Самостійна робота "показова функція". Показова функція – властивості, графіки, формули Самостійна показова функція її властивості та графік

Урок №2

Тема: Показова функція, її властивості та графік.

Ціль:Перевірити якість засвоєння поняття «показова функція»; сформувати вміння та навички щодо розпізнавання показової функції, щодо використання її властивостей та графіків, навчити учнів користуватися аналітичною та графічною формами запису показової функції; забезпечити робочу обстановку під час уроку.

Обладнання:дошка, плакати

Форма уроку: класно-урочна

Вигляд уроку: практичне заняття

Тип уроку: урок навчання вмінням та навичкам

План уроку

1. Організаційний момент

2. Самостійна робота та перевірка домашнього завдання

3. Розв'язання задач

4. Підбиття підсумків

5. Завдання додому

Хід уроку.

1. Організаційний момент :

Добрий день. Відкрийте зошити, запишіть сьогоднішнє число та тему уроку «Показова функція». Сьогодні продовжуватимемо вивчати показову функцію, її властивості та графік.

2. Самостійна робота та перевірка домашнього завдання .

Ціль:перевірити якість засвоєння поняття «показова функція» та перевірити виконання теоретичної частини домашнього завдання

Метод:тестове завдання, фронтальне опитування

Як домашнє завдання вам були задані номери із задачника та параграф із підручника. Виконання номерів із підручника перевіряти зараз не будемо, але ви здасте зошити наприкінці уроку. Зараз же буде проведено перевірку теорії у вигляді невеликого тесту. Завдання у всіх однакове: вам дано перелік функцій, ви повинні дізнатися, які з них є показовими (підкреслити їх). І поруч із показовою функцією необхідно написати є вона зростаючою, чи спадною.

Варіант 1

Відповідь

Б)

Д) - показова, спадна

Варіант 2

Відповідь

Г) - показова, спадна

Д) - показова, зростаюча

Варіант 3

Відповідь

а) - показова, зростаюча

Б) - показова, спадна

Варіант 4

Відповідь

а) - показова, спадна

в) - показова, зростаюча

Тепер разом пригадаємо, яка функція називається показовою?

Функція виду , де і називається показовою функцією.

Яка область визначення цієї функції?

Усі дійсні числа.

Яка область значень показової функції?

Усі позитивні дійсні числа.

Убуває якщо основа ступеня більше нуля, але менше одиниці.

У якому разі показова функція зменшується у своїй області визначення?

Зростає, якщо основа ступеня більше одиниці.

3. Розв'язання задач

Ціль: сформувати вміння та навички з розпізнавання показової функції, використання її властивостей і графіків, навчити учнів користуватися аналітичною та графічною формами запису показової функції

Метод: демонстрація вчителем розв'язання типових завдань, усна робота, робота біля дошки, робота у зошит, бесіда вчителя з учнями.

Властивості показової функції можна використовувати при порівнянні 2-х чи більше чисел. Наприклад: № 000. Порівняйте значення і , якщо а) ..gif" width="37" height="20 src=">, то це досить складна робота: нам би довелося витягувати кубічний корінь з 3 і з 9, і порівнювати їх. Але ми знаємо, що зростає, це в свою черга означає, що при збільшенні аргументу збільшується значення функції, тобто нам достатньо порівняти між собою значення аргументу і очевидно, що (можна продемонструвати на плакаті із зображеною зростаючою показовою функцією). І завжди при вирішенні таких прикладів спочатку визначаєте основу показової функції, порівнюєте з 1, визначаєте монотонність і переходите до порівняння аргументів. У випадку зменшення функції: при збільшенні аргументу зменшується значення функції, отже, знак нерівності змінюємо при переході від нерівності аргументів до нерівності функцій. Далі вирішуємо усно: б)

в)

г)

- № 000. Порівняйте числа: а) та

Отже, функція зростає, тоді

Чому?

Зростаюча функція та

Отже, функція зменшується, тоді

Обидві функції зростають по всій своїй області визначення, тому що вони є показовими з підставою ступеня більшим одиниці.

Який сенс у ній закладено?

Будуємо графіки:

Яка функція швидше зростає при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20

Яка функція швидше зменшується, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif"

На проміжку яка з функцій має більше значення у конкретно заданій точці?

Г) http://www.pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif.

Так, область визначення цих функцій усі дійсні числа.

Назвіть область значення кожної з цих опцій.

Області значень цих функцій збігаються: усі позитивні дійсні числа.

Визначте тип монотонності кожної функції.

Всі три функції спадають на всій своїй області визначення, тому що вони є показовими з підставою ступеня меншими одиниці і більшими за нуль.

Яка особлива точка існує у графіка показової функції?

Який сенс у ній закладено?

Яке б не було підстави ступеня показової функції, якщо в показнику стоїть 0, то значення цієї функції 1.

Будуємо графіки:

Давайте проаналізуємо графіки. Скільки точок перетину графіків функцій?

Яка функція швидше зменшується, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41

Яка функція швидше зростає, при прагненні https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41

На проміжку яка з функцій має більше значення у конкретно заданій точці?

Чому показові функції з різними основами мають лише одну точку перетину?

Показові функції є строго монотонними по всій своїй області визначення, тому можуть перетинатися лише у одній точці.

Наступне завдання буде спрямоване використання цієї властивості. № 000. Знайдіть найбільше та найменше значення заданої функції на заданому проміжку а) . Згадаймо, що строго монотонна функція набуває найменшого і найбільшого значення на кінцях заданого відрізка. І якщо функція зростаюча, її найбільше значення буде правому кінці відрізка, а найменше лівому кінці відрізка (демонстрація на плакаті, з прикладу показової функції). Якщо функція спадна, її найбільше значення буде у лівому кінці відрізка, а найменше правому кінці відрізка (демонстрація на плакаті, з прикладу показової функції). Функція зростаюча, т. к., отже, найменше значення функції буде в точці. ) , в) г) вирішіть самостійно зошити, перевірку проведемо усно.

Учні вирішують завдання у зошити

Знижена функція

найбільше значення функції на відрізку

найменше значення функції на відрізку

Зростаюча функція

найменше значення функції на відрізку

найбільше значення функції на відрізку

- № 000. Знайдіть найбільше та найменше значення заданої функції на заданому проміжку а) . Це завдання практично таке саме, як і попереднє. Але тут дано не відрізок, а промінь. Ми знаємо, що функція - зростаюча, при чому вона не має ні найбільшого, ні найменшого свого значення на всій числовій прямій width="68" height ="20">, і прагне до при , тобто на промені функція при прагне до 0, але не має свого найменшого значення, але у неї існує найбільше значення в точці . Пункти б) , в) , г) вирішіть самостійно зошити, перевірку проведемо усно.

Наведено довідкові дані щодо показової функції - основні властивості, графіки та формули. Розглянуто такі питання: область визначення, безліч значень, монотонність, зворотна функція, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та подання за допомогою комплексних чисел.

Зміст

Властивості показової функції

Показова функція y = a x має наступні властивості на безлічі дійсних чисел () :
(1.1) визначена і безперервна, при , всім ;
(1.2) при a ≠ 1 має безліч значень;
(1.3) строго зростає при , суворо зменшується при ,
є постійною при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Інші корисні формули.
.
Формула перетворення до показової функції з іншою основою ступеня:

При b = e отримуємо вираз показової функції через експоненту:

Приватні значення

, , , , .

y = a x при різних значеннях основи a.

На малюнку представлені графіки показової функції
y (x) = a x
для чотирьох значень підстави ступеня: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . Видно, що за a > 1 Показова функція монотонно зростає. Чим більша підстава ступеня a, тим сильніше зростання. При 0 < a < 1 показова функція монотонно зменшується. Чим менший показник ступеня a тим сильніше спадання.

Зростання, спадання

Показова функція, є суворо монотонною, тому екстремумів не має. Основні її властивості представлені у таблиці.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область визначення	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонність	монотонно зростає	монотонно зменшується
Нулі, y = 0	ні	ні
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Зворотня функція

Зворотною для показової функції з основою ступеня a є логарифм з основи a .

Якщо то
.
Якщо то
.

Диференціювання показової функції

Для диференціювання показової функції, її основу потрібно привести до e, застосувати таблицю похідних і правило диференціювання складної функції.

Для цього потрібно використовувати властивість логарифмів
і формулу з таблиці похідних:
.

Нехай задана показова функція:
.
Приводимо її до основи e:

Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну

Тоді

З таблиці похідних маємо (замінимо змінну x на z):
.
Оскільки - це постійна, то похідна z x дорівнює
.
За правилом диференціювання складної функції:
.

Похідна показової функції

.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Приклад диференціювання показової функції

Знайти похідну функції
y = 3 5 x

Рішення

Виразимо основу показової функції через число e.
3 = e ln 3
Тоді
.
Вводимо змінну
.
Тоді

З таблиці похідних знаходимо:
.
Оскільки 5ln 3- це постійна, то похідна z x дорівнює:
.
За правилом диференціювання складної функції маємо:
.

Відповідь

Інтеграл

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
f (z) = a z
де z = x + iy; i 2 = - 1 .
Виразимо комплексну постійну через модуль r і аргумент φ :
a = r e i φ
Тоді

.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Загалом
φ = φ 0 + 2 πn,
де n – ціле. Тому функція f (z)також не однозначна. Часто розглядають її головне значення
.

Властивості показової функції		y = , 0< a < 1
1. Область визначення функції
2. Область значень функції
3. Проміжки порівняння з одиницею	за x > 0, > 1	за x > 0, 0< < 1
при x< 0, 0< < 1	при x< 0, > 1
4. парність, непарність.	Функція не є ні парною, ні непарною (функція загального вигляду).
5. Монотонність.	монотонно зростає на R	монотонно зменшується на R
6. Екстремуми.	Показова функція екстремумів немає.
7. Асимптота	Ось Ox є горизонтальною асимптотою.
8. При будь-яких дійсних значеннях x та y;

Приклади:

Приклад № 1. (Для знаходження області визначення функції). Які значення аргументу є допустимими для функцій:

Приклад № 2. (Для знаходження області значень функції). На малюнку зображено графік функції. Вкажіть область визначення та область значень функції:

Приклад № 3. (Для вказівки проміжків порівняння з одиницею). Кожен з наступних ступенів порівняйте з одиницею:

Приклад № 4. (Для дослідження функції монотонності). Порівняти за величиною дійсні числа m і n якщо:

Приклад № 5. (Для дослідження функції монотонності). Зробіть висновок щодо підстави a, якщо:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Як розташовуються графіки показових функцій щодо один одного при x > 0 x = 0 x< 0?

Таблиця. Висновок:

В одній координатній площині побудовано графіки функцій:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Як розташовуються графіки показових функцій щодо один одного при x > 0 x = 0 x< 0?

Висновок

У цій роботі за темою «Показова функція» мною було розглянуто її поняття, основні властивості та графіки.

Тема показової функції, загалом, є одним із часто використовуваних у обчисленнях та вирішенні різних завдань.

У роботі були наведені приклади та завдання, різні за складністю та за змістом.

Курсова робота, на мою думку, виконана в рамках методики викладання математики та може бути використана як наочний посібник для студентів денного та заочного відділень.

Самостійна робота на тему"Показова функція". Самостійна робота містить 2 варіанти по три завдання у кожному. Тексти самостійної роботи розбиті за трьома рівнями складності. Кожне завдання варіанта відповідає своєму рівню складності. Створено самостійну роботу в текстовому редакторі Microsoft Word. Для зручності наведено правильні відповіді.