Вычисление интегралов с помощью вычетов онлайн калькулятор. Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов
1. Вычисление интегралов по замкнутому контуру. Пусть функция f(z) имеет внутри замкнутого контура Г только изолированные особые точки. Тогда интеграл от f(z) по контуру Г можно найти, применяя теорему 27.1 о вычетах: вычисляя вычеты в особых точках, находящихся внутри контура Г, складывая эти вычеты и умножая сумму на 2тгг, мы и получим искомый интеграл.
Г1 р и м е р 28.1. Вычислить интеграл
Р е ш е н и е. Внутри окружности z = 2 находятся две особые точки функции f(z) = ( 2 2 + i)(^+3) 2 ’ а именно z i = U z 2 = -Ц третья особая точка z% = - 3 лежит вне этой окружности. Вычеты в точках ±г были найдены в примере 27.5: res*/ = 0,01(7-N), res_*/ = 0,01(7- г). Применяя формулу (27.2), имеем:
Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости С только изолированные особые точки, то вместо вычисления суммы вычетов в конечных особых точках бывает проще найти вычет в бесконечно удаленной точке и воспользоваться теоремой 27.10 о сумме вычетов.
Пример 28.2. Вычислить интеграл
Решение. Функция f(z) = имеет восемь особых точек
Решений уравнения z s 4- 1 = 0. Каждая из этих точек Zk является полюсом второго порядка, поскольку в окрестности точки Zk функция f(z) имеет вид f(z) = , где h(z) аналитична в окрестности
точки Zk и h(zk) ф 0. Все особые точки лежат внутри окружности z = 2. Вычисление вычетов во всех этих точках весьма трудоемко. По к данной функции применима теорема 27.10, которая дает
Поэтому достаточно найти вычег в точке zq = эо. Воспользуемся формулой (27.13). Здесь
Функция g(w) представима в виде = - 1 ^ ^. где h(w) = --
W (1 + W b)
Поскольку hi(w) аналитична в окрестности точки wq = 0 и h (0) Ф 0, то вычет reso$ легко найти по формуле (27.6 /): reso# = h(0) = 1. Из (27.2), (28.1) и (27.13) получаем:
- 2. Вычисление интегралов вида / R(cos ip, sin dp, где R -
рациональная функция от cos р, sin р. Такие интегралы возникают в ряде приложений (например, при решении краевых задач). Они сводятся к интегралам, рассмотренным в предыдущем пункте, с помощью замены переменного 2 = е г Тогда dz = e tip idp = zidp , откуда
(см. формулы (12.2)). При изменении р от 0 до 2тг точка г описывает окружность z = 1. Поэтому после перехода к переменному 2 мы получим интеграл по единичной окружности от функции, представимой в виде отношения двух многочленов; такие функции называются рациональными дробями или дробно-рациональными функциями.
Пример 28.3. Вычислить интеграл
Решен и е. Выполняя указанные выше подстановки, получим, что данный интеграл равен
Разложим знаменатель на множители, для чего найдем корни уравнения az 2 - (а 2 + )z + а = 0. Дискриминант
Следовательно, подынтегральная функция f(z) имеет две особые точки z - а и 22 = 1/а, каждая из которых является полюсом первого порядка. Так как по условию |а| Z лежит внутри окружности z = 1, а г? вне ее. По теореме 27.1
Для вычисления вычета в точке Z = а можно воспользоваться любой из формул (27.5), (27.6), (27.6"). Применим, например, формулу (27.6). Здесь
3. Вычисление несобственных интегралов. Пусть f(x)
функция, заданная на всей оси ОХ. Рассмотрим вычисление несоб-
ственных интегралов f f(x) dx, определяемых следующим образом:
Интеграл, определенный равенством (28.2), называется несобственным интегралом в смысле главного значения. Если предат в (28.2)
существует, то интеграл J f(x) dx называется сходящимся ; если пре-
дел не существует, то расходящимся.
Если сходится каждый из интегралов
(т.е. существуют оба соответствующих предела), то несобственный интеграл в (28.2) также сходится и равен сумме этих интегралов.
Но обратное неверно: из сходимости интеграла / f(x)dx в смысле
главного значения (т.е. из существования предела в (28.2)) не сле-
дует сходимость интегралов / f(x)dx и / f(x)dx. Например, инте-
- -оо о
/ xdx
- --^ сходится в смысле главного значения и равен нулю,
- 1 + х*
поскольку
В то же время каждый из интегралов расходится.
Вычисление многих несобственных интегралов
(в смысле главного значения) основывается на следующей теореме.
Теорема 28.4. Пусть функция f(x),x 6 (-оо, +ос), удовлетворяет следующим двум условиям:
- 1) функция f(z ), получаемая заменой х комплексным,: переменным z, имеет в комплексной плоскости С лишь изолированные особые точки , причем ни одна из них не лежит на оси ОХ ;
- 2) если 7(Я) - полуокружность радиуса R с центром в начале координат , лежащая в верхней (либо в нижней) полуплоскости , то
в осо-
Тогда интеграл. J f(x)dx равен сум.ме вычетов функции f(z)
бых точках, лежащих в верхней полхрхлоскоети, умноженной на 2/П (соответственно ]твен сумме вычетов в особых точках из нижней полуплоскости, умноженной па - 2 лг).
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда полуокружность 7(Я) лежит в верхней полуплоскости. Возьмем замкнутый контур Г, состоящий из отрезка [-Я, Я] и полуокружности 7(Я), с обходом против часовой стрелки (рис. 49). По теореме 27.1
где сумма распространяется на все особые точки Zk , лежащие внутри контура Г. Перейдем к пределу при Я -> оо. Пользуясь соотношениями (28.2) и (28.3), получим нужное равенство:
где сумма берется по всем особым точкам из верхней полуплоскости.
Бели полуокружность 7(Я) лежит в нижней полуплоскости, то соответствующий контур Г“ будет обходиться по часовой стрелке (такое направление возникает оттого, что отрезок [-Я, Я] в любом случае должен проходиться слева направо, т.е. в направлении возрастания х). Поэтому в правой части (28.4) добавится знак минус. Теорема 28.4 доказана.
Пример 28.5. Вычислить интеграл
Решение. В данном случае f(z) = ^ + уу Проверим справедливость условия (28.3):
где h(z) = --§-ту. Так как lim h(z) = 1, то при достаточно боль-
ших значениях z будет h(z)
Следовател ь но.
(здесь f dz = тгR - длина полуокружности у(R)). Переходя к пре- 7(«)
делу при R -> оо. получим (28.3). Проведепные оценки справедливы как для верхней, так и для нижней полуокружности. Поэтому в качестве 7(Л) можно выбрать любую из них. Пусть у(R) - верхняя полуокружность. Так как
то f(z) имеет две особые точки z - 3г, zo = -Зг, являющиеся полюсами второго порядка. Из них в верхней полуплоскости находится только z = Зг. Вычет в этой точке найдем по формуле (27.7) с тг = 2:
Заметим, что вычислить данный интеграл можно было и не прибегая к методам комплексного анализа, а находя первообразную подынтегральной функции. Но приведенное вычисление значительно проще.
Рассуждение, проведенное нами в примере 28.5 для проверки условия (28.3), без изменения подходит к любой функции f(z), представимой в виде отношения двух многочленов (т.е. рациональной дроби), если степень многочлена в знаменателе на две и более единицы превосходит степень многочлена в числителе. (В примере 28.5 степень многочлена в числителе равна 2, а в знаменателе - 4.) Следующая теорема показывает, что условию (28.3) удовлетворяет и другой важный класс функций, интегралы от которых возникают, например, в операционном исчислении (см. гл. VIII).
Теорема 28.6 (лемма Жордана). Пусть функция F(z) аполитична в полуплоскости lm z ^ -а, за исключением конечного числа изолированных особых точек , и lim F(z) = 0. Если 7(R) - дуга
окружности z = 7?, расположенная в полуплоскости Ini 2 ^ -а, то
Рис. 50
Доказательство. Рассмотрим вначале случай а > 0. Обозначим через М (7?) максимум модуля F(z) на дуге 7(7?). Поскольку lira F(z) = 0, то
lim M(R) = 0.
Разобьем 7(7?) на три части 7i (Л), 72(7?) и 7з(Т?) (рис. 50): дуги 7i(R) и 72(Я) заключены между прямой у = -а и осью ОА", а 7з(Т?) является полуокружностью, лежащей в полуплоскости Im z ^ 0. Очевидно, что интеграл по 7(7?) равен сумме интегралов по этим трем дугам. Оценим каждый из них в отдельности.
В точках z = х + iy дуг 71 (7?) и 72(7?) будет -у Поэтому
Обозначим через /(7?) длины, а через у?(7?) - центральные углы дуг 7i(T?) и 72(7?) (в радианах). Легко видеть (см. рис. 50), что siny? =
откуда?>(7?) = arcsin -. Поэтому /(7?) = R
7?arcsin -. Отсюда получаем
Таким образом, в случае а > 0 теорема доказана. Если а ^ 0, то дуга "y(R) лежит в полуплоскости Im z ^ 0 и является частью дуги 73(R); части 7i (R) и 7г(Я) в этом случае отсутствуют. Для 7(R) справедливы рассуждения, проведенные выше для 73(7?), и теорема 28.G полностью доказана.
Смысл теоремы 28.6 состоит в том. что функция F(z) может стремиться к нулю сколь угодно медленно (заметим, что в примере 28.5 убывание функции f(z) при z -? оо было достаточно быстрым как |z|“ 2). Но умножение на e ltz обеспечивает стремление интеграла по 7(R) к нулю.
Замечание. Для случая t z = /?, лежащую в полуплоскости Imz ^ -а (на рис. 50 показана пунктиром). Доказательство в этом случае аналогично приведенному выше для t > 0. В случае t - 0 теорема 28.6 неверна.
П р и м е р 28.7. Вычислить интегралы
Таким образом, действительная и мнимая части функции f(x) и являются теми функциями, интегралы от которых нужно найти. Поэтому
ются теми функциями, интегралы от которых нужно найти. Поэтому
/ Х€*^ х
- --- dx и возьмем от него действиям + 9
тельную и мнимую части, то получим искомые величины.
Функция F(z) = .Д удовлетворяет условиям теоремы 28.6: она z "f 9
имеет только две особые точки z > = ±3t и lim -- = 0. Ес-
z->o о Z z + 9
ли 7(/?) дуга окружности z = R, расположенная в полуплоскости Im z > 0. то согласно tcodcmc 28.6
(мы взяли в (28.5) t = 2). Значит, можно применить теорему 28.4,
согласно которой интеграл / --- dx равен сумме вычетов функ-
J x z 4- 9
ции f(z) = - -- в особых точках из верхней полуплоскости 1 т z > z I J
О, умноженной на 2т. В полуплоскости Im z > 0 лежит единственная
Z e i2z
особая точка Z = Зг функции f(z). Так как f(z) = - -----,
(z - oi)(z + Зг)
то z = Зг - полюс первого порядка. Вычет в этой точке можно найти по любой из сЬоомул (27.,"В. (27.6L (27.63. Ппименим (27.63. Злесь
Действительная и мнимая части полученного числа и будут искомыми и I ггегралам и:
(Заметим, что равенство нулю первого из этих интегралов непосредственно следует из того, что он является интегралом от нечетной функции по интервалу, симметричному относительно начала координат.)
Определение . Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых f(z) не является аналитической, называют особыми точками (в частности, точки, в которых f(z) не определена).
Определение . Точка z 0 называется нулем (корнем) порядка (кратности) аналитической функции f(z),если:
б) существует, конечен и не равен нулю.
Если целые положительные числа), тогда – нули (корни) этого многочлена, которые имеют соответственно порядки (кратности) .
Определение . Пусть f (z ) аналитическая функция в окрестности точки z 0 , за исключением самой точки z 0 . В этом случае точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f (z ).
Различают изолированные особые точки однозначной функции трёх типов :
1) устранимую особую точку – изолированную особую точку z 0 , в которой существует конечный предел:
2) полюс k-го порядка – изолированную особую точку z 0 , в которой существует конечный предел, не равный нулю:
(2.41)
если , то z 0 – полюс первого порядка (простой полюс);
3) существенно особую точку – изолированную особую точку z 0 , которая не является ни устранимой, ни полюсом. То есть не существует, ни конечный, ни бесконечный.
Теорема (о связи между нулем и полюсом) . Если точка z 0 – нуль порядка к функции f(z), то для функции 1/f(z) эта точка является полюсом порядка к.
Пусть f(z) – функция, аналитическая в каждой точке области D, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и L — кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области D и не проходящий через особые точки функции f(z).
Если в области, ограниченной контуром L, не содержится особых точек функции f(z), то по основной теореме Коши
.
Если же в области, ограниченной контуром L, имеются особые точки функции f(z), то значение этого интеграла, вообще говоря, отлично от нуля.
Определение . Вычетом аналитической функции f(z) относительно изолированной особой точки z 0 (или в точке z 0) называется комплексное число, равное значению интеграла , где L – любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f(z) и содержащий внутри себя единственную особую точку z 0 функции f(z).
Вычет f(z) относительно точки z 0 обозначается символом resf(z 0)(Resf(z 0)) или так, что имеем:
. (2.42)
Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю:
Вычет f(z) относительно простого полюса можно найти по формуле:
Вычет f(z) относительно полюса порядка к находят по формуле:
Если причем точка является простым нулем и не является нулем для , то:
. (2.46)
Основная теорема Коши о вычетах . Если функция f(z) аналитическая в замкнутой области , ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри ,то:
Эта теорема имеет большое значение для приложений.
Одно из них – это вычисление некоторых интегралов от функции комплексной переменной.
Замечание . В предыдущих рассуждениях о вычетах неявно предполагалось, что рассматриваются конечные изолированные особые точки (это ясно из того, что интеграл по замкнутому контуру по умолчанию брался в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, а особая точка при этом попадает внутрь контура только в случае, когда она конечна). В случае же, когда рассматривается бесконечно удаленная точка, ситуация несколько иная. Точнее, сформулируем это так.
Определение .Вычетом функции f(z) относительно бесконечно удаленной точки называют интеграл:
где L – замкнутый кусочно-гладкий контур, целиком лежащий в той окрестности точки , в которой функция f(z) является аналитической. Интегрирование по Lсовершается в отрицательном направлении этого контура, т.е. так, чтобы при обходе контура бесконечно удаленная точка оставалась слева. Таким образом:
Пример 1
Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:
.
Решение
1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):
Особые точки: .
2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область графически (рис. 2.7).
Точку z = 1 не рассматриваем, так как она не лежит внутри области .
3) Определим тип рассматриваемой изолированной особой точки z = 0. Найдем предел по формуле (2.41):
Так как предел существует, то z = 0 – полюс первого порядка (простой полюс).
4) Найдем вычет функции относительно простого полюса z = 0, используя формулу (2.44):
5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47):
Ответ
Пример 2
Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах.
Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!
Решение неопределённых интегралов
Это онлайн сервис в один шаг :
Решение определённых интегралов
Это онлайн сервис в один шаг :
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Ввести нижний предел для интеграла
- Ввести верхний предел для интеграла
Решение двойных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Решение несобственных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
- Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)
Решение тройных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
- Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
- Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования
Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность
Возможности
- Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
- Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
- Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
- Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
- Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)