Що означає проінтегрувати диференціальне рівняння? Види диференціальних рівнянь, методи розв'язання

При вирішенні різних завданьфізики, хімії, математики та інших точних наукчасто користуються математичними моделямиу вигляді рівнянь, що пов'язують одну або кілька незалежних змінних, невідому функцію цих змінних та похідні (або диференціали) цієї функції. такого сорту рівняння називають диференціальними.
Якщо незалежна змінна одна, то рівняння називається звичайним; якщо незалежних змінних дві або більше, то рівняння називається диференціальним рівнянням у приватних похідних.З метою отримати висококваліфікованих фахівців у всіх ВНЗ, де вивчають точні дисципліни, обов'язково курс диференціальних рівнянь. Для одних студентів теорія дається важко, практика ще з горем навпіл, для інших важка і теорія, і практика. Якщо аналізувати диференціальні рівняння з практичної сторони, то для їх обчислень Вам потрібно лише добре вміти інтегрувати та брати похідні. Всі інші перетворення зводяться до кількох схем, які можна зрозуміти і вивчити. Нижче вивчимо основні визначення та метод вирішення простих ДР.

Теорія диференціальних рівнянь

Визначення: Звичайним диференціальним рівняннямназивають рівняння, що у собі пов'язує незалежну змінну х , функцію у(х) , її похідні у"(х) , у n (х) і має загальний виглядF(x, y(x), y" (x), …, y n (x)) = 0
Диференціальним рівнянням(ДР) називається або звичайне диференціальне рівняння, або диференціальне рівняння у приватних похідних. Порядок диференціального рівняннявизначається порядком старшої похідної (n), яка входить у дане диференціальне рівняння.

Загальним рішенням диференціального рівнянняназивається функція, яка містить стільки постійних, яким є порядок диференціального рівняння, і підстановка якої на дане диференціальне рівняння перетворює його на тотожність, тобто має вигляд y=f(x, C 1 , C 2 , …, C n).
Загальне рішення, яке не дозволено щодо у(х) і має вигляд F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 називається загальним інтегралом диференціального рівняння.
Рішення знайдене із загального при фіксованих постійних значеннях C 1 ,C 2 , …, C n називається приватним розв'язком диференціального рівняння.
Одночасне завдання диференціального рівняння та відповідної кількості початкових умов називається завданням Коші.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0) = y n (0)
Звичайним диференціальним рівнянням першого порядкуназивається рівняння виду
F(x, y, y") = 0. (1)
Інтегралом рівняння(1) називається співвідношення виду Ф (x, y) = 0, якщо кожна неявно задана ним безперервно-диференційована функція є рішенням рівняння (1).
Рівняння, яке має вигляд (1) і не може бути зведене до простому виглядуназивається рівнянням, нерозв'язним щодо похідної.Якщо його можна записати у вигляді
y" = f(x,y), то воно називається вирішеним рівнянням щодо похідної.
Завдання Коші для рівняння першого порядкумістить лише одну початкову умову і має вигляд:
F(x, y, y") = 0
y(x 0)=y 0 .
Рівняння виду
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
де змінні x i y є "симетричними": можна припускати, що x – незалежна, а y – залежна змінна, або навпаки, y – незалежна, а x – залежна змінна, називається рівнянням у симетричній формі.
Геометричний зміст диференціального рівняння першого порядку
y"=f(x,y) (3)
полягає в наступному.
Це рівняннявстановлює зв'язок (залежність) між координатами точки (x; y) та кутовим коефіцієнтом y" дотичної до інтегральної кривої, що проходить через цю точку. Таким чином, рівняння y"= f(x,y) являє собою сукупність напрямків (поле напрямків)на декартової площиниОкси.
Крива побудована на точках у яких напрямок поля однаково називається ізоклиною. Ізокліни можна використовувати для наближеної побудови інтегральних кривих. Рівняння ізоклин можна отримати, якщо покласти похідну рівну постійної y"=С
f(x, y)=З - рівняння ізокліни..
Інтегральною лінією рівняння(3) називається графік розв'язання цього рівняння.
Звичайні диференціальні рівняння, розв'язання яких можна задати аналітично y=g(x), називаються інтегрованими рівняннями.
Рівняння виду
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
називаються рівняннями із роздільними змінними.
Із них і почнемо знайомство з диференціальними рівняннями. Процес знаходження рішень ДР називають інтегруванням диференціального рівняння.

Рівняння з розділеними змінними

приклад 1. Знайти рішення рівняння y"=x.
Виконати перевірку рішення.
Рішення: Запишемо рівняння у диференціалах
dy/dx=x або dy=x*dx.
Знайдемо інтеграл правої та лівої частини рівняння
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2 /2+C.
Це і є інтеграл ДР.
Перевіримо його правильність, обчислимо похідну функції
y"=1/2*2x+0=x.
Як можна переконатися отримали вихідне ДР, отже обчислення вірні.
Ми щойно знайшли рішення диференціального рівняння першого порядку. Це саме простіше рівняння, яке можна собі уявити.

приклад 2. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
(x+1)y"=y+3
Рішення: Запишемо вихідне рівняння у диференціалах
(x+1)dy=(y+3)dx.
Отримане рівняння зводимо до ДР із розділеними змінними

Все, що залишилося це взяти інтеграл від обох частин

За табличними формулами знаходимо
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Якщо експонувати обидві частини, то отримаємо
y+3=e ln|x+1|+C або y=e ln|x+1|+C -3.
Такий запис є правильним, але не є компактним.
На практиці застосовують інший прийом, при обчисленні інтеграла постійну вносять під логарифм
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
За властивостями логарифму це дозволяє згорнути два останні доданки
ln|y+3|=ln(З|x+1|).
Тепер під час експонування розв'язання диференціального рівняннястане компактним і легко читаним
y= З|x+1|+3
Запам'ятайте це правило, на практиці воно застосовується як стандарт обчислень.

приклад 3. Розв'язати диференціальне рівняння
y"=-y*sin(x).
Рішення: Запишемо рівняння у диференціалах
dy/dx = y * sin (x)
або після перегрупування множників у вигляді рівняння з розділеними змінними
dy/y=-sin(x)dx.
Залишилось проінтегрувати рівняння
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Константу зручно внести під логарифм, та ще й негативним значеннямщоб перенісши в ліву частину отримати
ln | З * y | = cos (x).
Експонуємо обидві частини залежності
З * y = exp (cos (x)).
Це і є Його можна залишити як є, а можна постійну перенести у правий бік

Обчислення не складні, інтеграли теж у більшості випадків можна знайти за табличними формулами інтегрування.

приклад 4. Вирішити завдання Коші
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Рішення: Тут уже попередні перетворення не пройдуть. Однак рівняння лінійне та досить просте. У таких випадках потрібно ввести нову змінну
z = y + x.
Пам'ятаючи, що y=y(x) знайдемо похідну з z.
z"= y"+1,
звідки висловлюємо стару похідну
y"=z"-1.
Підставимо це все у вихідне рівняння
z"-1=z або z"=z+1.
Розпишемо диференціальне рівняння через диференціали
dz = (z + 1) dx.
Відокремлюємо змінні у рівнянні

Залишилось обчислити прості інтеграли, які під силу кожному

Експонуємо залежність, щоб позбавитися логарифму при функції
z+1=e x+C або z=e x+1 -1
Не забуваймо повернутися до виконаної заміни
z = x + y = e x + -1,
звідси виписуємо спільне рішеннядиференціального рівняння
y = e x + -x-1.
Знайти рішення задачі Коші в ДР в даному випадкуне складно. Виписуємо умову Коші
y(1)=e 3 -2
і підставляємо в щойно знайдене рішення
e 1+З -1-1 = e 3 -2.
Звідси отримаємо умову для обчислення постійної
1+З=3; З=3-1=2.
Тепер можемо записати вирішення задачі Коші (часткове рішення ДР)
y = e x +2-x-1.
Якщо Ви добре вмієте інтегрувати, з похідною у Вас справи теж на висоті, то тема диференціальних рівнянь для Вас не буде перешкодою в освіті.
У подальшому навчанніВам необхідно вивчити декілька важливих схем, щоб навчитися розрізняти рівняння та знати, яка заміна чи методика працює у кожному випадку.
Після цього на Вас чекають однорідні та неоднорідні ДР, диференціальні рівняння першого та вищих порядків. Щоб не навантажувати Вас теорією в наступних урокахми будемо наводити тільки тип рівнянь та коротку схемуїх обчислень. Всю теорію Ви можете почитати з методичних рекомендаційдля вивчення курсу Диференційне рівняння" (2014) автори Бокало Микола Михайлович, Доманська Олена Вікторівна, Чмир Оксана Юріївна. Можете використовувати інші джерела, які містять зрозумілі пояснення теорії диференціальних рівнянь. Готові прикладидля диф. рівнянь взято із програми для математиків ЛНУ ім. І. Франка.
Ми знаємо, як вирішити диференціальні рівняння та постараємося у легкий спосібприщепити ці знання Вам.

Диференціальні рівняння першого ладу. Приклади розв'язків.
Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Диференціальні рівняння (ДК). Ці два слова зазвичай жахають середньостатистичного обивателя. Диференціальні рівняння здаються чимось позамежним і важким у освоєнні та багатьом студентам. Уууууу… диференціальні рівняння, як би мені це все пережити?!

Така думка і такий настрій докорінно невірний, бо насправді ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ – ЦЕ ПРОСТО І НАВІТЬ ЗАХИБНО. Що потрібно знати та вміти, щоб навчитися вирішувати диференціальні рівняння? Для успішного вивченнядифурів ви повинні добре вміти інтегрувати та диференціювати. Чим якісніше вивчені теми Похідна функції однієї змінноїі Невизначений інтеграл, тим легше розібратися в диференціальних рівняннях. Скажу більше, якщо у вас більш менш пристойні навички інтегрування, то тема практично освоєна! Чим більше інтегралів різних типівви вмієте вирішувати – краще. Чому? Прийде багато інтегрувати. І диференціювати. Також наполегливо рекомендуюнавчитися знаходити.

У 95% випадків у контрольні роботизустрічаються 3 типи диференціальних рівнянь першого порядку: рівняння з змінними, що розділяються, які ми розглянемо цьому уроці; однорідні рівнянняі лінійні неоднорідні рівняння. Початківцям вивчати дифури раджу ознайомитися з уроками саме в такій послідовності, причому після вивчення перших двох статей не завадить закріпити свої навички на додатковому практикумі – рівняння, що зводяться до однорідних.

Є ще рідкісні типи диференціальних рівнянь: рівняння у повних диференціалах , рівняння Бернуллі та інших. Найбільш важливими з двох останніх видів є рівняння в повних диференціалах, оскільки крім цього ДК я розглядаю новий матеріал – приватне інтегрування.

Якщо у вас у запасі всього день-два, то для надшвидкої підготовкиє бліц-курсу pdf-форматі.

Отже, орієнтири розставлені – поїхали:

Спочатку згадаємо звичайні рівняння алгебри. Вони містять змінні та числа. Найпростіший приклад: . Що означає вирішити нормальне рівняння? Це означає знайти безліч чисел, які задовольняють даному рівнянню. Легко помітити, що дитяче рівняння має єдине коріння: . Для приколу зробимо перевірку, підставимо знайдений корінь у наше рівняння:

– отримано правильну рівність, отже, рішення знайдено правильно.

Дифури влаштовані приблизно так само!

Диференціальне рівняння першого порядкув загальному випадку містить:
1) незалежну змінну;
2) залежну змінну (функцію);
3) першу похідну функції: .

У деяких рівняннях 1-го порядку може бути відсутнім «ікс» або (і) «ігрок», але це не суттєво – важливощоб у ДК булаперша похідна , та не булопохідних вищих порядків - і т.д.

Що означає ?Вирішити диференціальне рівняння – це означає знайти безліч усіх функцій, які задовольняють даному рівнянню. Така безліч функцій часто має вигляд (довільна постійна), який називається загальним рішенням диференціального рівняння.

Приклад 1

Розв'язати диференціальне рівняння

Повний боєкомплект. З чого почати Рішення?

Насамперед потрібно переписати похідну трохи в іншому вигляді. Згадуємо громіздке позначення, яке багатьом з вас, напевно, здавалося безглуздим і непотрібним. У дифурах рулить саме воно!

На другому кроці дивимося, чи не можна розділити змінні?Що означає розділити змінні? Грубо кажучи, у лівій частинінам потрібно залишити тільки «Ігреки», а у правій частиніорганізувати тільки «ікси». Поділ змінних виконується за допомогою «шкільних» маніпуляцій: винесення за дужки, перенесення доданків з частини до частини зі зміною знака, перенесення множників з частини до частини за правилом пропорції тощо.

Диференціали і – це повноправні множники та активні учасникибойові дії. У прикладі змінні легко розділяються перекиданням множників за правилом пропорції:

Змінні розділені. У лівій частині – лише «ігреки», у правій частині – лише «ікси».

Наступний етап - інтегрування диференціального рівняння. Все просто, навішуємо інтеграли на обидві частини:

Зрозуміло, що інтеграли треба взяти. В даному випадку вони табличні:

Як ми пам'ятаємо, до будь-якої первісної приписується константа. Тут два інтеграли, але константу достатньо записати один раз (т.к. константа + константа все одно дорівнює іншій константі). Найчастіше її поміщають у праву частину.

Строго кажучи, після того, як взяті інтеграли, диференціальне рівняння вважається вирішеним. Єдине, що у нас «гравець» не виражений через «ікс», тобто рішення представлене у неявномувигляді. Рішення диференціального рівняння у неявному вигляді називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Тобто – це спільний інтеграл.

Відповідь у такій формі цілком прийнятна, але чи немає кращого варіанта? Давайте спробуємо отримати спільне рішення.

Будь ласка, запам'ятайте перший технічний прийом , він дуже поширений і часто застосовується в практичних завданнях: якщо у правій частині після інтегрування з'являється логарифм, то константу у багатьох випадках (але не завжди!) теж доцільно записати під логарифмом.

Тобто, ЗАМІСТЬзаписи зазвичай пишуть .

Навіщо це потрібно? А для того, щоб легше було висловити «гравець». Використовуємо властивість логарифмів . В даному випадку:

Тепер логарифми та модулі можна прибрати:

Функція представлена ​​у явному вигляді. Це і є спільним рішенням.

Відповідь: спільне рішення: .

Відповіді багатьох диференціальних рівнянь досить легко перевірити. У нашому випадку це робиться дуже просто, беремо знайдене рішення та диференціюємо його:

Після чого підставляємо і похідну у вихідне рівняння:

– отримано правильну рівність, отже, загальне рішення задовольняє рівнянню , що потрібно перевірити.

Надаючи константі різні значення, можна отримати нескінченно багато приватних рішеньдиференціального рівняння. Зрозуміло, кожна з функцій , , і т.д. задовольняє диференційного рівняння.

Іноді загальне рішення називають сімейством функцій. У даному прикладіспільне рішення – це сімейство лінійних функцій, А точніше, сімейство прямих пропорційностей.

Після ґрунтовного розжовування першого прикладу доречно відповісти на кілька наївних питаньпро диференціальні рівняння:

1)У цьому прикладі нам удалося розділити змінні. Чи завжди це можна зробити?Ні не завжди. І навіть частіше змінні не можна розділити. Наприклад, в однорідних рівняннях першого порядкунеобхідно спочатку провести заміну. В інших типах рівнянь, наприклад, у лінійному неоднорідному рівнянні першого порядку, потрібно використовувати різні прийоми та методи для знаходження загального рішення. Рівняння з змінними, що розділяються, які ми розглядаємо на першому уроці – найпростіший типдиференціальних рівнянь.

2) Чи можна проінтегрувати диференціальне рівняння?Ні не завжди. Дуже легко придумати «наворочене» рівняння, яке не проінтегрувати, крім того, існують інтеграли, що не беруться. Але подібні ДК можна вирішити приблизно за допомогою спеціальних методів. Даламбер і Коші гарантують... …тьху, lurkmore.to недавно начитався, мало не додав «з того світу».

3) У цьому прикладі ми отримали рішення у вигляді загального інтегралу . Чи завжди можна із загального інтеграла знайти загальне рішення, тобто висловити «гравець» у явному вигляді?Ні не завжди. Наприклад: . Ну і як тут висловити «Ігрек»?! У разі відповідь слід записати як загального інтеграла. Крім того, іноді загальне рішення знайти можна, але воно записується настільки громіздко і коряво, що краще залишити відповідь у вигляді загального інтеграла

4) ...мабуть, поки що достатньо. У першому прикладі нам зустрівся ще один важливий момент , але щоб не накрити «чайників» лавиною нової інформації, Залишу його до наступного уроку.

Поспішати не будемо. Ще одне просте ДК і ще один типовий прийом рішення:

Приклад 2

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову

Рішення: за умовою потрібно знайти приватне рішенняДУ, що задовольняє задану початкову умову. Така постановка питання також називається завданням Коші.

Спочатку знаходимо спільне рішення. У рівнянні немає змінної "ікс", але це не повинно бентежити, головне, в ньому є перша похідна.

Переписуємо похідну в потрібному вигляді:

Очевидно, що змінні можна розділити, хлопчики – ліворуч, дівчатка – праворуч:

Інтегруємо рівняння:

Загальний інтегралотримано. Тут константу я намалював із надрядковою зірочкою, справа в тому, що дуже скоро вона перетвориться на іншу константу.

Тепер пробуємо загальний інтеграл перетворити на загальне рішення (виразити «гравець» у явному вигляді). Згадуємо старе, добре, шкільне: . В даному випадку:

Константа у показнику виглядає якось некошерно, тому її зазвичай спускають із небес на землю. Якщо докладно, відбувається це так. Використовуючи властивість ступенів, перепишемо функцію так:

Якщо це константа, то теж деяка константа, переозначимо її буквою :

Запам'ятайте «знос» константи – це другий технічний прийом, який часто використовують під час вирішення диференціальних рівнянь.

Отже, загальне рішення: . Така ось симпатична родина експоненційних функцій.

На завершальному етапі потрібно знайти приватне рішення, що задовольняє задану початкову умову. Це також просто.

У чому завдання? Необхідно підібрати такезначення константи, щоб виконувалася умова.

Оформити можна по-різному, але найзрозуміліше, мабуть, буде так. У загальне рішення замість «ікса» підставляємо нуль, а замість «гравця» двійку:



Тобто,

Стандартна версія оформлення:

Тепер у загальне рішення підставляємо знайдене значення константи:
- Це і є потрібне нам приватне рішення.

Відповідь: приватне рішення:

Виконаємо перевірку. Перевірка приватного рішення включає два етапи:

Спочатку необхідно перевірити, а чи справді знайдене приватне рішення задовольняє початкову умову? Замість «ікса» підставляємо нуль і дивимося, що вийде:
– так, дійсно отримано двійку, отже, початкова умова виконується.

Другий етап уже знайомий. Беремо отримане приватне рішення та знаходимо похідну:

Підставляємо і у вихідне рівняння:

- Отримано правильну рівність.

Висновок: приватне рішення знайдено правильно.

Переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 3

Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення:Переписуємо похідну у потрібному нам вигляді:

Оцінюємо, чи можна поділити змінні? Можна, можливо. Переносимо другий доданок у праву частину зі зміною знака:

І перекидаємо множники за правилом пропорції:

Змінні розділені, інтегруємо обидві частини:

Повинен попередити, чи наближається судний день. Якщо ви погано вивчили невизначені інтеграли, Вирішували мало прикладів, то діватися нікуди - доведеться їх освоювати зараз.

Інтеграл лівої частини легко знайти, з інтегралом від котангенсу розправляємось стандартним прийомом, який ми розглядали на уроці Інтегрування тригонометричних функційв минулому році:

У правій частині у нас вийшов логарифм, і, згідно з моєю першою технічною рекомендацією, константу теж слід записати під логарифмом.

Тепер пробуємо спростити загальний інтеграл. Оскільки в нас одні логарифми, то їх цілком можна (і потрібно) позбутися. За допомогою відомих властивостеймаксимально «упаковуємо» логарифми. Розпишу дуже докладно:

Упаковка завершена, щоб бути варварською обдертою:

Чи можна висловити «ігрок»? Можна, можливо. Треба звести у квадрат обидві частини.

Але робити це не потрібно.

Третій технічна рада: якщо для отримання загального рішення потрібно зводити у ступінь або добувати коріння, то в більшості випадківслід утриматися від цих дій та залишити відповідь у вигляді загального інтеграла. Справа в тому, що загальне рішення буде виглядати просто жахливо - з великим корінням, знаками та іншим трешем.

Тому відповідь запишемо як загального інтеграла. Гарним тономвважається уявити його як , тобто, у правій частині, наскільки можна, залишити лише константу. Робити це не обов'язково, але завжди вигідно порадувати професора;-)

Відповідь:загальний інтеграл:

! Примітка: загальний інтеграл будь-якого рівняння можна записати не єдиним способом. Таким чином, якщо ваш результат не збігся із заздалегідь відомою відповіддю, то це ще не означає, що ви неправильно вирішили рівняння.

Загальний інтеграл також перевіряється досить легко, головне, вміти знаходити похідну від функції, заданої неявно. Диференціюємо відповідь:

Примножуємо обидва доданки на :

І ділимо на:

Отримано точно вихідне диференціальне рівняння , отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 4

Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову. Виконати перевірку.

Це приклад для самостійного рішення.

Нагадую, що алгоритм складається із двох етапів:
1) знаходження загального рішення;
2) знаходження необхідного приватного рішення.

Перевірка теж проводиться у два кроки (див. зразок у Прикладі №2), потрібно:
1) переконатися, що знайдене приватне рішення задовольняє початкову умову;
2) перевірити, що окреме рішення взагалі задовольняє диференціальному рівнянню.

Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Приклад 5

Знайти окреме рішення диференціального рівняння , що задовольняє початкову умову . Виконати перевірку.

Рішення:Спочатку знайдемо загальне рішення. Дане рівняння вже містить готові диференціали і, отже, рішення спрощується. Розділяємо змінні:

Інтегруємо рівняння:

Інтеграл ліворуч – табличний, інтеграл праворуч – беремо методом підведення функції під знак диференціалу:

Загальний інтеграл отримано, чи вдало висловити загальне рішення? Можна, можливо. Навішуємо логарифми на обидві частини. Оскільки вони позитивні, знаки модуля зайві:

(Сподіваюся, всім зрозуміло перетворення, такі речі треба вже знати)

Отже, загальне рішення:

Знайдемо приватне рішення, що відповідає заданій початковій умові.
У загальне рішення замість "ікса" підставляємо нуль, а замість "гравця" логарифм двох:

Більш звичайне оформлення:

Підставляємо знайдене значення константи у загальне рішення.

Відповідь:приватне рішення:

Перевірка: Спочатку перевіримо, чи виконано початкову умову:
- Все гуд.

Тепер перевіримо, чи задовольняє взагалі знайдене приватне рішення диференційному рівнянню. Знаходимо похідну:

Дивимося на вихідне рівняння: - Воно представлено в диференціалах. Є два способи перевірки. Можна зі знайденої похідної висловити диференціал:

Підставимо знайдене приватне рішення та отриманий диференціал у вихідне рівняння :

Використовуємо основну логарифмічну тотожність:

Отримано правильну рівність, отже, приватне рішення знайдено правильно.

Другий спосіб перевірки дзеркальних і звичніший: із рівняння висловимо похідну, для цього розділимо всі штуки на:

І в перетворене ДК підставимо отримане приватне рішення та знайдену похідну. В результаті спрощень теж має вийти правильна рівність.

Приклад 6

Розв'язати диференціальне рівняння. Відповідь подати у вигляді загального інтеграла.

Це приклад для самостійного рішення, повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Які труднощі підстерігають при вирішенні диференціальних рівнянь з змінними, що розділяються?

1) Не завжди очевидно (особливо «чайнику»), що змінні можна розділити. Розглянемо умовний приклад: . Тут необхідно провести винесення множників за дужки: і відокремити коріння: . Як діяти далі – зрозуміло.

2) Складнощі при самому інтегруванні. Інтеграли нерідко виникають не найпростіші, і якщо є вади у навичках знаходження невизначеного інтегралу, то з багатьма диффурами доведеться туго. До того ж у укладачів збірок і методик популярна логіка «якщо диференціальне рівняння є простим, то нехай хоч інтеграли будуть складнішими».

3) Перетворення з константою. Як всі помітили, з константою в диференціальних рівняннях можна поводитися досить вільно, і деякі перетворення не завжди зрозумілі новачкові. Розглянемо ще один умовний приклад: . У ньому доцільно помножити всі складові на 2: . Отримана константа - це теж якась константа, яку можна позначити через: . Так, якщо в правій частині логарифм, то константу доцільно переписати у вигляді іншої константи: .

Біда ж полягає в тому, що з індексами часто не морочаться і використовують одну і ту ж літеру. В результаті запис рішення приймає наступний вигляд:

Що за брехня? Відразу помилки! Строго кажучи – так. Однак з змістовної точки зору – помилок немає, адже в результаті перетворення константи, що варіюється, все одно виходить варіюється константа.

Або інший приклад, припустимо, що в ході вирішення рівняння отримано загальний інтеграл. Така відповідь виглядає негарно, тому у кожного доданка доцільно змінити знак: . Формально тут знову помилка - справа слід було б записати. Але неформально мається на увазі, що «мінус це» – це все одно константа ( яка з тим самим успіхом набуває будь-яких значень!)тому ставити «мінус» не має сенсу і можна використовувати ту ж літеру.

Я намагатимуся уникати недбалого підходу, і все-таки проставляти у констант різні індекси при їх перетворенні.

Приклад 7

Розв'язати диференціальне рівняння. Виконати перевірку.

Рішення:Це рівняння допускає поділ змінних. Розділяємо змінні:

Інтегруємо:

Константу тут не обов'язково визначати під логарифм, оскільки нічого путнього з цього не вийде.

Відповідь:загальний інтеграл:

Перевірка: Диференціюємо відповідь ( неявну функцію):

Позбавляємося дробів, для цього множимо обидва доданки на :

Отримано вихідне диференціальне рівняння, отже, загальний інтеграл знайдено правильно.

Приклад 8

Знайти приватне рішення дистанційного керування.
,

Це приклад самостійного рішення. Єдина підказка - тут вийде загальний інтеграл, і, правильніше кажучи, потрібно вимудритися знайти не приватне рішення, а приватний інтеграл. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Ця стаття є відправною точкою вивчення теорії диференціальних рівнянь. Тут зібрані основні визначення та поняття, які постійно фігуруватимуть у тексті. Для кращого засвоєння та розуміння визначення мають приклади.

Диференціальне рівняння (ДК)– це рівняння, до якого входить невідома функція під знаком похідної чи диференціала.

Якщо невідома функція є функцією однієї змінної, то диференціальне рівняння називають звичайним(скорочено ОДУ - звичайне диференціальне рівняння). Якщо ж невідома функція є функцією багатьох змінних, то диференціальне рівняння називають рівнянням у приватних похідних.

Максимальний порядок похідної невідомої функції, що входить у диференціальне рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Ось приклади ОДУ першого, другого та п'ятого порядків відповідно

Як приклади рівнянь у приватних похідних другого порядку наведемо

Далі ми розглядатимемо лише прості диференціальні рівняння n-ого порядку виду або , де Ф(x, y) = 0 невідома функція, задана неявно (якщо можливо, її записуватимемо в явному поданні y = f(x) ).

Процес знаходження рішень диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.

Розв'язання диференціального рівняння- це неявно задана функціяФ(x, y) = 0 (у деяких випадках функцію y можна виразити через аргумент x явно), яка перетворює диференціальне рівняння на тотожність.

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ.

Рішення диференціального рівняння завжди шукається на заздалегідь заданому інтервалі X.

Чому ми про це говоримо окремо? Та тому, що в умовах багатьох завдань про інтервал X не згадують. Тобто зазвичай умова завдань формулюється так: «знайдіть рішення звичайного диференціального рівняння ». У цьому випадку мається на увазі, що рішення слід шукати для всіх x, при яких і функція y, що шукається, і вихідне рівняння мають сенс.

Рішення диференціального рівняння часто називають інтегралом диференціального рівняння.

Функції або можна назвати рішенням диференціального рівняння.

Одним із рішень диференціального рівняння є функція. Справді, підставивши цю функцію у вихідне рівняння, отримаємо тотожність . Неважко помітити, що іншим рішенням цього ОДУ є, наприклад, . Таким чином, диференціальні рівняння можуть мати безліч розв'язків.

Загальне вирішення диференціального рівняння- Це безліч рішень, що містить все без винятку рішення цього диференціального рівняння.

Загальне рішення диференціального рівняння ще називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

Повернемося, наприклад. Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд або де C - довільна постійна. Вище ми вказали два рішення цього ОДУ, які виходять із загального інтеграла диференціального рівняння під час підстановки С = 0 і C = 1 відповідно.

Якщо рішення диференціального рівняння задовольняє спочатку заданим додатковим умовам, то його називають приватним розв'язком диференціального рівняння.

Приватним рішенням диференціального рівняння , що задовольняє умову y(1)=1 є . Справді, і .

Основними завданнями теорії диференціальних рівнянь є завдання Коші, крайові завдання та завдання знаходження загального розв'язання диференціального рівняння на якомусь заданому інтервалі X .

Завдання Коші- Це завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам де - числа.

Крайове завдання- Це завдання знаходження приватного рішення диференціального рівняння другого порядку, що задовольняє додатковим умовам в граничних точках x 0 і x 1:
f (x 0) = f 0 f (x 1) = f 1 де f 0 і f 1 - задані числа.

Крайове завдання часто називають граничним завданням.

Просте диференціальне рівняння n-ого порядку називається лінійнимякщо воно має вигляд , а коефіцієнти є безперервні функції аргументу x на інтервалі інтегрування.

Диференціальне рівняння (ДК) - Це рівняння,
де - незалежні змінні, y - функція та - приватні похідні.

Звичайне диференціальне рівняння - це диференціальне рівняння, яке має лише одну незалежну змінну, .

Диференціальне рівняння у приватних похідних - це диференціальне рівняння, яке має дві та більше незалежних змінних.

Слова "звичайні" і "у приватних похідних" можуть опускатися, якщо зрозуміло, яке рівняння розглядається. Надалі розглядаються прості диференціальні рівняння.

Порядок диференціального рівняння - Це порядок старшої похідної.

Ось приклад рівняння першого порядку:

Ось приклад рівняння четвертого порядку:

Іноді диференціальне рівняння першого порядку записується через диференціали:

У цьому випадку змінні x та y є рівноправними. Тобто незалежною змінною може бути як x, так і y. У першому випадку y є функцією від x. У другому випадку x є функцією від y. Якщо необхідно, ми можемо привести це рівняння до виду, в якому входить похідна y′ .
Розділивши це рівняння на dx, ми отримаємо:
.
Оскільки і , то звідси випливає, що
.

Розв'язання диференціальних рівнянь

Похідні від елементарних функційвиражаються через елементарні функції. Інтеграли від елементарних функцій часто виражаються через елементарні функції. З диференціальними рівняннями справа ще гірша. В результаті рішення можна отримати:

• явну залежністьфункції від змінної;

  Розв'язання диференціального рівняння - це функція y = u (x), Яка визначена, n разів диференційована, і .

• неявну залежність у вигляді рівняння типу Φ (x, y) = 0або системи рівнянь;

  Інтеграл диференціального рівняння - це рішення диференціального рівняння, що має неявний вигляд.

• залежність, виражену через елементарні функції та інтеграли від них;

  Розв'язання диференціального рівняння у квадратурах - це знаходження рішення у вигляді комбінації елементарних функцій та інтегралів від них.

• рішення може виражається через елементарні функції.

Оскільки рішення диференціальних рівнянь зводиться до обчислення інтегралів, то до складу рішення входить набір постійних C 1 , C 2 , C 3 ... C n . Кількість постійних дорівнює порядку рівняння. Приватний інтеграл диференціального рівняння - це загальний інтеграл при заданих значенняхпостійних C 1 , C 2 , C 3 ..., C n .

Використана література:
В.В. Степанов, Курс диференціальних рівнянь, «ЛКІ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Загальний інтеграл

звичайного диференціального рівняння

F(x, у, у",..., y(n)) =0

Співвідношення

Φ( х, у, C 1 ..., C n) =0,

містить і суттєвих довільних постійних C 1 ..., C n , Наслідком якого є дане диференціальне рівняння (див. Диференціальні рівняння). Іншими словами, це рівняння має являти собою результат виключення постійних C 1 (i = 1,..., n) з рівнянь:

причому ці постійні істотні тому, що процес виключення їх із системи (*) неспроможна призвести до диференціального рівняння, відмінному від цього. О. в. тісно пов'язаний із загальним рішенням. Якщо постійним C i, що входять до О. і., дати певні значення, Отримаємо частий інтеграл. Неповне виключення постійних C iіз системи (*) призводить до проміжного інтегралу

F k(х, у, у",..., у (n-k)), C 1,..., C k = 0

(де 1 ≤ k ≤n- 1); зокрема, при k = 1 - до першого інтегралу (Див. Перший інтеграл). Геометрично О. в. представляє n-Параметричне сімейство інтегральних кривих.

Велика радянська енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитись що таке "Спільний інтеграл" в інших словниках:

Системи звичайних диференціальних рівнянь n го порядку в області G сукупність псовідносин містить ппараметрів і в неявному вигляді описує сімейство функцій, що становлять загальне рішення цієї системи в області G. Часто О. і. системи (1) … Математична енциклопедія

Розв'язання диференціального рівняння. І. д. у. зв. переважно співвідношення виду Ф(х, у)=0, що б вирішення звичайного диференціального рівняння як неявну функцію незалежної змінної х. У цьому випадку говорять також про приватне… Математична енциклопедія

Інтеграл Коші Лагранжа інтеграл рівнянь руху ідеальної рідини (рівнянь Ейлера) у разі потенційних течій. Зміст 1 Варіанти назви 2 Історична довідка… Вікіпедія

Одна з основних труднощів у використанні традиційного інтеграла Лебега полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної теорії міри. Існує інший підхід, викладений Даніелем (Daniell) у 1918 році у його… … Вікіпедія

Одна з основних труднощів у використанні традиційного інтеграла Лебега полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної теорії міри. Існує інший підхід, викладений Данієлем (англ.) в 1918 році в його ... Вікіпедія

Теорема Шварца Крістоффеля важлива теорема в теорії функцій комплексного змінного, носить назву німецьких математиків Карла Шварца та Елвіна Крістоффеля. Дуже важливою з практичної точки зору є проблема про конформне відображення ... Вікіпедія

1) Данжуа вузький (спеціальний) інтеграл узагальнення поняття інтеграла Лебега. Функція f(x). зв. інтегрованої у сенсі вузького (спеціального, D*) інтеграла Данжуа на [а, b], якщо існує така безперервна функція F(x)на [а, b], що F… … Математична енциклопедія

Системи звичайних диференціальних рівнянь, i = 1, …, n співвідношення виду (де Довільна постійна), ліва частинаякого зберігає постійне значенняпри підстановці будь-якого рішення. Велика Радянська Енциклопедія

- (англ. Phase Integral) один із фундаментальних інтегралів квантової механіки, вперше запропонований Фейнманом на початку 60-х років XX ст. Подібно до інтегралу по траєкторіях, цей інтеграл дозволяє знаходити зміщення фази, зумовлене… Вікіпедія

- (Визначення та поділ на категорії див. Диференціальні рівняння) загальний вигляд звичайного диференціального рівняння з однією незалежною змінною х і з однією шуканою функцією у від цієї змінної є f(x, y, y , y ... y(n)) = 0... (*)… … Енциклопедичний словникФ.А. Брокгауза та І.А. Єфрона