Гипотеза пуанкаре простыми словами. Можно ли объяснить гипотезу Пуанкаре «на пальцах»? Что такое гипотеза Пуанкаре

Гениальный математик, парижский профессор Анри Пуанкаре занимался самыми разными областями этой науки. Самостоятельно и независимо от работ Эйнштейна в 1905 году он выдвинул основные положения Специальной теории относительности. А свою знаменитую гипотезу он сформулировал еще в 1904 году, так что на ее решение потребовалось около столетия.

Пуанкаре был одним из родоначальников топологии — науке о свойствах геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. К примеру, воздушный шарик можно с легкостью деформировать в самые разные фигуры — как это делают для детей в парке. Но потребуется разрезать шарик, чтобы скрутить из него бублик (или, говоря геометрическим языком, тор) — другого способа не существует. И наоборот: возьмите резиновый бублик и попробуйте «превратить» его в сферу. Впрочем, все равно не выйдет. По своим топологическим свойствам поверхности сферы и тора несовместимы, или негомеоморфны. Зато любые поверхности без «дырок» (замкнутые поверхности), наоборот, гомеоморфны и способны, деформируясь, переходить в сферу.

Если насчет двумерных поверхностей сферы и тора все было решено еще в XIX веке, для более многомерных случаев потребовалось гораздо больше времени. В этом, собственно, и состоит суть гипотезы Пуанкаре, которая расширяет закономерность на многомерные случаи. Немного упрощая, гипотеза Пуанкаре гласит: «Всякое односвязное замкнутое n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере». Забавно, что вариант с трехмерными поверхностями оказался самым непростым. В 1960 году гипотеза была доказана для размерностей 5 и выше, в 1981 — для n=4. Камнем преткновения стала именно трехмерность.

Развивая идеи Вильяма Тёрстена и Ричарда Гамильтона, предложенные ими в 1980-х годах, Григорий Перельман применил к трехмерным поверхностям особое уравнение «плавной эволюции». И сумел показать, что исходная трехмерная поверхность (если в ней нет разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу (это поверхность четырехмерного шара, и существует она в 4-мерном пространстве). По словам ряда специалистов, это была идея «нового поколения», решение которой открывает новые горизонты для математической науки.

Интересно, что сам Перельман отчего-то не потрудился довести свое решение до окончательного блеска. Описав решение «в целом» в препринте The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications в ноябре 2002 года, он в марте 2003 года дополнил доказательство и изложил его в препринте Ricci flow with surgery on three-manifolds , а также сообщил о методе в серии лекций, которые прочел в 2003 году по приглашениям ряда университетов. Ни один из рецензентов не смог обнаружить в предложенном им варианте ошибок, но и публикации в реферируемом научном издании Перельман не выпустил (а именно таковым, в частности было необходимое условие получения премии ). Зато в 2006 году на основе его метода вышел целый набор доказательств, в которых американские и китайские математики подробно и полностью рассматривают проблему, дополняют моменты, опущенные Перельманом, и выдают «окончательное доказательство» гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре́ (точнее Теорема Пуанкаре́ - поскольку это доказанная гипотеза ) является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.

Формулировка

Гипотеза Пуанкаре

В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает. Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает: Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

История

В 1900 годуПуанкаресделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В1904 годуон же нашёл контрпример, называемый теперьсферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала интереса. В 1930-х годах Джон Уайтхедвозродил интерес к гипотезе объявив о доказательстве, но затем отказался от него.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ≥ 5 получены в начале 1960-1970-х почти одновременноСмейлом, независимо и другими методамиСтоллингсом(англ. ) (дляn ≥ 7, его доказательство было распространено на случаиn = 5 и 6Зееманом(англ. )). Доказательство значительно более трудного случаяn = 4 было получено только в1982 годуФридманом. Из теоремыНовиковао топологической инвариантности характеристическихклассов Понтрягинаследует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено только в2002 годуГригорием Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных. Доказательство использует модификациюпотока Риччи(так называемыйпоток Риччи с хирургией ) и во многом следует плану, намеченномуГамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Схема доказательства

Поток Риччи - это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» - точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» - выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, открытую областьдиффеоморфную прямому произведению ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой - после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие можно представить как набор сферических пространственных форм , соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм и более того все тривиальны. Таким образом, является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

На диск, эллипс можно натянуть изогнутую линию. Понятно,
что на шар, дыню можно натянуть круглую"лепешку" и
затянуть ее шнуром, как, например, рюкзак.

Логично предположить, что на N - мерный эллипсоид, в том
числе N-мерную сферу, и на подобные поверхности, может быть
натянута N-1 мерная сфера и затянута гипершнуром. Эллиптическая
сфера не может быть равномерно натянута на сферу или "дыню"
высшего порядка размерности. Попытки натянуть сферу на другую
фигуру высшей размерности, например, бублик, скорее всего,
будут неудачными.

Интересно рассмотреть полное покрытие поверхности N- ного порядка
поверхностью N-1 порядка, оставляющее "шов" меньшей размерности.

Топология помогает понимать суть высших размерностей при помощи
непрерывных деформаций поверхностей меньшей размерности.
То есть, описание нашего искривленного пространства дает ключ к
пониманию пространства высших размерностей.

Математик Г.Перельман доказал, что трехмерная сфера - это единственная
трехмерная форма, поверхность которой может быть стянута в одну точку
неким гипотетическим «гипершнуром».

Http://kp.ru/daily/24466.4/626061/#EDRT

Форма у нашей Вселенной. И позволяет в е с ь м а о б о с н о в а н н о
предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера. Но если Вселенная -
единственная «фигура», которую можно стянуть в точку, то, наверное, можно
и растянуть из точки. Что служит косвенным подтверждением теории Большого
взрыва, которая утверждает: как раз из точки Вселенная и произошла.
Получается, что Перельман вместе с Пуанкаре огорчили так называемых
креационистов - сторонников божественного начала мироздания. И пролили
воду на мельницу физиков-материалистов".

Конечно же, Вселенная гораздо сложнее, чем сфера любой, какой угодно,
размерности! И понятие развития Вселенной из точки, так называемая
теория Большого взрыва, льет гораздо больше воды на другие мельницы -
теорий Божественного происхождения нашей Вселенной!

Рецензии

Любые теории происхождения самой вселенной - не состоятельны!
Допустимо рассуждать о происхождении знаний о вселенной.
Зрительное восприятие вселенной ограничено чисто физическими возможностями,
оптического канала наблюдения просторов вселенной,
наблюдателя, расположившегося на Земле или на орбите.
Второе ограничение возможностей наблюдения вселенной, физическое закономерное рассеяние мощности источника излучения в пространстве вселенной.
Третье ограничение накладывается самим пространством, преобразующим,
в своей среде, электромагнитные колебания, которыми является видимый свет, с длиной электромагнитной волны, в оптическом диапазоне:
от 400 нанометров, ... , - до 700 нанометров,- в электромагнитные колебания радиочастотного - невидимого для глаза спектра (инфракрасного, субмиллиметрового, миллиметрового, сантиметрового, дециметрового, метрового и далее, до квазистатического магнитного эффекта и квазистатического электричества, соответствующего
бесконечно длинным волнам), -
приводящее к пониманию неограниченности вселенной.
А! Путаницы, внесённые квази-учёными, смешавшими понятия галактики и вселенной, да, и, понятия свойственные церкви, считающей вселенную количеством прихожан в сельскую церковь, следует считать возложенными на совесть носителей этих понятий. В том числе, на совесть проповедников теории большого взрыва.
Альберт Эйнштейн, основатель теории относительности, потому так и назвал свою теорию, "Теорией Относительности", потому, что его теория - не теория "Абсолютности", а теория относительности, от математического понятия "отношение", используемое при измерениях, и применяемое в отношении "меры". А! Это, совершенно не применимо к неизмеримым величинам. К которым следует отнести человеческое понятие вселенной.
Альберт Эйнштейн сразу стал сопротивляться настойчивости "лже-друзей", пытающихся, натянуть понятие относительности на понятие абсолютности вселенной. Лже-друзья Альберта Эйнштейна, своей силовой сплочённостью сломили волю учёного, но это привело к уничтожению его серьёзных научных трудов.
Понятие вселенной выходит за пределы точных наук, и поэтому является "пробным камнем" или "камнем преткновения"
- "key stone of the pacific"- для философов.

2010, август, 06, пятница, 18:28:00 - время по Омскому меридиану.
Виктор Дмитриевич Перепёлкин

Здравствуйте! Уважаемый Всеволод Новопашин!
Здесь из Омска Виктор Перепёлкин.
Разлетания галактик не существует!!!
Потому, что разлетание - выдумка, базирующаяся
на желании получить "нобелевку", за обнаружение
взрыва вселенной, - путём указания на красное
"смещение",- которому приписывается результат
Допплеровского "сдвига" частот, в спектрах
галактик, которые удалены от Земли, на столько,
что мощность излучений очень ослаблена в
пространстве, причём, до такого предела,
что быстрые, то есть энергичные колебания, не
возможны, а до наблюдателя, доходят медленные,
то есть ослабленные колебания.
Член корреспондент Академии Наук СССР, до этого
получивший 7 - классное образование, и работавший
на дальневосточной дороге строителем
и
минуя 3 класса, не постигнув наук в 8, 9, и 10 -
классах средней общеобразовательной школы, путём
поступления в Дальневосточный университет,
а
затем Московский университет,
сразу в Астрономический институт, хотя у него
были серьёзные недостатки со зрением,
из за чего его не взяли в армию и даже на фронт,
занимаясь радиоастрономией, написал и опубликовал,
свою книгу под названием: "Жизнь Земля Вселенная",
в которой пропагандировал идеи большого взрыва,
из за которого, якобы появилась вселенная
и
реликтовое излучение на радиочастотах,
и про красное смещение спектров,
как Допплеровский эффект, который наблюдается,
в основном на железной дороге,
при близко проезжающем гудящем паровозе,
а
на больших расстояниях Допплеровский эффект
не существенен.
Поэтому нельзя рассматривать красное "смещение",
как эффект разбегания вселенной.
Вселенная НЕ РАЗБЕГАЕТСЯ!
Вселенная существовала всегда
и
вселенная будет существовать всегда.
Пространство вселенной не ограничено.
Галактики не разлетаются!
Изменение фокусировки телескопа, создаёт эффект
разлетания изображения, но не галактик.
Обман зрения. Результат восприятия человеком
перемещающихся меток на экране видео монитора.

Другой вопрос: "Об ограниченности восприятия
человеком пространства вселенной".

Ограничение восприятия - существует!

Ни какие технические средства,
- не позволяют увидеть того,
что располагается за пределами возможностей
оптического канала восприятия.
Расширение пределов восприятия вселенной,
становится возможным, если согласиться
с
существующим, не только наличием фильтрующего
эффекта космического пространства, как упомянул
Близнецов,
но
и
существующим в космическом пространстве эффекта
преобразования энергичных колебаний, в более
длинно волновые колебания, соответствующие
ослабленной энергии радиочастотных колебаний,
не видимых в оптическом
диапазоне электромагнитных колебаний,
доступных для восприятия простым глазом.
С уважением! Виктор Перепёлкин
2010, сентябрь, 28, вторник, 22:56:00,-
время по Омскому меридиану

Нашла неплохой ответ в одной из статей, посвященных это теме, правда, пришлось немного переструктурировать текст:

Одна из причин, побудивших к работе над этим докладом, стало памятное событие современного математического мира в 2006 году. Математический мир был взбудоражен высокой вероятностью того, что одна их проблем тысячелетия, - догадка А. Пуанкаре, - наконец нашла своё решение благодаря одному российскому математику. После почти четырёх лет проверки работа Григория Перельмана была признана как бесспорное доказательство. С этого времени догадка Пуанкаре становится теоремой Пуанкаре-Перельмана.

Звучит она так:

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края (это свойства нашей Вселенной) гомеоморфно (тождественно) трёхмерной сфере (сфере, похожей на бублик с дыркой).

Благодаря этому доказательству, есть возможность отстоять точку зрения, что что точка пространства-и-времени имеет два онтологических измерения своей собственной активности:

Одно измерение (сфера бытия) - связано с влиянием его предшествующей истории; это измерение памяти, которое проявляется как "дырка", ноль, ничто, которое является невидимой оснасткой активности "центра индетерминации" (Бергсон).

Второе измерение (сфера существования) - связана с его взаимодействиями в настоящем; это измерение взаимодействий и оно проявляется через активность материальных частиц.

То есть теорема Пуанкаре-Перельмана содержит идею о том, что во вселенной одновременно присутствуют две структуры пространства. Одна показывает, что начало - это точечный объект (материальная частица), а другая, что начало вселенной - не материя, а "дырка" (ничто или дух), где время и пространство отсутствуют.

Диалектический подход призывает к тому, чтобы найти концепт, обобщающий обе модели пространства. Базовая идея была выдвинута Пуанкаре, который обосновал различие и взаимосвязанность между картезианской моделью пространства (трёхмерная система) и моделью "живого" пространства, представленного в работах самого Пуанкаре (сферическая система). В частности, он дал собственное определение термина "точка пространства" (та самая "дырка") для "живой" пространственной системы. Он показал "дырку" в качестве агента взаимодействий с другими предметами вокруг неё. То есть, любой предмет имеет собственные независимые источники активности, которые со стороны выглядят как "дырка" или пустота.

Но все то, что воспринимается как "пустота" не является пустотой. Демокритов дуализм "материи и пустоты" в настоящее время переосмыслен в русле теории струн как дуализм "материи и энергии"(или "материя и сингулярность"). Основной вывод состоит в том, что фундаментальный дуализм во вселенной содержит отношение "видимая материя - невидимая историческая память (все и ничего одновременно)".

В первой половине 20 века все физические теории вселенной базировались на на двух философских аксиомах:

1. Вселенная - это пространство взаимодействий и не более того.

2. Фундаментальные основания вселенной образованы материальными частицами.

Понятно, что на таких основаниях теории не принимают во внимание аспект памяти и уловить присутствие "дырок" внутри вселенной.

Определённый поворот пришёл вместе с теорией "струн". Гросс пишет, что эта теория отвергает аксиому о фундаментальной миссии элементарных частиц и утверждает аксиому о том, что глубинные основания вселенной состоят из "струн" (элементарных порций энергии, которые не являются материальными частицами) (Гросс, 2004). Это маленький, но важный шаг по направлению к интеграции концепта памяти в структуру современных фундаментальных физических теорий. Некоторые по инерции мыслят "струны" в качестве единственного фундамента основных физических взаимодействий, но более важно понимать "струны" в качестве структур памяти вселенной.

В бытийном измерении "струны" могут опознаваться в качестве "дырок", с помощью которых предшествующая история вселенной влияет на взаимодействия точек пространства-и-времени в настоящем.

Особенность состоит в том, что "дырка" памяти - это не пустота, но канал одностороннего влияния со стороны предшествующей истории в отношении взаимодействий настоящего. Следовательно, "струны" могут быть определены как структуры, обеспечивающие удержание предшествующей истории в качестве "сувениров" и, с другой стороны, "струны" преобразуют предшествующую историю в процессе удержания. Таким образом, такие "дырки" на самом деле - это своеобразные "контактные линзы" для проводки влияния в поле взаимодействий настоящего.

Вся глобальная эволюция - это процесс развития структур исторической памяти вселенной. Новизна этого подхода состоит в том, что элементарные физические определения "времени", "пространства" и "энергии" представлены в качестве функций более глубоких, невидимых физических процессов - работы структур памяти. То есть видимый физический мир не является самодостаточным в своей подвижности, но зависит от другого невидимого мира вселенной, где бытует работа структур памяти. На стороне памяти "пространство" отсутствует, потому что памятование - это непрерывный процесс воспроизводства физического пространства для поставки его назад в поле видимой вселенной. Особенность подхода в этой части состоит в том, что вселенная постоянно содержит элемент, в котором физическое пространство отсутствует, "сингулярное состояние, предшествующее большому взрыву" также отсутствует, но в нем происходит непрерывная работа структур памяти. Функциональная миссия работы памяти состоит в том, чтобы содержать, воспроизводить и удерживать силы, обычно называемые "законами природы". В сущности "законы природы" являются продуктом непрерывного процесса, идущего на стороне физического памятования и его непосредственного отражения в поле видимого пространства.

Благодаря локальному скачку эволюции структур памяти на Земле появляется органический мир и особый органический тип памятования (его структурными элементами выступают: генетические системы организмов, нервная система организмов, психика высших животных). Следующий локальный скачок эволюции структур памяти создал мир людей с новым типом памятования - социально-исторической памятью.

Перельманом интересуются все спецслужбы мира, ведь он шагает впереди сегодняшней мировой науки, постигнув сверхзнания, позволившие понять мироздание. Наша Вселенная появилась во время взрыва, фактически из точки, в точку ее и можно свести.

"Пустоты есть везде. Их можно вычислять, и это дает большие возможности… Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите - зачем же мне бежать за миллионом? В технике постоянно создаются новые аппараты, всевозможные устройства, а в математике как раз создаются их аналоги - логические приемы для аналитиков в любой области науки. И всякая математическая теория, если она строгая, рано или поздно находит применение. К примеру, многие поколения математиков и философов пытались аксиоматизировать философию, в результате этих попыток была создана теория булевых функций, названных по имени ирландского математика и философа Джорджа Буля. Эта теория стала ядром кибернетики и общей теории управления, которые вместе с достижениями других наук привели к созданию компьютеров, современных морских, воздушных и космических кораблей. Таких примеров история математики дает десятки. Это значит, что каждая наша теоретическая разработка имеет прикладное значение" (из интервью с А. Перельманом)

Ученые считают, что 38-летний российский математик Григорий Перельман предложил верное решение проблемы Пуанкаре. Об этом на научном фестивале в Эксетере (Великобритания) заявил профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин.

Проблема (ее также называют задачей или гипотезой) Пуанкаре относится к числу семи важнейших математических проблем, за решение каждой из которых назначил премию в один миллион долларов. Именно это и привлекло столь широкое внимание к результатам, полученным Григорием Перельманом, сотрудником лаборатории математической физики .

Ученые всего мира узнали о достижениях Перельмана из двух препринтов (статей, предваряющих полноценную научную публикацию), размещенных автором в ноябре 2002-го и марте 2003 года на сайте архива предварительных работ Лос-Аламосской научной лаборатории .

Согласно правилам, принятым Научным консультативным советом института Клэя, новая гипотеза должна быть опубликована в специализированном журнале, имеющем "международную репутацию". Кроме того, по правилам Института, решение о выплате приза принимает, в конечном счёте, "математическое сообщество": доказательство не должно быть опровергнуто в течение двух лет после публикации. Проверкой каждого доказательства занимаются математики в разных странах мира.

Проблема Пуанкаре

Родился 13 июня 1966 года в Ленинграде, в семье служащих. Окончил знаменитую среднюю школу № 239 с углубленным изучением математики. В 1982 году в составе команды советских школьников участвовал в Международной математической олимпиаде, проходившей в Будапеште. Был без экзаменов зачислен на матмех Ленинградского государственного университета. Побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Получал Ленинскую стипендию. Окончив университет, Перельман поступил в аспирантуру при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова. Кандидат физико-математических наук. Работает в лаборатории математической физики.

Проблема Пуанкаре относится к области так называемой топологии многообразий - особым образом устроенных пространств, имеющих разную размерность. Двухмерные многообразия можно наглядно представить себе, например, на примере поверхности трехмерных тел - сферы (поверхности шара) или тора (поверхности бублика).

Легко вообразить, что произойдет с воздушным шариком, если его деформировать (изгибать, скручивать, тянуть, сжимать, пережимать, сдувать или надувать). Ясно, что при всех вышеперечисленных деформациях шарик будет изменять свою форму в широких пределах. Однако мы никогда не сможем превратить шарик в бублик (или наоборот) без нарушения непрерывности его поверхности, то есть не разрывая. В этом случае топологи говорят, что сфера (шарик) негомеоморфна тору (бублику). Это означает, что данные поверхности невозможно отобразить одну на другую. Говоря простым языком, сфера и тор различны по своим топологическим свойствам. А поверхность воздушного шарика при всевозможных его деформациях гомеоморфна сфере, равно как поверхность спасательного круга - тору. Иными словами, любая замкнутая двумерная поверхность, не имеющая сквозных отверстий, обладает теми же топологическими свойствами, что и двухмерная сфера.

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек).
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ одной геометрической фигуры на другую - есть отображение произвольной точки Р первой фигуры на точку Р` другой фигуры, которое удовлетворяет следующим условиям: 1) каждой точке Р первой фигуры должна соответствовать одна и только одна точка Р` второй фигуры, и наоборот; 2) Отображение должно быть взаимно непрерывно. Например, имеются две точки Р и N, принадлежащие одной фигуре. Если при движении точки Р к точке N расстояние между ними стремится к нулю, то расстояние между точками Р` и N` другой фигуры тоже должно стремиться к нулю, и наоборот.
ГОМЕОМОРФИЗМ. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Область, в которой любую замкнутую простую (т.е. гомеоморфную окружности) кривую можно стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, называется односвязной, а соответствующее свойство области - односвязностью. Если же некоторую замкнутую простую кривую этой области нельзя стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, то область называется многосвязной, а соответствующее свойство области - многосвязностью.

Проблема Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в XIX веке). Как заметил французский математик, одно из важнейших свойств двухмерной сферы состоит в том, что любая замкнутая петля (например, лассо), лежащая на ней, может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Для тора это справедливо не всегда: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли. В 1904 году Пуанкаре высказал предположение, что если петля может стягиваться в точку на замкнутой трехмерной поверхности, то такая поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Доказательство этой гипотезы оказалось чрезвычайно сложной задачей.

Сразу уточним: упомянутая нами формулировка проблемы Пуанкаре говорит вовсе не о трехмерном шаре, который мы можем представить себе без особого труда, а о трехмерной сфере, то есть о поверхности четырехмерного шара, который представить себе уже гораздо труднее. Но в конце 1950-х годов неожиданно выяснилось, что с многообразиями высоких размерностей работать гораздо легче, чем с трех- и четырехмерными. Очевидно, отсутствие наглядности - далеко не главная трудность, с которой сталкиваются математики в своих исследованиях.

Задача, подобная проблеме Пуанкаре, для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом (Stephen Smale), Джоном Стэллингсом (John Stallings) и Эндрю Уоллесом (Andrew Wallace). Подходы, использованные этими учеными, оказались, однако, неприменимы к четырехмерным многообразиям. Для них проблема Пуанкаре была доказана лишь в 1981 году Майклом Фридманом (Michael Freedman). Трехмерный же случай оказался самым сложным; его решение и предлагает Григорий Перельман.

Необходимо отметить, что у Перельмана есть соперник. В апреле 2002 года профессор математики британского университета Саутгемптон Мартин Данвуди предложил свой метод решения проблемы Пуанкаре и теперь ожидает вердикт от института Клэя.

Специалисты считают, что решение проблемы Пуанкаре позволит сделать серьезный шаг в математическом описании физических процессов в сложных трехмерных объектах и даст новый импульс развитию компьютерной топологии. Метод, который предлагает Григорий Перельман, приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии. Петербургский математик вполне может претендовать на премию Филдса (аналог Нобелевской премии, которую по математике не присуждают).

Между тем, некоторые находят поведение Григория Перельмана странным. Вот что пишет британская газета "Гардиан": "Скорее всего, подход Перельмана к разгадке проблемы Пуанкаре верный. Но не все так просто. Перельман не предоставляет доказательств того, что работа издана в качестве полноценной научной публикации (препринты таковой не считаются). А это необходимо, если человек хочет получить награду от института Клэя. Кроме того, он вообще не проявляет интереса к деньгам".

Видимо, для Григория Перельмана, как для настоящего ученого, деньги - не главное. За решение любой из так называемых "задач тысячелетия" истинный математик продаст душу дьяволу.

Список тысячелетия

8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма , с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.

По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю (Landon T. Clay). В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:

1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.

Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)

Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)

Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x 2 + y 2 = z 2 . Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)

В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.

5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году)

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов.

6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)

Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор.

7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году)

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

Михаил Витебский