Залежність між величинами, що характеризують процеси. Пряма пропорційна залежність

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при збільшенні однієї з них у кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Відповідно, при зменшенні однієї з них у кілька разів, інша зменшується у стільки ж разів.

Залежність між такими величинами – пряма пропорційна залежність. Приклади прямої пропорційної залежності:

1) при постійній швидкості пройдений шлях прямо пропорційно залежить від часу;

2) периметр квадрата та його сторона - прямо пропорційні величини;

3) вартість товару, купленого за однією ціною, прямо пропорційно залежить від кількості.

Щоб відрізнити пряму пропорційну залежність від зворотної можна використовувати прислів'я: «Що далі лісом, то більше дров».

Завдання прямо пропорційні величини зручно вирішувати за допомогою пропорції.

1) Для виготовлення 10 деталей потрібно 3,5 кг металу. Скільки металу піде на виготовлення 12 таких деталей?

(Розмірковуємо так:

1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числа до меншого.

2. Чим більше деталей, тим більше металу потрібно їх виготовлення. Отже, це прямо пропорційна залежність.

Нехай х кг металу потрібно виготовлення 12 деталей. Складаємо пропорцію (в напрямку від початку стрілки до її кінця):

12:10 = х: 3,5

Щоб знайти , треба твір крайніх членів розділити на відомий середній член:

Отже, знадобиться 4,2 кг металу.

Відповідь: 4,2 кг.

2) За 15 метрів тканини заплатили 1680 рублів. Скільки коштує 12 метрів такої тканини?

(1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямі від більшого числа до меншого.

2. Що менше тканини купують, то менше за неї треба заплатити. Отже, це прямо пропорційна залежність.

3. Тому друга стрілка однаково спрямована першою).

Нехай х рублів коштують 12 метрів тканини. Складаємо пропорцію (від початку стрілки до її кінця):

15:12 = 1680:х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, добуток середніх членів ділимо на відомий крайній член пропорції:

Значить, 12 метрів коштують 1344 рублі.

Відповідь: 1344 рублі.

Заплановані результати навчання математики у 5-6 класах

Арифметика

Розуміти особливості десяткової системи числення;

використовувати поняття, пов'язані з ділимістю натуральних чисел;

виражати числа в еквівалентних формах, обираючи найбільш відповідну залежно від конкретної ситуації;

Порівнювати та впорядковувати раціональні числа;

Виконувати обчислення з раціональними числами, поєднуючи усні та письмові прийоми обчислень, застосовувати калькулятор;

Використовувати поняття та вміння, пов'язані з пропорційністю величин, відсотками, під час вирішення математичних завдань та завдань із суміжних предметів, виконувати нескладні практичні розрахунки;

Аналізувати графіки залежностей між величинами (відстань, час; температура тощо).

Познайомитися з позиційними системами числення з основами, відмінними від 10;

Поглибити та розвинути уявлення про натуральні числа та властивості ділимості;

Навчитися використовувати прийоми, що раціоналізують обчислення, придбати навичку контролювати обчислення, вибираючи відповідний для ситуації спосіб.

По закінченні вивчення курсу учень навчиться:

· Виконувати операції з числовими виразами;

· Виконувати перетворення буквених виразів (розкриття дужок, приведення подібних доданків);

· Вирішувати лінійні рівняння, вирішувати текстові завдання алгебраїчним методом.

Учень отримає можливість:

· Розвинути уявлення про буквені вирази та їх перетворення;

· Опанувати спеціальними прийомами розв'язання рівнянь, застосовувати апарат рівнянь для розв'язання як текстових, так і практичних завдань.

Геометричні фігури. Вимірювання геометричних величин

По закінченні вивчення курсу учень навчиться:

Розпізнавати на кресленнях, малюнках, моделях та в навколишньому світі плоскі та просторові геометричні фігури та їх елементи;

Будувати кути, визначати їх градусну міру;

Розпізнавати та зображати розгортки куба, прямокутного паралелепіпеда, правильної піраміди, циліндра та конуса;

Визначати за лінійними розмірами розгортки фігури лінійні розміри самої фігури і навпаки;

Обчислювати обсяг прямокутного паралелепіпеда та куба.

Учень отримає можливість:

Навчитися обчислювати обсяг просторових геометричних фігур, складених із прямокутних паралелепіпедів;

Поглибити та розвинути уявлення про просторові геометричні фігури;

Навчитися застосовувати поняття розгортки до виконання практичних розрахунків.

По закінченні вивчення курсу учень навчиться:

Використовувати найпростіші способи подання та аналізу статистичних даних;

Вирішувати комбінаторні завдання на перебування кількості об'єктів чи комбінацій.

Учень отримає можливість:

Набути початковий досвід організації збору даних під час проведення опитування громадської думки, здійснювати їх аналіз, представляти результати опитування як таблиці, діаграми;

Навчитися деяким спеціальним прийомам розв'язання комбінаторних завдань.

Арифметика

Натуральні числа

Ряд натуральних чисел. Десятковий запис натуральних чисел. Округлення натуральних чисел.

Координатний промінь.

Порівняння натуральних чисел. Додавання та віднімання натуральних чисел. Властивості додавання.

Множення та розподіл натуральних чисел. Властивості множення. Поділ із залишком. Ступінь числа із натуральним показником.

Дільники та кратні натурального числа. Найбільший спільний дільник. Найменше загальне кратне. Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10.

Прості та складові числа. Розкладання чисел на прості множники. „

Прості дроби. Основна властивість дробу. Знаходження дробу від числа. Знаходження числа за значенням його дробу. Правильні та неправильні дроби. Змішані числа.

Порівняння звичайних дробів та змішаних чисел. Арифметичні дії зі звичайними дробами та змішаними числами.

Десяткові дроби. Порівняння та округлення десяткових дробів. Арифметичні дії із десятковими дробами. Прикидки результатів обчислень. Подання десяткового дробу у вигляді звичайного дробу та звичайного у вигляді десяткового. Нескінченні періодичні десяткові дроби. Десяткове наближення звичайного дробу.

Відношення. Відсоткове відношення двох чисел. Розподіл числа у цьому відношенні. Масштаб.

Пропорція. Основна властивість пропорції. Пряма та зворотна пропорційні залежності. Відсотки. Знаходження відсотків від числа. Знаходження числа за його відсотками.

Розв'язання текстових завдань арифметичними методами.

Раціональні числа

Позитивні, негативні числа та число 0.

Протилежні числа. Модуль числа.

Цілі числа. Раціональні числа. Порівняння раціональних чисел. Арифметичні події з раціональними числами. Властивості додавання та множення раціональних чисел.

Координатна пряма. Координатна площина.

Величини. Залежність між величинами

Одиниці довжини, площі, об'єму, маси, часу, швидкості.

Приклади залежностей між величинами. Подання залежностей як формул. Обчислення за формулами.

Числові та буквені вирази. Рівняння

Числові вирази. Значення числового виразу. Порядок дій у числових виразах. Літерні вирази. Розкриття дужок. Подібні доданки, приведення подібних доданків. Формули.

Рівняння. Корінь рівняння. Основні властивості рівнянь. Розв'язання текстових завдань за допомогою рівнянь.

Елементи статистики, імовірності. Комбінаторні завдання

Подання даних у вигляді таблиць, кругових та стовпчастих діаграм, графіків.

Середнє арифметичне. Середнє значення величини.

Випадкова подія. Достовірна та неможлива події. Імовірність випадкової події. Вирішення комбінаторних завдань.

Геометричні фігури. Вимірювання геометричних величин

Відрізок. Побудова відрізка. Довжина відрізка, ламаною. Вимірювання довжини відрізка, побудова відрізка заданої довжини. Периметр багатокутника. Площина. Пряма. Промінь.

Кут. Види кутів. Градусний захід кута. Вимірювання та побудова кутів за допомогою транспортира.

Прямокутник. Квадрат. Трикутник. Види трикутників. Коло та коло. Довжина кола. Число.

Рівність постатей. Поняття та властивості площі. Площа прямокутника та квадрата. Площа кола. Ось симетрія фігури.

Наочні уявлення про просторові фігури: прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля, сфера. Приклади розгорток багатогранників, циліндра, конуса. Поняття та властивості об'єму. Об'єм прямокутного паралелепіпеда та куба.

Взаємне розташування двох прямих. Перпендикулярні до прямих. Паралельні прямі.

Осьова та центральна симетрії.

Регресійного аналізу

Обробка результатів експерименту методом

При вивченні процесів функціонування складних систем доводиться мати справу з низкою одночасно діючих випадкових величин. Для з'ясування механізму явищ, причинно-наслідкових зв'язків між елементами системи тощо, за отриманими спостереженнями намагаємося встановити взаємовідносини цих величин.

У математичному аналізі залежність, наприклад, між двома величинами виражається поняттям функції

де кожному значенню однієї змінної відповідає лише одне значення інший. Така залежність зветься функціональною.

Набагато складніше справа з поняттям залежності випадкових величин. Як правило, між випадковими величинами (випадковими факторами), що визначають процес функціонування складних систем, зазвичай існує такий зв'язок, при якому зі зміною однієї величини змінюється розподіл іншої. Такий зв'язок називається стохастичної, або імовірнісний. У цьому величину зміни випадкового чинника Y, що відповідає зміні величини Х, можна розбити на два компоненти. Перший пов'язаний із залежністю Yвід X, а другий із впливом "власних" випадкових складових величин Yі X. Якщо перший компонент відсутній, то випадкові величини Yі Xє незалежними. Якщо відсутній другий компонент, то Yі Xзалежать функціонально. За наявності обох компонентів співвідношення між ними визначає силу або тісноту зв'язку між випадковими величинами. Yі X.

Існують різні показники, що характеризують ті чи інші сторони стохастичного зв'язку. Так, лінійну залежність між випадковими величинами Xі Yвизначає коефіцієнт кореляції.

де – математичні очікування випадкових величин X та Y.

- Середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Y.

Лінійна ймовірнісна залежність випадкових величин полягає в тому, що при зростанні однієї випадкової величини інша має тенденцію зростати (або зменшуватися) за лінійним законом. Якщо випадкові величини Xі Yпов'язані строгою лінійною функціональною залежністю, наприклад,

y=b 0 +b 1 x 1,

то коефіцієнт кореляції дорівнюватиме ; причому знак відповідає знаку коефіцієнта b 1. Якщо величини Xі Yпов'язані довільною стохастичною залежністю, то коефіцієнт кореляції буде змінюватися в межах

Слід наголосити, що для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Однак коефіцієнт кореляції як показник залежності між випадковими величинами має серйозні недоліки. По-перше, з рівності r= 0 не слідує незалежність випадкових величин Xі Y(за винятком випадкових величин, підпорядкованих нормальному закону розподілу, для яких r= 0 означає одночасно відсутність будь-якої залежності). По-друге, крайні значення також дуже корисні, оскільки відповідають не всякої функціональної залежності, лише суворо лінійної.

Повний опис залежності Yвід X, і притому виражене в точних функціональних співвідношеннях, можна отримати, знаючи умовну функцію розподілу .

Слід зазначити, що при цьому одна із змінних величин, що спостерігаються, вважається невипадковою. Фіксуючи одночасно значення двох випадкових величин Xі Y, ми при зіставленні їх значень можемо віднести всі помилки лише до величини Y. Таким чином, помилка спостереження складатиметься з власної випадкової помилки величини Yі з помилки зіставлення, що виникає через те, що з величиною Yзіставляється не зовсім те значення X, що мало місце насправді.

Проте відшукання умовної функції розподілу, зазвичай, виявляється дуже складним завданням. Найбільш просто дослідити залежність між Хі Yпри нормальному розподілі Y, оскільки воно повністю визначається математичним очікуванням та дисперсією. В цьому випадку для опису залежності Yвід Xне потрібно будувати умовну функцію розподілу, а достатньо лише вказати, як за зміни параметра Xзмінюються математичне очікування та дисперсія величини Y.

Таким чином, ми приходимо до необхідності пошуку лише двох функцій:

(3.2)

Залежність умовної дисперсії Dвід параметра Хносить назву сходастичноїзалежності. Вона характеризує зміну точності методики спостережень за зміни параметра і використовується досить рідко.

Залежність умовного математичного очікування Mвід Xносить назву регресії, вона дає справжню залежність величин Хі У, позбавлену всіх випадкових нашарувань. Тому ідеальною метою будь-яких досліджень залежних величин є відшукання рівняння регресії, а дисперсія використовується лише з оцінки точності отриманого результату.

>>Інформатика: Подання залежностей між величинами

Подання залежностей між величинами

Вирішення завдань планування та управління постійно потребує врахування залежностей одних факторів від інших.

Приклади залежностей:

1) час падіння тіла на землю залежить від початкової висоти;

2) тиск залежить від температури газу в балоні;

Математична модель- це сукупність кількісних характеристик деякого об'єкта (процесу) та зв'язків між ними, представлених мовою математики.

Добре відомі математичні моделі для перших двох прикладів з наведених вище. Вони відображають фізичні закони та подаються у вигляді формул:

Це приклади залежностей, представлених у функції пиляльній формі. Першу залежність називають кореневою (час пропорційно квадратному кореню від висоти), другу - лінійною (тиск прямо пропорційно температурі).

У складніших завданнях математичні моделі представляються як рівнянь чи систем рівнянь. І тут для отримання функціональної залежності величин необхідно вміти вирішувати ці рівняння. Наприкінці цього розділу буде розглянуто приклад математичної моделі, що виражається системою нерівностей.

Розглянемо приклади двох інших способів подання залежностей між величинами: табличного та графічного.

Уявіть, що ми вирішили перевірити закон вільного падіння тіла експериментальним шляхом. Експеримент організували в такий спосіб; кидаємо сталеву кульку з балкона 2-го поверху, 3-го поверху (і так далі) десятиповерхового будинку, вимірюючи висоту початкового положення кульки і час падіння. За результатами експерименту ми склали таблицю та намалювали графік.

"
Мал. 2.11. Табличне та графічне уявлення залежності часу падіння тіла від висоти

Якщо кожну пару значень Н і t з цієї таблиці підставити на наведену вище формулу залежності висоти від часу, вона перетвориться на рівність (з точністю до похибки вимірів). Значить, модель добре працює. (Однак якщо скидати не сталеву кульку, а велику легку м'яч, то дана модель менше відповідатиме формулі, а якщо надувна кулька, то зовсім не буде відповідати - як ви думаєте, чому?)

У цьому прикладі ми розглянули три способи відображення залежності величин: функціональний (формула), табличний та графічний. Однак математичною моделлю процесу падіння тіла на землю можна назвати лише формулу. Чому? Тому що формула є універсальною. Вона дозволяє визначити час падіння тіла з будь-якої висоти, а не лише для того експериментального набору значень Н, який відображено на рис. 2.11.

Крім того, таблиця та діаграма(графік) констатують факти, а математична модель дозволяє прогнозувати, пророкувати шляхом розрахунків.

Так само трьома способами можна відобразити залежність тиску від температури. Обидва приклади пов'язані з відомими фізичними законами – законами природи. Знання фізичних законів дозволяють робити точні розрахунки, вони є основою сучасної техніки.

Коротко про головне

Величина – деяка кількісна характеристика об'єкта.

Залежності між величинами можуть бути представлені у вигляді математичної моделі, у табличній та графічній формах.

Залежність, подана у вигляді формули, є математичною моделлю.

Запитання та завдання

1. а) Які вам відомі форми подання залежностей між величинами?

б) Що таке математична модель?

в) Чи може математична модель включати лише константи?

2. Наведіть приклад відомої вам функціональної залежності (формули) між характеристиками певної системи.

3. Обґрунтуйте переваги та недоліки кожної з трьох форм подання залежностей.

Семакін І.Г., Хеннер Є.К., Інформатика та ІКТ, 11

Надіслано читачами з інтернет-сайтів