Розв'язання системи рівнянь із 4 невідомими. Приклади систем лінійних рівнянь: метод розв'язання

Системи рівнянь набули широкого застосування в економічній галузі при математичному моделюванні різних процесів. Наприклад, під час вирішення завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортне завдання) чи розміщення устаткування.

Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходження чисельності популяції.

Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з кількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, коли всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.

Лінійне рівняння

Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.

Види систем лінійних рівнянь

Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.

F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.

Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), у яких система перетворюється на правильну рівність чи встановити, що відповідних значень x і y немає.

Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.

Якщо системи мають одне загальне рішення чи рішення немає їх називають рівносильними.

Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака " рівність " частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.

Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.

Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.

Прості та складні методи вирішення систем рівнянь

Немає загального аналітичного способу вирішення подібних систем, всі методи засновані на чисельних рішеннях. У шкільному курсі математики докладно описані такі методи як перестановка, складення алгебри, підстановка, а так само графічний і матричний спосіб, рішення методом Гауса.

Основне завдання під час навчання способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритм рішення кожному за прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу

Рішення прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школи досить просте і дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.

Рішення систем методом підстановки

Дії методу підстановки спрямовані вираз значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі

Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:

Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допоміг отримати одну змінну Y у 2-му рівнянні. Рішення цього прикладу не викликає труднощів і дозволяє отримати значення Y. Останній крок - це перевірка отриманих значень.

Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться надто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.

Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:

Рішення за допомогою алгебраїчної складання

При пошуку рішенні систем шляхом додавання роблять почленное складання і множення рівнянь різні числа. Кінцевою метою математичних процесів є рівняння з однією змінною.

Для застосування даного методу необхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.

Алгоритм дій рішення:

1. Помножити обидві частини рівняння деяке число. В результаті арифметичної дії один із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
2. Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
3. Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.

Спосіб вирішення запровадженням нової змінної

Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.

Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.

З прикладу видно, що ввівши нову змінну t вдалося звести 1 рівняння системи до стандартного квадратного тричлену. Вирішити многочлен можна знайшовши дискримінант.

Необхідно знайти значення дискримінанта за відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - дискримінант, що шукається, b, a, c - множники многочлена. У заданому прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більший за нуль, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.

Рішення для отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.

Наочний метод вирішення систем

Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих і будуть загальним рішенням системи.

Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.

Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.

Події необхідно повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи.

У наступному прикладі потрібно знайти графічне рішення системи лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.

Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.

Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.

Матриця та її різновиди

Матриці використовують для короткого запису системи лінійних рівнянь. Матрицею називають таблицю спеціального виду, заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.

Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно можливою кількістю рядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.

Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.

Правила перетворення системи рівнянь на матрицю

Стосовно систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.

Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.

Стовпці матриці повинні суворо відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.

При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться число.

Варіанти знаходження зворотної матриці

Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 - Зворотна матриця, а | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.

Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом

Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи під час вирішення систем із великою кількістю змінних і рівнянь.

У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.

Рішення систем методом Гауса

У вищій математиці метод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані методи застосовують при знаходженні змінних систем з великою кількістю лінійних рівнянь.

Метод Гауса дуже схожий на рішення за допомогою підстановок та алгебраїчної складання, але більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гаусса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом перетворень алгебри і підстановок знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з двома невідомими, а 3 і 4 - відповідно з трьома і чотирма змінними.

Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівняння системи.

У шкільних підручниках для 7 класу приклад рішення методом Гаусса описаний таким чином:

Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x3 -2x4 = 11 і 3x3 +2x4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .

Теорема 5, про яку згадується в тексті, свідчить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідній.

Метод Гаусса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але є одним із найцікавіших способів для розвитку кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивчення в математичних та фізичних класах.

Для простоти запису обчислень прийнято робити так:

Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частину рівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.

Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім усі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні дії алгебри до досягнення результату.

У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до поодинокого вигляду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.

Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.

Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш переважні в тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.

Випадок, коли кількість рівнянь mбільше числа змінних nшляхом послідовного виключення невідомих із рівнянь наводиться до випадку m= nабо m n. Перший випадок розглянуто раніше.

У другому випадку, коли кількість рівнянь менша за кількість невідомих m nта рівняння незалежні, виділяються m основних змінних і ( n- m)неосновних змінних . Основними є змінні, що задовольняють умові: визначник, складений з коефіцієнтів при цих змінних, не дорівнює нулю. Основними можуть бути різні групи змінних. Загальна кількість таких груп Nдорівнює числу поєднань з nелементів по m:

Якщо система має хоча б одну групу основних змінних, то ця система є невизначеною тобто має безліч рішень.

Якщо система не має жодної групи основних змінних, то система є несумісний , тобто немає жодного рішення.

У разі, коли система має безліч рішень, у тому числі виділяють базисне рішення.

Базовим рішенням називають таке рішення, у якому неосновні змінні дорівнюють нулю. Система має не більше ніж базових рішень.

Рішення системи поділяються на допустимі і неприпустимі .

Допустимими називають такі рішення, які мають значення всіх змінних неотрицательны.

Якщо хоча б одне значення змінної негативне, то рішення називають неприпустимим .

Приклад 4.5

Знайти базисні рішення системи рівнянь

Знайдемо кількість базисних рішень

.

Отже, серед багатьох рішень системи є не більше трьох базисних. Виділимо дві основні змінні серед трьох. Припустимо, що це х 1 та х 2 . Перевіримо визначник із коефіцієнтів при них

.

Так як цей визначник не дорівнює нулю, то змінні х 1 ,х 2 є основними.

Тепер припустимо, що х 3 = 0. Тоді отримаємо систему у вигляді

Вирішимо її за формулами Крамера:

,
.

Отже, перше базисне рішення має вигляд

х 1 =1,х 2 =0,х 3 =0 .

Перевіримо тепер на приналежність до основних змінних х 1 та х 3 .

.

Отримаємо, що х 1 та х 3 – друга група основних змінних. Покладемо х 2 = 0 і вирішимо систему

,
.

Друге базисне рішення має вигляд

х 1 =1,х 2 =0,х 3 =0.

Тепер перевіримо на належність до основних змінних х 2 та х 3 .

тобто змінні х 2 та х 3 неосновні. Отже, всього у цієї системи виявилося два базові рішення. Обидва ці рішення допустимі.

Умова спільності системи mлінійних рівнянь cnзмінними дається за допомогою поняття ранг матриці.

Ранг матриці - Це число дорівнює найбільшому порядку мінору відмінного від нуля.

Для матриці А

мінором k -ого порядку служить визначник, складений з будь-яких елементів k рядків та k стовпців.

Наприклад,

Приклад 2

Знайти ранг матриці

Обчислимо визначник матриці

Для цього перший рядок помножимо на (-4) і складемо з другим рядком, потім перший рядок помножимо на (-7) і складемо з третім рядком, в результаті отримаємо визначник

Т.к. рядки отриманого визначника пропорційні, то
.

Звідси видно, що мінор 3-го порядку дорівнює 0, а мінор 2-го порядку не дорівнює 0.

Отже, ранг матриці r=2.

Розширена матриця системи має вигляд

Теорема Кронекера - Капелі

Для того, щоб лінійна система була спільною необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу основної матриці
.

Якщо
, то система несумісна.

Для спільної системи лінійних рівнянь можливі три випадки:

1) Якщо
, то система ЛУ має (m-r) лінійно залежних рівнянь, їх можна виключити із системи;

2) Якщо
, то система ЛУ має єдине рішення;

3) Якщо
, то система ЛУ має безліч рішень

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Рівняння з чотирма невідомими може мати безліч варіантів розв'язання. У математиці часто доводиться стикатися з рівняннями такого виду. Щоб правильно вирішити такі рівняння, необхідно користуватися всіма особливостями рівнянь з метою спрощення та скорочення його розв'язання.

Розберемо рішення наступного прикладу:

Виконавши складання першого і другого рівняння частинами, можна отримати дуже просте рівняння:

\ або \

Виконаємо аналогічні дії з 2 та 3 рівнянням:

\ або \

Вирішуємо отримані рівняння \ і \

Отримуємо \ і \

Отримані числа підставляємо в 1 та 3 рівняння:

\ або \

\ або \

Заміна цих чисел за другим і четвертим рівнянням дасть такі самі рівняння.

Але це ще не все, оскільки залишилося вирішити 2 рівняння з 2 невідомими. Вирішення даного типу рівнянь ви можете переглянути в статтях тут.

Де можна вирішити рівняння із чотирма невідомими онлайн?

Вирішити рівняння з невідомими онлайн ви можете на сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

А 21 х 1 + а 22 х 2 +...+ а 2п х п= b 2 ,

........................................

а s 1 х 1 + а s 2 х 2 +...+ а s п х п= b s.

Проводимо над нею елементарні перетворення. Для цього випишемо матрицю з коефіцієнтів при невідомих системах (1) з додаванням стовпця вільних членів, іншими словами розширену матрицю Ā для системи (1):

Припустимо, що з допомогою таких перетворень вдалося навести матрицю Ā до вигляду:

......................................

b rr x r +...+b rn x n =c r ,

яка виходить із системи (1) за допомогою деякого числа елементарних перетворень і, отже, рівносильна системі (1). Якщо в системі (4) r=n, то з останнього рівняння, що має вигляд b nn x n = c n(де b nn≠ 0), знаходимо єдине значення x n, з передостаннього рівняння – значення x n-1(оскільки x nвже відомо) і т.д., нарешті, з першого рівняння – значення x 1 . Отже, у разі) r=nсистема має єдине рішення. Якщо ж r , то система (4) легко наводиться до системи виду: