Середня лінія правильної трапеції. Середня лінія трапеції

Площа трапеції. Вітаю вас! У цій публікації ми розглянемо зазначену формулу. Чому вона саме така та як її зрозуміти. Якщо буде розуміння, то і вчити її вам не потрібно. Якщо ж ви просто хочете подивитися цю формулу і при чому терміново, то одразу можете прокрутити сторінку вниз))

Тепер докладно та по порядку.

Трапеція це чотирикутник, дві сторони цього чотирикутника паралельні, дві інші немає. Ті, що не є паралельними – це підстави трапеції. Дві інші називаються бічними сторонами.

Якщо бічні сторони рівні, то трапеція називається рівнобедреною. Якщо одна з бічних сторін перпендикулярна до основ, то така трапеція називається прямокутною.

У класичному вигляді трапецію зображують наступним чином - більша основа знаходиться внизу, відповідно менша вгорі. Але ніхто не забороняє зображати її і навпаки. Ось ескізи:

Наступне важливе поняття.
Середня лінія трапеції – це відрізок, який з'єднує середини бічних сторін. Середня лінія паралельна основам трапеції і дорівнює їх напівсумі.

Тепер давайте вникнемо глибше. Чому так?

Розглянемо трапецію з основами a і bта із середньою лінією l, і виконаємо деякі додаткові побудови: через основи проведемо прямі, а через кінці середньої лінії перпендикуляри до перетину з основами:

*Буквенні позначення вершин та інших точок не введені навмисне, щоб уникнути зайвих позначень.

Подивіться, трикутники 1 і 2 дорівнюють другою ознакою рівності трикутників, трикутники 3 і 4 теж саме. З рівності трикутників випливає рівність елементів, а саме катетів (вони позначені відповідно синім та червоним кольором).

Тепер увага! Якщо ми подумки «відріжемо» від нижньої основи синій і червоний відрізок, то залишиться відрізок (це сторона прямокутника) рівний середньої лінії. Далі, якщо ми «приклеїмо» відрізані синій та червоний відрізок до верхньої основи трапеції, то в нас вийде також відрізок (це теж сторона прямокутника) рівний середній лінії трапеції.

Вловили? Виходить, що сума підстав дорівнюватиме двом середнім лініям трапеції:

Подивитися ще одне пояснення

Зробимо наступне – побудуємо пряму трапецію, що проходить через нижню основу, і пряму, яка пройде через точки А і В:

Отримаємо трикутники 1 і 2, вони рівні по стороні і прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників). Це означає, що отриманий відрізок (на ескізі він позначений синім) дорівнює верхньому підставі трапеції.

Тепер розглянемо трикутник:

*Середня лінія даної трапеції та середня лінія трикутника збігаються.

Відомо, що трикутника дорівнює половині паралельної їй основи, тобто:

Добре, розібралися. Тепер про площу трапеції.

Площа трапеції формула:

Кажуть: площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав та висоти.

Тобто, виходить, що вона дорівнює добутку середньої лінії та висоти:

Ви, мабуть, помітили, що це очевидно. Геометрично це можна сказати так: якщо ми подумки відріжемо від трапеції трикутники 2 і 4 і покладемо їх відповідно на трикутники 1 і 3:

То в нас вийде прямокутник за площею рівний площі нашої трапеції. Площа цього прямокутника дорівнюватиме добутку середньої лінії та висоти, тобто можемо записати:

Але річ тут не в записі, звичайно, а в розумінні.

Завантажити (переглянути) матеріал статті у форматі *pdf

На цьому все. Успіху вам!

З повагою, Олександр.

У цій статті ми намагатимемося наскільки можна повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, йтиметься про загальні ознаки та властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Зачепимо ми і властивості рівнобедреної та прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирикутник, дві із сторін якої паралельні одна одній (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середню лінію та діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте собі на аркуші трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) і з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції полягає в тому, що ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Розгляньмо трикутники АОЕ і МОК, утворені відрізками діагоналей разом з основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їхні площі однакові.
Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МЕ в напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона разом з'єднає точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний основам трапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
Якщо провести через обидві підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції АКМЕ. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 і γ + δ = 180 0 .
З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції

У рівнобедреній трапеції рівні кути при будь-якій підставі.
Тепер знову збудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, про що йдеться. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
Кілька слів про властивість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
Тільки біля рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 1800 – обов'язкова умова для цього.
З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І водночас ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо його a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основи віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець до рук і накреслити те, про що йтиметься нижче. Так і зрозумієте швидше і запам'ятайте краще.

Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до його боці. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бокової сторони. У такому разі більша основа перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
Діагональ і бічний бік можуть зустрічатися і під гострим кутом – тоді центр кола виявляється всередині трапеції.
Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за її основою, якщо між діагоналлю трапеції і бічною стороною – тупий кут.
Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) становить половину центрального кута, який йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженого на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
З цієї властивості основ трапеції випливає зворотне твердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума основ якої дорівнює сумі бічних сторін.
Точка торкання кола з радіусом r, вписаної в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад також накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція АКМЕ, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
Висота та бічна сторона трапеції, що прилягає до прямого кута, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції (загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

Ви вже напевно і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЄ = КМЕ.

Що й потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ та КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЄ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – загальна сторона двох трикутників. А також ТРАВНІ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі властивості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = ?АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспект усіх загальних властивостей трапеції. А також специфічних властивостей та ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням з друзями!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Поняття середньої лінії трапеції

Спочатку згадаємо, яку фігуру називають трапецією.

Визначення 1

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

У цьому паралельні боку називаються основами трапеції, а чи не паралельні - бічними сторонами трапеції.

Визначення 2

Середня лінія трапеції – це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції.

Теорема про середню лінію трапеції

Тепер введемо теорему про середню лінію трапеції і доведемо її векторним методом.

Теорема 1

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Доведення.

Нехай нам дана трапеція $ABCD$ з основами $AD\ і BC$. І хай $ MN $ - середня лінія цієї трапеції (рис. 1).

Рисунок 1. Середня лінія трапеції

Доведемо, що $MN||AD\ і MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Розглянемо вектор $\overrightarrow(MN)$. Використовуємо правило багатокутника для складання векторів. З одного боку отримаємо, що

З іншого боку

Складемо дві останні рівністі, отримаємо

Так як $ M $ і $ N $ - середини бічних сторін трапеції, будемо мати

Отримуємо:

Отже

З тієї ж рівності (оскільки $\overrightarrow(BC)$ і $\overrightarrow(AD)$ сонаправлены, отже, коллинеарны) отримуємо, що $MN||AD$.

Теорему доведено.

Приклади завдань поняття середньої лінії трапеції

Приклад 1

Бічні сторони трапеції рівні $15\см$ і $17\см$ відповідно. Периметр трапеції дорівнює $52\ см $. Знайти довжину середньої лінії трапеції.

Рішення.

Позначимо середню лінію трапеції через $n$.

Сума бічних сторін дорівнює

Отже, оскільки периметр дорівнює $52\ см$, сума підстав дорівнює

Отже, за теоремою 1 отримуємо

Відповідь:$10\ см$.

Приклад 2

Кінці діаметра кола віддалені від його дотичної відповідно на $9$ см і $5$ см. Знайти діаметр цього кола.

Рішення.

Нехай нам дано коло з центром у точці $O$ та діаметром $AB$. Проведемо дотичну $l$ і побудуємо відстані $AD=9\ см$ і $BC=5\ см$. Проведемо радіус $OH$ (рис. 2).

Малюнок 2.

Оскільки $AD$ і $BC$ - відстані до дотичної, то $AD\bot l$ і $BC\bot l$ і оскільки $OH$ -- радіус, то $OH\bot l$, отже, $OH |\left|AD\right||BC$. З цього отримуємо, що $ABCD$ - трапеція, а $OH$ - її середня лінія. По теоремі 1, отримуємо

Поняття середньої лінії трапеції

Спочатку згадаємо, яку фігуру називають трапецією.

Визначення 1

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.

У цьому паралельні боку називаються основами трапеції, а чи не паралельні - бічними сторонами трапеції.

Визначення 2

Середня лінія трапеції – це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції.

Теорема про середню лінію трапеції

Тепер введемо теорему про середню лінію трапеції і доведемо її векторним методом.

Теорема 1

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Доведення.

Нехай нам дана трапеція $ABCD$ з основами $AD\ і BC$. І хай $ MN $ - середня лінія цієї трапеції (рис. 1).

Рисунок 1. Середня лінія трапеції

Доведемо, що $MN||AD\ і MN=\frac(AD+BC)(2)$.

З іншого боку

Складемо дві останні рівністі, отримаємо

Так як $ M $ і $ N $ - середини бічних сторін трапеції, будемо мати

Отримуємо:

Отже

З тієї ж рівності (оскільки $\overrightarrow(BC)$ і $\overrightarrow(AD)$ сонаправлены, отже, коллинеарны) отримуємо, що $MN||AD$.

Теорему доведено.

Приклади завдань поняття середньої лінії трапеції

Приклад 1

Рішення.

Позначимо середню лінію трапеції через $n$.

Сума бічних сторін дорівнює

Отже, оскільки периметр дорівнює $52\ см$, сума підстав дорівнює

Отже, за теоремою 1 отримуємо

Відповідь:$10\ см$.

Приклад 2

Кінці діаметра кола віддалені від його дотичної відповідно на $9$ см і $5$ см. Знайти діаметр цього кола.

Рішення.

Малюнок 2.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.