому – на побудову лінії перетину двох площин. У тих випадках, коли січна площина або поверхня знаходяться в приватному положенні, завдання суттєво спрощується, оскільки на одній із площин проекцій проекція лінії перерізу збігається або з проекцією площини, що січе (рисунок 4.4), або з виродженою проекцією поверхні багатогранника (рисунок 4.5).

Для побудови лінії перетину тригранної піраміди площиною, що фронтально проєкує, необхідно знайти точки перетину кожного ребра піраміди SABC з фронтально проєкуючої площиною ∑. В результаті побудови отримаємо трикутник DFE. Якщо поверхня загального становища перетинається фронтально проецирующей площиною, то фронтальна проекція лінії перерізу (трикутника) збігатиметься з фронтальною проекцією площини, що січе ∑2 . Фронтальні проекції вершин лінії перерізу (D2, F2, E2) визначаються як результат перетину кожного ребра піраміди з січною площиною. Спроектувавши точки, що визначають лінію перерізу, на горизонтальну площину проекцій на проекції відповідних ребер отримаємо горизонтальну проекцію лінії перетину шуканої (D1, F1, E1).

Малюнок 4.4 - Перетин піраміди проєкуючої площиною

Для побудови перерізу прямої призми ABCD площиною загального положення Q(a||b) потрібно побудувати сторони багатокутника, що шукається.

KLMN як результат перетину граней багатогранника з площиною Q(a||b) (рисунок 4.5). Для цього через проекцію грані B1 C1 проведемо допоміжну площину Θ. Ця площина перетне задану площину Q(a||b) по прямій, що проходить через точки 11 21 . Побудуємо проекцію лінії перерізу двох площин у фронтальній площині проекцій (12 , 22 ) і знайдемо точки перетину цього відрізка з ребрами В і С – L та M. Аналогічно будуємо лінію перетину грані AD з площиною Q – відрізок KN. У фронтальній площині проекцій з'єднуємо проекції шматків відрізків K2 L2 M2 N2 з урахуванням видимості граней

– проекція відрізка видно, якщо грань видно у цій проекції, не видно – якщо проекція грані не видно. Крім того, необхідно встановити і взаємну видимість ребер призми і площини, що сить.

Рисунок 4.5 – Перетин проекції призми площиною загального положення

Розглянемо побудову перерізу піраміди загального стану площиною загального стану (рисунок 4.6).

Рисунок 4.6 – Перетин піраміди площиною загального стану

Для побудови лінії перетину визначатимемо вершини перерізу як результат перетину кожного ребра піраміди з площиною загального положення ∑(a||b). Для знаходження точки перетину ребра SA з площиною ∑(a||b) необхідно укласти ребро в січній площині Q і знайти лінію перетину двох площин Q і ∑ - відрізок 12 22 ;11 21 . Вершина До будується як наслідок перетинів відповідних проекцій проекцій ребра SA і відрізка 1,2. Вершини L і N знаходять за тим самим алгоритмом, як результати перетинів ребер SB і SC із площиною ∑(a||b).

Завдання визначенняточок перетину багатогранника з прямою лінією вирішують на основі методу допоміжних сіючих площин. При цьому одну з проекцій заданої прямої укладають в площину, що проєкує січні. Знаходять лінію перетину допоміжної

січній площині з багатогранником. Проекції точок перетину прямої лінії з багатогранником знаходять як результат перетину побудованої лінії перерізу та іншої проекції заданої прямої та подальшого визначення їх положення в обох площинах проекцій. Знайдемо точки перетину піраміди із прямого загального положення (рисунок 4.7).

Рисунок 4.7 – Перетин прямої лінії з пірамідою

Укладемо, наприклад, фронтальну проекцію заданої прямої l 2 фронтально проецирующую площину Q2 і побудуємо лінію перерізу піраміди цією площиною. Точки перетину піраміди з прямоюl побудуємо як результат перетину трикутника перерізу спочатку з горизонтальною проекцією прямоїl 1 - K1 і L1 , а потім отримаємо їх фронтальні проекції (K2 , L2 ).

Визначимо взаємну видимість прямої l (l 1, l 2) з пірамідою SABC. Завдання визначення точок перетину багатогранників з прямими спрощуються, якщо один з елементів знаходиться в приватному положенні.

Наприклад, при визначенні точок перетину прямої загального становища з проекційною призмою, завдання зводиться до визначення точок перетину прямої з виродженими проекціями граней призми (рис. 4.8).

Рисунок 4.8 – Перетин прямої лінії з прямою призмою

При знаходженні точок перетину піраміди з проецирующей прямий, горизонтальні проекції точок перетину (К1 , N1 ) визначаються на виродженої проекції прямої, а потім вишиковуються їх фронтальні проекції (К2 , N2 ) і встановлюється взаємна видимість (рисунок 4.9).

Малюнок 4.9 – Перетин піраміди з прямої прямої.

4.3 Побудова розгорток багатогранників

Якщо надати поверхонь властивості гнучкості та нерозтяжності, то деякі з них можна поєднати з площиною без утворення складок та розривів, тобто отримати розгортку поверхні.

Розгорткою багатогранника називається плоска постать, отримана від поєднання всіх граней багатогранника з однією площиною у певному порядку.

Для побудови розгортки призми або піраміди необхідно визначити натуральну величину їх ребер та основ, а потім виконати побудову розгортки поверхонь (малюнки 4.10 та 4.11).

Побудова розгортки піраміди зводиться до багаторазової побудови натуральної величини трикутників, що обмежують її поверхню.

Побудуємо повну розгортку тригранної піраміди (рисунок 4.10). І тому визначимо натуральну величину кожного ребра методом прямокутного трикутника. Ребро SC є передньою лінією рівня, тому його проекція S2 C2 є натуральною величиною. Основа піраміди є горизонтальною площиною рівня, тому горизонтальна проекція трикутника АВС є натуральною величиною.

Рисунок 4.10 – Розгорнення піраміди

Побудова розгорток похилих призм зводиться до побудови натуральних величин граней багатогранника. Ці побудови можуть бути виконані такими способами:

1. Спосіб нормального перерізу, при якому визначається ширина кожної грані за допомогою січної площини, перпендикулярної до ребрів призми;

2. Спосіб розкатки, який заснований на послідовному поєднанні всіх граней призми з площиною методом обертання навколо лінії рівня;

3. Спосіб тріангуляції, заснований на розбиття ромбів діагоналями на трикутники та визначення натуральних величин сторін трикутників.

Докладніше зупинимося на розгляді суті методу нормального перерізу. Задамо положення призми таким чином, щоб її ребра знаходилися, наприклад, у положенні фронталів (рисунок 4.11).

Рисунок 4.11 – Розгорнення призми способом нормального перерізу

Перетнемо задану призму допоміжною площиною, перпендикулярної до ребрів призми, тобто. визначимо ширину кожної грані призми. Визначимо натуральну величину даного нормального перерізу та побудуємо розгортку поверхні призми. Побудова розгортки починається з побудови горизонтальної лінії, де відкладемо відрізки, що визначають ширину кожної грані з його нормальному перерізу.

Через точки, що визначають довжини відрізків, перпендикулярно до них проводимо лінії, на яких відкладаємо довжини відрізків ребер, укладених між лінією перерізу та основами призми.

Розгортання бічної поверхні призми виходить після з'єднання кінців побудованих відрізків прямими лініями. Для побудови повної розгортки призми необхідно добудувати натуральні величини підстав призми.

4.4 Взаємне перетин багатогранників

Результатом перетину двох багатогранників є просторова ламана замкнута лінія, що йде по бічній поверхні обох багатогранників.

Її ланки визначають як наслідок перетину граней одного багатогранника з гранями іншого, а вершини – як точки перетину ребер кожного багатогранника з гранями іншого. Таким чином, задачу про побудову лінії взаємного перетину двох багатогранників можна звести до вирішення задачі про перетин двох площин, або на перетин прямий з площиною.

Лінія перетину багатогранників може розпадатися на дві і більше гілок, які можуть бути замкненими просторовими ламаними лініями, так і плоскими багатокутниками. Лінія перетину може знаходитися в межах загальної частини проекцій обох поверхонь, що перетинаються.

Побудуємо лінію перетину призми KLMN із пірамідою SABC.

Для побудови лінії перетину спочатку знайдемо точки перетину, наприклад ребер призми з гранями піраміди (рисунок 4.12). З креслення видно, що ребра M, N, L знаходяться поза областю накладання двох багатогранників, отже, вони не перетинаються з пірамідою. Ребро До знаходиться в області накладання проекцій двох граней піраміди CSA і CSB (визначаємо горизонтальними проекціями граней C1 S1 A1 і C1 S1 B1 і ребра К1), тому визначимо точки перетину ребра К з цими гранями.

Рисунок 4.12 – Знаходження точок перетину ребер призми з гранями піраміди

Для побудови скористаємося допоміжними прямими (S1 11 , S1 21 ), які проведемо в гранях CSB та CSA через проекції точок перетину ребра К з гранями – точки 3 та 4 (спочатку визначаємо їх горизонтальні проекції 31 та 41). Побудуємо фронтальні проекції точок 3 і 4 у перетині проекцій ребра К2 з допоміжними проекціями прямих S2 12 , S2 22 .

Знаходимо точки перетину ребер піраміди із гранями призми. Побудова цих точок почнемо з горизонтальної площини проекцій, оскільки призма займає горизонтальне положення. Проекція ребра S1 А1 перетинає дві грані призми K1 L1 та L1 N1 у точках 51 та 61 . Спроектуємо ці точки у фронтальну площину проекцій на проекцію ребра S2 B2 та побудуємо проекції 52 та 62 .

Аналогічно розмірковуючи, збудуємо проекції точок перетину ребер SA і SC з гранями призми KL, KN та KM (7,8, 9, 10) (рисунок 4.13).

Малюнок 4.13 - Знаходження точок перетину ребер піраміди з призами гранями

Послідовно з'єднаємо проекції точок перетину відрізками прямих, що належать одночасно грані призми та піраміди. Наприклад, послідовно з'єднуються проекції точок 7 - 5 - 4 - 9 - 3 - 7, що з'єднують відрізки лінії перетину двох багатогранників в області входу та точки 8, 6 і 10 в області виходу двох багатогранників.

Останнім етапом побудови є визначення видимості ділянок збудованої лінії перетину. Проекція відрізка лінії перетину вважається видимою, якщо відрізок знаходиться у видимих ​​проекціях грані піраміди та грані призми. Якщо хоча б одна з проекцій граней невидна, то проекція ділянки лінії перетину, що розглядається, не видно. Виконаємо з'єднання ділянок лінії перетину та обведення креслення з урахуванням видимості граней (рисунок 4.14).

Рисунок 4.14 – Взаємне перетин багатогранників

Питання для самоконтролю на тему 4:

1. Що називається багатогранником?

2. Чим задається поверхня багатогранника на комплексному кресленні?

3. Які способи використовують при побудові перерізу багатогранника площиною?

4. Як будуються точки входу та виходу при перетині багатогранника з прямою лінією?

5. У чому полягає суть способу нормального перерізу при розбудові розгортки призми?

6. Який спосіб використовується при розбудові розгортки піраміди?

5 КРИВІ ЛІНІЇ І ПОВЕРХНІ

5.1 Криві лінії

Криві лінії застосовуються при конструюванні різних поверхонь, у теорії машин і механізмів, у моделюванні та розмічальній справі, при побудові діаграм стану багатокомпонентних систем.

Кривою лінією називається сукупність послідовних положень точки, що переміщається у просторі.

Криві лінії, всі точки яких належать одній площині, називаються плоскими, наприклад, пряма лінія, коло, еліпс, парабола, гіпербола, синусоїда, графіки функцій однієї змінної, графіки рівнянь із двома невідомими, інші криві лінії – просторовиминаприклад, гвинтові лінії.

Кожна крива включає геометричні елементи, які становлять її визначник, тобто. сукупність незалежних умов, що однозначно визначають цю криву.

Розрізняють такі способи завдання кривих:

1. Аналітичний – крива задається математичним рівнянням;

2. Графічний – крива задається лише графічно;

3. Табличний - крива задається координатами послідовного ряду її точок.

Будь-яка крива лінія може бути отримана рухом точки в просторі, як результат перетину кривих поверхонь площиною і як результат взаємного перетину поверхонь, хоча одна з яких – крива.

Точки плоскої кривої лінії діляться на прості (точка дотику A) і спеціальні (точка перегину B – у точці перегину кривизна змінює знак – з

одного боку від цієї точки крива опукла, з іншого – увігнута; точки повернення C - точка повернення 1-го роду (точка F циклоїди відноситься до точок повернення 1-го роду), D - точка повернення 2-го роду; точка E подвійна точка строфоїди, у цій точці у кривій – дві різні дотичні m1 та m2) (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – Звичайні та особливі точки кривої

Закономірні криві лінії поділяють на алгебраїчні (коло, парабола) і трансцендентні (синусоїда).

При вивченні кривої плоскої лінії часто виникає необхідність визначення її порядку. Порядок плоскої кривої лінії визначається найбільшою кількістю точок її перетину прямою лінією, або ступенем її рівняння. Лінія першого ладу – пряма. Криві лінії другого порядку – еліпс (приватний її вид – коло), парабола, гіпербола.

Окружність - замкнута крива, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від деякої точки О, що лежить у цій площині, яка називається центром. Рівняння кола: x 2 + y 2 = R2.

Еліпс - це безліч всіх точок площини, сума відстаней до двох заданих точок F1 і F2, званих фокусами, є постійна величина (2a ). Рівняння еліпса: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1.

Рисунок 5.2 – Лінії другого порядку: коло та еліпс

Парабола визначається рівнянням y 2 = 2px. Парабола має одну невласну точку, має одну віссю симетрії.

Гіперболу визначається рівнянням x2/a2 – y2/b2 =1. Гіпербола має центр і дві осі симетрії, має дві невласні точки.

Рисунок 5.3 – Лінії другого порядку: парабола та гіпербола

З просторових кривих ліній найбільший практичний інтерес становлять циліндрична та конічна гвинтові лінії.

Циліндрична гвинтова лінія - Це лінія, що описується точкою при рівномірному русі по прямій, при рівномірному обертанні її обертанні навколо паралельної осі.

Рисунок 5.4 – Гвинтова лінія

Висота, на яку підніметься точка А за один повний оборот називається кроком гвинтової лінії.

Фронтальна проекція циліндричної гвинтової лінії – синусоїда, горизонтальна – коло.

5.2 Утворення кривих поверхонь

Кривою поверхнею називається сукупність послідовних положень деякої лінії, що рухається у просторі за певним законом.

Поверхні можна задавати на кресленні такими способами:

1. Кінематичним – поверхня розглядається як безперервна безліч положень лінії, що переміщається в просторі, за певним законом.

Руну лінію називають утворює поверхні, а лінія,

якою переміщається утворювальна, називається направляючою (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5 – Кінематичний спосіб завдання поверхонь

2. Каркасом – за неможливості описати математично поверхню задають досить щільною мережею ліній, які належать цим поверхням. Каркас поверхні може складатися з просторових кривих або родин плоских перерізів (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6 – Завдання поверхні каркасом

3. Аналітичним – поверхня сприймається як безперервне двовимірне безліч точок. Координати точок цієї множини задовольняють деякому рівнянню F(x, y, z) = 0.

4. Визначником – сукупністю умов, необхідних та достатніх для однозначного завдання поверхні. Визначник поверхні

складається з геометричної та алгоритмічної частин D = [G] Λ [A]. Наприклад, поверхню циліндра обертання можна задати обертанням прямої навколо нерухомої осі i за допомогою визначника: D = Λ [A]. Геометрична частина визначника представлена ​​фронтальними проекціями осі та твірною. В алгоритмічній частині слід записати поверхню обертання (рисунок 5.7).

Рисунок 5.7 – Завдання поверхні визначником

5. Нарис – межею видимої частини поверхні на відповідній площині проекцій. Цей спосіб є найбільш наочним при вирішенні задач геометрії накреслення. Наприклад, поверхню прямого кругового циліндра можна подати проекціями його горизонтального та фронтального нарисів (рисунок 5.8).

Рисунок 5.8 – Завдання поверхні нарисом

Велике різноманіття поверхонь, різні способи формування, складності геометричних характеристик створюють труднощі спробах класифікації поверхонь.

Усі криві поверхні залежно від виду утворюють підрозділяються лежить на поверхні лінійчасті, які мають утворювальна – пряма лінія, і нелінійчасті, які мають утворююча – крива.

Окремі лінійчасті поверхні, якщо їм надати фізичні властивості гнучкості та нерозтяжності, можуть бути розгорнуті до суміщення з площиною без складок та розривів. Такі поверхні називаються розгортаються. Ті з лінійних поверхонь, які не задовольняють зазначеним вимогам, а також нелінійчасті поверхні називаються нерозгортається.

5.3 Поверхні: обертання, лінійчасті, гвинтові, циклічні

5.3.1 Поверхні обертання

Поверхнею обертання називається поверхня, що описується кривою (або прямою), що утворює при її обертанні навколо нерухомої осі.

Кожна точка, що утворює, описує при своєму обертанні коло з центром на осі. Ці кола називаються паралелями. Паралель найбільшого радіуса називається екватором , найменшого горлом (рисунок 5.9).

Криві, що виходять у перерізі тіла обертання площинами, що проходять через вісь, називаються меридіанами. Меридіан, паралельний фронтальній площині проекцій, називається головним.

Рисунок 5.9 – Поверхня обертання

До поверхонь, утворених обертанням прямої лінії, належать такі поверхні:

1. Циліндр обертання – утворюється обертанням прямої лінії навколо паралельної осі i.

2. Конус обертання – утворюється обертанням прямої лінії навколо віссю i, що перетинається з нею.

3. Однопорожнинний гіперболоїд обертання - отримують обертанням прямої лінії навколо віссю i, що схрещується з нею.

Гіперболоїд обертання може бути отриманий також обертанням гіперболи навколо її уявної осі.

Названі поверхні є також і лінійними поверхнями (рисунок 5.10).

Рисунок 5.10 – Поверхні обертання: циліндр, конус, гіперболоїд

До поверхонь обертання, утворених обертанням кола, відносяться:

1. Сфера – поверхня, утворена обертанням кола навколо свого діаметра;

2. Тор – поверхня, утворена обертанням кола навколо осі, що лежить у площині цього кола, але не проходить через її центр;

3. Кільце - поверхня, утворена обертанням кола навколо осі, що лежить поза коло.

Тор є поверхнею четвертого порядку.

Будь-яка поверхня вважається заданою, якщо її поверхні можна визначити положення будь-якої точки. Для побудови точок на поверх-

ності сфери або тора необхідно використовувати паралелі та меридіани цих поверхонь (рисунок 5.11).

Рисунок 5.11 – Поверхні обертання: сфера, тор, кільце

Поверхні обертання, утворені обертанням еліпса, параболи та гіперболи називаються відповідно: еліпсоїд обертання, параболоїд обертання, однопорожнинний гіперболоїд обертання (рисунок 5.12).

Малюнок 5.12 – Поверхні обертання: еліпсоїд, параболоїд, гіперболоїд

5.3.2 Лінійчасті поверхні

Поверхня, утворена рухом прямої лінії, називається лінійчастою.

Лінійчаста поверхня, утворена рухом прямолінійної утворює, що постійно проходить через деяку точку S і у всіх випадках перетинає деяку напрямну криву, називається конічною .

Лінійчаста поверхня, утворена рухом утворює, паралельної деякому напрямку і перетинає напрямну, називається циліндричною.

До лінійчастих поверхонь відноситься і поверхня з ребром повернення- утворюється переміщенням прямої лінії деякою просторовою кривою, причому утворююча пряма лінія залишається в кожній точці дотичної до криволінійної напрямної (рисунок 5.13).

Рисунок 5.13 – Лінійчасті поверхні: конічна, циліндрична, поверхня з ребром повернення

5.3.3 Гвинтові поверхні

Гвинтова поверхня утворюється гвинтовим переміщенням деякої лінії, що виробляє (рисунок 5.14).

Гвинтові поверхні з прямими лініями, що виробляють, називають гелікоїдами.

Гелікоїд називають прямим, якщо пряма лінія, що виробляє, становить з віссю z поверхні прямий кут. В інших випадках гелікоїд називають похилим або косим.

Малюнок 5.14 – Прямий та косий гелікоїди

5.3.4 Циклічні поверхні

Циклічною називається поверхня, що описується колом постійного або змінного радіусу при її довільному русі.

Прикладом циклічної поверхні може бути будь-яка поверхня обертання. Крім того, до них можна віднести каналові та трубчасті поверхні.

Каналова поверхня утворюється рухом кола змінного радіусу вздовж кривої напрямної.

Трубчаста поверхня утворюється рухом кола постійного радіусу вздовж кривої напрямної (рисунок 5.15).

Рисунок 5.15 –Циклічні поверхні: каналова та трубчаста

5.4 Узагальнені позиційні завдання

5.4.1 Перетин кривих поверхонь площиною

При перетині кривої поверхні площиною у загальному випадку виходить плоска крива (еліпс, коло). При перетині лінійних поверхонь площиною можуть виходити, окремо, і прямі лінії, якщо січна площина спрямована вздовж утворюють або проходить через одну точку (циліндра або конуса).

Для побудови лінії перетину кривої поверхні площиною використовують спосіб допоміжних площин, що січуть. Допоміжну площину вибирають так, щоб вона перетинала задану площину по прямій лінії, а поверхня по графічно простій лінії (кола або прямій лінії). Точки перетину цих ліній і будуть шуканими точками, що належать поверхні та січній площині.

Побудова проекцій лінії перерізу поверхні площиною значно спрощується, якщо січна площина займає проекційне поло-

ження. І тут одна з проекцій лінії перерізу вже є на кресленні: вона збігається з проекцією площині. Завдання зводиться лише побудувати інший проекції цієї лінії.

Розглянемо побудову лінії перерізу циліндра проеціюючою площиною (рисунок 5. 16).

Малюнок 5.16 – Перетин циліндра площиною, що проеціює

Циліндр перетинається площиною по еліпсу. Оскільки циліндр займає горизонтально проецірующее положення, то горизонтальну площину проекцій еліпс вироджується в коло, що збігається з горизонтальним нарисом циліндра. Оскільки січна площина ∑ займає фронтально проецірующее положення, фронтальна проекція еліпса вироджується у відрізок прямий 12 22 .

Розглянемо побудову лінії перерізу прямого кругового циліндра площиною загального положення (рисунок 5.17).

Алгоритм побудови:

1. Провести аналіз умови завдання. Оскільки циліндр займає горизонтально проецірующее положення, горизонтальна проекція еліпса перерізу вироджується в коло, а фронтальна - проектується в еліпс.

Точки видимості А і В - це точки, що розділяють фронтальну проекцію еліпса перерізу на видиму і невидиму частини. Проекції А2 та В2 визначаємо за допомогою допоміжної січної площини Q (фронтальної площини рівня), проведеної через проекції А1 та В1.

Близька та дальня точкиЗ і D визначаються за допомогою сіючих площин фронтального рівня, проведених через проекції С1 і D1 і циліндр, що перетинають, по ближній і дальній утворюючим, а задану площину – по відповідним фронталям. Проекції точок С2 та D2 знаходимо у перетині відповідних проекцій ліній.

Рисунок 5.17 – Перетин циліндра площиною загального положення

Вища та нижча точки перерізуДо L знаходяться на лінії ската, проведеної через вісь циліндра перпендикулярно до горизонталі заданої площини. Відрізок KL визначає становище великої осі еліпса.

Мала вісь еліпса MN розташована перпендикулярно до великої осі, їй перпендикулярна і проходить через вісь циліндра.

3. Визначити становище випадкових точок. Проводять допоміжні сіючі площини фронтального рівня і визначають положення випадкових проекцій точок на горизонтальній і фронтальній площинах проекцій.

4. Встановити видимість еліпса у передній поверхні проекцій. Встановити в проекціях взаємну видимість циліндра і площині, що сить.

У в результаті перетину прямого кругового конуса площинами можуть бути отримані лінії, характер яких можна передбачати в залежності від розташування конуса і площини, що сить. Цими лініями можуть бути: коло, еліпс, парабола, гіпербола, а у разі, якщо січна площина проходить через вершину конуса – пара прямих (рисунок 5.18).

Побудуємо лінію перерізу прямого кругового конуса проєкуючої площиною (рисунок 5.19).

Алгоритм побудови:

1. Провести аналіз умови завдання.

Поточна площина знаходиться у фронтально проецірующем положенні, отже фронтальна проекція еліпса перерізу вироджується у фронтальній проекції на відрізок прямої АВ.

2. Визначити положення опорних точок: верхня та нижня точки перерізу А та В визначають положення великої осі еліпса. Положення точок ближньої та далекої (C і D) визначають на малій осі еліпса, яка перпендикулярна до великої осі і знаходиться на середині відрізка АВ.

3. Визначити положення випадкових точок: K, L та M, N. Для їх побудови використовуються допоміжні січучі площини рівня, кото-

рі перетинають поверхню конуса по колах відповідних радіусів, а площину - по фронтально проекції прямим.

Рисунок 5. 18 – Конічні перерізи (коніки)

Малюнок 5.19 – Перетин конуса площиною, що фронтально проєкує.

5.4.2 Перетин кривої поверхні з прямою лінією

Результатом перетину кривої поверхні з прямою лінією є пара точок.

Пару точок перетину прямої лінії з кривою поверхнею умовно називають точками входу та виходу. Для побудови цих точок використовують метод допоміжних площин, що січуть.

Алгоритм побудови:

1. Будь-яку проекцію заданої прямої укладають у площину, що сить. (Зазвичай як допоміжну площину вибирають площини, що проеціюють.)

2. Будують проекції лінії перерізу поверхні площиною.

3. Визначають точки перетину отриманої лінії із заданою пря-

4. Визначають взаємну видимість прямої лінії та поверхні. Розглянемо різні випадки побудови точок перетину кривих

поверхонь із прямою лінією.

Розв'язання задач спрощується, якщо один із елементів (пряма або поверхня) знаходяться у приватному положенні (рисунок 5.20). В цьому випадку в одній із проекцій визначається положення проекцій точок перетину прямої лінії з кривою поверхнею.

Уклавши фронтальну проекцію заданої прямої в проецірующую січну площину в перерізі циліндра отримаємо еліпс, який спроектується на горизонтальну площину проекцій у вигляді кола, що збігається з горизонтальним нарисом поверхні циліндра. Точки перетину проецірующего циліндра з прямою визначаються на горизонтальній площині проекцій у перетині горизонтального нарису циліндра з проекцією прямої лінії. Встановлюється взаємна видимість прямої лінії та циліндра.

При знаходженні точок перетину прямої приватного положення з поверхнею конуса загального положення можна використовувати побудову утворюючих, що належать поверхні конуса. Побудувати точки перетину M і N та встановити взаємну видимість прямої та конуса.

Рисунок 5.20 – Приватні випадки перетину поверхонь із прямими лініями

Розглянемо загальний випадок перетину кривої поверхні з прямою лінією загального стану на прикладі перетину конуса з прямою лінією (рисунок 5.21). Це завдання вирішимо двома способами.

У першому випадку фронтальну проекцію прямої АВ укладаємо в площину, що проходить через вершину конуса (площина ABS). Ця площина перетне конус по прямих S1 і S2. Для побудови цих прямих знайдено лінію DC перетину площини ABS з площиною основи конуса і точки 1 і 2 її перетину з коло основи конуса. Точки перетину K та N прямої АВ з поверхнею конуса знайдені як результат перетину прямої CD із прямими S1 та S2. Визначаємо взаємну видимість прямої лінії та конуса.

У другому випадку пряма АВ укладена у фронтально проекцію площину, яка перетинає конус еліпсом. Точки перетину K і N знаходять як результат перетину побудованого еліпса з прямою

АВ і визначають взаємну видимість прямої лінії та січної площини.

Перший спосіб вирішення задачі найбільш раціональний.

Малюнок 5.21 – Перетин конуса із прямого загального положення

Для вирішення завдання визначення точок перетину сфери з прямого загального положення (рисунок 5.22) раціональніше використовувати спосіб зміни площин проекцій. При цьому укладають, наприклад, горизонтальну проекцію заданої прямої АВ горизонтально проецирующую площину. У перерізі сфери цією площиною отримують коло, яке на площину П4 спроектується без спотворення у вигляді кола,

а відрізок прямої А4 В4 - у свою натуральну величину. Точки перетину C і D визначають у перетині кола та прямий у площині П4, а потім визначають їх проекції на площині П1 та П2. Встановлюють видимість проекцій прямої та сфери відповідно до видимості побудованої лінії перерізу.

Рисунок 5.22 – Перетин сфери з прямого загального стану

5.4.3 Способи побудови ліній перетину кривих поверхонь

Дві криві поверхні перетинаються в загальному випадку за просторовою кривою лінією (рисунок 5.23) .

Малюнок 5.23 – Взаємне перетин кривих поверхонь

Лінію перетину двох кривих поверхонь будують її окремими точками. Ці точки визначають за допомогою допоміжних поверхонь-посередників. Перетинаючи задані поверхні деякою допоміжною поверхнею, отримують лінії перерізу, у перетині яких і знаходять точки, що належать одночасно обом поверхням і, отже, шуканої лінії перерізу.

Як поверхонь-посередників найчастіше вибирають площини чи сфери. Застосування цих поверхонь визначається типом і розташуванням поверхонь, що задаються.

5.4.3.1 Спосіб допоміжних сіючих площин

Спосіб допоміжних сіючих площин застосовують у тому випадку, коли обидві поверхні можна перетнути по графічно простих лініях (коло або прямим) деякою сукупністю проектують площин або площин рівня (рисунок 5.24).

Малюнок 5.24 – Перетин конуса та циліндра

Розглянемо застосування способу допоміжних сіючих площин рівня з прикладу завдання побудови лінії перетину циліндра і конуса (рисунок 5.25).

Малюнок 5.25 – Метод сіючих площин: перетин циліндра та конуса

Побудову почнемо з визначення опорних точок (верхня, нижня, права та ліва точки перерізу та точки видимості). Оскільки поверхня кругового циліндра знаходиться у фронтально проецірующем положенні, то ці точки знаходяться на фронтальному нарисі поверхні-кола, в яку проектується циліндр.

Сама лінія перерізу у фронтальній площині проекцій збігається з фронтальним нарисом циліндра та визначається областю накладання проекцій двох поверхонь.

Побудова проекцій верхньої та нижньої точок перерізу почнемо з визначення їх фронтальних проекцій 12 та 22 . Побудуємо їх на горі-

зонтальної площини проекцій на проекції головного меридіана та знайдемо горизонтальні проекції точок 11 та 21 .

Для побудови горизонтальних проекцій самої правої і лівої точок перерізу скористаємося способом площин рівня, що січуть. Положення допоміжної площини виберемо таким чином, щоб вона одночасно перетинала обидві поверхні графічно простими лініями - по колах або прямих лініях. Допоміжну січну площину - горизонтальну площину рівня - проведемо через фронтальні проекції точок 3 і 4. У цьому випадку поверхня кругового циліндра буде перетинатися нею по прямих лініях, а поверхня кругового конуса - по колу. Горизонтальні проекції точок 31 та 41 будуть отримані у перетині горизонтальних проекцій ліній перерізу.

Точки 3 і 4 є одночасно і точками видимості горизонтальної проекції лінії перерізу, тобто. розмежовують цю проекцію на видиму та невидиму частини.

Всі інші точки, що належать лінії перерізу, будуть допоміжними та їх вибір має випадковий характер. Кількість випадкових точок визначається точністю побудови: що більше їх, то точніше виконано рішення.

Зупинимося докладніше на побудові пари випадкових точок 5 і 6. Для цього у фронтальній площині проекцій виберемо пару точок, що конкурують, і скористаємося допоміжною січною площиною горизонтального рівня для визначення їх горизонтальних проекцій.

З'єднавши збудовані проекції точок плавною кривою лінією, отримаємо горизонтальну проекцію лінії перерізу двох поверхонь. При цьому в горизонтальній площині проекцій враховуватимемо положення точок видимості. Ділянка лінії перерізу, що знаходиться вище точок 3 та 4,

буде видимим, а нижче за них – невидимим. Фронтальна проекція цієї лінії збігається з фронтальним нарисом циліндричної поверхні і, будучи симетричною, буде видимою.

Таким чином, для побудови лінії перетину поверхонь необхідно:

1. Визначити які поверхні перетинаються і чи є завдання завдання проекції лінії перетину.

2. Визначити положення опорних точок.

3. Вибрати положення допоміжних сіючих площин.

4. Знайти положення інших опорних і випадкових точок за допомогою вибраних площин, що січуть.

5. Накреслити проекції лінії перетину, що шукається.

6. Визначити видимість.

Для побудови лінії перетину поверхонь, що не мають загальної площини симетрії, використовують метод площин, що січуть (рисунок 5.26). Для визначення положення точок 1 і 2 через вісь симетрії конуса проведемо фронтальну площину рівня Σ, яка перетинає конус – по головному меридіану, а сферу – по колу. Визначають фронтальні проекції точок 12 і 22 а потім - проекції 11 21 .

Положення вищої та нижчої точок (3 і 4) визначають за допомогою січої площини Q, що проходить через центри конуса і сфери і є площиною симетрії двох поверхонь. Для визначення проекцій точок 32 42 і 31 41 був використаний спосіб обертання отриманих перерізів (меридіанів обох поверхонь) навколо осі, що проходить через вісь симетрії конуса.

Рисунок 5.26 – Перетин конуса та сфери – спосіб січених площин

Точки видимості для горизонтальної площини проекцій (5,6) визначають за допомогою площини, проведеної через екватор сфери.

Положення випадкових точок визначаємо за допомогою площин горизонтального рівня.

Точки видимості для передньої площини проекцій будуть на головному меридіані сфери. Якщо провести січну площину через головний меридіан сфери, то в перерізі сфери буде коло, а в перерізі конуса – гіпербола. Визначимо приблизне становище цих

точок після побудови загальної лінії перерізу поверхонь.

З'єднуємо проекції збудованих точок з урахуванням видимості у відповідних площинах проекцій.

5.4.3.2 Спосіб допоміжних сіючих сфер

Використання способу допоміжних секучих сфер засноване на властивості, властивій поверхням обертання. Воно полягає в тому, що дві

будь-які співвісні поверхні обертання перетинаються колами, що проходять через точки перетину меридіанів поверхонь.

При цьому площини кіл перетину перпендикулярні осі обертання, а центри кіл належать цій осі. Тому, якщо осі поверхонь обертання паралельні площині проекцій, то цю площину кола перетину проектуються у відрізки прямих, перпендикулярних проекціям осей поверхонь обертання, але в іншу площину – як окружностей.

Як допоміжна січна поверхня обертання зручно використовувати сферичну поверхню, центр якої повинен належати осі поверхні обертання (рисунок 5.27).

Рисунок 5.27 – Властивість сфер, що січуть

У Залежно від взаємного розташування поверхонь, розрізняють два можливі варіанти розв'язання задач з використанням способу посічених сфер:

1. Осі обох поверхонь паралельні площині проекцій.

2. Пересічні поверхні мають загальну площину сім-

У в першому випадку використовується спосіб концентричних секучих сфер (рисунок 5.28), у другому - ексцентричних секучих сфер.

Рисунок 5.28 – Спосіб концентричних сіючих сфер: перетин конусів

Зупинимося докладніше на використанні способу концентричних секучих сфер для вирішення задачі на побудову лінії перетину двох конусів (рисунок 5.29).

Побудова лінії перетину починають із визначення положення проекцій опорних точок. Проекції точок 12 , 22 і 32 , 42 – найвищі та нижні точки в області входу поверхонь конусів та в області їх виходу. Їх горизонтальні проекції11 21 31 41 отримують проектуванням на вісь симетрії в горизонтальній площині проекцій.

Для отримання інших точок лінії перетину поверхонь використовують спосіб концентричних секучих сфер. Центр січних сфер вибирають у передній поверхні проекцій у перетині осей симетрії поверхонь. Побудова починають з визначення мінімального радіусу секущої сфери – величини більшого з двох перпендикулярів, опущених з центру сфер на утворюючі поверхні конусів.

Малюнок 5.29 - Спосіб концентричних сіючих сфер

Побудуємо точки, що належать лінії перетину поверхонь, як результат перетину двох хорд (просторових кіл, якими допоміжна сфера перетинає конуси).

Побудуємо випадкові точки, що належать лінії перетину – точки 5 і 6, за допомогою сікучої сфери, радіус якої вибирають з діапозону: більше мінімального і менше максимального (від центру до проекції точки 22).

З'єднуємо проекції лінії перерізу з урахуванням їхньої видимості у відповідних проекціях.

Розглянемо використання метод ексцентричних сіючих площин для вирішення задачі на визначення перетину конуса та сфери, що мають загальну площину симетрії (рис. 5.30).

Малюнок 5.30 – Співвісний конус та сфера

Побудова лінії перетину починаємо з визначення положення верхньої та нижньої точок перерізу (12, 22) у перетині фронтальних нарисів поверхонь та визначимо їх горизонтальні проекції 11 та 21 (рисунок 5.31). Інші точки визначаємо за допомогою сіючих сфер, проведених з одного або різних центрів, що лежать на осі симетрії конуса.

Малюнок 5.31 – Перетин конуса та сфери – спосіб сфер

Пари точок 3,4 та 5,6 визначають спочатку у фронтальній площині проекцій у перетині хорд від відповідних перерізів допоміжною сферою заданих поверхонь. Потім вибудовують їх горизонтальні проекції. Видимість лінії перетину визначають горизонтальній площині проекцій, використовуючи січну площину, що проходить через екватор сфери. У передній поверхні проекцій лінія перерізу, будучи симетричною, проектується на видиму плавну криву.

Метод ексцентричних секучих сфер використовують при побудові лінії перетину відкритого тора і усіченого конуса (рисунок 5.32). Верхню та нижню точки перерізу А та В знаходяться у площині головного меридіана обох поверхонь і тому визначаються їх фронтальними проекціями у перетині нарисів поверхонь. Потім вишиковуються їх горизонтальні проекції А1 і В1.

Малюнок 5.32 – Спосіб ексцентричних сфер: перетин тора та конуса

Інші точки будуються за допомогою сіючих сфер, що перетинають поверхню кільця по його меридіональних кіл. Для знаходження центрів сікних сфер проводять площини, що проходять, проходять центр кільця. Через точку перетину цієї площини та осі тора проводять дотичну до перетину з віссю конуса – ця точка і буде центром секучої сфери загальної як для тора, так і для конуса. Проекції точки C2 і D2 визначають у перетині хорд (просторових кіл) на поверхнях тора і конуса. Визначають положення утворюють і будують проекції C1 і D1 відповідні проекції утворюють тора.

Точки видимості горизонтальної проекції лінії перерізу визначають на осі симетрії усіченого конуса у фронтальній площині проекцій (проводять площину горизонтального рівня) і визначають горизонтальні проекції точок видимості (L1 і N1 ). У передній поверхні проекцій лінія проектується у вигляді видимої кривої.

5.5 Дотичні лінії та площини до поверхні

Пряма лінія, що лежить в одній площині з кривою, може перетинатися з нею у двох і більше точках. Така пряма називається січною. Якщо січну переміщувати так, щоб довжина дуги АВ між двома точками перетину наближалася до нуля, то в граничному положенні січка займе положення t і називатиметься дотичною (рисунок 5.33).

Дотична вказує напрямок руху по кривій у кожній точці дотику.

Площина, що стосується поверхні, має спільну з цією поверхнею точку, пряму або плоску криву лінію. Площина в одному місці може торкатися поверхні, а в іншому перетинати її. Лінія дотику може одночасно бути і лінією перетину поверхні площиною.

Малюнок 5.33 – Стосовно кривої

У загальному випадку площина, дотична до поверхні являє собою безліч прямих ліній, що стосуються будь-яких кривих, приналеж-

що стягує поверхні і проходить через задану точку цієї поверхні.

Для завдання дотичної площини до будь-якої поверхні достатньо через задану на поверхні точку провести криві, що належать поверхні і побудувати до кожної з них пряму дотичну, що проходить через одну точку. Ці прямі та визначать дотичну площину. Дотична до поверхні площина є граничним положенням площини, що січе.

Пряму лінію, що проходить через точку дотику і перпендикулярну до дотичної площини, називають нормаллю поверхні даної точки. Нормаль поверхні в даній точці визначає напрямок площини, що стосується поверхні в цій точці (рисунок 5.34).

Не в кожній точці поверхні можна побудувати дотичну поверхню. У деяких точках дотична площина не може бути визначена або не єдина. Такі точки називаються особливими точками поверхонь, наприклад точки ребра повернення поверхні торса, вершина конічної поверхні, точки поверхні обертання, де меридіан та вісь перетинаються не під прямим кутом та ін.

Малюнок 5.34 - Дотична площина

Завдання побудови дотичних площин, що проходять через задану точку на поверхні, зводиться до наступного:

1. Через точку на кривій поверхні проводять дві будь-які січучі

площині.

2. Знаходять лінії перерізу поверхні цими площинами.

3. Будують дотичні в цій точці до ліній перерізу.

Дві дотичні визначають собою потрібну площину. При виборі площин, що січуть, прагнуть отримати найпростіший вид перерізу - пряму лінію або коло.

Розглянемо випадок побудови дотичної площини через точку А, що належить поверхні конуса обертання (рисунок 5.35).

Для побудови двох необхідних перерізів одна січна площина проведена через задану точку А та вершину конуса. Ця площина перетне поверхню конуса по утворюючою лінією торкання, і тому є однією з прямих, які визначають дотичну площину. Друга пряма m, що стосується кола перерізу конуса горизонтальною площиною рівня, проведеної через точку А. Дотичну можна було провести і до кола основи конуса.

Рисунок 5.35 – Дотична площина до конуса

5.6 Розгорнення поверхонь

Розгорткою поверхні називається плоска фігура, що утворюється при суміщенні поверхні із площиною.

З геометричних властивостей елементів поверхонь, що зберігаються при розгортанні, можна відзначити, що лінія поверхні перетворюється на лінію розгортки і що довжини ліній, величини плоских кутів і площ, обмежених замкнутими лініями, залишаються незмінними.

Не всі поверхні можна розгорнути на площину. Тому поверхні поділяються на розгортаються і нерозгортаються. До поверхонь, що розгортаються, відносяться лінійчасті поверхні: циліндри, конуси і торси, оскільки суміжні утворюють паралельні або перетинаються, тобто. утворюють площину.

Для побудови розгортки прямого кругового циліндра потрібно побудувати прямокутник із основою 2πR, де R – радіус кола основи. Висота прямокутника дорівнює висоті циліндра (рисунок 5.36).

2. Які лінії виходять при перетині циліндра обертання площинами?

3. Які криві утворюються при перетині конуса обертання площинами?

4. Які точки кривої лінії перерізу є екстремальними?

5. У яких випадках для побудови лінії перетину двох кривих поверхонь рекомендується застосовувати метод допоміжних площин, що січуть, або метод допоміжних сіючих сфер?

6 КОМП'ЮТЕРНА ГРАФІКА

6.1 Комп'ютерна графіка та її місце в автоматизованому проектуванні

Комп'ютерна графіка вивчає методи та засоби створення та обробки зображень за допомогою програмно-апаратних комплексів.

Комп'ютерна графіка включає комплекс різноманітних програмних засобів, що використовуються для формування, перетворення та видачі на засоби відображення (дисплеї, графобудівники) інформації у візуальній формі.

Серед апаратних засобів можна виділити спеціалізовані пристроїі пристрої загального застосування.

До перших відносяться такі засоби введення як світлове перо, цифрові планшетизасоби виведення – графопобудівники(Рисунок 6.1).

Малюнок 6.1 – Спеціалізовані пристрої

До других - пристрої введення-маніпулятори типу «миша» і «джойстик», і пристрої виведення-растрові графічні дисплеї, принтери, клавіатура(Рисунок 6.2).

Програмне забезпечення орієнтоване на такі основні види графіки: ділову, ілюстративну, наукову, конструкторську (для САПР), картографічну (архітектурні та землевпорядні САПР), образотворче мистецтво та рекламу.

Комп'ютерна графіка розвивалася у руслі загального розвитку обчислювальної техніки та програмного забезпечення. Спочатку створювалися програми виведення графіків у складі прикладних пакетів у складі мов високого рівня. Наприклад, у складі прикладних пакетів мови ФОРТРАН було створено пакет ГРАФОР.

Рисунок 6.2 – Пристрої загального застосування

У Надалі створення графічних програм виділилося в самостійний напрямок програмного забезпечення.

У Залежно від способу формування зображень комп'ютерну графіку поділяють на:

∙ растрову графіку;

∙ векторну графіку;

∙ фрактальну графіку.

Елементом зображення у растрових редакторах є точка. Крапка може мати кілька параметрів: координати, колір, тон, прозорість. Зображення складається шляхом систематизації точок. При цьому має місце показник роздільної здатності зображення - кількість точок на одиницю площі зображення. Сучасні засоби інженерної графіки дозволяють створювати зображення з роздільною здатністю 2540 dpi (точок на дюйм) та більше. Кожна точка вимагає адресації для зберігання носіїв. Значний обсяг даних, що оброблюються, а також даних, необхідних для збереження зображень, є істотним недоліком растрової графіки.

Загальним недоліком растрових редакторів є те, що при збільшенні масштабу зображення точки збільшуються відповідно, тому при укрупненні зображення втрачається його роздільна здатність і, як наслідок, точність; неможливість роботи з елементами (укрупнені зображення) – пікселізація.

Оскільки елементом зображення є точка, лінія вже вимагатиме систематизації точок. З цього можна дійти невтішного висновку, що створення двовимірних і тривимірних об'єктів істотно ускладнюють опис зображення, збільшуючи обсяги оброблюваних і збережених даних.

До растрових редакторів належать Paint, Adobe Photoshop та ін. Вони призначені для створення таких зображень як: художні малюнки, ілюстрації, графіки (рис. 6.3).

Рисунок 6.3 – Приклади використання растрової графіки

У векторній графіці базовим елементом є лінія. Лінія описується математично як єдиний об'єкт, і тому обсяг даних для відображення об'єкта у векторній графіці суттєво нижчий, ніж у растровий.

Усі розглянуті графічні редактори є або найпростішими редакторами, наприклад, Paint, або редакторами широкого спектра

Три основні блоки: імітатор, розрахунковий блок та експертна система – виконують усі основні процедури, в яких може виникнути потреба під час проведення конструкторських робіт.

Розрахунковий блок може виконати будь-яку програму з пакета прикладних програм, де знаходяться всі потрібні програми, використовувані розробниками. Виклик тієї чи іншої програми здійснюється на вимогу або імітатора або експертної системи, чи самого конструктора.

База даних

Блок формування завдань

Користувач

Малюнок 6.5 – Типова схема САПР Блок формування завданьпроектувальник вводить технічне

завдання на проектування, в якому зазначені всі цілі, яких необхідно досягти при проектуванні, та всі обмеження, які не можна порушити.

Блок підготовки технічної документації дозволяє проектувальнику готувати потрібні документи двох останніх етапів створення нових виробів.

У конкретних системах можуть бути відхилення від даної типової схеми.

Розглянемо конкретні приклади САПР та інженерних графічних редакторів та систем CAD/CAM/CAE

6.3 Функціональні можливості модулів 2D-3D-моделювання

Графічна система AutoCAD є фактичним стандартом інженерних графічних систем. Останні версії AutoCAD є сучасними 32-розрядними Windows-додатками для інженерів та користувачів САПР. Система AutoCAD дозволяє організувати ефективне робоче середовище і, таким чином, дозволяє проектувальникам концентруватися переважно на проектах і меншою мірою приділяти час введення параметрів з клавіатури.

Такі функції, як багатозадачне середовище проектування Multiple Design Environment, центр управління AutoCAD DesignCenter, підтримка Intellimouse та багато інших, підтримують природне, інтуїтивно-зрозуміле, ефективне робоче середовище.

SOLIDCAM – продукт компанії CADTECH Ltd. - потужний

інструмент отримання керуючих програм для верстатів з ЧПУ при обробці деталей, що містять складну по-

верхівкову або твердотільну геометрію. SOLIDCAM забезпечує 2.5 та 3-осьову фрезерну обробку з гаран-

тованою відсутністю "підрізів", токарну обробку

тіл обертання, візуалізацію процесу різання з імітацією видалення матеріалу.

Рисунок 6.6 – Використання програми SOLIDCAM у виробництві

Система bCAD розроблялася широкого спектра додатків, тому її функціональність досить універсальна (рисунок 6.7).

Система bCAD спроектована і розроблена як універсальне робоче місце проектувальника, що дозволяє проводити широкий спектр робіт у наскрізному режимі - від креслення до об'ємної моделі або, навпаки, від тривимірного уявлення до плоских проекцій. При цьому є можливість виготовлення технічної документації відповідно до вимог стандартів, отримання реалістичних зображень, підготовки даних для розрахункових систем.

Малюнок 6.7 - Вікно системи bCAD

Підготовлені в bCAD растрові зображення можуть бути записані у форматах GIF, TGA, BMP, JPG, TIFF або PCX та використовуватися у видавничих або ілюстративних пакетах.

Останнім часом при розробці конструкторської документації у процесі технічних вузів широко використовується система КОМПАС-3D, розроблена російською компанією АСКОН.

Креслення-конструкторський редактор КОМПАС-3D містить достатній креслярський інструментарій для виконання креслень будь-якого рівня складності з повною підтримкою російських стандартів. Простий і зрозумілий інтерфейс цієї програми вдало поєднується з гнучкістю професійної системи при побудові, виділенні, видаленні об'єктів креслення, наборі тексту за ГОСТ, проставляння розмірів всіх типів, допусків форми та розташування поверхонь, позицій, баз і т.д.

КОМПАС-3D розроблений спеціально для операційного середовища MS Windows і повною мірою використовує всі її можливості та переваги, надаючи користувачеві максимальну ефективність та зручність у роботі.

У КОМПАС-3D підтримуються такі графічні об'єкти.

текстовий напис, позначення бази, допуск форми та розташування,

Об'єкти оформлення креслення: технічні вимоги, основний напис (штамп), позначення шорсткості невказаних поверхонь.

Основними документами у системі КОМПАС-3D є:

креслення, фрагмент, текстовий документ, специфікація, складання та деталь.

Основне завдання, яке вирішується за допомогою будь-якої креслярської системи - створення та випуск різної графічної документації (рисунок 6.10).

Рисунок 6.10 – Фрагмент креслення деталі у КОМПАС-3D

Найбільш простим та зрозумілим способом побудови є пряма вказівка ​​курсором точок на полі введення. Наприклад, при створенні відрізка виконується послідовна фіксація початкової точки, а потім кінцевої точки.

Іншим способом є вказівка ​​точних значень координат для переміщення в потрібну точку та її наступна фіксація. Для відображення та введення координат призначені спеціальні поля X та Y, що відображаються у правій частині Рядки поточного стану.

І, нарешті, найширші можливості управління креслярськими об'єктами дозволяє реалізувати ряд параметрів об'єктів.

Зсув об'єктів креслення або фрагмента можна або за допомогою миші, або вдаючись до команд меню.

Базовими прийомами роботи є: - переміщення об'єктів за допомогою миші; копіювання об'єктів за допомогою миші; просте видалення графічних об'єктів; редагування характерних точок об'єктів; редагування параметрів об'єктів.

Система КОМПАС-3D здатна формувати тривимірні моделі деталі з метою передачі геометрії в різні розрахункові параметри або пакети розробки керуючих програм для обладнання з ЧПУ, а також створювати конструкторську документацію на розроблені деталі (рисунок 6.11).

Малюнок 6.11Приклад роботи в КОМПАС-3D

Основні завдання, які вирішує КОМПАС-3D - формування тривимірної моделі деталі з метою передачі геометрії в різні розрахункові пакети або в пакети розробки керуючих програм

рудування з ЧПУ, а також створення конструкторської документації на деталі, що розробляються.

Загальноприйнятим порядком моделювання твердого тіла є послідовне виконання булевих операцій (об'єднання, віднімання та перетину) над об'ємними елементами (сферами, призмами, циліндрами, конусами, пірамідами тощо). Приклад виконання таких операцій показано на малюнку 6.12.

Рисунок 6.12 – Приклад виконання булевих операцій

Булеві операції над об'ємними елементами: а) циліндр; б) об'єднання циліндра та призми; в) віднімання призми; г) віднімання циліндра.

У КОМПАС-3D для завдання форми об'ємних елементів виконується таке переміщення плоскої фігури у просторі, слід від якого визначає форму елемента (наприклад, поворот дуги кола навколо осі утворює сферу або тор, зміщення багатокутника – призму тощо). Утворення об'ємних елементів: а) призми; б) тора; в) кінематичного елемента (рисунок 6.12).

Малюнок 6.12 – Освіта об'ємних елементів

Плоска фігура, на основі якої утворюється тіло, називається ескізом, а формоутворююче переміщення ескізу - операцією.

Питання для самоконтролю на тему 6:

1. Що включає поняття «комп'ютерна графіка»?

2. Що належить до апаратних засобів комп'ютерної графіки?

3. Перелічіть основні види графіки.

4. За способом формування зображень комп'ютерна графіка поділяється на ……….. У чому різниця?

5. Що є базовим елементом фрактальної графіки?

6. Що є основним елементом векторної графіки?

7. Якими є елементи типової системи автоматизованого проектування?

8. Назвіть відомі вам інженерні графічні системи.

9. Які операції використовують для моделювання твердого тіла?

Список літератури

1. Ринін Н.А. Нарисна геометрія. Ортогональні проекції. Петроград, 1918. - 334 с.

2. Гордон В.О. Курс нарисної геометрії / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огієвський. – М: «Наука», 2002. – 382с.

3. Вінницький І.Г. Нарисна геометрія. Підручник для вишів. - М.: «Вищ.школа», 1975. - 280с., З іл.

4. Порсін Ю.А. Аксонометричні зображення машинобудівних деталей.Вид.2-е, перероб. і доп.-Л.: "Машинобудування", 1976. - 232с., З іл.

5. Виноградов В.М. Нарисна геометрія. Мінськ, «Вишийш. Школа», 1977.-308с., з іл.

6. Бубенніков А.В. Нарисна геометрія. Підручник для вузів.- М.:

Вищ. шк., 1985.-288с., іл.

7. Арустамов Х.А. Збірник задач з накреслювальної геометрії

/ Х.А. Арустамов. - М: "Машинобудування", 1981. - 446с.

8. Інженерна графіка: загальний курс: Підручник / За ред. Н.Г. Іванцівській та В.Г. Бурова.- Вид. 2-ге, перероб. і доп.-М.: Логос, 2004. - 232с.: Ілл.

9. Пекліч В.А. Нарисова геометрія / Навчальне видання. - М.: Видавництво Асоціації будівельних вузів, 2007.-272с., З іл.

ДПОУ «Усинський політехнічний технікум»

Відкритий урок з геометрії

Тема «Перпендикулярність прямої та площини».

Виконав: викладач математики Мельникова О.О.

Усинськ, 2016 р.

Тип уроку:Урок-семінар

Цілі уроку :

Узагальнити, закріпити та систематизувати знання учнів з цієї теми, вміння застосовувати ці знання під час вирішення завдань; показати практичну значущість матеріалу, що вивчається; вивчити зв'язок між відносинами паралельності та перпендикулярності у просторі; показати міжпредметний зв'язок.

Виховувати культуру усного та писемного мовлення, сприяти вихованню естетичного смаку, прищеплювати інтерес до предмета математики.

Розвивати просторове та логічне мислення.

Обладнання для уроку: картки з назвами Теоретики, Практики, Дослідники, завдання груп, ПК, проектор.

План уроку.

I. Організація учнів.

Учням пропонуються картки з назвами Теоретики, Практики, Дослідники та виробляється розподіл на 3 групи.

ІІ. Постановка цілей та завдань уроку.

Кажуть, що математика-наука нецікава, що математика - суха наука, що про неї можна говорити лише в кабінеті математики, на уроці. Ні, життя доводить протилежне: математика повсюди довкола нас. Слухайте, що пише про це Роман Бухараєв у вірші “Геометрія трав”.

Математик нездійснений, мандрівник,
Оглянися, дивуючись стократ:
У травах - зріз вовчака - п'ятигранник,
А в перерізі материнки – квадрат.
Все на світі з'явиться знову
Під гольцем, чия вершина в снігу:
Водозбір - трикутний в основі
На квітучому альпійському лузі!
Де ж коло?
Біля голки троянди.
Там, де луг піднебесний скеліст,
Бачу, з вітром грає берези
Трикутно-ромбічний лист.

Але я погоджуся з тим, що математика наука точна, яка потребує чіткості визначень та доказів фактів. І тому зараз пропоную від лірики перейти до практики.

Ви вивчили дуже важливу тему геометрії "Перпендикулярність прямої та площини". В результаті вивчення цієї теми ви повинні:

знати визначення перпендикулярних прямих та прямих, перпендикулярних до площини.

вміти формувати та доводити теореми (пряму та зворотну) про паралельні прямі, прямі, перпендикулярні до площини, ознаку перпендикулярності прямої та площини, теорему про пряму, перпендикулярну до площини.

Вирішувати задачі типу 119, 121, 126, 128, 131 (уч. "Геометрія 10-11", автор Атанасян Л.С.)

Викладач знайомить із цілями уроку.

ІІІ. Закріплення знань та умінь.

На уроці працюватимуть 3 групи "Теоретики", "Практики", "Дослідники".

Викладач дає завдання групам, виготовлене на листах. Вказує порядок оцінювання.

Перед початком роботи груп - фронтальна перевірка готовності.

Яким може бути взаємне розташування 2-х прямих у просторі? (Прямі можуть перетинатися, схрещуватися і бути паралельними.)

Які дві прямі називають паралельними? (Паралельні прямі називаються прямі , які лежать в однійплощині або збігаються, або не перетинаються.)

Які дві прямі називають такими, що схрещуються? ( Прямі називаються такими, що схрещуються, якщо одна з прямих лежить у площині, а інша цюплощина перетинає в точці не належить першої прямої.)

Якщо кут між двома прямими 900 як їх називають? (Перпендикулярні прямі)

Яку пряму називають перпендикулярною до площини? (Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Чи правильне твердження:

a) Будь-яка пряма перпендикулярна до площини, що перетинає цю площину? (вірно)
b) Будь-яка пряма, що перетинає площину, перпендикулярна до цієї площини? (неправильно)
c) Якщо пряма не перпендикулярна до цієї площини, то вона не перетинає цю площину? (неправильно)

Пряма а паралельна прямий і не перетинає площину?. Чи може пряма бути перпендикулярною до площини? Відповідь обґрунтуйте. (Не може бути, оскільки якщо пряма в перпендикулярній площині, то і пряма і перпендикулярна площині, що неможливо, тому що за умовою пряма а не перетинає площину, отже вона паралельна площині)

1. Завдання групи «Теоретики».

Довести лему про перпендикулярність двох паралельних прямих до третьої прямої.

Лемма. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша пряма перпендикулярна до цієї прямої.

Дано: a ‖ b, a ⊥ c

Довести: b ⊥ c

Доведення:

Через точку М простору, що не лежить на даних прямих, проведемо прямі МА і МС, паралельні відповідно до прямої а і с. Оскільки ⊥ с, то ∠ АМС=90о.

За умовою, b ‖ a, а за побудовою а ‖ МА, тому b ‖ МА.

Отже, прямі b і паралельні відповідно прямим МА і МС, кут між ними дорівнює 90о, тобто. b ‖ МА, з ‖ МС, кут між МА та МС дорівнює 90о

Це означає, що кут між прямими b і також дорівнює 90о, тобто b ⊥ с. Лемма доведена.

Довести теореми (пряму та зворотну) про паралельні прямі, прямі, перпендикулярні до площини.

Теорема:(Пряма) Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і інша пряма перпендикулярна до цієї площини.

Запис на дошці та у зошитах:

Д ано: а ‖ а1, а ⊥ α

Довести, що а1 ⊥ α

Доведення:

Проведемо якусь пряму x у площині α, тобто. x ∊ α. Оскільки а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемі про перпендикулярність двох паралельних прямих до третьої а1 ⊥ x.

Таким чином, пряма а1 перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині α, тобто а1 ⊥ α. Теорему доведено.

Теорема:(зворотна) Якщо дві прямі перпендикулярні до площини, вони паралельні.

Дано: а ⊥ α, b ⊥ α

Довести, що а ‖ b

Доведення:

Через якусь точку М прямої b проведемо пряму b1, паралельну до прямої а.

М∊b, M∊b1, b1‖a. За попередньою теоремою b1 ⊥ α.

Доведемо, що пряма b1 збігається із прямою b. Тим самим будемо доведено, що ‖ b. Припустимо, що прямі b1 і b не збігаються. Тоді в площині, що містить прямі b і b1, через точку М проходять дві прямі, перпендикулярні до прямої с, по якій перетинаються площини і β. Але це неможливо, отже, а ‖ b, тобто. b ∊ β, b1 ∊β, α β=c (неможливо)→ а ‖ b.

Сформувати та провести аналіз доказу ознаки перпендикулярності прямої та площини.

Ознака перпендикулярності прямої та площини:Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна і самій площині

Після закінчення групи «Теоретики» викладач надає слово учню з історичною довідкою «Провішування прямою».

Для проведення довгих відрізків прямих (при прокладанні траси шосейної або залізниці, ліній електропередач і т.д.) застосовується спосіб, званий провішуванням прямий, який полягає у використанні всіх жердин, що мають довжину близько 2 м., загострених з одного кінця для того щоб їх можна було встромити в землю. Якщо потрібно провести пряму лінію між двома точками А та В, положення яких дано, то спочатку у цих точках ставляться віхи; потім між ними встановлюється проміжна віха так, щоб віха А і С закривали віху В. Необхідно, щоб всі віхи стояли вертикально. Правильність вертикального напрямку перевіряється за допомогою схилу. Виска - це шнур, на кінці якого укріплений невеликий вантаж. Здавалося б, у цій простій процедурі провішування прямо все ясно. Але й тут є багато питань, про які слід подумати, а відповіді на них дають вивчення нашого курсу та інших дисциплін. По-перше, чому всі виска світу дивляться в центр Землі, а з точки зору геометрії- визначають пряму, перпендикулярну її поверхні? По-друге, віха повинна бути паралельна схилу, і тоді вона також буде перпендикулярна поверхні Землі. Таким чином, всі віхи перпендикулярні поверхні Землі і, отже, паралельні між собою.

Такий спосіб отримав назву провішування прямої на місцевості. Слово "провішування" - похідне від слова "віха".

2. Завдання для групи «Практики».

Показати застосування теорії під час вирішення завдань № 126, 127, 128,131 (стор. 42 уч. “Геометрія 10-11 автор Атанасян Л.С.)

3. Завдання для групи "Дослідники".

Вивчити зв'язок між відносинами паралельності та перпендикулярності у просторі. Перевірку здійснити за допомогою таблиці.

Дано пряму а, перпендикулярну до площини α, і пряму b. Вкажіть взаємне розташування прямих а та b:

Якщо b паралельна, то……

Якщо b перпендикулярна, то ……

Якщо b паралельна чи належить , то….

Якщо b перпендикулярна, то……

Дано пряму а, перпендикулярну до площини α, і площину .

Якщо паралельна, то……

Якщо перпендикулярна, то ……

Якщо паралельна а чи а належить, то…..

Якщо перпендикулярна, то……

Наведіть приклади навколишнього середовища, що ілюструють перпендикулярність прямої і площини.

Після закінчення роботи груп учні наводять приклади розташування прямих у завданнях з фізики (міжпредметний зв'язок)

Згадайте про силу тиску. Як вона спрямована? (Перпенд. Площини поверхні).

Тіло на горизонтальній поверхні. Як на будь-яке тіло на нього діє сила тяжіння? Який її напрямок?

Тіло опущене у рідину. На нього діє виштовхувальна сила. Який її напрямок?

IV. Підбиття підсумків уроку. Виставлення оцінок.

V. Домашнє завдання.

П.15 - 16, питання 1, 2 (стор. 57), №116, 118.

На цьому уроці ми повторимо теорію та доведемо теорему-ознаку перпендикулярності прямої та площини.
На початку уроку згадаємо визначення прямої, перпендикулярної до площини. Далі розглянемо і доведемо теорему-ознака перпендикулярності прямої та площини. Для підтвердження цієї теореми згадаємо властивість серединного перпендикуляра.
Далі вирішимо кілька завдань на перпендикулярність прямої та площині.

Тема: Перпендикулярність прямої та площини

Урок: Ознака перпендикулярності прямої та площини

На цьому уроці ми повторимо теорію та доведемо теорему-ознака перпендикулярності прямої та площини.

Визначення. Пряма аназивається перпендикулярною до площини α, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Доведення.

Нехай нам дано площину α. У цій площині лежать дві прямі, що перетинаються. pі q. Пряма аперпендикулярна до прямої pі прямий q. Нам потрібно довести, що пряма аперпендикулярна до площини α, тобто, що пряма а перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині α.

Нагадування.

Для підтвердження нам необхідно згадати характеристики серединного перпендикуляра до відрізка. Серединний перпендикуляр рдо відрізка АВ- це геометричне місце точок, що рівно віддалені від кінців відрізка. Тобто, якщо точка Злежить на серединному перпендикулярі р, то АС = ВС.

Нехай крапка Про- точка перетину прямої ата площини α (рис. 2). Без обмеження спільність, будемо вважати, що прямі pі qперетинаються у точці Про. Нам потрібно довести перпендикулярність прямої адо довільної прямої mіз площини α.

Проведемо через точку Пропряму l, паралельно прямий m.На прямий авідкладемо відрізки ОАі ОВ, причому ОА = ОВ, тобто точка Про- середина відрізка АВ. Проведемо пряму PL, .

Пряма рперпендикулярна до прямої а(З умови), (По побудові). Значить, р АВ. Крапка Рлежить на прямій р. Значить, РА = РВ.

Пряма qперпендикулярна до прямої а(З умови), (По побудові). Значить, q- серединний перпендикуляр до відрізка АВ. Крапка Qлежить на прямій q. Значить, QА =QВ.

Трикутники АРQі ВРQрівні по трьох сторонах (РА = РВ, QА =QВ, РQ -загальна сторона). Значить, кути АРQі ВРQрівні.

Трикутники АPLі BPLрівні по кутку та двом прилеглим сторонам (∠ АРL= ∠ВРL, РА = РВ, PL- Спільна сторона). З рівності трикутників отримуємо, що AL =BL.

Розглянемо трикутник ABL.Він рівнобедрений, тому що AL =BL.У рівнобедреному трикутнику медіана LОє і висотою, тобто пряма LОперпендикулярна АВ.

Ми отримали, що пряма аперпендикулярна до прямої l,отже, і прямий m,що й потрібно було довести.

Крапки А, М, Олежать на прямій, перпендикулярній до площини α, а точки О, В, Сі Dлежать у площині (рис. 3). Які з таких кутів є прямими: ?

Рішення

Розглянемо кут. Пряма АТперпендикулярна до площини α, а значить, пряма АТперпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у площині α, у тому числі прямій ВО. Отже, .

Розглянемо кут. Пряма АТперпендикулярна до прямої ОС, Отже, .

Розглянемо кут. Пряма АТперпендикулярна до прямої ПроD, Отже, . Розглянемо трикутник DAO. У трикутнику може бути лише один прямий кут. Значить, кут DAM- Не є прямим.

Розглянемо кут. Пряма АТперпендикулярна до прямої ПроD, Отже, .

Розглянемо кут. Це кут у прямокутному трикутнику BMO, він не може бути прямим, тому що кут МОВ- Прямий.

Відповідь: .

У трикутнику АВСдано: , АС= 6 см, НД= 8 см, СМ- Медіана (рис. 4). Через вершину Зпроведено пряму СКперпендикулярна до площини трикутника. АВС, причому СК= 12 см. Знайдіть КМ.

Рішення:

Знайдемо довжину АВза теоремою Піфагора: (см).

За якістю прямокутного трикутника середина гіпотенузи Мрівновіддалена від вершин трикутника. Тобто СМ = АМ = ВМ, (см).

Розглянемо трикутник КСМ. Пряма КСперпендикулярна площині АВС, а значить, КСперпендикулярна СМ. Отже, трикутник КСМ- Прямокутний. Знайдемо гіпотенузу КМіз теореми Піфагора: (см).

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.

Завдання 1, 2, 5, 6 стор.

2. Дайте визначення перпендикулярності прямої та площині.

3. Вкажіть у кубі пару - ребро та грань, які є перпендикулярними.

4. Крапка Долежить поза площиною рівнобедреного трикутника АВСі рівновіддалена від точок Уі З. М- середина основи НД. Доведіть, що пряма НДперпендикулярна площині АКМ.

План-конспект уроку з геометрії у 10 класі на тему «Перпендикулярність прямої та площини»

Цілі уроку:

навчальні

введення ознаки перпендикулярності прямої та площини;

формувати уявлення учнів про перпендикулярність прямої та площини, їх властивості;

формувати вміння учнів вирішувати типові завдання на тему, вміння доводити твердження;

розвиваючі

розвивати самостійність, пізнавальну активність;

розвивати вміння аналізувати, робити висновки, систематизувати отриману інформацію,

розвивати логічне мислення;

розвивати просторову уяву.

виховні

виховання культури мови учнів, посидючості;

прищеплювати учням інтерес до предмета.

Тип уроку:Урок вивчення та первинного закріплення знань.

Форми роботи учнів:фронтальне опитування.

Обладнання:комп'ютер, проектор, екран.

Література:"Геометрія 10-11", Підручник. Атанасян Л.С. та ін.

(2009, 255с.)

План уроку:

Організаційний момент (1 хвилина);

Актуалізація знань (5 хвилин);

Вивчення нового матеріалу (15 хвилин);

Первинне закріплення вивченого матеріалу (20 хвилин);

Підбиття підсумків (2 хвилини);

Домашнє завдання (2 хвилини).

Хід уроку.

Організаційний момент (1 хвилина)

Вітання учнів. Перевірка готовності учнів до уроку: перевірка наявності зошитів, підручників. Перевірка на уроці відсутніх.

Актуалізація знань (5 хвилин)

Вчитель. Яка пряма називається перпендикулярною до площини?

Учень. Пряма перпендикулярна до будь-якої прямої лежить у цій площині називається прямою перпендикулярною до цієї площини.

Вчитель. Як звучить лема про дві паралельні прямі перпендикулярні до третьої?

Учень. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша пряма перпендикулярна до цієї прямої.

Вчитель. Теорема про перпендикулярність двох паралельних прямих до площини.

Учень. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то друга пряма перпендикулярна до цієї площини.

Вчитель. Як звучить теорема зворотна даної?

Учень. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то вони паралельні.

Перевірка домашнього завдання

Домашнє завдання перевіряється, якщо в учнів виникли труднощі за його вирішенні.

Вивчення нового матеріалу (15 хвилин)

Вчитель. Ми з вами знаємо, що якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона буде перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, але у визначенні перпендикулярність до площини дається як факт. Насправді ж часто доводиться визначити чи буде пряма перпендикулярною до площині чи ні. Такі приклади можна навести з життя: при будівництві будівель палі вбивають перпендикулярно поверхні землі, інакше конструкція може впасти. Визначенням прямої перпендикулярної площини у разі скористатися неможливо. Чому? Скільки прямих можна провести у площині?

Учень. У площині можна провести нескінченно багато прямих

Вчитель. Правильно. І перевірити перпендикулярність прямої до кожної окремої площини неможливо, оскільки це займе багато часу. Для того щоб зрозуміти, чи є пряма перпендикулярною до площини, введемо ознаку перпендикулярності прямої та площини. Запишіть у зошиті. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Запис у зошит. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Вчитель. Таким чином, нам немає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої для кожної прямої площини, достатньо перевірити перпендикулярність лише для двох прямих цієї площини.

Вчитель. Давайте доведемо цю ознаку.

Дано: pі q- Прямі, p ∩ q = O, a⊥ p, a⊥ q, p ϵ α, q ϵ α.

Довести: a⊥ α.

Вчитель. І все-таки для підтвердження скористаємося визначенням прямої перпендикулярної поверхні, як воно звучить?

Учень. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Вчитель. Правильно. Накреслимо в площині будь-яку пряму m . Проведемо через точку О пряму l m . На прямій a відзначимо точки А і так щоб точка О була серединою відрізка АВ. Проведемо пряму z таким чином, щоб вона перетинала прямі p , q , l точки перетину цих прямих позначимо P , Q , L відповідно. З'єднаємо кінці відрізка АВ з точками P, Q і L.

Вчитель. Що ми можемо сказати про трикутники ∆APQ та ∆BPQ?

Учень. Ці трикутники дорівнюватимуть (за 3 ознаками рівності трикутників).

Вчитель. Чому?

Учень. Т.к. прямі p і q - серединні перпендикуляри, то AP = BP, AQ = BQ, а сторона PQ - загальна.

Вчитель. Правильно. Що ми можемо сказати про трикутники ∆APL та ∆BPL?

Учень. Ці трикутники теж дорівнюватимуть (за 1 ознакою рівності трикутників).

Вчитель. Чому?

Учень. AP = BP, PL- загальна сторона, APL =  BPL(з рівності ∆ APQта ∆ BPQ)

Вчитель. Правильно. Отже AL = BL . Отже, яким буде ∆ALB?

Учень. Значить ∆ALB буде рівнобедреним.

Вчитель. LO – медіана в ∆ALB, значить чим вона буде в цьому трикутнику?

Учень. Значить LO буде ще й висотою.

Вчитель. Отже прямаlбуде перпендикулярна до прямоїa. А тому що прямаl– будь-яка пряма площині, що належить α, то за визначенням прямаa⊥ α. Що й потрібно було довести.

Доводиться за допомогою призентації

Вчитель. А що робити, якщо пряма a не перетинає точку О, але залишається перпендикулярною до прямих p і q ? Якщо пряма перетинає будь-яку іншу точку даної площини?

Учень. Можна побудувати пряму а 1 , яка буде паралельна прямій а, буде перетинати точку О, а по лемі про дві паралельні прямі перпендикулярні до третьої можна довести, щоa 1 ⊥ p, a 1 ⊥ q.

Вчитель. Правильно.

Первинне закріплення вивченого матеріалу (20 хвилин)

Вчитель. Для того, щоб закріпити вивчений нами матеріал, вирішимо номер 126. Прочитайте завдання.

Учень. Пряма МВ перпендикулярна до сторін АВ та ВС трикутника АВС. Визначте вид трикутника МВД , де D – довільна точка прямої АС.

Малюнок.

Дано: ∆ ABC, MB⊥ BA, MB⊥ BC, D ϵ AC.

Знайти: ∆ MBD.

Рішення.

Вчитель. Чи можна через вершини трикутника провести площину?

Учень. Так можна. Площину можна провести за трьома точками.

Вчитель. Як будуть розташовані прямі ВА та СВ щодо цієї площини?

Учень. Ці прямі лежатимуть у цій площині.

Вчитель. Виходить, що ми маємо площину, і в ній дві прямі, що перетинаються. Як ставиться пряма МВ до цих прямих?

Учень. Пряма МВ⊥ ВА, МВ ⊥ НД.

Запис на дошці та у зошитах. Т.к. МВ⊥ ВА, МВ ⊥ НД

Вчитель. Якщо пряма перпендикулярна двом прямим лежачим у площині, що перетинається, то пряма буде відноситься до цієї площини?

Учень. Пряма МВ буде перпендикулярна до площини АВС.

⊥ АВС.

Вчитель. Точка D – довільна точка на відрізку АС, отже, як буде ставитися пряма BD до площини АВС?

Учень. Отже, BD належить площині АВС.

Запис на дошці та у зошитах. Т.к. BD ϵ ABC

Вчитель. Якими щодо один одного будуть прямі МВ та BD?

Учень. Ці прямі будуть перпендикулярні до визначення прямої перпендикулярної до площини.

Запис на дошці та у зошитах. ↔ МВ⊥ BD

Вчитель. Якщо МВ перпендикулярно BD, то яким буде трикутник MBD?

Учень. Трикутник MBD буде прямокутним.

Запис на дошці та у зошитах. ↔ ∆MBD – прямокутний.

Вчитель. Правильно. Розв'яжемо номер 127. Прочитайте завдання.

Учень. У трикутникуABCсума кутів Aі Bдорівнює 90 °. ПрямаBDперпендикулярна до площиниABC. Доведіть, що CD⊥ AC.

Учень виходить до дошки. Малює креслення.

Запис на дошці та в зошит.

Дано: ∆ ABC,  A +  B= 90 °, BD⊥ ABC.

Доведіть: CD⊥ AC.

Доведення:

Вчитель. Чому дорівнює сума кутів трикутника?

Учень. Сума кутів у трикутнику дорівнює 180 °.

Вчитель. Чому дорівнюватиме кут C у трикутнику ABC ?

Учень. Кут C у трикутнику ABC дорівнюватиме 90°.

Запис на дошці та у зошитах. C = 180 ° - A - B= 90 °

Вчитель. Якщо кут дорівнює 90°, то як щодо один одного розташовуватимуться прямі АС і ВС?

Учень. Значить АС⊥ НД.

Запис на дошці та у зошитах. ↔ АС⊥ НД

Вчитель. Пряма BD перпендикулярна площині ABC. Що з цього випливає?

Учень. Значить BD перпендикулярно будь-якій прямій з ABC.

BD⊥ ABC ↔ BDперпендикулярно будь-якій прямійABC(за визначенням)

Вчитель. Відповідно, як будуть ставитися прямі BD і AC?

Учень. Значить, ці прямі будуть перпендикулярні.

BD⊥ AC

Вчитель. АС перпендикулярно двом прямим лежачим у площині DBC, що перетинається, але АС не проходить через точку перетину. Як це виправити?

Учень. Через точку проведемо пряму а паралельну АС. Так як АС перпендикулярно BC і BD , то і буде перпендикулярно BC і BD по лемі.

Запис на дошці та у зошитах. Через точку В проведемо пряму а ║АС ↔ а⊥ BC, а ⊥ BD

Вчитель. Якщо пряма а буде перпендикулярно BC і BD, то що можна сказати про взаємне розташування прямої а та площини BDC?

Учень. Значить пряма а буде перпендикулярна площині BDC, отже, і пряма АС буде перпендикулярна BDC.

Запис на дошці та у зошитах. ↔ а⊥ BDC↔ АС ⊥ BDC.

Вчитель. Якщо АС перпендикулярна до BDC, то як щодо один одного будуть розташовуватися прямі АС і DC?

Учень. АС і DC будуть перпендикулярні до визначення прямої перпендикулярної до площини.

Запис на дошці та у зошитах. Т.к. АС⊥ BDC↔ АС ⊥ DC

Вчитель. Молодець. Вирішимо номер 129. Прочитайте завдання.

Учень. ПрямаAMперпендикулярна до площини квадратаABCD, діагоналі якого перетинаються у точці О. Доведіть, що: а) прямаBDперепендикулярна до площиниAMO; б)MO⊥ BD.

До дошки виходить учень. Малює креслення.

Запис на дошці та в зошит.

Дано:ABCD- Квадрат,AM⊥ ABCD, AC ∩ BD = O

Довести:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Доведення:

Вчитель. Нам потрібно довести що прямаBD⊥ AMO. Які умови для цього мають виконуватися?

Учень. Потрібно щоб пряма BD була перпендикулярна хоча б двом пересічним прямим з площини AMO.

Вчитель. В умові сказано що BD перпендикулярна двом пересічним прямим з AMO?

Учень. Ні.

Вчитель. Але ми знаємо, що AM перпендикулярна ABCD . Який висновок можна із цього зробити?

Учень. Отже, що AM перпендикулярна будь-якій прямій з цієї площини, тобто AM перпендикулярна BD.

AM⊥ ABCD ↔ AM⊥ BD(за визначенням).

Вчитель. Одна пряма перпендикулярна BD є. Зверніть увагу на квадрат, як будуть розташовуватися відносно один одного прямі AC і BD?

Учень. AC буде перпендикулярна BD за якістю діагоналей квадрата.

Запис на дошці та в зошит. Т.к.ABCD- Квадрат, тоAC⊥ BD(за якістю діагоналей квадрата)

Вчитель. Ми знайшли дві прямі прямі лежачі у площині AMO перпендикулярні до прямої BD . Що з цього випливає?

Учень. Отже, що BD перпендикулярна площині AMO.

Запис на дошці та у зошитах. Т.к.AC⊥ BDіAM⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(за ознакою)

Вчитель. Яка пряма називається прямою перпендикулярною до площини?

Учень. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої з цієї площини.

Вчитель. А значить як взаємо розташовані прямі BD і OM?

Учень. Значить BD перпендикулярно OM . Що й потрібно було довести.

Запис на дошці та у зошитах. ↔BD⊥ MO(за визначенням). Що й потрібно було довести.

Підбиття підсумків (2 хвилини)

Вчитель. Сьогодні ми вивчили ознаку перпендикулярності прямої та площини. Як він звучить?

Учень. Якщо пряма перпендикулярна двом прямим лежачим у площині, що перетинається, то ця пряма перпендикулярна цій площині.

Вчитель. Правильно. Ми навчилися застосовувати цю ознаку під час вирішення завдань. Хтось відповідав біля дошки і допомагав з місця молодці.

Домашнє завдання (2 хвилини)

Вчитель. Параграф 1, пункти 15 -17, вивчати: лему, визначення та всі теореми. №130, 131.

Для того, щоб пряма в просторі була площини, необхідно і достатньо, щоб на епюрі горизонтальна проекція прямої була горизонтальної проекції горизонталі, а фронтальна проекція - до фронтальної проекції фронталі цієї площини.

Визначення відстані від точки до площини(Рис. 19)

1.З точки опустити перпендикуляр на площину (для цього в площині

провести h, f);

2. Знайти точку перетину прямої з площиною (див. рис.18);

3.Знайти н.в. відрізка перпендикуляра (рис. 7).

Другий розділ Метод заміни площин проекцій

(До завдань 5, 6,7)

Цю геометричну фігуру залишають у системі площин проекцій нерухомої. Нові площини проекції встановлюють так, щоб одержувані на них проекції забезпечували раціональне рішення завдання, що розглядається. При цьому кожна нова система площин проекцій повинна бути ортогональною системою. Після проектування об'єктів на площині вони поєднуються в одну за допомогою обертання їх навколо загальних прямих (осей проекцій) кожної пари взаємно перпендикулярних площин.

Так, наприклад, нехай у системі двох площин П 1 і П 2 задана точка А. Доповнимо систему ще однією площиною П 4 (рис. 20), П 1 П 4 . Вона має загальну лінію Х 14 із площиною П 1 . Будуємо проекцію А4 на П4.

АА1 = А2А12 = А4А14.

На рис. 21, де площини П 1 , П 2 і П 4 приведені в суміщення, цей факт визначено результатом А 1 А 4  Х 14 , а А 14 А 4  А 2 А 12.

Відстань нової проекції точки до нової осі проекції (А 4 А 14) дорівнює відстані від замінної проекції точки до осі (А 2 А 12).

Велика кількість метричних завдань накреслювальної геометрії вирішуються на основі наступних чотирьох завдань:

1. Перетворення прямого загального становища на пряму рівня (рис.22):

а) П 4 | АВ (вісь Х 14 | | А 1 В 1);

б) А 1 А 4  Х 14; В 1 В 4  Х 14;

в) А 4 А 14 = А 12 А 2;

4 14 = 12 2 ;

А 4 В 4 – н.в.

2. Перетворення прямої загального становища на проецірующую (рис.23):

а) П 4 | АВ (Х 14 | | А 1 В 1);

А 1 А 4  Х 14;

В 1 В 4  Х 14;

А 14 А 4 = А 12 А 2;

14 4 = 12 2 ;

А 4 В 4 – н.в.;

б) П 5 АВ (Х 45 А 4 В 4);

А 4 А 5  Х 45;

4 5 Х 45 ;

А 45 А 5 = В 45 В 5 = А 14 А 1 = В 14 В 1;

3. Перетворення площини загального становища на проецірующее положення (рис.24):

Площину можна привести в проецірующее положення, якщо одну пряму площині зробити проецирующей. У площині АВС проведемо горизонталь (h 2 h 1), яку за одне перетворення можна зробити проецірующей. Проведемо площину П 4 перпендикулярно до горизонталі; на цю площину вона спроектується точкою, а площина трикутника – пряма лінія.

4. Перетворення площини загального стану на площину рівня (рис.25).

Площина зробити площиною рівня за допомогою двох перетворень. Спочатку площину потрібно зробити проецирующей (див. рис. 25), та був провести П 5 || А 4 В 4 С 4 отримаємо А 5 В 5 С 5 - н.в.

Завдання №5

Визначити відстань від точки до прямої загального положення (рис.26).

Рішення зводиться до 2-го головного завдання. Тоді відстань по епюрі визначається як відстань між двома точками

А 5 В 5 D 5 та С 5.

Проекція З 4 D 4 || Х45.

Завдання №6

Визначити відстань від ()Dдо площини, заданої точками А,В,С, (рис. 27).

Завдання вирішують, використовуючи друге основне завдання. Відстань (Е 4 D 4), від ()D 4 до прямої A 4 C 4 4 ,в яку спроектувалася площина АВС, є натуральною величиною відрізкаED.

Проекція D 1 E 1 | Х 14;

Е 2 Е Х12 = Е4 Е Х14.

Побудувати самостійно D1E1.

Побудувати самостійно D2E2.

Завдання №7

Визначити натуральну величину трикутника АВС (див. рішення 4-го основного завдання) (рис.25)