Вимушені коливання, рівняння вимушених вагань. Амплітуда встановлених вимушених коливань

Вимушеними коливаннями називають такі коливання, які виникають у системі при дії на неї зовнішньої сили, що змушує періодично змінюється, званої змушує.

Характер (залежність від часу) примушує сили може бути різним. Це може сила, яка змінюється за гармонійним законом. Наприклад, звукова хвиля, джерелом якої є камертон, потрапляє на барабанну перетинку або мембрану мікрофона. На перетинку починає діяти сила тиску повітря, що гармонійно змінюється.

Вимушальна сила може мати характер поштовхів чи коротких імпульсів. Наприклад, дорослий розгойдує дитину на гойдалках, періодично штовхаючи їх у той момент, коли гойдалка приходить в одне із крайніх положень.

Наше завдання – з'ясувати, як реагує коливальна система на вплив примусової сили, що періодично змінюється.

§ 1 Вимушальна сила змінюється за гармонійним законом

Другий закон Ньютона запишеться у вигляді:

Ця рівність повинна виконуватися в будь-який момент часу t, що можливо тільки якщо коефіцієнти при синусі і косинусі дорівнюють нулю.

Отже, тіло, на яке діє сила, що змушує, що змінюється за гармонійним законом, здійснює коливальний рух з частотою змушує сили.

Розберемо докладніше питання про амплітуду вимушених вагань:

1 Амплітуда встановлених вимушених коливань не змінюється з часом. (Порівняйте з амплітудою вільних загасаючих коливань).

2 Амплітуда вимушених коливань прямо пропорційна амплітуді сили, що змушує.

3 Амплітуда залежить від тертя у системі (А залежить від d, а коефіцієнт загасання d, своєю чергою, залежить від коефіцієнта опору r). Чим більше тертя у системі, тим амплітуда вимушених коливань менше.

4 Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує w. Як? Досліджуємо функцію А(w).

· При w ® ¥, то, як неважко бачити, амплітуда А прагне нуля.

· Очевидно, що при якійсь частоті амплітуда змушує сили амплітуда вимушених коливань прийме найбільше значення (для даного d). Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при певному значенні частоти сили, що змушує, носить назву механічного резонансу.

Цікаво, що добротність коливальної системи у разі показує у скільки разів резонансна амплітуда перевищує зміщення тіла від положення рівноваги під впливом постійної сили F 0 .

Ми, що і резонансна частота, і резонансна амплітуда залежить від коефіцієнта згасання d. Зі зменшенням d до нуля резонансна частота зростає і прагне частоті власних коливань системи w 0 . При цьому резонансна амплітуда зростає і при d = 0 перетворюється на нескінченність. Зрозуміло, практично амплітуда коливань нескінченної не може, оскільки у реальних коливальних системах завжди діють сили опору. Якщо система має мале згасання, то приблизно вважатимуться, що резонанс настає при частоті своїх коливань.:

де в даному випадку - це зрушення по фазі між силою, що змушує, і зміщенням тіла від положення рівноваги.

Неважко бачити, що зсув по фазі між силою і зміщенням залежить від тертя в системі та частоти зовнішньої сили, що змушує . Ця залежність показано малюнку. Видно, що при< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- Позитивні.

Знаючи залежність від кута, можна отримати залежність від частоти сили, що змушує.

При частотах зовнішньої сили, значно менших за свою, зміщення відстає по фазі від примушує сили незначно. У разі збільшення частоти зовнішньої сили це запізнення по фазі зростає. При резонансі (якщо невелико) зсув фазою стає рівним . При >> коливання зміщення та сили відбуваються у протифазі. Така залежність може здатися на перший погляд дивною. Щоб зрозуміти цей факт, звернемося до енергетичних перетворень у процесі вимушених коливань.

§ 2 Енергетичні перетворення

Як ми вже знаємо, амплітуда коливань визначається повною енергією коливальної системи. Раніше було показано, що амплітуда вимушених коливань залишається незмінною з часом. Це означає, що повна механічна енергія коливальної системи з часом змінюється. Чому? Адже система не замкнута! Дві сили - зовнішня зміна, що періодично змінюється, і сила опору - здійснюють роботу, яка повинна змінювати повну енергію системи.

Спробуємо розібратися, у чому річ. Потужність зовнішньої сили, що змушує, може бути знайдена наступним чином:

Бачимо, що потужність зовнішньої сили, що підживлює коливальну систему енергією, пропорційна амплітуді коливань.

Рахунок роботи сили опору енергія коливальної системи має зменшуватися, переходячи у внутрішню. Потужність сили опору:

Очевидно, що потужність сили опору пропорційна квадрату амплітуди. Зобразимо обидві залежності на графіку.

Щоб коливання були встановленими (амплітуда не змінювалася з часом), робота зовнішньої сили у період має компенсувати втрати енергії системою з допомогою роботи сили опору. Точка перетину графіків потужностей якраз відповідає цьому режиму. Уявімо, що через якісь причини амплітуда вимушених коливань зменшилася. Це призведе до того, що миттєва потужність зовнішньої сили виявиться більшою за потужність втрат. Це спричинить зростання енергії коливальної системи, і амплітуда коливань відновить колишнє значення.

Аналогічним чином можна переконатися, що при випадковому збільшенні амплітуди коливань потужність втрат перевищить потужність зовнішньої сили, що призведе до зменшення енергії системи і, отже, зменшення амплітуди.

Повернемося до питання про зсув фази між зміщенням і силою при резонансі. Ми вже показали, що зсув відстає, а, отже, сила випереджає зміщення на . З іншого боку, проекція швидкості у процесі гармонійних коливань завжди випереджає координату на . Це означає, що при резонансі зовнішня сила і швидкість коливаються в одній фазі. А значить, вони спрямовані в будь-який момент часу! Робота зовнішньої сили у разі завжди позитивна, вона вся йде поповнення коливальної системи енергією.

§ 3 Несинусоїдальний періодичний вплив

Вимушені коливання осцилятора можливі за будь-якого періодичного зовнішнього впливу, а не тільки синусоїдального. При цьому встановлені коливання, взагалі кажучи, не будуть синусоїдальними, але вони будуть періодичним рухом з періодом, рівним періоду зовнішнього впливу.

Зовнішній вплив може являти собою, наприклад, послідовні поштовхи (згадайте, як доросла людина «розгойдує» дитину, яка сидить на гойдалці). Якщо період зовнішніх поштовхів збігається з періодом власних коливань, то системі може наступати резонанс. Коливання при цьому будуть майже синусоїдальними. Повідомляється системі при кожному поштовху енергія йде поповнення повної енергії системи, що втрачається за рахунок тертя. Зрозуміло, що при цьому можливі варіанти: якщо енергія, що повідомляється при поштовху, дорівнює або перевищує втрати на тертя за період, то коливання будуть або встановилися, або їх розмах зростатиме. Це добре видно на фазовій діаграмі.

Очевидно, що резонанс можливий і в тому випадку, коли період слідування поштовхів буде крадений періоду власних коливань. Таке неможливе за синусоїдального характеру зовнішнього впливу.

З іншого боку, навіть при збігу частоти поштовхів зі своєю частотою резонанс може спостерігатися. Якщо тільки втрати на тертя за період перевищують енергію, отриману системою під час поштовху, то повна енергія системи зменшуватиметься, а коливання загасатимуть.

§ 4 Параметричний резонанс

Зовнішній вплив на коливальну систему може зводитися до періодичного зміни параметрів самої коливальної системи. Порушення таким чином коливання називаються параметричними, а сам механізм – параметричним резонансом .

Насамперед, спробуємо відповісти на запитання: чи можна розгойдати малі коливання, що вже є в системі, періодично змінюючи певним чином який-небудь її параметр.

Як приклад розглянемо розгойдування людини на гойдалці. Згинаючи та випрямляючи ноги у «потрібні» моменти, він фактично змінює довжину маятника. У крайніх положеннях людина присідає, цим трохи опускає центр тяжкості коливальної системи, у середньому становищі людина випрямляється, піднімаючи центр тяжкості системи.

Щоб зрозуміти, чому при цьому людина розгойдується, розглянемо гранично спрощену модель людини на гойдалках – звичайний невеликий маятник, тобто невеликий вантаж на легкій та довгій нитці. Щоб імітувати піднімання і опускання центру ваги, пропустимо верхній кінець нитки через маленький отвір і витягуватимемо нитку в ті моменти, коли маятник проходить положення рівноваги, і настільки ж опускати нитку, коли маятник проходить крайнє положення.

Робота сили натягу нитки за період (з урахуванням того, що підйом вантажу та його опускання проводиться двічі за період і що D l << l):

Цікаво, що відносна зміна енергії за період не залежить від того, слабко розгойдується маятник чи сильно. Це дуже важливо, і ось чому. Якщо маятник «не підкачувати» енергією, то за кожен період він втрачатиме за рахунок сили тертя певну частину своєї енергії, і коливання загасатимуть. А щоб розмах коливань збільшувався, необхідно, щоб енергія, що купується, перевищувала втрачену на подолання тертя. І ця умова, виявляється, те саме – як при маленькій амплітуді, так і при великій.

Наприклад, якщо за один період енергія вільних коливань зменшується на 6%, то для того, щоб коливання маятника завдовжки 1 м не згасали, достатньо в середньому становищі зменшувати його довжину на 1 см, а в крайньому – на стільки ж збільшувати.

Повертаючись до гойдалок: якщо ви почали розгойдуватися, то немає необхідності присідати все глибше і глибше – присідайте весь час однаково, і злітатимете все вище і вище!

*** Знову добротність!

Як ми вже сказали, для параметричного розгойдування коливань необхідне виконання умови DE > А тертя за період.

Знайдемо роботу сили тертя за період

Видно, що відносна величина підйому маятника для його розгойдування визначається добротністю системи.

§ 5 Значення резонансу

Вимушені коливання та резонанс широко використовуються у техніці, особливо в акустиці, електротехніці, радіотехніці. Резонанс насамперед використовується тоді, коли з великого набору коливань різної частоти хочуть виділити коливання певної частоти. Резонанс використовується і при вивченні дуже слабких величин, що періодично повторюються.

Однак, у ряді випадків резонанс – небажане явище, оскільки може призвести до великих деформацій та руйнувань конструкцій.

§ 6 Приклади розв'язання задач

Задача 1 Вимушені коливання пружинного маятника під дією зовнішньої сили синусоїдальної.

До пружини жорсткістю k = 10 Н/м підвісили вантаж масою m = 10 г і помістили систему у в'язке середовище з коефіцієнтом опору r = 0,1 кг/с. Порівняйте власну та резонансну частоту системи. Визначте амплітуду коливань маятника під час резонансу під дією синусоїдальної сили з амплітудою F 0 = 20 мН.

Рішення:

1 Власна частота коливальної системи – це частота вільних коливань без тертя. Власна циклічна частота дорівнює , частота коливань .

2 Резонансна частота – це частота зовнішньої сили, що примушує, при якій амплітуда вимушених коливань різко зростає. Резонансна циклічна частота дорівнює , де - Коефіцієнт загасання, рівний .

Таким чином, резонансна частота дорівнює . Неважко бачити, що резонансна частота менша за власну! Також видно, що чим менше тертя в системі (r), тим ближче резонансна частота до власної.

3 Резонансна амплітуда дорівнює

.

Задача 2 Резонансна амплітуда та добротність коливальної системи

До пружини жорсткістю k = 10 Н/м підвісили вантаж масою m = 100 г і помістили систему у в'язке середовище з коефіцієнтом опору

r = 0,02 кг/с. Визначте добротність коливальної системи та амплітуду коливань маятника при резонансі під дією синусоїдальної сили з амплітудою F 0 = 10 мН. Знайдіть відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення під дією постійної сили F 0 = 20 мН і порівняйте це з добротністю.

Рішення:

1 Добротність коливальної системи дорівнює , де - Логорифмічний декремент згасання.

Логарифмічний декремент згасання дорівнює .

Знаходимо добротність коливальної системи.

2 Резонансна амплітуда дорівнює

.

3 Статичне зміщення під дією постійної сили F 0 = 10 мН одно .

4 Відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення під дією постійної сили F0 дорівнює

Неважко бачити, що це відношення збігається з добротністю коливальної системи

Завдання 3 Резонансні коливання балки

Під дією ваги електромотора консольна бака, де він встановлений, прогнулась на . При якому числі обертів якоря двигуна може виникнути небезпека резонансу?

Рішення:

1 Корпус двигуна і балка, на якій він встановлений, відчувають періодичні поштовхи з боку якоря, що обертається, мотора і, отже, роблять вимушені коливання з частотою слідування поштовхів.

Резонанс спостерігатиметься при збігу частоти слідування поштовхів із власною частотою коливання балки з мотором . Потрібно визначити свою частоту коливань системи балка - двигун.

2 Аналогом коливальної системи балка - мотор може бути вертикальний пружинний маятник, маса якого дорівнює масі двигуна. Власна частота коливань пружинного маятника дорівнює. Але жорсткість пружини та маса мотора не відомі! Як бути?

3 У положенні рівноваги пружинного маятника сила ваги вантажу врівноважується силою пружності пружини.

4 Знаходимо обертання якоря двигуна, тобто. частоту слідування поштовхів

Задача 4 Вимушені коливання пружинного маятника під впливом періодичних поштовхів.

Гиря масою m = 0,5 кг підвішена до спіральної пружини жорсткістю k = 20 Н/м. Логарифмічний декремент загасання коливальної системи дорівнює. Гирю хочуть розкачати короткими поштовхами, діючи на гирю силою F = 100 мН протягом τ = 0,01 с. Якою повинна бути частота ударів, щоб амплітуда гирі була найбільшою? У які моменти та в якому напрямку слід штовхати гирю? До якої амплітуди вдасться розкачати гирю в такий спосіб?

Рішення:

1 Вимушені коливання можуть відбуватися за будь-якого періодичного впливу. При цьому коливання буде відбуватися з частотою слідування зовнішнього впливу. Якщо період зовнішніх поштовхів збігається з частотою власних коливань, то системі настає резонанс – амплітуда коливань стає найбільшою. У нашому випадку для настання резонансу період слідування поштовхів повинен збігтися з періодом коливань пружинного маятника.

Логарифмічний декремент загасання малий, отже, мало тертя в системі, і період коливань маятника у в'язкому середовищі практично збігається з періодом коливань маятника у вакуумі:

2 Очевидно, напрямок поштовхів повинен співпадати зі швидкістю гирі. В цьому випадку робота зовнішньої сили, яка поповнює систему енергією, буде позитивною. І коливання розгойдуватимуться. Енергія, що отримується системою в процесі удару

буде найбільшою при проходженні вантажем положення рівноваги, тому що в цьому положенні швидкість маятника максимальна.

Отже, найбільш швидко система розхитається при дії поштовхів у напрямку руху вантажу при проходженні положення рівноваги.

3 Амплітуда коливань припиняє зростати, коли енергія, що повідомляється системі в процесі удару, дорівнюватиме втрат енергії на тертя за період: .

Енергію втрат за період знайдемо через добротність коливальної системи

де Е - повна енергія коливальної системи, яка може бути розрахована як .

Підставляємо замість енергії втрат енергію, яку отримує система в процесі удару:

.

Максимальна швидкість у процесі коливань дорівнює . З урахуванням цього отримуємо.

§7 Завдання для самостійного вирішення

Тест «Вимушені коливання»

1 Які коливання називаються вимушеними?

А) Коливання, що відбуваються під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються;

Б) Коливання, що виникають у системі після зовнішнього поштовху;

2 Які з перерахованих коливань є вимушеним?

А) Коливання вантажу, підвішеного до пружини, після одноразового відхилення від положення рівноваги;

Б) Коливання дифузора гучномовця під час роботи приймача;

В) Коливання вантажу, підвішеного до пружини після одноразового удару по вантажу в положенні рівноваги;

Г) Вібрація корпусу електричного двигуна у його роботи;

Д) Коливання барабанної перетинки людини, яка слухає музику.

3 На коливальну систему з власною частотою діє зовнішня сила, що змінює, що змінюється за законом . Коефіцієнт згасання в коливальній системі дорівнює. За яким законом змінюється координата тіла з часом?

В) Амплітуда вимушених коливань залишатиметься незмінною, оскільки втрати енергії системою на тертя будуть заповнюватися прибутком енергії за рахунок роботи зовнішньої сили, що змушує.

5 Система здійснює вимушені коливання під дією синусоїдальної сили. Вкажіть Усефактори, від яких залежить амплітуда цих коливань.

А) Від амплітуди зовнішньої сили, що змушує;

Б) Наявності у коливальної системи енергії на момент початку дії зовнішньої сили;

В) Параметрів самої коливальної системи;

Г) Тертя в коливальній системі;

д) існування в системі власних коливань в момент початку дії зовнішньої сили;

Е) Часу встановлення коливань;

Ж) Частоти зовнішньої сили, що змушує.

6 Брусок масою m здійснює вимушені гармонічні коливання горизонтальною площиною з періодом T і амплітудою A. Коефіцієнт тертя μ. Яку роботу виконує зовнішня сила, що змушує за час, рівний періоду T?

А) 4μmgA; Б) 2μmgA; В) μmgA; Г) 0;

Д) Відповідь дати неможливо, оскільки відома величина зовнішньої змушує сили.

7 Складіть правильне затвердження

Резонансом називається явище…

А) Збіг частоти зовнішньої сили з власною частотою коливальної системи;

Б) Різке зростання амплітуди вимушених коливань.

Резонанс спостерігається за умови

А) Зменшення тертя у коливальній системі;

Б) Збільшенні амплітуди зовнішньої сили, що змушує;

В) Збіг частоти зовнішньої сили з власною частотою коливальної системи;

Г) При збігу частоти зовнішньої сили із резонансною частотою.

8 Явище резонансу може спостерігатися в...

А) У будь-якій коливальній системі;

Б) У системі, що здійснює вільні коливання;

В) В авто коливальній системі;

Г) У системі, що здійснює вимушені коливання.

9 На малюнку представлений графік залежності амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує. Резонанс настає на частоті…

10 Три однакових маятника, що знаходяться в різних в'язких середовищах, вимушені коливання. На малюнку показані резонансні криві цих маятників. Який з маятників зазнає найбільшого опору з боку в'язкого середовища у процесі коливань?

А) 1; Б) 2; У 3;

Г) Відповідь дати неможливо, оскільки амплітуда вимушених коливань крім частоти зовнішньої сили залежить ще й її амплітуди. Про амплітуду зовнішньої сили, що змушує, в умові нічого не йдеться.

11 Період своїх коливань коливальної системи дорівнює Т 0 . Яким може бути період проходження поштовхів, щоб амплітуда коливань різко збільшилася, тобто в системі виник резонанс?

А) Т 0; Б) Т 0, 2 Т 0, 3 Т 0, ...;

В) Розкачати гойдалку можна поштовхами будь-якої частоти.

12 Ваш молодший брат сидить на гойдалці, ви розгойдуєте його короткочасними поштовхами. Яким має бути період проходження поштовхів, щоб процес відбувався найбільш ефективно? Період власних коливань гойдалок Т0.

А) Б) в)

Г) Розкачати гойдалку можна поштовхами будь-якої частоти.

13 Ваш молодший брат сидить на гойдалці, ви розгойдуєте його короткочасними поштовхами. В якому положенні гойдалок слід робити поштовх і в якому напрямку штовхати, щоб процес відбувався найефективніше?

А) штовхати в крайньому верхньому положенні гойдалок у напрямку положення рівноваги;

Б) штовхати в крайньому верхньому положенні гойдалок у напрямку від положення рівноваги;

В) Пхати у положенні рівноваги у напрямку руху гойдалок;

Г) Токати можна у будь-якому положенні, але обов'язково у напрямку руху гойдалок.

14 Здавалося б, стріляючи з рогатки в міст у такт його власним коливанням і зробивши дуже багато пострілів, його можна сильно розгойдати, проте це навряд чи вдасться. Чому?

А) Маса моста (його інертність) велика в порівнянні з масою «кулі» з рогатки, міст не зможе почати рух під дією таких ударів;

Б) Сила удару «кулі» з рогатки настільки мала, що міст не зможе почати рух під дією таких ударів;

В) Енергія, що повідомляє мосту за один удар набагато менше втрат енергії на тертя за період.

15 Ви несете цебро з водою. Вода у відрі розгойдується і вихлюпується. Що можна зробити, щоби цього не відбувалося?

А) Розмахувати рукою, в якій знаходиться відро, у такт із ходьбою;

Б) Змінити швидкість руху, залишивши незмінною довжину кроків;

В) Періодично зупинятися та чекати, коли коливання води заспокояться;

Г) Слідкувати за тим, щоб у процесі руху рука з відром розташовувалась строго вертикально.

Завдання

1 Система здійснює загасання коливання з частотою 1000 Гц. Визначте частоту v 0власних коливань, якщо резонансна частота

2 Визначте, яку величину D vрезонансна частота відрізняється від власної частоти v 0= 1000 Гц коливальної системи, що характеризується коефіцієнтом згасання d = 400с -1.

3 Вантаж маси 100 г, підвішений на пружині жорсткості 10 Н/м, здійснює вимушені коливання у в'язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,02 кг/с. Визначте коефіцієнт загасання, резонансну частоту та амплітуду. Амплітудне значення сили, що змушує 10 мН.

4 Амплітуди вимушених гармонійних коливань при частотах w 1 = 400 -1 і w 2 = 600 с -1 рівні між собою. Визначте резонансну частоту.

5 Вантажівки в'їжджають ґрунтовою дорогою на зерновий склад з одного боку, розвантажуються і виїжджають зі складу з тією ж швидкістю, але з іншого боку. З якого боку складу вибоїни на дорозі йдуть частіше, ніж з іншого? Як станом дороги визначити, з якого боку складу в'їзд, а який виїзд? Відповідь обґрунтувати

1. Амплітуда вимушених коливань, що встановилися, досягає свого найбільшого значення за умови, що частота змушує сили дорівнює власній частоті коливальної системи. Назвіть явище. 2. Як називається таке явище: поширення коливань у просторі від точки до точки, від частки до частки. 3. Найбільше за модулем відхилення тіла, що коливається, від положення рівноваги називається … 4. Процеси, що повторюються через однакові проміжки часу, щодо середнього положення. Як називаються ці процеси РЕЗОНАНС ХВИЛЬКА

Цілі: освітня: сформувати поняття звуку з погляду фізики; вивчити механізм передачі та сприйняття звуку живими організмами; розвиваюча: продовжувати розширювати кругозір учнів з урахуванням інтеграції знань учнів; розвивати логічне та абстрактне мислення; виховна: виховувати позитивну мотивацію до навчання; культуру розумової праці; пропагування здорового способу життя.

Що нового ми дізналися на сьогоднішньому уроці? Ми вивчили поняття звуку, розглянули властивості звуку. Що таке звук? Звук-це хвиля, що поширюється в пружному середовищі з певними, чутними людиною частотами. Які ці частоти? Для різноманітних тварин різні. Наприклад, для людини від 20 до Гц. Що є переносником звуку? Будь-яке пружне середовище. Але найчастіше розглядається повітря. Яка швидкість звуку у повітрі? Де та як використовується звук? Звук знайшов дуже широке поширення у живій природі та техніці. Багато інформації до людини надходить завдяки звуку. А для деяких тварин звук є основним джерелом інформації про довкілля. Велике значення має звук також у мистецтві, музиці.

1(А) Коливальний рух точки описується рівнянням х = 30соs(10πt + π/3) (см). Знайдіть початкову фазу та координату точки в момент часу (t = 0).

1) 15 см; π/3 3) 30 см; 10π

2) 26 см; π/3 4) 30 см; π/3

2(А) Гармонійне коливання точки описується рівнянням х = 3соs(12πt + π/2) (м). Визначте частоту коливань та циклічну частоту.

1) 0,17 Гц; 12π рад/с 3) 6 Гц; 6π рад/с

2) 6 Гц; 12π рад/с 4) 12 Гц; 12π рад/с

3(А) На малюнку показано графік коливань однієї з точок струни. Згідно з графіком, період цих коливань дорівнює… x,см

3) 3×10 -3 с t∙10 - 3 ,с

4(А) На малюнку і зображено залежність амплітуди коливань маятника, що встановилися, від частоти змушуючої сили (резонансна крива). Відношення амплітуди коливань маятника, що встановилися, на резонансній частоті до амплітуди коливань на

частоті 0,5 Гц дорівнює

5(А) Амплітуда вимушених коливань зі збільшенням частоти зміни вимушальної сили від резонансної до нескінченності

1) безперервно зростає із збільшенням частоти;

2) безперервно зменшується зі збільшенням частоти;

3) спочатку зростає, досягає максимуму, потім зменшується;

4) спочатку зменшується, досягає мінімуму, потім зростає.

6(А) Як зміниться період коливань пружинного маятника, якщо жорсткість пружини збільшити у 4 рази?

1) збільшиться у 4 рази 2) зменшиться у 4 рази

3) збільшиться у 2 рази 4) зменшиться у 2 рази

7(А) Період коливань крил джмеля становить 5 мс. Скільки помахів крилами зробить джміль при польоті за 1 хв?

1) 12 2) 200 3) 12000 4) 200000

8(А) За яку частину періоду математичний маятник проходить шлях від положення рівноваги до найвищої точки траєкторії?

1) 1/8 2) 1/6 3) 1/4 4) 1/2

9(А) Вантаж, підвішений на легкій пружині жорсткістю 400 Н/м, робить вільні гармонійні коливання. Пружину якої жорсткості треба взяти, щоб період коливань цього вантажу став у 2 рази більшим?

1) 100 Н/м 3) 800 Н/м

2) 200 Н/м; 4) 1600 Н/м.

10(А) Швидкість поширення поздовжньої хвилі в першому середовищі вдвічі більша, ніж її швидкість у другому середовищі. Що станеться з частотою та довжиною хвилі при її переході з першого середовища до другого?

1) довжина хвилі та частота зменшаться в 2 рази

2) довжина хвилі зменшиться у 2 рази, а частота не зміниться

3) довжина хвилі збільшиться у 2 рази, а частота не зміниться

4) довжина хвилі не зміниться, а частота зменшиться у 2 рази.

11(А) Відстань до перешкоди, що відбиває звук, дорівнює 68 м. Через який час людина почує відлуння? Швидкість звуку повітря 340 м/с.

1) 0,2 з 2) 0,4 з 3) 2,5 з 4) 5 с

12(В) Вантаж масою 0,2 кг коливається на пружині жорсткістю 500 Н/м з амплітудою 4 см. Знайдіть кінетичну енергію тіла у точці з координатою х = 2 см.

13(В) У разі збільшення довжини маятника на 10 см його період збільшився на 0,1 с. Знайти початковий період коливань.

14(В) У поперечній хвилі, що біжить, швидкість частки А

спрямована нагору. У

якому напрямку

рухається хвиля?

15(В) Що станеться з характеристиками коливального руху пружинного маятника, якщо його масу збільшити вдвічі, а жорсткість залишити колишньою? До кожної позиції першого стовпця підберіть відповідну позицію другого та запишіть у таблицю.

А) повна енергія 1) збільшиться

б) період коливань 2) зменшиться

В) частота коливань 3) не зміниться

16(С) Математичний маятник з довжиною нитки 80 см знаходиться в літаку, що рухається горизонтально. Період коливань маятника дорівнює 16 с. Яким є прискорення літака?

Втрати механічної енергії в будь-якій коливальній системі через наявність сил тертя неминучі, тому без «підкачування» енергії ззовні коливання будуть загасаючими. Існує кілька принципово різних способів створення коливальних систем незагасних коливань. Зупинимося докладніше на розгляді незатухаючих коливань під впливом зовнішньої періодичної сили. Такі коливання називаються вимушеними. Продовжимо вивчення руху гармонійного маятника (рис. 6.9).

Крім розглянутих раніше сил пружності та в'язкого тертя, на кульку діє зовнішня змушуєперіодична сила, що змінюється за гармонічним законом

частота, якою може відрізнятись від власної частоти коливань маятника ω o. Природа цієї сили у разі нам істотна. Створити таку силу можна різними способами, наприклад, повідомити кульку електричний заряд і помістити її у зовнішнє змінне електричне поле. Рівняння руху кульки в даному випадку має вигляд

Розділимо його на масу кульки і використовуємо колишні позначення параметрів системи. В результаті отримаємо рівняння вимушених коливань:

де f o = F o /m− відношення амплітудного значення зовнішньої сили, що змушує, до маси кульки. Загальне рішення рівняння (3) досить громіздко і, звичайно, залежить від початкових умов. Характер руху кульки, що описується рівнянням (3), зрозумілий: під дією сили, що змушує виникнути коливання, амплітуда яких зростатиме. Цей перехідний режим є досить складним і залежить від початкових умов. Після деякого проміжку часу коливальний режим встановиться, їхня амплітуда перестане змінюватися. Саме режим коливань, що встановився, у багатьох випадках становить основний інтерес. Ми не розглядатимемо перехід системи до встановленого режиму, а сконцентруємо увагу на описі та вивченні характеристик цього режиму. При такій постановці завдання немає необхідності задавати початкові умови, оскільки цікавий для нас встановлений режим не залежить від початкових умов, його характеристики повністю визначаються самим рівнянням. З аналогічною ситуацією ми стикалися щодо руху тіла під дією постійної зовнішньої сили та сили в'язкого тертя

Через деякий час тіло рухається з постійною швидкістю, що встановилася. v = F o /β , яка залежить від початкових умов, і повністю визначається рівнянням руху. Початкові умови визначають режим, перехідний до руху. На підставі здорового глузду розумно припустити, що в режимі коливань кулька буде коливатися з частотою зовнішньої змушуючої сили. Тому рішення рівняння (3) слід шукати в гармонійній функції з частотою сили, що змушує. Для початку вирішимо рівняння (3), нехтуючи силою опору

Спробуємо знайти його рішення у вигляді гармонійної функції

Для цього обчислимо залежності швидкості та прискорення тіла від часу, як похідні від закону руху

і підставимо їх значення рівняння (4)

Тепер можна скоротити на cosωt. Отже, цей вираз звертається у вірну тотожність у будь-який момент часу, при виконанні умови

Таким чином, наше припущення про рішення рівняння (4) у вигляді (5) виправдалося: режим коливань, що встановився, описується функцією

Зазначимо, що коефіцієнт Aзгідно з отриманим виразом (6) може бути, як позитивним (при ω < ω o), і негативним (при ω > ω o). Зміна знака відповідає зміні фази коливань на π (причина такої зміни буде з'ясована трохи пізніше), тому амплітудою коливань є модуль цього коефіцієнта |A|. Амплітуда усталених коливань, як і слід було очікувати, пропорційна величині сили, що змушує. Крім того, ця амплітуда складним чином залежить від частоти сили, що змушує. Схематичний графік цієї залежності показано на рис. 6.10

Мал. 6.10 Резонансна крива

Як випливає з формули (6) і добре видно на графіку, при наближенні частоти примушує сили до власної частоти системи амплітуда різко зростає. Причина такого зростання амплітуди зрозуміла: сила, що змушує, «під час» підштовхує кульку, при повному збігу частот встановленої режим відсутня − амплітуда зростає до нескінченності. Звичайно, на практиці такого нескінченного зростання спостерігати неможливо: по перше, це може призвести до руйнування самої коливальної системи, по-другеПри великих амплітудах коливань не можна нехтувати силами опору середовища. Різке зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти сили, що змушує, до власної частоти коливань системи називається явищем резонансу. Приступимо тепер до пошуку рішення рівняння вимушених коливань з урахуванням сили опору

Природно, що і в цьому випадку рішення слід шукати у вигляді гармонійної функції з частотою сили, що змушує. Легко помітити, що пошук рішення у формі (5) у разі не призведе до успіху. Справді, рівняння (8), на відміну рівняння (4), містить швидкість частки, яка описується функцією синуса. Тому тимчасова частина в рівнянні (8) не скоротиться. Отже, рішення рівняння (8) слід подати у загальній формі гармонійної функції

у якій два параметри A oі φ необхідно знайти за допомогою рівняння (8). Параметр A oє амплітудою вимушених коливань, φ − зсув фаз між змінюваною координатою і змінною силою, що змушує. Використовуючи тригонометричну формулу для косинуса суми, функцію (9) можна подати в еквівалентній формі

яка також містить два параметри B = A o cosφі C = −A o sinφ, що підлягають визначенню. Використовуючи функцію (10), запишемо явні вирази для залежностей швидкості та прискорення частки від часу

і підставимо в рівняння (8):

Перепишемо цей вираз у вигляді

Для того щоб рівність (13) виконувалася в будь-який момент часу, необхідно, щоб коефіцієнти при косинусі і синусі дорівнювали нулю. На підставі цієї умови отримуємо два лінійні рівняння для визначення параметрів функції (10):

Вирішення цієї системи рівнянь має вигляд

На підставі формули (10) визначаємо характеристики вимушених коливань: амплітуду

зрушення фаз

При малому згасанні ця залежність має різкий максимум при наближенні частоти сили, що змушує. ω до власної частоти системи ω o. Таким чином, і в цьому випадку можливе виникнення резонансу, тому побудовані залежності часто називають резонансною кривою. Облік слабкого згасання показує, що амплітуда не зростає до нескінченності, її максимальне значення залежить від коефіцієнта згасання – зі зростанням останнього максимальна амплітуда швидко зменшується. Отримана залежність амплітуди коливань від частоти сил (16) містить занадто багато незалежних параметрів ( f o , ω o , γ ) для того, щоб побудувати повну родину резонансних кривих. Як і у багатьох випадках, цю залежність можна суттєво спростити, перейшовши до «безрозмірних» змінних. Перетворимо формулу (16) на наступний вид

і позначимо

− відносна частота (відношення частоти примушує сили до власної частоти коливань системи);

− відносна амплітуда (ставлення амплітуди коливань до величини відхилення A o = f/ω o 2 при нульовій частоті);

− безрозмірний параметр, що визначає величину згасання. Використовуючи ці позначення, функція (16) значно спрощується

оскільки містить лише один параметр − δ . Однопараметричне сімейство резонансних кривих, що описуються функцією (16 б) може бути побудовано, особливо легко за допомогою комп'ютера. Результат такої побудови показано на рис. 629.

Мал. 6.11

Зазначимо, що перехід до «звичайних» одиниць виміру може бути здійснений елементарною зміною масштабу осей координат. Слід зазначити, що частота сили, що примушує, при якій амплітуда - вимушених коливань максимальна, також залежить від коефіцієнта згасання, злегка убуваючи зі зростанням останнього. Нарешті, наголосимо, що збільшення коефіцієнта згасання призводить до істотного збільшення ширини резонансної кривої. Виникає зрушення фаз між коливаннями точки і силою, що змушує також залежить від частоти коливань і коефіцієнта їх згасання. Докладніше з участю цього зсуву фаз ми познайомимося під час розгляду перетворення енергії у процесі вимушених коливань.

частота вільних незагасаючих коливань збігається з власною частотою, частота загасаючих коливань трохи менше власної, а частота вимушених коливань збігається з частотою сили, що змушує, а не власною частотою.

Вимушені електромагнітні коливання

Вимушениминазиваються такі коливання, які у коливальній системі під впливом зовнішнього періодичного впливу.

Рис.6.12. Контур із вимушеними електричними коливаннями

Розглянемо процеси, що протікають в електричному коливальному контурі ( рис.6.12), приєднаному до зовнішнього джерела, ЕРС якого змінюється за гармонічним законом

,

де  m- Амплітуда зовнішньої ЕРС,

 – циклічна частота ЕРС.

Позначимо через U Cнапруга на конденсаторі, а через i - силу струму в контурі. У цьому контурі крім змінної ЕРС  (t) діє ще ЕРС самоіндукції  Lу котушці індуктивності.

ЕРС самоіндукції прямо пропорційна швидкості зміни сили струму в контурі

.

Для виведення диференціального рівняння вимушених коливаньщо виникають у такому контурі використовуємо друге правило Кірхгофа

.

Напруга на активному опорі Rзнайдемо за законом Ома

.

Cила електричного струму дорівнює заряду протікає за одиницю часу через поперечний переріз провідника

.

Отже

.

Напруга U Cна конденсаторі прямо пропорційно заряду на обкладинках конденсатора

.

ЕРС самоіндукції можна уявити через другу похідну від заряду за часом

.

Підставляючи напруги та ЕРС у друге правило Кірхгофа

.

Розділивши обидві частини цього виразу на Lі розподіливши доданки за рівнем зменшення порядку похідної, отримаємо диференціальне рівняння другого порядку

.

Введемо такі позначення та отримаємо

-Коефіцієнт згасання,

-циклічна частота своїх коливань контуру.

. (1)

Рівняння (1) є неодноріднимлінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Такого типу рівняння описують поведінку широкого класу коливальних систем (електричних, механічних) під впливом зовнішнього періодичного впливу (зовнішньої ЕРС чи зовнішньої сили).

Загальне рішення рівняння (1) складається із загального рішення q 1 однорідногодиференціального рівняння (2)

(2)

та будь-якого приватного рішення q 2 неоднорідногорівняння (1)

.

Вид загального рішення однорідногорівняння (2) залежить від величини коефіцієнта згасання  . Нас цікавитиме випадок слабкого згасання  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

де Bі  0 - постійні, що задаються початковими умовами.

Рішення (3) визначає загасаючі коливання в контурі. Вхідні (3) величини:

-циклічна частота загасаючих коливань;

-амплітуда загасаючих коливань;

-Фаза загасаючих коливань.

Приватне рішення рівняння (1) шукаємо у вигляді гармонійного коливання, що відбувається з частотою, що дорівнює частоті  зовнішнього періодичного впливу – ЕРС, і відстаючого по фазі на  від нього

де
- Амплітуда вимушених коливань, яка залежить від частоти.

Підставимо (4) в (1) і отримаємо тотожність

Щоб порівняти фази коливань, використовуємо тригонометричні формули приведення

.

Тоді наше рівняння перепишеться у вигляді

Уявімо коливання в лівій частині отриманого тотожності у вигляді векторної діаграми (Мал.6.13)..

Третій доданок, що відповідає коливанням на ємності З, що має фазу (  t –  ) та амплітуду
, зобразимо горизонтальним вектором, спрямованим праворуч.

Рис.6.13. Векторна діаграма

Перший доданок лівої частини, що відповідає коливанням на індуктивності L, зобразиться на векторній діаграмі вектором, спрямованим горизонтально вліво (його амплітуда
).

Другий доданок, який відповідає коливанням на опорі R, зобразимо вектором, спрямованим вертикально вгору (його амплітуда
), т. К. Його фаза на /2 відстає від фази першого доданку.

Оскільки сума трьох коливань ліворуч від знака дає гармонійне коливання
то векторна сума на діаграмі (діагональ прямокутника) зображує коливання з амплітудою та фазою  t, яка на  випереджає фазу коливань третього доданку.

З прямокутного трикутника з теореми Піфагора можна знайти амплітуду A( )

(5)

і tg як відношення протилежного катета до катета.

. (6)

Отже, рішення (4) з урахуванням (5) та (6) набуде вигляду

. (7)

Загальне вирішення диференціального рівняння(1) є сумою q 1 та q 2

. (8)

Формула (8) показує, що з впливі на контур періодичної зовнішньої ЕРС у ньому виникають коливання двох частот, тобто. незатухаючі коливання із частотою зовнішньої ЕРС  та загасаючі коливання з частотою
. Амплітуда загасаючих коливань
згодом стає дуже малою, і в контурі залишаються тільки вимушені коливання, амплітуда яких не залежить від часу. Отже, вимушені коливання, що встановилися, описуються функцією (4). Тобто в контурі виникають вимушені гармонічні коливання, з частотою, що дорівнює частоті зовнішнього впливу, та амплітудою
, що залежить від цієї частоти ( Мал. 3а) згідно із законом (5). При цьому по фазі вимушене коливання відстає на  від вимушального впливу.

Продиференціювавши вираз (4) за часом, знайдемо силу струму в контурі

де
- Амплітуда сили струму.

Запишемо цей вираз для сили струму у вигляді

, (9)

де
–зсув по фазі між струмом та зовнішньою ЕРС.

Відповідно до (6) та Мал. 2

. (10)

З цієї формули випливає, що зсув по фазі між струмом та зовнішньою ЕРС залежить, при постійному опорі R, від співвідношення між частотою ЕРС, що змушує  та власною частотою контуру  0 .

Якщо  <  0 то зсув по фазі між струмом і зовнішньою ЕРС  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Якщо  >  0 , тоді  > 0. Коливання сили струму відстають від коливань ЕРС фазою на кут  .

Якщо  =  0 (резонансна частота), то  = 0, тобто сила струму та ЕРС коливаються в однаковій фазі.

Резонанс- Це явище різкого зростання амплітуди коливань при збігу частоти зовнішньої, що змушує сили зі своєю частотою коливальної системи.

При резонансі  =  0 та період коливань

.

Враховуючи, що коефіцієнт згасання

,

отримаємо висловлювання для добротності при резонансі Т = Т 0

,

з іншого боку

.

Амплітуди напруги на індуктивності та ємності при резонансі можна виразити через добротність контуру.

, (15)

. (16)

З (15) і (16) видно, що за  =  0 , амплітуда напруги на конденсаторі та індуктивності в Qразів більше за амплітуду зовнішньої ЕРС. Ця властивість послідовного RLCконтур використовується для виділення радіосигналу певної частоти
із спектру радіочастот при перебудові радіоприймача.

На практиці RLCконтури пов'язані з іншими контурами, вимірювальними приладами або підсилювальними пристроями, що вносять додаткове згасання RLCконтур. Тому реальна величина добротності навантаженого RLCконтуру виявляється нижче величини добротності, що оцінюється за формулою

.

Реальна величина добротності може бути оцінена як

Рис.6.14. Визначення добротності щодо резонансної кривої

,

де  f- Ширина смуги частот, в яких амплітуда становить 0,7 від максимального значення ( Мал. 4).

Напруги на конденсаторі U C, на активному опорі U Rта на котушці індуктивності U Lдосягають максимуму при різних частотах, відповідно

,
,
.

Якщо згасання мало  0 >>  , то всі ці частоти практично збігаються і можна вважати що

.

До цього часу ми розглядали власні коливання, т. е. коливання, які у відсутність зовнішніх впливів. Зовнішній вплив був потрібний лише для того, щоб вивести систему зі стану рівноваги, після чого вона надавалася самій собі. Диференціальне рівняння власних коливань взагалі містить слідів зовнішнього на систему: цей вплив відбивається лише у початкових умовах.

Встановлення коливань.Але дуже часто доводиться стикатися з коливаннями, які відбуваються при постійному зовнішньому впливі. Особливо важливий і водночас досить простий вивчення випадок, коли зовнішня сила має періодичний характер. Загальною рисою вимушених коливань, що відбуваються під дією періодичної зовнішньої сили, є те, що через деякий час після початку дії зовнішньої сили система повністю «забуває» свій початковий стан, коливання набувають стаціонарного характеру і не залежать від початкових умов. Початкові умови виявляються лише у період встановлення коливань, який зазвичай називають перехідним процесом.

Синусоїдальна дія.Розглянемо спочатку найпростіший випадок вимушених коливань осцилятора під дією зовнішньої сили, що змінюється за синусоїдальним законом:

Мал. 178. Порушення вимушених коливань маятника

Такий зовнішній вплив на систему можна здійснити у різний спосіб. Наприклад, можна взяти маятник у вигляді кульки на довгому стрижні і довгу пружину з малою жорсткістю і прикріпити її до стрижня маятника неподалік точки підвісу, як показано на рис. 178. Інший кінець горизонтально розташованої пружини слід змусити рухатися згідно із законом? за допомогою кривошипно-шатунного механізму, що рухається електромотором. Чинна

на маятник з боку пружини змушує сила буде практично синусоїдальна, якщо розмах руху лівого кінця пружини буде багато більше амплітуди коливань стрижня маятника в точці закріплення пружини С.

Рівняння руху.Рівняння руху для цієї та інших подібних систем, в яких поряд з силою опору, що повертає, і силою опору на осцилятор діє змушує зовнішня сила, синусоїдально змінюється з часом, можна записати у вигляді

Тут ліва частина відповідно до другого закону Ньютона є твором маси на прискорення. Перший член у правій частині є повертає силу, пропорційну зміщення з положення рівноваги. Для підвішеного на пружині вантажу це пружна сила, а в інших випадках, коли її фізична природа інша, цю силу називають квазіпружною. Друге доданок є сила тертя, пропорційна швидкості, наприклад, сила опору повітря або сила тертя в осі. Амплітуду і частоту з розкачує систему змушуючої сили вважатимемо незмінними.

Розділимо обидві частини рівняння (2) на масу та введемо позначення

Тепер рівняння (2) набуває вигляду

У відсутність вимушальної сили права частина рівняння (4) звертається в нуль і воно, як і слід очікувати, зводиться до рівняння власних загасаючих коливань.

Досвід показує, що у всіх системах під дією синусоїдальної зовнішньої сили врешті-решт встановлюються коливання, які також відбуваються за синусоїдальним законом з частотою примушує сили з і з постійною амплітудою а, але з деяким зрушенням по фазі щодо вимушує сили. Такі коливання називаються вимушеними коливаннями, що встановилися.

Усталені коливання.Розглянемо спочатку саме які вимушені коливання, причому для простоти знехтуємо тертям. В цьому випадку в рівнянні (4) не буде члена, що містить швидкість:

Спробуємо шукати рішення відповідне вимушеним коливанням, що встановилися, у вигляді

Обчислимо другу похідну і підставимо її разом з рівняння (5):

Щоб ця рівність була справедливою у будь-який момент часу, коефіцієнти при ліворуч і праворуч мають бути однакові. З цієї умови знаходимо амплітуду коливань а:

Досліджуємо залежність амплітуди а від частоти сили, що змушує. Графік цієї залежності показано на рис. 179. При формула (8) дає підстави сюди значення бачимо, що постійна в часі сила просто зміщує осцилятор в нове положення рівноваги, зсунуте від старого на З (6) слід, що при зміщення

як, очевидно, і має бути.

Мал. 179. Графік залежності

Фазові співвідношення.У міру зростання частоти змушує сили від 0 до коливання, що встановилися, відбуваються у фазі з вимушальною силою а їх амплітуда постійно збільшується, спочатку повільно, а в міру наближення з до - все швидше і швидше: при амплітуда коливань необмежено зростає

При значеннях зі, що перевищують частоту своїх коливань формула (8) дає а негативне значення (рис. 179). З формули (6) ясно, що при коливання відбуваються в протифазі з силою, що змушує: коли сила діє в одну сторону, осцилятор зміщений в протилежну. При необмеженому збільшенні частоти амплітуда коливань, що змушує сили, прагне до нуля.

Амплітуду коливань у всіх випадках зручно вважати позитивною, чого легко досягти, вводячи зсув фаз між примушуючою

силою та усуненням:

Тут як і раніше дається формулою (8), а зсув фази дорівнює нулю при і дорівнює при Графіки залежно від частоти змушує сили показані на рис. 180.

Мал. 180. Амплітуда та фаза вимушених коливань

Резонанс. Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує, має немонотонний характер. Різке збільшення амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти сили, що змушує, до власної частоти осцилятора називається резонансом.

Формула (8) дає вираз для амплітуди вимушених коливань зневажання тертям. Саме з цією зневагою пов'язане звернення амплітуди коливань у нескінченність при точному збігу частот Реально амплітуда коливань у нескінченність, звичайно ж, звертатися не може.

Це означає, що з описі вимушених коливань поблизу резонансу облік тертя необхідний. При врахуванні тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі виходить кінцевою. Вона буде тим меншою, чим більше тертя у системі. Вдалині від резонансу формулою (8) можна користуватися для знаходження амплітуди коливань і за наявності тертя, якщо воно не надто сильне, тобто більше, ця формула, отримана без урахування тертя, має фізичний сенс тільки тоді, коли тертя все ж . Справа в тому, що саме поняття вимушених коливань, що встановилися, застосовно тільки до систем, в яких є тертя.

Якби тертя зовсім не було, то процес встановлення коливань тривав би нескінченно довго. Реально це означає, що отриманий без урахування тертя вираз (8) для амплітуди вимушених коливань буде правильно описувати коливання в системі тільки через досить великий проміжок часу після початку дії сили, що змушує. Слова «досить великий проміжок часу» означають тут, що закінчився перехідний процес, тривалість якого збігається з характерним часом згасання власних коливань у системі.

При малому терті встановилися вимушені коливання відбуваються у фазі з силою при і в протифазі при як і відсутність тертя. Однак поблизу резонансу фаза змінюється не стрибком, а безперервно, причому при точному збігу частот зсув відстає по фазі від сили, що змушує (на чверть періоду). Швидкість змінюється при цьому у фазі з силою, що забезпечує найбільш сприятливі умови для передачі енергії від джерела зовнішньої змушуючої сили до осцилятора.

Який фізичний сенс має кожен із членів у рівнянні (4), що описує вимушені коливання осцилятора?

Що таке вимушені коливання, що встановилися?

За яких умов можна використовувати формулу (8) для амплітуди вимушених коливань, що встановилися, отриману без урахування тертя?

Що таке резонанс? Наведіть відомі вам приклади прояву та використання явища резонансу.

Опишіть зсув по фазі між силою, що змушує, і зміщенням при різних співвідношеннях між частотою з вимушує сили і власною частотою осцилятора.

Чим визначається тривалість процесу встановлення вимушених коливань? Дайте обґрунтування відповіді.

Векторні діаграми.Переконатися у справедливості наведених вище тверджень можна, якщо отримати рішення рівняння (4), що описує вимушені коливання, що встановилися, за наявності тертя. Оскільки коливання, що встановилися, відбуваються з частотою змушує сили з і деяким зрушенням по фазі то рішення рівняння (4), відповідне таким коливанням, слід шукати у вигляді

При цьому швидкість і прискорення, очевидно, також змінюватимуться згодом за гармонійним законом:

Амплітуду а вимушених коливань, що встановилися, і зсув фази зручно визначати за допомогою векторних діаграм. Скористаємося тією обставиною, що миттєве значення будь-якої величини, що змінюється за гармонічним законом, можна представити як проекцію вектора на деякий заздалегідь обраний напрямок, причому сам вектор рівномірно обертається в площині з частотою со, а його незмінна довжина дорівнює

амплітудного значення цієї осцилюючої величини. Відповідно до цього зіставимо кожному члену рівняння (4) вектор, що обертається з кутовою швидкістю, довжина якого дорівнює амплітудному значенню цього члена.

Оскільки проекція суми кількох векторів дорівнює сумі проекцій цих векторів, то рівняння (4) означає, що сума векторів, зіставлюваних членам, що стоять у лівій частині, дорівнює вектору, що зіставляється величині правої частини. Щоб побудувати ці вектори, випишемо миттєві значення всіх членів лівої частини рівняння (4), враховуючи співвідношення

З формул (13) видно, що вектор довжини зіставляється величині випереджає на кут вектор зіставляється величині Вектор довжини зіставляється члену х, випереджає на вектор довжини тобто ці вектори направлені в протилежні сторони.

Взаємне розташування цих векторів довільного моменту часу показано на рис. 181. Вся система векторів обертається як ціле з кутовою швидкістю проти годинникової стрілки навколо точки О.

Мал. 181. Векторна діаграма вимушених коливань

Мал. 182. Вектор зіставляється зовнішній силі

Миттєві значення всіх величин виходять проектуванням відповідних векторів на заздалегідь обраний напрямок Вектор, який можна порівняти з правою частиною рівняння (4), дорівнює сумі векторів, зображених на рис. 181. Це додавання показано на рис. 182. Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо

звідки знаходимо амплітуду вимушених коливань, що встановилися:

Зсув фази між силою, що змушує, і зсувом як видно з векторної діаграми на рис. 182, від'ємний, так як вектор довжини відстає від вектора

Отже, вимушені коливання, що встановилися, відбуваються за гармонійним законом (10), де а і визначаються формулами (14) і (15).

Мал. 183. Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує.

Резонансні криві.Досліджуємо залежність амплітуди коливань від частоти вимушальної сили. При малому згасанні ця залежність має дуже різкий характер. Якщо то при прагненні до частоти вільних коливань амплітуда вимушених коливань а прагне нескінченності, що збігається з отриманим раніше результатом (8). За наявності згасання амплітуда коливань у резонансі не звертається в нескінченність, хоча значно перевищує амплітуду коливань під впливом зовнішньої сили тієї ж величини, але має частоту, далеку від резонансної. Резонансні криві при різних значеннях постійної згасання наведені на рис. 183. Для знаходження частоти резонансу сорез, необхідно визначити, у якому з підкорене вираз у формулі (14) має мінімум. Прирівнюючи похідну цього виразу по нулю (або доповнюючи його до повного квадрата), переконуємося, що максимум амплітуди вимушених коливань має місце при