Розмноження десяткових дробів: правила, приклади, рішення. Дії з десятковими дробами 5 прикладів на множення десяткових дробів

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:

• У захоплюючій формі ввести учням правило множення десяткового дробу на натуральне число, на розрядну одиницю і правило вираження десяткового дробу у відсотках. Виробити вміння застосування отриманих знань під час вирішення прикладів і завдань.
• Розвивати та активізувати логічне мислення учнів, уміння виявляти закономірності та узагальнювати їх, зміцнювати пам'ять, уміння співпрацювати, надавати допомогу, оцінювати свою роботу та роботу один одного.
• Виховувати інтерес до математики, активність, мобільність, уміння спілкуватися.

Обладнання:інтерактивна дошка, плакат із цифрограмою, плакати з висловлюваннями математиків.

Хід уроку

1. Організаційний момент.
2. Усний рахунок – узагальнення раніше вивченого матеріалу, підготовка до вивчення нового матеріалу.
3. Пояснення нового матеріалу.
4. Завдання додому.
5. Математична фізкультхвилинка.
6. Узагальнення та систематизація отриманих знань в ігровій формі за допомогою комп'ютера.
7. Виставлення оцінок.

2. Хлопці, сьогодні у нас урок буде дещо незвичайним, тому що я проводитиму його не одна, а зі своїм другом. І друг у мене теж незвичайний, зараз ви його побачите. (На екрані з'являється комп'ютер-мультяшка). Мій друг має ім'я і він вміє розмовляти. Як тебе звуть, друже? Компоша відповідає: "Мене звуть Компоша". Ти готовий сьогодні допомагати мені? ТАК! Ну, тоді давай почнемо урок.

Мені сьогодні прийшла зашифрована цифрограма, хлопці, яку ми маємо разом вирішити та розшифрувати. (На дошці вивішується плакат з усним рахунком на додавання та віднімання десяткових дробів, в результаті рішення якого хлопці отримують наступний код 523914687. )

Розшифрувати отриманий код допомагає Компоша. В результаті розшифровки виходить слово УМНОЖЕНИЕ. Множення – це ключове слово теми сьогоднішнього уроку. На моніторі висвітлюється тема уроку: “Умноження десяткового дробу на натуральне число”

Діти, ми знаємо, як виконується множення натуральних чисел. Сьогодні ми з вами розглянемо збільшення десяткових чисел на натуральне число. Множення десяткового дробу на натуральне число можна розглядати як суму доданків, кожне з яких дорівнює цьому десятковому дробу, а кількість доданків дорівнює цьому натуральному числу. Наприклад: 5,21 · 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63Значить, 5,21 · 3 = 15,63. Представивши 5,21 у вигляді звичайного дробу на натуральне число, отримаємо

І в цьому випадку отримали той самий результат 15,63. Тепер, не звертаючи уваги на кому, візьмемо замість числа 5,21 число 521 і перемножимо на це натуральне число. Тут ми повинні пам'ятати, що в одному з множників кома перенесена на два розряди праворуч. При множенні чисел 5, 21 та 3 отримаємо добуток рівний 15,63. Тепер у цьому прикладі кому перенесемо вліво на два розряди. Таким чином, скільки разів один з множників збільшили, у стільки разів зменшили твір. З подібних моментів цих методів, зробимо висновок.

Щоб помножити десятковий дріб на натуральне число, треба:
1) не звертаючи уваги на кому, виконати множення натуральних чисел;
2) в отриманому творі відокремити комою праворуч стільки знаків, скільки їх у десятковому дробі.

На моніторі висвічуються наступні приклади, які ми розуміємо разом з Компошею та хлопцями: 5,21 · 3 = 15,63 та 7,624 · 15 = 114,34. Після показую множення на кругле число 12,6 50 = 630 . Далі переходжу на множення десяткового дробу на розрядну одиницю. Показую такі приклади: 7,423 · 100 = 742,3 і 5,2 · 1000 = 5200. Отже, вводжу правило множення десяткового дробу на розрядну одиницю:

Щоб помножити десятковий дріб на розрядні одиниці 10, 100, 1000 і т.д., треба в цьому дробі перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів у записі розрядної одиниці.

Закінчую пояснення виразом десяткового дробу у відсотках. Вводжу правило:

Щоб виразити десятковий дріб у відсотках, його треба помножити на 100 і приписати знак %.

Наводжу приклад на комп'ютері 0,5 · 100 = 50 або 0,5 = 50%.

4. Після закінчення пояснення даю хлопцям домашнє завдання, яке також висвічується на моніторі комп'ютера: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Щоб хлопці трохи відпочили, на закріплення теми робимо разом із Компошею математичну фізкультхвилинку. Всі встають, показую класу наведені приклади і вони повинні відповісти, правильно чи не правильно вирішений приклад. Якщо приклад вирішено правильно, то вони піднімають руки над головою і роблять бавовну долонями. Якщо ж приклад вирішено не правильно, хлопці витягають руки в сторони і розминають пальчики.

6. А тепер ви трохи відпочили, можна вирішити завдання. Відкрийте підручник на сторінці 205, № 1029. у цьому завданні треба обчислити значення виразів:

Завдання відображаються на комп'ютері. У міру їх вирішення з'являється картинка із зображенням кораблика, який при повному складанні спливає.

№ 1031 Обчисли:

Вирішуючи це завдання комп'ютері, поступово складається ракета, вирішивши останній приклад, ракета відлітає. Вчитель робить невелику інформацію учням: Щороку з казахстанської землі з космодрому Байконур злітають до зірок космічні кораблі. Поруч із Байконуром Казахстан будує свій новий космодром "Байтерек".

№ 1035. Завдання.

Яка відстань пройде легкова машина за 4 години, якщо швидкість легковика 74,8 км/год.

Це завдання супроводжується звуковим оформленням та винесенням на монітор короткої умови завдання. Якщо завдання вирішено, вірно, машина починає рухатися вперед до фінішного прапорця.

№ 1033. Запиши десяткові дроби у відсотках.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

Вирішуючи кожен приклад, з появою відповіді з'являється буква, у результаті з'являється слово Молодці.

Вчитель запитує Компошу, до чого з'явилося б це слово? Компоша відповідає: "Молодці, хлопці!" і прощається з усіма.

Вчитель підбиває підсумки уроку та виставляє оцінки.

Переходимо до вивчення наступної дії з десятковими дробами, зараз ми всебічно розглянемо множення десяткових дробів. Спочатку обговоримо загальні засади множення десяткових дробів. Після цього перейдемо до множення десяткового дробу на десятковий дріб, покажемо, як виконується множення десяткових дробів стовпчиком, розглянемо рішення прикладів. Далі розберемо множення десяткових дробів на натуральні числа, зокрема 10, 100 тощо. На закінчення поговоримо про множення десяткових дробів на звичайні дроби та змішані числа.

Відразу скажемо, що в цій статті ми говоритимемо лише про множення позитивних десяткових дробів (дивіться позитивні та негативні числа). Інші випадки розібрані у статтях множення раціональних чисел та множення дійсних чисел.

Навігація на сторінці.

Загальні принципи множення десяткових дробів

Обговоримо загальні принципи, яких слід дотримуватись під час проведення множення з десятковими дробами.

Оскільки кінцеві десяткові дроби і нескінченні періодичні дроби є десятковою формою запису звичайних дробів, то множення таких десяткових дробів є множенням звичайних дробів . Іншими словами, множення кінцевих десяткових дробів, множення кінцевого та періодичного десяткових дробів, а також множення періодичних десяткових дробівзводиться до множення звичайних дробів після переведення десяткових дробів у звичайні.

Розглянемо приклади застосування озвученого принципу множення десяткових дробів.

приклад.

Виконайте множення десяткових дробів 1,5 та 0,75.

Рішення.

Замінимо десяткові дроби, що множаться, відповідними звичайними дробами. Так як 1,5 = 15/10 і 0,75 = 75/100, то . Можна провести скорочення дробу, після чого виділити цілу частину з неправильного дробу, а зручніше отриманий звичайний дріб 1125/1000 записати у вигляді десяткового дробу 1,125.

Відповідь:

1,5 · 0,75 = 1,125.

Слід зазначити, що кінцеві десяткові дроби зручно множити стовпчиком, про спосіб множення десяткових дробів ми поговоримо в .

Розглянемо приклад множення періодичних десяткових дробів.

приклад.

Обчисліть добуток періодичних десяткових дробів 0,(3) та 2,(36) .

Рішення.

Виконаємо переведення періодичних десяткових дробів у звичайні дроби:

Тоді. Можна отриманий звичайний дріб перевести в десятковий дріб:

Відповідь:

0, (3) · 2, (36) = 0, (78) .

Якщо серед десяткових дробів, що множаться, присутні нескінченні неперіодичні, то всі множені дроби, у тому числі кінцеві і періодичні, слід округлити до деякого розряду (дивіться округлення чисел), після чого виконувати множення отриманих після округлення кінцевих десяткових дробів.

приклад.

Виконайте множення десяткових дробів 5,382 і 0,2.

Рішення.

Спочатку округлимо нескінченну неперіодичну десяткову дріб, округлення можна провести до сотих, маємо 5,382 ... 5,38. Кінцевий десятковий дріб 0,2 округляти до сотих немає потреби. Таким чином, 5,382 ... 0,2 5,38 0,2 . Залишилося обчислити добуток кінцевих десяткових дробів: 5,38 · 0,2 = 538 / 100 · 2 / 10 = 1076 / 1000 = 1,076.

Відповідь:

5,382 … 0,2 ≈ 1,076 .

Розмноження десяткових дробів стовпчиком

Множення кінцевих десяткових дробів можна виконувати стовпчиком, аналогічно до множення стовпчиком натуральних чисел .

Сформулюємо правило множення десяткових дробів стовпчиком. Щоб помножити десяткові дроби стовпчиком, треба:

• не звертаючи уваги на коми, виконати множення за всіма правилами множення стовпчиком натуральних чисел;
• в отриманому числі відокремити десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки десяткових знаків в обох множниках разом, при цьому якщо у творі не вистачає цифр, то ліворуч потрібно дописати потрібну кількість нулів.

Розглянемо приклади множення десяткових дробів стовпчиком.

приклад.

Виконайте множення десяткових дробів 63,37 та 0,12.

Рішення.

Проведемо множення десяткових дробів стовпчиком. Спочатку множимо числа, не звертаючи уваги на коми:

Залишилося в отриманому творі поставити кому. Їй потрібно відокремити 4 цифри праворуч, тому що в множниках у сумі чотири десяткові знаки (два в дробі 3,37 і два в дробі 0,12). Цифр там вистачає, тож нулів зліва дописувати не доведеться. Закінчимо запис:

У результаті маємо 3,37 · 0,12 = 7,6044.

Відповідь:

3,37 · 0,12 = 7,6044.

приклад.

Обчисліть добуток десяткових дробів 3,2601 і 0,0254.

Рішення.

Виконавши множення стовпчиком без урахування ком, отримуємо наступну картину:

Тепер у творі потрібно відокремити комою 8 цифр праворуч, оскільки загальна кількість десяткових знаків дробів, що множаться, дорівнює восьми. Але у творі лише 7 цифр, тому потрібно зліва приписати стільки нулів, щоб можна було відокремити комою 8 цифр. У нашому випадку потрібно приписати два нулі:

На цьому множення десяткових дробів стовпчиком закінчено.

Відповідь:

3,2601 · 0,0254 = 0,08280654.

Розмноження десяткових дробів на 0,1, 0,01, і т.д.

Досить часто доводиться множити десяткові дроби на 0,1, 0,01 тощо. Тому доцільно сформулювати правило множення десяткового дробу на ці числа, яке випливає із розглянутих вище принципів множення десяткових дробів.

Отже, множення цього десяткового дробу на 0,1, 0,01, 0,001 і так далідає дріб, яка виходить з вихідної, якщо в її записі перенести кому вліво на 1, 2, 3 і так далі цифр відповідно, при цьому якщо не вистачає цифр для перенесення коми, то потрібно зліва дописати необхідну кількість нулів.

Наприклад, щоб помножити десятковий дріб 54,34 на 0,1, треба в дроби 54,34 перенести кому вліво на 1 цифру, при цьому вийде дріб 5,434, тобто, 54,34 · 0,1 = 5,434. Наведемо ще один приклад. Помножимо десятковий дріб 9,3 на 0,0001. Для цього нам потрібно в десятковому дробі 9,3, що множиться, перенести кому на 4 цифри вліво, але запис дробу 9,3 не містить такої кількості знаків. Тому нам потрібно в записі дробу 9,3 зліва приписати стільки нулів, щоб можна було безперешкодно здійснити перенесення коми на 4 цифри, маємо 9,3 · 0,0001 = 0,00093.

Зауважимо, що озвучене правило множення десяткового дробу на 0,1, 0,01... справедливе і для нескінченних десяткових дробів. Наприклад, 0,(18)·0,01=0,00(18) чи 93,938…·0,1=9,3938… .

Розмноження десяткового дробу на натуральне число

За своєю суттю множення десяткових дробів на натуральні числанічим не відрізняється від множення десяткового дробу на десятковий дріб.

Кінцевий десятковий дріб множити на натуральне число найзручніше стовпчиком, при цьому слід дотримуватися правил множення стовпчиком десяткових дробів, розглянутих в одному з попередніх пунктів.

приклад.

Обчисліть добуток 15·2,27.

Рішення.

Проведемо множення натурального числа на десятковий дріб стовпчиком:

Відповідь:

15 · 2,27 = 34,05.

При множенні періодичного десяткового дробу на натуральне число періодичний дріб слід замінити звичайним дробом.

приклад.

Помножте десятковий дріб 0,(42) на натуральне число 22 .

Рішення.

Спочатку переведемо періодичний десятковий дріб у звичайний дріб:

Тепер виконаємо множення: . Цей результат у вигляді десяткового дробу має вигляд 9(3) .

Відповідь:

0, (42) · 22 = 9, (3) .

А при множенні нескінченного неперіодичного десяткового дробу на натуральне число потрібно попередньо провести заокруглення.

приклад.

Виконайте множення 4·2,145… .

Рішення.

Округливши до сотих вихідний нескінченний десятковий дріб, ми прийдемо до множення натурального числа та кінцевого десяткового дробу. Маємо 4 · 2,145 ... - 4 · 2,15 = 8,60.

Відповідь:

4 · 2,145 ... 8,60 .

Розмноження десяткового дробу на 10, 100, …

Досить часто доводиться множити десяткові дроби на 10, 100... Тому доцільно докладно зупинитися на цих випадках.

Озвучимо правило множення десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.При множенні десяткового дробу на 10, 100, … у його записи потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3, … цифри відповідно і відкинути зайві нулі зліва; якщо в записі дробу, що множиться, не вистачає цифр для перенесення коми, то потрібно дописати необхідну кількість нулів праворуч.

приклад.

Помножте десятковий дріб 0,0783 на 100 .

Рішення.

Перенесемо в записі дробу 0,0783 на дві цифри праворуч, при цьому отримаємо 007,83. Відкинувши два нулі зліва, отримуємо десятковий дріб 7,38 . Таким чином, 0,0783 · 100 = 7,83.

Відповідь:

0,0783 · 100 = 7,83.

приклад.

Виконайте множення десяткового дробу 0,02 на 10 000 .

Рішення.

Щоб помножити 0,02 на 10 000, нам потрібно перенести кому на 4 цифри праворуч. Очевидно, в записі дробу 0,02 не вистачає цифр для перенесення коми на 4 цифри, тому допишемо кілька нулів праворуч, щоб можна було здійснити перенесення коми. У нашому прикладі достатньо дописати три нулі, маємо 0,02000. Після перенесення коми отримаємо запис 00200,0. Відкинувши нулі зліва, маємо число 200,0 , яке дорівнює натуральному числу 200 воно і є результатом множення десяткового дробу 0,02 на 10 000 .

У цій статті ми розглянемо таку дію як множення десяткових дробів. Почнемо з формулювання загальних принципів, далі покажемо, як помножити один десятковий дріб на інший і розглянемо метод множення стовпчиком. Усі визначення будуть проілюстровані прикладами. Потім ми розберемо, як правильно помножити десяткові дроби на прості, і навіть на змішані і натуральні числа (зокрема 100 , 10 та інших.)

У рамках цього матеріалу ми торкнемося лише правил множення позитивних дробів. Випадки з негативними розібрано окремо у статтях про множення раціональних та дійсних чисел.

Сформулюємо загальні принципи, яких треба дотримуватися під час вирішення завдань множення десяткових дробів.

Згадаймо для початку, що десяткові дроби є не що інше, як особлива форма запису звичайних дробів, отже, процес їх множення можна звести до аналогічного для звичайних дробів. Це правило працює і для кінцевих, і для нескінченних дробів: після їх переведення в звичайні з ними легко виконувати множення за правилами, які ми вже вивчили.

Подивимося, як вирішуються такі завдання.

Приклад 1

Обчисліть добуток 1 , 5 та 0 , 75 .

Рішення: для початку замінимо десяткові дроби на прості. Ми знаємо, що 0,75 – це 75/100, а 1,5 – це 15 10 . Ми можемо скоротити дріб і зробити виділення цілої частини. Отриманий результат 125 1000 ми запишемо як 1,125.

Відповідь: 1 , 125 .

Ми можемо використовувати метод підрахунку стовпчиком, як і для натуральних чисел.

Приклад 2

Помножте один періодичний дріб 0 , (3) на інший 2 , (36) .

Для початку наведемо вихідні дроби до звичайних. У нас вийде:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Отже, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33 .

Отриману в результаті звичайну дріб можна привести до десяткового виду, розділивши чисельник на знаменник у стовпчик:

Відповідь: 0, (3) · 2, (36) = 0, (78).

Якщо у нас в умові завдання стоять нескінченні неперіодичні дроби, то потрібно виконати їхнє попереднє округлення (див. статтю про округлення чисел, якщо ви забули, як це робиться). Після цього можна робити дію множення з вже заокругленими десятковими дробами. Наведемо приклад.

Приклад 3

Обчисліть добуток 5 , 382 … та 0 , 2 .

Рішення

У нас в задачі є нескінченний дріб, який потрібно попередньо округлити до сотих. Вийде, що 5 , 382 … ≈ 5 , 38 . Другий множник округляти до сотих не має сенсу. Тепер можна підрахувати потрібний твір і записати відповідь: 5, 38 · 0, 2 = 538 100 · 2 10 = 1076 1000 = 1,076.

Відповідь: 5 , 382 … · 0 , 2 ≈ 1 , 076 .

Метод підрахунку стовпчиком можна використовувати не тільки для натуральних чисел. Якщо у нас є десяткові дроби, ми можемо помножити їх так само. Виведемо правило:

Визначення 1

Умноження десяткових дробів стовпчиком виконується за 2 кроки:

1. Виконуємо множення стовпчиком, не звертаючи увагу на коми.

2. Ставимо в підсумковому числі десяткову кому, відокремлюючи їй стільки цифр з правого боку, скільки обидва множники містять десяткових знаків разом. Якщо в результаті не вистачає для цього цифр, дописуємо зліва нулі.

Розберемо приклади таких розрахунків практично.

Приклад 4

Помножте десяткові дроби 63, 37 і 0, 12 стовпчиком.

Рішення

Насамперед виконаємо множення чисел, ігноруючи десяткові коми.

Тепер нам треба поставити кому на потрібне місце. Вона відокремлюватиме чотири цифри з правого боку, оскільки сума десяткових знаків в обох множниках дорівнює 4 . Дописувати нулі не доведеться, т.к. знаків достатньо:

Відповідь: 3, 37 · 0, 12 = 7, 6044.

Приклад 5

Підрахуйте, скільки буде 3,2601 помножити на 0,0254.

Рішення

Вважаємо без урахування ком. Отримуємо таке число:

Ми будемо ставити кому, що відокремлює 8 цифр з правого боку, адже вихідні дроби разом мають 8 знаків після коми. Але в нашому результаті всього сім цифр, і нам не обійтися без додаткових нулів:

Відповідь: 3, 2601 · 0,0254 = 0,08280654.

Як помножити десятковий дріб на 0,001, 0,01, 01 і т.д.

Помножувати десяткові дроби такі числа доводиться часто, тому важливо вміти робити це швидко і точно. Запишемо особливе правило, яким ми користуватимемося при такому множенні:

Визначення 2

Якщо ми помножимо десятковий дріб на 0, 1, 0, 01 і т.д., в результаті вийде число, схоже на вихідний дріб, кома якого перенесена вліво на необхідну кількість знаків. При нестачі цифр для перенесення потрібно дописувати нулі зліва.

Так, для множення 45, 34 на 0, 1 треба перенести у вихідний десятковий дроби кому на один знак. У нас вийде в результаті 4,534 .

Приклад 6

Помножте 9,4 на 0,0001.

Рішення

Нам доведеться переносити кому на чотири знаки за кількістю нулів у другому множнику, але цифр у першому для цього не вистачить. Приписуємо необхідні нулі та отримуємо, що 9, 4 · 0, 0001 = 0, 00094.

Відповідь: 0 , 00094 .

Для нескінченних десяткових дробів ми користуємося тим самим правилом. Так, наприклад, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) або 94, 938 … · 0, 1 = 9, 4938 …. та ін.

Процес такого множення нічим не відрізняється дії множення двох десяткових дробів. Зручно користуватися методом множення в стовпчик, якщо в задачі стоїть кінцевий десятковий дріб. При цьому треба враховувати всі правила, про які ми розповідали в попередньому пункті.

Приклад 7

Підрахуйте, скільки буде 15 · 2, 27 .

Рішення

Помножимо стовпчиком вихідні числа та відокремимо два знаки комою.

Відповідь: 15 · 2, 27 = 34, 05.

Якщо ми виконуємо множення періодичного десяткового дробу на натуральне число, треба спочатку поміняти десятковий дріб на звичайний.

Приклад 8

Обчисліть добуток 0 , (42) та 22 .

Наведемо періодичний дріб до вигляду звичайного.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 · 22 = 14 33 · 22 = 14 · 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Підсумковий результат можемо записати у вигляді періодичного десяткового дробу як 9 (3) .

Відповідь: 0, (42) · 22 = 9, (3).

Нескінченні дроби перед підрахунками треба попередньо округлити.

Приклад 9

Обчисліть скільки буде 4 · 2 , 145 … .

Рішення

Округлимо до сотих вихідний нескінченний десятковий дріб. Після цього ми прийдемо до множення натурального числа та кінцевого десяткового дробу:

4 · 2 , 145 … ≈ 4 · 2 , 15 = 8 , 60 .

Відповідь: 4 · 2 , 145 … ≈ 8 , 60 .

Як помножити десятковий дріб на 1000, 100, 10 та ін.

Множення десяткового дробу на 10, 100 та ін. часто зустрічається в задачах, тому ми розберемо цей випадок окремо. Основне правило множення звучить так:

Визначення 3

Щоб помножити десятковий дріб на 1000, 100, 10 та ін., потрібно перенести кому на 3, 2, 1 цифри в залежності від множника і відкинути зліва зайві нулі. Якщо цифр для перенесення коми недостатньо, праворуч дописуємо стільки нулів, скільки нам потрібно.

Покажемо на прикладі, як це робити.

Приклад 10

Виконайте множення 100 і 0,0783.

Рішення

Для цього нам треба перенести в десятковому дробі кому на 2 цифри праворуч. Ми отримаємо в результаті 007 , 83 нулі, що стоять зліва, можна відкинути і записати результат як 7 , 38 .

Відповідь: 0,0783 · 100 = 7,83.

Приклад 11

Помножте 0,02 на 10 тисяч.

Рішення: ми переносимо кому на чотири цифри праворуч. У вихідному десятковому дробі нам не вистачить для цього знаків, тому доведеться дописувати нулі. І тут буде достатньо трьох 0 . У результаті вийшло 0,02000, перенесемо кому і отримаємо 00200,0. Ігноруючи нулі зліва, можемо записати відповідь як 200 .

Відповідь: 0,02 · 10 000 = 200.

Наведене нами правило працюватиме так само і у випадку з нескінченними десятковими дробами, але тут слід бути дуже уважним до періоду підсумкового дробу, тому що в ньому легко припуститися помилки.

Приклад 12

Обчисліть добуток 5 , 32 (672) на 1000 .

Рішення: насамперед ми запишемо періодичний дріб як 5 , 32672672672 … , так ймовірність помилитися буде менше. Після цього можемо переносити кому на необхідну кількість знаків (на три). У підсумку вийде 5326, 726726 … Заключимо період у дужки і запишемо відповідь як 5326, (726).

Відповідь: 5, 32 (672) · 1000 = 5326, (726).

Якщо в умовах завдання стоять нескінченні неперіодичні дроби, які треба множити на десять, сто, тисячу та ін, не забуваємо округлити їх перед множенням.

Щоб виконати множення такого типу, потрібно уявити десятковий дріб у вигляді звичайного і далі діяти за вже знайомими правилами.

Приклад 13

Помножте 0 , 4 на 3 5 6

Рішення

Спочатку переведемо десятковий дріб у звичайний. Маємо: 0,4 = 4 10 = 2 5 .

Ми отримали відповідь у вигляді змішаного числа. Можна записати його як періодичний дріб 1,5 (3).

Відповідь: 1 , 5 (3) .

Якщо в розрахунку бере участь нескінченний неперіодичний дріб, потрібно округлити його до деякої цифри і вже потім множити.

Приклад 14

Обчисліть твір 3,5678. . . · 2 3

Рішення

Другий множник ми можемо уявити як 2 3 = 0 6666 …. Далі округлимо до тисячного розряду обидва множники. Після цього нам знадобиться обчислити добуток двох кінцевих десяткових дробів 3 , 568 і 0 , 667 . Порахуємо стовпчиком і отримаємо відповідь:

Підсумковий результат потрібно округлити до тисячних часток, оскільки саме до цього розряду ми округляли вихідні числа. У нас виходить, що 2,379856 ≈ 2,380.

Відповідь: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2 , 380

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

§ 1 Застосування правило множення десяткових дробів

У цьому уроці Ви познайомитеся та навчитеся застосовувати правило множення десяткових дробів та правило множення десяткового дробу на розрядну одиницю, таку як 0,1, 0,01 тощо. Крім того, ми розглянемо властивості множення при знаходженні значень виразів, що містять десяткові дроби.

Вирішимо завдання:

Швидкість руху автомобіля складає 59,8 км/год.

Який шлях подолає автомобіль за 1,3 години?

Як відомо, щоб знайти шлях, необхідно швидкість помножити тимчасово, тобто. 59,8 помножити на 1,3.

Давайте запишемо числа в стовпчик і почнемо їх перемножувати, не помічаючи ком: 8 помножити на 3, буде 24, 4 пишемо 2 в умі, 3 помножити на 9 це 27, та ще плюс 2, отримуємо 29, 9 пишемо, 2 в умі. Тепер 3 множимо на 5, буде 15 і додаємо 2, отримуємо 17.

Переходимо до другого рядка: 1 помножити на 8, буде 8, 1 помножити на 9, отримуємо 9, 1 помножити на 5, отримуємо 5, складаємо ці два рядки, отримуємо 4, 9+8 і 17, 7 пишемо 1 в розумі, 7 +9 це 16 та ще 1, буде 17, 7 пишемо 1 в умі, 1+5 та ще 1 отримуємо 7.

А тепер подивимося, скільки знаків після кому коштує в обох десяткових дробах! У першому дробі одна цифра після коми та у другому дробі одна цифра після коми, всього два знаки. Отже, праворуч у отриманому результаті слід відрахувати дві цифри і поставити кому, тобто. буде 77,74. Отже, за множення 59,8 на 1,3 отримали 77,74. Значить у задачі 77,74 км.

Таким чином, щоб перемножити два десяткові дроби треба:

Перше: виконати множення, не звертаючи уваги на коми

Друге: в отриманому творі відокремити комою стільки цифр праворуч, скільки їх коштує після коми в обох множниках разом.

Якщо ж цифр в отриманому творі менше, ніж треба відокремити комою, тоді попереду необхідно приписати один або кілька нулів.

Наприклад: 0,145 помножити на 0,03 у нас у творі виходить 435, а комою необхідно відокремити 5 цифр праворуч, тому ми приписуємо перед цифрою 4 ще 2 нуля, ставимо кому і приписуємо ще один нуль. Отримуємо відповідь 0,00435.

§ 2 Властивості множення десяткових дробів

При множенні десяткових дробів зберігаються ті самі властивості множення, що діють для натуральних чисел. Давайте виконаємо декілька завдань.

Завдання №1:

Вирішимо даний приклад, застосувавши розподільну властивість множення щодо додавання.

5,7 (загальний множник) винесемо за дужку, у дужках залишиться 3,4 плюс 0,6. Значення цієї суми дорівнює 4 і тепер 4 треба помножити на 5,7, отримуємо 22,8.

Завдання № 2:

Застосуємо переміщувальну властивість множення.

2,5 спочатку помножимо на 4, отримаємо 10 цілих, а тепер потрібно 10 помножити на 32,9 та отримуємо 329.

Крім цього, при множенні десяткових дробів можна помітити:

При множенні числа неправильний десятковий дріб, тобто. велику або рівну 1, воно збільшується або не змінюється, наприклад:

При множенні числа правильний десятковий дріб, тобто. меншу 1, воно зменшується, наприклад:

Давайте вирішимо приклад:

23,45 помножити на 0,1.

Ми повинні 2345 помножити на 1 і відокремити три знаки коми праворуч, отримаємо 2,345.

Тепер давайте вирішимо інший приклад: 23,45 розділити на 10, ми повинні перенести кому вліво на один знак, тому що 1 нуль у розрядній одиниці отримаємо 2,345.

З цих двох прикладів можна дійти невтішного висновку, що помножити десятковий дріб на 0,1, 0,01, 0,001 тощо. буд. це означає розділити число на 10, 100, 1000 тощо., тобто. треба в десятковому дробі перенести кому вліво на стільки знаків, скільки нулів стоїть перед 1 у множнику.

Використовуючи отримане правило, знайдемо значення творів:

13,45 помножити на 0,01

перед цифрою 1 стоїть 2 нуля, тому перенесемо кому вліво на 2 знаки, отримаємо 0,1345.

0,02 помножити на 0,001

перед цифрою 1 стоїть 3 нуля, отже переносимо кому на три знаки вліво, отримуємо 0,00002.

Таким чином, у цьому уроці Ви навчилися перемножувати десяткові дроби. Для цього потрібно лише виконати множення, не звертаючи уваги на коми, і в отриманому творі відокремити комою стільки цифр праворуч, скільки їх коштує після коми в обох множниках разом. Крім того, познайомилися з правилом множення десяткового дробу на 0,1, 0,01 і т.д., а також розглянули властивості множення десяткових дробів.

Список використаної литературы:

1. Математика 5 клас. Віленкін Н.Я., Жохов В.І. та ін. 31-е вид., Стер. - М: 2013.
2. Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автор - Попов М.А. - 2013 рік
3. Обчислюємо без помилок. Роботи із самоперевіркою з математики 5-6 класи. Автор - Мінаєва С.С. - 2014
4. Дидактичні матеріали з математики 5 клас. Автори: Дорофєєв Г.В., Кузнєцова Л.В. - 2010 рік
5. Контрольні та самостійні роботи з математики 5 клас. Автори – Попов М.А. - 2012 рік
6. Математика. 5 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ/І. І. Зубарєва, А. Г. Мордкович. - 9-е вид., Стер. - М: Мнемозіна, 2009

У цьому уроці ми розглянемо кожну з цих операцій окремо.

Додавання десяткових дробів

Як ми знаємо, десятковий дріб має цілу та дробову частину. При складанні десяткових дробів, цілі та дробові частини складаються окремо.

Наприклад, складемо десяткові дроби 3,2 та 5,3. Десяткові дроби зручніше складати у стовпчик.

Запишемо спочатку ці два дроби в стовпчик, причому цілі частини обов'язково повинні бути під цілими, а дробові під дробовими. У школі цю вимогу називають «кома під комою».

Запишемо дроби в стовпчик так, щоб кома опинилася під комою:

Починаємо складати дрібні частини: 2 + 3 = 5. Записуємо п'ятірку в дрібній частині нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини: 3 + 5 = 8. Записуємо вісімку у цілій частині нашої відповіді:

Тепер відокремлюємо комою цілу частину від дробової. Для цього знову ж таки дотримуємося правила «кома під комою»:

Отримали відповідь 8,5. Значить вирази 3,2 + 5,3 і 8,5

Насправді, не все так просто, як здається на перший погляд. Тут теж є свої підводні камені, про які ми зараз поговоримо.

Розряди у десяткових дробах

У десяткових дробів, як і звичайних чисел, є свої розряди. Це розряди десятих, сотні розряди, тисячні розряди. При цьому розряди починаються після коми.

Перша цифра після коми відповідає за розряд десятих, друга цифра після коми за розряд сотих, третя цифра після коми за розряд тисячних.

Розряди в десяткових дробах зберігають деяку корисну інформацію. Зокрема, вони повідомляють, скільки в десятковому дробі десятих частин, сотих частин і тисячних частин.

Наприклад, розглянемо десятковий дріб 0,345

Позиція, де знаходиться трійка, називається розрядом десятих

Позиція, де знаходиться четвірка, називається розрядом сотих

Позиція, де знаходиться п'ятірка, називається розрядом тисячних

Подивимося на цей малюнок. Бачимо, що у розряді десятих розташовується трійка. Це свідчить, що у десяткового дробу 0,345 міститься три десятих .

Якщо ми складемо дроби, то отримаємо початковий десятковий дріб 0,345

Видно, що спочатку ми отримали відповідь, але перевели її в десятковий дріб і отримали 0,345.

При додаванні десяткових дробів дотримуються самі принципи і правила, як і додаванні звичайних чисел. Додавання десяткових дробів відбувається за розрядами: десяті частини складаються з десятими частинами, соті з сотими, тисячні з тисячними.

Тому при складанні десяткових дробів вимагають дотримуватися правила «кома під комою». Кома під комою забезпечує той самий порядок, в якому десяті частини складаються з десятими, соті з сотими, тисячні з тисячними.

приклад 1.Знайти значення виразу 1,5 + 3,4

Насамперед складаємо дробові частини 5 + 4 = 9. Записуємо дев'ятку в дробовій частині нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 1 + 3 = 4. Записуємо четвірку у цілій частині нашої відповіді:

Тепер відокремлюємо комою цілу частину від дробової. Для цього знову ж таки дотримуємося правила «кома під комою»:

Отримали відповідь 4,9. Значить значення виразу 1,5 + 3,4 і 4,9

приклад 2.Знайти значення виразу: 3,51 + 1,22

Записуємо в стовпчик цей вираз, дотримуючись правила «кома під комою»

Насамперед складаємо дробову частину, саме соті частини 1+2=3. Записуємо трійку в сотій частині нашої відповіді:

Тепер складаємо десяті частини 5+2=7. Записуємо сімку в десятій частині нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 3+1=4. Записуємо четвірку в цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо комою цілу частину від дробової, дотримуючись правила «кома під комою»:

Отримали відповідь 4,73. Значить значення виразу 3,51 + 1,22 і 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Як і звичайних числах, при складанні десяткових дробів може статися . І тут у відповіді записується одна цифра, інші переносять на наступний розряд.

приклад 3.Знайти значення виразу 2,65 + 3,27

Записуємо в стовпчик цей вираз:

Складаємо соті частини 5+7=12. Число 12 не поміститься в сотій частині нашої відповіді. Тому в сотій частині записуємо цифру 2, а одиницю переносимо на наступний розряд:

Тепер складаємо десяті частини 6+2=8 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримаємо 9. Записуємо цифру 9 у десятій частині нашої відповіді:

Тепер складаємо цілі частини 2+3=5. Записуємо цифру 5 у цілій частині нашої відповіді:

Отримали відповідь 5,92. Значить значення виразу 2,65 + 3,27 і 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

приклад 4.Знайти значення виразу 9,5 + 2,8

Записуємо в стовпчик цей вираз

Складаємо дробові частини 5 + 8 = 13. Число 13 не поміститься у дробовій частині нашої відповіді, тому спочатку записуємо цифру 3, а одиницю переносимо на наступний розряд, точніше переносимо її до цілої частини:

Тепер складаємо цілі частини 9+2=11 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримуємо 12. Записуємо число 12 у цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 12,3. Значить значення виразу 9,5 + 2,8 і 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

При додаванні десяткових дробів кількість цифр після коми в обох дробах повинна бути однаковою. Якщо цифр не вистачає, ці місця в дробовій частині заповнюються нулями.

Приклад 5. Знайти значення виразу: 12,725 + 1,7

Перш ніж записувати в стовпчик цей вираз, зробимо кількість цифр після коми в обох дробах однаковою. У десятковому дробі 12,725 після коми три цифри, а в дробі 1,7 лише одна. Значить у дробі 1,7 в кінці потрібно додати два нулі. Тоді отримаємо дріб 1,700. Тепер можна записати в стовпчик цей вираз і почати обчислювати:

Складаємо тисячні частини 5+0=5. Записуємо цифру 5 у тисячній частині нашої відповіді:

Складаємо соті частини 2+0=2. Записуємо цифру 2 у сотій частині нашої відповіді:

Складаємо десяті частини 7+7=14. Число 14 не поміститься у десятій частині нашої відповіді. Тому спочатку записуємо цифру 4, а одиницю переносимо на наступний розряд:

Тепер складаємо цілі частини 12+1=13 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримуємо 14. Записуємо число 14 у цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 14,425. Значить значення виразу 12,725+1,700 і 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Віднімання десяткових дробів

При відніманні десяткових дробів потрібно дотримуватися тих же правил, що і при складанні: «кома під комою» і «рівна кількості цифр після коми».

приклад 1.Знайти значення виразу 2,5 - 2,2

Записуємо в стовпчик цей вираз, дотримуючись правила «кома під комою»:

Обчислюємо дрібну частину 5−2=3. Записуємо цифру 3 у десятій частині нашої відповіді:

Обчислюємо цілу частину 2-2 = 0. Записуємо нуль у цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 0,3. Значить значення виразу 2,5 - 2,2 дорівнює 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

приклад 2.Знайти значення виразу 7,353 - 3,1

У цьому виразі різна кількість цифр після коми. У дробі 7,353 після коми три цифри, а в дробі 3,1 лише одна. Значить у дробі 3,1 в кінці потрібно додати два нулі, щоб зробити кількість цифр в обох дробах однаковою. Тоді матимемо 3,100.

Тепер можна записати в стовпчик цей вираз і обчислити його:

Отримали відповідь 4,253. Значить значення виразу 7,353 - 3,1 і 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Як і в звичайних числах, іноді доведеться займати одиницю у сусіднього розряду, якщо віднімання стане неможливим.

приклад 3.Знайти значення виразу 3,46 − 2,39

Віднімаємо соті частини 6-9. Від числа 6 не відняти число 9. Тому потрібно зайняти одиницю у сусіднього розряду. Зайнявши одиницю у сусіднього розряду число 6 перетворюється на число 16. Тепер можна обчислити соті частини 16−9=7. Записуємо сімку в сотій частині нашої відповіді:

Тепер віднімаємо десяті частини. Оскільки ми зайняли в розряді десятих одну одиницю, то цифра, яка там була, зменшилася на одну одиницю. Інакше кажучи, у розряді десятих тепер цифра 4, а цифра 3. Обчислимо десяті частини 3−3=0. Записуємо нуль у десятій частині нашої відповіді:

Тепер віднімаємо цілі частини 3−2=1. Записуємо одиницю у цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 1,07. Значить значення виразу 3,46-2,39 і 1,07

3,46−2,39=1,07

Приклад 4. Знайти значення виразу 3-1,2

У цьому прикладі з цілого числа віднімається десятковий дріб. Запишемо цей вираз стовпчиком так, щоб ціла частина десяткового дробу 1,23 опинилася під числом 3

Тепер зробимо кількість цифр після коми однаковою. Для цього після числа 3 поставимо кому і допишемо один нуль:

Тепер віднімаємо десяті частини: 0-2. Від нуля не відняти число 2. Тому потрібно зайняти одиницю у сусіднього розряду. Зайнявши одиницю у сусіднього розряду, 0 перетворюється на число 10. Тепер можна обчислити десяті частини 10−2=8. Записуємо вісімку в десятій частині нашої відповіді:

Тепер віднімаємо цілі частини. Раніше в цілому розташовувалося число 3, але ми зайняли в нього одну одиницю. У результаті воно звернулося до числа 2. Тому з 2 віднімаємо 1. 2−1=1. Записуємо одиницю у цілій частині нашої відповіді:

Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:

Отримали відповідь 1,8. Значить значення виразу 3-1,2 і 1,8

Розмноження десяткових дробів

Збільшення десяткових дробів це просто і навіть цікаво. Щоб перемножити десяткові дроби, потрібно перемножити їх як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми.

Отримавши відповідь, необхідно відокремити комою цілу частину від дробової. Щоб зробити це, треба порахувати кількість цифр після коми в обох дробах, потім у відповіді відрахувати праворуч стільки ж цифр і поставити кому.

приклад 1.Знайти значення виразу 2,5×1,5

Перемножимо ці десяткові дроби як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми. Щоб не звертати уваги на коми, можна на якийсь час уявити, що вони взагалі відсутні:

Отримали 375. У цьому числі необхідно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього потрібно порахувати кількість цифр після коми у дробах 2,5 та 1,5. У першому дробі після коми одна цифра, у другому дробі теж одна. Разом дві цифри.

Повертаємося до 375 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 3,75. Значить значення виразу 2,5 × 1,5 дорівнює 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

приклад 2.Знайти значення виразу 12,85 × 2,7

Перемножимо ці десяткові дроби, не звертаючи уваги на коми:

Отримали 34695. У цьому числі потрібно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми у дробах 12,85 та 2,7. У дробі 12,85 після коми дві цифри, у дробі 2,7 одна цифра - всього три цифри.

Повертаємося до 34695 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати три цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 34,695. Значить значення виразу 12,85 × 2,7 і 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Примноження десяткового дробу на звичайне число

Іноді виникають ситуації, коли потрібно помножити десятковий дріб на звичайне число.

Щоб перемножити десятковий дріб і звичайне число, потрібно перемножити їх, не звертаючи уваги на ком у десятковому дробі. Отримавши відповідь, необхідно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього потрібно порахувати кількість цифр після коми в десятковому дробі, потім у відповіді відрахувати праворуч стільки ж цифр і поставити кому.

Наприклад, помножимо 2,54 на 2

Помножуємо десятковий дріб 2,54 на звичайне число 2, не звертаючи уваги на кому:

Отримали число 508. У цьому числі потрібно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми у дробі 2,54. У дробі 2,54 після коми дві цифри.

Повертаємося до 508 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 5,08. Значить значення виразу 2,54×2 дорівнює 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Розмноження десяткових дробів на 10, 100, 1000

Множення десяткових дробів на 10, 100 або 1000 виконується так само, як і множення десяткових дробів на звичайні числа. Потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на ком у десятковому дробі, потім у відповіді відокремити цілу частину від дробового, відрахувавши праворуч стільки ж цифр, скільки було цифр після коми в десятковому дробі.

Наприклад, помножимо 2,88 на 10

Помножимо десятковий дріб 2,88 на 10, не звертаючи уваги на ком у десятковому дробі:

Отримали 2880. У цьому числі потрібно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми у дробі 2,88. Бачимо, що у дробі 2,88 після коми дві цифри.

Повертаємося до 2880 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:

Отримали відповідь 28,80. Відкинемо останній нуль - отримаємо 28,8. Значить значення виразу 2,88×10 і 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Є і другий спосіб множення десяткових дробів на 10, 100, 1000. Цей спосіб набагато простіше та зручніше. Він полягає в тому, що кома в десятковому дробі пересувається вправо на стільки цифр, скільки нулів у множнику.

Наприклад, розв'яжемо попередній приклад 2,88×10 цим способом. Не наводячи жодних обчислень, відразу ж дивимося на множник 10. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що у ньому один нуль. Тепер у дробі 2,88 пересуваємо кому вправо на одну цифру, отримаємо 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Спробуємо помножити 2,88 на 100. Відразу ж дивимося на множник 100. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому два нулі. Тепер у дробі 2,88 пересуваємо кому вправо на дві цифри, отримуємо 288

2,88 × 100 = 288

Спробуємо помножити 2,88 на 1000. Відразу ж дивимося на множник 1000. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому три нулі. Тепер у дробі 2,88 пересуваємо кому вправо на три цифри. Третьої цифри там немає, тож ми дописуємо ще один нуль. У результаті одержуємо 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Розмноження десяткових дробів на 0,1 0,01 та 0,001

Множення десяткових дробів на 0,1, 0,01 і 0,001 відбувається так само, як і множення десяткового дробу на десятковий дріб. Необхідно перемножити дроби, як звичайні числа, і у відповіді поставити кому, відрахувавши стільки цифр праворуч, скільки цифр після коми в обох дробах.

Наприклад, помножимо 3,25 на 0,1

Примножуємо ці дроби, як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми:

Отримали 325. У цьому числі потрібно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми у дробах 3,25 та 0,1. У дробі 3,25 після коми дві цифри, дробу 0,1 одна цифра. Разом три цифри.

Повертаємося до 325 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати три цифри праворуч і поставити кому. Відрахувавши три цифри, ми виявляємо, що цифри закінчилися. У цьому випадку потрібно дописати один нуль і поставити кому:

Отримали відповідь 0,325. Значить значення виразу 3,25 × 0,1 дорівнює 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Є й другий спосіб множення десяткових дробів на 0,1, 0,01 та 0,001. Цей спосіб набагато простіше та зручніше. Він полягає в тому, що кома в десятковому дробі пересувається вліво на стільки цифр, скільки нулів у множнику.

Наприклад, розв'яжемо попередній приклад 3,25 × 0,1 цим способом. Не наводячи жодних обчислень відразу ж дивимося на множник 0,1. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що у ньому один нуль. Тепер у дробі 3,25 пересуваємо кому вліво на одну цифру. Пересунувши кому на одну цифру вліво, ми бачимо, що перед трійкою більше немає жодних цифр. У цьому випадку дописуємо один нуль і ставимо кому. В результаті отримуємо 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Спробуємо помножити 3,25 на 0,01. Відразу ж дивимося на множник 0,01. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому два нулі. Тепер у дробі 3,25 пересуваємо кому вліво на дві цифри, отримуємо 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Спробуймо помножити 3,25 на 0,001. Відразу ж дивимося на множник 0,001. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому три нулі. Тепер у дробі 3,25 пересуваємо кому вліво на три цифри, отримуємо 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Не можна плутати множення десяткових дробів на 0,1, 0,001 та 0,001 з множенням на 10, 100, 1000. Типова помилка більшості людей.

При множенні на 10, 100, 1000 кома переноситься вправо на стільки ж цифр скільки нулів у множнику.

А при множенні на 0,1, 0,01 і 0,001 кома переноситься вліво на стільки ж цифр скільки нулів у множнику.

Якщо спочатку це складно запам'ятати, можна користуватися першим способом, в якому множення виконується як зі звичайними числами. У відповіді потрібно буде відокремити цілу частину від дробової, відрахувавши праворуч стільки ж цифр, скільки цифр після коми в обох дробах.

Розподіл меншого числа на більший. Просунутий рівень.

В одному з попередніх уроків ми сказали, що при розподілі меншого числа на більше виходить дріб, у чисельнику якого поділяється, а в знаменнику – дільник.

Наприклад, щоб розділити одне яблуко на двох, потрібно в чисельник записати 1 (одне яблуко), а знаменник записати 2 (двоє друзів). В результаті отримаємо дріб. Значить кожному другу дістанеться по яблука. Іншими словами, по половині яблука. Дроби це відповідь до завдання «як поділити одне яблуко на двох»

Виявляється, можна вирішувати це завдання і далі, якщо розділити 1 на 2. Адже дробова риса в будь-якому дробі означає розподіл, а значить і в дробі цей поділ дозволено. Але як? Адже ми звикли до того, що ділене завжди більше за дільника. А тут навпаки, ділене менше від дільника.

Все стане зрозумілим, якщо згадати, що дріб означає дроблення, поділ, поділ. А значить і одиниця може бути роздроблена на скільки завгодно частин, а не лише на дві частини.

При поділі меншого числа на більше виходить десятковий дріб, у якому ціла частина буде 0 (нульовий). Дробова частина може бути будь-який.

Отже, розділимо 1 на 2. Розв'яжемо цей приклад куточком:

Одиницю на два просто так націло не поділити. Якщо поставити запитання «скільки двійок в одиниці» , то відповіддю буде 0. Тому в приватному записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер як зазвичай множимо приватне на дільник, щоб витягнути залишок:

Настав момент, коли одиницю можна подрібнити на дві частини. Для цього праворуч від отриманої одиниці дописуємо ще один нуль:

Отримали 10. Ділимо 10 на 2, отримуємо 5. Записуємо п'ятірку в дрібній частині нашої відповіді:

Тепер витягаємо останній залишок, щоб завершити обчислення. Помножуємо 5 на 2, отримуємо 10

Отримали відповідь 0,5. Значить дріб дорівнює 0,5

Половину яблука можна записати і за допомогою десяткового дробу 0,5. Якщо скласти дві половинки (0,5 і 0,5), ми знову отримаємо початкове одне ціле яблуко:

Цей момент можна зрозуміти, якщо уявити, як 1 см ділиться на дві частини. Якщо 1 сантиметр розділити на 2 частини, то вийде 0,5 см

приклад 2.Знайти значення виразу 4: 5

Скільки п'ятірок у четвірці? Анітрохи. Записуємо в приватному 0 і ставимо кому:

Помножуємо 0 на 5, отримуємо 0. Записуємо нуль під четвіркою. Відразу ж віднімаємо цей нуль з поділеного:

Тепер почнемо дробити (ділити) четвірку на 5 частин. Для цього праворуч від 4 дописуємо нуль і ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку у приватному.

Завершуємо приклад, помноживши 8 на 5 і отримавши 40:

Отримали відповідь 0,8. Значить значення виразу 4: 5 дорівнює 0,8

приклад 3.Знайти значення виразу 5: 125

Скільки чисел 125 у п'ятірці? Анітрохи. Записуємо 0 у приватному та ставимо кому:

Помножуємо 0 на 5, отримуємо 0. Записуємо 0 під п'ятіркою. Відразу ж віднімаємо з п'ятірки 0

Тепер почнемо дробити (ділити) п'ятірку на 125 частин. Для цього праворуч від цієї п'ятірки запишемо нуль:

Ділимо 50 на 125. Скільки чисел 125 у числі 50? Анітрохи. Значить у приватному знову записуємо 0

Помножуємо 0 на 125, отримуємо 0. Записуємо цей нуль під 50. Відразу ж віднімаємо 0 із 50

Тепер ділимо число 50 на 125 частин. Для цього праворуч від 50 запишемо ще один нуль:

Ділимо 500 на 125. Скільки чисел 125 у числі 500. У числі 500 чотири числа 125. Записуємо четвірку в приватному:

Завершуємо приклад, помноживши 4 на 125 і отримавши 500

Отримали відповідь 0,04. Значить значення виразу 5: 125 дорівнює 0,04

Розподіл чисел без залишку

Отже, поставимо в приватному після одиниці кому, тим самим вказуючи, що розподіл цілих частин закінчилося і ми приступаємо до дробової частини:

Допишемо нуль до залишку 4

Тепер ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку у приватному:

40-40 = 0. Отримали 0 у залишку. Отже розподіл у цьому повністю завершено. При розподілі 9 на 5 виходить десятковий дріб 1,8:

9: 5 = 1,8

Приклад 2. Розділити 84 на 5 без залишку

Спочатку розділимо 84 на 5 як зазвичай із залишком:

Отримали у приватному 16 та ще 4 у залишку. Тепер розділимо цей залишок на 5. Поставимо у приватному кому, а до залишку 4 допишемо 0

Тепер ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному після коми:

і завершуємо приклад, перевіривши, чи є ще залишок:

Розподіл десяткового дробу на звичайне число

Десятковий дріб, як ми знаємо складається з цілої та дробової частини. При розподілі десяткового дробу на звичайне число в першу чергу потрібно:

• розділити цілу частину десяткового дробу цього числа;
• після того, як ціла частина буде розділена, потрібно в приватному відразу ж поставити кому і продовжити обчислення, як у звичайному розподілі.

Наприклад, розділимо 4,8 на 2

Запишемо цей приклад куточком:

Тепер розділимо цілу частину на 2. Чотири розділити на два буде два. Записуємо двійку в приватному і відразу ж ставимо кому:

Тепер множимо приватне на дільник і дивимося чи є залишок від розподілу:

4-4 = 0. Залишок дорівнює нулю. Нуль поки що не записуємо, оскільки рішення не завершено. Далі продовжуємо обчислювати, як у звичайному розподілі. Зносимо 8 і ділимо її на 2

8: 2 = 4. Записуємо четвірку в приватному і відразу множимо її на дільник:

Отримали відповідь 2,4. Значення виразу 4,8: ​​2 дорівнює 2,4

приклад 2.Знайти значення виразу 8,43: 3

Ділимо 8 на 3, отримуємо 2. Відразу ж ставимо кому після двійки:

Тепер множимо приватне на дільник 2 × 3 = 6. Записуємо шістку під вісімкою і знаходимо залишок:

Ділимо 24 на 3, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному. Відразу ж множимо її на дільник, щоб знайти залишок від розподілу:

24-24 = 0. Залишок дорівнює нулю. Нуль поки що не записуємо. Зносимо останню трійку з ділимого і ділимо на 3, отримаємо 1. Відразу множимо 1 на 3, щоб завершити цей приклад:

Отримали відповідь 2,81. Значить значення виразу 8,43: 3 і 2,81

Розподіл десяткового дробу на десятковий дріб

Щоб розділити десятковий дріб на десятковий дріб, треба в ділимому і в дільнику перенести кому вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику, а потім виконати поділ на звичайне число.

Наприклад, розділимо 5,95 на 1,7

Запишемо куточком цей вираз

Тепер у ділимому і в дільнику перенесемо кому вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику. У дільнику після коми одна цифра. Значить, ми повинні в ділимому і в дільнику перенести кому вправо на одну цифру. Переносимо:

Після перенесення коми вправо на одну цифру десятковий дріб 5,95 звернувся до дріб 59,5. А десятковий дріб 1,7 після перенесення коми вправо на одну цифру звернувся до звичайного числа 17. А як ділити десятковий дріб на звичайне число ми вже знаємо. Подальше обчислення не складає особливих труднощів:

Кома переноситься вправо з метою полегшити поділ. Це допускається внаслідок того, що при множенні або розподілі діленого і дільника на одне й те число, приватне не змінюється. Що це означає?

Це одна з найцікавіших особливостей поділу. Його називають властивістю частки. Розглянемо вираз 9: 3 = 3. Якщо у цьому виразі поділений і дільник помножити або розділити на те саме число, то приватне 3 не зміниться.

Давайте помножимо ділене та дільник на 2, і подивимося, що з цього вийде:

(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3

Як видно з прикладу, приватне не змінилося.

Те саме відбувається, коли ми переносимо кому в поділеному і в дільнику. У попередньому прикладі, де ми ділили 5,91 на 1,7, ми перенесли в ділимому і дільнику кому на одну цифру вправо. Після перенесення коми, дріб 5,91 перетворилася на дріб 59,1 а дріб 1,7 перетворилася на звичайне число 17.

Насправді, всередині цього процесу відбувалося множення на 10. Ось як це виглядало:

5,91 × 10 = 59,1

Тому від кількості цифр після коми в дільнику залежить те, на що буде помножено діле та дільник. Іншими словами, від кількості цифр після коми в дільнику залежатиме те, на скільки цифр у ділимому та в дільнику кома буде перенесена вправо.

Розподіл десяткового дробу на 10, 100, 1000

Розподіл десяткового дробу на 10, 100, або 1000 здійснюється так само, як і . Наприклад, розділимо 2,1 на 10. Розв'яжемо цей приклад куточком:

Але є й другий спосіб. Він легший. Суть цього способу в тому, що кома в ділимому переноситься вліво на стільки цифр, скільки нулів у дільнику.

Вирішимо попередній приклад цим способом. 2,1: 10. Дивимося на дільник. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що там один нуль. Значить у ділимому 2,1 потрібно перенести кому вліво на одну цифру. Переносимо кому вліво на одну цифру і бачимо, що там більше не залишилося цифр. І тут перед цифрою дописуємо ще один нуль. У результаті отримуємо 0,21

Спробуємо розділити 2,1 на 100. У числі 100 два нулі. Значить у ділимому 2,1 треба перенести кому вліво на дві цифри:

2,1: 100 = 0,021

Спробуємо розділити 2,1 на 1000. Серед 1000 три нулі. Значить у ділимому 2,1 треба перенести кому вліво на три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Розподіл десяткового дробу на 0,1, 0,01 та 0,001

Розподіл десяткового дробу на 0,1, 0,01 і 0,001 здійснюється таким же чином, як і . У ділимому і в дільнику треба перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику.

Наприклад, розділимо 6,3 на 0,1. У першу чергу перенесемо коми в ділимому і дільнику вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику. У дільнику після коми одна цифра. Значить переносимо коми в ділимому і дільнику вправо однією цифру.

Після перенесення коми вправо на одну цифру, десятковий дріб 6,3 перетворюється на звичайне число 63, а десятковий дріб 0,1 після перенесення коми вправо на одну цифру перетворюється на одиницю. А розділити 63 на 1 дуже просто:

Значить значення виразу 6,3: 0,1 дорівнює 63

Але є й другий спосіб. Він легший. Суть цього у тому, що кома в ділимому переноситься вправо стільки цифр, скільки нулів у делителе.

Вирішимо попередній приклад цим способом. 6,3: 0,1. Дивимося на дільник. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що там один нуль. Значить у ділимому 6,3 потрібно перенести кому вправо на одну цифру. Переносимо кому вправо на одну цифру і отримуємо 63

Спробуємо поділити 6,3 на 0,01. У дільнику 0,01 два нулі. Значить у ділимому 6,3 треба перенести кому вправо на дві цифри. Але в ділимому після коми лише одна цифра. В цьому випадку в кінці потрібно дописати ще один нуль. В результаті отримаємо 630

Спробуємо поділити 6,3 на 0,001. У дільнику 0,001 три нулі. Значить у ділимому 6,3 треба перенести кому вправо на три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Завдання для самостійного вирішення

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки