Розв'язання дробово лінійних рівнянь. Розв'язання цілих і дрібно раціональних рівнянь

До цього часу ми вирішували лише рівняння цілі щодо невідомого, тобто рівняння, у яких знаменники (якщо були) не містили невідоме.

Часто доводиться вирішувати рівняння, що містять невідоме у знаменниках: такі рівняння називаються дробовими.

Щоб розв'язати це рівняння, помножимо обидві його частини тобто на многочлен, що містить невідоме. Чи буде нове рівняння рівносильне цьому? Щоб відповісти на запитання, розв'яжемо це рівняння.

Помноживши обидві частини його на , отримаємо:

Розв'язавши це рівняння першого ступеня, знайдемо:

Отже, рівняння (2) має єдиний корінь

Підставивши його в рівняння (1), отримаємо:

Отже, є коренем і рівняння (1).

Іншого коріння рівняння (1) не має. У прикладі це видно, наприклад, з того, що в рівнянні (1)

Як невідомий дільник повинен дорівнювати ділимому 1, поділеному на приватне 2, тобто

Отже, рівняння (1) та (2) мають єдиний корінь. Отже, вони рівносильні.

2. Вирішимо тепер таке рівняння:

Найпростіший загальний знаменник: ; помножимо на нього всі члени рівняння:

Після скорочення отримаємо:

Розкриємо дужки:

Навівши подібні члени, матимемо:

Розв'язавши це рівняння, знайдемо:

Підставивши в рівняння (1), отримаємо:

У лівій частині отримали вирази, які не мають сенсу.

Отже, коренем рівняння (1) немає. Звідси випливає, що рівняння (1) і нерівносильні.

Говорять у цьому випадку, що рівняння (1) набуло стороннього коріння.

Порівняємо рішення рівняння (1) з рішенням рівнянь, які ми розглянули раніше (див. § 51). При вирішенні цього рівняння нам довелося виконати дві такі операції, які раніше не зустрічалися: по-перше, ми помножили обидві частини рівняння на вираз, що містить невідомий (загальний знаменник), і, по-друге, ми скорочували дроби алгебри на множники, що містять невідоме .

Порівнюючи рівняння (1) з рівнянням (2), бачимо, що ні значення х, допустимі рівняння (2), є допустимими рівняння (1).

Саме числа 1 і 3 є допустимими значеннями невідомого рівняння (1), а результаті перетворення вони стали допустимими рівняння (2). Одне з цих чисел виявилося рішенням рівняння (2), але, зрозуміло, рішенням рівняння (1) воно не може. Рівняння (1) рішень немає.

Цей приклад показує, що при множенні обох частин рівняння на множник, що містить невідоме, і при скороченні дробів алгебри може вийти рівняння, нерівносильне даному, а саме: можуть з'явитися сторонні корені.

Звідси робимо такий висновок. При вирішенні рівняння, що містить невідоме у знаменнику, отримане коріння треба перевіряти підстановкою в початкове рівняння. Стороннє коріння треба відкинути.

Рівняння - це рівність, що містить букву, значення якої треба визначити.

У рівняннях невідоме зазвичай позначається малою латинською літерою. Найчастіше використовують літери «x» [ікс] та «y» [ігрок].

Розв'язавши рівняння, завжди після відповіді записуємо перевірку.

Інформація для батьків

Шановні батьки, звертаємо вашу увагу на те, що у початковій школі та у 5 класі діти не знають тему «Негативні числа».

Тому вони повинні вирішувати рівняння, використовуючи лише властивості додавання, віднімання, множення та поділу. Методи розв'язання рівнянь для 5 класу наведено нижче.

Не намагайтеся пояснити розв'язання рівнянь через перенесення чисел та літер з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака.

Освіжити знання по поняттям, пов'язаним із додаванням, відніманням, множенням та поділом ви можете в уроці «Закони арифметики».

Розв'язання рівнянь на додавання та віднімання

Як знайти невідоме
доданок

Як знайти невідоме
зменшуване

Як знайти невідоме
віднімається

Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відібрати відомий доданок.

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відібрати різницю.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Перевірка

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Перевірка

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Перевірка

Розв'язання рівнянь на множення та поділ

Як знайти невідомий
множник

Як знайти невідоме
ділене

Як знайти невідомий
дільник

Щоб знайти невідомий множник, треба добуток розділити на відомий множник.

Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.

Щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне.

y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Перевірка

y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Перевірка

8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Перевірка

Рівняння - це рівність, що містить літеру, знак якої потрібно знайти. Рішення рівняння - це той набір значень букв, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність:

Нагадаємо, що для вирішення рівняннітреба доданки з невідомим перенести в одну частину рівності, а числові доданки в іншу, привести подібні і здобути таку рівність:

З останньої рівності визначимо невідоме за правилом: «один із множників дорівнює приватному, поділеному на другий множник».

Оскільки раціональні числа а і Ь можуть мати однакові та різні знаки, то знак невідомого визначається за правилами розподілу раціональних чисел.

Порядок розв'язання лінійних рівнянь

Лінійне рівняння необхідно спростити, розкривши дужки та виконавши дії другого ступеня (множення та розподіл).

Перенести невідомі в один бік від знака рівності, а числа - в інший бік від знака рівності, отримавши тотожну задану рівність,

Навести подібні ліворуч і праворуч від знака рівності, отримавши рівність виду ax = b.

Обчислити корінь рівняння (знайти невідоме хз рівності x = b : a),

Виконати перевірку, підставивши невідоме у задане рівняння.

Якщо отримаємо тотожність у числовому рівністі, то рівняння вирішено правильно.

Особливі випадки розв'язання рівнянь

1. Якщо рівняннязадано твором, рівним 0, то для його вирішення використовуємо властивість множення: «твір дорівнює нулю, якщо один із співмножників або обидва співмножники дорівнюють нулю».

27 (x - 3) = 0
27 не дорівнює 0, значить x - 3 = 0

У другого прикладу два рішення рівняння, оскільки
це рівняння другого ступеня:

Якщо коефіцієнти рівняння є звичайними дробами, то передусім треба позбутися знаменників. Для цього:

Знайти спільний знаменник;

Визначити додаткові множники кожного члена рівняння;

Помножити чисельники дробів та цілі числа на додаткові множники та записати всі члени рівняння без знаменників (загальний знаменник можна відкинути);

Перенести доданки з невідомими в одну частину рівняння, а числові доданки - в іншу від знака рівності, отримавши рівносильну рівність;

Навести таких членів;

Основні властивості рівнянь

У будь-якій частині рівняння можна наводити подібні доданки або розкривати дужку.

Будь-який член рівняння можна переносити з однієї частини рівняння до іншої, змінивши його знак на протилежний.

Обидві частини рівняння можна множити (ділити) на те саме число, крім 0.

У прикладі вище для розв'язання рівняння були використані всі властивості.

Як вирішити рівняння з невідомим у дробі

Іноді лінійні рівняння набувають вигляду, коли невідомевиявляється у чисельнику однієї чи кількох дробів. Як, наприклад, у рівнянні нижче.

У разі подібні рівняння можна вирішити двома способами.

I спосіб вирішення
Зведення рівняння до пропорції

При розв'язанні рівнянь способом пропорції необхідно виконати такі дії:

Отже, повернемось до нашого рівняння. У лівій частині у нас і так стоїть лише один дріб, тому в ньому не потрібні жодні перетворення.

Працюватимемо з правою частиною рівняння. Спростимо праву частину рівняння так, щоб там залишився лише один дріб. Для цього пригадаємо правила складання числа з дробом алгебри.

Тепер використовуємо правило пропорції і розв'яжемо рівняння до кінця.

II спосіб вирішення
Зведення до лінійного рівняння без дробів

Розглянемо рівняння вище ще раз і розв'яжемо його іншим способом.

Ми бачимо, що в рівнянні присутні два дроби.

Як розв'язувати рівняння з дробами. Показове вирішення рівнянь із дробами.

Розв'язання рівнянь із дробамирозглянемо з прикладів. Приклади прості та показові. З їхньою допомогою ви найбільш зрозумілим чином зможете засвоїти, .
Наприклад, потрібно розв'язати просте рівняння x/b + c = d.

Рівняння цього називається лінійним, т.к. у знаменнику знаходяться лише числа.

Рішення виконується шляхом множення обох частин рівняння на b, тоді рівняння набуває вигляду x = b*(d – c), тобто. знаменник дробу у лівій частині скорочується.

Наприклад, як розв'язати дробове рівняння:
x/5+4=9
Помножуємо обидві частини на 5. Отримуємо:
х +20 = 45

Інший приклад, коли невідоме знаходиться у знаменнику:

Рівняння такого типу називаються дробово-раціональними чи просто дробовими.

Вирішувати дробове рівняння будемо шляхом позбавлення від дробів, після чого це рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне або квадратне, яке вирішується звичайним способом. Слід лише врахувати такі моменти:

• значення змінної, що звертає до 0 знаменник, коренем бути не може;
• не можна ділити чи множити рівняння вираз =0.

Тут набирає чинності таке поняття, як область допустимих значень (ОДЗ) – це значення коренів рівняння, у яких рівняння має сенс.

Таким чином, вирішуючи рівняння, необхідно знайти коріння, після чого перевірити їх на відповідність ОДЗ. Те коріння, яке не відповідає нашій ОДЗ, з відповіді виключається.

Наприклад, потрібно вирішити дробове рівняння:

З вищевказаного правила х може бути = 0, тобто. ОДЗ у разі: х – будь-яке значення, відмінне від нуля.

Позбавляємося знаменника шляхом множення всіх членів рівняння на х

І вирішуємо нормальне рівняння

5x - 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Вирішимо рівняння складніше:

Тут також є ОДЗ: х -2.

Вирішуючи це рівняння, ми не будемо переносити все в один бік і приводити дроби до спільного знаменника. Ми відразу помножимо обидві частини рівняння на вираз, який скоротить відразу всі знаменники.

Для скорочення знаменників потрібно ліву частину помножити на х+2, а праву — на 2. Отже, обидві частини рівняння треба множити на 2(х+2):

Це звичайнісіньке множення дробів, яке ми вже розглянули вище

Запишемо це ж рівняння, але дещо по-іншому

Ліва частина скорочується на (х+2), а права на 2. Після скорочення отримуємо звичайне лінійне рівняння:

х = 4 - 2 = 2, що відповідає нашій ОДЗ

Розв'язання рівнянь із дробамине так складно, як може здатися. У цій статті ми на прикладах показали це. Якщо у вас виникли якісь труднощі з тим, як розв'язувати рівняння з дробами, то відписуйтесь у коментарях.

Розв'язання рівнянь із дробами 5 клас

Розв'язання рівнянь із дробами. Розв'язання задач на дробі.

Перегляд вмісту документа
«Рішення рівнянь із дробами 5 клас»

— Додавання дробів з однаковими знаменниками.

— Віднімання дробів із однаковими знаменниками.

Додавання дробів з однаковими знаменниками.

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник віднімається, а знаменник залишити колишнім.

При розв'язанні рівнянь необхідно користуватися правилами розв'язання рівнянь, властивостями додавання та віднімання.

Розв'язання рівнянь із застосуванням властивостей.

Розв'язання рівнянь із використанням правил.

Вираз у лівій частині рівняння є сумою.

доданок + доданок = сума.

Щоб знайди невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.

зменшуване - віднімається = різниця

Щоб знайди невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.

Вираз у лівій частині рівняння є різницею.

Щоб знайди невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

ВИКОРИСТАННЯ ПРАВИЛ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ.

У лівій частині рівняння вираз є сумою.

Калькулятор дробівпризначений для швидкого розрахунку операцій із дробами, допоможе легко дроби скласти, помножити, поділити чи відняти.

Сучасні школярі починають вивчення дробів вже у 5 класі, з кожним роком вправи з ними ускладнюються. Математичні терміни та величини, які ми дізнаємося в школі, рідко можуть стати в нагоді нам у дорослому житті. Проте дроби, на відміну логарифмів і ступенів, зустрічаються у повсякденності досить часто (вимір відстані, зважування товару тощо.). Наш калькулятор призначений для швидкого проведення операцій із дробами.

Спочатку визначимо, що таке дроби і які вони бувають. Дробами називають відношення одного числа до іншого, це число, що складається з цілої кількості часток одиниці.

Різновиди дробів:

• Звичайні
• Десяткові
• Змішані

приклад звичайних дробів:

Верхнє значення є чисельником, нижчим знаменником. Рисунок показує нам, що верхнє число ділиться на нижнє. Замість такого формату написання, коли рисочка знаходиться горизонтально, можна писати по-іншому. Можна ставити похилу лінію, наприклад:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Десяткові дробиє найпопулярнішим різновидом дробів. Вони складаються з цілої частини та дробової, відокремлені комою.

Приклад десяткових дробів:

0,2, або 6,71 або 0,125

Складаються з цілого числа та дробової частини. Щоб дізнатися про значення цього дробу, потрібно скласти ціле число і дріб.

Приклад змішаних дробів:

Калькулятор дробів на нашому сайті здатний швидко в онлайн-режимі виконати будь-які математичні операції з дробами:

• Додавання
• Віднімання
• множення
• Поділ

Для здійснення розрахунку потрібно ввести цифри у поля та вибрати дію. У дробів необхідно заповнити чисельник і знаменник, ціле число може писатися (якщо дріб звичайна). Не забудьте натиснути кнопку «рівно».

Зручно, що калькулятор одразу надає процес розв'язання прикладу з дробами, а не лише готову відповідь. Саме завдяки розгорнутому рішенню ви можете використовувати даний матеріал при вирішенні шкільних завдань та для кращого освоєння пройденого матеріалу.

Вам потрібно здійснити розрахунок прикладу:

Після введення показників у поля форми отримуємо:

Щоб зробити самостійний розрахунок, введіть дані у форму.

Калькулятор дробів

Супутні розділи.

Рівняння з дробами власними силами не складні і дуже цікаві. Розглянемо види дробових рівнянь та способи їх розв'язання.

Як вирішувати рівняння з дробами – ікс у чисельнику

У випадку, якщо дано дробове рівняння, де невідоме знаходиться в чисельнику, рішення не вимагає додаткових умов і вирішується без зайвого клопоту. Загальний вигляд такого рівняння – x/a + b = c, де x – невідоме, a, b та с – звичайні числа.

Знайти х: x/5 + 10 = 70.

Для того, щоб вирішити рівняння, потрібно позбутися дробів. Помножуємо кожен член рівняння на 5: 5x/5 + 5×10 = 70×5. 5x та 5 скорочується, 10 та 70 множаться на 5 і ми отримуємо: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Знайти x: x/5+x/10=90.

Цей приклад – трохи ускладнена версія першого. Тут є два варіанти вирішення.

• Варіант 1: Позбавляємося дробів, множивши всі члени рівняння на більший знаменник, тобто на 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Варіант 2: Складаємо ліву частину рівняння. x/5 + x/10 = 90. Загальний знаменник - 10. 10 ділимо на 5, множимо на x, отримуємо 2x. 10 ділимо на 10, множимо на x, отримуємо x: 2x+x/10 = 90. Звідси 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Нерідко зустрічаються дробові рівняння, у яких ікси перебувають у різні боки знака одно. У таких ситуаціях необхідно перенести всі дроби з іксами в один бік, а числа в інший.

• Знайти x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Переносимо 2x/5 праворуч із протилежним знаком: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Скорочуємо 5x/5 та отримуємо: x = 130.

Як вирішити рівняння з дробами - ікс у знаменнику

Даний вид дробових рівнянь потребує запису додаткових умов. Вказівка ​​цих умов є обов'язковою та невід'ємною частиною правильного рішення. Не приписавши їх, ви ризикуєте, тому що відповідь (навіть якщо вона правильна) можуть просто не зарахувати.

Загальний вид дробових рівнянь, де x знаходиться у знаменнику, має вигляд: a/x + b = c де x – невідоме, a, b, c – звичайні числа. Зверніть увагу, що x-ом може бути не будь-яке число. Наприклад x неспроможна дорівнювати нулю, оскільки ділити на 0 не можна. Саме це і є додатковою умовою, яку ми маємо вказати. Це називається областю допустимих значень, скорочено – ОДЗ.

Знайти х: 15/х + 18 = 21.

Відразу пишемо ОДЗ для x: x ≠ 0. Тепер, коли ОДЗ вказана, вирішуємо рівняння за стандартною схемою, позбавляючись дробів. Помножуємо всі члени рівняння на x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Часто зустрічаються рівняння, де в знаменнику стоїть не тільки x, але ще якась дія з ним, наприклад додавання або віднімання.

Знайти x: 15 / (x-3) + 18 = 21.

Ми знаємо, що знаменник неспроможна дорівнювати нулю, отже x-3 ≠ 0. Переносимо -3 праву частину, змінюючи у своїй знак “-” на ”+” і отримуємо, що x ≠ 3. ОДЗ вказана.

Вирішуємо рівняння, множимо все на x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Переносимо ікси праворуч, числа ліворуч: 24 = 3x => x = 8.