Числовая последовательность может иметь. Как вычислить пределы последовательностей? Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Последовательность как качество личности – склонность неотступно следовать чему-либо, неуклонно проводить в жизнь что-либо, осуществлять действия, которые непрерывно следуют одно за другим.

Один знатный купец, прослышав об удивительных способностях набожного старца, пришел к нему в пещеру с просьбой: «О, достопочтенный праведник! Напиши для моей семьи какое-нибудь доброе пожелание. Я очень люблю своих детей и внуков. И я хочу, чтобы они были счастливы. Дай нам свой завет». Благочестивый старец взял бумагу, перо — и купец тут же получил то, о чем спрашивал. Пожелание было очень кратким: «Умер дед, умер сын, умер внук». — Что ты такое здесь написал, сумасшедший?! – замахал руками разгневанный купец. – Разве я пришел к тебе за проклятиями? — Ты ничего не понял, — ответил праведник. – Все мы когда-нибудь вернемся к Отцу Небесному. Но проклятием было бы, если б я написал: «Умер внук, умер сын, умер дед». А эта последовательность правильная. Если вы уйдете в таком порядке, это будет счастьем.

Последовательный человек – герой нашего времени, в котором как никогда высоко ценятся практически-аналитический склад ума, здоровый прагматизм и реализм. Работодатели, представляющие крупные организации с амбициозными целями и задачами, отдают предпочтение людям, у которых последовательность стала ярко выраженным качеством личности. В претендентах их прельщает надежность, предсказуемость, рассудительность, решительность и убежденность в своих взглядах. Любому руководителю будет по душе уверенный в себе человек, который выверенными, отточенными и непоколебимыми действиями последовательно кратчайшим путем выполняет поставленную перед ним задачу.

Последовательность – родная сестра целеустремленности – способности решительно, упорно и настойчиво стремиться к реализации своей цели. Последовательный человек не уронит цель, он знает свой путь и никуда с него не свернет. Путь к высокой цели может быть извилист и долог. Стороннему наблюдателю могут показаться абсурдными какие-то отдельные действия последовательности. А «ларчик просто открывается» — она четко видит конечный результат своих действий. Отдельные действия складываются в логическую цепочку, приводящую последовательность к задуманной цели.

Последовательность – любимица цели, ей внутренне присущи постоянство и сосредоточенность на каком-то виде работ, без которых невозможно достичь сколько-нибудь достойной цели. Последовательный человек непрерывно, не отвлекаясь от поставленной задачи, выполняет до конца одно дело и только затем переходит к другому. Он точно и правильно распределяет время по этапам и периодам, при этом постоянно обдумывая, где и как можно сэкономить время.

Зачастую люди заигрывают с последовательностью и, не будучи ее настоящим обладателем, тут же получают от жизни поучительный урок за ее иллюзию. Необдуманно и скоропалительно приняв какое-то решение вчера, они уже утром не находят себе места – быть непоследовательным стыдно и неавторитетно. Поэтому вчерашнее решение, каким бы глупым оно ни было, приходится неохотно выполнять, чтобы не «уронить честь мундира». Но, вдруг, выясняется его противоречивость и вредность для дела. Включать упрямство? Себе еще больше навредить. Пойти на попятную? Будут говорить, что у него семь пятниц на неделе. И начинается шараханье в мыслях, действиях и поступках. Человека лихорадит страх перед наказанием, но и перед начальством невыгодно обнажать фрагментарность своей натуры. В итоге лжепретенденту на последовательность дорого обходится иллюзия своей личностной целостности.

Последовательность всегда высоко котировалась общественным мнением, считалась одним из атрибутов справедливости, поэтому люди унаследовали от своих далеких предков стремление выглядеть последовательными в своих словах и делах. Она всегда ассоциировалась с интеллектуальностью, силой, логикой, рациональностью, стабильностью и честностью. Как сказал великий английский физик Майкл Фарадей, последовательность порой одобряется в большей степени, чем правота. Когда Фарадея как-то после лекции спросили, не считает ли он, что ненавидимый им ученый соперник всегда неправ, Фарадей сердито посмотрел на спрашивающего и ответил: «Он не до такой степени последователен». Непоследовательный человек – невыгодный социальный статус как символ легкомыслия, непостоянства и ненадежности. С ним никто не хочет иметь дела. Вполне понятно, почему люди опасаются прослыть непоследовательными – это прямая угроза оказаться на общественных задворках.

Страх быть непоследовательным – удивительно интересный и привлекательный объект манипуляцией людьми. Последовательность, как большое человеческое достоинство, как прекрасное качество личности, становится крючком, за который манипуляторы цепляют люди ради достижения своих корыстных целей. Дело в том, что атрибутом последовательности является автоматизм, определенная машинальность в выполнении своих действий. В целом автоматизм рационален и полезен, позволяя человеку не задумываться каждый раз над каждым своим действием и, тем самым, экономить массу времени.

Роберт Б. Чалдини заметил: «Поскольку нам обычно полезно быть последовательными, мы поддаемся искушению быть таковыми автоматически, даже в ситуациях, когда это неблагоразумно. Если последовательность проявляется бездумно, она может быть гибельной… Автоматическое стремление к последовательности является своего рода щитом, выставляемым мышлением. Неудивительно, что этот механизм интенсивно используется теми, кто предпочитает, чтобы мы реагировали на их требования не задумываясь. Для подобного рода эксплуататоров наше автоматическое стремление к последовательности является золотой жилой. Они умеют так ловко заставить нас проигрывать свои «магнитофонные записи последовательности», когда им это выгодно, что мы даже не осознаем, что нас поймали. В великолепно отточенном стиле джиу-джитсу такие люди выстраивают взаимоотношения с нами таким образом, что наше собственное желание быть последовательным приносит им прямую выгоду».

Рассмотрим прием манипуляторов «Начинай с малого». Однажды сказав «Да», подтвердив свое согласие, в дальнейшем человек становится более уступчивым и сговорчивым. Уступив в мелочах, следующую просьбу, если она будет логическим продолжением первой просьбы, человек выполняет, отталкиваясь только от принципа последовательности. «Мы уезжаем в отпуск,- говорит сосед, — у нас к Вам огромная просьба – поливать цветы в квартире. Вот ключи». Вы даете согласие и чувствуете себя бескорыстным человеком, чуть ли не альтруистом. Спустя полгода он опять обращается к Вам: «Мы улетаем с женой на две недели в Тайланд. Опять к Вам огромная просьба – поливать цветы и поухаживать за нашим песиком. Его надо утром и вечером выгуливать, а корм мы Вам оставляем». Вам уже неудобно быть непоследовательным, можно, конечно, отказаться, но Вы уже понимаете, как неприятно потом будет на душе, ведь Вы – альтруист, надо соответствовать высокому значению этого слова.

К приемам манипуляции на стремлении людей быть последовательными можно также отнести письменное согласие. Большинство людей, подписываясь под каким-либо заявлением или анкетой, в дальнейшем автоматически начинают защищать то, что там было прописано, даже если подпись ставилась на «автопилоте», машинально или под влиянием обстоятельств.

«Хорошо» себя зарекомендовал прием «публичное заявление о хорошем положении дел». Когда с людей хотят выудить деньги на благотворительность, начинают издалека: например с вопросов о финансовом состоянии фирмы или самого человека. «Как ваша фирма чувствует себя на рынке? Считаете ли вы себя преуспевающим и активным человеком?». Когда люди расслабляются, идет атака: «Согласитесь ли вы помочь нуждающимся?» Людям, заявившим о хорошем состоянии дел, уже тяжело быть непоследовательными. Манипуляторы довольно потирают руки и радуются, что люди наделены таким качеством личности как «кормилица ты наша, Последовательность!»

Петр Ковалев

Определение .
Числовой последовательностью { x n } называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставится в соответствие некоторое число x n .
Элемент x n называют n-м членом или элементом последовательности.

Последовательность обозначается в виде n -го члена, заключенного в фигурные скобки: . Также возможны следующие обозначения: . В них явно указывается, что индекс n принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
, , .

Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.

Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.

Примеры последовательностей

Примеры неограниченно возрастающих последовательностей

Рассмотрим последовательность . Общий член этой последовательности . Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к : при .

Теперь рассмотрим последовательность с общим членом . Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n , элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к : при .

Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу

Рассмотрим последовательность . Ее общий член . Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n , элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0 : при . Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0 с погрешностью . Ясно, что с ростом n эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n , погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0 можно указать такой номер N , что для всех элементов с номерами большими чем N : , отклонение числа от предельного значения a не превзойдет погрешности ε : .

Далее рассмотрим последовательность . Ее общий член . Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n равны . Поэтому, с ростом n , их величины приближаются к предельному значению a = 0 . Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0 , для которой можно найти такой номер N , что элементы, с номерами большими чем N , будут отклоняться от предельного значения a = 0 на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0 : при .

Примеры расходящихся последовательностей

Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:

Вот ее первые члены:


.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0 . Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2 . Сама же последовательность, с ростом n , не сходится ни к какому значению.

Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)

Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем


.
И так далее.

В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.

Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.

Например, для точки a = 0 можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0 .

Для точки a = 1 выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1 .

Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.

Последовательность, содержащая все рациональные числа

Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.

Рациональное число r можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n поставить в соответствие пару чисел p и q так, чтобы любая пара p и q входила в нашу последовательность.

Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.

Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:

.
И так далее.

Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .

Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.

Заключение

Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице