Теорія ймовірностей та математична статистика для чайників. Основи теорії ймовірностей та математичної статистики

Виникнення теорії ймовірностей відноситься до середини XVII століття, коли математики зацікавилися завданнями, поставленими азартними гравцями, які досі не вивчалися в математиці. У процесі вирішення цих завдань викристалізувалися такі поняття, як ймовірність та математичне очікування. У цьому вчені на той час – Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) і Бернуллі (1654-1705) переконані, що у основі масових випадкових подій можуть бути чіткі закономірності. І лише стан природознавства призвело до того, що азартні ігри ще довго продовжували залишатися майже єдиним конкретним матеріалом, з урахуванням якого створювалися поняття і методи теорії ймовірностей. Ця обставина накладала відбиток і формально-математичний апарат, з якого вирішувалися які у теорії ймовірностей завдання: він зводився винятково до элементарно-арифметическим і комбінаторним методам.

Серйозні вимоги з боку природознавства та суспільної практики (теорія помилок спостереження, завдання теорії стрільби, проблеми статистики, насамперед статистики народонаселення) призвели до подальшого розвитку теорії ймовірностей і залучення більш розвиненого аналітичного апарату. Особливо значну роль розвитку аналітичних методів теорії ймовірностей зіграли Муавр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон (1781-1840). З формально-аналітичного боку до цього напряму примикає робота творця неевклидовой геометрії Лобачевського (1792-1856), присвячена теорії помилок при вимірах у сфері і виконана метою встановлення геометричної системи, що панує у всесвіті.

Теорія ймовірностей, подібно до інших розділів математики, розвинулася з потреб практики: в абстрактній формі вона відображає закономірності, властиві випадковим подіям масового характеру. Ці закономірності відіграють виключно важливу роль у фізиці та інших галузях природознавства, найрізноманітніших технічних дисциплінах, економіці, соціології, біології. У зв'язку з широким розвитком підприємств, які виробляють масову продукцію, результати теорії ймовірностей стали використовуватися не тільки для бракування вже виготовленої продукції, але й для організації процесу виробництва (статистичний контроль у виробництві).

Основні поняття теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей пояснює та досліджує різні закономірності, яким підпорядковані випадкові події та випадкові величини. Подієює будь-який факт, який можна констатувати внаслідок спостереження чи досвіду. Спостереженням чи досвідом називають реалізацію певних умов, у яких подія може відбутися.

Досвід означає, що згаданий комплекс обставин створено свідомо. У ході спостереження сам спостерігач комплекс цих умов не створює і не впливає на нього. Його створюють чи сили природи чи інші люди.

Що потрібно знати, щоб визначати ймовірність подій

Усі події, за якими люди спостерігають чи самі створюють їх, поділяються на:

• достовірні події;
• неможливі події;
• довільні події.

Достовірні подіїнастають завжди, коли створено певний комплекс обставин. Наприклад, якщо працюємо, то отримуємо за цю винагороду, якщо склали іспити та витримали конкурс, то достовірно можемо розраховувати на те, що включено до числа студентів. Достовірні події можна спостерігати у фізиці та хімії. В економіці достовірні події пов'язані з існуючим суспільним устроєм та законодавством. Наприклад, якщо ми вклали гроші в банк на депозит і виявили бажання у визначений термін їх отримати, то гроші отримаємо. На це можна розраховувати як на достовірну подію.

Неможливі події виразно не наступають, якщо створився певний комплекс умов. Наприклад, вода не замерзає, якщо температура становить плюс 15 градусів за Цельсієм, виробництво не ведеться без електроенергії.

Випадкові події при реалізації певного комплексу умов можуть і можуть наступити. Наприклад, якщо ми один раз підкидаємо монету, герб може випасти, а може не випасти, лотерейним білетом можна виграти, а можна не виграти, вироблений виріб може бути придатним, а може бути бракованим. Поява бракованого виробу є випадковою подією, рідкішою, ніж виробництво придатних виробів.

Очікувана частота наступу випадкових подій тісно пов'язана з поняттям ймовірності. Закономірності настання та ненастання випадкових подій досліджує теорія ймовірностей.

Якщо комплекс необхідних умов реалізований лише один раз, то отримуємо недостатньо інформації про випадкову подію, оскільки вона може настати, а може не настати. Якщо комплекс умов реалізовано багато разів, з'являються відомі закономірності. Наприклад, ніколи неможливо дізнатися, який кавовий апарат у магазині вимагатиме черговий покупець, але якщо відомі марки найбільш затребуваних протягом тривалого часу кавових апаратів, то на основі цих даних можливо організувати виробництво чи постачання, щоб задовольнити попит.

Знання закономірностей, яким підпорядковані масові випадкові події, дозволяє прогнозувати, коли наступні події. Наприклад, як зазначалося, заздалегідь не можна передбачити результат кидання монети, але якщо монета кинута багато разів, можна передбачити випадання герба. Помилка може бути невеликою.

Методи теорії ймовірностей широко використовуються в різних галузях природознавства, теоретичної фізики, геодезії, астрономії, теорії автоматизованого управління, теорії спостереження помилок та багатьох інших теоретичних і практичних науках. Теорія ймовірностей широко використовується у плануванні та організації виробництва, аналізі якості продукції, аналізі технологічних процесів, страхуванні, статистиці населення, біології, балістиці та інших галузях.

Випадкові події зазвичай позначають великими літерами латинського алфавіту A, B, C тощо.

Випадкові події можуть бути:

• несумісними;
• спільними.

Події A, B, C … називають несумісними якщо в результаті одного випробування може наступити одна з цих подій, але неможливо настання двох або більше подій.

Якщо настання однієї випадкової події не виключає настання іншої події, то такі події називають спільними . Наприклад, якщо зі стрічки конвеєра знімають чергову деталь і подія А означає «деталь відповідає стандарту», ​​а подія B означає «деталь відповідає стандарту», ​​то A і B – несумісні події. Якщо подія C означає «взята деталь II сорту», ​​це подія спільно з подією A, але несумісно з подією B.

Якщо у кожному спостереженні (випробуванні) має відбутися одна і лише одна з несумісних випадкових подій, то ці події становлять повна безліч (систему) подій .

Достовірною подією є настання хоча б однієї події з безлічі подій.

Якщо події, що утворюють безліч подій, попарно несумісні , то результаті спостереження може наступити лише одне з цих подій. Наприклад, студент має вирішити дві задачі контрольної роботи. Визначено відбудеться одна і тільки одна з наступних подій:

• буде вирішено перше завдання та не буде вирішено друге завдання;
• буде вирішено друге завдання та не буде вирішено перше завдання;
• будуть вирішені обидві задачі;
• не буде вирішено жодне із завдань.

Ці події утворюють повна безліч несумісних подій .

Якщо повна кількість подій складається тільки з двох несумісних подій, то їх називають взаємно протилежними або альтернативними подіями.

Подія, протилежна до події, позначають . Наприклад, у разі одного підкидання монети може випасти номінал () або герб ().

Події називають рівноможливими , якщо в жодного немає об'єктивних переваг. Такі події також складають безліч подій. Це означає, що в результаті спостереження або випробування напевно має наступити щонайменше одна з рівноможливих подій.

Наприклад, повну групу подій утворюють випадання номіналу та герба при одному підкиданні монети, наявність на одній друкованій сторінці тексту 0, 1, 2, 3 та більше 3 помилок.

Визначення та властивості ймовірностей

Класичне визначення імовірності.Можливістю або сприятливою нагодою називають випадок, коли при реалізації певного комплексу обставин події Авідбуваються. Класичне визначення ймовірності передбачає безпосередньо обчислити кількість сприятливих випадків чи можливостей.

Класична та статистична ймовірності. Формули ймовірностей: класичної та статистичної

Ймовірністю події Аназивають відношення числа сприятливих цій події можливостей до всіх рівноможливих несумісних подій Nякі можуть статися в результаті одного випробування або спостереження. Формула ймовірності події А:

Якщо цілком зрозуміло, про ймовірність якої події йдеться, то тоді ймовірність позначають маленькою літерою p, не вказуючи позначення події.

Щоб обчислити ймовірність за класичним визначенням, необхідно знайти число всіх рівноможливих несумісних подій та визначити, скільки з них сприятливі для визначення події А.

приклад 1.Знайти ймовірність випадання числа 5 внаслідок кидання гральної кістки.

Рішення. Відомо, що у всіх шести граней однакова можливість опинитися нагорі. Число 5 відзначено лише на одній грані. Число всіх рівноможливих несумісних подій налічується 6, їх лише одна сприятлива можливість випадання числа 5 ( М= 1). Це означає, що ймовірність випадання числа 5

приклад 2.У ящику знаходяться 3 червоних та 12 білих однакових за розміром м'ячиків. Не дивлячись узятий один м'ячик. Знайти ймовірність, що взято червоний м'ячик.

Рішення. Шукана ймовірність

Знайти ймовірності самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 3.Впадає гральна кістка. Подія B- Випадання парного числа. Обчислити ймовірність цієї події.

Приклад 5.В урні 5 білих та 7 чорних куль. Випадково витягується 1 шар. Подія A- Витягнута біла куля. Подія B- Витягнута чорна куля. Обчислити ймовірність цих подій.

Класичну ймовірність називають також апріорною ймовірністю, оскільки її розраховують перед початком випробування чи спостереження. З апріорного характеру класичної ймовірності випливає її головний недолік: тільки в окремих випадках перед початком спостереження можна обчислити все рівноможливі несумісні події і навіть сприятливі події. Такі можливості зазвичай виникають у ситуаціях, родинних ігор.

Поєднання.Якщо послідовність подій не важлива, число можливих подій обчислюють як кількість поєднань:

Приклад 6.У групі 30 студентів. Трьом студентам слід попрямувати на кафедру інформатики, щоб взяти та принести комп'ютер та проектор. Обчислити ймовірність того, що це зроблять три певні студенти.

Рішення. Число можливих подій розраховуємо, використовуючи формулу (2):

Імовірність того, що на кафедру вирушать три певні студенти:

Приклад 7.Продається 10 мобільних телефонів. Їх у 3 є дефекти. Покупець обрав 2 телефони. Обчислити ймовірність того, що обидва вибрані телефони будуть з дефектами.

Рішення. Число всіх рівноможливих подій знаходимо за формулою (2):

За тією ж формулою знаходимо число сприятливих подій можливостей:

Можлива ймовірність того, що обидва вибрані телефони будуть з дефектами.

ВСТУП

Багато речей нам незрозумілі не тому, що наші поняття слабкі;
але тому, що ці речі не входять до кола наших понять.
Козьма Прутков

Основна мета вивчення математики в середніх спеціальних навчальних закладах полягає в тому, щоб дати студентам набір математичних знань та навичок, необхідних для вивчення інших програмних дисциплін, які використовують у тій чи іншій мірі математику, для вміння виконувати практичні розрахунки, для формування та розвитку логічного мислення.

У цій роботі послідовно вводяться всі базові поняття розділу математики "Основи теорії ймовірностей та математичної статистики", передбачені програмою та Державними освітніми стандартами середньої професійної освіти (Міністерство освіти Російської Федерації. М., 2002 р.), формулюються основні теореми, більшість яких не доводиться . Розглядаються основні завдання та методи їх вирішення та технології застосування цих методів до вирішення практичних завдань. Виклад супроводжується докладними коментарями та численними прикладами.

Методичні вказівки можуть бути використані для первинного ознайомлення з матеріалом, що вивчається, при конспектуванні лекцій, для підготовки до практичних занять, для закріплення отриманих знань, умінь і навичок. Крім того, посібник буде корисним і студентам-старшокурсникам як довідковий посібник, що дозволяє швидко відновити в пам'яті те, що було вивчено раніше.

Наприкінці роботи наведено приклади та завдання, які студенти можуть виконувати у режимі самоконтролю.

Методичні вказівки призначені для студентів заочної та денної форм навчання.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Теорія ймовірностей вивчає об'єктивні закономірності масових подій. Вона є теоретичною базою для математичної статистики, яка займається розробкою методів збирання, опису та обробки результатів спостережень. Шляхом спостережень (випробувань, експериментів), тобто. досвіду у сенсі слова, відбувається пізнання явищ дійсного світу.

У своїй практичній діяльності часто зустрічаємося з явищами, результат яких неможливо передбачити, результат яких залежить від випадку.

Випадкове явище можна охарактеризувати ставленням числа його наступів до випробувань, у кожному з яких за однакових умов усіх випробувань воно могло наступити або не наступити.

Теорія ймовірностей є розділ математики, у якому вивчаються випадкові явища (події) і виявляються закономірності при їх повторенні.

Математична статистика - це розділ математики, який має своїм предметом вивчення методів збору, систематизації, обробки та використання статистичних даних для отримання науково обґрунтованих висновків та прийняття рішень.

При цьому під статистичними даними розуміється сукупність чисел, які представляють кількісні характеристики цікавих для нас ознак об'єктів, що вивчаються. Статистичні дані виходять у результаті спеціально поставлених дослідів, спостережень.

Статистичні дані за своєю сутністю залежить від багатьох випадкових чинників, тому математична статистика тісно пов'язані з теорією ймовірностей, що є її теоретичної основою.

I. ІМОВІРНІСТЬ. ТЕОРЕМИ ДОДАТКУ ТА ПРИМНОЖЕННЯ МОЖЛИВОСТЕЙ

1.1. Основні поняття комбінаторики

У розділі математики, який називається комбінаторикою, вирішуються деякі завдання, пов'язані з розглядом множин та складанням різних комбінацій з елементів цих множин. Наприклад, якщо взяти 10 різних цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 і складати з них комбінації, будемо отримувати різні числа, наприклад 143, 431, 5671, 1207, 43 і т.п.

Ми бачимо, що деякі з таких комбінацій відрізняються лише порядком цифр (наприклад, 143 і 431), інші - цифрами, що входять до них (наприклад, 5671 і 1207), треті різняться і числом цифр (наприклад, 143 і 43).

Таким чином, отримані комбінації задовольняють різні умови.

Залежно від правил складання можна виділити три типи комбінацій: перестановки, розміщення, поєднання.

Попередньо познайомимось із поняттям факторіалу.

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно називають n-факторіалом і пишуть.

Обчислити: а); б); в).

Рішення. а) .

б) Так як і , то можна винести за дужки

Тоді отримаємо

в) .

Перестановки.

p align="justify"> Комбінація з n елементів, які відрізняються один від одного тільки порядком елементів, називаються перестановками.

Перестановки позначаються символом Р n , де n-число елементів, що входять до кожної перестановки. ( Р- перша літера французького слова permutation- Перестановка).

Число перестановок можна обчислити за формулою

або за допомогою факторіалу:

Запам'ятаємо, що 0!=1 та 1!=1.

Приклад 2. Скільки можна розставляти на одній полиці шість різних книг?

Рішення. Потрібне число методів дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобто.

Розміщення.

Розміщеннями з mелементів у nу кожному називаються такі з'єднання, які відрізняються один від одного або самими елементами (хоча б одним), або порядком з розташування.

Розміщення позначаються символом , де m- Число всіх наявних елементів, n- Число елементів у кожній комбінації. ( А-перша літера французького слова arrangement, Що означає "розміщення, упорядкування").

При цьому вважають, що nm.

Число розміщень можна обчислити за формулою

,

тобто. число всіх можливих розміщень з mелементів по nодно твору nпослідовних цілих чисел, з яких є більше m.

Запишемо цю формулу у факторіальній формі:

Приклад 3. Скільки варіантів розподілу трьох путівок до санаторію різного профілю можна скласти для п'яти претендентів?

Рішення. Шукане число варіантів дорівнює кількості розміщень з 5 елементів по 3 елементи, тобто.

.

Поєднання.

Поєднаннями називаються всі можливі комбінації з mелементів по n, які відрізняються один від одного принаймні хоча б одним елементом (тут mі n-натуральні числа, причому n m).

Число поєднань з mелементів по nпозначаються ( З-перша буква французького слова combination- Поєднання).

У загальному випадку число з mелементів по nдорівнює кількості розміщень з mелементів по n, поділеному на число перестановок з nелементів:

Використовуючи для чисел розміщень та перестановок факторіальні формули, отримаємо:

Приклад 4. У бригаді з 25 чоловік потрібно виділити чотирьох для роботи на певній ділянці. Скільки способами це можна зробити?

Рішення. Оскільки порядок обраних чотирьох осіб немає значення, це можна зробити способами.

Знаходимо за першою формулою

.

Крім того, при вирішенні задач використовуються такі формули, що виражають основні властивості поєднань:

(За визначенням вважають і);

.

1.2. Розв'язання комбінаторних завдань

Завдання 1. На факультеті вивчається 16 предметів. На понеділок потрібно в розклад поставити 3 предмети. Скільки можна це зробити?

Рішення. Способів постановки на розклад трьох предметів з 16 стільки, скільки можна скласти розміщень з 16 елементів по 3.

Завдання 2. З 15 об'єктів слід відібрати 10 об'єктів. Скільки способами це можна зробити?

Завдання 3. У змаганнях взяли участь чотири команди. Скільки варіантів розподілу місць між ними можливо?

.

Завдання 4. Скільки способами можна скласти дозор з трьох солдатів і одного офіцера, якщо є 80 солдатів і 3 офіцери?

Рішення. Солдат у дозор можна вибрати

методами, а офіцерів методами. Так як з кожною командою з солдатів може піти будь-який офіцер, то є способів.

Завдання 5. Знайти , якщо відомо, що .

Так як , то отримаємо

,

,

За визначенням поєднання слід, що , . Т.о. .

1.3. Концепція випадкової події. Види подій. Ймовірність події

Будь-яка дія, явище, спостереження з кількома різними наслідками, що реалізується при даному комплексі умов, будемо називати випробуванням.

Результат цієї дії чи спостереження називається подією .

Якщо подія за заданих умов може статися або не відбутися, вона називається випадковим . У тому випадку, коли подія повинна неодмінно відбутися, її називають достовірним , а в тому випадку, коли воно свідомо не може статися, - неможливим.

Події називаються несумісними якщо кожен раз можлива поява тільки одного з них.

Події називаються спільними якщо в даних умовах поява однієї з цих подій не виключає появу іншого при тому ж випробуванні.

Події називаються протилежними , якщо за умов випробування вони, будучи єдиними його результатами, несовместны.

Події прийнято позначати великими літерами латинського алфавіту: А, В, С, Д, : .

Повною системою подій А 1 , А 2 , А 3 , : , А n називається сукупність несумісних подій, наступ хоча одного з яких обов'язково при даному випробуванні.

Якщо повна система складається з двох несумісних подій, такі події називаються протилежними і позначаються А і .

приклад. У коробці є 30 пронумерованих куль. Встановити, які з таких подій є неможливими, достовірними, протилежними:

дістали пронумеровану кулю (А);

дістали кулю з парним номером (В);

дістали кулю з непарним номером (С);

дістали кулю без номера (Д).

Які їх утворюють повну групу?

Рішення . А- достовірна подія; Д- неможлива подія;

В і З- Протилежні події.

Повну групу подій складають Аі Д, Ві З.

Імовірність події розглядається як міра об'єктивної можливості появи випадкової події.

1.4. Класичне визначення ймовірності

Число, що є виразом міри об'єктивної можливості настання події, називається ймовірністю цієї події і позначається символом Р(А).

Визначення. Ймовірністю події Аназивається відношення числа результатів m, що сприяють настанню цієї події Адо числа nвсіх результатів (неспільних, єдино можливих і рівноможливих), тобто. .

Отже, знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, підрахувати всі можливі несовместные результати n,вибрати число цікавих для нас результатів m і обчислити ставлення mдо n.

З цього визначення випливають такі характеристики:

Імовірність будь-якого випробування є невід'ємним числом, що не перевищує одиниці.

Дійсно, число m подій, що шукаються, укладено в межах . Розділивши обидві частини на n, отримаємо

2. Можливість достовірного події дорівнює одиниці, т.к. .

3. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю, оскільки .

Завдання 1. У лотереї із 1000 квитків є 200 виграшних. Виймають навмання один квиток. Чому дорівнює можливість того, що цей квиток виграшний?

Рішення. Загальна кількість різних результатів є n=1000. Число результатів, що сприяють отриманню виграшу, становить m=200. Згідно з формулою, отримаємо

.

Завдання 2. У партії із 18 деталей перебувають 4 браковані. Навмання вибирають 5 деталей. Знайти ймовірність того, що із цих 5 деталей дві виявляться бракованими.

Рішення. Число всіх рівноможливих незалежних результатів nдорівнює кількості поєднань з 18 по 5 тобто.

Підрахуємо число m, що сприяють події А. Серед 5 взятих навмання деталей має бути 3 якісних та 2 бракованих. Число способів вибірки двох бракованих деталей з 4 наявних бракованих дорівнює кількості поєднань з 4 по 2:

Число способів вибірки трьох якісних деталей з 14 наявних якісних дорівнює

.

Будь-яка група якісних деталей може комбінуватися з будь-якою групою бракованих деталей, тому загальна кількість комбінацій mскладає

Шукана ймовірність події А дорівнює відношенню числа результатів m, що сприяють цій події, до n всіх рівноможливих незалежних результатів:

.

Сумою кінцевого числа подій називається подія, що полягає у настанні хоча б одного з них.

Суму двох подій позначають символом А+В, а суму nподій символом А1+А2+: +Аn.

Теорема складання ймовірностей.

Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Наслідок 1. Якщо подія А 1 , А 2 , : , А n утворюють повну систему, то сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.

.

Завдання 1. Є 100 лотерейних білетів. Відомо, що на 5 квитків потрапляє виграш по 20000 руб., на 10 – по 15000 руб., на 15 – по 10000 руб. і на решту нічого. Знайти ймовірність того, що на куплений квиток буде отримано виграш не менше ніж 10000 руб.

Рішення. Нехай А, У, і С- події, які у тому, що у куплений квиток падає виграш, рівний відповідно 20000, 15000 і 10000 крб. оскільки події А, В та С несумісні, то

Завдання 2. На заочне відділення технікуму надходять контрольні роботи з математики з міст А, Ві З. Імовірність надходження контрольної роботи з міста Адорівнює 0,6, із міста У- 0,1. Знайти ймовірність того, що чергова контрольна робота надійде із міста З.

Події, які відбуваються реально або у нашій уяві, можна поділити на 3 групи. Це достовірні події, які обов'язково відбудуться, неможливі події та випадкові події. Теорія ймовірностей вивчає довільні події, тобто. події, які можуть статися чи не відбутися. У цій статті буде представлена ​​в короткому вигляді теорія ймовірності формули та приклади вирішення задач з теорії ймовірності, які будуть у 4 завданні ЄДІ з математики (профільний рівень).

Навіщо потрібна теорія ймовірності

Історично потреба дослідження цих проблем виникла у XVII столітті у зв'язку з розвитком та професіоналізацією азартних ігор та появою казино. Це було реальне явище, яке вимагало свого вивчення та дослідження.

Гра в карти, кістки, рулетку створювала ситуації, коли могло статися будь-яке з кінцевого числа рівноможливих подій. Виникла необхідність дати числові оцінки можливості настання тієї чи іншої події.

У XX столітті з'ясувалося, що ця, начебто, легковажна наука відіграє важливу роль у пізнанні фундаментальних процесів, що протікають у мікросвіті. Було створено сучасну теорію ймовірностей.

Основні поняття теорії ймовірності

Об'єктом вивчення теорії ймовірностей є події та їх ймовірності. Якщо подія є складною, її можна розбити на прості складові, ймовірності яких знайти нескладно.

Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося або подія А, або подія, або події А і В одночасно.

Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в тому, що сталося і подія А і подія.

Події А та В називається несумісними, якщо вони не можуть статися одночасно.

Подія А називається неможливою, якщо вона не може статися. Така подія позначається символом.

Подія А називається достовірною, якщо вона обов'язково станеться. Така подія позначається символом.

Нехай кожній події А поставлено у відповідність число P(А). Це число P(А) називається ймовірністю події А, якщо за такої відповідності виконані такі умови.

Важливим окремим випадком є ​​ситуація, коли є рівноймовірні елементарні результати, і довільні з цих результатів утворюють події А. У цьому випадку ймовірність можна ввести за формулою . Імовірність, введена в такий спосіб, називається класичною ймовірністю. Можна довести, що в цьому випадку властивості 1-4 виконані.

Завдання з теорії ймовірностей, що зустрічаються на ЄДІ з математики, в основному пов'язані з класичною ймовірністю. Такі завдання можуть бути дуже простими. Особливо простими є завдання з теорії ймовірностей у демонстраційних варіантах. Легко обчислити число сприятливих наслідків , у умови написано число всіх результатів .

Відповідь отримуємо за формулою.

Приклад завдання з ЄДІ з математики з визначення ймовірності

На столі лежать 20 пиріжків - 5 з капустою, 7 з яблуками та 8 з рисом. Марина хоче взяти пиріжок. Яка ймовірність, що вона візьме пиріжок із рисом?

Рішення.

Усього рівноймовірних елементарних результатів 20, тобто Марина може взяти будь-який із 20 пиріжків. Але нам потрібно оцінити ймовірність того, що Марина візьме пиріжок з рисом, тобто де А — це вибір пиріжка з рисом. Значить у нас кількість сприятливих результатів (виборів пиріжків з рисом) лише 8. Тоді ймовірність визначатиметься за формулою:

Незалежні, протилежні та довільні події

Однак у відкритому банку завдань стали зустрічатися і складніші завдання. Тому звернемо увагу читача та інші питання, вивчені теорії ймовірностей.

Події А та В називається незалежними, якщо ймовірність кожного з них не залежить від того, чи відбулася інша подія.

Подія B у тому, що А не відбулося, тобто. подія B є протилежною до події А. Ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність прямої події, тобто. .

Теореми складання та множення ймовірностей, формули

Для довільних подій А і В ймовірність суми цих подій дорівнює сумі ймовірностей без ймовірності їх спільної події, тобто. .

Для незалежних подій А і В імовірність добутку цих подій дорівнює добутку їх ймовірностей, тобто. в цьому випадку .

Останні 2 твердження називаються теоремами складання та множення ймовірностей.

Не завжди підрахунок числа наслідків є настільки простим. У ряді випадків потрібно використовувати формули комбінаторики. При цьому найбільш важливим є підрахунок числа подій, які відповідають певним умовам. Іноді такі підрахунки можуть ставати самостійними завданнями.

Скільки способами можна посадити 6 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другому учню. Для третього учня залишається 4 вільні місця, для четвертого - 3, для п'ятого - 2, шостий займе єдине місце, що залишилося. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір, який позначається 6 символом! і читається "шість факторіал".

У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа перестановок з п елементів У нашому випадку.

Розглянемо тепер інший випадок із нашими учнями. Скільки способами можна посадити 2 учнів на 6 вільних місць? Перший учень займе будь-яке із 6 місць. Кожному з цих варіантів відповідає 5 способів зайняти місце другому учню. Щоб знайти число всіх варіантів, треба знайти твір.

У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа розміщень з n елементів по k елементам

У нашому випадку .

І останній випадок із цієї серії. Скільки можна вибрати трьох учнів з 6? Першого учня можна вибрати 6 способами, другого – 5 способами, третього – чотирма. Але серед цих варіантів 6 разів зустрічається та сама трійка учнів. Щоб визначити число всіх варіантів, треба обчислити величину: . У загальному випадку відповідь на це питання дає формула для числа поєднань з елементів за елементами:

У нашому випадку .

Приклади розв'язання задач з ЄДІ з математики визначення ймовірності

Завдання 1. Зі збірки під ред. Ященко.

На тарілці 30 пиріжків: 3 з м'ясом, 18 з капустою та 9 з вишнею. Сашко навмання вибирає один пиріжок. Знайдіть ймовірність того, що він опиниться з вишнею.

.

Відповідь: 0,3.

Завдання 2. Зі збірки під ред. Ященко.

У кожній партії з 1000 лампочок загалом 20 бракованих. Знайдіть ймовірність того, що навмання взята лампочка з партії буде справною.

Рішення: Кількість справних лампочок 1000-20 = 980. Тоді ймовірність того, що взята навмання лампочка з партії буде справною.

Відповідь: 0,98.

Імовірність того, що на тестуванні з математики учень У. правильно вирішить більше 9 завдань, дорівнює 0,67. Імовірність того, що У. правильно вирішить більше 8 завдань, дорівнює 0,73. Знайдіть ймовірність того, що У. правильно вирішить рівно 9 задач.

Якщо ми уявімо числову пряму і на ній відзначимо точки 8 і 9, то побачимо, що умова «У. вірно вирішить рівно 9 завдань» входить до умови «У. правильно вирішить більше 8 завдань», але не належить до умови «У. правильно вирішить більше 9 завдань».

Однак умова «У. вірно вирішить більше 9 завдань» міститься за умови «У. правильно вирішить понад 8 завдань». Отже, якщо ми позначимо події: «У. правильно вирішить рівно 9 завдань» - через А, «У. правильно вирішить більше 8 завдань» - через B, «У. вірно вирішить більше 9 завдань через С. То рішення буде виглядати наступним чином:

Відповідь: 0,06.

На іспиті з геометрії школяр відповідає одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Тригонометрія», дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Зовнішні кути», дорівнює 0,15. Запитань, які одночасно стосуються цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.

Давайте подумаємо, які у нас дані події. Нам дано дві несумісні події. Тобто або питання ставитиметься до теми «Тригонометрія», або до теми «Зовнішні кути». За теоремою ймовірності ймовірність несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей кожної події, ми повинні знайти суму ймовірностей цих подій, тобто:

Відповідь: 0,35.

Приміщення висвітлюється ліхтарем із трьома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,29. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоч одна лампа не перегорить.

Розглянемо можливі події. У нас є три лампочки, кожна з яких може перегоріти або не перегоріти незалежно від будь-якої іншої лампочки. Це незалежні події.

Тоді зазначимо варіанти таких подій. Приймемо позначення: лампочка горить, лампочка перегоріла. І одразу поруч підрахуємо ймовірність події. Наприклад, ймовірність події, в якій відбулися три незалежні події «лампочка перегоріла», «лампочка горить», «лампочка горить»: де ймовірність події «лампочка горить» підраховується як ймовірність події, протилежної події «лампочка не горить», а саме: .

Зауважимо, що сприятливих нам несумісних подій всього 7. Ймовірність таких подій дорівнює сумі ймовірностей кожної з подій: .

Відповідь: 0,975608.

Ще одне завдання ви можете подивитися на малюнку:

Таким чином, ми з вами зрозуміли, що таке теорія ймовірності формули та приклади вирішення завдань, за якою вам можуть зустрітися у варіанті ЄДІ.

Курс математики готує школярам масу сюрпризів, одне із яких - завдання з теорії ймовірності. З вирішенням подібних завдань у учнів виникає проблема практично у ста відсотках випадків. Щоб розуміти і розумітися на цьому питанні, необхідно знати основні правила, аксіоми, визначення. Для розуміння тексту в книзі потрібно знати всі скорочення. Усьому цьому ми пропонуємо навчитися.

Наука та її застосування

Оскільки ми пропонуємо прискорений курс «теорія ймовірності для чайників», спочатку необхідно ввести основні поняття і буквені скорочення. Спочатку визначимося із самим поняттям «теорія ймовірності». Що ж це за наука і навіщо вона потрібна? Теорія ймовірності - це один із розділів математики, який вивчає випадкові явища та величини. Так само вона розглядає закономірності, властивості та операції, які здійснюються з цими випадковими величинами. Навіщо вона потрібна? Широке поширення наука набула у вивченні природних явищ. Будь-які природні та фізичні процеси не обходяться без присутності випадковості. Навіть якщо під час досвіду були максимально точно зареєстровані результати, при повторі того ж випробування результат з великою ймовірністю не буде таким же.

Приклади завдань ми обов'язково розглянемо, ви самі зможете в цьому переконатися. Вихід залежить від безлічі різних факторів, які практично неможливо врахувати або зареєструвати, але вони надають величезний вплив на результат досвіду. Яскравими прикладами можуть бути завдання визначення траєкторії руху планет або визначення прогнозу погоди, ймовірність зустріти знайому людину під час шляху на роботу та визначення висоти стрибка спортсмена. Також теорія ймовірності надає велику допомогу брокерам на фондових біржах. Завдання з теорії ймовірності, з вирішенням якої раніше виникало багато проблем, стане для вас дрібницею після трьох-чотирьох прикладів, наведених нижче.

Події

Як говорилося раніше, наука вивчає події. Теорія ймовірностей, приклади розв'язання задач ми розглянемо трохи згодом, вивчає лише один вид – випадкові. Проте необхідно знати, що події можуть бути трьох видів:

• Неможливі.
• Достовірні.
• Випадкові.

Пропонуємо трохи обговорити кожен із них. Неможлива подія ніколи не станеться, за жодних умов. Прикладами можуть бути: замерзання води при плюсовій температурі, витягування кубика з мішка з кулями.

Достовірна подія відбувається завжди із стовідсотковою гарантією, якщо виконано всі умови. Наприклад: ви отримали заробітну плату за виконану роботу, отримали диплом про вищу професійну освіту, якщо сумлінно навчалися, склали іспити та захистили диплом тощо.

З дещо складніше: в ході досвіду воно може статися чи ні, наприклад, витягнути туз із карткової колоди, зробивши не більше трьох спроб. Результат можна отримати як із першої спроби, так і взагалі не отримати. Саме ймовірність походження події та вивчає наука.

Ймовірність

Це у сенсі оцінка можливості успішного результату досвіду, у якому настає подія. Імовірність оцінюється на якісному рівні, особливо якщо кількісна оцінка неможлива чи скрутна. Завдання з теорії ймовірності з рішенням, точніше з оцінкою передбачає знаходження тієї можливої ​​частки благополучного результату. Імовірність у математиці - це числова характеристика події. Вона набуває значення від нуля до одиниці, позначається буквою Р. Якщо Р дорівнює нулю, то подія відбутися неспроможна, якщо одиниці, подія відбудеться зі стовідсотковою ймовірністю. Чим більше Р наближається до одиниці, тим сильніша ймовірність благополучного результату, і навпаки, якщо близько до нуля, те і подія станеться з малою ймовірністю.

Скорочення

Завдання з теорії ймовірності, з вирішенням якої ви незабаром зіткнетеся, може містити такі скорочення:

• Р та Р(Х);
• А, В, З і т. д;

Можливі й деякі інші: при необхідності будуть вноситись додаткові пояснення. Пропонуємо, для початку, пояснити представлені вище скорочення. Першим у нашому списку є факторіал. Щоб було зрозуміло, наведемо приклади: 5!=1*2*3*4*5 чи 3!=1*2*3. Далі, у фігурних дужках пишуть задані множини, наприклад: (1; 2; 3; 4; ..; n) або (10; 140; 400; 562). Наступне позначення - це безліч натуральних чисел, що часто зустрічається в завданнях з теорії ймовірності. Як уже говорилося раніше, Р - це ймовірність, а Р(Х) - це ймовірність походження події Х. Великими літерами латинського алфавіту позначаються події, наприклад: А - попалася біла куля, В - синій, С - червоний або відповідно. Маленька буква n – це кількість всіх можливих наслідків, а m – кількість благополучних. Звідси й одержуємо правило знаходження класичної ймовірності елементарних завданнях: Р=m/n. Теорія ймовірності "для чайників", напевно, і обмежується даними знаннями. Тепер для закріплення переходимо до рішення.

Завдання 1. Комбінаторика

Студентська група налічує тридцять осіб, з яких необхідно обрати старосту, його заступника та профоргу. Необхідно визначити кількість способів зробити цю дію. Подібне завдання може зустрітись на ЄДІ. Теорія ймовірності, розв'язання задач якої ми зараз розглядаємо, може включати завдання з курсу комбінаторики, знаходження класичної ймовірності, геометричної та завдання на основні формули. У цьому прикладі ми вирішуємо завдання з курсу комбінаторики. Переходимо до рішення. Це завдання найпростіше:

1. n1=30 - можливих старост студентської групи;
2. n2=29 - ті, хто може обійняти посаду заступника;
3. n3=28 людина претендує посаду профорга.

Все, що нам залишається зробити, це знайти можливу кількість варіантів, тобто перемножити всі показники. В результаті ми отримуємо: 30 * 29 * 28 = 24360.

Це і буде відповіддю на поставлене запитання.

Завдання 2. Перестановка

На конференції виступають 6 учасників, порядок визначається жеребкуванням. Нам потрібно знайти кількість можливих варіантів жеребкування. У цьому прикладі ми розглядаємо перестановку з шести елементів, тобто нам потрібно знайти 6!

У пункті скорочень ми вже згадували, що це таке та як обчислюється. Разом виходить, що існує 720 варіантів жеребкування. На перший погляд, важке завдання має цілком коротке і просте рішення. Це і завдання, які розглядає теорія ймовірності. Як вирішувати завдання вищого рівня, ми розглянемо наступні приклади.

Завдання 3

Групу студентів із двадцяти п'яти осіб необхідно розбити на три підгрупи по шість, дев'ять та десять осіб. Ми маємо: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Залишилося підставити значення потрібну формулу, ми отримуємо: N25(6,9,10). Після нескладних обчислень ми отримуємо відповідь - 16 360 143 800. Якщо в завданні не йдеться про те, що необхідно одержати числове рішення, то можна дати його як факторіали.

Завдання 4

Три людини загадали числа від однієї до десяти. Знайдіть ймовірність того, що у когось збігаються. Спочатку ми повинні дізнатися про число всіх результатів - у нашому випадку це тисяча, тобто десять в третьому ступені. Тепер знайдемо кількість варіантів, коли всі загадали різні числа, для цього перемножуємо десять, дев'ять та вісім. Звідки взялися ці числа? Перший загадує число, у нього є десять варіантів, другий має вже дев'ять, а третьому треба вибирати з восьми, що залишилися, таким чином отримуємо 720 можливих варіантів. Як ми вже порахували раніше, всього варіантів 1000, а без повторень 720, отже, нас цікавлять 280, що залишилися. Тепер нам потрібна формула знаходження класичної ймовірності: Р= . Ми отримали відповідь: 0,28.

Багато хто зіткнувся з поняттям «теорія ймовірності», лякається, думаючи, що це щось непосильне, дуже складне. Але все насправді не таке трагічно. Сьогодні ми розглянемо основне поняття теорії ймовірності, навчимося вирішувати завдання на конкретних прикладах.

Наука

Що ж вивчає такий розділ математики, як теорія ймовірності? Вона відзначає закономірності та величин. Вперше цим питанням зацікавилися вчені ще у вісімнадцятому столітті, коли вивчали азартні ігри. Основне поняття теорії ймовірності – подія. Це будь-який факт, який констатується досвідом чи спостереженням. Але що таке досвід? Ще одне основне поняття теорії ймовірності. Воно означає, що це склад обставин створено невипадково, і з певною метою. Щодо спостереження, то тут дослідник сам не бере участі в досвіді, а просто є свідком цих подій, він ніяк не впливає на те, що відбувається.

Події

Ми дізналися, що основне поняття теорії ймовірності – це подія, але не розглянули класифікацію. Усі вони поділяються на такі категорії:

• Достовірні.
• Неможливі.
• Випадкові.

Незалежно від того, які це події, за якими спостерігають або створюють у ході досвіду, всі вони схильні до даної класифікації. Пропонуємо з кожним із видів познайомитися окремо.

Достовірна подія

Це така обставина, перед якою зроблено необхідний комплекс заходів. Для того, щоб краще вникнути в суть, краще навести кілька прикладів. Цьому закону підпорядковані і фізика, і хімія, і економіка, і математика. Теорія ймовірності включає таке важливе поняття як достовірна подія. Наведемо приклади:

• Ми працюємо та отримуємо винагороду у вигляді заробітної плати.
• Здали добре іспити, пройшли конкурс, за це отримуємо винагороду у вигляді вступу до навчального закладу.
• Ми вклали гроші в банк, за потреби отримаємо їх назад.

Такі події є достовірними. Якщо ми виконали всі необхідні умови, обов'язково отримаємо очікуваний результат.

Неможливі події

Наразі ми розглядаємо елементи теорії ймовірності. Пропонуємо перейти до пояснення наступного виду події, а саме – неможливої. Спочатку обмовимо найважливіше правило - ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Від цього формулювання не можна відступати під час вирішення завдань. Для пояснення наведемо приклади таких подій:

• Вода замерзла за температури плюс десять (це неможливо).
• Відсутність електроенергії ніяк не впливає на виробництво (так само неможливо, як і в попередньому прикладі).

Більше прикладів наводити не варто, оскільки описані вище дуже яскраво відбивають суть цієї категорії. Неможлива подія ніколи не станеться під час досвіду за жодних обставин.

Випадкові події

Вивчаючи елементи теорії ймовірності, особливу увагу варто приділити саме цьому виду події. Саме їх і вивчає ця наука. В результаті досвіду може щось статися чи ні. Крім цього, випробування може проводитися необмежену кількість разів. Яскравими прикладами можуть бути:

• Кидок монети – це досвід, або випробування, випадання орла – це подія.
• Витягування м'ячика з мішка наосліп - випробування, попалася червона куля - це подія і таке інше.

Таких прикладів може бути необмежену кількість, але загалом суть має бути зрозумілою. Для узагальнення та систематизування отриманих знань про події наведено таблицю. Теорія ймовірності вивчає лише останній вид із усіх представлених.

Закони

Теорія ймовірності - це наука, що вивчає можливість випадання будь-якої події. Як і інші, вона має певні правила. Існують такі закони теорії ймовірності:

• Схожість послідовностей випадкових величин.
• Закон великих чисел.

При розрахунку можливості складного можна використовувати комплекс простих подій для досягнення результату більш легким та швидким шляхом. Зазначимо, закони легко доводяться з допомогою деяких теорем. Пропонуємо спочатку познайомитися з першим законом.

Збіжність послідовностей випадкових величин

Зазначимо, що видів збіжності кілька:

• Послідовність випадкових величин схожа на ймовірність.
• Майже неможливе.
• Середньоквадратична збіжність.
• Збіжність із розподілу.

Так, з літа, дуже важко вникнути в суть. Наведемо визначення, які допоможуть розібратися у цій темі. Спочатку перший вид. Послідовність називають схожій по ймовірності, якщо дотримано таке умова: n прагне нескінченності, число, якого прагне послідовність, більше нуля і наближена до одиниці.

Переходимо до наступного виду, майже напевно. Говорять, що послідовність сходиться майже напевнодо випадкової величини при n, що прагне нескінченності, і Р, що прагне величини, наближеної до одиниці.

Наступний тип - це збіжність середньоквадратична. При використанні СК-збіжності вивчення випадкових векторних процесів зводиться до вивчення їх координатних випадкових процесів.

Залишився останній тип, давайте розберемо коротко і його, щоб переходити безпосередньо до вирішення завдань. Збіжність за розподілом має ще одну назву - «слабке», далі пояснимо, чому. Слабка збіжність- Це збіжність функцій розподілу у всіх точках безперервності граничної функції розподілу.

Обов'язково виконаємо обіцянку: слабка збіжність відрізняється від усіх перелічених вище тим, що випадкова величина не визначена на імовірнісному просторі. Це можливо тому, що умова формується виключно за допомогою функцій розподілу.

Закон великих чисел

Відмінними помічниками при доказі цього закону стануть теореми теорії ймовірності, такі як:

• Нерівність Чебишева.
• Теорема Чебишева.
• Узагальнена теорема Чебишева.
• Теорема Маркова.

Якщо будемо розглядати всі ці теореми, то це питання може затягнутися на кілька десятків аркушів. А в нас основне завдання - це застосування теорії ймовірності на практиці. Пропонуємо вам зараз цим і зайнятися. Але перед цим розглянемо аксіоми теорії ймовірностей, вони будуть основними помічниками під час вирішення завдань.

Аксіоми

З першої ми вже познайомилися, коли говорили про неможливу подію. Давайте згадувати: ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю. Приклад ми наводили дуже яскравий і незабутній: випав сніг при температурі повітря тридцять градусів за Цельсієм.

Друга звучить так: достовірна подія відбувається з ймовірністю, що дорівнює одиниці. Тепер покажемо, як записати з допомогою математичної мови: Р(В)=1.

Третя: Випадкова подія може статися чи ні, але можливість завжди варіюється в межах від нуля до одиниці. Чим ближче значення до одиниці, тим більше шансів; якщо значення наближається до нуля, ймовірність дуже мала. Запишемо це математичною мовою: 0<Р(С)<1.

Розглянемо останню, четверту аксіому, яка звучить так: ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей. Записуємо математичною мовою: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Аксіоми теорії ймовірностей - це найпростіші правила, які не важко запам'ятати. Спробуємо вирішити деякі завдання, спираючись на вже здобуті знання.

Лотерейний квиток

Для початку розглянемо найпростіший приклад – лотерея. Уявіть, що ви придбали один лотерейний квиток на удачу. Яка ймовірність, що ви виграєте не менше двадцяти карбованців? Загалом у тиражі бере участь тисяча квитків, один із яких має приз у п'ятсот рублів, десять по сто рублів, п'ятдесят по двадцять рублів, а сто – по п'ять. Завдання з теорії ймовірності засновані на тому, щоб знайти можливість удачі. Зараз разом розберемо рішення вище за представлене завдання.

Якщо ми буквою А позначимо виграш у п'ятсот рублів, то ймовірність випадання А дорівнюватиме 0,001. Як ми це здобули? Просто необхідно кількість "щасливих" квитків розділити на їх загальне число (в даному випадку: 1/1000).

В - це виграш у сто рублів, ймовірність дорівнюватиме 0,01. Зараз ми діяли за тим же принципом, що й у минулій дії (10/1000)

С – виграш дорівнює двадцяти рублям. Знаходимо можливість, вона дорівнює 0,05.

Решта квитків нас не цікавить, бо їхній призовий фонд менший від заданого в умові. Застосуємо четверту аксіому: Імовірність виграти щонайменше двадцяти рублів становить Р(А)+Р(В)+Р(С). Буквою Р позначається ймовірність походження цієї події, ми в попередніх діях вже їх знайшли. Залишилося лише скласти необхідні дані, у відповіді ми отримуємо 0,061. Це і буде відповіддю питання завдання.

Карткова колода

Завдання з теорії ймовірності бувають і складнішими, наприклад візьмемо наступне завдання. Перед вами колода із тридцяти шести карт. Ваше завдання - витягнути дві карти поспіль, не перемішуючи стос, перша та друга карти повинні бути тузами, масть значення не має.

Для початку знайдемо ймовірність того, що перша карта буде тузом, для цього чотири ділимо на тридцять шість. Відклали його убік. Дістаємо другу карту, це буде туз із ймовірністю три тридцять п'ятих. Імовірність другої події залежить від того, яку карту ми витягли першою, нам цікаво, чи це був туз чи ні. З цього випливає, що подія залежить від події А.

Наступною дією знаходимо ймовірність одночасного здійснення, тобто перемножуємо А і В. Їх твір перебуває таким чином: ймовірність однієї події множимо на умовну вірогідність іншої, яку ми обчислюємо, припускаючи, що перша подія сталася, тобто першою картою ми витягли туз.

Щоб стало зрозуміло, дамо позначення такому елементу, як події. Обчислюється вона, припускаючи, що подія відбулася. Розраховується так: Р(В/А).

Продовжимо розв'язання нашого завдання: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А) або Р(А*В)=Р(В)*Р(А/В). Імовірність дорівнює (4/36) * ((3/35)/(4/36). Обчислюємо, округляючи до сотих. Ми маємо: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Імовірність того, що ми витягнемо два тузи поспіль, дорівнює дев'яти сотим.Значення дуже мало, з цього випливає, що і ймовірність походження події вкрай мала.

Забутий номер

Пропонуємо розібрати кілька варіантів завдань, які вивчає теорія ймовірності. Приклади вирішення деяких з них ви вже бачили в цій статті, спробуємо вирішити таке завдання: хлопчик забув останню цифру номера телефону свого друга, але оскільки дзвінок був дуже важливим, то почав набирати все по черзі. Нам необхідно вирахувати ймовірність того, що він зателефонує не більше трьох разів. Розв'язання задачі найпростіше, якщо відомі правила, закони та аксіоми теорії ймовірності.

Перед тим, як дивитися рішення, спробуйте вирішити самостійно. Нам відомо, що остання цифра може бути від нуля до дев'яти, тобто лише десять значень. Можливість набрати необхідну становить 1/10.

Далі нам потрібно розглядати варіанти походження події, припустимо, що хлопчик вгадав і одразу набрав потрібну, ймовірність такої події дорівнює 1/10. Другий варіант: перший дзвінок промах, а другий у ціль. Розрахуємо можливість такої події: 9/10 множимо на 1/9, в результаті отримуємо також 1/10. Третій варіант: перший і другий дзвінок виявилися не за адресою, тільки з третього хлопчик потрапив туди, куди хотів. Обчислюємо можливість такої події: 9/10 множимо на 8/9 і на 1/8, отримуємо в результаті 1/10. Інші варіанти за умовою завдання нас не цікавлять, тому нам залишилося скласти отримані результати, в результаті ми маємо 3/10. Відповідь: ймовірність того, що хлопчик зателефонує не більше трьох разів, дорівнює 0,3.

Картки з числами

Перед вами дев'ять карток, на кожній із яких написано число від однієї до дев'яти, цифри не повторюються. Їх поклали в коробку та ретельно перемішали. Вам необхідно розрахувати ймовірність того, що

• випаде парне число;
• двозначне.

Перед тим як переходити до рішення, зауважимо, що m – це кількість вдалих випадків, а n – це загальна кількість варіантів. Знайдемо ймовірність того, що число буде парним. Не важко порахувати, що парних чисел чотири, це і буде наша m, всього можливо дев'ять варіантів, тобто m=9. Тоді ймовірність дорівнює 0,44 чи 4/9.

Розглядаємо другий випадок: кількість варіантів дев'ять, а вдалих результатів взагалі бути не може, тобто m дорівнює нулю. Імовірність того, що витягнута картка міститиме двозначне число, так само дорівнює нулю.