У 3-х графік функції гіпербола. Дослідження форми та розташування гіперболи за її канонічним виглядом

Канонічне рівняння гіперболи

Гіперболою називається безліч всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини, званих фокусами, є величина стала, менша, ніж відстань між фокусами.

Позначимо фокуси через F 1 і F 2 , відстань між ними через 2 з, а модуль різниці відстаней від кожної точки гіперболи до фокусів через 2 а. За визначенням 2 а < 2з, тобто . а < з,

Для виведення рівняння гіперболи виберемо систему координат Охутак, щоб фокуси F 1 і F 2 лежали на осі Ох,а початок координат збігся з серединою відрізка F 1 F 2 (Див. рис. 4). Тоді фокуси матимуть координати F 1 (– c; 0) та F 2 (С; 0).

Нехай
- Довільна точка гіперболи. Тоді згідно з визначенням гіперболи
або
, т. е.. Після спрощень, як це було зроблено при виведенні рівняння еліпса, отримаємо канонічне рівняння гіперболи

(5)

. (6)

Гіпербол є лінія другого порядку.

Дослідження форми гіперболи за її рівнянням

Встановимо форму гіперболи, користуючись її канонічним рівнянням.

1. Рівняння (5) містить хі утільки у парних ступенях. Отже, гіпербола симетрична щодо осей Охі Оу,а також щодо точки 0(0; 0), яку називають центром гіперболи.

2. Знайдемо точки перетину гіперболи з осями координат. Поклавши у = 0в рівнянні (5) знаходимо дві точки перетину гіперболи з віссю Ox: A 1 ( a; 0) та А 2 (– а;0). Поклавши х = 0в (5), отримуємо у 2 = –b 2, чого не може. Отже, гіпербола вісь Оуне перетинає.

Точки A 1 ( a;0) та А 2 (– а;0) називаються вершинамигіперболи, а відрізок
– справжньою віссю,відрізок ОА 1 = ОА 2 = а – справжньою піввіссюгіперболи.

Відрізок B 1 B 2 (B 1 B 2 = 2 b), з'єднує точки B 1 (0; b) та B 2 (0;- b) називається уявною віссю,число b – уявною піввіссю. Прямокутник зі сторонами 2аі 2bназивається Основним прямокутником гіперболи.

3. З рівняння (5) випливає, що зменшуване не менше одиниці, тобто що або
. Це означає, що точки гіперболи розташовані праворуч від прямої х = а (права гілкагіперболи) і зліва від прямої x = – a (ліва гілкагіперболи).

що різниця
зберігає постійне значення, що дорівнює одиниці.

Зі сказаного слід, що гіпербола має форму, зображену на малюнку 5 (крива, що складається з двох необмежених гілок).

Асимптоти гіперболи

Пряма Lназивається асимптотоюнеобмеженою кривою До,якщо відстань dвід крапки Мкривий Додо цієї прямої прагне до нуля при необмеженому видаленні точки М вздовж кривої Довід початку координат.

Покажемо, що гіпербола
має дві асимптоти:

(7)

Так як прямі (7) і гіпербола (5) симетричні щодо координатних осей, досить розглянути тільки ті точки зазначених ліній, які розташовані в першій чверті.

Візьмемо на прямий
точку N,має ту ж абсцису х,що і точка М(х;у)на гіперболі
(див. рис. 6), і знайдемо різницю MN між

ординатами прямої та гілки гіперболи:

.

Як видно, у міру зростання хзнаменник дробу збільшується; чисельник є стала величина. Отже, довжина відрізка MNпрагне нуля. Так як MNбільше відстані dвід крапки Мдо прямої, то dі тим більше прагне до нуля. Отже, прямі у = ±хє асимптотами гіпербол (5).

При побудові гіперболи (5) доцільно спочатку побудувати основний прямокутник гіперболи (див. рис. 7), провести прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника – асимптоти гіперболи та відзначити вершини А 1 та А 2 гіперболи.

Ексцентриситетомгіперболи (5) називається відношення відстані між фокусами до величини дійсної осі гіперболи, що позначається :

Так як для гіперболи з >а, то ексцентриситет гіперболи більше одиниці: > 1. Ексцентриситет характеризує форму гіперболи. Справді, з рівності (6) випливає, що
, тобто.
і
.

Звідси видно, що менше ексцентриситет гіперболи, тим менше ставлення її півосей, отже, тим паче витягнутий її основний прямокутник.

Ексцентриситет рівносторонньої гіперболи дорівнює
. Справді,

.

Фокальні радіуси
і
для точок правої гілки гіперболи мають вигляд
і
, а для лівої
і
.

Прямі х =±називаються директрисамигіперболи. Тому що для гіперболи

> 1, то<а. Це означає, що права директриса розташована між центром і правою вершиною гіперболи, ліва між центром і лівою вершиною.

Директриси гіперболи мають ту ж властивість , що і директори еліпса

Крива, що визначається рівнянням
, також є гіпербола, дійсна вісь
якої розташована на осі Оу,а уявна вісь 2а– на осі Ох.

Очевидно, що гіперболи
і
мають загальні асимптоти. Такі гіперболи називаються пов'язаними.

Презентація та урок на тему:
"Гіперболу, визначення, властивість функції"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Електронні навчальні таблиці з геометрії. 7-9 класи
Електронні навчальні таблиці з алгебри. 7-9 класи"

Гіперболу, визначення

Графік функції $y=\frac(1)(x)$.
Графік такої функції називається "Гіперболою".

Властивості гіперболи

У гіпербол є не тільки центр симетрії, але і вісь симетрії. Діти, проведіть пряму $y=x$ і подивіться, як розділився наш графік. Можна помітити, що якщо частина, яка розташована вище за пряму $y=x$, накласти на частину, яка розташовується нижче, то вони збігатимуться, це і означає симетричність щодо прямої.

Ми побудували графік функції $y=\frac(1)(x)$, але що буде у випадку $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Графіки практично не відрізнятимуться. Виходитиме гіпербола з тими ж гілками, тільки чим більше $k$, тим далі будуть видалені гілки від початку координат, а чим менше $k$, тим ближче підходити до початку координат.

Наприклад, графік функції $y=\frac(10)(x)$ виглядає так. Графік став "ширшим", віддалився від початку координат.
А як бути у разі негативних $k$? Графік функції $y=-f(x)$ симетричний графіку $y=f(x)$ щодо осі абсцис, потрібно перевернути його "вгору ногами".
Давайте скористаємося цією властивістю та побудуємо графік функції $y=-\frac(1)(x)$.

Узагальним отримані знання.
Графіком функції $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ є гіпербола, розташована в першій та третій (другій та четвертій) координатних чвертях, при $k>0$ ($k

Властивості функції $y=\frac(k)(x)$, $k>0$

Властивості функції $y=\frac(k)(x)$, $k
1. Область визначення: всі числа крім $ х = 0 $.
2. $y>0$ при $x 0$.
3. Функція зростає на проміжках $(-∞;0)$ і $(0;+∞)$.
4. Функція не обмежена ні згори, ні знизу.
5. Найбільшого та найменшого значень немає.
6. Функція безперервна на проміжках $(-∞;0)U(0;+∞)$ і має розрив у точці $х=0$.
7. Область значень: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Поворот гіперболи

Парабола

Дослідження форми та розташування параболи за її канонічним виглядом

Парабола зі зміщеною вершиною. Дослідження квадратного тричлена

Цілі заняття:вивчити властивості гіперболи та параболи; на прикладі лекції 11 знайти аналогії у вивченні кривих другого порядку; систематизувати знання на тему «Криві другого порядку»; розширити шкільні знання про гіперболу та параболу.

Роль та місце лекції

Шкільні уявлення про гіперболу та параболу обмежені окремими випадками параболи () та гіперболи (). Поняття ці ширші. У лекції будуть розглянуті такі питання як, загальне та канонічне рівняння гіперболи та параболи, отримані на основі їх класичних визначень, поворот осі гіперболи, характерні ознаки рівнянь. Більш широко вони вивчатимуться у темі «Квадратичні форми».

Гіперболу.

Визначення 1.

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, різниця відстані яких від двох заданих, званих фокусами, є постійна величина.

Задамо в декартовій системі координат фокуси F 1 і F 2 (рис. 1). Візьмемо довільну точку M(x,y), яка за визначенням повинна належати гіперболі. Проведемо відрізки F 1 Mі F 2 M(Рис. 1). Відповідно до визначення розглянемо різницю цих відрізків

, (1)

де - Довільне число.

Перенесемо другий доданок у праву частину і зведемо обидві частини рівності квадрат:

Зведемо обидві частини рівності квадрат:

Розкриємо дужки та скоротимо однакові члени рівності у лівій та правій частинах:

Перенесемо доданки з xі yу праву частину, інші у ліву. Винесемо за дужки x 2 та a 2:

Відмітимо, що . Позначимо. Запишемо вираз (2) через введені позначення

,

Вираз (3) є рівнянням гіперболи в канонічному вигляді.

Розглянемо вираз (3) та помітимо наступне.

1. Оскільки поточні координати входять у рівняння лише квадратах, то гипербола симетрична щодо осей початку координат. Вісь симетрії, на якій знаходяться фокуси гіперболи, називається фокальною віссю.

2. Гіперболу L(3) перетинається з осями координат:

a) Перетин з віссю.

З виразу (3) => , тобто точки і . Ці точки – дійсні вершини гіперболи. - Дійсна вісь гіперболи. Зазначимо ці точки на осі (рис. 2).

б) Перетин з віссю.

З виразу (3) => , тобто точок перетину з віссю немає. Відкладемо на осі відрізки bвід початку координат. Дві точки і - уявні вершини гіперболи. - Уявна вісь гіперболи. Зазначимо ці точки на осі (рис. 2).

3. З рівняння (3) знайдемо y:

. (4)

Для I чверті вираз (4) має вигляд . При збільшенні xвід aдо (при x=a y=0) значення yзбільшується від 0 до . Оскільки гіпербола симетрична щодо початку координат, то аналогічним чином, зберігаючи симетрію, гіпербола поводитиметься в інших чвертях площині.

4. Крутизна. Через проведемо прямі, паралельні осям координат. Отримаємо основний прямокутник (рис. 2). Через діагоналі прямокутника проведемо прямі l 1 і l 2 , такі, що , . Порівняємо ординати l 1 та координати гіперболи Lу першій чверті при одних і тих же значеннях x

тобто зі збільшенням xгіпербола ніколи не перетне ці прямі, при цьому нескінченно наближаючись до них. Отже, l 1 і l 2 – асимптоти гіперболи.

5. Ексцентриситет гіперболи аналогічний еліпсу

З (5) випливає, що . Причому, якщо гіпербола витягується вздовж осі, якщо гіпербола витягується вздовж осі.

2.1. Приватні випадки

1. Якщо F 1 і F 2 , то канонічне рівняння гіперболи набуває вигляду

Причому – уявна вісь гіперболи, – дійсна вісь.

2. Якщо центр гіперболи лежить не на початку координат, а в точці , то рівняння гіперболи (3) набуде вигляду

. (7)

3. Поворот гіперболи

Приймемо, тоді рівняння гіперболи набуде вигляду

Повернемо систему координат за годинниковою стрілкою на кут (рис. 3). Тоді асимптоти збігатимуться з координатними осями нової системи координат. Висловимо старі координати через нові

З урахуванням отримаємо

Підставимо (9) до (3). Тоді вираз гіперболи в новій системі (повернутій) координат набуде вигляду.

або . Звідки

. (10)

Вираз (10) є рівнянням рівносторонньої гіперболи, осями симетрії якої є асимптоти.

Ознаки гіперболи:

Коефіцієнти за квадратів мають протилежні знаки;

Гіпербола перетинає вісь координат, однойменну зі змінною у квадраті, коли коефіцієнт має знак «-»;

У разі повороту координатних осей у рівнянні кривої другого порядку (див. Лекцію 11) з'являються доданки змінних.

4. Парабола

Визначення 2.

Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки, званої фокусом, і даної прямої, званої директриса.

Розкриємо дужки та скоротимо однакові члени

Формула (11) – канонічне рівняння параболи

5. Дослідження форми та розташування параболи за її канонічним виглядом

1. Характерна ознака параболи: одна поточна координата у квадраті, а інша у першому ступені.

2. Оскільки парабола симетрична щодо осі. Вісь симетрії однойменна з поточною змінною, що входить до рівняння в 1-му ступені.

3. Знайдемо точки перетину рівняння параболи з координатними осями.

Перетин з віссю.

З виразу (11), тобто точка – вершина параболи, єдина точка перетину з координатними осями.

4. Збудуємо параболу. Для цього із (11) висловимо . Для першої чверті цей вираз набуде вигляду. При збільшенні xвід 0 до (при x=0 y=0) значення yзбільшується від 0 до (рис.5).

Зауваження!

Якщо F, то канонічне рівняння параболи має вигляд

Вигляд параболи для різних рівнянь

6. Парабола зі зміщеною вершиною

Дослідження квадратного тричлена

Заданий квадратний тричлен

. (14)

Гіперболою називають безліч усіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини, званих фокусами, є постійна величина, менша, ніж відстань між фокусами. F 1, F 2 - фокуси гіперболи, причому відстань між ними позначимо 2 с, М - довільна точка гіперболи. За визначенням маємо: 2 a

Виберемо систему координат так, щоб фокуси F 1, F 2 лежали на осі Ох, а початок координат збігався з серединою відрізка F 1 F 2. Тоді координати фокусів F 1(-c, 0) та F 2(c, 0). Точка М має координати (х, у). За визначенням маємо: причому 2 а

Властивості гіперболи (вивести самостійно) 1. Гіпербола симетричний щодо осей Ох та Оу. 2. Гіпербола симетричний щодо точки О(0, 0) – центру гіперболи. 3. Гіпербола перетинає вісь Ох у точках А 1(а, 0) та A 2(-а, 0); з віссю Оу гіпербола загальних точок немає. 4. Усі точки гіперболи лежать праворуч від прямої х = а (права гілка) і зліва від прямої х = -а (ліва галузь). 5. Гіпербола має вершини, дійсну та уявну осі. 6. Прямі є асимптотами гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи Ексцентриситетом гіперболи називають відношення напівфокусної відстані до великої півосі а, тобто до того ж c. З огляду на те, що с2 -а 2=b 2 отримуємо:

Прямі називаються директорами гіперболи. Теорема. Якщо r – відстань від довільної точки гіперболи до якого-небудь фокусу, d – відстань від цієї точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення є постійна величина, рівна ексцентриситету гіперболи, тобто.

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох заданих точок F_1 і F_2 є постійна величина (2a) , менша відстані (2c) між цими заданими точками (рис.3.40,а). Це геометричне визначення висловлює фокальна властивість гіперболи.

Фокальна властивість гіперболи

Точки F_1 і F_2 називаються фокусами гіперболи, відстань 2c=F_1F_2 між ними - фокусною відстанню, середина O відрізка F_1F_2 - центром гіперболи, число 2a - довжиною дійсної осі гіперболи (відповідно, a - дійсною піввіссю гіперболи). Відрізки F_1M і F_2M , що з'єднують довільну точку M гіперболи з її фокусами, називаються радіальними фокальними точки M . Відрізок, що з'єднує дві точки гіперболи, називається хордою гіперболи.

Відношення e = frac (c) (a) , де c = sqrt (a 2 + b 2) називається ексцентриситетом гіперболи. З визначення (2a<2c) следует, что e>1 .

Геометричне визначення гіперболи, що виражає її фокальну властивість, еквівалентно її аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням гіперболи:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

Справді, запровадимо прямокутну систему координат (рис.3.40,б). Центр O гіперболи приймемо за початок системи координат; пряму, що проходить через фокуси (фокальну вісь), приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки F_1 до точки F_2); пряму, перпендикулярну до осі абсцис і проходить через центр гіперболи, приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна система координат Oxy виявилася правою).

Складемо рівняння гіперболи, використовуючи геометричне визначення, що виражає фокальну властивість. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусів F_1(-c,0) та F_2(c,0) . Для довільної точки M(x,y) , що належить гіперболі, маємо:

\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.

Записуючи це рівняння у координатній формі, отримуємо:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

Виконуючи перетворення, аналогічні перетворенням, що використовуються при виведенні рівняння еліпса (тобто позбавляючись ірраціональності), приходимо до канонічного рівняння гіперболи:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

де b = sqrt (c 2-a 2), тобто. обрана система координат є канонічною.

Проводячи міркування у зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівнянню (3.50), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому гіперболою. Таким чином, аналітичне визначення гіперболи еквівалентне його геометричному визначенню.

Директоріальна властивість гіперболи

Директрисами гіперболи називаються дві прямі осі, що проходять паралельно, ординат канонічної системи координат на однаковій відстані a^2\!\!\not(\phantom(|))\,cвід неї (рис.3.41, а). При a = 0, коли гіпербола вироджується в пару прямих, що перетинаються, директриси збігаються.

Гіперболу з ексцентриситетом e=1 можна визначити, як геометричне місце точок площини, для кожної з яких відношення відстані до заданої точки F (фокусу) до відстані до заданої прямої d (директриси), що не проходить через задану точку, постійно і дорівнює ексцентриситету e ( директоріальна властивість гіперболи). Тут F і d - один з фокусів гіперболи і одна з її директрис, розташовані по один бік від осі ординат канонічної системи координат.

Справді, наприклад, для фокусу F_2 та директриси d_2 (рис.3.41,а) умова \frac(r_2)(\rho_2)=eможна записати в координатній формі:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\right)

Позбавляючись ірраціональності та замінюючи e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, приходимо до канонічного рівняння гіпербол (3.50). Аналогічні міркування можна провести для фокусу F_1 і директриси d_1:

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).

Рівняння гіперболи у полярній системі координат

Рівняння правої гілки гіперболи в полярній системі координат F_2rvarphi (рис.3.41,б) має вигляд

R = frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi)де p=\frac(p^2)(a) - фокальний параметр гіперболи.

Справді, виберемо як полюс полярної системи координат правий фокус F_2 гіперболи, а як полярну осі - промінь з початком у точці F_2 , що належить прямий F_1F_2 , але не містить точки F_1 (рис.3.41,б). Тоді для довільної точки M(r,\varphi), що належить правої гілки гіперболи, згідно з геометричним визначенням (фокальною властивістю) гіперболи, маємо F_1M-r=2a. Виражаємо відстань між точками M(r,\varphi) та F_1(2c,\pi) (див. пункт 2 зауважень 2.8):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).

Отже, в координатній формі рівняння гіперболи має вигляд

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

Усамітнюємо радикал, зводимо обидві частини рівняння квадрат, ділимо на 4 і наводимо подібні члени:

R^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-frac(c)(a)\cos\varphi\ right)r=c^2-a^2.

Виражаємо полярний радіус r та робимо заміни e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi) )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

що й потрібно було довести. Зауважимо, що в полярних координатах рівняння гіперболи та еліпса збігаються, але описують різні лінії, оскільки відрізняються ексцентриситетами (e>1 для гіперболи, 0\leqslant e<1 для эллипса).

Геометричний сенс коефіцієнтів у рівнянні гіперболи

Знайдемо точки перетину гіперболи (рис.3.42, а) з віссю абсцис (вершини гіперболи). Підставляючи в рівняння y=0 знаходимо абсциси точок перетину: x=\pm a . Отже, вершини мають координати (-a,0), \, (a,0). Довжина відрізка, що з'єднує вершини, дорівнює 2a. Цей відрізок називається дійсною віссю гіперболи, а число a - дійсною напіввіссю гіперболи. Підставляючи x=0 отримуємо y=\pm ib . Довжина відрізка осі ординат, що з'єднує точки (0,-b), \, (0, b), дорівнює 2b. Цей відрізок називається уявною віссю гіперболи, а число b - уявною піввіссю гіперболи. Гіпербола перетинає пряму, що містить дійсну вісь, і не перетинає пряму, що містить уявну вісь.

Зауваження 3.10.

1. Прямі x = a, ~ y = b обмежують на координатній площині основний прямокутник, поза яким знаходиться гіпербола (рис.3.42, а).

2. Прямі, що містять діагоналі основного прямокутника, називаються асимптотами гіперболи (рис.3.42, а).

Для рівносторонньої гіперболи, що описується рівнянням (тобто при a = b), основний прямокутник є квадратом, діагоналі якого перпендикулярні. Тому асимптоти рівносторонньої гіперболи також перпендикулярні, і їх можна взяти як координатні осі прямокутної системи координат Ox"y" (рис.3.42,б). У цій системі координат рівняння гіперболи має вигляд y"=\frac(a^2)(2x")(Гіпербола збігається з графіком елементарної функції, що виражає зворотно-пропорційну залежність).

Повернемо канонічну систему координат на кут \varphi=-\frac(\pi)(4)(Рис.3.42, б). При цьому координати точки у старій та новій системах координат пов'язані рівностями

\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aligned)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \ left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \cdot(y"-x")\end(aligned)\right.

Підставляючи ці висловлювання до рівняння \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1рівносторонньої гіперболи та наводячи подібні члени, отримуємо

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\dot x").

3. Координатні осі (канонічної системи координат) є осями симетрії гіперболи (називаються головними осями гіперболи), та її центр - центром симетрії.

Дійсно, якщо точка M(x,y) належить гіперболі. то й точки M"(x,y) і M""-x,y) , симетричні точці M щодо координатних осей, також належать тій же гіперболі.

Вісь симетрії, де розташовуються фокуси гіперболи, є фокальною віссю.

4. З рівняння гіперболи у полярних координатах r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(див. рис.3.41,б) з'ясовується геометричний зміст фокального параметра - це половина довжини хорди гіперболи, що проходить через її фокус перпендикулярно до фокальної осі (r = p при \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Ексцентриситет e характеризує форму гіперболи. Чим більше e, тим ширші гілки гіперболи, а чим ближче e до одиниці, тим гілки гіперболи вже (рис.3.43, а).

Дійсно, величина \gamma кута між асимптотами гіперболи, що містить її гілка, визначається відношенням сторін основного прямокутника: \operatorname(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Враховуючи, що e=\frac(c)(a) і c^2=a^2+b^2 отримуємо

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

Чим більший e, тим більший кут \gamma. Для рівносторонньої гіперболи (a=b) маємо e=sqrt(2) і \gamma=\frac(\pi)(2). Для e>\sqrt(2) кут \gamma тупий, а для 1>

6 . Дві гіперболи, що визначаються в одній системі координат рівняннями \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1і називаються пов'язаними один з одним. Сполучені гіперболи мають одні й самі асимптоти (рис.3.43,б). Рівняння сполученої гіперболи -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1наводиться до канонічного за допомогою перейменування координатних осей (3.38).

7. Рівняння \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1визначає гіперболу з центром у точці O"(x_0,y_0) , осі якої паралельні координатним осям (рис.3.43,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36). -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1визначає сполучену гіперболу з центром у точці O"(x_0, y_0).

Параметричне рівняння гіперболи

Параметричне рівняння гіперболи в канонічній системі координат має вигляд

\begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

де \operatorname(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- гіперболічний косинус, a \operatorname(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2)Гіперболічний синус.

Справді, підставляючи вирази координат у рівняння (3.50), приходимо до основної гіперболічної тотожності \operatorname(ch)^2t-\operatorname(sh)^2t=1.

Приклад 3.21.Зобразити гіперболу \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1в канонічній системі координат Oxy. Знайти півосі, фокусна відстань, ексцентриситет, фокальний параметр, рівняння асимптот та директрис.

Рішення.Порівнюючи задане рівняння з канонічним, визначаємо півосі: a=2 - дійсна піввісь, b=3 - уявна піввісь гіперболи. Будуємо основний прямокутник із сторонами 2a=4,~2b=6 із центром на початку координат (рис.3.44). Проводимо асимптоти, подовжуючи діагоналі основного прямокутника. Будуємо гіперболу з огляду на її симетричність щодо координатних осей. За потреби визначаємо координати деяких точок гіперболи. Наприклад, підставляючи x=4 рівняння гіперболи, отримуємо

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3).

Отже, точки з координатами (4; 3 sqrt (3)) і (4; -3 sqrt (3)) належать гіперболі. Обчислюємо фокусну відстань

2 cdot c = 2 cdot sqrt (a 2 + b 2) = 2 cdot sqrt (2 2 + 3 2) = 2 sqrt (13)

ексцентриситет e=frac(c)(a)=frac(sqrt(13))(2); фокальний параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Складаємо рівняння асимптот y=\pm\frac(b)(a)\,x, тобто y=\pm\frac(3)(2)\,x, і рівняння директрис: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).