Залежність пройденого тілом шляху іноді задається.

Якщо траєкторія руху точки відома, то залежність шляху, пройденого точкою, від проміжку часу, що минув, дає повний опис цього руху. Ми бачили, що з рівномірного руху таку залежність можна у вигляді формули (9.2). Зв'язок між та для окремих моментів часу можна задавати також у вигляді таблиці, що містить відповідні значення проміжку часу та пройденого шляху. Нехай нам дано, що швидкість деякого рівномірного руху дорівнює 2 м/с. Формула (9.2) має у разі вид . Складемо таблицю шляху та часу такого руху:

Залежність однієї величини від іншої часто буває зручно зображати не формулами чи таблицями, а графіками, які показують картину зміни змінних величин і можуть полегшувати розрахунки. Побудуємо графік залежності пройденого шляху часу для аналізованого руху. Для цього візьмемо дві взаємно перпендикулярні прямі осі координат; одну з них (вісь абсцис) назвемо віссю часу, а іншу (вісь ординат) – віссю шляху. Виберемо масштаби для зображення проміжків часу та шляху та приймемо точку перетину осей за початковий момент та за початкову точку на траєкторії. Нанесемо на осях значення часу і пройденого шляху для руху (рис. 18). Для «прив'язування» значень пройденого шляху до моментів часу проведемо з відповідних точок на осях (наприклад, точок 3 і 6 м) перпендикуляри до осей. Точка перетину перпендикулярів відповідає одночасно обох величин: шляхи і моменту - цим способом і досягається «прив'язка». Така ж побудова можна виконати і для будь-яких інших моментів часу та відповідних шляхів, отримуючи для кожної такої пари значень час - шлях одну точку на графіку. На рис. 18 виконано таку побудову, що замінює обидва рядки таблиці одним рядом точок. Якби така побудова була виконана всім моментів часу, то замість окремих точок вийшла б суцільна лінія (також показана малюнку). Ця лінія називається графіком залежності шляху від часу або, коротше, графіком шляху.

Мал. 18. Графік шляху рівномірного руху зі швидкістю 2 м/с

Мал. 19. До вправи 12.1

У нашому випадку графік шляху виявився прямою лінією. Можна показати, що графік шляху рівномірного руху є пряма лінія; і навпаки: якщо графік залежності шляху від часу є пряма лінія, рух поступово.

Повторюючи будову для іншої швидкості руху, знайдемо, що точки графіка для більшої швидкості лежать вище, ніж відповідні точки графіка для меншої швидкості (рис. 20). Таким чином, чим більша швидкість рівномірного руху, тим крутіший прямолінійний графік шляху, тобто тим більший кут він складає з віссю часу.

Мал. 20. Графіки шляху рівномірних рухів зі швидкостями 2 та 3 м/с

Мал. 21. Графік того ж руху, що на рис. 18, викреслений в іншому масштабі

Нахил графіка залежить, звісно, ​​як від числового значення швидкості, а й від вибору масштабів часу і довжини. Наприклад, графік, зображений на рис. 21 дає залежність шляху від часу для того ж руху, що і графік рис. 18, хоч і має інший нахил. Звідси ясно, що порівнювати рухи по нахилу графіків можна лише тому випадку, якщо вони викреслені у тому самому масштабі.

З допомогою графіків шляху можна легко розв'язувати різні завдання руху. Наприклад на рис. 18 штриховими лініями показані побудови, необхідні для того, щоб вирішити такі завдання для даного руху: а) знайти шлях, пройдений за час 3,5 с; б) знайти час, за який пройдено шлях 9 м. На малюнку графічним шляхом (штрихові лінії) знайдено відповіді: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графіках, що описують рівномірний прямолінійний рух, можна відкладати по осі ординат замість шляху координату точки, що рухається. Такий опис відкриває великі здібності. Зокрема, воно дозволяє розрізняти напрямок руху по відношенню до осі . Крім того, прийнявши початок відліку часу за нуль, можна показати рух точки в попередні моменти часу, які слід вважати негативними.

Мал. 22. Графіки рухів з однією і тією ж швидкістю, але при різних початкових положеннях точки, що рухається

Мал. 23. Графіки кількох рухів із негативними швидкостями

Наприклад, на рис. 22 пряма I є графік руху, що відбувається з позитивною швидкістю 4 м/с (т. е. в напрямку осі ), причому в початковий момент точка, що рухається, знаходилася в точці з координатою м. Для порівняння на тому ж малюнку дано графік руху, яке відбувається з тією ж швидкістю, але при якому в початковий момент точка, що рухається знаходиться в точці з координатою (пряма II). Пряма. III відповідає нагоди, коли в момент рухома точка знаходилася в точці з координатою м. Нарешті, пряма IV описує рух у разі, коли точка, що рухається, мала координату в момент с.

Ми бачимо, що нахили всіх чотирьох графіків однакові: нахил залежить тільки від швидкості точки, що рухається, а не від її початкового положення. При зміні початкового положення весь графік просто переноситься паралельно собі уздовж осі вгору чи вниз на відповідну відстань.

Графіки рухів, що відбуваються з негативними швидкостями (тобто у напрямку, протилежному напрямку осі), показано на рис. 23. Вони є прямі, нахилені вниз. Для таких рухів координата точки з часом зменшується.

12.3. Графік шляху для точки, що рухається зі швидкістю відсікає на осі ординат відрізок . Як залежить від часу відстань від початкової точки? Напишіть формулу цієї залежності.

Якщо траєкторія руху точки відома, то залежність шляху, пройденого точкою, від проміжку часу, що минув, дає повний опис цього руху. Ми бачили, що з рівномірного руху таку залежність можна у вигляді формули (9.2). Зв'язок між та для окремих моментів часу можна задавати також у вигляді таблиці, що містить відповідні значення проміжку часу та пройденого шляху. Нехай нам дано, що швидкість деякого рівномірного руху дорівнює 2 м/с. Формула (9.2) має у разі вид . Складемо таблицю шляху та часу такого руху:

Залежність однієї величини від іншої часто буває зручно зображати не формулами чи таблицями, а графіками, які показують картину зміни змінних величин і можуть полегшувати розрахунки. Побудуємо графік залежності пройденого шляху часу для аналізованого руху. Для цього візьмемо дві взаємно перпендикулярні прямі осі координат; одну з них (вісь абсцис) назвемо віссю часу, а іншу (вісь ординат) – віссю шляху. Виберемо масштаби для зображення проміжків часу та шляху та приймемо точку перетину осей за початковий момент та за початкову точку на траєкторії. Нанесемо на осях значення часу і пройденого шляху для руху (рис. 18). Для «прив'язування» значень пройденого шляху до моментів часу проведемо з відповідних точок на осях (наприклад, точок 3 і 6 м) перпендикуляри до осей. Точка перетину перпендикулярів відповідає одночасно обох величин: шляхи і моменту - цим способом і досягається «прив'язка». Така ж побудова можна виконати і для будь-яких інших моментів часу та відповідних шляхів, отримуючи для кожної такої пари значень час - шлях одну точку на графіку. На рис. 18 виконано таку побудову, що замінює обидва рядки таблиці одним рядом точок. Якби така побудова була виконана всім моментів часу, то замість окремих точок вийшла б суцільна лінія (також показана малюнку). Ця лінія називається графіком залежності шляху від часу або, коротше, графіком шляху.

Мал. 18. Графік шляху рівномірного руху зі швидкістю 2 м/с

Мал. 19. До вправи 12.1

У нашому випадку графік шляху виявився прямою лінією. Можна показати, що графік шляху рівномірного руху є пряма лінія; і навпаки: якщо графік залежності шляху від часу є пряма лінія, рух поступово.

Повторюючи будову для іншої швидкості руху, знайдемо, що точки графіка для більшої швидкості лежать вище, ніж відповідні точки графіка для меншої швидкості (рис. 20). Таким чином, чим більша швидкість рівномірного руху, тим крутіший прямолінійний графік шляху, тобто тим більший кут він складає з віссю часу.

Мал. 20. Графіки шляху рівномірних рухів зі швидкостями 2 та 3 м/с

Мал. 21. Графік того ж руху, що на рис. 18, викреслений в іншому масштабі

Нахил графіка залежить, звісно, ​​як від числового значення швидкості, а й від вибору масштабів часу і довжини. Наприклад, графік, зображений на рис. 21 дає залежність шляху від часу для того ж руху, що і графік рис. 18, хоч і має інший нахил. Звідси ясно, що порівнювати рухи по нахилу графіків можна лише тому випадку, якщо вони викреслені у тому самому масштабі.

З допомогою графіків шляху можна легко розв'язувати різні завдання руху. Наприклад на рис. 18 штриховими лініями показані побудови, необхідні для того, щоб вирішити такі завдання для даного руху: а) знайти шлях, пройдений за час 3,5 с; б) знайти час, за який пройдено шлях 9 м. На малюнку графічним шляхом (штрихові лінії) знайдено відповіді: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графіках, що описують рівномірний прямолінійний рух, можна відкладати по осі ординат замість шляху координату точки, що рухається. Такий опис відкриває великі здібності. Зокрема, воно дозволяє розрізняти напрямок руху по відношенню до осі . Крім того, прийнявши початок відліку часу за нуль, можна показати рух точки в попередні моменти часу, які слід вважати негативними.

Мал. 22. Графіки рухів з однією і тією ж швидкістю, але при різних початкових положеннях точки, що рухається

Мал. 23. Графіки кількох рухів із негативними швидкостями

Наприклад, на рис. 22 пряма I є графік руху, що відбувається з позитивною швидкістю 4 м/с (т. е. в напрямку осі ), причому в початковий момент точка, що рухається, знаходилася в точці з координатою м. Для порівняння на тому ж малюнку дано графік руху, яке відбувається з тією ж швидкістю, але при якому в початковий момент точка, що рухається знаходиться в точці з координатою (пряма II). Пряма. III відповідає нагоди, коли в момент рухома точка знаходилася в точці з координатою м. Нарешті, пряма IV описує рух у разі, коли точка, що рухається, мала координату в момент с.

Ми бачимо, що нахили всіх чотирьох графіків однакові: нахил залежить тільки від швидкості точки, що рухається, а не від її початкового положення. При зміні початкового положення весь графік просто переноситься паралельно собі уздовж осі вгору чи вниз на відповідну відстань.

Графіки рухів, що відбуваються з негативними швидкостями (тобто у напрямку, протилежному напрямку осі), показано на рис. 23. Вони є прямі, нахилені вниз. Для таких рухів координата точки з часом зменшується., мала координати

Графіки шляху можна будувати і для випадків, коли тіло рухається рівномірно протягом певного проміжку часу, потім рухається рівномірно, але з іншою швидкістю протягом іншого проміжку часу, потім знову змінює швидкість і т. д. Наприклад, на рис. 26 показаний графік руху, в якому тіло рухалося протягом першої години зі швидкістю 20 км/год, протягом другої години - зі швидкістю 40 км/год і протягом третьої години - зі швидкістю 15 км/год.

Завдання: 12.8. Побудуйте графік шляху руху, у якому за послідовні годинні проміжки тіло мало швидкості 10, -5, 0, 2, -7 км/год. Чому одно сумарне переміщення тіла?

ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ 1. Кінематика
1.21. Тіло 1 рухається рівноприскорено, маючи початкову швидкість V10=2m/c та прискорення a. Через час t = 10с після початку руху тіла 1 з цієї точки починає рухатися рівноприскорено тіло 2, маючи початкову швидкість V20 = 12 м/с і те ж прискорення л. Знайти прискорення a, коли тіло 2 зможе наздогнати тіло 1.
Рішення:

1.22. Залежність пройденого тілом шляху s від часу t дається рівнянням s = At-Bt^2+Сt^3 де A = 2м/с, В = 3м/с і З = 4м/с. Знайти: а) залежність швидкості v та прискорення a від часу t; б) відстань s , пройдене тілом, швидкість v і прискорення a тіла через час t = 2 після початку руху. Побудувати графік залежності шляху s , швидкості v та прискорення a від часу t для інтервалу 0

1.23. Залежність пройденого тілом шляху s від часу t дається рівнянням s = А - Bt + Ct1 де а = 6 м, b = 3м/с і С = 2 м/с2. Знайти середню швидкість v та середнє прискорення а тіла для інтервалу часу
1 < t < 4 с. Построить график зависимости пути.?, скорости v и ускорения а от времени t для интервала 0 < t < 5 с через 1с.

1.24. Залежність пройденого тілом шляху s від часу дається рівнянням s-A + Bt + Ct2 де Л = 3м, В = 2м/с С = 1 м/с2. Знайти середню швидкість v та середнє прискорення тіла за першу, другу та третю секунди його руху.

1.25. Залежність пройденого тілом шляху s від часу t дається рівнянням s = A + Bt + Ct2 + £> t3, де = 0,14 м/с2 і D = 0,01m/c. Через який час t тіло матиме прискорення а = 1 м/с? Знайти середнє прискорення тіла за цей проміжок часу.