Значення зворотних тригонометричних функцій. Арксінус, арккосинус - властивості, графіки, формули

Оскільки тригонометричні функції періодичні, то зворотні до них функції однозначні. Так, рівняння y = sin xпри заданому , має нескінченно багато коренів. Справді, через періодичність синуса, якщо x такий корінь, то й x + 2πn(де n ціле) теж буде коренем рівняння. Таким чином, зворотні тригонометричні функції багатозначні. Щоб з ними було простіше працювати, запроваджують поняття їхніх головних значень. Розглянемо, наприклад, синус: y = sin x. Якщо обмежити аргумент x інтервалом, то на ньому функція y = sin xмонотонно зростає. Тому вона має однозначну зворотну функцію, яку називають арксинусом: x = arcsin y.

Якщо особливо не обумовлено, то під зворотними тригонометричними функціями мають на увазі головні значення, які визначаються такими визначеннями.

Арксинус ( y = arcsin x) - це функція, зворотна до синуса ( x = sin y
Арккосинус ( y = arccos x) - це функція, зворотна до косінус ( x = cos y), що має область визначення та безліч значень .
Арктангенс ( y = arctg x) - це функція, зворотна до тангенсу ( x = tg y), що має область визначення та безліч значень .
Арккотангенс ( y = arcctg x) - це функція, зворотна до котангенсу ( x = ctg y), що має область визначення та безліч значень .

Графіки зворотних тригонометричних функцій

Графіки зворотних тригонометричних функцій виходять із графіків тригонометричних функцій дзеркальним відображенням щодо прямої y = x. розділи Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основні формули

Тут слід особливо звернути увагу до інтервали, котрим справедливі формули.

arcsin(sin x) = xпри
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xпри
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xпри
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xпри
ctg(arcctg x) = x

Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції

Формули суми та різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

при

при

при

при

при

при

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

На цьому уроці ми розглянемо особливості зворотних функційі повторимо зворотні тригонометричні функції. Окремо будуть розглянуті властивості всіх основних зворотних тригонометричних функцій: арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу.

Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання О 7і З 1.

Підготовка до ЄДІ з математики

Експеримент

Урок 9. Зворотні тригонометричні функції.

Теорія

Конспект уроку

Згадаймо, коли ми зустрічаємося з таким поняттям, як зворотна функція. Наприклад, розглянемо функцію зведення квадрат. Нехай у нас є квадратна кімната зі сторонами по 2 метри, і ми хочемо обчислити її площу. Для цього за формулою пощади квадрата зводимо двійку квадрат і в результаті отримуємо 4 м 2 . Тепер уявімо зворотне завдання: ми знаємо площу квадратної кімнати і хочемо знайти довжини її сторін. Якщо ми знаємо, що площа дорівнює тим же 4 м 2 , то виконаємо зворотну дію до зведення в квадрат - витяг арифметичного квадратного кореня, який нам дасть значення 2 м.

Таким чином, для функції зведення числа квадрат зворотною функцією є вилучення арифметичного квадратного кореня.

Саме у вказаному прикладі ми виникло проблем із обчисленням боку кімнати, т.к. ми розуміємо, що це позитивне число. Однак якщо відірватися від цього випадку і розглянути завдання загальнішим чином: «Обчислити число, квадрат якого дорівнює чотирьом», ми зіткнемося з проблемою – таких чисел два. Це 2 та -2, т.к. теж дорівнює чотирьом. Виходить, що зворотне завдання у випадку вирішується неоднозначно, і дію визначення числа, яке у квадраті дало відоме нам число? має два результати. Це зручно показати на графіку:

А це означає, що такий закон відповідності чисел ми не можемо назвати функцією, оскільки для функції одного значення аргументу відповідає суворо однезначення функції.

Для того, щоб ввести саме зворотну функцію до зведення в квадрат, було запропоновано поняття арифметичного квадратного кореня, що дає лише невід'ємні значення. Тобто. для функції зворотної функцією вважається.

Аналогічно існують і функції, зворотні до тригонометричних, їх називають зворотними тригонометричними функціями. До кожної з розглянутих нами функцій існує своя зворотна, їх називають: арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс.

Ці функції вирішують завдання обчислення кутів за відомим значенням тригонометричної функції. Наприклад, з використанням таблиці значень основних тригонометричних функцій можна обчислити синус якого кута дорівнює. Знаходимо це значення у рядку синусів і визначаємо, якому кутку воно відповідає. Перше, що хочеться відповісти, що це кут або , але якщо у вас є таблиця значень до , ви відразу помітите ще одного претендента на відповідь, - це кут або . А якщо ми згадаємо про період синуса, то зрозуміємо, що кутів, при яких синус дорівнює , безліч. І така безліч значень кутів, що відповідають даному значенню тригонометричної функції, спостерігатиметься і для косінусів, тангенсів та котангенсів, т.к. всі вони мають періодичність.

Тобто. ми стикаємося з тією ж проблемою, яка була для обчислення значення аргументу значення функції для дії зведення в квадрат. І в даному випадку для зворотних тригонометричних функцій було введено обмеження області значень, які дають при обчисленні. Ця властивість таких зворотних функцій називають звуженням області значень, і воно необхідне для того, щоб їх можна було називати функціями.

Для кожної із зворотних тригонометричних функцій діапазон кутів, які вона повертає, вибрано свій, і ми їх розглянемо окремо. Наприклад, арксинус повертає значення кутів у діапазоні від до .

Вміння працювати зі зворотними тригонометричними функціями нам знадобиться при вирішенні тригонометричних рівнянь.

Зараз ми вкажемо основні властивості кожної із зворотних тригонометричних функцій. Хто захоче познайомитися з ними докладніше, зверніться до розділу «Рішення тригонометричних рівнянь» у програмі 10 класу.

Розглянемо властивості функції арксинус та побудуємо її графік.

Визначення.Арксинусом числаx

Основні властивості арксинусу:

1) при ,

2) при .

Основні властивості функції арксинус:

1) Область визначення ;

2) Область значень ;

3) Функція непарна Цю формулу бажано окремо запам'ятати, т.к. вона корисна для перетворень. Також зазначимо, що з непарності випливає симетричність графіка функції щодо початку координат;

Побудуємо графік функції:

Звернімо увагу, що жодна з ділянок графіка функції не повторюється, а це означає, що арксинус не є періодичною функцією, на відміну від синуса. Те саме буде ставитись і до всіх інших аркфункцій.

Розглянемо властивості функції арккосинусу і побудуємо її графік.

Визначення.Арккосинусом числаxназивають таке значення кута y, для якого . Причому як обмеження значення синуса, а як обраний діапазон кутів.

Основні властивості арккосинусу:

1) при ,

2) при .

Основні властивості функції арккосинусу:

1) Область визначення ;

2) Область значень;

3) Функція перестав бути ні парної ні непарної, тобто. загального вигляду . Цю формулу теж бажано запам'ятати, вона стане нам у нагоді пізніше;

4) Функція монотонно зменшується.

Побудуємо графік функції:

Розглянемо властивості функції арктангенсу та побудуємо її графік.

Визначення.Арктангенсом числаxназивають таке значення кута y, для якого . Причому т.к. обмежень на значення тангенса немає, бо як обраний діапазон кутів.

Основні властивості арктангенсу:

1) при ,

2) при .

Основні властивості функції арктангенсу:

1) Область визначення;

2) Область значень ;

3) Функція непарна . Ця формула також корисна, як і аналогічні їй. Як у випадку з арксинусом, з непарності випливає симетричність графіка функції щодо початку координат;

4) Функція монотонно зростає.

Побудуємо графік функції:

Що таке арксінус, арккосинус? Що таке Арктангенс, Арккотангенс?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

До понять арксінус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учень народ ставиться з побоюванням. Не розуміє він ці терміни і, отже, не довіряє цій славній родині.) А даремно. Це дуже прості поняття. Які, між іншим, колосально полегшують життя знаючому людині під час вирішення тригонометричних рівнянь!

Сумніваєтеся щодо простоти? Даремно.) Прямо тут і зараз ви в цьому переконаєтесь.

Зрозуміло, для розуміння, непогано знати, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс. Та їх табличні значення для деяких кутів... Хоча б у найзагальніших рисах. Тоді й тут проблем не буде.

Отже, дивуємось, але запам'ятовуємо: Арксінус, Арккосинус, Арктангенс і Арккотангенс - це просто якісь кути.Не більше не менше. Буває кут, скажімо 30 °. А буває кут arcsin0,4. Або arctg(-1,3). Будь-які кути бувають.) Просто записати кути можна різними способами. Можна записати кут через градуси чи радіани. А можна - через його синус, косинус, тангенс та котангенс...

Що означає вираз

arcsin 0,4?

Це кут, синус якого дорівнює 0,4! Так Так. Це сенс арксинусу. Спеціально повторю: arcsin 0,4 – це кут, синус якого дорівнює 0,4.

І все.

Щоб ця проста думка збереглася надовго в голові, я навіть наведу розбивочку цього жахливого терміна - арксинус:

arc sin 0,4
кут, синус якого дорівнює 0,4

Як пишеться, так і чується.) Майже. префікс arcозначає дуга(слово арказнаєте?), т.к. древні люди замість кутів використовували дуги, але це справи не змінює. Запам'ятайте це елементарне розшифрування математичного терміна! Тим більше, для арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу розшифровка відрізняється лише назвою функції.

Що таке arccos 0,8?
Це кут, косинус якого дорівнює 0,8.

Що таке arctg(-1,3)?
Це кут, тангенс якого дорівнює -1,3.

Що таке arcctg 12?
Це кут, котангенс якого дорівнює 12.

Таке елементарне розшифрування дозволяє, до речі, уникнути епічних ляпів.) Наприклад, вираз arccos1,8 виглядає цілком солідно. Починаємо розшифровку: arccos1,8 – це кут, косинус якого дорівнює 1,8... Скока-скока!? 1,8!? Косинус не буває більше одиниці!

Правильно. Вираз arccos1,8 немає сенсу. І запис такого виразу в якусь відповідь неабияк повеселить перевіряючого.)

Елементарно, як бачите.) Кожен кут має свій персональний синус і косинус. І майже у кожного – свій тангенс та котангенс. Отже, знаючи тригонометричну функцію, можна записати і сам кут. Для цього і призначені арксинуси, арккосинуси, арктангенси та арккотангенси. Далі я всю цю сімейку називатиму зменшувально - арки.Щоб друкувати менше.)

Увага! Елементарна словесна та усвідомленарозшифровка арків дозволяє спокійно і впевнено вирішувати різні завдання. А в незвичнихзавдання тільки вона і рятує.

А можна переходити від арків до звичайних градусів чи радіанів?- чую обережне запитання.)

Чому ні!? Легко. І туди можна і назад. Понад те, це іноді потрібно обов'язково робити. Арки - штука проста, але без них спокійніше, правда?)

Наприклад: що таке arcsin 0,5?

Згадуємо розшифровку: arcsin 0,5 - це кут, синус якого дорівнює 0,5.Тепер включаємо голову (або гугл)) та згадуємо, у якого кута синус дорівнює 0,5? Синус дорівнює 0,5 у кута в 30 градусів. Ось і всі справи: arcsin 0,5 - це кут 30 °.Можна сміливо записати:

arcsin 0,5 = 30 °

Або, більш солідно, через радіани:

Все, можна забути про арксинус і працювати далі зі звичними градусами чи радіанами.

Якщо ви усвідомили, що таке арксінус, арккосинус... Що таке арктангенс, арккотангенс...То легко розберетеся, наприклад, із таким монстром.)

Несвідома людина відсахнеться в жаху, так...) А обізнаний згадає розшифровку:арксинус - це кут, синус якого... Ну і таке інше. Якщо обізнана людина знає ще й таблицю синусів... Таблицю косинусів. Таблицю тангенсів та котангенсів, то проблем взагалі немає!

Досить збагнути, що:

Розшифрую, тобто. переведу формулу в слова: кут, тангенс якого дорівнює 1 (arctg1)- Це кут 45 °. Або що єдине, Пі/4. Аналогічно:

і все... Замінюємо всі арки на значення в радіанах, все скорочується, залишиться порахувати, скільки буде 1+1. Це буде 2.) Що і є правильною відповіддю.

Ось таким чином можна (і потрібно) переходити від арксінусів, арккосінусів, арктангенсів і арккотангенсів до звичайних градусів і радіанів. Це чудово спрощує страшні приклади!

Часто, в подібних прикладах, усередині арків стоять негативнізначення. Типу arctg(-1,3), або, наприклад, arccos(-0,8)... Це не проблема. Ось вам прості формули переходу від негативних значень до позитивних:

Потрібно вам, скажімо, визначити значення виразу:

Це можна і по тригонометричному колі вирішити, але вам не хочеться його малювати. Ну і добре. Переходимо від негативногозначення всередині арккосинусу до позитивномуза другою формулою:

Усередині арккосинусу справа вже позитивнезначення. Те, що

ви просто повинні знати. Залишається підставити радіани замість арккосинусу і порахувати відповідь:

От і все.

Обмеження на арксінус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

З прикладами 7 – 9 проблема? Так, є там деяка хитрість.)

Всі ці приклади, з 1-го по 9-й, ретельно розібрані по поличках у Розділі 555. Що, як і чому? З усіма таємними пастками та каверзами. Плюс методи різкого спрощення рішення. До речі, у цьому розділі багато корисної інформації та практичних порад щодо тригонометрії загалом. І не лише за тригонометрією. Дуже помагає.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Завдання, пов'язані зі зворотними тригонометричними функціями, часто пропонуються на шкільних випускних іспитах та вступних іспитах у деяких ВНЗ. Докладне вивчення цієї теми може бути досягнуто лише на факультативних заняттях чи елективних курсах. Пропонований курс покликаний якнайповніше розвинути здібності кожного учня, підвищити його математичну підготовку.

Курс розрахований на 10 годин:

1. Функції arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 год.).

2. Операції над зворотними тригонометричними функціями (4 год.).

3.Зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями (2 год.).

Урок 1 (2 год.) Тема: Функції y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Мета: повне висвітлення цього питання.

1. Функція y = arc sin x.

а) Для функції y = sin x на відрізку існує обернена (однозначна) функція, яку умовилися називати арксинусом і позначати так: y = arcsin x. Графік зворотної функції симетричний з графіком основної функції щодо бісектриси І – ІІІ координатних кутів.

Властивості функції y = arc sin x.

1) Область визначення: відрізок [-1; 1];

2) Область зміни: відрізок;

3) Функція y = arcsin x непарна: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Функція y = arcsin x монотонно зростаюча;

5) Графік перетинає осі Ох, Оу на початку координат.

Приклад 1. Знайти a = arcsin. Даний приклад докладно можна сформулювати так: знайти такий аргумент a, що лежить в межах від до, синус якого дорівнює.

Рішення. Існує безліч аргументів, синус яких дорівнює , наприклад: і т.д. Але нас цікавить лише той аргумент, що знаходиться на відрізку . Таким аргументом буде. Отже, .

Приклад 2. Знайти .Рішення.Розмірковуючи так само, як і в прикладі 1, отримаємо .

б) усні вправи. Знайти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0. Приклад відповіді: , т.к. . Чи мають сенс висловлювання: ; arcsin 1,5; ?

в) Розташуйте у порядку зростання: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

ІІ. Функції y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (аналогічно).

Урок 2 (2 години) Тема: Зворотні тригонометричні функції, їх графіки.

Мета: на даному уроці необхідно відпрацювати навички у визначенні значень тригонометричних функцій, у побудові графіків зворотних тригонометричних функцій з використанням Д(у), Е(у) та необхідних перетворень.

На даному уроці виконати вправи, що включають знаходження області визначення області значення функцій типу: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Слід побудувати графіки функцій: а) y = arc sin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin;

г) y = arcsin; д) y = arcsin; е) y = arcsin; ж) y = | arcsin | .

приклад.Побудуємо графік y = arccos

До домашнього завдання можна включити такі вправи: побудувати графіки функцій: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Графіки зворотних функцій

Мета: розширити математичні знання (це важливо для тих, хто вступає на спеціальності з підвищеними вимогами до математичної підготовки) шляхом введення основних співвідношень для зворотних тригонометричних функцій.

Матеріал для уроку

Деякі найпростіші тригонометричні операції над зворотними тригонометричними функціями: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arccos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x) = x, x I R; ctg (arcctg x) = x, x I R.

Вправи.

а) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) =; tg (arcctg x) = .

б) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Нехай arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) =; sin (arccos x) = .

Примітка: беремо перед коренем знак + тому, що a = arcsin x задовольняє .

в) sin (1,5 + arcsin). Відповідь: ;

г) ctg (+ arctg 3). Відповідь: ;

д) tg (- arcctg 4). Відповідь: .

е) cos (0,5 + arccos). Відповідь: .

Обчислити:

a) sin (2 arctg 5).

Нехай arctg 5 = a тоді sin 2 a = або sin (2 arctg 5) = ;

б) cos (+ 2 arcsin 0,8). Відповідь: 0,28.

в) arctg + arctg.

Нехай a = arctg, b = arctg,

тоді tg(a+b) = .

г) sin (arcsin + arcsin).

д) Довести, що всім x I [-1; 1] вірно arcsin x + arccos x =.

Доведення:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Для самостійного вирішення: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (-3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Для домашнього рішення: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 arctg 3.

Мета: на даному уроці показати використання співвідношень у перетворенні складніших виразів.

Матеріал для уроку

Усно:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

г) tg (arccos), ctg (arccos()).

ПИСЬМОВО:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Самостійна робота допоможе виявити рівень засвоєння матеріалу

Для домашнього завдання можна запропонувати:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg (arcsin)); 4) sin (2 arctg); 5) tg ((arcsin))

Мета: сформувати уявлення учнів про зворотні тригонометричні операції над тригонометричними функціями, основну увагу приділити підвищенню свідомості досліджуваної теорії.

Під час вивчення цієї теми передбачається обмеження обсягу теоретичного матеріалу, що підлягає запам'ятовування.

Матеріал для уроку:

Вивчення нового матеріалу можна розпочати з дослідження функції y = arcsin (sin x) та побудови її графіка.

3. Кожному x I R ставиться у відповідність y I, тобто.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Функція непарна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Графік y = arcsin (sin x) на:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( - x) = sinx , 0<= - x <= .

Отже,

Побудувавши y = arcsin (sin x) на , продовжимо симетрично щодо початку координат на [-; 0], враховуючи непарність цієї функції. Використовуючи періодичність, продовжимо на всю числову вісь.

Потім записати деякі співвідношення: arcsin (sin a) = a якщо<= a <= ; arccos (cos a ) = a якщо 0<= a <= ; arctg (tg a) = a якщо< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

І виконати наступні вправи: a) arccos (sin 2). Відповідь: 2 -; б) arcsin (cos 0,6). Відповідь: - 0,1; в) arctg (tg 2). Відповідь: 2 -;

г) arcctg (tg 0,6). Відповідь: 0,9; д) arccos (cos (-2)). Відповідь: 2 -; е) аrcsin (sin (-0,6)). Відповідь: - 0,6; ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Відповідь: 2 -; з) аrcctg (tg 0,6). Відповідь: - 0,6; - arctg x; д) arccos + arccos

Зворотні тригонометричні функції- це арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс.

Спочатку дамо визначення.

АрксинусомАбо, можна сказати, що це такий кут, що належить відрізку, синус якого дорівнює числу а.

Арккосинусомчисла а називається число , таке, що

Арктангенсомчисла а називається число , таке, що

Арккотангенсомчисла а називається число , таке, що

Розкажемо докладно про ці чотири нові для нас функції - зворотні тригонометричні.

Пам'ятайте, ми вже зустрічалися з .

Наприклад, арифметичний квадратний корінь у складі а - таке неотрицательное число, квадрат якого дорівнює а.

Логарифм числа b на підставі a - таке число с, що

При цьому

Ми розуміємо, навіщо математикам довелося «вигадувати» нові функції. Наприклад, рішення рівняння – це і ми не змогли б записати їх без спеціального символу арифметичного квадратного кореня.

Поняття логарифму виявилося необхідним, щоб записати рішення, наприклад, такого рівняння: Рішення цього рівняння - ірраціональне число Це показник ступеня, в який треба звести 2, щоб отримати 7.

Так само і з тригонометричними рівняннями. Наприклад, ми хочемо вирішити рівняння

Зрозуміло, що його рішення відповідають точкам на тригонометричному колі, ордината яких дорівнює І ясно, що це не табличного значення синуса. Як же записати рішення?

Тут не обійтися без нової функції, що означає кут, синус якого дорівнює даному числу a. Так, усі вже здогадалися. Це арксінус.

Кут, що належить відрізку, синус якого дорівнює - це арксинус однієї четвертої. І значить, серія рішень нашого рівняння, що відповідає правій точці на тригонометричному колі, - це

А друга серія рішень нашого рівняння – це

Докладніше про розв'язання тригонометричних рівнянь - .

Залишилося з'ясувати – навіщо у визначенні арксинусу вказується, що це кут, що належить відрізку ?

Справа в тому, що кутів, синус яких дорівнює, наприклад, нескінченно багато. Нам потрібно вибрати один із них. Ми вибираємо той, що лежить на відрізку .

Погляньте на тригонометричне коло. Ви побачите, що у відрізку кожному кутку відповідає певне значення синуса, причому лише одне. І навпаки, будь-якому значенню синуса з відрізка відповідає одне єдине значення кута на відрізку . Це означає, що на відрізку можна задати функцію приймаючої значення від до

Повторимо визначення ще раз:

Арксинусом числа a називається число , таке, що

Позначення: Область визначення арксинусу – відрізок Область значень – відрізок .

Можна запам'ятати фразу "арксинуси живуть праворуч". Не забуваємо тільки, що не просто справа, але ще й на відрізку.

Ми готові побудувати графік функції

Як завжди, відзначаємо значення х горизонтальної осі, а значення у - вертикальної.

Оскільки , отже, x лежить у межах від -1 до 1.

Отже, областю визначення функції y = arc sin x є відрізок

Ми сказали, що належить відрізку . Це означає, що областю значень функції y = arc sin x є відрізок .

Зауважимо, що графік функції y = arcsinx весь міститься в області, обмеженій лініями і

Як завжди при побудові графіка незнайомої функції почнемо з таблиці.

За визначенням, арксинус нуля - це таке число з відрізка, синус якого дорівнює нулю. Що за число? – Зрозуміло, що це нуль.

Аналогічно, арксинус одиниці - це число з відрізка , синус якого дорівнює одиниці. Очевидно, це

Продовжуємо: - це таке число з відрізка, синус якого дорівнює. Та це

Будуємо графік функції

Властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3. тобто ця функція є непарною. Її графік симетричний щодо початку координат.

4. Функція монотонно зростає. Її найменше значення, що дорівнює - , досягається при , а найбільше значення, що дорівнює , при

5. Що спільного у графіків функцій та ? Чи не здається вам, що вони «зроблені за одним шаблоном» - так само, як права гілка функції та графік функції, або як графіки показової та логарифмічної функцій?

Уявіть собі, що ми із звичайної синусоїди вирізали невеликий фрагмент від до, а потім розгорнули його вертикально – і ми отримаємо графік арксинусу.

Те, що для функції на цьому проміжку - значення аргументу, для арксинусу будуть значення функції. Так і має бути! Адже синус та арксинус – взаємно-зворотні функції. Інші приклади пар взаємно зворотних функцій - це при і, а також показова та логарифмічна функції.

Нагадаємо, що графіки взаємно зворотних функцій симетричні щодо прямої

Аналогічно, визначимо функцію Тільки відрізок нам потрібен такий, на якому кожному значенню кута відповідає своє значення косинуса, а знаючи косинус можна однозначно знайти кут. Нам підійде відрізок

Арккосинусом числа a називається число , таке, що

Легко запам'ятати: «Арккосинуси живуть зверху», і не просто зверху, а на відрізку

Позначення: Область визначення арккосинусу - відрізок Область значень - відрізок

Очевидно, відрізок обраний тому, що на ньому кожне значення косинуса приймається лише один раз. Іншими словами, кожному значенню косинуса від -1 до 1 відповідає одне-єдине значення кута з проміжку

Арккосинус не є ні парною, ні непарною функцією. Зате ми можемо використовувати наступне очевидне співвідношення:

Побудуємо графік функції

Нам потрібна така ділянка функції , на якій вона монотонна, тобто приймає кожне своє значення рівно один раз.

Виберемо відрізок. На цьому відрізку функція монотонно зменшується, тобто відповідність між множинами і однозначно взаємно. Кожному значенню х відповідає своє значення у. У цьому відрізку існує функція, зворотна до косинусу, тобто функція у = arccosx.

Заповнимо таблицю, користуючись визначенням арккосинусу.

Арккосинусом числа х, що належить проміжку , буде таке число y, що належить проміжку , що

Значить, оскільки ;

Так як ;

Так як ,

Так як ,

Ось графік арккосинусу:

Властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

Ця функція загального виду - вона не є ні парною, ні непарною.

4. Функція є строго спадаючою. Найбільше значення, що дорівнює , функція у = arccosx набуває при , а найменше значення, що дорівнює нулю, набуває при

5. Функції та є взаємно зворотними.

Наступні - арктангенс та арккотангенс.

Арктангенсом числа a називається число , таке, що

Позначення: . Область визначення арктангенсу-проміжок Область значень-інтервал.

Чому у визначенні арктангенса виключені кінці проміжку-точки? Звісно, ​​тому, що тангенс у цих точках не визначений. Немає числа a, рівного тангенсу якогось із цих кутів.

Побудуємо графік арктангенсу. Згідно з визначенням, арктангенсом числа х називається число у, що належить інтервалу , таке, що

Як будувати графік – вже зрозуміло. Оскільки арктангенс - функція зворотна тангенсу, ми чинимо так:

Вибираємо таку ділянку графіка функції , де відповідність між х та у взаємно однозначна. Це інтервал Ц На цій ділянці функція набуває значення від до

Тоді у зворотної функції, тобто у функції , область, визначення буде вся числова пряма, від до а областю значень - інтервал

Значить,

Значить,

Значить,

А що ж буде за нескінченно великих значень х? Іншими словами, як поводиться ця функція, якщо х прагне плюс нескінченності?

Ми можемо поставити собі запитання: для якого числа з інтервалу значення тангенсу прагне нескінченності? - Очевидно, це

Отже, при нескінченно великих значеннях графік арктангенса наближається до горизонтальної асимптоті

Аналогічно, якщо х прагне мінус нескінченності, графік арктангенса наближається до горизонтальної асимптоті.

На малюнку – графік функції

Властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3. Функція непарна.

4. Функція є строго зростаючою.

6. Функції і є взаємно оберненими - звичайно, коли функція розглядається на проміжку

Аналогічно, визначимо функцію арккотангенс та побудуємо її графік.

Арккотангенсом числа a називається число , таке, що

Графік функції :

Властивості функції

1. Область визначення

2. Область значень

3. Функція - загального виду, тобто ні парна, ні непарна.

4. Функція є строго спадаючою.

5. Прямі та - горизонтальні асимптоти цієї функції.

6. Функції та є взаємно зворотними, якщо розглядати на проміжку