Сили, які у атмосфері. Масові та поверхневі сили

У атмосфері постійно спостерігаються рухи повітря. Безпосередньою причиною їх є нерівномірний розподіл тиску, зумовлений своєю чергою неоднорідністю поля температури. Які ж сили викликають ці рухи:

3.1 Сили, які у атмосфері.

Сили, що діють в атмосфері, можна розділити на 2 групи: масові та поверхневі. Масові– це сили, що діють на кожен елемент маси (об'єму) незалежно від того, чи існують поряд інші повітряні частинки. Такими силами є: сила тяжіння, що відхиляє силаобертання Землі, відцентровасила. Поверхневісили являють собою сили взаємодії деякого обсягу повітря та навколишнього середовища. Це сила баричного градієнта та в'язкісили.

У механіці доводиться, що під час руху будь-якого тіла (зокрема повітря) щодо Землі, що обертається, воно відхиляється від початкового напрямку вправо в північній півкулі і вліво – в південній, сила спрямована під кутом 90 0 до швидкості. Вона не змінює модуль , А лише змінює напрямок. Причина виникнення сили полягає в тому, що тіло зберігає свій напрямок руху, а добове обертання Землі змінює напрямок меридіанів та паралелей. Тому із Землі здається, що тіла відкланяються від напрямку меридіанів та паралелей. Горизонтальна складова сили Коріоліса дорівнює A = 2 * v * Sinφ, де v - швидкість руху тіла. Отже ця сила збільшується у напрямку до полюсів (за рахунок Sinφ) і зі збільшенням швидкості. На екваторі вона дорівнює 0.

3.1.3 Сила баричного градієнта.

В атмосфері майже завжди спостерігаються горизонтальні градієнти атмосферного тиску. При цьому повітря прагне переміщатися з місць з більш високим тиском до місць з нижчим тиском. Мірою нерівномірності тиску є горизонтальний баричний градієнт (
. Тому чим більший баричний градієнт, тим інтенсивніший рух повітря. Якщо баричний градієнт зарахувати до одиниці маси, тобто.
, то за змістом (і за розмірністю) цей вислів є прискоренням чи силою, що віднесена до од. маси. У напрямку ця сила в кожній точці баричного поля збігається з нормаллю до ізобарі у бік зменшення тиску. Сила баричного градієнта є єдиною силою, що спричиняє рух повітря. Усі інші сили можуть лише гальмувати рух чи відхиляти його від напрямку градієнта.

Якби повітря діяло лише прискорення, яке отримує повітря під впливом баричного градієнта, то рух повітря завжди прискорювалося. Однак насправді швидкість вітру не може перевищувати кількох десятків м/с. З цього випливає, що окрім сили баричного градієнта повітря діють інші сили, які врівноважують силу градієнта.

3.1.4. Сила тертя

Сила тертя в атмосфері виникає, коли обсяги (шари) повітря, що рухається, мають різні швидкості. Між шарами повітря має місце певна в'язкість, яка перешкоджає ковзанню їх відносно один одного. Тому що більше швидкість повітря (їх різниці), то більше вписувалося сила тертя чи R= -kv(деk– коефіцієнт тертя), тим більше загальмовується рух і змінюється його напрям.

Природа в'язкості між шарами повітря двояка: вона молекулярна та турбулентна. Однак розрахунки показують, що коефіцієнт турбулентної в'язкості на кілька порядків більший за молекулярний. У зв'язку з цим молекулярну в'язкість можна знехтувати. Тоді
, де R - сила тертя; p - щільність повітря; τ – дотичне напруження внутрішнього тертя; z – напрямок руху повітря (перпендикулярно до стінки).

З висотою вплив тертя у атмосфері швидко зменшується. І на рівні 1000-1500 м воно практично зникає. Ця висота тому називається рівнем тертя, а стій атмосфери – шаром тертя (прикордонним шаром).

При нестійкій атмосфері рівень тертя вищий, ніж за стійкої.

3.1.5. Відцентрова сила.Вона виникає у тому випадку, якщо рух повітря відбувається по криволінійній траєкторії. У цьому випадку вона дорівнює: з = v 2 / r, де v - швидкість руху; r - радіус кривизни руху. Для атмосферних рухів зазвичай мала, т.к. велике значенняr.

3.1.6. Рівняння руху

Таким чином, в атмосфері на об'єм повітря діють вище названі сили. Рівняння руху в загальному вигляді матиме вигляд:

3.1.7. Геострофічний вітер, його зміни із висотою

Розглянемо один із окремих випадків руху повітря в атмосфері. Нехай частка повітря, що має одиницю маси, потрапила в атмосферу. При цьому тертя відсутнє, і ми розглядаємо горизонтальний рух. Тоді під дією сили градієнта тиску частка почне рухатися від високого до низького тиску вздовж нормалі до ізобарі. Але як тільки вона почне рухатися на неї, почне діяти сила Коріоліса, яка відхилятиме рух частинки вправо від напрямку під прямим кутом. Зрештою, коли ці дві сили врівноважуються частка буде здійснювати прямолінійний рівномірний рух.

Такий рух називається геострофічним вітром.

Математично такий рух можна описати так.
, де G-сила баричного градієнта; А – сила Коріоліса. Або
= 2*v g *Sinφ, звідси
.

Таким чином, геострофічний вітер пропорційний градієнту тиску і обернено пропорційний широті. На екваторі він не існує (бо = нескінченності). Для стандартних умов (t = 0 0 C, P = 1000 гПа):
, де ∆P/∆n– у гПа на 100км, vg – у м/с.

Т.к. при геострофічному вітрі сила тертя не береться до уваги, такий вітер може спостерігатися лише вище шару тертя, тобто. вище 1-1,5 км. З висотою через зменшення ρ геострофічний вітер посилюється.

Найбільш загальним випадком руху повітря без тертя є градієнтне поле криволінійних ізобар (циклон, антициклон). І тут у рівнянні руху входить крім сили баричного градієнта і Кориолиса ще третя сила – відцентрова, тобто.
- 2*v*Sinφ-
; або v гр = - *r*Sinφ+
- Для циклону.

Графічно градієнтний вітер можна зобразити так:

Тут у циклоні силу баричного градієнта врівноважують 2 сили А і С. Градієнтний вітер прямує праворуч під прямим кутом до градієнта.

В антициклоні сила Коріоліса врівноважується GіС.

В обох випадках градієнтний вітер направлений по дотичній до ізобари праворуч від баричного градієнта.

Розрахунки градієнтного вітру (v гр) можна виразити через геострофічний:

V гр.циклон = v g -
; V гр. антициклон = v g +
.

У земної поверхні повітря відчуває тертя під час руху щодо Землі. Особливо помітно вплив поверхні приблизно до висот 50-100 м-коду над Землею. Цей шар називається приземним (до 1-1,5 км – прикордонний). У цьому шарі при формуванні вітру необхідно враховувати силу тертя, яка гальмує рух та змінює його напрямок. Розглянемо схему співвідношення наснаги в реалізації атмосфері у разі. У разі прямолінійних ізобар баричний градієнт спрямований перпендикулярно ізобарам (G); вітерvі його напрямок уже дутиме не вздовж ізобар, а під гострим кутом від сили баричного градієнта α (вправо). Сила тертя R спрямована у протилежний бік руху повітря. А врівноважувати силу баричного градієнта повинні дві сили: сила Коріоліса А і сила тертя (А+R). Тоді з побудови прямокутника і враховуючи, що сила А спрямована під прямим кутом кvі право від нього, знаходимо положення сили Коріоліса.

Для визначення швидкості реального вітру потрібно скласти рівняння, де сума трьох сил дорівнює нулю: G + A + R = 0, підставивши вираз для кожної сили, можна дійти виразу для v: v = *
, де k-коефіцієнт тертя. Отже швидкість вітру у Землі пропорційна баричному градієнту і обернено пропорційна коефіцієнту тертя та широті. Кут між вітром і баричним градієнтом складає в помірних широтах 60-75 0 над океанами і 40-50 0 - над сушею.

При кругових ізобарах, тобто. у циклонах та антициклонах у Землі слід враховувати ще й відцентрову силу С. Схема напряму руху в цих випадках буде:

З висотою у шарі тертя швидкість вітру зростає, а напрямок наближається до ізобари (ліворуч низький тиск). Зміна вітру з висотою шарі тертя можна уявити годографом, тобто. кривою, яка ще називається спіраллю Екмана. То вітер із висотою ніби обертається праворуч.

У шарі тертя біля поверхні виявляється добовий хід вітру, з maxв 14 годин,вночі або вранці. Починаючи приблизно з висоти 500 м добовий хід зворотний - max вночі, min вдень. Такий добовий перебіг пояснюється добовим перебігом турбулентного обміну. Вдень турбулентність max, тому зверху до поверхні опускаються вихори з підвищеною швидкістю, а знизу вгору – зі зниженою. Тому вдень внизу max, а вгорі min швидкості. Вночі внизуminінтенсивності турбулентності, а вгорі, тому, вихори з підвищеною швидкістю залишаються там і швидкості тут досягаютьmax.

Сили, які у атмосфері.

Усі сили, що розглядаються у метеорологи, беруться на одиницю маси. Якщо тиск у горизонтальній площині неоднаково, виникає потік повітря у бік найменшого тиску. Іншими словами, виникає сила, яка змушує повітря рухатися. Вона називається солою баричного градієнта і на одиницю маси дорівнює:

де ρ – густина повітря. Градієнт тиску dp/dn спрямований у бік зростання тиску. Рух, спричинений різницею тиску, спрямований у протилежний бік. Тому щоб значення сили баричного градієнта було протилежним, в рівнянні ставлять знак мінус.

Крім цього, є ще й інші сили, які впливають на рух повітря. Це сили Каріоліса До,відцентрова сила Z,тертя F трта сила тяжіння g.

Сила Каріоліса Кабо, інакше, що відхиляє сила обертання Землі, є інерційною силою, що здається. Вона виникає тому, що Земля обертається навколо своєї осі та на одиницю маси дорівнює:

K = 2ω С sinφ, (14)

де ? кутова швидкість обертання Землі, рівна ? = 2 ?

З-швидкість руху повітря;

φ – широта місця.

Таким чином, сила Каріоліса залежить від швидкості руху та широти місця. Сила Каріоліса діє тільки на рухомі тіла перпендикулярно до напрямку руху. Вона найбільша на полюсах, але в екваторі – дорівнює нулю. В результаті тіла переміщаються вздовж земної площини, відхиляються в північній півкулі вправо, а в південній - вліво від початкового напрямку їх руху.

Відцентрова сила Z.Відцентрова сила є також здається, інерційною силою, що виникає під час руху криволінійною траєкторією. Вона спрямована по радіусу від центру та на одиницю маси дорівнює:

Z = C 2 /r,(15)

де r –радіус кривизни.

Аналітичний вираз для сили тертя F трмає складний вигляд. У навігації вирішуються завдання, так званої геострофической моделі, без урахування сили тертя, а сила тертя вводиться потім коефіцієнтом. І, нарешті, є ще відома всім сила тяжкості g.Вона часто сприймається як константа.

Сила тяжіння g.Незрівнянно більше за інші сили (9,81 ~ 10 м/с 2). Вона діє вздовж вертикальної осі. Однак ми не помічаємо в атмосфері помітних вертикальних рухів, спрямованих до Землі (вниз). Це з тим, що така велика сила врівноважується так само великий силою баричного градієнта по вертикалі. З основного рівняння статики випливає:

g = - dp/dz (16)

Як бачимо, в лівій частині рівняння стоїть сила тяжкості, а в правій записано силу баричного градієнта по вертикалі. Вертикальний баричний градієнт – велика величина, отже, і сила баричного градієнта велика. Аналогічно, можна констатувати, що дуже велика сила баричного градієнта по вертикалі, не викликає рухів вгору, оскільки врівноважується силою тяжіння. Ці сили знаходяться на одній осі, спрямовані в різні боки і зазвичай врівноважують одна одну.

Таким чином, на вітер, під яким ми розуміємо горизонтальний рух повітря, сила тяжіння не впливає. Її проекція на горизонтальну площину дорівнює нулю. Сили Каріоліса К та відцентрова сила Zз'являються лише після того, як виник рух. Тобто єдиною силою, що викликає рух повітря, є сила баричного градієнта по горизонталі G r . Різниця тисків у різних місцях породжує рух повітря, що прагне згладити ці відмінності. Решта сил розгортають рух щодо початкового напрямку і гальмують його.

Сили, що діють в атмосфері у стані рівноваги

СТАТИКА АТМОСФЕРИ

Система перебуває у рівновазі (спокої), якщо результуюча всіх сил, що діють систему дорівнює нулю.

Сили поділяються на масові та поверхневі.

Масовими силами, що діють на атмосферу в цілому і на її частині, є сила тяжіння і сила, що відхиляє обертання Землі (коріолісова сила).

Поверхневі сили, що діють в атмосфері, - це сила тиску та тертя.

Однак коріолісова сила і сила тертя з'являються лише під час руху атмосфери щодо Землі чи одних її частин щодо інших. Тому силами, що діють в атмосфері у стані спокою, є сила тяжіння та сила тиску.

Нехай атмосфера перебуває у стані спокою стосовно земної поверхні. Тоді горизонтальна складова градієнта тиску повинна обертатися в нуль (інакше повітря почне рухатися). Для цього необхідно і достатньо, щоб ізобаричні поверхні збігалися з рівними.

Виділимо в атмосфері дві ізобаричні поверхні, розташовані на висотах z та z + dz (рис.). Між ізобаричними поверхнями p p + dp виділимо об'єм повітря з горизонтальними основами 1 м 2 . На нижню основу діє сила тиску p, спрямоване знизу нагору; на верхнє – сила тиску p+dp, спрямована зверху донизу. Сили тиску, що діють на бічні грані виділеного об'єму, взаємно врівноважуються.

Мал. До висновку рівняння статики.

На цей обсяг діє сила тяжіння Р, спрямована по вертикалі вниз і рівна модулю

Спроектуємо усі сили на вісь z. Оскільки сума всіх сил дорівнює нулю, то сума цих проекцій дорівнює нулю:

Підставивши вираз сили тяжіння, отримаємо .

Розділивши на dz визначимо другий вид основного рівняння статики атмосфери:

Ліва частина є вертикальною складовою градієнта тиску, права - силу тяжкості, що діє на одиничний об'єм повітря. Таким чином, рівняння статики виражає рівновагу двох сил – градієнта тиску та сили тяжіння.

З рівняння статики можна зробити три важливі висновки:

1. Збільшенню висоти (dz>0) відповідає негативне збільшення тиску (dp>0), що означає зменшення тиску з висотою. Рівняння статики виконується з високою точністю у разі руху атмосфери.

2. Виділимо в атмосфері вертикальний стовп повітря з основою 1м2 та висотою від рівня z до верхньої межі атмосфери. Вага цього стовпа дорівнює. Проінтегрувавши обидві частини () в межах від z , де тиск р до , тиск дорівнює 0 (за визначенням верхньої межі), отримаємо: , або .

Таким чином, приходимо до другого визначення поняття тиску. Атмосферний тиск на кожному рівні дорівнює вазі стовпа повітря одиничного поперечного перерізу і висотою від рівня до верхньої межі атмосфери. Звідси зрозумілий фізичний сенс зменшення тиску з висотою.

3. Рівняння статики дозволяють зробити висновок про швидкість зменшення тиску з висотою. Зменшення тиску тим більше, чим більша щільність повітря та прискорення вільного падіння. Основну роль відіграє густина. Щільність повітря із збільшенням висоти падає. Чим вище розташований рівень, тим менше зменшення тиску.

Якщо точки розташовані на одній і тій же ізобаричній поверхні, то густина повітря залежатиме лише від температури в цих точках. У точці з нижчою температурою щільність вища. Це означає, що при підйомі на ту саму висоту зниження тиску в точці з вищою температурою менше, ніж у точці з нижчою температурою.

У холодній повітряній масі тиск з висотою зменшується швидше, ніж у теплій. Підтвердженням цього висновку є той факт, що на висотах (у середній та верхній тропосфері) у холодних повітряних масах переважає низький тиск, а у теплих – високий.

Оцінимо значення вертикального градієнта. За нормальних умов поблизу рівня моря r=1.29 кг/м3, g=9.81 м/с2. Підставивши ці значення (), знайдемо: G=12ю5 гПа/100м.

Будь-яка перешкода, що стоїть на шляху вітру, обурює поле вітру. Такі перешкоди можуть бути великомасштабними, як гірські хребти, і дрібномасштабними як будівлі, дерева, лісові смуги і т.д. повітряна течія або огинає перешкоду з боків, або перевалює через неї зверху. Найчастіше відбувається горизонтальне обтікання. Перетікання відбувається краще, ніж нестійкіша стратифікація повітря, тобто. що більше вертикальні градієнти температури у атмосфері. Перетікання повітря через перешкоди призводить до дуже важливих наслідків, таких як збільшення хмар і опадів на навітряному схилі гори при висхідному русі повітря і, навпаки, розсіювання хмарності на підвітряному схилі при низхідному русі.

Рисунок 56 – Орографічне посилення вітру

Перед перешкодою і за ними іноді створюються так звані навітряні та підвітряні вихори.

Вплив полізахисних лісових смуг на мікрокліматичні умови полів пов'язаний насамперед із ослабленням вітру у приземних шарах повітря, яке створюють лісові смуги. Повітря перетікає поверх лісової смуги і, крім того, швидкість його слабшає при просочуванні його крізь просвіти в смузі. Тому безпосередньо за смугою швидкість вітру різко зменшується. З віддаленням від смуги швидкість вітру зростає. Однак початкова, неослаблена швидкість вітру відновлюється тільки на відстані, що дорівнює 40-50-кратній висоті дерев (у разі, якщо смуга ажурна).

2. Сили, що діють в атмосфері:

сила горизонтального баричного градієнта;

прискорення (сила) Коріоліса;

відцентрова сила;

сила тяжіння (на виникнення вітру не впливає);

сила тертя.

2.1. Сила горизонтального баричного градієнта.

Вітер виникає лише під дією сили горизонтального баричного градієнта. Якби характер повітряних течій залежав тільки від термічної неоднорідності поверхні землі та повітряних мас, то вітер визначався б горизонтальним градієнтом тиску, і рух повітря здійснювався б уздовж цього градієнта від високого тиску до області низького. При цьому швидкість вітру була обернено пропорційна відстані між ізобарами.

У теоретичній метеорології сили зазвичай належать до одиниці маси. Тому щоб виразити силу градієнта тиску, що діє на одиницю маси, необхідно величину градієнта тиску розділити на щільність повітря.

де ρ – густина повітря, – баричний градієнт.

У напрямку ця сила збігається з напрямком нормалі до ізобарі у бік зменшення тиску. Градієнт за 1 гПа/100 км створює прискорення 0,001 м/с 2 (1 мм/с 2), 3 гПа/100 км – 0,003 м/с 2 . тобто. дуже невеликі значення прискорення.

Якби повітря діяла лише ця сила, то рух було б рівномірно прискореним у бік градієнта (від високого до низького). При цьому вітер досягав би величезних швидкостей, що необмежено зростали. Але це насправді не спостерігається.

Сили, які діють повітряні частки

Об'ємні та поверхневі сили

Поверхневі сили,діють між частинами цього обсягу рідини. Вони не можуть змінити кількість руху цього об'єму, тому що всередині нього кожна внутрішня сила врівноважується рівною їй по модулю внутрішньою силою, що має протилежний напрямок. Разом з тим робота внутрішніх сил може змінити кінетичну та (або) потенційну енергію об'єму рідини, що розглядається. Розмір цих сил пропорційна площі поверхні, яку вони діють. Характеристикою поверхневої сили на заданій поверхні є щільність її розподілу, яку називають напругою. Це — векторна величина. Її напрям, у випадку, не збігається з напрямом нормалі до заданої поверхні. Проекцію напруги на цю нормаль називають нормальною напругою, а проекцію напруги на дотику до заданої поверхні називають дотичною напругою.

Нижче наведено основні відомості про об'ємні та поверхневі сили, що діє в атмосфері.

Сила тяжіння – об'ємна сила

F = f m 1 m 2 / r 2 i F

, де f = 6.673 10 -11 [н м 2 / кг 2 або м 3 /с 2 ] – гравітаційна постійна, i F – орт напрями сили від меншої маси ( m 2 ) до більшої ( m 1 ). Надалі приймається, що m 1 = m (для Землі M) , m 2 = 1 кг (поодинока маса). Вибираючи одиничну масу тіла, що притягується, силове поле масиMпочинають описувати за допомогою прискорення сили тяжіння. (Надалі буде використано і геоцентричну гравітаційну постійну fM= 3,086 1014 [м 3 / с 2]).

Якщо, як показано на малюнку, маса M розташована в точці {ξ, η, ζ ), а одинична маса розташована в точці ( x, y, z), то вектор напряму сили протилежний вектору відстані r 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 +(z 2 - z 1 ) 2 до точки, що притягується.

Якщо dF = dFx i + dFy j + dFz k – вектор сили тяжіння елементом dmмаси M, одиничної маси в проекціях на осі декартової системи координат із центром у центрі тяжкості тіла M, Обчислення сили тяжіння тілом кінцевого обсягу може бути виконано з використанням об'ємного інтеграла.

dFx = dF cos(F x) = - dF cos(r x ) = - (f dm/r 2 ) (x 2 -x 1 )/r Fx = - f cos(r x ) /r 2 dm

dFy = dF cos(F y) = - dF cos(r y ) = - (f dm/r 2 ) (y 2 -y 1 )/r Fy = - f cos(r y ) /r 2 dm

dFz = dF cos(F z) = - dF cos(r z ) = - (f dm/r 2 ) (z 2 -z 1 )/r Fz = - f cos(r z ) /r 2 dm

Якщо вісь Z поєднати з напрямом чинної сили, то Fx= Fy= 0. Тоді

Сила тяжіння одиничної маси з боку маси M, виражається формулою

(6.1)

Обтяження однорідної кулі

Нехай центр маси, що притягується, знаходиться на відстані ρ від центру сфери. Довільна точка Aна притягуючій сфері знаходиться на відстані rвід точки, що притягується, причому r 2 = R 2 + ρ 2 –2 R ρ cos звідки випливає, що R/ ρ dr= R 2 sin d / r

Елемент маси, що притягує, розташованої на ділянці поверхні dσ R 2 sin( ) d d можна знайти за формулою

dm = dσ R 2 sin( ) d d   (6.2)

де  З (R) dRповерхнева щільність (об'ємна щільність позначена  З (R)). Сила тяжіння елемента маси ділянки поверхні dm, обчислюється за формулою

dF= - f μ cos(r, z) dσ =- f μ (ρ - Rcosθ)/ r dσ = f μ (ρ 2 - R 2 + r 2 )/2 ρr dσ , (6.3)

в якій Rcosθ виражений через відстань.

Сила тяжіння всієї сферичної поверхні може бути обчислена шляхом інтегрування dFпо всі поверхні сфери

F = f
(6.4)

Силу тяжіння кулі можна обчислити, виразивши поверхневу щільність через постійну об'ємну щільність  З =  dR, підсумовуючи вплив усіх внутрішніх нескінченно тонких шарів dRта враховуючи, що в межах атмосфери висоти z(0- 50 км) майже в тисячу разів менше радіусу Земної кулі Rш(6400 км), за формулою

F = =9,8 м/с 2 = g (6.5)

Таким чином, показано, що при оцінці сили тяжіння можна вважати, що сила тяжіння Земної кулі зосереджена в її центрі та обчислюється згідно із законом Всесвітнього тяжіння для матеріальних точок. Це означає, що на кожну частинку повітря діє сила P , спрямована до центру Землі, звана вагою цієї частки та обчислювана за формулою

(6.6)

Потенціал сили тяжіння та геопотенціал

dV=  V/  x dx+  V/  y dy +  V/  z dz = Fx dx + Fy dy + Fz dz = g dz

Враховуючи, що потенціал є повним диференціалом, він визначається шляхом інтегрування за довільним контуром між двома точками поля

V(B) – V(A) = A  B dV = A  B Fx dx + Fy dy + Fz dz =

За фізичним змістом потенціал - це робота сили земного тяжіння по переміщенню одиничної маси між точками A B. З великою точністю вважатимуться, що залежить тільки від перепаду висот між точками. У метеорології прийнято його називати геопотенціалом. Корисно пам'ятати, що для центральних векторних полів, до яких відноситься поле сили тяжіння, для вектора сили F (x, y, z) потенціал обернено пропорційний відстані до точки (V = f M/ r). Між цими визначеннями немає невідповідності, оскільки останнє перетворюється на перше під час використання припущення 1/ r =1/(R ш + z)≈ - z/ R ш 2 .

Тензор напруг – форма запису поверхневих сил

Слід звернути увагу, що на частину площі A DE поверхні DE, розташовану в тій же точці M, діє інший вектор напруги

Це означає що векторне уявлення поверхневих сил у одній точці атмосфери неоднозначно, воно залежить від орієнтації елементарного майданчика Для того, щоб відокремити однозначний опис напруженого стану в точці від впливу орієнтації майданчика, потрібно врахувати, що для будь-якого майданчика, орієнтація якого визначається вектором нормалі вектор напруги P розкладається за трьома не компланарними векторами, у відповідність до обраної координатної системи. (Див. малюнку). Кожен із векторів P X , P Y , P Z представляє напругу, що діє у точці на координатні площини. Загалом ці вектори можуть бути перпендикулярними координатним площинам. Тому кожен із них має трикомпонентну виставу.

Компоненти P XX , P YY , P ZZ є нормальними напругами, інші компоненти – дотичними напругами.

Якщо розглянути рівновагу контрольного обсягу у формі піраміди з вершиною в точці M (див. рисунок), т
про проекцію грані ABC, що має площу A n, на координатні площини виражаються формулами
. Вектор напруги, що діє на цю грань, представляється у вигляді
, причому вектора напруги, що діють паралельно координатним осям, мають компоненти
,
,

Для того щоб піраміда знаходилася в рівновазі проекції всіх сил на координатні осі повинні бути врівноважені. Звідси випливають рівності

Якщо скоротити A n і уявити ці рівності в матричній формі, то ці рівності можна переписати у вигляді

(6.7)

Ставати видно, що ефект орієнтації грані ABC, який виражається вектором нормалі до цієї грані n і ефект напруг, що діють у точці M, що виражається таблицею П (3х3), поділяються.

Таблиця
називається тензором напруги.

Властивості тензорів напруг у будь-якому суцільному середовищі

1. П - Це матриця. Справедливими є всі властивості матриць.

2. Якщо від системи (x,y,z) перейти до (x",y",z"), то П" = А П , П" - тензор у новій системі, А - матриця переходу (відома). Це означає, що П"передбачуваний і не залежить від орієнтації майданчика, тензор напруг однозначновизначає поверхневі сили, що діють у точці суцільного середовища.

3. При зміні координат зберігаються ІНВАРІАНТИ тензора П:

а) Слід ( p XX + p yy + p zz ), б) Мінори; в) Визначник.

4. Оскільки вектор n безрозмірний, то розмірність [ p ij ] = Н/м 2

Властивості тензорів напруги рідини.

Плинністю називається здатність частинок рідини починати рух при будь-якій, навіть нескінченно малій дотичній напрузі.Звідси випливає, що в стані спокою, коли немає руху, немає і дотичних напруг, тобто тензор напруги в рідині (і газі) є діагональною матрицею, тобто

Так як для довільно орієнтованого майданчика вектор напруги в рідині перпендикулярний до неї, то P N = n | P N | . У тензорному поданні P N = n П. Порівнюючи ці два визначення, отримаємо, що

n | P N | = { n x | P N |; n y | P N |; n z | P N |} = n П = ( n x p XX +0+0; 0+ n y p yy +0; 0+0+ n z p zz }.

Звідки випливає, що

| P N |= p XX = p yy = p zz = - p і

У рідині (і газі), що покоїться, тензор напруг повністю визначається однією скалярною величиною p, яка називається гідростатичним тиском

Закон Паскаля: У напругі, що покоїться, по будь-якому напрямку однакові і спрямовані за нормаллю до майданчика

Визначення сили тиску майданчик ∆A збігається з термодинамічним. ∆ F = - p n ∆ A Визначення сили баричного градієнта, що породжується різницею тисків і діє н
а елемент об'єму ∆ V = dx dy dz ілюструє малюнок. На ньому p - сила тиску на майданчик dydz , розташовану в точці ( x , y , z .), -( p +∂ p /∂ xdx ) - сила тиску на майданчик dydz , розташовану в точці ( x + dx , y , z .). На елемент об'єму у напрямку x діє складова сили тиску p dydz -( p + ∂ p /∂ xdx ) dydz = - ∂ p /∂ x dx dydz

На елемент ∆ V діє вектор сили тиску, що у метеорології прийнято називати силою баричного градієнта. Він дорівнює - grad p dx dydz , де grad p = { - ∂ p /∂ x , - ∂ p /∂ y , - ∂ p /∂ z } .

Закон гідростатики. Статика атмосфери

( ρ f - grad p) dx dy dz = 0

У проекціях на осі:

{ ρ f x - ∂ p /∂ x =0, ρ f y - ∂ p /∂ y =0, ρ f z - ∂ p /∂ z =0}

Прийнято направляти вісь z у зеніт, тоді f = { 0, 0, - g } і баланс сил тяжкості та баричного градієнта зводиться до рівностей

∂p /∂ x =0, ∂ p /∂ y =0, ∂ p /∂ z = - ρ g

У атмосфері ізобари, що покоїться, паралельні геосфері.Остання з рівностей називається законом гідростатики.

Статика атмосфери.

У атмосфері закон гідростатики діє разом із рівнянням стану

Про
звідси випливає, що розподіл тиску по вертикалі в атмосфері визначено повністю, якщо відомий вертикальний профіль температури та тиск на якомусь одному рівні. Фізично правильно було б використовувати значення тиску на верхніх рівнях, але в силу малої точності спостережень застосовують тиск на рівні підстилаючої поверхні.

Для різних оцінок корисно знати, як приблизно змінюється тиск з висотою в стандартній атмосфері, тобто при лінійному падінні температури (політропна атмосфера) до 11 км, властивому тропосфері, і при постійній температурі (ізотермічна атмосфера), що є спрощеним описом стратосфери. малюнок).

У політропній атмосфері (тропосфері)

На верхній межі тропосфери z= z 11 = 11000 м, T= T 11 =217 o K, p= p 11 =225 гПа

В ізотермічній атмосфері (стратосфері)

У
ертикальний розподіл тиску, отриманий за цими залежностями, наведено на малюнку

Наслідки рівнянь статики та стану

Маса одиничного стовпа атмосфери

Внутрішня енергія одиничного стовпа атмосфери

Потенційна енергія та ТЕОРЕМА ДАЙНСА

Запис теореми Дайнса через висоту центру тяжкості та середню температуру

Виконаність теореми Дайнса на рівні максимумуψ

Доказ ізопікнічностісереднього енергетичного рівня

Наближені значення змінних для середнього енергетичного рівня