Рівняння із модулем. Вичерпний гід (2019)

Одна з найскладніших тем для учнів – це вирішення рівнянь, які містять змінну під знаком модуля. Давайте розберемося для початку з чим це пов'язано? Чому, наприклад, квадратні рівняння більшість дітей клацає як горішки, а з таким далеко не найскладнішим поняттям, як модуль, має стільки проблем?

На мою думку, всі ці складності пов'язані з відсутністю чітко сформульованих правил для вирішення рівнянь із модулем. Так, вирішуючи квадратне рівняння, учень точно знає, що йому потрібно спочатку застосовувати формулу дискримінанта, а потім формули коріння квадратного рівняння. А що робити, якщо на рівнянні зустрівся модуль? Постараємося чітко описати необхідний план дій у разі, коли рівняння містить невідому під знаком модуля. До кожного випадку наведемо кілька прикладів.

Але для початку згадаємо визначення модуля. Отже, модулем числа aназивається саме це число, якщо aневід'ємно та -a, якщо число aменше нуля. Записати це можна так:

|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0

Говорячи про геометричний сенс модуля, слід пам'ятати, що кожному дійсному числу відповідає певна точка на числовій осі - її до оординату. Так ось, модулем або абсолютною величиною числа називається відстань від цієї точки до початку відліку числової осі. Відстань завжди задається позитивним числом. Таким чином, модуль будь-якого від'ємного числа є позитивним. До речі, навіть на цьому етапі багато учнів починають плутатися. У модулі може стояти будь-яке число, а ось результат застосування модуля завжди число позитивне.

Тепер перейдемо безпосередньо до розв'язання рівнянь.

1. Розглянемо рівняння виду | = с, де с – дійсне число. Це рівняння можна вирішити за допомогою модуля.

Всі дійсні числа розіб'ємо на три групи: ті, що більше за нуль, ті, що менше за нуль, і третя група – це число 0. Запишемо рішення у вигляді схеми:

(±c, якщо з > 0

Якщо | x | = c, то x = (0, якщо с = 0

(немає коріння, якщо з< 0

1) | = 5, т.к. 5> 0, то x = ±5;

2) | = -5, т.к. -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | = 0 то x = 0.

2. Рівняння виду | f (x) | = b, де b > 0. Для розв'язання цього рівняння необхідно позбутися модуля. Робимо це так: f(x) = b або f(x) = -b. Тепер необхідно вирішити окремо кожне із отриманих рівнянь. Якщо у вихідному рівнянні b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 або x + 2 = -4

2) | x 2 – 5 | = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 - 5 = 11 або x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 немає коренів

3) | x 2 - 5x | = -8, т.к. -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Рівняння виду | f (x) | = g(x). За змістом модуля таке рівняння матиме рішення, якщо його права частина більша чи дорівнює нулю, тобто. g(x) ≥ 0. Тоді матимемо:

f(x) = g(x)або f(x) = -g(x).

1) | 2x - 1 | = 5x – 10. Це рівняння матиме коріння, якщо 5x – 10 ≥ 0. Саме з цього і починають розв'язання таких рівнянь.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Рішення:

2x – 1 = 5x – 10 або 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Об'єднуємо О.Д.З. та рішення, отримуємо:

Корінь x = 11/7 не підходить за О.Д.З., він менше 2, а x = 3 цій умові задовольняє.

Відповідь: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - х 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Розв'яжемо методом інтервалів дану нерівність:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Рішення:

x – 1 = 1 – x 2 або x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 або x = 1 x = 0 або x = 1

3. Об'єднуємо рішення та О.Д.З.:

Підходять лише коріння x = 1 та x = 0.

Відповідь: x=0, x=1.

4. Рівняння виду | f (x) | = | g (x) |. Таке рівняння рівносильне двом наступним рівнянням f(x) = g(x) або f(x) = -g(x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Дане рівняння рівносильне двом наступним:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 або x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 або x = 4 x = 2 або x = 1

Відповідь: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Рівняння, які вирішуються методом підстановки (заміни змінної). Даний метод рішення найпростіше пояснити на конкретному прикладі. Так, нехай дано квадратне рівняння з модулем:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому рівняння можна переписати так:

|х| 2 - 6 | x | + 5 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0, тоді матимемо:

t 2 – 6t + 5 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, що t = 1 або t = 5. Повернемося до заміни:

|х| = 1 чи |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Відповідь: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Розглянемо ще один приклад:

x 2 + | x | – 2 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому

|х| 2 + | x | - 2 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0 тоді:

t 2 + t – 2 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, t = -2 або t = 1. Повернемося до заміни:

|х| = -2 чи |x| = 1

Немає коріння x = ± 1

Відповідь: x=-1, x=1.

6. Ще один вид рівнянь - рівняння зі "складним" модулем. До таких рівнянь відносяться рівняння, в яких є модулі в модулі. Рівняння цього виду можна вирішувати, застосовуючи властивості модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Діятимемо так само, як і в рівняннях другого типу. Т.к. 4 > 0, то отримаємо два рівняння:

3 - | x | = 4 чи 3 – |x| = -4.

Тепер виразимо у кожному рівнянні модуль х, тоді |x| = -1 чи |x| = 7.

Вирішуємо кожне з отриманих рівнянь. У першому рівнянні немає коріння, т.к. -1< 0, а во втором x = ±7.

Відповідь x=-7, x=7.

2) | 3 + | x + 1 | | = 5. Вирішуємо це рівняння аналогічним чином:

3 + | x + 1 | = 5 чи 3 + |x + 1| = -5

|х + 1| = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 або x + 1 = -2. Нема коріння.

Відповідь: x=-3, x=1.

Існує ще й універсальний метод розв'язання рівнянь із модулем. Це спосіб інтервалів. Але ми його розглянемо надалі.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0

Тепер перейдемо безпосередньо до розв'язання рівнянь.

1. Розглянемо рівняння виду | = с, де с – дійсне число. Це рівняння можна вирішити за допомогою модуля.

(±c, якщо з > 0

Якщо | x | = c, то x = (0, якщо с = 0

(немає коріння, якщо з< 0

1) | = 5, т.к. 5> 0, то x = ±5;

2) | = -5, т.к. -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | = 0 то x = 0.

1) | x + 2 | = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 або x + 2 = -4

2) | x 2 – 5 | = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 - 5 = 11 або x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 немає коренів

3) | x 2 - 5x | = -8, т.к. -8< 0, то уравнение не имеет корней.

f(x) = g(x)або f(x) = -g(x).

1) | 2x - 1 | = 5x – 10. Це рівняння матиме коріння, якщо 5x – 10 ≥ 0. Саме з цього і починають розв'язання таких рівнянь.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Рішення:

2x – 1 = 5x – 10 або 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Об'єднуємо О.Д.З. та рішення, отримуємо:

Корінь x = 11/7 не підходить за О.Д.З., він менше 2, а x = 3 цій умові задовольняє.

Відповідь: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - х 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Розв'яжемо методом інтервалів дану нерівність:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Рішення:

x – 1 = 1 – x 2 або x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 або x = 1 x = 0 або x = 1

3. Об'єднуємо рішення та О.Д.З.:

Підходять лише коріння x = 1 та x = 0.

Відповідь: x=0, x=1.

4. Рівняння виду | f (x) | = | g (x) |. Таке рівняння рівносильне двом наступним рівнянням f(x) = g(x) або f(x) = -g(x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Дане рівняння рівносильне двом наступним:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 або x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 або x = 4 x = 2 або x = 1

Відповідь: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому рівняння можна переписати так:

|х| 2 - 6 | x | + 5 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0, тоді матимемо:

t 2 – 6t + 5 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, що t = 1 або t = 5. Повернемося до заміни:

|х| = 1 чи |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Відповідь: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Розглянемо ще один приклад:

x 2 + | x | – 2 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому

|х| 2 + | x | - 2 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0 тоді:

t 2 + t – 2 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, t = -2 або t = 1. Повернемося до заміни:

|х| = -2 чи |x| = 1

Немає коріння x = ± 1

Відповідь: x=-1, x=1.

1) |3 – |x|| = 4. Діятимемо так само, як і в рівняннях другого типу. Т.к. 4 > 0, то отримаємо два рівняння:

3 - | x | = 4 чи 3 – |x| = -4.

Тепер виразимо у кожному рівнянні модуль х, тоді |x| = -1 чи |x| = 7.

Вирішуємо кожне з отриманих рівнянь. У першому рівнянні немає коріння, т.к. -1< 0, а во втором x = ±7.

Відповідь x=-7, x=7.

2) | 3 + | x + 1 | | = 5. Вирішуємо це рівняння аналогічним чином:

3 + | x + 1 | = 5 чи 3 + |x + 1| = -5

|х + 1| = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 або x + 1 = -2. Нема коріння.

Відповідь: x=-3, x=1.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Тип уроку:урок постановки навчальної задачі.

Цілі уроку:

навчання розв'язання рівнянь зі знаком модуля на основі застосування властивостей рівнянь;
розвиток навичок теоретичного мислення із застосуванням навичок елементарних операцій з модулем та визначення модуля;
виховання уваги та вміння аналізувати отримане рішення, брати участь у діалозі з товаришами, учителем.

ХІД УРОКУ

I. Повторення пройденого

Уважно розгляньте запропоновані рівняння:

1) | х | = х + 5;
2) | х | = – 3х + 5;
3) | х – 3 | = 2;
4) | 2х – 5 | = х – 1;
5) = х – 1;
6) | 2х – 5 | = 2 – х;
7) | х + 2 | = 2(3 – х);
8) | 3х – 5 | = | 5 – 2х | ;
9) | х – 2 | = 3 | 3 – х | ;
10) | | х – 1 | – 1 | = 2.

Завдання 1. Розподіліть дані рівняння по групам.

Учні спочатку виділили дві групи. До першої групи увійшли рівняння 1) -3), 5) -7). До другої групи були віднесені рівняння 8) та 9). Потім учні помітили рівняння 10), що містить знак модуля двічі. Остаточно було виділено три групи: 1-я група – модуль міститься у лівій частині рівняння; 2-я група - модуль міститься в обох частинах рівняння; 3-я група – у рівнянні міститься подвійний модуль.

Вчитель.Яке головне завдання ми маємо вирішити сьогодні на уроці?

Учні.Ми маємо навчитися вирішувати рівняння.

Вчитель.Так. Але подивіться ще раз на всі ці рівняння та виділіть їх загальну особливість.

Учні.Усі вони містять модуль.

Вчитель.Як точніше сформулювати завдання нашого уроку?

Учні.Застосовувати визначення модуля під час вирішення даних рівнянь.

Вчитель.Справді, це завдання ми і маємо вирішити на уроці. Інакше її можна сформулювати так: "Як розв'язувати рівняння з модулем?" Які поняття, визначення можуть бути корисними при вирішенні цього завдання?

Учні.

1. Що таке модуль?
2. Визначення модуля.

Вчитель.Згадаймо, що таке модуль.

Учні.За визначенням:

Вчитель.Що допомогло вам так швидко відтворити це поняття?

Учні.Опорний конспект.

Вчитель.Зверніться ще раз до опорного конспекту та наведіть свої приклади.

Учні.|10 | = 10; | – 20 | = 20; | 0 | = 0; | – 100 | = 100.

Завдання 2. Обчисліть | а|, якщо: а = 3; а= – 5. Визначте, які із запропонованих рішень правильні.

1) | а| = а, якщо, тож | 3 | = 3, оскільки 3 > 0 (число позитивне).

2) | а| =, якщо а < 0, поэтому | – 5 | = – 5, так как – 5 < 0 (число отрицательное).

Учні.Рішення 1) - правильне, рішення 2) - ні.

Вчитель.Запишіть рішення 2) правильно.

Учні записують: | а | = – а, якщо а < 0, поэтому | –5 | = – (– 5), так как число – 5 – отрицательное.

Завдання 3. Перетворіть будь-який із даних виразів до такого виду, щоб у записі аналітичного виразу не використовувалися знаки модулів.

а) | х – 3 |;
б) 2 | х+ 4 | + З х;
в) | х – 1 | + | х – 2 |.

Більшість учнів обрали вираз б), вираз в) – трохи менше, а вираз а) – одиниці. Таким чином, учні самостійно розподілилися на три групи. Було запропоновано такі рішення:

б) Якщо 2 х+ 4 0, тобто х- 2, то | 2 х + 4 | = 2х+ 4 і ми отримуємо: | 2 х + 4 | + 3х = 2х + 4 + 3х = 5х + 4.

Якщо 2 х + 4 < 0, то естьх< –2, то | 2х + 4 | = – (2х+ 4) і ми отримуємо: | 2 х + 4 | + 3х = – (2х + 4) +3х = –2х- 4 + З х = х – 4.

Отже, за визначенням:

в) Самостійно завдання учні виконати не змогли, була потрібна допомога вчителя.

Якщо х < 1, то х – 1 < 0, х – 2 < 0, значит, | х – 1 | = – (х – 1), | х – 2 | = – (х- 2), тому | х – 1 | + | х – 2 | = – (х – 1) – (х – 2) = 3 – 2х.

Якщо 1 х < 2, то (х – 1) 0, (х – 2) < 0, значит | х – 1| = х – 1, | х – 2 | = – (х- 2), тому | х – 1| + | х – 2 | = (х – 1) – (х – 2) = 1.

Якщо х 2, то ( х- 1) > 0, отже | х – 1 | = х – 1, | х – 2 | = х- 2, тому | х – 1 | + | х – 2 | = х – 1 + х – 2 = 2х – 3.

а якщо х- 3 0, тобто х 3, то | х – 3 | = х – 3;

якщо х – 3 < 0, то есть х < 3, то | х – 3 | = (х – 3) = 3 – х.

Вчитель.Отже, повторюючи, ми згадали, що модуль – це відстань. Пояснимо це з допомогою малюнків: | а – 0 | = | а| - Відстань на координатній прямій точки а від початку координат.

Вчитель.Що таке | а – b| з погляду відстані? | a – b| – це відстань між точками аі bна координатній прямій.

Завдання 4. Розв'яжіть рівняння | х | = 5.

Вчитель.Що потрібно знайти?

Учні.Усі значення xтакі, що відповідні точки хна координатній прямій віддалені від початку координат на відстань 5.

Вчитель.Зобразіть це на координатній прямій. Скільки одержали точок?

Учні.Дві.

Вчитель.Назвіть їх.

Учні. 5 та – 5. (Відзначають їх на координатній прямій.)

Вчитель.Скільки коренів має це рівняння?

Учні.Два.

Вчитель.Назвіть їх.

Учні. 5 та – 5.

Вчитель.Запишемо розв'язання цього рівняння.

| x | = 5,
x 1 = 5,
x 2 = –5.

Відповідь: 5, –5.

Примітка. При розв'язанні рівнянь 1) - 10) зазвичай становлять систему, що містить рівняння, що вимагає розв'язання, і нерівність, що враховує визначення модуля. У 6-му класі учні ще не вивчають рішення числових нерівностей, тому ми змушені вирішувати не систему, а рівняння, спираючись на визначення модуля, і наприкінці робити перевірку, щоб видалити значення змінної рівняння, що не є корінням.

Завдання 5. Розв'яжіть рівняння | х – 3 | = 2.

Вчитель.Що потрібно знайти?

Учні.Відзначити відстань від точки 3 вліво та вправо на 2 одиниці.

Вчитель.Скільки крапок вийшло?

Учні.Дві.

Вчитель.Зобразіть це на координатній прямій.

Учні зображують схематично.

Вчитель.Знайдіть значення зазначених точок під час переміщення вправо та вліво. Які координати зазначених точок ми отримаємо?

Учні. 5 та 1.

Вчитель.Що це за числа?

Учні.Коріння цього рівняння.

Вчитель.Запишемо рішення даного рівняння.

| х – 3 | = 2.

Рішення.

х – 3 = 2, х = 2 + 3, х = 5;

х – 3 = – 2, х = –2 + 3, х = 1.

Відповідь: 5, 1.

Завдання 6.Розв'яжіть рівняння | 2 х – 5 | = 2 – х. (Рішення виконати самостійно.)

Рішення.

2х – 5 = 2 – х, 2х + х= 2 + 5, З х = 7, х = 2;

2х – 5 = – (2 – х), 2х – 5 = –2 – х,

2х – х = – 2 + 5, х = 3.

Перевірка:| 2 · 2 - 5 | = 2 - 2; | 2 · 2 - 5 | = - ; | 2 · 3 - 5 | = 2 - 3, | 2 · 3 - 5 | = - 1.

В обох випадках значення модуля виявляється меншим за нуль, що суперечить властивості модуля. Значить, х= 2 і х= 3 є корінням вихідного рівняння.

Відповідь:немає рішень.

ІІ. Самостійна робота

Вирішіть на вибір одне з наступних рівнянь.

1. | х – 2 | = 1.

2. | – | = х – 1.

3. | х – 2 | = 3 | 3 – х |.

Критерії оцінок:

оцінка "3" - рівняння 1;
оцінка "4" - рівняння 2;
оцінка "5" - рівняння 3.

Перед самостійною роботою вирішуємо рівняння

| З х- 5 | - | б - 2 х |.

Рішення.

З х – 5 = 5 – 2х, – (З х – 5) = – (5 – 2х),

З х + 2х = 5 + 5, х = 2;

З х – 5 = – (5 – 2х), – (З х – 5) = 5 – 2х,

З х – 2х = – 5 + 5, х = 0.

Відповідь: 0, 2.

Вчитель.Скільки коренів може мати рівняння?

Учні.Один, два чи не мати коріння.

Вчитель.Ви забули ще один випадок. Згадайте рішення рівняння 2 х – 5 | = 2 – х. Скільки коренів ми одержали?

Учні.Нуль.

Вчитель.Якою ми записали відповідь?

Учні.Рівняння немає рішення.

Вчитель.Рівняння | х- 1 | - 1 | = 2 ми вирішимо наступного уроці.

ІІІ. Завдання додому

Розв'яжіть рівняння: 1), 4) та 7).

IV. Рефлексія

За допомогою шкали дайте відповідь на запитання: хто може вирішити рівняння самостійно; кому потрібна допомога; хто зможе зовсім вирішити рівняння?

Можу вирішити рівняння самостійно (1-я група)
Потрібна допомога (2-а група)
Зовсім не можуть цього зробити (третя група)

V. Підсумок уроку

2-й групі надається допомога товаришами (консультантами); 3-й групі – учителем.

Наступний урок починається з вирішення рівняння | х – 1 | – 1 | = 2.

Рішення.

| х – 1 | – 1 = 2, | х – 1 | = 3;

х – 1 = 3, х = 4; х – 1 = – 3, х = – 2.

| х – 1 | – 1 = – 2, | х – 1 | = – 1;

тоді немає рішення, оскільки модуль (відстань) – невід'ємне число.

Перевірка:

| | 4 – 1 | - 1 = 2, | | 3 | - 1 | = 2, | 3 - 1 | = 2, | 2 | = 2, 2 = 2 - правильно;

| | - 2 - 1 | - 1 | = 2, | | -3 | - 1 | = 2, | 3 - 1 | = 2, | 2 | = 2, 2 = 2 - правильно.

Відповідь:– 2, 4.

Питання під час вирішення рівняння.

1. Чим це рівняння відрізняється від попередніх? (Подвійним модулем.)

2. Скільки спочатку складемо рівнянь? (Два.)

3. Які можуть бути рівняння? (| х - 1 | - 2 = 2, | х - 1 | = 3; | х - 1 | - 1 = -2, | х - 1 | = -1.)

4. Що можна сказати про рівняння | х – 1 | = -1? (Немає рішень, оскільки модуль (відстань) – невід'ємне число.)

МБОУ ЗОШ №17 м. Іванова

« Рівняння з модулем»
Методична розробка

Складено

вчителем математики

Лебедєвої Н.В.

20010

Пояснювальна записка

Розділ 1. Вступ

Розділ 2. Основні властивості Розділ 3. Геометрична інтерпретація поняття модуля числа Розділ 4. Графік функції у = | х | Розділ 5. Умовні позначення

Розділ 2. Розв'язання рівнянь, що містять модуль

Розділ 1.Рівняння виду | F (х) | = m (найпростіші) Розділ 2. Рівняння виду F(|х|) = m Розділ 3. Рівняння виду | F (x) | = G(х) Розділ 4. Рівняння виду | F (x) | = ± F(х) (найкрасивіші) Розділ 5. Рівняння виду | F (x) | = | G (x) | Розділ 6. Приклади розв'язання нестандартних рівнянь Розділ 7. Рівняння виду | F (х) | + | G (x) | = 0 Розділ 8. Рівняння виду | а 1 х ± 1 | ± |а 2 х ± 2 | ± …|а n х ± у n | = m Розділ 9. Рівняння, що містять декілька модулів

Глава 3. Приклади розв'язання різних рівнянь із модулем.

Розділ 1. Тригонометричні рівняння Розділ 2. Показові рівняння Розділ 3. Логарифмічні рівняння Розділ 4. Ірраціональні рівняння Розділ 5. Завдання підвищеної складності Відповіді до вправ Список літератури

Пояснювальна записка.

Поняття абсолютної величини (модуля) дійсного числа є одним із суттєвих його характеристик. Це поняття має стала вельми поширеною у різних розділах фізико-математичних і технічних наук. У практиці викладання курсу математики в середній школі відповідно до Програми МО РФ поняття «абсолютна величина числа» зустрічається неодноразово: у 6-му класі вводиться визначення модуля, його геометричний зміст; у 8-му класі формується поняття абсолютної похибки, розглядається вирішення найпростіших рівнянь і нерівностей, що містять модуль, вивчаються властивості арифметичного квадратного кореня; в 11-му класі поняття зустрічається в розділі «Корінь n-ой ступеня».Досвід викладання показує, що учні часто стикаються з труднощами під час вирішення завдань, що вимагають знання даного матеріалу, а нерідко пропускають, не приступаючи до виконання. У текстах екзаменаційних завдань за курс 9-ого та 11-ого класів також включені подібні завдання. Крім того, вимоги, які пред'являють до випускників шкіл ВНЗ, відрізняються, а саме, вищого рівня, ніж вимоги шкільної програми. Для життя в суспільстві дуже важливим є формування математичного стилю мислення, що проявляється в певних розумових навичках. У процесі вирішення завдань із модулями потрібно вміння застосовувати такі прийоми, як узагальнення та конкретизація, аналіз, класифікація та систематизація, аналогія. Вирішення подібних завдань дозволяє перевірити знання основних розділів шкільного курсу, рівень логічного мислення, початкові навички дослідницької діяльності. Ця робота присвячена одному з розділів - вирішення рівнянь, що містять модуль. Вона складається із трьох розділів. У першому розділі вводяться основні поняття та найважливіші теоретичні викладки. У другому розділі пропонуються дев'ять основних типів рівнянь, що містять модуль, розглядаються методи їх вирішення, розбираються приклади різного рівня складності. У третьому розділі пропонуються складніші і нестандартні рівняння (тригонометричні, показові, логарифмічні та ірраціональні). До кожного типу рівнянь є вправи для самостійного вирішення (відповіді та вказівки додаються). Основне призначення даної роботи - це надання методичної допомоги викладачам при підготовці до уроків та при організації факультативних курсів. Матеріал також може бути використаний як навчальний посібник для старшокласників. Завдання, запропоновані у роботі, цікаві не завжди прості у вирішенні, що дозволяє зробити навчальну мотивацію учнів більш усвідомленої, перевірити свої здібності, підвищити рівень підготовки випускників шкіл до вступу до ВНЗ. Диференційований підбір пропонованих вправ передбачає перехід від репродуктивного рівня засвоєння матеріалу до творчого, і навіть можливість навчити застосовувати свої знання під час вирішення нестандартних завдань.

Розділ 1. Вступ.

Розділ 1. Визначення абсолютної величини .

Визначення : Абсолютною величиною (модулем) дійсного числа аназивається невід'ємне число: аабо -А. Позначення: │ а │ Запис читається так: «модуль числа а» або «абсолютна величина числа а»

│ а якщо а > 0

│а│ = │ 0, якщо а = 0 (1)

│ - а, якщо а
Приклади: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
Розкрити модуль виразу:
а) │х - 8│, якщо х > 12 б) │2х + 3│, якщо х ≤ -2 │х – 8│= х – 8 │ 2х + 3│= - 2х – 3
Розділ 2. Основні характеристики.
Розглянемо основні властивості абсолютної величини. Властивість №1: Протилежні числа мають рівні модулі, тобто. │а│=│- а│Покажемо вірність рівності. Запишемо визначення числа – а : │- а│= (2) Порівняємо сукупності (1) та (2). Очевидно, що визначення абсолютних величин чисел аі – азбігаються. Отже, │а│=│- а│
При розгляді наступних властивостей обмежимося їх формулюванням, оскільки їх доказ наводиться в Властивість №2: Абсолютна величина суми кінцевого числа дійсних чисел не перевищує суми абсолютних величин доданків: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │+ … + │а n │ Властивість №3: Абсолютна величина різниці двох дійсних чисел не перевищує суми їх абсолютних величин: │а - в│ ≤│а│+│в│ Властивість №4: Абсолютна величина добутку кінцевого числа дійсних чисел дорівнює добутку абсолютних величин множників: │а · в│=│а│·│в│ Властивість №5: Абсолютна величина частки дійсних чисел дорівнює частці їх абсолютних величин:

Розділ 3. Геометрична інтерпретація поняття модуля числа.

Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку на числовій прямій, яка буде геометричним зображенням цього дійсного числа. Кожній точці на числовій прямий відповідає відстань від початку відліку, тобто. довжина відрізка від початку відліку до цієї точки. Ця відстань сприймається завжди як величина неотрицательная. Тому довжина відповідного відрізка і буде геометричною інтерпретацією абсолютної величини цього дійсного числа.

Подана геометрична ілюстрація наочно підтверджує якість №1, тобто. модулі протилежних чисел рівні. Звідси легко розуміється справедливість рівності: │х – а│= │а – х│. Також очевиднішим ставати рішення рівняння │х│= m, де m ≥ 0, а саме х 1,2 = ± m. Приклади: 1) │х│= 4 х 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1

х 1,2 = 2; 4

Розділ 4. Графік функції у = │х│

Область визначення цієї функції все дійсні числа.

Розділ 5. Умовні позначення.

Надалі при розгляді прикладів розв'язання рівнянь буде використано такі умовні позначення: ( - знак системи [ - знак сукупності При розв'язанні системи рівнянь (нерівностей) знаходиться перетин рішень входять до системи рівнянь (нерівностей). При розв'язанні сукупності рівнянь (нерівностей) перебуває об'єднання рішень рівнянь (нерівностей), що входять до сукупності.

Розділ 2. Розв'язання рівнянь, що містять модуль.

У цьому розділі ми розглянемо способи розв'язання алгебри рівнянь, що містять один або більше модуль.

Розділ 1. Рівняння виду │F(х)│= m

Рівняння цього виду називається найпростішим. Воно має рішення тоді і тільки тоді, коли m ≥ 0. За визначенням модуля, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: │ F(х)│=m

Приклади:
№1. Розв'яжіть рівняння: │7х - 2│= 9

Відповідь: х 1 = - 1; х 2 = 1 4 / 7 №2
│х 2 + 3х + 1│= 1

х 2 + 3х + 2 = 0 х 2 +3х = 0 х 1 = -1; х 2 = -2 х · (х + 3) = 0 х 1 = 0; х 2 = -3 Відповідь: сума коренів дорівнює - 2.№3
│х 4 -5х 2 + 2│= 2 х 4 – 5х 2 = 0 х 4 – 5х 2 + 4 = 0 х 2 · (х 2 – 5) = 0 позначимо х 2 = m, m ≥ 0 х = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – обидва значення задовольняють умові m ≥ 0 х 2 = 1 х 2 = 4 х = ± 1 х = ± 2 Відповідь: кількість коренів рівняння 7. Вправи:
№1. Розв'яжіть рівняння та вкажіть суму коренів: │х - 5│= 3 №2 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть менший корінь: │х 2 + х│= 0 №3 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть більший корінь: │х 2 – 5х + 4│= 4 №4 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть цілий корінь: │2х 2 – 7х + 6│= 1 №5 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть кількість коренів: │х 4 – 13х 2 + 50│= 14

Розділ 2. Рівняння виду F(│х│) = m

Аргумент функції у лівій частині перебуває під знаком модуля, а права частина залежить від змінної. Розглянемо два способи розв'язання рівнянь даного виду. 1 спосіб:За визначенням абсолютної величини вихідне рівняння рівносильне сукупності двох систем. У кожній з яких накладається умова підмодульний вираз. F(│х│) =m

Оскільки функція F(│х│) – парна по всій області визначення, то коріння рівнянь F(х) = m і F(-х) = m – це пари протилежних чисел. Тому достатньо вирішити одну із систем (при розгляді прикладів вказаним способом буде наводиться рішення однієї системи). 2 спосіб:Застосування методу запровадження нової змінної. При цьому вводиться позначення │х│= а де а ≥ 0. Даний спосіб менш об'ємний по оформленню.
Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння: 3х 2 – 4│х│= - 1 Скористаємося введенням нової змінної. Позначимо │х│= а де а ≥ 0. Отримаємо рівняння 3а 2 - 4а + 1 = 0 Д = 16 – 12 = 4 а 1 = 1 а 2 = 1 / 3 Повертаємося до вихідної змінної: │х│=1 і │х│= 1/3 . Кожне рівняння має два корені. Відповідь: х 1 = 1; х 2 = - 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = - 1 / 3 . №2. Розв'яжіть рівняння: 5х 2 + 3│х│- 1 = 1 / 2 │х│ + 3х 2

Знайдемо рішення першої системи сукупності: 4х 2 + 5х – 2 =0 Д = 57 х 1 = -5+√57 / 8 х 2 = -5-√57 / 8 Зауважимо, що х 2 не задовольняє умову х ≥ 0. Рішенням другий системи буде число, протилежне значенню х 1 . Відповідь: х 1 = -5+√57 / 8 ; х 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Розв'яжіть рівняння: х 4 – │х│= 0 Позначимо │х│= а, де а ≥ 0. Отримаємо рівняння а 4 – а = 0 а · (а 3 – 1) = 0 а 1 = 0 а 2 = 1 Повертаємось до вихідної змінної: │х│=0 та │х│= 1 х = 0; ± 1 Відповідь: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = - 1.
Вправи: №6. Розв'яжіть рівняння: 2│х│ - 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів: 3х 2 - 7│х│ + 2 = 0 №8 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілі рішення: х 4 + │х│ - 2 = 0

Розділ 3. Рівняння виду │F(х)│ = G(х)

Права частина рівняння цього виду залежить від змінної і, отже, має рішення тоді і тільки тоді, коли права частина функція G(х) ≥ 0. Вихідне рівняння можна вирішити двома способами: 1 спосіб:Стандартний, заснований на розкритті модуля, виходячи з його визначення і полягає в рівносильному переході до сукупності двох систем. │ F(х)│ =G(х)

Даний спосіб раціонально використовувати у разі складного вираження для функції G(x) і менш складного – для функції F(х), оскільки передбачається вирішення нерівностей з функцією F(х). 2 спосіб:Складається у переході до рівносильної системи, у якій накладається умова праву частину. │ F(x)│= G(x)

Даний спосіб зручніше застосовувати, якщо вираз для функції G(х) менш складний, ніж для функції F(х), оскільки передбачається вирішення нерівності G(х) ≥ 0. Крім того, у випадку кількох модулів цей спосіб рекомендується застосовувати другий варіант. Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння: │х + 2│= 6 -2х

(1 спосіб) Відповідь: х = 1 1 / 3 №2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(х + 1)

(2 спосіб) Відповідь: Твір коріння – 3.
№3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів:
│х - 6│= х 2 - 5х + 9

Відповідь: сума коренів дорівнює 4.
Вправи: №9. │х + 4│= - 3х №10. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число розв'язків: │х 2 + х - 1│= 2х – 1 №11 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння: │х + 3│= х 2 + х – 6

Розділ 4. Рівняння виду │F(x)│= F(x) та │F(x)│= - F(x)

Рівняння цього виду іноді називають «красивими». Оскільки права частина рівнянь залежить від змінної, рішення існують і тоді, коли права частина неотрицательна. Тому вихідні рівняння рівносильні нерівностям:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 та │F(x)│= - F(x) F(x) Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший цілий корінь: │5х - 3│= 5х - 3 5х - 3 ≥ 0 5х ≥ 3 х ≥ 0,6 Відповідь: х = 1№2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть довжину проміжку: │х 2 - 9│= 9 – х 2 х 2 – 9 ≤ 0 (х – 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Відповідь: довжина проміжку дорівнює 6.№3 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число цілих рішень: │2 + х – х 2 │= 2 + х – х 2 2 + х – х 2 ≥ 0 х 2 – х – 2 ≤ 0 [-1; 2] Відповідь: 4 цілих рішення.№4 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть найбільший корінь:
│4 – х -

│= 4 – х –

х 2 - 5х + 5 = 0 Д = 5 х 1,2 =

≈ 1,4

Відповідь: х = 3.

Вправи: №12. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле коріння: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8 №13. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число цілих рішень: │13х – х 2 - 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0 №14. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле число, що не є коренем рівняння:

Розділ 5. Рівняння виду │F(x)│= │G(x)│

Так як обидві частини рівняння невід'ємні, рішення передбачає розгляд двох випадків: підмодульні вирази рівні або протилежні за знаком. Отже, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: │ F(x)│= │ G(x)│

Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь: │х + 3│=│2х - 1│

Відповідь: ціле коріння х = 4.№2. Розв'яжіть рівняння: │ х – х 2 - 1│=│2х – 3 – х 2 │

Відповідь: х = 2.№3 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння:

Корні рівняння 4х 2 + 2х - 1 = 0 х 1,2 = - 1±√5 / 4 Відповідь: добуток коренів дорівнює – 0,25. Вправи: №15 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле рішення: │х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х - 1│ №16. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь:│5х - 3│=│7 - х│ №17 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів:

Розділ 6. Приклади розв'язання нестандартних рівнянь

У розділі ми розглянемо приклади нестандартних рівнянь, під час вирішення яких абсолютна величина висловлювання розкривається за визначенням. Приклади:

№1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: х · │х│- 5х – 6 = 0
Відповідь: сума коренів дорівнює 1 №2. . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь: х 2 - 4х ·
- 5 = 0
Відповідь: менший корінь х = – 5. №3. Розв'яжіть рівняння:

Відповідь: х = -1. Вправи: №18. Розв'яжіть рівняння та вкажіть суму коренів: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19. Розв'яжіть рівняння: х 2 – 3х =

№20. Розв'яжіть рівняння:

Розділ 7. Рівняння виду │F(x)│+│G(x)│=0

Неважко помітити, що у лівій частині рівняння цього виду сума неотрицательных величин. Отже, вихідне рівняння має рішення тоді і тільки тоді, коли обидва доданки одночасно дорівнюють нулю. Рівняння рівносильне системі рівнянь: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння:

Відповідь: х = 2. №2. Розв'яжіть рівняння: Відповідь: х = 1. Вправи: №21. Розв'яжіть рівняння: №22 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: №23 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість рішень:

Розділ 8. Рівняння виду │а 1 х + у 1 │±│а 2 х + у 2 │± … │а n х +в n │= m

Для вирішення рівнянь цього виду застосовується метод інтервалів. Якщо його вирішувати послідовним розкриттям модулів, то отримаємо nсукупностей систем, що дуже громіздко та незручно. Розглянемо алгоритм методу інтервалів: 1). Знайти значення змінної х, При яких кожен модуль дорівнює нулю (нулі підмодульних виразів):

2). Знайдені значення відзначити на числовій прямій, яка розбивається на інтервали (кількість інтервалів відповідно дорівнює n+1 ) 3). Визначити, з яким знаком розкривається кожен модуль кожному з отриманих інтервалів (при оформленні рішення можна використовувати числову пряму, відзначивши у ньому знаки) 4). Вихідне рівняння рівносильне сукупності n+1 систем, у кожному у тому числі вказується приналежність змінної ходному із інтервалів. Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть найбільший корінь:

1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 2; х = -3 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль отриманих інтервалах:
х – 2 х – 2 х – 2 - - + - 3 2 х 2х + 6 2х + 6 2х + 6 - + + 3)

- немає рішень Рівняння має два корені. Відповідь: найбільший корінь x = 2. №2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь:

1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 1,5; х = - 1 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 х 2х - 3 2х - 3 2х - 3 - - +
3).

Остання система не має рішень, отже, рівняння має два корені. Під час розв'язання рівняння слід звернути увагу на знак «-» перед другим модулем. Відповідь: ціле коріння х = 7. №3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: 1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 5; х = 1; х = - 2 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах: х – 5 х – 5 х – 5 х – 5 - - - +
-2 1 5 х х – 1 х – 1 х – 1 х – 1 - - + + х + 2 х + 2 х + 2 х + 2 - + + +
3).

Рівняння має два корені х = 0 та 2. Відповідь: сума коренів дорівнює 2. №4 . Розв'яжіть рівняння: 1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 1; х = 2; х = 3. 2). Визначимо, з яким знаком відкривається кожен модуль отриманих інтервалах. 3).

Об'єднаємо рішення перших трьох систем. Відповідь: ; х = 5.
Вправи: №24. Розв'яжіть рівняння:

№25. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: №26. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь: №27. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть більший корінь:

Розділ 9. Рівняння, що містять декілька модулів

Рівняння, що містять кілька модулів, передбачають наявність абсолютних величин у підмодульних виразах. Основний принцип розв'язання рівнянь даного виду – це послідовне розкриття модулів, починаючи із зовнішнього. У результаті рішення використовуються прийоми, розглянуті розділах №1, №3.

Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 1; - 11. №2. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 0; 4; - 4. №3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння:
Відповідь: добуток коренів дорівнює - 8. №4. Розв'яжіть рівняння:
Позначимо рівняння сукупності (1) і (2) та розглянемо рішення кожного з них окремо для зручності оформлення. Так як обидва рівняння містять більше одного модуля, зручніше здійснити рівносильний перехід до сукупностей систем. (1)

(2)

Відповідь:
Вправи: №36. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: 5 │3х-5│ = 25 х №37. Розв'яжіть рівняння, якщо коріння більше одного, у відповіді вкажіть суму коренів: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38. Розв'яжіть рівняння: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів на : 2 │ sin х│ = √2 №40 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів:

Розділ 3. Логарифмічні рівняння.

Перед розв'язанням наступних рівнянь необхідно повторити властивості логарифмів та логарифмічної функції. Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння: log 2 (х+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 О.Д.З. х+1≠0 х≠ - 1

1 випадок: якщо х ≥ - 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – задовольняє умові х ≥ - 1 2 випадок: якщо х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – задовольняє умові х - 1
Відповідь: добуток коренів дорівнює - 15.
№2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: lg
О.Д.З.

Відповідь: сума коренів дорівнює 0,5.
№3. Розв'яжіть рівняння: log 5
О.Д.З.

Відповідь: х = 9. №4. Розв'яжіть рівняння: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Скористаємося формулою переходу до іншої основи. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 25; х = Ці числа ділять область допустимих значень на три інтервали, тому рівняння рівносильне сукупності трьох систем.
Відповідь: )