Завдання на пряму та зворотну пропорційність. Складні задачі на пропорцію

Типи завдань

Типи завдань.

Вивчення завдань на тему «Натуральні числа»

На китобійне судно підняли 6 дорослих китів у середньому по 150 т кожен і відпилили їм голови. Яку відстань зайняли б усі 6 китових туш без голів, якщо довжина дорослого кита становить 18 м, а довжина голови – 1/3 всього кита?

Щоб утворився 1 кг молока, через вим'я корови має протікати 500 кг крові. Для отримання від корови за добу 20 кг молока скільки тонн крові протікає через її вим'я? Скільки разів на добу пройде кров через вим'я корови, якщо у корови 40 кг крові?

Один кубометр неочищених стічних вод у середньому забруднює 12,5 мЗ чистих. Обчислити скільки кубометрів неочищених стічних вод достатньо для того, щоб забруднити водний басейн, що знаходиться у вашому шкільному саду.

Додавання та віднімання натуральних чисел

Завдання націлені на повторення зв'язку відносин «на... більше» і «на... менше» з операціями складання та віднімання.

Учень токаря обточив 120 деталей за зміну, а токар на 36 деталей більше. Скільки деталей обточили разом?

У колекції є 128 марок. З них 93 російські, а решта іноземних. Наскільки у колекції російських марок більше, ніж іноземних,

Задумали число, збільшили його на 45 і одержали 66. Знайдіть задумане число.

Для вирішення цього завдання можна використовувати схематичний малюнок 4, що допомагає наочно уявити взаємозв'язок операцій складання та віднімання. Особливо ефективною допомога малюнка виявиться за більшої кількості дій з невідомою величиною.

Рис.4 Розв'язання задачі графічним способом.

Задумали число, збільшили на 120, результат зменшили на 49. отримали 200. знайти задумане число.

У трьох класах 44 дівчинки – це на 8 менше, ніж хлопчиків. Скільки хлопчиків у трьох класах?

Покупець із 50 руб. на сплату за куплений товар віддав 30 руб. та отримав 2 руб. здавання. Скільки грошей у нього лишилося?

Множення та розподіл натуральних чисел

Завдання призначені для повторення зв'язку відносин «більше в...» та «менше в...» з операціями множення та поділу. У деяких із них рішення утруднене додаванням кроків, пов'язаних із відносинами «більше на...» та «менше на...».

Число 48 збільште на 3, отриманий результат збільшіть у 3 рази. (Старовинне завдання.)

З заводу відправили 9 підвід із посудом, на кожній по 2 ящики, і в кожній ящику по 45 дюжин тарілок. Скільки тарілок відправлено із заводу?

Велосипедист кожного з 10 днів проїжджав 36 км. Скільки кілометрів на день йому треба проїжджати, щоб повернутись назад за 9 днів?

Завдання на частини

Для варення на 2 частини малини беруть 3 частини цукру. Скільки кілограмів цукру слід взяти на 2 кг 600 г ягід?

На першій полиці стояло вчетверо більше книг, ніж на другій. Це на 12 книжок більше, ніж на другій полиці. Скільки книг стояло на кожній полиці,

Сума двох чисел 230. Якщо перше їх зменшити на 20, то числа стануть рівними.

Завдання на рух по річці

Для успішного засвоєння цього матеріалу слід засвоїти, що швидкості за течією та проти течії - суть сума та різницю власної швидкості та швидкості течії.

На шлях із пункту А до пункту В теплохід витратив 1 год 40 хв, а на зворотний шлях – 2 год. У якому напрямку тече річка?

Багаття, що має власну швидкість 15 км/год, пливло 2 год за течією річки і 3 год проти течії річки. Яку відстань він проплив за весь час, якщо швидкість течії річки 2 км/год?

Моторний човен проплив 48 км за течією за 3 год і проти течії - за 4 год. Знайдіть швидкість течії.

Різні види завдань на рух

Традиційно важкими учнів є завдання рух. Для підведення їх до поняття швидкості видалення в задачі слід знайти відстань між учасниками руху в 3 дії, записати числове вираз (наприклад, 3-4 + 3-5), винести загальний множник за дужки, запитати себе: що показує сума 4 + 5 ?

Після цього потрібно показати рішення задачі на дві дії з використанням швидкості видалення. Аналогічно вводиться поняття швидкості зближення.

Два пішоходи одночасно вийшли у протилежних напрямках з одного пункту. Швидкість першого 4 км/год, швидкість другого 5 км/год. Яка відстань між ними через 3 год? На скільки кілометрів за годину пішоходи віддаляються одна від одної? (Цю величину називають швидкістю видалення).

З двох сіл, відстань між якими 36 км, вийшли одночасно назустріч один одному два пішоходи. Їх швидкості 4 км/год та 5 км/год. на скільки кілометрів за годину пішоходи зближуються один з одним? (Цю величину називають швидкістю зближення).

Завдання на тему «Раціональні числа»

Завдання на дроби є найдавнішими з письмових джерел, що дійшли до нас; їх вирішення було дуже складною проблемою до того часу, доки винайшли позначення для звичайних дробів, не розробили правила дій із нею. У Стародавньому Єгипті, наприклад, існували ієрогліфи тільки для

позначення дробів із чисельником 1. єдиним винятком

2 був дріб з 9 для якого було відповідне позначення.

На закінчення відзначимо, що при вирішенні основних завдань на дроби використання десяткових дробів не вносить нічого нового, оскільки десяткові дроби є іншим записом деяких звичайних дробів.

Завдання на дроби:

Завдання 1. Було 600 рублів, 4 суми витратили. Скільки грошей витратили? Рішення:

Щоб знайти 4 від 600 рублів, треба цю суму розділити на 4:

600: 4 = 150 (руб.)

2 Завдання 2. Було 1000 рублів, 5 цієї суми витратили. Скільки

грошей витратили?

Рішення:

Спочатку знайдемо одну п'яту від 1000 руб., а потім дві п'яті:

1) 1000: 5 = 200 (руб.),

2) 200 2 = 400 (крб.)

Ці дві дії можна поєднати:

1000: 5-2 = 400 (руб.) 2

Щоб знайти 5 числа 1000, можна розділити 1000 на знаменник

дробу та результат помножити на її чисельник.

Завдання 2 можна вирішити за правилом:

Якщо частина цілого виражена дробом, то, щоб знайти цю частину,

можна поділити на знаменник дробу і результат помножити

на її чисельник.

Завдання 3. Витратили 50 рублів це становило 6 початкової суми грошей. Знайдіть початкову суму. Рішення:

50 грн. У 6 разів менше початкової суми, яка у 6 разів більша, ніж 50 грн. Щоб знайти цю суму, треба 50 грн. помножити на 6:

50 6 = 300 (р.).

2 Завдання 4. Витратили 600 рублів, це становило 3

первісної суми грошей. Знайдіть початкову суму.

Рішення:

умові його дві третини дорівнюють 600. Спочатку знайдемо одну третину

початкової суми, а потім і три треті:

600: 2 - 300 (р.),

300 3 = 900 (р.).

Ці дві дії можна поєднати: 600: 2 3 = 900 (р.).

Щоб знайти число, 3 якого дорівнює 600, можна розділити 600 на чисельник дробу і результат помножити на його знаменник. Завдання 4 можна вирішити за правилом:

Якщо частина цілого, що шукається, виражена дробом, то щоб знайти це ціле, можна цю частину розділити на чисельник дробу і результат помножити на її знаменник.

Завдання на додавання та віднімання звичайних дробів

Більше уваги приділимо завданням, при вирішенні яких вся величина приймається за одиницю, причому спочатку її краще

представляти як 2 у з і т.п. величини.

2 3_

Завдання 1. Перший тракторист зорав? поля, другий -? поля.

Разом вони зорали 10 га. Визначте площу поля.

Завдання 2. На гілці сиділи горобці. Коли третина полетіла,

6. Скільки горобців було на гілці спочатку?

Для вирішення цього завдання доцільно запропонувати учням

наступне креслення:

Завдання 3. До обіду токар виконав 8 завдання, після обіду - 8 завдання, після чого йому залишилося виточити 24 деталі. Скільки деталей він мав виточити?

Завдання на множення та поділ звичайних дробів

Завдання 1. Щодня турист проходить з наміченого маршруту.

Яку частину маршруту він пройде за 2 дні; за 2 дні; за 4 дні?

2 Завдання 2. Знайдіть 5 числа 60.

3_ 4

Завдання 3. Що більше ніж 5 від 45 м або 5 від 30 м?

Завдання 4. Знайдіть число, 5 якого дорівнює 60.

Завдання на спільну роботу

Завдання 1. На птахоферму привезли корм, якого вистачило б качкам на 30 днів, а гусакам на 45 днів. Розрахуйте, на скільки днів вистачить привезеного корму качкам і гусакам разом?

Задача 2. (З «Арифметики» Л.Ф. Магніцького.) Одна людина вип'є кадь напиття в 14 днів, а з дружиною вип'є ту ж кадь в 10 днів. Питається, скільки днів дружина його окремо вип'є ту ж кадь?

Завдання 3. Перша та друга бригади могли б виконати завдання за 9 днів; друга та третя бригади – за 18 днів; перша та третя бригади – за 12 днів. За скільки днів це завдання можуть виконати три бригади, працюючи разом?

Товарний поїзд пройшов 720 км. зі швидкістю 80 км/год. Яка відстань пройде за той самий час пасажирський поїзд, швидкість якого 60 км/год? Шлях пропорційний швидкості при постійному часі руху,

80 80

отже, зі зменшенням швидкості у 60 разів шлях зменшиться у 60 разів.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (км).

Таким самим прийомом вирішується завдання, якщо швидкість не зменшилася, а збільшилася, якщо величини не прямо, а обернено пропорційні.

Завдання на пропорції.

Прості задачі на пропорції

Завдання 1. За кілька однакових олівців заплатили 8 карбованців. Скільки потрібно заплатити за такі самі олівці, якщо їх купили у 2 рази менше?

Завдання 2. За кілька однакових олівців заплатили 8 карбованців. Скільки потрібно заплатити за такі ж олівці, кожен з яких у 2 рази дорожчий?

Завдання 3. Є гроші для придбання 30 олівців. Скільки зошит можна купити на ті ж гроші, якщо зошит дешевше олівця в 2 рази?

Завдання 4. Велосипедист за кілька годин проїхав 36 км. Яка відстань пройде за той самий час пішохід, швидкість якого в 3 рази менша за швидкість велосипедиста?

Завдання 5. Певну відстань велосипедист проїхав за 3 години. За скільки годин цю відстань проїде мотоцикліст, швидкість якого в 5 разів більша за швидкість велосипедиста? Перейдемо вирішення завдань з допомогою пропорцій.

Завдання 6. За 6 годин поїзд пройшов 480 км. Який шлях пройшов поїзд за перші 2 години, якщо його швидкість стала? Потрібен короткий запис умови завдання:

У процесі усного обговорення з'ясували, що час і шлях зменшилися в те саме число разів, оскільки при постійній швидкості ці величини прямо пропорційні.

Завдання 7. Відстань між двома містами пасажирський поїзд пройшов зі швидкістю 80 км/год за 3 години. За скільки годин товарний поїзд пройде та сама відстань зі швидкістю 40 км/год?

Завдання 8. За 2 год зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3:00?

Завдання 9. Три півні розбудили 6 людей. Скільки людей розбудять 5 півнів?

Завдання 10. Коли Вася прочитав 10 сторінок книги, йому залишилося прочитати ще 90 сторінок. Скільки сторінок йому залишиться прочитати, коли він прочитає 30 сторінок?

Залежність числа прочитаних сторінок книги і числа сторінок, що залишилися, часто приймають за зворотну пропорційність: чим більше сторінок прочитано, тим менше залишилося прочитати.

Але збільшення однієї сторінки та зменшення іншої відбувається не в те саме число разів.

Складні задачі на пропорції

Старовинне завдання. Артель землекопів у 26 осіб, що працює машинами по 12 годин на день, може вирити канал у 96 м довжини, 20 м ширини та 12 дм глибини протягом 40 днів. Який довжини канал можуть викопати 39 землекопів, працюючи протягом 80 днів по 10 год на день, якщо ширина каналу має бути 10 м, а глибина 18 дм?

Довжина каналу збільшиться від збільшення кількості людей у ​​26 разів, від

30 18-

збільшення числа днів у 40 разів та від зменшення ширини у 12 разів.

П£ 39 80 20 12 18

х = 96: -: -

26 40 10 10 12

Остаточно маємо х = 320.

Знаходження відсотка від числа

Завдання 11. Товар коштував 5000 грн. Його ціна зросла на 20%. На скільки карбованців підвищилася ціна? Яка нова ціна товару?

Завдання 12. Банк виплачує дохід із розрахунку 2% вкладеної суми на рік. Скільки рублів опинялося на рахунку за рік, якщо на нього поклали: 100 р.; 200 р.; 1000 р.; 12000 р.?

Завдання 13. Бажаючи блиснути знанням відсотків, Вася сказав, що 60% книга він прочитав минулого тижня, а 50%, що залишилися, на цьому. Вася не наплутав?

Задача 14. У школі 400 учнів, 52% цього числа становлять дівчатка, Скільки хлопчиків у школі?

Завдання 15. Збільште число 200 на 10%. Отримане число зменшіть на 10%. Чи вийде знову число 200? Чому?

Знаходження числа за його відсотком

Завдання 16. До магазину електротоварів привезли лампочки. Серед них виявилося 16 розбитих лампочок, що становило 2% їх числа. Скільки лампочок привезли до магазину?

Завдання 17. Знайдіть число, 110% якого 33.

Завдання 18.60% класу пішли у кіно, а решта 12 осіб на виставку. Скільки учнів у класі?

Завдання 19. Трава при сушінні втрачає 80% своєї маси. Скільки тонн сіна вийде із 4 т свіжої трави? Скільки тонн трави потрібно накосити, щоби насушити 4 т сіна? 100 – 80 – 20 (%) – маси трави становить маса сіна; 4 0,2 = 0,8 (т) – сіна вийде з 4 т трави; 4: 0,2 = 20 (т) – трави треба накосити.

Знаходження відсоткового відношення

Завдання 20. Із 16 кг свіжих груш одержали 4 кг сушених. Яку частину маси свіжих груш складає маса сушених? Виразіть цю частину у відсотках. Скільки відсотків маси втрачається при сушінні?

Завдання 21. Скільки відсотків числа 50 становить 40? Скільки відсотків числа 40 становить 50?

Завдання 22. У місяці було 12 сонячних та 18 похмурих днів. Скільки відсотків місяця становлять сонячні дні? похмурі дні?

Завдання 23. Ціна товару знизилася з 40 грн. до 30 грн. На скільки карбованців знизилася ціна? На скільки відсотків знизилася ціна?

Завдання на спільну роботу та продуктивність

Завдання цього типу зазвичай містять відомості про виконання кількома суб'єктами (робочими, механізмами, насосами тощо) деякої роботи, обсяг якої не вказується і не є шуканим (наприклад, передрук рукопису, виготовлення деталей, риття траншей, заповнення через труби водоймища і і т.д.). Передбачається, що виконувана робота проводиться поступово, тобто. із постійною для кожного суб'єкта продуктивністю. Так як величина виконуваної роботи (або обсяг басейну, що заповнюється, наприклад) нас не цікавлять, то обсяг всієї роботи. або басейн приймається за одиницю. Часt, необхідне виконання всієї роботи, і Р - виробникність праці, тобто величина роботи, зробленої за одиницю часу, пов'язані

співвідношеннямP= 1/t .Корисно знати стандартну схему вирішення типових завдань.

Нехай один робітник виконує деяку роботу за годинник, а інший - за годинник. Тоді за одну годину вони виконають відповідно 1/xта 1/yчастина роботи. Разом за одну годину вони виконають 1/x +1/ yчастина роботи. Отже, якщо вони працюватимуть разом, то вся робота буде виконана за 1/ (1/x+ 1/ y)

Вирішення завдань на спільну роботу викликає у учнів труднощі, тому під час підготовки до іспиту можна розпочати з вирішення найпростіших завдань. Розглянемо тип завдань, під час вирішення яких досить запровадити лише одну змінну.

Завдання 1. Один штукатур може виконати завдання на 5 годин швидше за інше. Обидва разом виконають це завдання за 6 годин. За скільки годин кожен із них виконає завдання?

Рішення. Нехай перший штукатур виконує завдання заxгодин, тоді другий штукатур виконає це завдання заx+5 годин. За 1 годину спільної роботи вони виконають 1/x + 1/( x+5) завдання. Складемо рівняння

6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 абоx² - 7 x-30 = 0. Вирішивши дане рівняння, отримаємоx= 10 іx= -3. За умовою завданняx- Величина позитивна. Отже перший штукатур може виконати роботу за 10 годин, а другий - за 15 годин.

Завдання 2 . Двоє робітників виконали роботу за 12 днів. За скільки днів може виконати роботу кожен робітник, якщо одному з них на виконання всієї роботи знадобилося на 10 днів більше, ніж іншому?

Рішення . Нехай перший робітник витрачає на всю роботуxднів, тоді другий-(x-10 днів. За 1 день спільної роботи вони виконують 1/x+ 1/( x-10) Завдання. Складемо рівняння

12×(1/x+ 1/( x-10) = 1 абоx²- 34x+120 = 0. Вирішивши дане рівняння, отримаємоx=30 іx= 4. Умову завдання задовольняє лишеx= 30. Тому перший робітник може виконати роботу за 30 днів, а другий - за 20 днів.

Завдання 3. За 4 дні спільної роботи двома тракторами було зорано 2/3 поля. За скільки днів можна було зорати все поле кожним трактором, якщо першим його можна зорати на 5 днів швидше, ніж другим?

Рішення. Нехай перший трактор витрачаєна виконання завдання x днів, тоді другий – x + 5 днів. За 4 дні спільної роботи обидва трактори зорали 4×(1/ x + 1/( x +5)) завдання, тобто 2/3 поля. Складемо рівняння 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 абоx² -7x-30 = 0. . Вирішивши дане рівняння, отримаємоx= 10 іx= -3. За умовою завданняx- Величина позитивна. Отже перший трактор може зорати поле за 10 годин, а другий - за 15 годин.

Завдання 4 . Маша може надрукувати 10 сторінок за 1 год. Таня – 4 сторінки за 0,5, а Оля – 3 сторінки за 20 хвилин. Як дівчаткам розподілити 54 сторінки тексту між собою, щоб кожна працювала протягом одного і того ж часу?

Рішення . За умовою Таня друкує 4 сторінки за 0,5 год, тобто. 8 сторінок за 1ч., а Оля – 9 сторінок за 1ч. Позначивши за Х годин-час, протягом якого дівчатка працювали, отримаємо рівняння

10Х +8Х+9Х =54, звідки Х=2.

Отже, Таня має надрукувати 20 сторінок, Таня-16 сторінок, а Оля – 18 сторінок.

Завдання 5. На двох розмножувальних апаратах, що працюють одночасно, можна зробити копію рукопису за 20 хв. За який час можна виконати цю роботу на кожному апараті окремо, якщо відомо, що при роботі на першому для цього потрібно на 30 хв менше, ніж при роботі на другому?

Рішення. Нехай Х хв - час, який потрібно виконання копії першому апараті, тоді Х+30 хв- час роботи другого апарату. Тоді 1/Х копії виконує перший апарат за 1 хв, а 1/(Х +30) копії-другий апарат.

Складемо рівняння: 20× (1/Х + 1/(Х+30)) = 1, отримаємоX²-10X-600 = 0. Звідки Х = 30 і Х = - 20. Умову задачі задовольняє Х = 30. Отримали: 30 хв - час, за який перший апарат зробить копію, 60 хв - другий.

Завдання 6. Фірма А може виконати деяке замовлення на виробництво іграшок на 4 дні швидше, ніж фірма В. За який час може виконати це замовлення кожна фірма, якщо відомо, що при роботі за 24 дні вони виконують замовлення в 5 разів більше?

Рішення. Позначивши за Х днів-час, необхідний фірмі А виконання замовлення, тоді Х + 4 днів - час фірми У. При складанні рівняння необхідно врахувати, що з 24 дні спільної роботи буде виконано не 1 замовлення, а 5 замовлень. Отримаємо, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5.Звідки слідує 5 Х²- 28Х-96 = 0. Розв'язавши квадратне рівняння отримуємо, Х = 8 і Х = - 12/5. Перша фірма може виконати замовлення за 8 днів, фірма – за 12 днів.

При вирішенні наступних завдань необхідно вводити більше однієї змінноїі вирішувати вже системи рівнянь.

Завдання 7 . Двоє робітників виконують деяку роботу. Після 45 хв спільної роботи перший робітник був переведений на іншу роботу, і другий робітник закінчив частину роботи, що залишилася, за 2 год 15 хв. За який час міг би виконати всю роботу кожен робітник окремо, якщо відомо, що другому для цього знадобиться на 1 год більше ніж першому?

Рішення. Нехай перший робітник виконує всю роботу за годинник, а другий - за годинник. З умови завдання маємо х = у -1. За 1 год перший

робітник виконає 1/xчастина роботи, а друга – 1/yчастина роботи.Т.к. вони працювали разом ¾ год, то за цей час вони виконали ¾ (1/x + 1/ y)

частина роботи. За2і 1/4год роботи другий виконав 9/4× (1/y) частина роботи.Т.к. вся робота виконана, то складаємо рівняння ¾ (1/x+1/ y)+9/4×1/y=1 або

¾ ×1/x+ 3×1/y =1

рішення у 1 = ч іу 2 = 4 год. Перше рішення не підходить (обидва рабочі тільки разом працювали ¾ год!). Тоді у = 4, а х =3.

Відповідь. 3 години, 4:00.

Завдання 8. Басейн може наповнитися водою із двох кранів. Якщо перший кран відкрити на 10 хв, а другий - на 20 хв, басейн буде наповнений.

Якщо перший кран відкрити на 5 хв, а другий – на 15 хв, то заповниться 3/5 басейну.

За який час із кожного крана окремо може заповнитись весь басейн?

Рішення. Нехай з першого крана можна заповнити басейн за х хв, а з другого - за 1 хв. Перший кран заповнює частина басейну, а другий . За 10 хв із першого крана заповниться частина басейну, а за 20 хв із другого крана - . Т.к. басейн буде заповнений, то отримуємо перше рівняння: . Аналогічно складаємо друге рівняння (Заповнюється на весь басейн, а тільки його обсягу). Для спрощення розв'язання задачі введемо нові змінні: Тоді маємо лінійну систему рівнянь:

10u + 20v = 1,

рішення якої буде u = v =. Звідси отримуємо відповідь: x = хв, y = 50 хв.

Завдання 9 . Двоє виконують роботу. Спочатку перший працював часу, протягом якого другий виконує всю роботу. Потім другий працював часу, за який перший закінчив би роботу, що залишилася. Обидва вони виконали тільки всієї роботи. Скільки часу потрібно кожному для виконання цієї роботи, якщо відомо, що при спільній роботі вони зроблять її за3 год36 хв?

Рішення. Позначимо через х годин і годин годин, за який виконують всю роботу перший і другий відповідно. Тоді і

Ті частини роботи, які вони виконують за1ч.Працюючи (за умовою) часу, перший виконає частина роботи. Залишиться невиконаною частина роботи, на яку перший витратив би годин. За умовою другої працює 1/3 цього часу. Тоді він виконає частина роботи. Удвох вони виконали тільки всієї роботи. Отже, отримуємо рівняння . Працюючи спільно, за1 годину обидва зроблять + частина роботи. Оскільки за умовою завдання вони зроблять цю роботу за3 год36 хв (тобто зa 3 години), то за1 годину вони зроблять всієї роботи. Звідси 1/x + 1/ y = 5/18. Позначивши у першому рівнянні , отримаємо квадратне рівняння

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , коріння якого дорівнюєt 1 =2/3 , t 2 =3/2. Оскільки невідомо, хто працює швидше, то розглядаємо обидва випадки.

а)t = => у = х. Підставляємо у друге рівняння: Очевидно, що це не є рішенням

завдання, оскільки разом вони роблять роботу більше ніж за 3 год.

б) t=3/2 => y=3/2 x. З другого рівняння маємо 1/x+2/3× 1/x=5/18.Звідсих = 6,у =9.

Задача10. В резервуар надходить вода із двох труб різних діаметрів. Першого дня обидві труби, працюючи одночасно, подали 14m 3 води. На другий день була включена лише мала труба. Вона подала 14 м 3 води, пропрацювавши на 5 год довше, ніж першого дня. Третього дня робота тривала стільки ж часу, скільки другого, але спочатку працювали обидві труби, подавши 21 м 3 води. А потім працювала лише велика труба, що подала ще 20 м. 3 води. Знайти продуктивність кожної труби.

Рішення. У цьому завдання немає абстрактного поняття "обсяг водоймища", а вказуються конкретні обсяги води, що надходять трубами. Проте методика розв'язання завдання фактично залишається незмінною.

Нехай менша і більша труби перекачують за 1 годину х і у м3 води. Працюючи разом, обидві труби подають х + у м3 води.

Отже, першого дня труби працювали 14/(x+ y) годин. На другий день мала труба працювала на 5 годин більше, тобто 5+14/(x+ y) . За це

час вона подала 14 м 3 води. Звідси отримуємо перше рівняння 14 або 5+14/(x+ y)=14/ x. Третього дня обидві труби разом працювали21/(x+ y) годин, а потім велика труба працювала 20/xгодин. Сумарний час труб збігається з часом роботи першої труби другого дня, тобто.

5+14/( x+ y) =21/( x+ y)+ 20/ x. Оскільки ліві частини рівняння рівні, то маємо . Звільнившись від знаменників, отримуємо однорідне рівняння 20x 2 +27 xy-14 y 2 =0. Розділивши рівняння наy 2 і позначившиx/ y= t, маємо 20t 2 +27 t-14 = 0. З двох коренів цього квадратного рівняння (t 1 = , t 2 = ) за змістом завдання підходить тількиt= . Отже,x= y. Підставившиxу перше рівняння, знаходимоy=5. Тодіx=2.

Завдання 11. Дві бригади, працюючи разом, викопали траншею за два дні. Після цього вони почали рити траншею тієї ж глибини і ширини, але довшою за першу в 5 разів. Спочатку працювала тільки перша бригада, а потім лише друга бригада, виконавши у півтора рази менший обсяг роботи, ніж перша бригада. Риття другої траншеї було закінчено за 21 день. За скільки днів друга бригада змогла б вирити першу траншею, якщо відомо, що обсяг роботи, що виконується першою бригадою за один день, більший за обсяг роботи, що виконується за один день другою бригадою?

Рішення.Це завдання зручніше вирішувати, якщо привести роботу до одного масштабу. Якщо обидві бригади вирили, працюючи разом, першу траншею за 2 дні, то, очевидно, другу траншею (вп'ятеро довшу) вони вирили б за 10 днів. Нехай перша бригада вирила б цю траншею за х днів, а друга - за у, тобто. за 1 день перша вирила б частина траншеї, друга - за 1/y , а разом -1/x+1/ y частина траншеї.

Тоді маємо . Бригади під час копання другої траншеї працювали окремо. Якщо друга бригада виконала обсяг роботиm, то (за умовою завдання) – перша бригада . Так якm + m = m дорівнює обсягу всієї роботи, що приймається за одиницю, тоm = . Отже, друга бригада викопала траншеї та витратила на це у днів. Перша бригада викопала траншеї та витратила х днів. Звідси маємо абох = 35- . Підставляючи їх у перше рівняння, приходимо до квадратного рівняння2у 2 - 95у +1050 = 0, корінням якого будуть у 1 = і у 2 = 30. Тоді відповіднох 1 = і х 2 =15. З умови завдання вибираємо потрібне: у = 30. Так як знайдене значення відноситься до другої траншеї, то першу траншею (у п'ять разів коротше) друга бригада вирила б за 6 днів.

Завдання 12. Три екскаватори брали участь у копанні котловану об'ємом 340 м. 3 . За годину перший екскаватор виймає 40 м 3 фунта, другий - на м 3 менше першого, а третій - на 2с більше першого. Спочатку працювали одночасно перший та другий екскаватори, та викопали 140 м 3 ґрунту. Потім частину котловану, що залишилася, викопали, працюючи одночасно, перший і третій екскаватори. Визначити значення з(0<с<15), при якому котлован було викопано за 4 год, якщо робота велася без перерви.

Рішення. Оскільки перший екскаватор виймає 40 м 3 ґрунту на годину, то другий - (40-с) м 3 , а третій – (40+2с) м 3 фунта на годину. Нехай перший і другий екскаватори разом працювали з годин. Тоді з умови завдання випливає (40+40-с)х = 140 або (80-с)х = 140. Якщо перший і третій екскаватори працювали разом біля годинника, то маємо (40+40+2с)у = 340-140 або (80+2с)у - 200. Так як загальний час роботи дорівнює 4 годин, то отримуємо для визначення наступне рівняння х + у = 4 або

Це рівняння рівносильне квадратному рівняннюз 2 -30с + 200 =0, рішеннями якого будуть з 1 = 10 м 3 і з 2 = 20м 3 . За умовою завдання підходить тольдо

з = 10 м 3 .

Завдання 10. Кожному із двох робітників доручили обробити однакову кількість деталей. Перший почав роботу відразу і виконав її за 8 год. Другий витратив спочатку більше 2 год на налагодження пристосування, а потім з його допомогою закінчив роботу на 3 год раніше першого. Відомо, що другий робітник за годину після початку своєї роботи обробив стільки ж деталей, скільки до цього моменту обробив перший. У скільки разів пристрій збільшує продуктивність верстата (тобто кількість оброблюваних деталей за годину роботи)?

Рішення. Це приклад завдання, у якому не всі невідомі треба шукати.

Позначимо час налагодження верстата другим робітником через х (за умовою х>2). Нехай необхідно було обробити кожному поnдеталей.

Тоді перший робітник за годину обробляє деталей, а другий деталей. Обидва робітники однакову кількість деталей обробили через годину після початку другої роботи. Це означає, що Звідси отримуємо рівняння визначення х: х 2 -4х + 3-0 корінням якого будуть х 1 = 1 іх 2 = 3. Т. до.

х > 2 то необхідне значення - це х = 3. Отже, другий робочий обробляє в годину деталей. Т. до. перший робітник за годину обробляє

деталей, то звідси знаходимо, що пристрій збільшує продуктивність праці = 4 рази.

Завдання 1 3. Троє робітників повинні виготовити кілька деталей. Спочатку роботу почав лише один робітник, а через деякий час до нього приєднався другий. Коли 1/6 частину всіх деталей було виготовлено, до роботи приступив і третій робітник. Роботу вони закінчили одночасно, причому кожен зробив однакову кількість деталей. Скільки часу працював третій робітник, якщо відомо, що він працював на дві години менше за другу і що перша і друга, працюючи разом, могли б виготовити всю необхідну кількість деталей на 9 годин раніше, ніж це зробив би третій, працюючи окремо?

Рішення. Нехай перший робітник працював х годин, а третій - у годин. Тоді другий робітник працював на 2 години більше, тобто у +2 години. Кожен їх виготовив однакову кількість деталей, т. е. по 1/3 всіх деталей. Отже, всі деталі перший виготовив би за 3 годин, другий за 3 (+2) годин, а третій - за 3 годин. Тому перший виготовляє за годину частина всіх деталей, другий - і третій - .

Бо всі троє за час спільної роботи виготовили всіх деталей, то отримуємо перше рівняння (всі троє разом працювали біля годинника)

. (1)

Перший і другий, працюючи разом, виготовили б всі деталі на 9 годин раніше, ніж це зробив би третій робітник, працюючи один. Звідси отримуємо друге рівняння

. (2)

Ці два рівняння легко наводяться до рівносильної системи

Виражаючи з другого рівняння х і підставляючи перше рівняння, отримуємо у 3 -5у 2 - 32у - 36 = 0. Це рівняння розкладається на множники(y- 9) (у +2) 2 = 0.

Т. до. у > 0, то рівняння має лише один потрібний корінь у = 9.Відповідь:у = 9.

Завдання 14. У котлован поступово поступає вода, 10 однакових насосів, діючи одночасно, можуть відкачати воду із заповненого котловану за 12 годин, а 15 таких насосів - за 6год.За скільки часу можуть відкачати воду із заповненого котловану 25 таких насосів під час спільної роботи?

Рішення.Нехай обсяг котловануVm 3 , а продуктивність кожного насоса - х м 3 в годину. Вода в котлован надходить безперервно.Т.до. невідомо кількість її надходження, то позначимо через у м 3 на годину - обсяг надходження води до котловану. Десять насосів за 12 годин відкачають х= 120х води. Ця кількість води дорівнює повному об'єму котловану та об'єму тієї води, яка надійде в котлован за 12 годин. Весь цей обсяг дорівнюєV+12 y. Прирівнюючи ці обсяги, складаємо перше рівняння 120х =V + 12 y .

Аналогічно складається рівняння для 15 таких насосів:15-6 x = V + 6 yабо 90x = V + 6 y. З першого рівняння маємо V = 120х – 12у. Підставляючи V у друге рівняння, отримуємо у = 5х.

Час, протягом якого діятимуть 25 таких насосів, невідомий. Позначимо його черезt. Тоді, з огляду на умови завдання, за аналогією складаємо останнє рівняння. Маємо 25tx= V +ty. Підставляючи це рівняння у і V знаходимо 25tx= 120х -12 5х +t 5х або 20tx= 60х. Звідси отримуємоt= 3:00.Відповідь: за 3:00.

Завдання 15. Дві бригади працювали разом 15 днів, а потім до них приєдналася третя бригада і через 5 днів після цього вся робота була закінчена. Відомо, що друга бригада виробляє за день на 20% більше за першу. Друга та третя бригади разом могли б виконати всю роботу за того часу, який потрібний для виконання всієї роботи першою та третьою бригадами при їх спільній роботі. За який час могли б виконати всю роботу всі три бригади, працюючи разом?

Рішення. Нехай всю роботу, працюючи окремо, перша, друга та третя бригади виконують відповідно за х, у іzднів. Тоді щодня вони виконують частина роботи. Перетворюючи першу умову завдання на рівняння, вважаючи, що весь обсяг роботи дорівнює одиниці, отримуємо

15 або

(1)

20 .

Так як друга бригада виробляє 120% того, що робить перша (на 20% більше), маємо або . (2)

Друга та третя бригади виконали б усю роботу за 1/ днів, а перша та третя – за 1/ днів. За умовою перша величина дорівнює

(3)