Перетин тетраедра через три точки. Використані педагогічні технології

Тип уроку:

Урок вивчення нового матеріалу.

Вигляд уроку:

Урок із застосуванням ІКТ.

Геометрія: підручник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. - М.: Просвітництво, 2010;

Роздатковий матеріал: картки із завданнями.

Інтерактивна дошка;

Ноутбук;

Презентація, виконана у програмі PowerPoint;

Малюнки, виконані у програмі Paint;

Моделі тетраедра, паралелепіпеда, прямокутного паралелепіпеда, куба.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Класна робота. Тема уроку: Побудова перерізів тетраедра. 29.10.

А В С Д ТЕТРАЕДР - ДАВС Тетраедр "tetra" - чотири, "hedra" - грань.

Мета уроку: Завдання уроку: Формування вміння будувати перерізи тетраедра з площиною, яка проходить через три задані точки. Навчальні: - запровадити визначення січної площини та перерізу тетраедра площиною; - сформулювати алгоритм побудови точки перетину прямої та площини; - сформулювати алгоритм побудови перетину тетраедра площиною. Розвиваючі: - продовжити формування просторової уяви та математичної мови; - розвивати аналітичне мислення при виробленні алгоритму побудови точки перетину прямої та площини та переріз багатогранників. Виховують: - Виробляти вміння усвідомлено працювати над поставленою метою; - Виховання культури спілкування.

Аксіоми та теореми стереометрії. 1. Якщо дві паралельні площини перетнуті третьою, то лінії перетину паралельні. 2. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж лише одна. 3. Якщо дві різні площини мають загальну точку, то вони перетинаються по прямій через цю точку. 4. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині. 5. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна. А Б В Г Д

Завдання: Знайти точку перетину прямої АВ із площиною М NK .

2. Завдання: Побудувати прямі через точки M , N , K .

Перетин A B C D M N K

А В З D M N K α

A B C D M N K Потім називають пряму перетину площини перерізу і площини будь-якої грані багатогранника. MK – слід площини MNK на площині ABC MN - … NK - …

Які багатокутники можуть вийти у перерізі? Тетраедр має 4 грані У перерізах можуть вийти: Чотирикутники Трикутники

Побудувати переріз тетраедра площиною, що проходить через точки E, F, K. E F K L A B C D M 1. Проводимо К F . 2. Проводимо FE. 3. Продовжимо EF , продовжимо AC . 5. Проводимо MK. 7. Проводимо EL EFKL – перетин Правила 6. MK AB=L 4. EF AC = М

При цьому необхідно враховувати наступне: 1. З'єднувати можна лише дві точки, що лежать у площині однієї грані. Для побудови перерізу потрібно побудувати точки перетину площини з ребрами і з'єднати їх відрізками. 2 . Якщо в площині грані відзначено лише одну точку, що належить площині перерізу, треба побудувати додаткову точку. Для цього необхідно знайти точки перетину вже збудованих прямих з іншими прямими, що лежать у тих же гранях.

Побудувати переріз тетраедра площиною, що проходить через точки E, F, K. 1 спосіб 2 спосіб

Висновок: незалежно від способу побудови перерізу однакові. Спосіб №1. Спосіб №2.

Перевірте правильність побудови перерізу. Поясніть помилку.

А В С D N K M X P T Перевір себе Рішення 1. KN = α ∩ ДВС Х = К N ∩ ВС Т = МХ ∩ АВ Р = ТХ ∩ АС РТ = α ∩ АВС, М є РТ PN = α ∩ АДС ТР N K - шуканий перетин

Точка М є внутрішньою точкою грані ЗС D тетраедра DABC. Побудуйте переріз цього тетраедра площиною, що проходить через точку М, паралельно площині АВ D . З D А В М К L N

Завдання Побудувати перетин тетраедра ABCD, що проходить через точку R паралельно грані BCD. 2. Побудувати перетин тетраедра ABCD, що проходить через точку S паралельно грані ABC. 3. Побудувати перетин тетраедра ABCD, що проходить через точку T паралельно грані ACD. 4. Побудувати перетин тетраедра DABC площиною, що проходить через точку M, паралельно грані ЗС D .

А D B C  S 2 . А D B C  R 1 . А D B C T  3 . 4.

Домашнє завдання Вивчити п.14 2. № 73 (стор. 29) 3. Творче завдання (за бажанням): виготовити паперову модель тетраедра.

Попередній перегляд:

МБОУ «Кимівська середня загальноосвітня школа

Спаського муніципального району

Республіки Татарстан»

Тема урока :

«Побудова перерізів тетраедра»

10 клас

Розробила

Мамонова Євгенія Геннадіївна,

Вчитель математики першої кваліфікаційної категорії

Жовтень, 2013р.

Освітні завдання:

• забезпечити в ході уроку засвоєння алгоритму розв'язання задач на побудову перерізів тетраедра.
• забезпечити засвоєння понять тетраедра, систематизувати знання, пов'язані з аксіомами стереометрії, визначеннями, властивостями, поняттям взаємного розташування точок, прямих та площин у просторі.
• формувати навички зображення об'єктів, що розглядаються на площині і “читання” пропонованих зображень, графічної грамотності;
• формувати вміння застосовувати прийоми порівняння, узагальнення, умовиводи.

Розвиваючі завдання:

• розвиток уміння застосовувати отримані знання з стереометрії на практиці,
• формування вміння аналізувати та узагальнювати знання у процесі вирішення завдань на побудову перерізів тетраедра.
• вміти виконувати різні обчислення, пов'язані з визначенням площі перерізу.

Виховні завдання:

• виховання усвідомленої потреби у знаннях,
• вдосконалення навчальних умінь та навичок,
• виховувати пізнавальний інтерес до предмета через набуття просторової уяви та вміння бачити красу навколишнього світу.

Тип уроку:

Урок вивчення нового матеріалу.

Вигляд уроку:

Урок із застосуванням ІКТ.

Методи навчання:

Бесіда;

Фронтальне опитування;

Ілюстративно-наочний;

Практичний;

Метод порівняння, узагальнення.

Навчально-методичне обладнання:

Геометрія: підручник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. - М.: Просвітництво, 2010;

Роздатковий матеріал: картки із завданнями.

Матеріально-технічне обладнання:

Інтерактивна дошка;

Ноутбук;

Презентація, виконана у програмі PowerPoint;

Малюнки, виконані у програмі Paint;

Моделі тетраедра, паралелепіпеда, прямокутного паралелепіпеда, куба.

Структура уроку:

1. Орг. момент (1 хв).
2. Актуалізація раніше набутих знань (3 хв).
3. Підготовка до сприйняття нового матеріалу (3 хв).
4. Створення проблемної ситуації (3 хв).
5. Поясненнянового матеріалу (10 хв).
6. Закріплення вивченого матеріалу (5 хв).
7. Самостійна роботаз наступною перевіркою (3 хв).
8. Практикум (5 хв).
9. Розв'язання задачі (8 хв)
10. Це цікаво (1 хв).
11. Постановка домашнього завдання (1 хв).
12. Підбиття підсумків уроку, рефлексія (2 хв).

Хід уроку:

Слайд 2

Інформація для учителя. Мета створення цієї презентації полягає в тому, щоб наочно продемонструвати алгоритми побудови точки перетину прямої та площини, прямої перетину площин та перерізів тетраедра. Вчитель може використовувати презентацію під час проведення уроків з цієї теми, або рекомендувати її самостійного вивчення учням, пропустивши з якоїсь причини її вивчення, чи повторення ними окремих питань. Учні супроводжують вивчення презентації наповненням короткого конспекту.

Слайд 3

Інформація для учня. Мета створення цієї презентації полягає у тому, щоб наочно продемонструвати алгоритми розв'язання задач на побудову у просторі. Постарайтеся уважно і, не поспішаючи, вивчати коментарі на виносках та зіставляти їх із малюнком. Заповнюйте у короткому конспекті всі перепустки. При самостійному вирішенні завдань необхідно спочатку самому продумати рішення, та був переглянути запропоноване автором. Запишіть запитання до вчителя та поставте їх на уроці.

Слайд 4

I. Пряма а перетинає площину? Побудувати точку перетину.

? ? Через пряму а проведемо площину ? пряма т лежить у площині? Запишіть алгоритм у короткий конспект.

Слайд 5

1) Побудувати точку перетину прямої МN та площини BDC.

D B A C M N P (М, N) (АВС) Відповідь: Через пряму МN проходить площину АВС, що перетинає площину BDC прямою ВС. Пряма МN перетинається із прямою ВС у точці Р. Пряма ВС лежить у площині BDC, отже пряма МN перетинає площину BDC у точці Р.

Слайд 6

2) Побудувати точку перетину прямої МN та площини АBD.

D B A C M N P Відповідь: Переглянути рішення Пряма MN належить площині DC, яка перетинає площину АВД по прямій DB Перетнемо прямі MN і DB. Далі

Слайд 7

ІІ. Нехай пряма АВ не є паралельною площині α. Побудувати лінію перетину площин αі АВС, якщо точка С належить площині α

B C A α β P m Побудуємо точку перетину прямої АВ із площиноюα. За умовою та побудовою точки С та Р загальні для площин АВС та α. За умовою та побудовою точки С та Р загальні для площин АВС та α. Значить пряма СР пряма перетину площин АВС і α. II. Щоб побудувати лінію перетину площини α і площині АВС (С α, (А, В) α, АВ || α), потрібно: побудувати точку перетину прямої АВ і площини α - точку Р; 2) точка Р та С загальні точки площин (АВС) та α, отже (АВС) α = СР Запишіть алгоритм у короткий конспект.

Слайд 8

3).Побудувати пряму перетин площин МNP і АDB.

Побудувати відрізок перетину площини МNP та грані АDB. M D B A C N P X Q R Відповідь: Побудуємо точку перетину прямої МР із площиною ADB (точку Х). Пряма МР лежить у площині ADС, що перетинає площину ADВ прямою AD. Пряма МР лежить у площині ADС, що перетинає площину ADВ прямою AD. Точки Х та N загальні точки площин ADВ та MNP. Значить вони перетинаються прямою ХN. Запишіть хід побудови до короткого конспекту.

Слайд 9

Перетин тетраедра.

C D B A M N P α Багатокутник, складений із відрізків, за якими січна площина перетинає грані багатогранника, називається перетином багатогранника. Відрізки, з яких складається переріз, називаються слідами площини на гранях. ∆ MNP – переріз. Нехай площину перетинає тетраедр, тоді вона називається січною площиною. Площина перетинає ребра тетраедра в точках М,N,P, а межі - по відрізках MN, MP, NP... Трикутник МNP називається перетином тетраедра цією площиною... Запишіть у короткий конспект.

Слайд 10

Перетин тетраедра може бути чотирикутником.

A C D B M N P Q α MNPQ – перетин.

Слайд 11

Алгоритм побудови перерізу тетраедра площиною, що проходить через дані точки M,N,P.

MNPQ - шуканий переріз. D B A C M N P Q X Побудувати сліди сіючої площини у тих гранях, у яких є 2 спільні точки з нею. 3)Через побудовані точки провести пряму, якою січна площина перетинає площину обраної грані АВС. 4) Відзначити та позначити точки, в яких ця пряма перетинає ребра грані АВС та добудувати інші сліди. 2) Вибрати грань, у якій ще немає сліду. Побудувати точки перетину прямих, що вже містять побудовані сліди, з площиною обраної грані: АВС.

Слайд 12

Побудувати переріз тетраедраплощиною MNP.2 спосіб.

D B A C M N P Q X MNPQ – перетин, що шукається.

Слайд 13

№1. (Вирішіть самостійно завдання). Побудувати перетин тетраедра площиною MNP.

Q D A C M N P X B X Переглянути рішення Другий спосіб: Далі

Слайд 14

№2. (Вирішіть самостійно). Побудувати перетин тетраедра площиною MNP, якщо Р належить грані АDC.

Слайд 15

№3. Побудувати переріз тетраедраплощиною α, паралельною ребру CD і проходить через т. F, що лежить на площині DBC, і точку М.

3) α (ADB) = MN, α (ABC) = QP. Q D B A M N P F C Дано: α||DC, (M; F) α, F (BDC), M AD. Побудувати перетин тетраедра DABC Т.к. α||DC, то (DBC) α=FP і FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Оскільки α||DC, то (DAC) α=MQ і MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP і NP α, отже DC||α, отже MNPQ – шуканий переріз. Продовжіть фразу: Якщо дана пряма а паралельна до певної площини α, то будь-яка площина, що проходить через цю пряму а і непаралельна площині α, перетинає площину α по прямій b,……………………………………… паралельної прямої а. Продовжіть… α||DC, отже площина BDC перетинає α по прямій, паралельній DC і проходить через точку F α||DC, отже площина ADC перетинає α по прямій, паралельній DC і проходить через точку M

Слайд 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC) = CD, (ADC)α=MN MP||CD. P №4. Побудувати переріз тетраедраплощиною α, паралельної грані BDC і через точку М. B A C M N D Дано: α||DBC, M α, M AD. Побудувати переріз тетраедра DABC площиною α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP – шуканий переріз, т.к………. Продовжіть фразу: Якщо дві паралельні площини перетнуті третьою площиною, то лінії їх перетину……………………… паралельні. дві прямі MN і MP площини, що перетинаються, α відповідно паралельні двом перетинаються прямим DB і DC площині (DBC), значить α||(DBC). α||DВC, означає площини ADВ і ADC перетинають площини α і (ВDС) за прямими MN і МР, паралельними DB і DС відповідно і проходять через точку M.

Слайд 17

Далі М R B A C N №5. Вирішіть самостійно та запишіть хід рішення. Побудувати перетин тетраедра площиною α, що проходить через точку М та відрізок PN, якщо PN||AB та М належить площині (АВС). Р Q D 1)NP||АВ NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2) MQ AC = R. α (ADC) = NR, α (BDC) = PQ. RNPQ - шуканий переріз. Переглянути рішення NP||(AВC), отже, площина MNP перетинає площину AВС по прямій MQ, паралельній NP і проходить через точку M.

Слайд 18

Не забудьте сформулювати питання вчителю, якщо щось було не зрозуміло, а також свої рекомендації щодо вдосконалення цієї презентації.

Слайд 19

Під час створення презентації були використані підручники та посібники: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов та ін. Геометрія 10-11. М. «Освіта» 2008. 2.Б.Г. Зів, В.М. Мейлер, А.Г. Баханський Завдання з геометрії 7-11.М. «Освіта» 2000

Переглянути всі слайди

Тема: «Побудова перерізів тетраедра та паралелепіпеда».

Предмет: геометрія

Клас: 10

Використовувані педагогічні технології:

технологія проектного навчання, інформаційні технології.

Тема урока: Побудова перерізів тетраедра та паралелепіпеда

Тип уроку: урок закріплення та розвитку знань.

Форми роботи на уроці: фронтальна, індивідуальна

Список використаних джерел та програмно-педагогічних засобів:

1. . Геометрія. 10-11 класи, - М: Просвітництво, 2006р.

2. . Завдання в розвитку просторових уявлень. Книжка для вчителя. - М: Просвітництво, 1991.

3. Г. Прокопенко. Методи вирішення завдань на побудову перерізів багатогранників. 10 клас . ППГУ, м. Челябінськ. Щотижнева учбово-методична газета "Математика" 31/2001.

4. А. Мордкович. Семінар дев'ятий. Тема: Побудова перерізів багатогранників (позиційні задачі). Щотижневий додаток до газети "Перше вересня". Математика. 3/94.

5. Мультимедійний інтерактивний курс "Відкрита математика. Стереометрія." Фізикон

6. «Жива геометрія»

Освітні:

Перевірити знання теоретичного матеріалу про багатогранники (тетраедр, паралелепіпед).

Продовжити формування вміння аналізувати креслення, виділяти основні елементи під час роботи з моделлю багатогранника, намічати хід вирішення завдання, передбачати кінцевий результат.

Відпрацювати навички розв'язання задач на побудову перерізів багатогранників.

Розвивати графічну культуру та математичну мову.

Формувати навички використання комп'ютерних технологій під час уроків геометрії.

Розвиваючі:

Розвивати пізнавальний інтерес учнів.

Формувати та розвивати у учнів просторову уяву.

Виховні:

Виховувати самостійність, акуратність, працьовитість.

Виховувати вміння працювати індивідуально над завданням.

Виховувати волю та наполегливість для досягнення кінцевих результатів.

Технічне забезпечення:

Комп'ютер із встановленими програмами «Жива геометрія», Power Point, мультимедіапроектор.

Роздатковий матеріал:

Бланки-картки із завданнями для практичної роботи, бланки-картки з відповідями для взаємоперевірки, опори – пам'ятки, презентація на тему «Аксіоми стереометрії, наслідки з них», презентація учня «Побудова перерізів паралелепіпеда», кольорові олівці.

Структура уроку.

Хід уроку:

1)Привітання. Організаційний момент.

2) Постановка мети та завдання уроку.

Завдання на побудову перерізів у багатогранниках займають помітне місце у курсі стереометрії. Їх роль зумовлена ​​тим, що розв'язання цього виду завдань сприяє засвоєнню аксіом стереометрії, наслідків їх, розвитку просторових уявлень і конструктивних навичок. Уміння вирішувати завдання на побудову перерізів є основою вивчення багатьох тем курсу стереометрії. При вирішенні багатьох стереометричних задач використовують перерізи багатогранників площиною.

На попередніх уроках ми з вами познайомилися з аксіомами стереометрії, наслідками з аксіом і теоремами про паралельність прямих і площин у просторі. Ми розглянули алгоритми побудови нескладних перерізів куба, тетраедра та паралелепіпеда. Ці перерізи, як правило, задавалися точками, розташованими на ребрах чи гранях багатогранника. Сьогодні на уроці ми з вами повторимо геометричні твердження, що дають змогу сформулювати правила побудови перерізів. А також навчимося застосовувати ці знання при вирішенні задачі на побудову перерізу тетраедра та паралелепіпеда площиною, що проходить через три дані точки, такі, що жодні три з цих точок не лежать в одній грані.

3) Повторення вивченого матеріалу із використанням презентації.

Давайте повторимо деякі питання теорії.

Що таке січна площина? Як можна задати січну площину? Що таке переріз тетраедра (паралелепіпеда)? Які багатокутники ми отримували під час побудови перерізів тетраедра? А які багатокутники ми можемо отримати при побудові перерізів паралелепіпеда? Давайте повторимо аксіоми стереометрії, наслідки з них та способи завдання площини (презентація 1, слайди 1-10)

4) Актуалізація опорних знань.

Презентація учня «Побудова перерізів паралелепіпеда».

Тепер давайте згадаємо алгоритм побудови перерізу тетраедра на прикладі двох завдань (Презентація 1, слайди 11-12).(Побудова коментується покроково вчителем).

Пащенко Олексій за допомогою своєї презентації нагадає нам про алгоритми побудови перерізів паралелепіпеда. (презентація 2, слайди 1-5) (учень демонструє слайди, коментуючи послідовність побудови)

https://pandia.ru/text/78/168/images/image002_167.gif" width="327" height="244">

Практична робота з побудови перерізів паралелепіпеда. Додаток 1

Додаток 2

Опора-пам'ятка

Аксіома1 . Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину, і лише одна. Аксіома2 . Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині. Аксіома3 . Якщо дві площини мають спільну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать всі загальні точки цих площин.

Наслідки з аксіом:

Сьогодні ще раз розберемо, як побудувати перетин тетраедра площиною.
Розглянемо найпростіший випадок (обов'язковий рівень), коли 2 точки площини перерізу належать до однієї грані, а третя точка - до іншої грані.

Нагадаємо алгоритм побудови перерізівтакого виду (випадок: 2 точки належать до однієї грані).

1. Шукаємо грань, що містить 2 точки площини перерізу. Проводимо пряму через дві точки, що лежать в одній грані. Знаходимо точки її перетину з ребрами тетраедра. Частина пряма, що опинилася в грані, є стороною перерізу.

2. Якщо багатокутник можна замкнути – перетин побудований. Якщо не можна замкнути, то знаходимо точку перетину побудованої прямої та площини, що містить третю точку.

1. Бачимо, що точки E та F лежать в одній грані (BCD), проведемо пряму EF у площині (BCD).
2. Знайдемо точку перетину прямої EF з ребром тетраедра BD, це точка Н.
3. Тепер слід знайти точку перетину прямої EF і площині, що містить третю точку G, тобто. площині (ADC).
Пряма CD лежить у площинах (ADC) та (BDC), отже вона перетинається з прямої EF, і точка К є точкою перетину прямої EF та площини (ADC).
4. Далі знаходимо ще дві точки, що лежать в одній площині. Це точки G і K, обидві лежать у площині лівої бічної грані. Проводимо пряму GK, відзначаємо точки, у яких ця пряма перетинає ребра тетраедра. Це точки M та L.
4. Залишилося "замкнути" перетин, тобто з'єднати точки, що лежать в одній грані. Це точки M і H, і L і F. Обидва цих відрізка - невидимі, проводимо їх пунктиром.

У перерізі вийшов чотирикутник MHFL. Усі його вершини лежать на ребрах тетраедра. Виділимо перетин, що вийшов.

Тепер сформулюємо "властивості" правильно побудованого перерізу:

1. Усі вершини багатокутника, що є перетином, лежать на ребрах тетраедра (паралелепіпеда, багатокутника).

2. Усі сторони перерізу лежать у гранях багатогранника.
3. У кожній грані багаторанника може бути не більше однієї (одна або жодної!) сторони перерізу

навчитися застосовувати аксіоми стереометрії під час вирішення завдань;

навчитися знаходити положення точок перетину січної площини з ребрами тетраедра;

освоїти методи побудови цих перерізів

формувати пізнавальну активність, уміння логічно мислити;

створити умови самоконтролю засвоєння знань та вмінь.

Тип уроку: Формування нових знань.

Хід уроку

I. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація знань учнів

Фронтальне опитування. (Аксіоми стереометрії, властивості паралельних площин)

Слово вчителя

Для вирішення багатьох геометричних завдань, пов'язаних з тетраедром, корисно вміти будувати на малюнку їхперерізу різними площинами. (слайд 3). Назвемосічучою площиною тетраедра будь-яку площину, по обидва боки якої є точки даного тетраедра. Січна площина перетинає грані тетраедра по відрізках. Багатокутник, сторонами якого є ці відрізки, називаєтьсяперетином тетраедра . Так як тетраедр має чотири грані, його перерізами можуть бути тільки трикутники і чотирикутники. Відзначимо також, що для побудови перерізу достатньо побудувати точки перетину січої площини з ребрами тетраедра, після чого залишається провести відрізки, що з'єднують кожні дві побудовані точки, що лежать в одній і тій же грані.

На цьому уроці ви зможете докладно вивчити перерізи тетраедра, освоїти методи побудови цих перерізів. Ви дізнаєтесь п'ять правил побудови перерізів багатогранників, навчитеся знаходити положення точок перетину січої площини з ребрами тетраедра.

Актуалізація опорних понять

Перше правило. Якщо дві точки належать як січній площині, так і площині деякої грані багатогранника, то пряма, що проходить через ці дві точки, є лінією перетину площини, що сить, з площиною цієї грані (наслідок аксіоми про перетин площин).

Друге правило . Якщо січна площина паралельна певній площині, ці дві площини перетинаються з будь-якою гранню по паралельним прямим (властивість двох паралельних площин, пересічених третьої).

Третє правило. Якщо січна площина паралельна прямій, що лежить у певній площині (наприклад, площині якоїсь грані), то лінія перетину січної площини з цією площиною (граню) паралельна цій прямій (властивість прямої, паралельної площині).

Четверте правило. Січна площина перетинає паралельні грані по паралельним прямим (властивість паралельних площин, перетнутих третьою).

П'яте правило . Нехай дві точки А та В належать січній площині, а точки A 1 та B 1 є паралельними проекціями цих точок деяку грань. Якщо прямі АВ та A 1 B 1 паралельні, то січна площина перетинає цю грань прямою, паралельною A 1 B 1 . Якщо ж прямі АВ та A 1 B 1 перетинаються в деякій точці, то ця точка належить як січній площині, так і площині цієї грані (перша частина цієї теореми випливає із властивості прямої, паралельної площині, а друга витікає з додаткових властивостей паралельної проекції).

ІІІ. Вивчення нового матеріалу (формування знань, умінь)

Колективне вирішення завдань із поясненням (слайд 4)

Завдання 1. Побудуйте переріз тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки К є АТ, М є ДС, Е ВС.

Уважно подивимося на креслення. Оскільки точки К і М належать одній площині, ми знаходимо перетин січої площини з гранню АДС – це відрізок КМ. Точки М і Е також лежать в одній площині, значить перетином площини, що сить, і грані ВДС є відрізок МЕ. Знаходимо точку перетину прямих КМ та АС, які лежать в одній площині АДС. Тепер точка Х лежить у межі АВС, її можна з'єднати з точкою Е. Проводимо пряму ХЕ, яка перетинається з АВ у точці Р. Відрізок РЕ є перетин січної площини з гранню АВС, а відрізок КР є перетин січної площини з гранню АВС. Отже, чотирикутник КМЕР наш шуканий перетин. Запис рішення у зошиті:

Рішення.

КМ = α ∩ АДС

МЕ = α ∩ ВДС

Х = КМ ∩ АС

Р = ХЕ ∩ АВ

РЕ = α ∩ АВС

КР = α ∩ АДВ

КМЕР – шуканий переріз

Завдання 2. (слайд 5)

Побудуйте переріз тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки К є АВС, М є ВДС, N є АТ

Розглянемо проекції якихось двох точок. У тетраедрі проекції точок знаходять із вершини на площину основи, тобто. М→М 1 , N→А. Знаходимо перетин прямих NM та AM 1 точку Х. Дана точка належить січній площині, оскільки лежить на прямій NM, належить площині АВС, оскільки лежить на прямій АМ 1 . Отже, тепер у площині АВС ми маємо дві точки, які можна з'єднати, отримуємо пряму КХ. Пряма перетинає бік ВС у точці L, а бік АВ у точці Н. У межі АВС знаходимо лінію перетину, вона проходить через точки Н і К – це НL. У межі АВД лінія перетину – НN, грані ВДС проводимо лінію перетину через точки L і М – це LQ й у грані АДС отримуємо відрізок NQ. Чотирьохкутник HNQL – шуканий переріз.

Рішення

М → М 1 N → А

Х = NМ ∩ АМ 1

L = КХ ∩ НД

H = КХ ∩ АВ

НL = α ∩ АВС, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ ВДС, М є LQ

NQ = α ∩ АДС

HNQL – шуканий переріз

IV. Закріплення знань

Розв'язання задачі з подальшою перевіркою

Завдання 3. (слайд 6)

Побудуйте переріз тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки К є ВС, М АДВ, N є ВДС.

Рішення

1. М → М 1 , N → N 1

Х = NМ ∩ N 1 М 1

R = КХ ∩ АВ

RL = α ∩ АВД, М є RL

КР = α ∩ ВДС, N є КР

LP = α ∩ АДС

RLPK - шуканий переріз

V. Самостійна робота (за варіантами)

(Слайд 7)

Завдання 4. Побудуйте перетин тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки М є АВ, N є АС, К є АТ.

Рішення

КМ = α ∩ АВД,

МN = α ∩ АВС,

КN = α ∩ АДС

KMN – шуканий переріз

Завдання 5. Побудуйте переріз тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Рішення

MN = α ∩ АВД

NK = α ∩ ВДС

Х = NК ∩ НД

Р = АС ∩ МХ

РК = α ∩ АДС

MNKP – шуканий переріз

Завдання 6. Побудуйте переріз тетраедра ДАВС площиною, що проходить через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

Рішення

KN = α ∩ ДВС

Х = КN ∩ НД

Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС

РТ = α ∩ АВС, М є РТ

PN = α ∩ АДС

ТР N K – шуканий переріз

VI. Підсумок уроку.

(слайд 8)

Отже, сьогодні ми навчилися будувати найпростіші завдання на перерізи тетраедра. Нагадую, що перерізом багатогранника називається багатокутник, отриманий в результаті перетину багатогранника з деякою площиною. Сама площина у своїй називається січною площиною. Побудувати перетин означає визначити, які ребра перетинає січна площина, вид отриманого перерізу і точне положення точок перетину площини з цими ребрами. Тобто ті цілі, які були поставлені на уроці, вирішені.

VII. Домашнє завдання.

(слайд 9)

Практична робота "Побудувати перерізи тетраедра" в електронному вигляді або паперовому варіанті. (Кожному було дано індивідуальне завдання